初中数学冀教版九年级下册第三十一章 随机事件的概率31.3 用频率估计概率-章节测试习题

章节测试题1.【题文】某景区月日—月日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游．（）随机选择一天，恰好天气预报是晴的概率是___________．（）求随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由天气预报是晴的有4天，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴阴，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵天气预报是晴的有4天，∴随机选择一天，恰好天气预报是晴的概率为：；（2）∵随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴阴，∴随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴的概率为：=．2.【题文】某校教师开展了“练一手好字”的活动，校委会对部分教师练习字帖的情况进行了问卷调查，问卷设置了“柳体”、“颜体”、”欧体“和”其他“类型，每位教师仅能选一项，根据调查的结果绘制了如下统计表：类别柳体颜体欧体其他合计人数4106占的百分比0.50.251根据图表提供的信息解答下列问题：（1）这次问卷调查了多少名教师？（2）请你补全表格．（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位教师选择了“柳体”，现从以上四位教师中任意选出2名教师参加学校的柳体兴趣小组，请你用画树状图或列表的方法，求选出的2人恰好是乙和丙两位教师的概率．【答案】（1）40；（2）详见解析；（3）.【分析】（1）用欧体的频数除以其频率即可求得样本总数；（2）根据百分比=人数÷总人数分别求解可得；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．【解答】解：（1）这次调查问卷中被调查的总人数为10÷0.25=40人；（2）柳体的人数为40×0.5=20人，颜体所占的百分比为4÷40=0.1，其他所占百分比为6÷40=0.15，补全表格如下：（3）画树状图，如图所示：所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，∴P（丙和乙）==．3.【题文】我校初三某班 50 名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如表所示：自选项目人数频率立定跳远90.18三级蛙跳12a一分钟跳绳80.16投掷实心球b0.32推铅球50.10合计501（1）填空：a= ______ ，b= ______ ；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“立定跳远”对应扇形的圆心角的度数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有 3 名男生、2 名女生，为了了解学生的训练效果，从这 5 名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，请用列表法或树形图法求所抽取的两名学生中至多有一名男生的概率．【答案】（1）0.24、16；（2）64.8°；（3）所抽取的两名学生中至多有一名男生的概率为．【分析】（1）根据表格求出a与b的值即可；（2）用360°乘以“立定跳远”对应的频率即可得；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至多有一名男生的情况，即可求出所求概率．【解答】解:（1）a=12÷50=0.24，b=50×0.32=16，故答案为：0.24、16；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，则“立定跳远”对应扇形的圆心角的度数为360°×0.18=64.8°；（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名学生中至多有一名男生的结果数为14，所以所抽取的两名学生中至多有一名男生的概率==．4.【题文】如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：朝下数字1234出现的次数16201410（1）求上述试验中“2朝下”的频率；（2）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于5的概率．【答案】（1）；（2）P（两次朝下的数字之和大于5）=．【分析】（1）根据试验中“2朝下”的总次数除以总数即可得出答案；（2）列表列举出所有的可能的结果，然后利用概率公式解答即可．【解答】解：（1）“2朝下”的频率：=；（2）根据题意列表如下：总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和大于5的结果有6种．则P（两次朝下的数字之和大于5）==．5.【题文】在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分组频数频率第一组（0≤x＜15）30.15第二组（15≤x＜30）6a第三组（30≤x＜45）70.35第四组（45≤x＜60）b0.20（1）频数分布表中a=_____，b=_____，并将统计图补充完整；（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？【答案】 0.3 4【分析】（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.20=0.3；∵总人数为：3÷0.15=20（人），∴b=20×0.20=4（人）；故答案为：0.3，4；补全统计图得：（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：=．6.【题文】王老师将1个黑球和若干个白球(这些球除颜色外都相同)放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出1个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据.摸球的次数n1001502005008001000摸出黑球的次数m233160*********0.230.2070.300.260.2540.251摸到黑球的频率(1)根据上表数据估计从袋中摸出1个球是黑球的概率是_________；(2)估计袋中白球的个数．【答案】(1)0.25(2)估计袋中有3个白球【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；（2）列用概率公式列出方程求解即可；【解答】解：（1）251÷1000=0.251；∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；（2）设袋中白球为x个，=0.25，x=3．答：估计袋中有3个白球．7.【题文】某批乒乓球的质量检验结果如下：（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？【答案】（1）答案见解析；（2）0.946；（3）①；②9．【分析】（1）根据统计表中的数据，先描出各点，然后折线连结即可；（2）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；（3）①用黄球的个数除以球的总个数即可；②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）如图；（2）这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；（3）①∵袋中一共有球5+13+22=40个，其中有5个黄球，∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：=；②设从袋中取出了x个黑球，由题意得：，解得x≥，故至少取出了9个黑球．8.【题文】在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m6512417830248159918030.650.620.5930.6040.6010.5990.601摸到白球的频率（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______ ；（精确到0.1）（2）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______ ；（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？【答案】（1）0.6；（2）0.6；（3）盒子里黑、白两种颜色的球各有16只， 24只．【分析】⑴ 观察图表可知，当很大时，摸到白球的频率接近0.6 .⑵ 当实验次数很大时，频率接近概率，所以摸到白球的概率估值为0.6 .⑶ 摸到白球概率为0.6，摸到黑球的概率为0.4，那么白球数量为个，黑球数量为个.【解答】解：（1）∵摸到白球的频率为0.6，∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，故答案为：0.6；（2）∵摸到白球的频率为0.6，∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6，故答案为：0.6；（3）盒子里黑、白两种颜色的球各有40﹣24=16，40×0.6=24．9.【题文】小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2m和3m的同心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．（1）你认为游戏公平吗？为什么？（2）游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形的面积呢”．请你设计方案，解决这一问题．（要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式）【答案】（1）不公平，理由详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）分别计算出阴影部分面积和非阴影部分面积，小红胜的概率=S阴影÷S总，小明胜的概率=S非阴影÷S总，则比较阴影部分和小圆面积即可知道是否公平；（2）用一正方形将不规则图形包围起来，根据用频率估计概率来设计.【解答】解：（1）不公平，理由：根据几何概率的求法：掷中阴影小红胜的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值；小明胜的概率为小圆面积与总面积的比值，而计算可得大圆面积为9π，小圆面积为4π．则阴影部分面积为5π，则阴影部分面积比小圆面积大．则小红胜的概率大于小明胜的概率，所以该游戏是不公平的，对小红有利；（2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积.设计方案：①设计一个面积为S的正方形将非规则图形围起来，如图：②蒙上眼在一定距离外向正方形内掷小石子,掷在正方形外不作记录；③掷的次数充分大，记录并统计结果，其中掷入正方形内m次，n次掷非规则图形内；④设非规则图形的面积为S1，用频率估计概率，即频率P（掷入非规则图形内）=≈概率P（掷入非规则图形内）=,解得S1≈.10.【题文】某人承包了一池塘养鱼,他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里随意打捞上了60条鱼,把每条鱼都作上标记,放回鱼塘;过了2天,他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条鱼,结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤,平均每条鱼估计2.3斤,你能帮助他估计一下今年的收入情况吗?【答案】9660【分析】由最后捞出的鱼可知有标记的鱼的频率是=，再进一步求得池塘里鱼的总数，最后求出今年收入.【解答】解：设池塘中共有鱼x条，则=，得x=1500（条）.则池塘中鱼的总质量为1500×2.3=3450（斤），则今年的收入约为3450×2.8=9660（元）.答：今年的收入约为9660元.11.【题文】某个地区几年内的新生婴儿数及其中男婴数统计如下表：请回答下列问题：（1）填写上表各年的男婴出生频率．（结果都保留三个有效数字）（2）在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数并在它的附近摆动，我们把这个常数叫做事件A的概率，记作P A．= ．根据（1）填写的结果及以上说明，这一地区男婴出生的概率P（A）=______．【答案】（1）分别填入：0.509，0.510，0.512，0.510；（2）0.51．【分析】（1）根据表中所给数据计算即可；（2）由题意结合（1）中计算所得数据可得出这一地区男婴出生的概率；【解答】解：（1）计算结果如下表：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数（n）554596071352017190男婴数（m）28254900692587670.5090.5100.5120.510男婴出生频率（）（2）由（1）中的计算可知，该地区男婴出生的频率随着统计次数的增加，逐渐稳定在常数0.51附近，因此这一地区男婴出生的概率：P（A）=0.51.12.【题文】某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？【答案】（1）略（2）这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9【分析】（1）按表格中所给数据计算即可；（2）在大次数的试验中，某一事件发生的频率逐渐接近该事件发生的概率，并围绕概率作小幅波动，结合（1）中计算所得数据可以估计出这么运动员射击一次，击中10环的概率.【解答】解：（1）计算结果如下表；射击次数n 10 20 5010020050010002000击中10环次数m81944931784538991802击中10环频率0.80.950.880.930.890.910.900.90（2）分析（1）中的计算结果可知，这名运动员的频率随着射击次数的增加，击中10环的频率逐渐稳定在0.90附近，并围绕0.90作小幅波动，由此可以估计这名运动员射击一次，击中10环的概率为0.90.13.【题文】保险公司对某地区人们的寿命调查后发现活到50岁的有69800人，在该年龄死亡的人数为 980人，活到70岁的有38500人，在该年龄死亡的有2400人．(1)某人今年50岁，则他活到70岁的概率为多少？(2)若有20000个50岁的人参加保险，当年死亡的赔偿金为每人2万元，预计保险公司该年赔付总额为多少？．【答案】（1）0.5566，（2）561.6万元.【分析】（1）利用活到70岁的有38500人，除以总人数得出答案即可；（2）利用20000人在69800人中所占比例结合在该年龄死亡的人数为980人，求出即可．【解答】解：（1）由题意可得：P=≈0.5516．答：某人今年50岁，则他活到70岁的概率为：0.5516；（2）由题意可得：×980×2≈561.6（万）．答：预计保险公司该年赔付总额为561.6万元．14.【题文】某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下表．(1)从这批衬衣众人抽1件是次品的概率约为多少？(2)如果销售这批衬衣600件，那么至少要再准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换？【答案】（1）0.06；（2）36件【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1．符合条件的情况数目；2．全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率；（2）需要准备调换的正品衬衣数=销售的衬衫数×次品的概率，依此计算即可．【解答】解：（1）抽查总体数m=50+100+200+300+400+500=1550，次品件数n=0+4+16+19+24+30=93，P（抽到次品）==0.06．（2）根据（1）的结论：P（抽到次品）=0.06，则600×0.06=36（件）．答：准备36件正品衬衣供顾客调换．15.【题文】人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下：年龄活到该年龄的人数在该年龄的死亡人数40805008925078009951606989112007045502211980160782001………根据上表解下列各题：（1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？（保留三个有效数字）（2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？【答案】（1）0．0122、0．206（2）2438.18万【分析】(1)利用频率估算.(2)利用频率估算20000个人中有多少人去世，再乘以赔偿金.【解答】解：（1）P(50岁去世)= 0．0122,P（活到80岁）=0．206 .（2）951÷78009×20000×10≈2438.18万16.【题文】一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：实验次数20406080100120140160“兵”字面朝上频数14a384752667888相应频率0.70.450.630.590.52b0.560.55(1)请直接写出a，b的值；(2)如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少；(3)如果做这种实验2 000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？【答案】(1)a＝18，b＝0.55(2)估计概率的大小为0.55(3)“兵”字面朝上的次数大约是1100次【分析】（1）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；（2）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小．（3）根据利用频率估计概率可以得出出现“兵”字概率会接近于0.55，故可以得出游戏规则．【解答】解：(1)a＝18，b＝0.55.(2)根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55，稳定在0.55左右，故估计概率的大小为0.55.(3)2000×0.55＝1100(次)．∴“兵”字面朝上的次数大约是1100次．17.【题文】某小区改善生态环境，实行生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成三类：厨房垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为m，n，p，并且设置了相应的垃圾箱，“厨房垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C.(1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；(2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区三类垃圾箱中总共1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：A B Cm400100100n3024030p202060请根据以上信息，试估计“厨房垃圾”投放正确的概率．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意画出树状图，由树状图可知总数为9，投放正确有3种，进而求出垃圾投放正确的概率；（2）由题意和概率的定义易得所求概率．【解答】解：(1)画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中垃圾投放正确的结果数为3，所以垃圾投放正确的概率为＝.(2)＝，所以估计“厨房垃圾”投放正确的概率为.18.【题文】一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是年平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：（1）请将数据补充完整；（2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；（3）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？【答案】(1)0.55;(2)见解析;(3)0.55【分析】（1）根据图中信息，根据“频数除以实验次数，得到频率”，计算填表即可；（2）将频率作为纵坐标，试验次数作为横坐标，描点连线，可得折线图．（3）根据表格中的信息，用频率估计概率即可得答案.【解答】解：（1）所填数字为：40×0.45=18，66÷120=0.55；（2）折线图：（3）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，故估计概率的大小为0.55．19.【题文】在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率约为______；(精确到0.1)(2)估算盒子里有白球________个；(3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请推测x的值最有可能是多少．【答案】(1) 0.6;(2) 24;(3) x的值最有可能是10.【分析】（1）求出所有试验得出来的频率的平均值即可；（2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案；（3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值．【解答】解：（1）∵摸到白球的频率为0.6，∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．（2）根据（1）得：40×0.6=24（个），答：盒子里有白球24个；(3)根据(2)，得，解得x＝10，∴可以推测出x的值最有可能是10.20.【答题】小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：依此估计此封闭图形ABC的面积是______m2．【答案】3π【分析】由表中记录的数据通过计算可知，随着投掷石子次数的增加，石子落在阴影内的次数与落在⊙O内(包括⊙O上)的次数之比逐渐稳定在2：1左右，由此说明S阴影=2S⊙O这样结合已知即可求出整个图形的面积了.【解答】解：由表中数据可得：当投掷石子50次时，；当投掷石子150次时，；当投掷石子300次时，；∴石子落在阴影部分的概率大约是落在⊙O内(包括和⊙O上)的概率的2倍，∴S阴影=2S⊙O，又∵S⊙O=,∴S阴影=，∴此封闭图形ABC的面积是：m2. 故答案为：.。