重庆市高二上学期期中数学试卷B卷(测试)
重庆市高二上学期期中数学试卷B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分）(2018·滨海模拟) 已知双曲线的右焦点恰好是抛物线（）的焦点
，且为抛物线的准线与轴的交点，为抛物线上的一点，且满足，则点到直线
的距离为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高一下·黄冈期末) 下列命题中错误的是（）
A . 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B . 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C . 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D . 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
3. （2分）(2018·佛山模拟) 如图，正方形的棱长为 4 ,点分别在底面、棱上运动,且，点为线段运动时,则线段的长度的最小值为（）
A . 2
B .
C . 6
D .
4. （2分）与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD= ，则二面角B﹣AC﹣D的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）正方体中，M为侧面所在平面上的一个动点，且M到平面的距离是M到直线BC距离的2倍，则动点M的轨迹为（）
A . 椭圆
B . 双曲线
C . 抛物线
D . 圆
7. （2分）点F（c，0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF
与圆x2+y2=相切于点Q，且=，则双曲线的离心率等于（）
A .
B .
C .
D . 2
8. （2分）下述棱柱中为长方体的是（）
A . 各个面都是平行四边形的直棱柱
B . 对角面是全等矩形的四棱柱
C . 侧面都是矩形的直四棱柱
D . 底面是矩形的直棱柱
二、填空题 (共7题；共8分)
9. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，则该双曲线的方程为________．
10. （1分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________
11. （1分） (2019高二上·龙江月考) 在平面直角坐标系中，，，的边满足 .则点的轨迹方程为________.
12. （1分）设F1 ， F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且F1P⊥PF2 ，则△F1PF2的面积为
________
13. （2分）(2018·北京) 已知椭圆 ,双曲线 . 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________
14. （1分）(2016·深圳模拟) 如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC= ，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________．
15. （1分）设F1、F2分别为双曲线C1：的左、右焦点，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆C2与双曲线的右支交于P、Q两点，若△PF1F2的面积为4，∠F1PF2=75°，则C2的方程为________
三、解答题 (共5题；共45分)
16. （10分）(2018·石家庄模拟) 四棱锥的底面为直角梯形，，，
，为正三角形.
（1）点为棱上一点，若平面，，求实数的值；
（2）求点B到平面SAD的距离.
17. （10分） (2016高二下·深圳期中) 已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）（k≠0）相交于A、B两点，O 是坐标原点．
（1）当k= 时，求|AB|的长；
（2）求证无论k为何值都有OA⊥OB．
18. （5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2 ，满足4k=k1+k2 ，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
19. （10分） (2019高二下·蕉岭月考) 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，
，为等边三角形， .
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角大小的余弦值.
20. （10分） (2016高二下·六安开学考) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共7题；共8分)
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、
16-2、
17-1、17-2、
18-1、19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
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重庆市2020年高二上学期期中数学试卷(理科)B卷
重庆市2020年高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中错误的是（）A . 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B . 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C . 圆台的所有平行于底面的截面都是圆D . 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形2. （2分）直线x+（a2+1）y+1=0的倾斜角的取值范围是（）A . [0， ]B . [0，）∪[ π，π）C . （，π）D . [ π，π）3. （2分）直线l1：（a﹣1）x+2y+2=0，l2：（2﹣a）y﹣x﹣1=0，若l1∥l2 ，则实数a的值为（）A . 3B . 0或3C . 0D .4. （2分）如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·威海期末) 设l、m两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确的是（）A . 若l⊥α，m⊂α，则l⊥mB . 若l⊥α，l∥m，则m⊥αC . 若l⊥α，则m⊥α，则l∥mD . 若l∥α，m∥α，则l∥m6. （2分）已知a、b、c成等差数列，则直线ax-by+c=0被曲线截得的弦长的最小值为（）A .B . 1C .D . 27. （2分）一个空间几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·内蒙古月考) 过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（）A . 2B . 8C . 4D . 109. （2分）将圆平分的直线是（）A .B .C .D . x-y+3=010. （2分）已知A，B，C三点在球O的表面，△ABC是边长为5正三角形，球面上另外一点D到A，B，C三点的距离分别是3，4，5，则球O的表面积是（）A .B .C . 100πD . 400π11. （2分） (2018高一下·淮南期末) 圆与圆的公共弦长为（）A . 1B . 2C .D .12. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) 在三棱锥中，点均在球的球面上，且，若此三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0，圆C1与圆C2的公切线有________条．14. （1分） (2016高二上·邗江期中) 过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为________15. （1分）(2020·湖南模拟) 已知实数满足约束条件，若的最大值为11，则实数 ________.16. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知向量 =（1，2）， =（1，1），则在方向上的投影为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高一上·福州期末) 己知直线2x﹣y﹣4=0与直线x﹣2y+1=0交于点p．（1）求过点p且垂直于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程；（结果写成直线方程的一般式）（2）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线l2方程（结果写成直线方程的一般式）18. （10分） (2018高一上·洛阳月考) 如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD 是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．19. （10分） (2017高三上·定州开学考) 若关于x的实系数方程x2+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．（1）设z=2a﹣b，求z的取值范围；（2）过点（﹣5，1）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程．20. （10分） (2016高二上·苏州期中) 如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2 ， l1交y 轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．21. （5分） (2017高三下·正阳开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．22. （10分） (2015高一上·福建期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
重庆市高二上学期期中数学试卷B卷(考试)
（1）
求a的值；
（2）
若 恒成立，求k的取值范围．
22. （10分） (2020·河南模拟) 已知椭圆 ： 过点 ，过坐标原点 作两条互相垂直的射线与椭圆 分别交于 ， 两点.
（1） 证明：当 取得最小值时，椭圆 的离心率为 .
A . M没有最大元素，N有一个最小元素
B . M没有最大元素，N也没有最小元素
C . M有一个最大元素，N有一个最小元素
D . M有一个最大元素，N没有最小元素
2. （2分） 某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状态，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（ ）
（2） 若椭圆 的焦距为2，是否存在定圆与直线 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、 选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
A . 1或﹣3
B . ﹣1或3
C . 1或3
D . ﹣1或﹣3
7. （2分） (2017·息县模拟) 若变量x，y满足条件 ，则xy的取值范围是（ ）
A . [0，5]
B .
C .
D . [0，9]
8. （2分） 函数f（x）=x5+x3+x的图象（ ）
2024学年重庆市八中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024学年重庆市八中高二数学上学期期中考试卷2024.11一、单选题（本大题共8小题）1．若直线l 的一个方向向量为)e =，则直线l 的倾斜角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π2．若sin cos θθ=，则()sin sin cos θθθ+=（）A ．-1B ．0C ．1D ．23．已知圆C 经过点()1,3和点()4,0，且圆心C 在直线20x y -=上，则圆C 的半径为（）A ．2B ．C ．4D ．54．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是）A ．10B ．C ．40D ．445．已知点G 是ABC V 的重心，若GB AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．13-B ．16-C ．16D ．136．已知直线l 为空间中一条直线，平面α，β，γ为两两相互垂直的三个平面，则（）A ．若//l α，则l 与β和γ相交B ．若l α⊥，则l //β或//l γC ．若l α⊂，则l β⊥，且l γ⊥D ．若l αβ= ，则l γ⊥7．已知海面上有一监测站A ，其监测范围为以A 为圆心，半径为25km 的圆形区域，在A 正东方向30km 处有一货船B ，该船正以20km /h 的速度向北偏西60o 方向行驶，则货船B 行驶在监测站A 监测范围内的总时长为（）A ．0hB ．1hC ．2hD ．3h8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，2MA BM = ，点P 为椭圆C 上一点且()0OP OM λλ=>，则λ的值为（）A ．B ．C ．32D ．2二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆()()221:114C x y +++=，圆()()222:329C x y -+-=，则（）A ．直线12C C 的方程为3410x y --=B ．圆3C 经过1C ，2C 两点，则圆3C 的面积的最小值为25π4C ．与圆1C 和圆2C 都相切的直线共有四条D ．若M ，N 分别为圆1C ，圆2C 上两动点，则MN 的最大值为1010．已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一点，则（）A ．12F PF 的周长为4+B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=C ．若1260F PF ∠=，则12F PF 的面积为D ．使得12F PF 为等腰三角形的点P 共有4个11．在矩形ABCD 中，22AB BC ==，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折，直至点D 落在边AB 上.当ADM △翻折到PAM △的位置时，连结PB ，PC ，则（）A ．四棱锥P ABCM -体积的最大值为4B ．存在某一翻折位置，使得AM PB ⊥C ．E 为AB 的中点，当12PE =时，二面角P AM C --的余弦值为34D ．N 为PB 的中点，则CN 的长为定值三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线y x =与圆2240x y y m +-+=相切，则实数m 的值为.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，2AF BF =，23AFB π∠=，则椭圆C 的离心率为.14．已知正四面体ABCD 的棱长为2，M 在棱CD 上，且3CM MD =，则此正四面体的外接球球心到平面MAB 的距离为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线l 的方程为：()()11230m x m y ++--=.(1)求证：不论m 为何值，直线l 必过定点M ；(2)过（1）中的点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A ，B 两点，求AOB V 面积的最小值.16．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos a c c B -=.(1)求证：2B C =；(2)若ABC ∠的角平分线交AC 于D ，且6a =，求线段BD 的长度的取值范围.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=，不与y 轴垂直的直线l 过点()0,1P 且与圆O 相交于A ，B 两点.(1)已知AB =，求直线l 的方程；(2)已知点()2,1M 且ABM 的面积为l 的方程.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，2AB =，1BC =，PC PD ==E 在棱PB 上，且//PD 平面ACE .(1)求证：E 为PB 中点；(2)求平面EAC 与平面ACD 夹角的正弦值；(3)若点M 为棱PD 上一动点（含端点），求直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值的取值范围.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14xC y +=与x 轴和y 轴的交点分别为1A ，2A ，1B ，2B （1A 在2A 左侧，1B 在2B 下侧），直线y kx =（0k >且12k ≠）与直线22A B 交于点P ，过点1A 且平行于OP 的直线交C 于点N （异于点1A ），交y 轴于点M ，直线NP 交C 于点Q （异于点N ），直线MP 交x 轴于点H .(1)当14k =时，求出H ，Q 两点的坐标；(2)直线HQ 与直线OP 是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.参考答案1．【答案】A【详解】设倾斜角为α，因为直线l 的方向向量是)e =，则直线l 的斜率33k ==，故倾斜角α的正切值为tan 3α=，且[)0,πα∈，所以l 的倾斜角为π6α=.故选：A.2．【答案】C【详解】因为sin cos θθ=，所以tan 1θ=，所以()()2222sin sin cos tan tan 11sin sin cos 1sin cos tan 111θθθθθθθθθθθ++++====+++.故选：C 3．【答案】B【详解】因为圆心C 在直线20x y -=，设圆心为()2,C a a ，因为圆C 经过点()1,3和()4,0，可得=，解得1a =，故圆心为()2,1C ，则圆的半径为r ==故选：B.4．【答案】C【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为所以侧面梯形的斜高为2h =='，所以棱台的侧面积为()()11444624022S a b h '=⨯+=⨯+⨯=.故选：C 5．【答案】D【详解】如图，由点G 是ABC V 的重心，可得()()211121323333GB BG BA BC AB AC AB AB AC =-=-⨯+=--=-，结合GB AB AC λμ=+ ，可得23λ=，13μ=-，所以13λμ+=.故选：D 6．【答案】D【详解】对A 选项，由//l α，则l 与β和γ相交或平行或在面内，所以A 选项错误；对B 选项，当l βγ=Ç时，l α⊥且l β⊂且l γ⊂，所以B 选项错误；对C 选项，当l α⊂时，l 与β，γ可以成任意角，所以C 选项错误；对D 选项，如图，易得l γ⊥，所以D选项正确；故选：D 7．【答案】C【详解】依题意，如图，易知B 在A 监测范围内行驶的总距离为()240km CD ==，故B 在A 监测范围内行驶的总时长为()402h 20=.故选：C 8．【答案】A【详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点(),0A a ，上顶点()0,B b ，设()00,M x y ，则()()0000,,,MA a x y BM x y b =--=-uuu r uuu r，由2MA BM = 可得()000022a x x y y b -=⎧⎨-=-⎩，解得00323a x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,33a b M ⎛⎫⎪⎝⎭，又由OP OM λ= ，则2,33a b P λλ⎛⎫⎪⎝⎭，将P 代入椭圆方程22221x y a b+=，得22222331a b a b λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即224199λλ+=，解得5λ=或5-（舍），所以5λ=.故选：A.9．【答案】ABD【详解】圆()()221:114C x y +++=，其圆心()11,1C --，半径12r =，圆()()222:329C x y -+-=，其圆心()23,2C ，半径23r =，对于A ，直线12C C 的方程为112131y x ++=++，即3410x y --=，所以A 正确；对于B ，因为125C C =，当12C C 为圆的直径时，该圆面积最小，面积的最小值为2525ππ24⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C ，因为125C C =，可得1212C C r r =+，可知圆1C 与圆2C 外切，所以两圆的公切线共有3条，所以C 错误；对于D ，当M ，1C ，2C ，N 共线时，MN 取得最大值121210C C r r ++=，所以D 正确.故选：ABD.10．【答案】AB【详解】对于A，由题意，2a =，c =4+A 正确；对于B ，当点P 位于上下顶点时，12F PF ∠为直角，所以B 正确.对于C ，当1260F PF ∠=时，如图：设11PF t =，22PF t =，则1222121242cos608t t t t t t +=⎧⎨+-︒=⎩⇒1283t t =.所以1212118sin 60223PF F S t t =︒=⨯=C 错误；对于D ，若12F PF 是以P 为顶点的等腰三角形，点P 位于上下顶点；若12F PF 是以1F 为顶点的等腰三角形，则112F P F F ==，此时满足条件的点P 有两个；同理，若12F PF 是以2F 为顶点的等腰三角形，满足条件的点P 有两个；故使得12F PF 为等腰三角形的点P 共六个，所以D 错误.故选：AB 11．【答案】ACD【详解】对于A ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，四棱锥P ABCM -的体积最大，此时四棱锥P ABCM -的高为点D 到AM 的距离，直角梯形ABCM 的面积为()1322AB CM BC +⨯=，四棱锥P ABCM -体积的最大值为133224⨯⨯=，所以A 正确；对于B ，若AM PB ⊥，又AM BM ⊥，则AM ⊥平面PBM ，即AM PM ⊥，矛盾，所以B 错误；对于C ，取AM 中点O ，连接OP ，OE ，如图：由题意，AM OP ⊥，AM OE ⊥，所以POE ∠为二面角P AM C --的平面角，在POE △中，12PE =，22OP OE ==，2223cos 24OP OE PE POE OP OE ∠+-==⋅，所以C 正确；对于D ，取AB 中点E ，连接EN ，NC ，EC ，则EN AP //，12EN PA =，且四边形AECM 为平行四边形，EC AM ∥，EC AM =，所以θNEC PAM ∠∠==，即θ，AP ，AM 不变，由余弦定理知CN 定值，所以D 正确.故选：ACD12．【答案】2【详解】将方程2240x y y m +-+=整理，可得()2242x m y +=--，（4m <）则圆心为()0,2，半径为r =因为直线y x =与圆2240x y y m +-+=相切，所以圆心到直线0x y -=的距离等于圆的半径，即=由=⇒42m -=⇒2m =.故答案为：2.13．【答案】3【详解】解：设2F 是椭圆C 的右焦点，连接2AF ，2BF ，由对称性可知：OA OB =，2OF OF =，则四边形2FAF B 为平行四边形，则2AF BF =，即22AF AF =，且23FAF π∠=，因为2232AF AF AF a +==，则B 2=23，43AF a =，在2FAF △中，由余弦定理可得22222222cos FF AF AF AF AF FAF =+-⋅⋅∠，即2224162414299332c a a a a =+-⨯⨯⨯，解得2213c a =，所以椭圆C 的离心率为33c e a ==.故答案为：14．【答案】6【详解】在正四面体ABCD 中，2AD BD ==，1142DM CD ==，60ADM BDM ∠=∠= ，在ADM △，BDM 中，AM BM ==取AB 中点N ，连接MN ，DN ，如图，DN AB ⊥，MN AB ⊥，而DN =32MN ===，令正BCD △的中心为1O ，连接1AO ，1BO ，1MO ，1BO 的延长线交CD 于点E ，则E 为CD 中点，有123BO BE =，12221111332326BO M BEM BED BCD S S S S BC ==⨯=⨯= 1322ABMS AB MN =⋅= ，显然1AO ⊥平面BCD ，正四面体ABCD 的外接球球心O 在1AO 上，连接BO ，则BO AO R ==，而13AO =，在1Rt BOO △中，222R R ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得2R =，且134AO AO =，令点1O 到平面MAB 的距离为h ，由11O ABM A BO M V V --=得：111133ABM BO M S h S AO ⋅=⋅ ，即3263h =，解得9h =，因此球O 的球心O 到平面MAB 的距离d 有1d AO h AO =，即346d h ==.故答案为：615．【答案】(1)证明见解析(2)4【详解】（1）由()()11230m x m y ++--=，可得()()230m x y x y -++-=，令202301x y x x y y ⎧-==⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线l 过定点()2,1M .（2）由（1）知，直线1l 恒过定点()2,1M ，由题意可设直线1l 的方程为()()120y k x k -=-<，设直线1l 与x 轴，y 轴正半轴交点为A ，B ，令0x =，得12B y k =-；令0y =，得12A x k=-，所以AOB V 面积()111222S k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()11442k k ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭1442⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当14k k -=-，即12k =-时，AOB V 面积最小值为4.16．【答案】(1)证明见解析(2)(【详解】（1）证明：由2cos a c c B -=，根据正弦定理可得sin sin 2sin cos A C C B -=，即()sin sin 2sin cos B C C C B +-=，所以sin cos cos sin sin 2sin cos B C B C C C B +-=；可得sin cos cos sin sin 2sin cos B C B C C C B +-=，所以sin cos cos sin sin B C B C C -=，即()sin sin B C C -=，显然B C >，故π02C <<，ππ22B C -<-<，所以2B C =.（2）在BCD △中，由正弦定理可得sin sin a BDBDC C=∠，可得6a =，即6sin sin BD BDC C =∠，所以6sin 6sin 3sin sin2cos C C BD BDC C C===∠，因为ABC V 是锐角三角形，且2B C =，所以π02π022π0π32C C C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩解得ππ64C <<，可得cos 2C <<BD <<，所以线段BD长度的取值范围是(.17．【答案】(1)1:12l y x =±+(2):1l y =+【详解】（1）①直线l 的斜率不存在时，AB 4=，不满足题意.②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()10y kx k =+≠，则圆心()0,0到直线l的距离d =由AB =，可得2222⎛⎫+=⎝⎭，解得12k =±，故直线1:12l y x =±+.（2）①直线l 的斜率不存在时，1142422ABE M S AB x =⨯⋅=⨯⨯=△，不满足题意.②直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()10y kx k =+≠，则AB =M 到直线l的距离d '，故1122ABMS AB d '=⋅=△由ABMS =△可得352=，化简得421942450k k --=，即()()22319150k k -+=，解得k =，故直线:1l y =+.18．【答案】(1)证明见解析(2)306(3)23⎣⎦【详解】（1）连结BD 交AC 于点F ，连结EF ，因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点，因为//PD 平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD 平面ACE EF =，所以//PD EF ，又因为F 为BD 中点，所以E 为PB 中点.（2）取CD 的中点O ，连结PO ，FO ，因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，因为PC PD =，O 为CD 中点，所以PO CD ⊥，//OF BC ，所以OF CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥，所以⊥PO 平面ABCD ，所以PO OF ⊥，所以OF ，OC ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则由题意可得：()1,1,0A -，()0,1,0C ，()1,1,0B ，0,0,1，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0D -，则()1,2,0AC =- ，131,,222AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,0,1OP =，由上可知()0,0,1OP =为平面ACD 的一个法向量，设平面ACE 的法向量为 =s s ，201310222AC n x y AE n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1y =，则2x =，1z =-，所以()2,1,1n =- ，所以cos ,OP n，6OP n OP n ⋅===，所以平面EAC 与平面ACD 夹角的正弦值为6.（3）由（2）()0,1,1PD =-- ，()1,1,1AP =-，因为点M 在棱PD 上（含端点）所以设()()0,1,10,,PM PD λλλλ==--=-- ，[]0,1λ∈则()()()1,1,10,,1,1,1AM AP PM AP PD λλλλλ=+=+=-+--=---，设AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin cos ,AM n AM n AM n θ⋅==,33=⎥⎣⎦所以直线AM 与平面ACE所成角的正弦值的取值范围为⎣⎦.19．【答案】(1)83,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,0H (2)平行，证明见解析【详解】（1）由椭圆方程可知：2,1,a b c ==则()12,0A -，()22,0A ，()10,1B -，()20,1B ，直线22:121x yA B +=，即220x y +-=，联立方程14220y x x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，解得4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线()1:24MN y x =+，故10,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，直线11:82MP y x =-+，故()4,0H .由224214x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得2540y y -=，解得45y =或0y =（舍去），即65x =，可得64,55N ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线7:52NP y x =-+，联立方程2275214y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化简得22570480x x -+=，解得85x =或65x =（舍去），即35y =-，所以83,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）直线HQ 与直线OP 相互平行，证明如下：证明1HB OP ∥，再证明H ，1B ，Q 三点共线即可.①证明1:HB OP ∥由220y kx x y =⎧⎨+-=⎩，解得22,1212k P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，直线1A M 的方程为()2y k x =+，则()0,2M k ，故直线2:22MP y k x k =-+，可得1,0H k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()10110HB k kk--==-，故1HB OP ∥；②证明H ，1B ，Q 三点共线：设()11,N x y ，由221214x y k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2221440k y y k k +-=，解得12414k y k =+，故2122814k x k -=+，即222284,1414k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；直线1HB 的方程为1y kx =-，设1HB 交C 于()122,Q x y ，由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221480k x kx +-=，解得22814k x k =+，故2224114k y k -=+，即2122841,1414k k Q k k ⎛⎫- ++⎝⎭，则()()()()()1222222222241241122144411412828828122141412P PQ P k kk k k k y y k k k k k k x x k k k k k k k---+-+---++====-+-+-+-++，()()()()()2322212322221242212144444114122828828821412141412P PNP k kk k k k y y k k k k k k k k k x x k k k k k k k k k k-+-+--++--++=====----++--+-+-++，所以1PQ PN k k =，即N ，P ，1Q 三点共线，又有直线NP 交C 于点Q ，故Q 与1Q 重合，即H ，1B ，Q 三点共线.由①②可知：HQ OP ∥.。
重庆市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023年重庆高2025届高二上期周练7数学测试试题卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号，考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆2213x y m m +=的一个焦点为()1,0，则实数m 的值为（）A.12B.2C.22 D.24【答案】A 【解析】【分析】根据方程是椭圆方程，得0m >，然后由,,a b c 关系得出m 值．【详解】由题意0m >，223,a m b m==231m m ∴-=，12m =，故选：A ．2.等差数列{}n a 中，已知1251,4,333n a a a a =+==，则n =A.48 B.49C.50D.51【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质，结合通项公式的基本量求法求解即可【详解】由等差数列的性质得，25166143a a a a a +=+=+=，则6113=a ，所以公差61253a a d -==，由等差数列的通项公式得，12(1)3333n a n =+-=，解得50n =．故选：C3.圆C ：22(1)(1)1x y -+-=与直线l ：143x y+=的位置关系为（）A.相切B.相交C.相离D.无法确定【答案】A 【解析】【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】圆C ：22(1)(1)1x y -+-=的圆心为()1,1C ，半径1r =，直线l ：143x y+=即34120x y +-=，则圆心到直线的距离1d r ===，所以直线l 与圆C 相切.故选：A4.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（）A.0.25升 B.0.5升C.1升D.1.5升【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为129,,a a a ，由题意可得1237890.5, 2.5a a a a a a ++=++=，所以282828530.5,3 2.51,0.52a a a a a a a +==⇒+=∴==，故选：B5.已知双曲线22214x y b-=的左､右焦点分别为12,,F F 过左焦点1F 作斜率为2的直线与双曲线交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则b 的值是（）A.2B.C.32D.【答案】D 【解析】【分析】利用点差法设()11,A x y 、()22,B x y ，作差即可得到2121212124y y y y b x x x x -+⋅=-+，再根据斜率公式，从而得到2124b =，即可得解；【详解】解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则2211214x y b -=，2222214x y b-=，两式相减可得()()()()1212121221104x x x x y y y y b-+--+=，P 为线段AB 的中点，122p x x x ∴=+，122p y y y =+，2121212124y y y y b x x x x -+∴⋅=-+，又12122AB y y k x x -==-，121214y y x x +=+，2124b ∴=，即22b =，b ∴=故选：D.6.已知数列{}n a 中，22a =，当3n ≥时，1n a -，12n a ，2n a -成等差数列.若2022a k =，那么352021a a a +++= （）A.k B.1k - C.2kD.2k -【答案】D 【解析】【分析】依题意可得数列{}n a 的递推关系12n n n a a a --=+，再一一代入即可求解.【详解】当3n ≥时，1n a -，12n a ，2n a -成等差数列，则12n n n a a a --=+，由于22a =，则()35202123520212022222a a a a a a a a k +++=++++-=-=- ，故选：D.7.已知抛物线2:4E y x =，圆C ：222x y x +=，过圆心C 作直线l 与抛物线E 和圆C 交于四点，自上而下依次为A ，M ，N ，B ，若AM ，MN ，NB 成等差数列，则直线l 的斜率为（）A.B. C.22D.22±【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，可得圆心C 为抛物线的焦点，求出弦AB 长，设出直线AB 方程并与抛物线方程联立，求解作答【详解】圆C ：22(1)1x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1r =，显然点(1,0)C 为抛物线2:4E y x =的焦点，其准线为=1x -，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212||||||112AB AC BC x x x x =+=+++=++，而||2MN =，由AM ，MN ，NB 成等差数列得，2||4AM NB MN +==，因此||6AB =，即有1226x x ++=，解得124x x +=，设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k ≠，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，则有122424x x k +=+=，解得k =所以直线l 的斜率为.故选：B8.数列{}n a 满足()()*111n n na n a n N +=++∈，且11a=，则2022a =（）A.4043 B.4044C.2021D.2022【答案】A 【解析】【分析】由()()*111n n na n a n N+=++∈，可得11111n na a nn n n ++=+++，即1na n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列，进而可得12n a n n+=，从而即可求解.【详解】解：因为()()*111n n na n a n N+=++∈，所以()1111111n n n a a a n n n n n n n +=+=+-+++，所以11111n n a a n n n n ++=+++，即1n a n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列，又11a =，所以111211n a a n n +=+=，所以20221220222022a +=，解得20224043a =，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A.数列{}n a 是递增数列B.28n a n =-+C.当4n >时，0n a < D.当3n =或4时，n S 取得最大值【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定的前n 项和，求出n a ，再逐项判断作答.【详解】数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-+，当2n ≥时，2217[(1)7(1)]28n n n a S S n n n n n -==-+---+-=--+，而116a S ==满足上式，所以28n a n =-+，B 正确；数列{}n a 是公差为2-的等差数列，是单调递减的，A 不正确；当4n >时，2(4)0n a n =--<，C 正确；当4n ≤时，2(4)0n a n =--≥，即数列{}n a 前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负，因此当3n =或4时，n S 取得最大值，D 正确.故选：BCD10.已知正方体1111ABCD A B C D -，则（）A.直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B.直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C.直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒【答案】ABD 【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A正确；连接1AC ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥，因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B = ，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确；连接11A C ，设1111A C B D O = ，连接BO ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥，因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ，所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，设正方体棱长为1，则12C O =，1BC =，1111sin 2C O C BO BC ∠==，所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30 ，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确.故选：ABD11.已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，下列结论正确的是（）A.若12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则52AF =B.若()2,3E ，则AE AF +的最小值为4C.以线段AB 为直径的圆与直线=2y -相切D.若3AF FB =，则直线AB 的斜率为1【答案】AC 【解析】【分析】求出抛物线C 的焦点坐标、准线方程，设出点A ，B 的坐标及直线AB 方程，再结合各选项的条件分别计算判断作答.【详解】抛物线C ：28x y =的焦点为(0,2)F ，准线=2y -，设点1122(,),(,)A x y B x y ，对于A ，显然12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线C 上，则15(2)22AF =--=，A 正确；对于B ，()111232AE AF y y y +=--≥-++，当且仅当12x =时取等号，当12x =时，112y =，有111132325y y y y -++=-++=，因此当12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭时AE AF +取得最小值5，B 不正确；对于C ，1212||||||224AB AF BF y y y y =+=+++=++，线段AB 的中点M 纵坐标为0y ，则1201||222y y y AB +==-，显然点M 是以线段AB 为直径的圆的圆心，点M 到直线=2y -的距离为011(2)||22||22y AB AB --=-+=，所以圆M 与直线=2y -相切，C 正确；对于D ，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：2y kx =+，由228y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得：28160x kx --=，有12128,16x x k x x +==-，由3AF FB = 得：123x x =-，于是得213k =，解得3k =±，D 不正确.故选：AC12.已知双曲线E ：()222210,0y x a b a b-=>>上、下焦点分别为1F ，2F ，虚轴长为，P 是双曲线上支上任意一点，1PF2-.设()0,A a ，()0,B a -，Q 是直线23y =上的动点，直线QA ，QB 分别与E 的上支交于点C ，D ，设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k .下列说法中正确的是（）A.双曲线E 的方程为22142-=y x B.213k k =-C.以CD 为直径的圆经过A 点 D.当11k =-时，CD 平行于x 轴【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，得出b =，2c a -=，即可求出双曲线标准方程判断A ；设2,3Q t ⎛⎫⎪⎝⎭，表示出1k ，2k ，即可判断B ；利用直线与双曲线相交得出,C D 坐标，即可判断C ；利用11k =-，得出t 的值，即可判断D.【详解】由题知，2b =，b =，2c a -=，解得2a =，所以双曲线方程为22142-=y x ，A正确；由A 知，()0,2A ，()0,2B -，设2,3Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则122433t k t -==--，222833t tk --==-，所以212k k =-，B 错；由上述知，直线QA 方程为423y x t -=-，直线QB 方程为823y x t+=，联立22423142y x ty x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22161816093t x x t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因点C 是异于A 的上支点，所以22489t x t =-，代入直线QA 方程得22161889t y t +=--，即222241618,8989t t C t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，联立22823142y x t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得222641832093t x x t t --=，因点D 是异于B 的上支点，所以248329t x t =-，代入直线QB 方程得226418329t y t +=-，即222486418,329329t t D t t ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，则222641823329484329DAt t t k t t +--==-，2221618248924389CA t t k t t t +---==--，所以1DA CA k k ⋅=-，即DA CA ⊥，所以以CD 为直径的圆经过A 点，C 正确；当11k =-时，即413t -=-，43t =，所以代入,C D 坐标得()()4,6,4,6C D -，所以CD 平行于x 轴，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若一数列为1，73，143，213，…，则983是这个数列的第________项.【答案】15【解析】【分析】根据数列指数的特点求出通项公式，即可得到结果.【详解】数列的指数分别是0，7，14，21，…，则指数部分构成首项为0，公差为7d =的等差数列{}n a ，则对应指数的通项公式为77,N n a n n *=-∈，由779815n n -=⇒=，所以983是这个数列的第15项.故答案为：1514.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2y =的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OAB 的面积为1，则双曲线的渐近线方程为______．【答案】2y x =-或2y x =【解析】【分析】求出抛物线2y =的准线及双曲线C 的渐近线，再联立求出线段AB 长，结合三角形面积，求出ba作答.【详解】双曲线C ：22221x y a b -=的渐近线方程为：b y x a =±，抛物线2y =的准线为直线：22x =-，联立b y x a =±与22x =-得：2y a =±，因此有|||()|22AB a a a=--=，而OAB的面积1||12242OAB bS AB a a==⋅== ，即2b a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =-或2y x =.故答案为：2y x =-或2y x=15.已知椭圆22Γ:1,,32x y B D +=是椭圆上关于原点对称的两点，设以BD 为对角线的椭圆内接平行四边形ABCD 的一组邻边,AB BC 斜率分别为12,k k ，则12k k =______.【答案】23-【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性，斜率坐标公式计算作答.【详解】因,B D 是椭圆22Γ:132x y+=上关于原点对称的两点，不妨设11(,)B x y ，则11(,)D x y --，且2211132x y +=，又ABCD Y 是椭圆22Γ:132x y +=内接平行四边形，则点,A C 关于原点对称，不妨设22(,)A x y ，则22(,)C x y --，且2222132x y +=，直线,BA BC 斜率分别为：1212121212,y y y y k k x x x x -+==-+，因此2212122212y y k k x x -=-，而2222112213232x y x y +==+，即1212222232x y x y =---，所以1223k k =-.故答案为：23-16.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为12的直线l 经过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点（点A 在第一象限），设12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，若122r r =，则椭圆的离心率e =___________．【答案】6【解析】【分析】由题意得122A B r y r y =-=，联立直线与椭圆方程得22244A B b c y y a b +=+，4224A B b y y a b-⋅=+，再利用()22AB A B A BB Ay y y yy y y y +=++⋅，再代入值计算即可得答案.【详解】如图所示，由椭圆定义可得122AF AF a +=，122BF BF a +=，设12AF F △的面积为1S ，12BF F △的面积为2S ，因为123r r =，所以()()()111222112222221122222A A BB a c r c y S r yS r y a c r c y +⨯⨯==⇒=-=+⨯⨯-，即2A B y y =-，设直线:2l x y c =-，则联立椭圆方程与直线l ，可得222242222222(4)40x y ca b y b cy b b x a y a b=-⎧⇒+--=⎨+=⎩，由韦达定理得：22244A B b c y y a b +=+，4224A B b y y a b -⋅=+又()22AB A B A BB A y y y y y y y y +=++⋅，即2222422441122224b c a b b a b ⎛⎫⎪+⎝⎭=-+-=--+化简可得()222222216132442c c a a c a b =⇒=+-+，即22365c a =，即22365c a =时，有255366e e =⇒=.故答案为：56四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足22a =，358a a +=，且当1n >*N n ∈时，有112n n n a a a -+=+，（1）求n a ；（2）若数列{}n b 中1111,++=-=+n n n nb a b b a a nb 【答案】（1）*,n a n n =∈N （2）*,=∈n b n n N 【解析】【分析】（1）根据题意可知数列{}n a 为等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解；（2）由（1）可得：111,1+=-=+n n b b b n n ，利用累加法求通项公式.【小问1详解】因为当1n >*N n ∈时，有112n n n a a a -+=+，可知数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，由题意可得：213512268a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以*11,=+-=∈n n n n a N .【小问2详解】由（1）可得：111,+=-==n n b b b 当2n ≥时，则()()()112211---=-+-+⋅⋅⋅-+n n n n n b b b b b b b b1=++⋅⋅⋅+=，即2=≥n b n ，且11b =也满足上式，所以*=∈n b n N .18.四棱锥P ABCD -，底面为矩形，PD ⊥面ABCD ，且4,2AB BC PD ===，Q 点在线段AB 上，且AC ⊥面PQD .（1）求线段AQ 的长；（2）对于（1）中的Q ，求直线PB 与面PDQ 所成角的正弦值.【答案】（1）1（2）3010【解析】【分析】（1）根据线面垂直得到ADQ DCA ，再由相似比得方程可求解；（2）建立空间直角坐标系，求平面PDQ 的法向量，运用夹角公式先求线面角的余弦值，再转化为正弦值即可.【小问1详解】AC ⊥ 面,PQD AC QD ∴⊥，∴在矩形ABCD 中，易得：22414AD AQ AD BC ADQ DCA AQ DC DA DC AB ⇒=⇒==== ；【小问2详解】如四建立空间直角坐标系：则()()()()0,0,0,0,0,2,2,4,0,(2,0,0),0,4,0D P B A C ，()2,4,2PB ∴=-，由题意可知：AC为平面PDQ 的一个法向量，()2,4,0AC =-，cos ,10PB AC PB AC PB AC⋅〈〉==⋅，∴直线PB 与面PDQ所成角的正弦值为10.19.已知双曲线C 经过点()3,4P，点Q ．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知()2,2A -，过点()2,0的直线l 与双曲线C 交于不同两点M ，N ，若以线段MN 为直径的圆刚好经过点A ，求直线l 的方程．【答案】（1）2212y x -=；（2）20x y --=或7140x y --=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.（2）设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的向量表示求解作答.【小问1详解】依题意，设双曲线C 的方程为：221,0mx ny mn -=>，而双曲线C 经过点()3,4P ，点Q，则有9161221m n m n -=⎧⎨-=⎩，解得11,2m n ==，即有22112x y -=，所以双曲线C 的标准方程为：2212yx -=.【小问2详解】显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为：2x ty =+，由22222x ty x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)860t y ty -++=，显然2210t -≠，2226424(21)16240t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有12122286,2121t y y y y t t +=-=--，因为以线段MN 为直径的圆刚好经过点A ，即有0AM AN ⋅=，而1122(2,2),(2,2)AM x y AN x y =-+=-+ ，于是得1212(2)(2)(2)(2)0x x y y --+++=，即21212(1)2()40t y y y y ++++=，有2226(1)16402121t t t t +-+=--，整理得：27810t t -+=，解得1t =或17t =，因此直线l ：2x y =+或127x y =+，所以直线l 的方程为20x y --=或7140x y --=.20.已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14(1)2na nn n b λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有1n nb b +>成立.【答案】（1）1n a n =+（2）1λ=-【解析】【分析】根据已知结合n a 与前n 项和n S 的关系，利用相减法确定n a 的递推关系式，判断n a 为等差数列，即可求解数列{}n a 的通项公式；根据数列的单调性列不等式求解即可.【小问1详解】解：由已知1121n n n S S S +-+=+，得()()11n n n n S S S S +----()12,N n n *=≥∈即()*112,N n n a a n n +-=≥∈，且211a a -=.∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列.1n a n ∴=+.【小问2详解】解：1n a n =+ ，114(1)2n n n n b λ-+∴=+-⋅，要使得对任意*n ∈N ，1n n b b +>恒成立，12144(1)2n n n n n n b b λ+++∴-=-+-⋅11(1)20n n λ-+--⋅>恒成立，11343(1)20n n n λ-+∴⋅-⋅->恒成立，11(1)2n n λ--∴-<恒成立.（i ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，又{}12n -是递增数列则当1n =时，12n -有最小值为1，1λ∴<.（ii ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，又{}12n --是递减数列则当2n =时，12n --有最大值2-，2λ∴>-.即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-.综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>.21.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()1,0M -，()1,0N ，Q 为线段MN 上异于,M N 的一动点，点P 满足2PM PN QMQN==.（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）点,A C 是曲线E 上两点，且在x 轴上方，满足//AM NC ，求四边形AMNC 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2）3【解析】【分析】（1）由24PM PN MN +==，结合椭圆定义可得轨迹方程；（2）连接CO ，延长交椭圆E 于点B ，利用面积桥可知所求四边形面积即为ABC S ，设直线:1AB x my =-，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入弦长公式中可得AB ，利用点到直线距离公式可求得点N ，即点C 到直线AB 的距离，由此可将所求面积表示为关于m 的函数，利用函数求最值的方法可求得结果.【小问1详解】2PM PN QMQN==，2PM QM ∴=，2PN QN =，()224PM PN QM QN MN ∴+=+==，P ∴点轨迹是以,M N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则2a =，1c =，2223b a c ∴=-=，∴点P 的轨迹E 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】连接CO ，延长交椭圆E 于点B ，连接,,BM AN CM ，由椭圆对称性可知：OC OB =，又=OM ON ，∴四边形CMBN 为平行四边形，//CN BM ∴，CN BM =，BOM CON S S ∴= 且,,A M B 三点共线∴四边形AMNC 的面积ACM COM CON ACM COM BOM ABC S S S S S S S S =++=++= ，设直线:1AB x my =-，()()()11221,,,0A x y B x y y >，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()2234690m y my +--=，221634y y m m ∴++=，122934y y m =-+，()2212134m AB m +∴===+，又//AM NC ，∴点C 到直线AB 的距离即为点N 到直线AB 的距离，点N 到直线AB 的距离d =21121234S AB d m ∴=⋅==+，设234m t +=，则243t m -=，4t ≥，S ∴==又114t ≤，∴当114t =，即0m =时，四边形AMNC 面积取得最大值，最大值为3.【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形或四边形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；用面积桥结合三角形面积表示出四边形面积；④将所求面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.22.已知点(4,4)M 在抛物线2:2x py Γ=上，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ､B ，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为2-.（1）证明：直线AB 过定点；（2）过A ､B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ､D ，问：是否存在一点P 使得A ､C ､P ､D 四点共圆？若存在，求所有满足条件的P 点；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）法一：将()4,4代入抛物线方程22x py =得到2p =，设切点坐标为()00,x y ，再根据导数的几何意义可得切线方程为()002x x y y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 直线方程为y kx b =+，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理可得2b =得到定点；法二：设()00,P x y ，过P 的直线方程为()00y y k x x -=-，联立抛物线方程，根据二次函数判别式为0得2000k x k y -+=，得到121248x x k k ==-，再联立直线AB 和抛物线的方程，根据韦达定理可得2b =得到定点；（2）联立直线AB 和抛物线得出韦达定理，设()1,1C x -，()2,1D x -，再联立PA ，PB 直线方程可得()2,2P k -，可得P 在直线=2y -上运动，再假设A ､C ､P ､D 四点共圆可得1PA PD k k ⋅=-，代入求解判断是否有解即可.【小问1详解】法一：将()4,4代入抛物线方程22x py =得到2p =，所以抛物线方程为24x y =，求导可得2xy '=，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率为02x ，所以切线方程为()0002xy y x x -=-，即()002x x y y =+；设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 直线方程为y kx b =+，由题意得12222PA PB x xk k ⋅=⋅=-，所以128x x =-，联立直线AB 和抛物线得24x yy kx b⎧=⎨=+⎩得2440x kx b --=，所以1248x x b =-=-得2b =，所以AB 的直线方程为2y kx =+，直线AB 过定点()0,2；法二：将()4,4代入抛物线方程22x py =得到2p =，所以抛物线方程为24x y =，设()00,P x y ，过P 的直线方程为()00y y k x x -=-，联立()2004x yy y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得()200440x kx y kx ---=，()200Δ16160k y kx =+-=得2000k x k y -+=，由1202k k y ==-，切点横坐标为2x k =，所以121248x x k k ==-联立直线AB 和抛物线得24x yy kx b⎧=⎨=+⎩得2440x kx b --=，所以1248x x b =-=-得2b =，所以AB 的直线方程为2y kx =+，直线AB 过定点()0,2；【小问2详解】联立直线AB 和抛物线得242x yy kx ⎧=⎨=+⎩得2480x kx --=①可知124x x k +=，128x x =-，设()1,1C x -，()2,1D x -，PA 直线方程为：()112x x y y =+，PB 直线方程为：()222x x y y =+，联立()()112222x x y y x x y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩解得22x k y =⎧⎨=-⎩，所以()2,2P k -，所以P 在直线=2y -上运动，假设存在P 点使得A ､C ､P ､D 四点共圆，则90ACD APD ∠∠==︒，所以1PA PD k k ⋅=-，因为12PAx k =，212PD k x k =-可得()12122x x k =--，解得124,0x k x ==，不合题意，所以不存在P 点使得A ､C ､P ､D 四点共圆.【点睛】本题主要考查了抛物线的切线问题与定点问题，需要根据题意，根据导数的几何意义或联立直线与抛物线的方程用判别式分析.同时也考查了联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理转化题设条件求解的问题.属于难题.。
重庆市2020年(春秋版)高二上学期期中数学试卷(理科)B卷
重庆市2020年（春秋版）高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是（）A . 10 海里B . 5海里C . 5 海里D . 5 海里2. （2分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件3. （2分）(2017·陆川模拟) 已知数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），若bn+1=（n﹣λ）（ +1）（n∈N*），b1=﹣λ．且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（）A . λ＞2B . λ＜2C . λ＞3D . λ＜34. （2分）若命题p：，则为（）A .B .C .D .5. （2分）数列的首项为3，为等差数列且.若则，，则（）A . 0B . 3C . 8D . 116. （2分） (2016高二上·晋江期中) 正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3=3，S9=39，则S6为（）A . 21B . 18C . 15D . 127. （2分）下列结论成立的是（）A .B .C .D . 不能确定A8. （2分）等差数列的前项和为，若，则（）A . 18B . 36C . 45D . 609. （2分）下列函数中，最小值为4的有多少个？（）① ② （0＜x＜π）③y=ex+4e﹣x④y=log3x+4logx3．A . 4B . 3C . 2D . 110. （2分） (2016高一上·万州期中) 函数f（x）=（m﹣1）x2﹣（m﹣1）x+1的图象总在x轴上方．则实数m的取值范围为（）A . （1，5）B . （1，5]C . [1，5）D . [1，5]11. （2分） (2016高二下·哈尔滨期末) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=18，b=24，A=45°，则这样的三角形有（）A . 0个B . 两个C . 一个D . 至多一个12. （2分）(2017·武汉模拟) 已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足 =+μ （1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为（）A . 5B . 4C . 9D . 5+4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·台州模拟) 已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．14. （1分）(2018高三上·龙泉驿月考) 已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题① ；② ；③ ；④ .则上述四个命题中真命题的序号为________.15. （1分） (2018高一下·涟水月考) 在中，已知，则的大小为________.16. （1分）已知公差为d等差数列{an}满足d＞0，且a2是a1 ， a4的等比中项．记bn=a（n∈N+），则对任意的正整数n均有++…+＜2，则公差d的取值范围是________三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）已知p：x2+mx+1=0有两个不相等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若p∧q为假，p∨q为真求：m的取值范围．18. （5分） (2016高一下·黑龙江期中) 设Sn是数列{an}的前n项和．（Ⅰ）若2Sn=3n+3．求{an}的通项公式；（Ⅱ）若a1=1，an+1﹣an=2n（n∈N*），求Sn ．19. （5分） (2017高一下·玉田期中) 某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？20. （10分） (2015高二上·潮州期末) 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求A的大小；（2）若，，求a．21. （5分）(2017·河南模拟) 已知△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1﹣cos2B）=8sinBsinC，A+ =π．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若点D在线段BC上，且BD=6，c=5，求△ADC的面积．22. （10分） (2016高三上·平罗期中) 已知数列{an}，满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1﹣2an ， bn=an+1﹣an ，（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15、答案：略16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、18-1、19-1、20、答案：略21-1、22-1、22-2、。
重庆市学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
重庆市高2025届高二上期期中考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟2．答卷前考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知两点(1,2)A -，(3,4)B ，则直线AB 的斜率为A.2 B.12-C.12D.2-【答案】C 【解析】【分析】直接应用斜率公式计算即可．【详解】已知两点(1,2)A -，(3,4)B ，由斜率公式得4213(1)2AB k -==--.故选：C【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．2.在棱长为1的正四面体ABCD 中，直线AD 与BC 是（）．A.平行直线B.相交直线C.异面直线D.无法判断位置关系【答案】C 【解析】【分析】利用异面直线的判断方法判断即可.【详解】作出正四面体ABCD ，如图，因为BC ⊂平面BCD ，D ∈平面BCD ，D BC ∉，A ∉平面BCD ，所以AD 与BC 是异面直线.故选：C.3.已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（）A.若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C.若//l m ，m α⊂，则//l αD.若//l α，m α⊂，则//l m【答案】A 【解析】【分析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.【详解】A 选项：由线面垂直的性质定理可知A 正确；B 选项：由线面垂直判定定理知，l 需垂直于α内两条相交直线才能说明lα⊥，B 错误；C 选项：若l ⊂α，则平行关系不成立，C 错误；D 选项：,l m 的位置关系可能是平行或异面，D 错误.故选：A【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.4.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】先得到双曲线C 的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到a 和c 的关系，求出离心率，得到答案.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为b y xa =±因为两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，所以点(,0)a 到直线b y x a =的距离等于半径2b即2ab b d c ===，又因为222c a b =+整理得到2c a =，故双曲线C 的离心率为2ce a==.故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题.5.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，4PD DC ==，Q 为PC上一点，且3PQ QC =，则异面直线AC 与BQ 所成的角的大小为（）A.π6B.π3C.5π6D.2π3【答案】B 【解析】【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线AC 与BQ 所成的角的大小.【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()4,0,0A 、()0,4,0C 、()4,4,0B 、()0,3,1Q ，()4,4,0AC =- ，()4,1,1BQ =--，1cos ,24232AC BQ AC BQ AC BQ ⋅<>==⨯⋅，因此，异面直线AC 与BQ 所成的角的大小为π3.故选：B.6.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =，且||4PF=，则椭圆C 的方程为（）A.221255x y += B.2214525x y += C.2213010x y += D.2213616x y +=【答案】D 【解析】【分析】设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，由||||OP OF OF =='可得PF PF '⊥，可求得8PF '=，由椭圆的定义可求得6a =，利用,,a b c 之间的关系可求得2b ，即可得到答案【详解】如图，设椭圆的右焦点为F '，则(25,0)F '，连接PF '，因为||||OP OF OF =='，所以PF PF '⊥，所以8PF '===，由椭圆的定义可得2||12a PF PF =+='，则6a =，又因为||c OF ==，所以22222616b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2213616x y +=，故选：D7.已知实数x ，y 满足方程()2223x y -+=，则yx的最大值和最小值分别为（）A.-B.C.33，33- D.233，3-【答案】B 【解析】【分析】根据目标式的几何意义：圆上点与原点所成直线的斜率，结合直线与圆关系求其最值即可.【详解】圆()2223x y -+=，圆心()2,0，半径为r =，令yk x =，即0kx y -=，y x 的最值，是圆心到直线的距离等于半径时的k 值，=，解得k =，∴yx．故选：B8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>虚轴的一个顶点为D ，12,F F 分别是C 的左，右焦点，直线2x a=与C 交于A ，B 两点．若ABD △的重心在以12F F 为直径的圆上，则C 的渐近线方程为（）A.78y x =±B.87y x =±C.7y x =±D.144y x =±【答案】D 【解析】【分析】不妨取(0,)D b ，再求得,A B两点的坐标为()2,a ，从而求得重心的坐标为4,33b a ⎛⎫⎪⎝⎭，进而得到222439ba c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得4b a =±，由此得解.【详解】因为双曲线2222:1x y C a b -=，则其虚轴上的顶点为(0,)b ±，不妨取(0,)D b ，联立222221x ax yab =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得2x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则,A B两点的坐标为()2,a ，所以ABD △的重心的坐标为22033a a b ⎛⎫++-+ ⎝⎭，即4,33b a ⎛⎫⎪⎝⎭，因为△ABD 的重心在以12F F 为直径的圆上，而12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，所以22222439ba c ab ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，解得4b a =±，所以C的渐近线方程为4y x =±.故选：D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）9.在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是底面ABCD 的中心，则（）A.1//A O 平面11B D CB.1AO 与1CD 成角为30ºC.111A O B D ⊥D.1A O ⊥平面1BDC 【答案】ABC 【解析】【分析】A.由1111//O ,O OC C OC C =，得到11A O CO 是平行四边形，从而11//A O CO ，再利用线面平行的判定定理判断；B.根据11//A B CD ，得到1OA B ∠为所成的角判断；C.由正方体的特征，得到BD ⊥平面11AA C C 判断；D.由2221111AO C O AC +≠判断；【详解】如图所示：A.因为1111//O ,O OC C OC C =，11A O CO 是平行四边形，所以11//A O CO ，因为1AO ⊄平面11B D C ，1CO ⊂平面11B D C ，所以1//A O 平面11B D C ，故正确；B.因为11//A B CD ，所以1OA B ∠为所成的角，又BD ⊥平面11AA C C ，则1BD AO ⊥，设棱长为a ，则1121,2,sin 22BO a A B a OA B ==∠=，因为10,2OA B π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则130OA B ∠=，故正确；C.因为11111111111,,B D A C B D AA A C AA A ⊥⊥⋂=，所以BD ⊥平面11AA C C ，则1BD AO ⊥，故正确；D.因为11116,22A O C O A C a ===，2221111AO C O AC +≠，所以11,A O C O 不垂直，则1AO 与平面1BDC 不垂直，故错误；故选：ABC10.设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为12,F F ，P 是C 上的动点，则（）A.12||||22PF PF +=B.离心率62e =C.短轴长为2，长轴长为4D.12F PF ∠不可能是钝角【答案】AD 【解析】【分析】利用椭圆的定义及性质逐一判断即可.【详解】 椭圆22:12x C y +=，2,1,1a b c ∴===，12||||222PF PF a ∴+==，A 正确；离心率22c e a ===，B 错误；短轴长为22b =，长轴长为2a =，C 错误；当点P 在椭圆短轴端点处时，12F PF ∠最大，此时()2221222224cos 0222a a c F PF a +-+-∠===⨯，得1290F PF ∠= ，故12F PF ∠不可能是钝角，D 正确.故选：AD .11.给出下列命题，其中正确的是（）A.若直线l 的方向向量(0,1,1)a =-，平面α的法向量()1,1,1n =-- ，则l ∥α；B.若平面α，β的法向量分别为12(0,1,3),(1,6,2)n n ==-，则αβ⊥；C.若平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，向量()1,,=rn u t 是平面α的法向量，则1u t +=；D.若点()()1,2,3,1,1,5A B -，点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C【答案】BC 【解析】【分析】对于A ：通过计算n a ⋅ 以及线面平行的判定来判断；对于B ：通过计算21n n ⋅u r u u r 来判断；对于C ：通过计算AB n ⋅以及AC n ⋅ 来得答案；对于D ：求出对称点，然后利用距离公式计算．【详解】对于A ：(),(0,01,11,11)a n ⋅=--⋅-= ，则a n ⊥，又直线l 可能在平面α外，也可能在平面α内，故l ∥α或l ⊂α，A 错误；对于B ：12(0,1,3)(1,6,2)0n n ⋅=⋅-=，则αβ⊥，B 正确；对于C ：()()1,1,1,12,2,A AB C =-=- ，向量()1,,=rn u t 是平面α的法向量，则10220AB n u t AC n u t ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得10u t =⎧⎨=⎩，1u t ∴+=，C 正确；对于D ：点C 是A 关于平面yOz 的对称点，且()1,2,3A ，得()1,2,3C -,则BC ==D 错误．故选：BC ．12.随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知12,F F 分别为双曲线22:14x C y -=的左，右焦点，过C 右支上一点000(),2()A x y x >作直线l 交x 轴于04,0M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，交y 轴于点N ，则（）A.C 的渐近线方程为12y x =±B.过点1F 作1F HAM ⊥，垂足为H ，则2OH =C.点N 的坐标为010,y ⎛⎫⎪⎝⎭D.四边形12AF NF面积的最小值为【答案】ABD 【解析】【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A 项；根据双曲线的光学性质可推得点H 为1F E 的中点.进而得出212OH F E =，结合双曲线的定义，即可判断B 项；由已知可得20044N N x y y y -+=，进而结合双曲线方程，即可得出点N 的坐标，即可判断C 项；由121212AF NF AF F NF F S S S =+V V ，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D 项.【详解】对于A 项，由已知可得2a =，1b =，所以双曲线的渐近线方程为12y x =±，故A 项正确；对于B 项，如图，000020000444AM y x y x k x y x x ===--，且满足220044x y -=，所以直线AM 的方程为00014x y x y y =-，联立000221414x y x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩化简得220020x x x x -+=，由于220440x x ∆=-=，即AM 为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，AM 平分12F AF ∠，延长1F H 与2AF 的延长线交于点E .则AH 垂直平分1F E ，即点H 为1F E 的中点.又O 是12F F 的中点，所以()221122OH F E AE AF ==-()12122AF AF a =-==，故B 项正确；对于C 项，设()0,N N y ，则000000440Ny y x x x --=--，整理可得20044N N x y y y -+=.又220014x y -=，所以有220044x y =+，所以有()2004444N N y y y y -++=，解得01N y y =-，所以N 点的坐标为010,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故C 项错误；121212AF NF AF F NF F S S S =+V V 1200112F F y y ⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭12≥⨯=，当且仅当001y y =，即01y =±时，等号成立.所以，四边形12AF NF面积的最小值为D 项正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用光学性质得点H 为1F E 的中点，结合双曲线的定义求解OH ，注意平面几何的特性是解决此类问题的捷径.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13.两平行直线3210x y +-=与6410x y ++=之间的距离为______.【答案】26【解析】【分析】根据两条平行直线间的距离公式，即可得解.【详解】将直线6410x y ++=化为13202x y ++=，所以这两条平行直线间的距离为1|1|226d --==.故答案为：26.14.已知方程22121x y m m -=++表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______．【答案】32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】直接根据椭圆标准方程与椭圆焦点位置的关系列不等式求解.【详解】方程22121x y m m -=++，即22121x y m m +=+--表示焦点在y 轴上的椭圆，得120m m -->+>，解得322m -<<-.故答案为：32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =且1AB AD ==，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长为______．【解析】【分析】将侧面11AA D D 、侧面11CC D D 延展至同一平面，分析可知，当点1A 、M 、C 三点共线时，1A M MC+取最小值，推导出点M 为棱1DD 的中点，再利用勾股定理可求得线段1B M 的长.【详解】将侧面11AA D D 、侧面11CC D D 延展至同一平面，如下图所示：当点1A 、M 、C 三点共线时，1A M MC +取最小值，在上图矩形11AA C C 中，11A D CD =，11//A D CD ，则1111D M A D DM CD==，即1DM D M =，此时，点M 为1DD 的中点，如下图所示，连接11B D ，易知四边形1111D C B A 是边长为1的正方形，则11B D ===，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以，111DD B D ⊥，又因为M 为1DD 的中点，所以，11112122D M DD ==⨯=，由勾股定理可得1B M =.16.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若12F PF △的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为______．【答案】35##0.6【解析】【分析】由正弦定理得到R =，再根据三角形面积公式和余弦定理得到)3a c r -=，从而根据3R r=得到方程，求出离心率.【详解】由题意得122F F c =，由正弦定理得12122sin 2F F F PF R ∠==，故R =，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故()()12212112PF F S PF PF F F r a c r =++=+V ，又121212211sin 2PF F S PF PF F PF PF =⋅∠=⋅V ，由余弦定理得()2222212121212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅，即222112424122a PF PF c PF PF -⋅-=⋅，解得2212443a cPF PF -⋅=，故())222244334a c a c a c r--+==，解得)3a c r -=，因为3R r=)33ac =-⨯，解得35c a =.故答案为：35四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,2)A -，(3,4)B -，(0,6)C .（1）求BC 边上的高所在的直线方程；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3210x y +-=；（2）5【解析】【分析】（1）写出BC 边所在的直线的斜率，即可求出BC 边上高的斜率，根据点斜式写出方程；（2）利用点到直线的距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底BC，即可得解.【详解】（1）直线BC 的斜率6420(3)3BC k -==--，则BC 边上高所在直线斜率32k =-，则BC 边上的高所在的直线方程为32(1)2y x -=-+，即3210x y +-=.（2）BC 的方程为263y x =+，23180x y -+=.点A 到直线BC 的距离13d ==，||BC ==，则ABC ∆的面积11||52213S BC d ==⨯【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属于中档题.18.已知直线l 经过两条直线2x ﹣y ﹣3＝0和4x ﹣3y ﹣5＝0的交点，且与直线x +y ﹣2＝0垂直．（1）求直线l 的方程；（2）若圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为，求圆C 的标准方程．【答案】（1）1y x =-（2）()2234x y -+=【解析】【分析】（1）先求得直线230x y --=和直线4350x y --=的交点坐标，再用点斜式求得直线l 的方程.（2）设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，根据已知条件列方程组，求得,a r ，由此求得圆C 的标准方程.【小问1详解】230243501x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩.直线20x y +-=的斜率为1-，所以直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为()112,1y x y x -=⨯-=-.【小问2详解】设圆的标准方程为()222x a y r -+=，则()2222213,2a r a r r ⎧-=⎪⎪⇒==⎨+=⎪⎪⎩，所以圆的标准方程为()2234x y -+=.19.直三棱柱111ABC A B C -中，110,8,6,8AB AC BC AA ====，D 为线段AB上一动点．（1）当D 为线段AB 的中点时．证明：1//AC 平面1B CD（2）当13BD AB =时，求直线1B B 与平面1CDB 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用三角形中位线性质可得1//DE AC ，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）利用勾股定理可得ACBC ⊥，从而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即可得解.【小问1详解】连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，如图，四边形11BCC B 为平行四边形，E ∴为1BC 的中点，又D 为AB 的中点，1//DE AC ∴，DE ⊂ 平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，1//AC ∴平面1B CD .【小问2详解】因为110,8,6,8AB AC BC AA ====，所以222AC BC AB +=，故AC BC ⊥，又在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，则以C 为坐标原点，1,,CB CA CC 正方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如图，则()0,0,0C ，()6,0,0B ，()16,0,8B ，()0,8,0A ，设(),,0D a b ，由13BD AB =得：3BA BD = ，即()()6,8,036,,0a b -=-，解得4a =，83b =，84,,03D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，84,,03CD ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，()16,0,8CB = ，设平面1CDB 的法向量(),,n x y z = ，则18403680CD n x y CB n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令6y =，则4x =-，3z =，()4,6,3n ∴=- ，又()10,0,8BB = ，设直线1B B 与平面1CDB 所成角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则111361sin cos ,61BB n BB n BB nθ⋅===⋅ ，所以直线1B B 与平面1CDB.20.已知双曲线222:1(0)y E x b b -=>，点()2,3P --在E 上．（1）求E 的方程；（2）过点()0,1Q -的直线l 交E 于不同的两点A ，B （均异于点P ），求直线PA ，PB 的斜率之和．【答案】（1）2213y x -=（2）3【解析】【分析】（1）将点P 坐标代入，即可得出答案；（2）设出l 的方程为1y kx =-，联立直线与双曲线的方程得出()223240k x kx -+-=，根据已知求出k 的范围.设()()1122,,,A x y B x y ，进而根据韦达定理得出12,x x 的关系，表示出斜率，求和化简即可得出答案.【小问1详解】将点()2,3P --代入双曲线方程可得，()()222321b ---=，解得23b =，所以，E 的方程为2213y x -=.【小问2详解】由已知易得直线l 的斜率一定存在，设斜率为k ，则l 的方程为1y kx =-.联立直线与双曲线的方程22131y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()223240k x kx -+-=，则()()()222230Δ21631240k k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=-->⎪⎩，解得2<<2k -且k ≠.设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理可得1221222343k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，则12123322PA PB y y k k x x +++=+++()()()()()()122112323222y x y x x x +++++=++()()()()()12211212222224kx x kx x x x x x +++++=+++()()()12121212222824kx x k x x x x x x ++++=+++()()()()()2282228342243k k k k k k -++-+-=-+-+-221212243448k k k k --+==--+.21.如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在平面相互垂直，已知4,2BC AB AD ===．（1）求证：AC BF ⊥；（2）在线段BE 上是否存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF ？若存在，求出||||PE BP 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，||3||2PE BP =【解析】【分析】（1）先得到AF ⊥面ABCD ，则AF AC ⊥，再过A 作AH BC ⊥于H ，由勾股定理得到AC AB ⊥，由此可证明AC BF ⊥；（2）分别以,,AB AC AF 方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出线段BE 上存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF ．【小问1详解】平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，又AF AD ⊥，AF ⊂平面ADEF ，AF ∴⊥面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，AF AC ∴⊥，过A 作AH BC ⊥于H，则31 ,BH AH CH ===222 ,AC AB AC BC AC AB ∴=∴+=∴⊥，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面FAB ，AC ∴⊥面FAB ，又BF ⊂面FAB ，AC BF ∴⊥；【小问2详解】由（1）知,,AF AB AC 两两垂直，分别以,,AB AC AF 方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，，则()()()()0,0,0,2,0,0,,A B C E -，假设在线段BE 上存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF 设||,0||BP PE λλ=>，则()()()222,0,02,0,02,,11111AP AB BP BE λλλλλλλλλ⎛⎫-=+=+=+-= ⎪ ⎪+++++⎝⎭ ，设平面PAC 的一个法向量为(),,m x y z = ，由()22,,,0,111AP AC λλλλλ⎛⎫-== ⎪ ⎪+++⎝⎭得2201110m AP x y z m AC λλλλλ⎧-⋅=++=⎪+++⎨⎪⋅==⎩，取1x =得21,0,2m λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设平面BCEF 的一个法向量为(),,n a b c = ，，()(),BC BE =-=-，得20320n BC a n BE a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1a =得1,,13n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，平面PAC ⊥平面BCEF21002m n λλ-∴⋅=++= ，解得23λ=，||2||3BP PE ∴=，即||3||2PE BP =∴在线段BE 上存在一点P ，使得平面PAC ⊥平面BCEF ，且||3||2PE BP =.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点为A 椭圆C 的右顶点，点B 为椭圆上一动点，O 为坐标原点，若OAB 面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=，求MON △面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）1【解析】【分析】（1）当点B 为椭圆短轴端点时，OAB 面积最大，从而得到,a b 关系，结合离心率，222a b c =+，求出2a ，2b ，得到椭圆方程.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离求点O 到直线l 的距离，写出三角形面积公式，再利用换元法，结合二次函数求最值.【小问1详解】当点B 为椭圆短轴端点时，OAB 面积的最大值为1，此时112S a b =⨯⨯=，即2ab =，又因为32c a =，222a b c =+，所以24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()222148440k x kmx m +++-=，由()()22222264414446416160k m km k m ∆=-⨯+⨯-=-+>，得2241k m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+，因为54OM ON k k ⋅=，所以121254y y x x =，所以()()121254kx m kx m x x ++=，即()()()2222224518410k m k m m k ---++=，即2254k m +=，因为2241k m +>，即2605m <<，215204k <<2220114MN k ==+点O 到直线l的距离为d =12MON S MN d =⨯⨯= ，令214k t +=，所以665t <<，11566t <<，MON S==1=≤，所以当112t =时，即12k =±时，MON △面积最大，最大值为1.。
重庆市第十一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
重庆市第十一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．直线l 过(,),(,)()P b c b Q a c a a b ++≠两点，则直线l 的斜率为（）A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．1D ．1-2．若平面α的法向量为()4,4,2n =--，方向向量为(),2,1x 的直线l 与平面α垂直，则实数x =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-3．圆心为(1,1)-且过原点的圆的一般方程是（）A ．22220x y x y ++-=B ．22220x y x y +-+=C ．22220x y x y +--=D ．222210x y x y ++-+=4．椭圆22221x y a b +=和2222(0,0,,0)x y k a b a b k a b+=>>≠>一定具有（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长轴长5．如图，三棱锥O ABC -中,,OA a OB b OC c === ，点N 为BC 中点，点M 满足2AM MO =，则MN =（）A ．111233a b c-- B ．111322a b c-++C ．211322a b c-++D ．121332a b c-+6．若圆221:4C x y +=与圆222:()()1C x a x a -++=有公切线，则实数a 的范围是（）A ．[,]22-B ．,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．(,1][1,)-∞-+∞D ．[1,1]-7．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆E 上，若离心率e 满足12PF e PF =，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（）A ．(1⎤⎦B ．20,2⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．)1,18．已知22221122121216(,,,R)x y x y x x y y +=+=∈，且12120x x y y +=，则代数式221212()(x x y y +++-的最小值为（）A ．B ．18C ．12D ．8二、多选题9．已知直线1:10l ax y ++=，直线2:10l x ay +-=，则下列说法正确的是（）A ．若12l l //，则1a =或1a =-B ．若12l l ⊥，则0a =C ．直线1l 过定点()0,1-D ．若直线2l 与坐标轴围成的三角形的面积为12，则1a =10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=，则下列说法正确的是（）A ．四叶草曲线有四条对称轴B ．设P 为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过P 作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为18C ．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为14D ．四叶草曲线的面积小于π411．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，动点M 满足()1,,AM xAB y AD z AA x y z =++∈R，则（）A ．当10,2x y z ===时，则三棱锥M ABD -的体积为112B ．当11,2x y z ===时，直线AM ⊥平面1A BD C ．当1,12x y z ===时，直线//AM 平面1C BD D ．当1x y z ++=且23AM =时，点M 的轨迹长度为2π3三、填空题12．已知直线：1:210l x y +-=与直线2:2430l x y ++=，则这两直线之间的距离为．13．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是正三角形，E 是PC 的中点，则异面直线DE 与PB 所成角的余弦值是．14．已知P ，Q 为椭圆2212516x y+=上的动点，直线PQ 与圆22():21M x y -+=相切，切点A 恰为线段PQ 的中点，当直线PQ 斜率存在时点A 的横坐标为．四、解答题15．已知ABC V 的顶点坐标分别为(2,4)A -，(1,3)B -，(2,6)C ．(1)求边AB 的垂直平分线l 的方程；(2)求三角形ABC 的外接圆方程．16．在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，1,,2AB AC AB AC AA AB ⊥==，点M 在侧棱1CC 上，且满足114CM CC =．(1)求证：1BM A C ⊥；(2)求直线1BA 与平面ABM 所成的角的正弦值．17．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴长为3M 在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线y kx =E 相交于不同的两点P 和Q ，当PQ =时，求实数k 的值．18．如图1所示的图形中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD △和BCQ △均为直角三角形，90PDA QCB ∠=∠=︒，22PD AD CQ ===，现沿AD 和BC 将PAD △和BCQ △进行翻折，使//PD QC （,PD QC 在平面ABCD 同侧），如图2（或图3）(1)证明：//BQ 平面PAD ；(2)如图2，若PD ⊥平面ABCD ，求点Q 到平面PBD 距离；(3)如图3，若二面角P AD B --为120︒时，判断平面PBQ 与平面PBD 是否垂直？19．已如椭圆222:1(0)2x y E b b +=>的焦点在x 轴，离心率22e =，点P 在直线2x =上．(1)求实数b 的值；(2)设F 是椭圆E 的右焦点，若Q 是椭圆E 上一点，且满足0PF QF ⋅=，设直线PQ 和直线OQ（O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，证明：1212k k ⋅=-；(3)若点P 的纵坐标为12，过P 作直线l 交椭圆E 于不同的两点M 和N ，在线段MN 上取点H （异于,M N 两点）满是PM HMPN HN=，证明：点H 在定直线上．。
重庆市渝高2024-2025学年高二上学期期中联合检测数学试题含答案
高2026届高二（上）期中联合检测数学试题（答案在最后）（满分150分.考试用时120分钟.）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校姓名、考试室号、座位号填写在答题卷上.考生要认真核对答题卷条形码上的信息与本人所填写信息是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束.监考人员将试卷、答题卷一并收回.一、单选题（每题5分）1.直线310y --=的倾斜角为（）A.30oB.60oC.120D.150【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可求解.【详解】将直线变形为13y =-，即斜率为33k =，设直线的倾斜角为θ，则3tan 3θ=，因为0180θ︒≤<︒，所以30θ=︒.故选：A.2.已知0,0a b >>，若直线1:20l ax by +-=与直线()2:2110l x a y +-+=垂直，则2+a b 的最小值为（）A.1B.3C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得211b a+=，在利用基本不等式即可求得2+a b 的最小值.【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，又因为两直线垂直，所以斜率乘积为1-，即211a b a ⎛⎫-⨯-=- ⎪-⎝⎭，即2a b ab +=，整理可得211b a+=，所以()21222214529ab a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==时，等号成立；因此2+a b 的最小值为9.故选：D3.椭圆2214x y m +=的焦距是2，则m 的值是（）A.3 B.5C.3或5D.不存在【答案】C 【解析】【分析】分焦点在x 轴和y 轴上两种情况求解即可.【详解】∵22c =，∴1c =．当椭圆的焦点在x 轴上时，2a m =，24b =，24c m =-．∴41m -=，5m =．当圆的焦点在y 轴上时，24a =，2b m =，∴241c m =-=，∴3m =．综上，m 的值是3或5．故选：C4.已知圆C 经过点()1,1-和点()1,3B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（）A.()2222x y ++= B.()22210x y -+=C.()2222x y +-= D.()22210x y ++=【答案】C 【解析】【分析】先利用待定系数法求得圆C 的一般方程，进而得到圆C 的标准方程.【详解】设圆C 的方程为22+=0x y Dx Ey F +++，则圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则有110021930D E F DD E F +-++=⎧⎪⎪-=⎨⎪++++=⎪⎩，解之得042D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,则有圆C 的方程为224+2=0x y y +-，即()2222x y +-=故选：C5.已知点(),x y是曲线y =上任意一点，则23y x --的取值范围是（）A.()0,2 B.[]0,2 C.2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】在平面直角坐标系中作出曲线y =，这是一个半圆，23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论．【详解】曲线y =是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切，∴02PQ k ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．6.已知直线1:12l y x =+与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>相交于A 、B ，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率为（）A.3B.2C.2D.12【答案】B 【解析】【分析】利用点差法求得,a b 关系，再利用椭圆的离心率公式可得答案.【详解】设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，因为且AB 的中点为11,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以121211,222x x y y ++=-=，因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆C 上，所以2211221x y a b +=①2222221x y a b+=，两式相减，得()()()()222121212121122222220x x x x y y y y x y x y a b a b+-+--=+-+=，根据121211,222x x y y ++=-=，上式可化简为()12122220x x y y a b ---+=，整理得2122122y y b x x a -=-，又121212y y k x x -==-，所以22212b a =，即2214b a =，所以2c e a ===.故选：B.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，渐近线方程为y x =±，焦距为8，点A 的坐标为()1,3，点P 为C 的右支上的一点，则PF PA +的最小值为（）A.+B.C.D.【答案】C【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将||PF 转化为12||a PF +的形式，通过点共线判断并计算PF PA +的最小值即可.【详解】如图所示由题意知222128b ac c a b⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩，解得 4.a b c ===记C 的右焦点为1F ，即()14,0F ，由双曲线的定义，得1||||2PF PF a -==，即1||||PF PF =所以11PF PA PA PF AF +=++≥=+=，当且仅当点P 在线段1AF 上时等号成立,所以PF PA +的最小值为.故选：C.8.如图，已知抛物线24y x =，圆22:20C x y x +-=，过C 点的直线l 与抛物线和圆依次交于P ，M ，N ，Q，则PM QN ⋅等于（）A.1B.2C.4D.8【解析】【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，由抛物线的焦半径公式求得PM ，QN ，按直线斜率存在和不存在分类讨论，斜率不存在时直接求出21x x ，斜率存在时，设出直线方程，代入抛物线方程后应用韦达定理得结论．【详解】圆()22:11C x y -+=，点C 与抛物线的焦点重合，设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以()11111PM PC x x =-=+-=，()22111QN QC x x =-=+-=，∴12PM QN x x ⋅=．①当直线l 的斜率不存在时，:1l x =，∴121x x =；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠),与抛物线方程24y x =联立消y ，得()2222240k x k x k -++=，∴121x x =．综上，121PM QN x x ⋅==.故选：A ．二、多选题（每题6分）9.已知直线:210l x my ++=，圆22:3E x y +=，则下列说法正确的是（）A.直线l 必过点()1,0B.直线l 与圆E 必相交C.圆()(22:312F x x -+-=与圆E 有3条公切线D.当12m =时，直线l 被圆E 【答案】BC 【解析】【分析】由直线方程确定过定点(1,0)-，判断定点与圆22:3E x y +=位置关系判断A 、B ；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C ；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长.【详解】A ：由:210l x my ++=，则必过定点(1,0)-，错；B ：将定点(1,0)-代入圆，有22(1)013-+=<，故点(1,0)-在圆内，即直线l 与圆E 必相交，对；C ：由题设(0,0)E 且半径为1r =F 且半径为2r =，所以12||EF r r ==+，即两圆外切，故两圆有3条公切线，对；D ：由题设:10l x y ++=，则(0,0)E 到直线l 的距离d =故直线l 被圆E 截得的弦长为=.故选：BC10.已知抛物线C 过点()1,4A -，则（）A.拋物线C 的标准方程可能为216y x =B.挞物线C 的标准方程可能为214x y =-C.过点A 与抛物线只有一个公共点的直线有一条D.过点A 与抛物线只有一个公共点的直线有两条【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解.【详解】对于选项A ，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为22y px =，将()1,4A -代入抛物线C 中得8p =，则拋物线C 的方程为216y x =，故A 正确；对于选项B ，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为22x py =-，将()1,4A -代入拋物线C 中得18p =，则抛物线C 为214x y =-，故B 正确；对于C 、D 选项，过点A 与对称轴平行的直线，以及抛物线在点A 处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C 错误，D 正确.故选：ABD.11.“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q 点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R ，圆形轨道Ⅲ的半径为r ，则以下说法正确的是（）A.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R r -B.C.若r 不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随R 的增大而增大D.若R 不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随r 的增大而增大【答案】AC 【解析】【分析】根据图中几何关系列方程组求出a ，c ，然后可得b ，可判断AB ；分离常数，利用反比例函数的性质可判断CD .【详解】在椭圆中，由图可知2PQ a R r a c QF r==+⎧⎨-==⎩，解得,22R r R ra c +-==，所以b ==2,2c R r b =-=，A 正确，B 错误；21c R r r e a R r R r -===-++，当r 不变时，由反比例函数的性质可知，函数2()1r f R R r =-+在(0,)+∞上单调递增，C 正确；21c R r R e a R r R r-===-+++，当R 不变时，由反比例函数的性质可知，函数2()1R f r R r =-++在(0,)+∞上单调递减，D 错误.故选：AC三、填空题（每题5分）12.过点()1,1作圆222x y +=的切线，则切线方程为______.【答案】20x y +-=【解析】【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.【详解】由题意可知：圆222x y +=的圆心为()0,0，因为点()1,1在圆222x y +=上，故切线必垂直于切点与圆心连线，而切点与圆心连线的斜率为10110-=-，故切线的斜率为1-，故切线方程为：()11y x -=--即20x y +-=.故答案为：20x y +-=.13.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 为抛物线C 上任意一点，若点()4,2A ，则PFPA +的最小值为___________；【答案】5【解析】【分析】设点P 在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．【详解】抛物线C：y 2=4x 的准线为x=﹣1．设点P 在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．当D，P，A 三点共线时，|PA|+|PD|最小，为4﹣（﹣1）=5．故答案为5．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．14.若双曲线22221(0),0x y a b a b-=>>与直线30x y +=没有交点，则双曲线离心率的取值范围为_____．【答案】(【解析】【分析】利用双曲线渐近线方程为b y x a =±，对于y kx =与双曲线无交点只需b k a ≤-或bk a≥，可得3ba-≤-，进而求得双曲线离心率的取值范围.【详解】依题意可得双曲线渐近线方程为by x a=±，直线30x y +=与双曲线没有交点，则3ba-≤-，即3b a ≤，易知e ==，又已知双曲线离心率1e >,所以双曲线离心率的取值范围为(.故答案为：(四、解答题15.已知直线12:230,:2380l x y l x y -+=+-=．（1）经过点(1,4)A 且与直线1l 平行的直线；（2）经过点(1,4)A 且与直线2l 垂直的直线；（3）经过直线1l 与2l 的交点，且在两坐标上的截距相等的直线．【答案】（1）270x y -+=（2）3250x y -+=（3）2y x =或30x y +-=【解析】【分析】（1）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再根据题意求解即可；（2）根据垂直直线的直线系方程假设出直线，在根据题意求解即可；（3）先求出直线1l 与2l 的交点，再分截距为0和截距不为0两种情况讨论即可.【小问1详解】设所求直线的方程为120x y C -+=，依题意有11240C -⨯+=，解得17C =，所以所求直线方程为270x y -+=；【小问2详解】设所求直线方程为2320x y C -+=，依题意有231240C ⨯-⨯+=，解得25C =，所以所求直线方程为3250x y -+=；【小问3详解】联立2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 与2l 的交点为()1,2，当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为y kx =，代入()1,2得2k =，此时2y x =；当直线的截距都不为0时，假设直线方程为1(,0)x y a b a b+=≠，依题意121a b a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3a b ==，此时直线方程为133x y +=，即30x y +-=综上所述2y x =或30x y +-=.16.已知圆C 过三点()()()1,3,1,7,4,2-．（1）求圆C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN 为等腰直角三角形，求直线l 的方程．【答案】（1）()()221225x y -++=（2）20x y -+=或80x y --=【解析】【分析】（1）根据圆过点()()1,3,1,7-，得到圆心在=2y -上，设圆心坐标(),2x -，再由圆心到圆上的点的距离相等求解；（2）设直线l 的方程为：0x y c -+=，根据CMN为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离22d r ==求解.【小问1详解】解：因为圆过点()()1,3,1,7-，故圆心在=2y -上，设圆心坐标(),2x -，则()()22125416x x -+=-+，解得1x =．故其半径5r ==．故圆的方程为：()()221225x y -++=；【小问2详解】设直线l 的方程为：0x y c -+=，因为CMN 为等腰直角三角形，∴圆心到直线的距离52d =⋅=35c +=，解得2c =或－8，所以l ：20x y -+=或80x y --=．17.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，一个焦点到该渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）经过点()1,4M 的直线l 交C 于,A B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程.【答案】（1）2214y x -=（2）3y x =+【解析】【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到2a b=，再由点到线的距离公式求出c ，最后根据222c a b =+计算可得；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，利用点差法计算可得；【小问1详解】解：双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线为a y x b =±，即0ax by ±=，所以2a b=，又焦点()0,c 到直线2y x =的距离1d ==，所以c =，又222c a b =+，所以24a =，21b =，所以双曲线方程为2214y x -=【小问2详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则122x x +=，128y y +=，所以221114y x -=，222214y x -=，两式相减得22221212404y y x x +--=，即()()()()121212124y y y y x x x x -++=-即()()()()121212124y y y y x x x x -++=-，所以44k =，解得1k =，所以直线l 的方程为41y x -=-，即3y x =+，经检验直线:3l y x =+与双曲线C 有两个交点，满足条件，所以直线l 的方程为3y x =+.18.已知抛物线2:2(03)C y px p =<<，其焦点为F ，点(,Q m 在抛物线C 上，且4QF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，,A B 为抛物线上不同的两点，且OA OB ⊥，（i ）求证直线AB 过定点；（ii ）求AFO V 与ABO 面积之和的最小值．【答案】（1）24y x=（2）（i ）证明见解析；（ii ）【解析】【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可.（2）（i ）设出x sy t =+，利用给定条件建立方程求出4t =，最后得到定点即可.（ii ）利用三角形面积公式写出面积和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.【小问1详解】抛物线2:2(03)C y px p =<<，其焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，可得42p QF m =+=，且212pm =，解得2p =（另一个根舍去），3m =，则抛物线的方程为24y x =；【小问2详解】（i ）如图，设AB 的方程为x sy t =+，1122()A x y B x y ,,(,)，联立24x sy t y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y sy t --=，则216160s t +>，又124y y t =-，221212()16y y x x t ==，由OA OB ⊥，可得2121240x x y y t t +=-=，解得4t =（另一个根舍去），所以直线AB 恒过定点(4,0)N ；（ii ）由上小问可得120y y <，不妨设210,0y y <>，则AFO V 与ABO 面积之和为1121122S y OF y y ON =⋅+-⋅，12121152()2822y y y y y =-+-=-≥，当且仅当15y =-，2y =时，上式取得等号，则AFO V 与ABO 面积之和的最小值为．19.若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.（1）证明：椭圆224122554y x +=为“质朴椭圆”.（2）是否存在实数m ，使得椭圆()22103636x y m m+=<<为“质朴椭圆”？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.（3）设斜率为2的直线l 经过椭圆()222:1039x y C b b+=<<的右焦点，且与C 交于A ，B 两点，6011AB =，试问C 是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在实数m ，理由见解析（3）C 为“质朴椭圆”，理由见解析【解析】【分析】（1）（2）根据椭圆的方程可得焦距与离心率，再根据“质朴椭圆”的定义判断即可；（3）联立直线与椭圆，根据韦达定理及弦长公式可得b ，进而可判断.【小问1详解】由已知椭圆224122554y x +=，即152a =，b =，则32c ==，所以焦距23c =，离心率15c e a ==，即15e=，所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，即椭圆为“质朴椭圆”；【小问2详解】椭圆()22103636x y m m+=<<的焦距为，离心率6e ==，若存在实数m ，使得椭圆()22103636x y m m+=<<为“质朴椭圆”，则均为质数，又012<<，所以2=，3，5，7，11，1=，32，52，72，112，6=，4，125，127，1211，这些数都不是质数，所以不存在实数m，使得椭圆()22103636x y mm+=<<为“质朴椭圆”；【小问3详解】设C的右焦点为(),0c(c=，则直线l方程为()2y x c=-，设直线l与椭圆的交点为1,1，2,2，联立()222219y x cx yb⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()222236723690b x cxc b+-+-=，0∆>，则1222727293636cx xb b+==++，2221222369324453636c b bx xb b--==++，2230603611bABb==+，解得28b=，则C的焦距为22c==为质数，离心率13cea==，其倒数13e=为质数，所以C为“质朴椭圆”.。
重庆市中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024学年半期测试高二（上）数学试题（答案在最后）数学试题卷共4页，考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()1,,2a y = ，()1,1,1b =--，且a b ⊥ ，则y 等于（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】A 【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数y 的值.【详解】由已知可得120a b y ⋅=--=，解得1y =-.故选：A.2.已知点1,3A （），5,7B （），则线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为（）A.250x y +-=B.80x y +-=C.230x y ++=D.60x y ++=【答案】B 【解析】【分析】先求出线段AB 的中点坐标及直线AB 的斜率，再通过垂直求出其垂直平分线的斜率，最后利用点斜式即可求出方程.【详解】线段AB 的中点为()3,5，73151AB k -==-，则线段AB 垂直平分线的斜率为1-，则线段AB 垂直平分线方程为()513y x -=-⨯-，即80x y +-=.故选：B.3.如图，空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c=== ，，，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则NM =（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.211322a b c +- 【答案】C 【解析】【分析】由空间向量基本定理求解即可.【详解】解：由2OM MA =，点N 为BC 的中点，可得()2121132322NM OM ON OA OB OC OA OB OC =-=-+=--，又OA a OB b OC c ===，，，211322NM a b c ∴=-- ．故选：C .4.直线1y x =-被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点坐标是（）A.13,23⎛⎫-⎪⎝⎭B.233,1⎛⎫-⎪⎝⎭C.12,13⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】联立方程组，求出弦的中点的横坐标，代入直线方程，即可求出纵坐标.【详解】设弦为AB ,1122(,),(,)A x y B x y ,由22124y x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得222(1)4x x +=-，即23230x x --=.()()22433400∆=--⨯⨯-=>，1223x x +=，所以弦的中点的横坐标是12123x x x +==，代入直线方程1y x =-中，得23y =-.所以弦的中点坐标是12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.5.已知圆C 过点(7,2)A -，(4,1)B ，且圆心在x 轴上，则圆C 的方程是（）A.22(5)8x y -+=B.22(6)5x y -+= C.22(5)4x y -+= D.22(4)13x y -+=【答案】B 【解析】【分析】根据圆心在x 轴上，设出圆C 的方程，把点(7,2)A -，(4,1)B 的坐标代入圆的方程即可求出答案.【详解】因为圆C 的圆心在x 轴上，所以设圆C 的方程为()222x a y r -+=，因为点(7,2)A -，(4,1)B 在圆C 上，所以()()22227441a r a r⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得26,5a r ==，所以圆C 的方程是22(6)5x y -+=.故选：B.6.已知不全为0的实数,,a b c 满足2b a c =+，则直线0ax by c -+=被曲线22220x y x y +--=截得的弦长的最小值为（）．A.B.1C. D.2【答案】D 【解析】【分析】将代入2b a c =+直线方程0ax by c -+=中，得出直线0ax by c -+=过定点()1,2A ，则当圆心与()1,2A 连线垂直于直线0ax by c -+=时，弦长最小，然后根据垂定定理求解.【详解】因为2b a c =+，所以直线0ax by c -+=可化为()()220a x y c y -+-=，则0ax by c -+=过定点()1,2A ，又22220x y x y +--=可化为()()22112x y -+-=，因此当圆心()1,1C 与()1,2A 连线垂直于直线0ax by c -+=时，直线0ax by c -+=被曲线22220x y x y +--=截得的弦长最小，此时最小值为2==.故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的相交弦长计算问题，考查弦长最值的求解，难度一般，关键在于分析出直线过定点，然后分析当弦长取得最值时的条件.7.已知EF 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M 在正方体表面上运动，则ME MF ⋅的最小值为（）A.48-B.32- C.16- D.0【答案】B 【解析】【分析】本题通过基底法，得到22||||ME MF MO OE ⋅=-，再通过立体图得到OE 的值，以及MO 的最小值，最终代入数据得到最小值.【详解】如图EF 为棱长为8的正方体外接球的一条直径,O 为球心，M 为正方体表面上的任一点则球心O 也就是正方体的中心，所以正方体的中心O 到正方体表面任一点M 的距离的最小值为正方体的内切球的半径,它等于棱长的一半，即长度为4，,EF 的长为正方体的对角线长，为我们将三角形MEF 单独抽取出来如下图所示：()()ME MF MO OE MO OF ⋅=+⋅+ ()()MO OE MO OE =+⋅- 22||||MO OE =- 2283||2MO ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 2||48MO =- 所以ME MF ⋅的最小值为244832-=-.故选：B.【点睛】将空间向量知识与正方体结合考察最值问题，难度较大，需要一定空间想象能力以及向量基底法的熟练运用，平时要多加训练.8.已知O 为坐标原点，P 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点.延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（）A.33B.22C.53D.104【答案】B 【解析】【分析】由椭圆的对称性，及QF FR ⊥，得四边形1PFQF 为矩形，设PF m =，利用椭圆的定义，及条件所给出的长度关系，可表示出23a m FR -=，143a m F R +=，223a mPR +=，利用勾股定理，求出m ，推断出点P 的位置，求出离心率.【详解】如图，设左焦点为1F ，连接1PF ，1QF ，1RF ，由题，P ，Q 关于原点对称，所以四边形1PFQF 为平行四边形，又因为QF FR ⊥，所以四边形1PFQF 为矩形.设PF m =，则12QF PF a m ==-，又因为3QF FR =，则23a m FR -=，143a m F R +=，223a mPR +=，在1Rt F PR △中，22211PF PR F R +=，即()222224233a m a m a m ++⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m a =或2m a =（舍去），故点P 为椭圆的上顶点.由1F P PF ⊥，所以()2222a a c +=，即222a c =，所以离心率22e ==.故选：B.【点睛】解题时注意数形结合，抓住椭圆的对称性，将图形关系用含a ，b ，c 的代数式表示出来，即可求解离心率.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若()1,,2a λ=-- ，()2,1,1b =- ，a 与b的夹角为120 ，则λ的值为（）A.17 B.17- C.1- D.1【答案】AC 【解析】【分析】根据空间向量夹角公式计算可得答案.【详解】因为()1,,2a λ=-- ，()2,1,1b =- ，a 与b的夹角为120 ，所以1cos1202⋅==-⋅a b a b ，解得17λ=或1λ=-.故选：AC.10.已知直线():210l m x y m ++++=，圆22:450C x y x ++-=，则（）A.圆C 的圆心为(2,0)B.直线l 过定点()1,1-C.圆心到直线l D.无论m取何值，直线l 与圆C 相交【答案】BCD【解析】【分析】将圆的标准方程转化为一般方程可判断A,求出直线恒过的定点可判断B,C,D.【详解】由题可得()22:29C x y ++=，所以圆C 的圆心为(2,0)-，故A 错误；由()210m x y m ++++=的()2110x y m x ++++=，联立21010x y x ++=⎧⎨+=⎩解得1,1x y =-=，所以直线l 过定点()1,1-，故B 正确；直线l 过定点为()1,1P -，当CP l ⊥时，圆心到直线l的距离最大为CP ==C 正确；因为3CP ==<，所以直线l 过定点()1,1-在圆内，所以无论m 取何值，直线l 与圆C 相交，故D 正确；故选:BCD.11.已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则（）A.AB 与AC是共线向量B.直线AB 的一个方向向量是()2,1,0C.AB 与BC夹角的余弦值是11-D.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算作答.【详解】空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，对于A ，(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-，显然2112≠-，即AB 与AC不是共线向量，A 不正确；对于B ，因(2,1,0)AB =，则直线AB 的一个方向向量是()2,1,0，B 正确；对于C ，(3,1,1)BC =-，则55cos ,11||||AB BC AB BC AB BC ⋅〈〉==-，C 正确；对于D ，由选项A 知，向量(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-不共线，令()1,2,5n =- ，则211(2)050,112(2)150n AB n AC ⋅=⨯+⨯-+⨯=⋅=-⨯+⨯-+⨯= ，即,n AB n AC ⊥⊥ ，因此()1,2,5n =-是平面ABC 的一个法向量，D 正确.故选：BCD12.已知1F 、2F 分别为椭圆C ：2212x y +=的左、右焦点，不过原点O 且斜率为1的直线与椭圆C 交于P 、Q 两点，则下列结论正确的有（）A.椭圆C 的离心率为12B.椭圆C 的长轴长为C.若点M 是线段PQ 的中点，则MO 的斜率为12- D.OPQ △的面积最大值为22【答案】BCD 【解析】【分析】AB 选项，根据椭圆方程得到1a b ==，1c =，从而求出离心率和长轴长；C 选项，设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出M 点坐标，得到MO 的斜率；D 选项，在C 选项基础上，求出43PQ =O 到直线y x h =+的距离为d ==OPQ △的面积，求出最大值.【详解】AB 选项，由题意得1a b ==，故1c ==，故椭圆C 的离心率为2c a =，长轴长为2a =，A 错误，B 正确；C 选项，设不过原点O 且斜率为1的直线为y x h =+，联立2212x y +=得2232102x hx h ++-=，由()22234416202h h h ∆=-⨯-=->，解得h <<设()()1122,,,P x y Q x y ，则21212422,33h h x x x x -+=-=，则1212422233h h y y x x h h +=++=-+=，故12122,,2233x x y y h h M ++⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故MO 的斜率为13223hh =--，C正确；D 选项，由C选项可知，43PQ =⋅点O 到直线y x h =+的距离为d ==，故OPQ △的面积为114223S PQ d =⋅=⨯⋅=因为h <<203h ≤<，故当232h =时，OPQ△的面积取得最大值，最大值为2，D 正确.故选：BCD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知点()1,4A -，()2,7B 在直线l 上，则直线l 的倾斜角的大小为______.【答案】4π【解析】【分析】根据斜率公式直接计算斜率，进而确定倾斜角.【详解】直线l 的斜率为()74121k -==--，设直线l 的倾斜角为α，则tan 1α=，因为0απ≤<，所以4πα=，故答案为：4π.14.已知向量),1(4,a x = ，)2,(,1b y =-- ，)3,(2,c z =- ，且a b ∥，b c ⊥ ，则c＝__________________.【答案】(3,)2,2-【解析】【分析】由已知利用向量平行的条件列式求解,x y ，再由向量垂直的坐标运算求得z ，可得答案．【详解】(,4,1),(2,,1)a x b y ==--，且ab，∴存在实数λ，使得a b λ=，即(,4,1)(2,,1)x y λ=--，241x y λλλ=-⎧⎪∴=⎨⎪=-⎩，解得1,2,4x y λ=-==-，(2,4,1)b ∴=--- ，又)3,(2,c z =- ，且b c ⊥ ，()()()23420z ∴-⨯+-⨯--=，即2z =，)3,2(,2c ∴=-．故答案为：(3,)2,2-．15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点分别1(3,0)F -、2(3,0)F ，点A 为椭圆C 的上顶点，直线2AF ，与椭圆C 的另一个交点为B ．若125BF BF =，则椭圆C 的方程为______.【答案】221189x y +=【解析】【分析】利用定义和已知先求2BF ，再由相似三角形可得点B 坐标，代入椭圆方程可解.【详解】如图，过点B 作x 轴的垂线，垂足为M ，由定义知，122BF BF a +=，因为125BF BF =，所以23a BF =因为22F OA F MB ∽，2,AF a OA b ==，23OF c ==所以21,3b F M MB ==，所以(4,)3b B -将(4,)3b B -代入22221x y a b +=得2221691b a b +=，解得218a =所以2221899b ac =-=-=所以椭圆方程为221189x y +=.故答案为：221189x y +=16.在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y ：-+=．若存在过点()0P m ，的直线l，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是_____．【答案】()443-，【解析】【分析】根据弦长相等得22213d d -=有解，即22216833k k m k -=+，得到23138k m=-，根据2k ＞0，结合21d ＜1可解得m 的范围．【详解】直线l 的斜率k 不存在或0时均不成立，设直线l 的方程为：0kx y km --=，圆O （0，0）到直线l的距离1d =，圆C （4，0）到直线l的距离2d =l被两圆截得的弦长相等，所以，=，即22213d d -=，所以，22222221681k k m k m k m k +--+＝3，化为：22216833k k m k -=+23138k m =-＞0，得：138m <又222121k m d k =+＝2211m k +＝213813m m -+＝23168m m -＜1即238160m m +-<，解得：443m -<<,故答案为443⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆中弦长的求法，考查了运算能力，属于难题．四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的顶点(1,5),(1,1),(3,7)A B C ---．（1）求边BC 上的高AD 所在直线的方程；（2）求边BC 上的中线AM 所在直线的方程．【答案】（1）290x y +-=（2）40x y +-=【解析】【分析】（1）先求直线BC 的斜率，结合12121l l k k ⊥⇒=-，求高AD 所在直线的斜率，再利用点斜式求直线方程；（2）先根据中点坐标公式求点M 的坐标，再利用点斜式求直线方程.【小问1详解】∵直线BC 的斜率17213BC k --==--∴边BC 上的高AD 所在直线的斜率112k =-，则所求直线方程为()1512y x -=-+，即290x y +-=∴边BC 上的高AD 所在直线的方程为290x y +-=【小问2详解】∵线段BC 的中点()1,3M∴边BC 上的中线AM 所在直线的斜率53111AM k -==---，则所求直线方程为()511y x -=-+，即40x y +-=∴边BC 上的中线AM 所在直线的方程为40x y +-=18.已知圆E 经过点(0,0),(1,1),(2,0)A B C .（1）求圆E 的方程；（2）若P 为圆E 上的一动点，求ABP 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1x y -+=（2）12+【解析】【分析】（1）设出圆E 的一般方程，把点带入解出方程即可（2）分别算出直线AB 的方程、||AB 、圆心E 到直线AB 的距离即可【详解】（1）设圆E 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=由题：022004200F D D E F E D F F ⎧==-⎧⎪⎪+++=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩∴圆E 的方程为2220x y x +-=即22(1)1x y -+=（2）∵(0,0),(1,1)A B ∴AB 的方程：0x y -=，且||AB =∴圆心(1,0)E 到直线AB的距离为2d ==∴点P 到直线AB 的距离的最大值为12+∴111||1122222ABP S AB ⎛⎫⎛⎫≤⨯⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△【点睛】圆中的最值问题一般向圆心进行转化，如本题，圆上一点到一直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.19.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 和侧面11AA B B 都是正方形且互相垂直，M 为1AA 的中点，N 为1BC 的中点.求证：（1）//MN 平面111A B C ；（2）平面1MBC ⊥平面11BB C C .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定得到1AA ⊥平面111A B C .然后利用向量的数量积为零得到1MN AA ⊥，进而得证；（2）分别求出平面1MBC 与平面11BB C C 的法向量，利用向量的数量积为零得到12n n ⊥ ，进而得到平面1MBC ⊥平面11BB C C .【小问1详解】由题意，知1,,AA AB AC 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以1,,AA AB AC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形11AA C C 的边长为2，则()000A ，，，1(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,2,0)B ，(0,0,2)C ，1(2,0,2)C ，(1,0,0)M ，(1,1,1)N .由题意知111AA A B ⊥，111AA A C ⊥，又因为11111A C A B A = ，1111,A C A B ⊂平面111A B C ，所以1AA ⊥平面111A B C .因为1(2,0,0)AA = ，(0,1,1)MN = ，所以10MN AA = ，即1MN AA ⊥.又因为MN ⊄平面111A B C ，故//MN 平面111A B C .【小问2详解】设平面1MBC 与平面11BB C C 的法向量分别为1111(,,)n x y z = ，1222(,,)n x y z = .因为(1,2,0)MB =- ，1(1,0,2)MC = ，所以111·0·0n MB n MC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即11112020x y x z -+=⎧⎨+=⎩，令12x =，则平面1MBC 的一个法向量为1(2,1,1)n =- .因为1(2,0,0)BB = ，11(0,2,2)B C =- 可得21211·0·0n BB n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即22220220x y z =⎧⎨-+=⎩，令21y =，则平面11BB C C 的一个法向量为2(0,1,1)n = .因为122011(1)10n n =⨯+⨯+-⨯= ，所以12n n ⊥ ，所以平面1MBC ⊥平面11BB C C .20.已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为(F .（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 是椭圆E 的右焦点，过点F 且斜率为1的直线交椭圆E 于,M N 两点，求AMN 的面积.【答案】（1）2214x y +=（2）465【解析】【分析】（1）依题意可得222222a b c c a b =⨯⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得a 、b ，即可求出椭圆方程；（2）首先求出直线方程，设()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据1212AMN S AF y y =- 计算可得；【小问1详解】解：依题意222222a b c c a b =⨯⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】解：依题意)A，过()F 且斜率为1的直线为y x =+，设()11,M x y 、()22,N x y，则2214y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去x整理得2510y --=，所以125y y +=，1215y y -=，所以121122AMN S AF yy =-= 125=⨯=21.如图，在多面体ABCDE中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，2AC BE ==，M 为线段CD上一点．（1）求证：DE AM ⊥；（2）若EM 与平面ACD 所成角为π3，求平面AMB 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】【分析】（1）取AC 中点O ，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明//DE OB 即可推理作答.（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【小问1详解】取AC 中点O ，连接DO 、OB ，在正ACD 和正ABC 中，2AC =，则,,DO AC BO AC DO BO ⊥⊥==，而平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，BO ⊂平面ABC ，于是DO ⊥平面ABC ，BO ⊥平面ACD ，又BE ⊥平面ABC ，即有//DO EB ，而DO EB ==因此四边形DOBE 是平行四边形，则//DE OB ，从而DE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ADC ，所以DE AM ⊥.【小问2详解】由（1）知，DE ⊥平面ADC ，EMD ∠为EM 与平面ADC 的所成角，即π3EMD ∠=，在Rt EDM △中，1πtan 3DE DM ===，即M 为DC 中点，由（1）知，,,OB OC OD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则1(0,1,0),(0,0,(0,1,0),(0,,)22A B D C M -，3(0,,)22AB AM ==，显然平面DAC 的一个法向量为1(1,0,0)= n ，设平面MAB 的一个法向量为2(,,)n x y z = ，则2203022n AB y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，得2(1,n =，121212|||cos ,|13||||n n n n n n ⋅〈〉== ，所以平面AMB 与平面ACD所成锐二面角的余弦值为13．22.如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和圆2222:C x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C右焦点到右顶点的距离为3-，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线,EA EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P ，M ．求证：直线PM 经过定点．【答案】（1）2219x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，即可得答案；（2）设直线、PE ME 的方程，与椭圆方程联立求P M 、的坐标，进而可求直线PM 的方程，即可得结果.【小问1详解】由题意可得：1223b a =⋅，则3a b =，∵22233a b c a c a b ⎧=+⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎩31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆1C 的方程为2219x y +=.【小问2详解】由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，设直线PE 的斜率为k ，则直线:1PE y kx =-，联立方程22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴2221891,9191k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，∵AB 为圆2C 的直径，点E 在圆2C 上，则BE AE ⊥，即1AE BE k k ⋅=-，∴11BE AE k k k =-=-，则直线1:1ME y x k=--，故用1k -去替代k 得222189,99k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，∵22222229191919181810919PM k k k k k k k k k k k ----++==+++，∴直线22229118:9109k k k PM y x k k k --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即214105k y x k -=+，∴直线PM 经过定点40,5T ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；。
重庆市2020年高二上学期期中数学试卷(理科)B卷
重庆市2020年高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·长春月考) 下列命题中为真命题的是（）A . 命题“若，则”的逆命题B . 命题“若，则”的否命题C . 命题“若，则”的逆否命题D . 命题“若，则”的逆命题2. （2分） (2018高三上·天津月考) 在等比数列中，，则“ ，是方程的两根”是“ ”的A . 充分而不必要条件B . 必要而充分不条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 若命题p：∀x∈R，cosx≤1，则¬p（）A . ∃x0∈R，cosx0＞1B . ∀x∈R，cosx＞1C . ∃x∈R，cos≤1D . ∃x0∈R，cosx≥14. （2分）下列命题正确的是（）A . 命题“∃x∈R，使得x2﹣4＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣4＞0”B . 命题“若x≠1，则x2≠1”的否命题是“x=1，则x2=1”C . 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题D . 命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题5. （2分） (2016高二上·船营期中) 是lgx＞lgy的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高三上·南充期末) 在同一平面内，下列说法：①若动点P到两个定点A，B的距离之和是定值，则点P的轨迹是椭圆；②若动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值是定值，则点P的轨迹是双曲线；③若动点P到定点A的距离等于P到定直线的距离，则点P的轨迹是抛物线；④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆．其中错误的说法个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2020高二下·浙江月考) 已知第一象限内的点M既在双曲线上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为、，若的焦点为，且是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·赣州期中) 若向量、满足| |=|2 + |=2，则在方向上投影的最大值是（）A .B . ﹣C .D . ﹣9. （2分）已知向量=（x，2，4），=（3，y，12），且∥，则x+y的值为（）A . 1B . 6C . 7D . 1510. （2分）抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于（）A .B .C .D . 1511. （2分）(2017·石嘴山模拟) 已知点O为△ABC内一点，∠AOB=120°，OA=1，OB=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则• 的值为（）A .B .C .D .12. （2分）若双曲线的离心率是2，则实数k= （）A . 3B . -3C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分） (2019高二下·上饶期中) 已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，再反向延长交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为________.14. （2分）已知向量 =（m，5，﹣1）， =（3，1，r），若则实数m=________，r=________．15. （2分）已知向量=(2X,1,3)，向量=(1,-2Y,9)，若与共线，则x=________ ，y=________16. （1分） (2017高二下·湖北期中) 以下几个命题中真命题的序号为________．①在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；②相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强；③用秦九昭算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6在x=﹣4时，v2的值为22；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于4的直线有且只有两条．三、解答题 (共6题；共46分)17. （5分）已知命题p：方程 + =1表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣ =1的离心率e∈（，）．若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．18. （15分） (2019高二上·滕州月考) 若不等式的解集是，（1）求a的值；（2）求不等式的解集；（3）求不等式的解集.19. （5分） (2016高二上·吉林期中) 求双曲线C： =1的焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程．20. （1分） (2020高一下·七台河期末) 已知，P为平面ABC外一点，，点P到两边AC，BC的距离均为2，那么P到平面ABC的距离为________.21. （10分） (2018高一上·广东期末) 如图，在直三棱柱中，三角形为等腰直角三角形，，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）二面角的平面角的大小．22. （10分） (2019高三上·西安月考) 在平面直角坐标系中，点，分别为椭圆C：的左右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆C上，不在轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形的周长为 .（1）求动点P的轨迹方程；（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M ，N ，线段MN的中点为G ，已知点在圆上，求的最大值，并判断此时ΔOM N的形状.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共6分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共46分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。