无锡市锡山区天一中学2019-2020学年上学期高二数学期中试卷附答案解析
AC＝AA1＝2，AD＝CD＝ 5 ，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点．
3
（Ⅰ）求证：MN∥平面 ABCD；
（Ⅱ）求二面角 D1－AC－B1 的正弦值；
（Ⅲ）设
E
为棱
A1B1
本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
5．设椭圆
x2 m2
y2 n2
1（m＞n＞0）的右准线为
x=8，椭圆的离心率为
1 2
，则椭圆的方
程为（ ）
A． x2 y2 1 12 16
B． x2 y2 1 16 12
C． x2 y2 1 48 64
D． x2 y2 1 64 48
高二数学试卷
一、单选题
1．命题“x=π”是“sinx=0”的（ ）条件．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 x=π，得 sinx=0；反之，由 sinx=0，不一定有 x=π，然后结合充分必要条件
的判定得答案．
【详解】解：由 x=π，得 sinx=0；
4
4
2
2
3．以坐标原点为顶点，且（3，0）为焦点的抛物线方程是（ ）
A． y2 12 y
B． y2 12x
C． y2 6x
D． y2 6x
4．下列命题中是假命题的是（ ）
A． x R , lgex 0
B． x R , tanx x
C．
x
0,
2
15．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，离心率为 e ．若椭圆
上存在点 P ，使得
PF1 PF2
e ，则该椭圆离心率 e 的取值范围是________．
16．已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点，点 A 、 B 在抛物线上且位于 x 轴的两侧，若
点 A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M． （i）求证：点 M 在定直线上;
（ii）直线 l
与
y
轴交于点
G，记 △PFG
的面积为
S1 ，△PDM
的面积为 S2
，求
S1 S2
的
最大值及取得最大值时点 P 的坐标．
4
解析
无锡市锡山区天一中学 2019-2020 学年上学期期中
无锡市锡山区天一中学 2019-2020 学年上学期期中
高二数学试卷
一、单选题
1．命题“x=π”是“sinx=0”的（ A．充分不必要条件 C．充要条件
）条件． B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．下列双曲线中，渐近线方程为 y 2x 的是（ ）
A． x2 y2 1 B． x2 y2 1 C． x2 y2 1 D． x2 y2 1
a
与
b
反向，
∴
a
b
a
b
是
a
、
b
共线的充分不必要条件，故②不正确；
③由空间向量基本定理知，空间任意一个向量 OP 可以用不共面的三个向量 OA 、OB 、
OC 线性表示，所以 P、A、B、C 四点一定不共面，故③不正确；
故选：D．
【点睛】
【详解】
解：向量
a
、
b
、
c
共面，则
c
=x
a
+y
b
，其中
x，y∈R；
则（1，3，λ）=（2x，-x，3x）+（-y，4y，-2y）=（2x-y，-x+4y，3x-2y），
2x y 1 ∴ x 4y 3 ，
3x 2 y
解得 x=1，y=1，λ=1． 故选：A． 【点睛】
【答案】B 【解析】确定椭圆的焦点在 x 轴，利用已知条件求出 a，b，即可得到椭圆方程． 【详解】
解：直接设椭圆的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ），又其右准线为
x=8，椭圆的
离心率为 1 ， 2
可得
a2 8 c c1 a2
，解得
a=4，c=2，则
b=
OA OB 2 （其中 O 为坐标原点），则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是______
三、解答题
17．已知命题 p：∃x∈（-2，1），使等式 x2-x-m=0 成立，命题 q： x2 y2 1 m2 4m
表示椭圆． （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围． （2）判断命题 p 为真命题是命题 q 为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不 必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）
zOC
，（
x
，
y，z∈R），则 P、A、B、C 四点共面．
其中不正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．已知
a
（
2
，-1，3），
b
（
1，4，-2），
c
（1，3，λ），若
a
、
b
、
c
三
向量共面，则实数λ等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8． O 为坐标原点， F 为抛物线 C : y2 4 2x 的焦点， P 为 C 上一点，若
PF 4 2 ，则 POF 的面积为 (
)
A． 2
B． 2 2
C． 2 3
D． 4
1
9．设双曲线
x2 a2
y2 b2
1（ a
0 ，b
0 ）的渐近线与抛物线
y
x2
1 相切，则该双
曲线的离心率等于（ ）
A． 3
B． 2
C． 6
D． 5
10．设 F1、F2 是双曲线 x2 4 y2 4a(a 0) 的两个焦点，点Ｐ在双曲线上，且满足 PF1·PF2 0, PF1 · PF2 2, 则 a 的值为（ ）
本题考查抛物线的标准方程，涉及抛物线焦点坐标，属于基础题．
4．下列命题中是假命题的是（ ）
A． x R , lgex 0
B． x R , tanx x
5
C．
x
0,
2
,
sinx
1
D． x R , ex x 1
【答案】D 【解析】通过特殊值判断 A、B 的正误；正弦函数的最值判断 C 的正误；利用反例判断 D 是假命题． 【详解】
交于 A,B 两点，若ΔF1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．
2 2
B．2 − 3
C． 5 − 2
D． 6 − 3
二、填空题
13．若双曲线 x2 y2 1的离心率为 3 ，则实数 m __________． m
14．已知集合 A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|4x2+12x-7≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件， 则实数 a 的取值范围是______．
【答案】B 【解析】根据题意，由抛物线焦点的坐标分析可得抛物线的开口方向，可求出 p 的值， 即可得答案． 【详解】 解：根据题意，要求抛物线的焦点为（3，0），则抛物线的开口向左；
设抛物线的标准方程为： y2 2 px ，
则 p =3，即 p=6； 2
故抛物线的标准方程为 y2=12x； 故选：B． 【点睛】
6
②
a
b
a
b
是
a
、
b
共线的充要条件；
③对空间任意一点
P
与不共线的三点
A、B、C，若
OP
xOA
yOB
zOC
，（
x
，
y，z∈R），则 P、A、B、C 四点共面． 其中不正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
【答案】D
【解析】①由向量的运算法则，可判断真假；
反之，由 sinx=0，得 x=kπ，k∈Z．∴“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件．故选：A．
【点睛】
本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题．
2．下列双曲线中，渐近线方程为 y 2x 的是（ ）
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1 4
C． x2 y2 1 2
16 4 =2
3．
所以椭圆方程： x2 y2 1． 16 12
故选：B． 【点睛】 本题主要考查椭圆的基本性质．椭圆方程的求法，圆锥曲线是高考的必考内容，其基本 性质一定要熟练掌握． 6．下列命题：
①若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有 AB BC CD DA 0 ；
2
18．已知双曲线 C1 的渐近线是 3 x±2y=0，焦点坐标是 F1（- 7 ，0）、F2（ 7 ，0）．
（1）求双曲线 C1 的方程；
（2）若椭圆 C2 与双曲线 C1 有公共的焦点，且它们的离心率之和为 5 7 ，点 P 在椭圆 6
C2 上，且|PF1|=4，求∠F1PF2 的大小．
【精编】2016-2017年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(上)数学期中试卷带解析答案
2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线x=3的倾斜角是（）A．90°B．60°C．30°D．不存在2．（5分）圆（x+2）2+y2=5的圆心为（）A．（2，0） B．（0，2） C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）3．（5分）已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）A．平行B．相交或异面C．异面D．平行或异面4．（5分）如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（）A．B．C．D．5．（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5分）直线2x﹣y+4=0同时过第（）象限．A．一，二，三B．二，三，四C．一，二，四D．一，三，四7．（5分）若三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b 等于（）A．2 B．3 C．9 D．﹣98．（5分）以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=09．（5分）两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为（）A．1：9 B．1：27 C．1：3 D．1：310．（5分）已知以点A（2，﹣3）为圆心，半径长等于5的圆O，则点M（5，﹣7）与圆O的位置关系是（）A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．无法判断11．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．12．（5分）圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．（5分）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．14．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，求a的值．15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5分）已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：（1）a∥α，b∥β，则a∥b；（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；其中正确命题是．三、解答题（本大题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，建造一个容积为16m3，深为2m，宽为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．18．（12分）已知直线2x+（t﹣2）y+3﹣2t=0，分别根据下列条件，求t的值：（1）过点（1，1）；（2）直线在y轴上的截距为﹣3．19．（12分）求经过点M（﹣1，2），且满足下列条件的直线方程：（1）与直线2x+y+5=0平行；（2）与直线2x+y+5=0垂直．20．（12分）求圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程．21．（12分）直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．22．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证直线BD与平面A1B1C1D1平行；（2）求证：面BB1DD1⊥面AB1C（3）求二面角A﹣B1C﹣C1的大小．2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线x=3的倾斜角是（）A．90°B．60°C．30°D．不存在【解答】解：∵直线方程为x=3，直线与x轴垂直，∴直线的倾斜角为90°．故选：A．2．（5分）圆（x+2）2+y2=5的圆心为（）A．（2，0） B．（0，2） C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）【解答】解：圆（x+2）2+y2=5，圆心为（﹣2，0）．故选：C．3．（5分）已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）A．平行B．相交或异面C．异面D．平行或异面【解答】解：∵直线a∥平面α，直线b在平面α内，∴a∥b，或a与b异面，故选：D．4．（5分）如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：几何体的正视图是矩形，侧视图是圆，俯视图的矩形如图：故选：A．5．（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选：C．6．（5分）直线2x﹣y+4=0同时过第（）象限．A．一，二，三B．二，三，四C．一，二，四D．一，三，四【解答】解：根据题意，直线的方程为2x﹣y+4=0，其与x轴交点的坐标为（﹣2，0），与y轴交点坐标为（0，4），图象如图：同时过一、二、三象限；故选：A．7．（5分）若三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b 等于（）A．2 B．3 C．9 D．﹣9【解答】解：∵三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，∴k AC=k AB，即，解得b=﹣9．故选：D．8．（5分）以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=0【解答】解：因为A（1，3），B（﹣5，1），所以AB的中点坐标（﹣2，2），直线AB的斜率为：=，所以AB的中垂线的斜率为：﹣3，所以以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y﹣2=﹣3（x+2），即3x+y+4=0．故选：B．9．（5分）两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为（）A．1：9 B．1：27 C．1：3 D．1：3【解答】解：两个球的半径之比为1：3，又两个球的表面积等于两个球的半径之比的平方，（球的面积公式为：4πr2）则这两个球的表面积之比为1：9．故选：A．10．（5分）已知以点A（2，﹣3）为圆心，半径长等于5的圆O，则点M（5，﹣7）与圆O的位置关系是（）A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．无法判断【解答】解：AM==5，所以点M在⊙A上．故选：B．11．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．12．（5分）圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8∴圆心坐标是（﹣1，﹣2），半径是2；∵圆心到直线的距离为d==，∴过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点．故选：C．二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．（5分）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．【解答】解：∵两直线平行，∴，故答案为﹣．14．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，求a的值．【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1故圆的圆心为（1，0），半径为1∵直线与圆相切∴圆心到直线的距离为半径即=1，求得a=8或a=﹣18．15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2x﹣y=0或x+y﹣3=0．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=016．（5分）已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：（1）a∥α，b∥β，则a∥b；（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；其中正确命题是（2）．【解答】解：对于（1），a∥α，b∥β，则a∥b，α、β位置关系不确定，a、b的位置关系不能确定；对于（2），由垂直于同一平面的两直线平行，知结论正确；对于（3），a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；对于（4），a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α．故答案为：（2）三、解答题（本大题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，建造一个容积为16m3，深为2m，宽为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．【解答】解：分别设长、宽、高为am，bm，hm；水池的总造价为y元，则V=abh=16，h=2，b=2，∴a=4m，=4×2=8m2，∴S底S侧=2×（2+4）×2=24m2，∴y=120×8+80×24=2880元．18．（12分）已知直线2x+（t﹣2）y+3﹣2t=0，分别根据下列条件，求t的值：（1）过点（1，1）；（2）直线在y轴上的截距为﹣3．【解答】解：（1）过点（1，1），所以当x=1，y=1时，2+t﹣2+3﹣2t=0，解得：t=3；（2）直线在y轴上的截距为﹣3，所以过点（0，﹣3），故﹣3（t﹣2）+3﹣2t=0，解得：t=．19．（12分）求经过点M（﹣1，2），且满足下列条件的直线方程：（1）与直线2x+y+5=0平行；（2）与直线2x+y+5=0垂直．【解答】解：（1）由题意，可设所求直线为：2x+y+c=0，因为点M（﹣1，2）在直线上，所以2×（﹣1）+2+c=0，解得：c=0，所以所求直线方程为：2x+y=0；（2）同理，设所求直线为：x﹣2y+c=0．…（10分）因为点M（﹣1，2）在直线上，所以﹣1﹣2×2+c=0，解得：c=5，所以所求直线方程为：x﹣2y+5=020．（12分）求圆心在直线y=﹣4x上，并且与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）的圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）由题意有：解之得∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=821．（12分）直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．【解答】解：如图易知直线l的斜率k存在，设直线l的方程为y﹣5=k（x﹣5）圆C：x2+y2=25的圆心为（0，0）半径r=5，圆心到直线l的距离在Rt△AOC中，d2+AC2=OA2，∴2k2﹣5k+2=0，∴k=2或l的方程为2x﹣y﹣5=0或x﹣2y+5=0．22．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证直线BD与平面A1B1C1D1平行；（2）求证：面BB1DD1⊥面AB1C（3）求二面角A﹣B1C﹣C1的大小．【解答】证明：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD∥B1D1，BD⊄平面A 1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴直线BD与平面A1B1C1D1平行．（2）∵D1D⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴D1D⊥AC，又∵在正方形ABCD中，∴由正方形性质得AC⊥BD，∵D1D∩BD=D，∴AC⊥面DD1B1B，又∵AC⊂面AB1C，∴面BB1DD1⊥面AB1C．（3）如图，取B1C的中点E，连接AE，EC1．∵AC，AB1，B1C分别为正方形的对角线，∴AC=AB1=B1C，∵E是B1C的中点∴AE⊥B1C，又∵在正方形BB1C1C中，∴由正方形性质得EC1⊥B1C，∴∠AEC1为二面角A﹣B1C﹣C1的平面角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则AB1=AC=B1C=，AE==，C1E=，AC1==2，∴cos∠AEC1===﹣，∴∠AEC1=．∴二面角A﹣B1C﹣C1的大小为．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2019-2020年高二上学期期中质量检测 数学试题 含答案
2019-2020年高二上学期期中质量检测数学试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（1—2页，选择题）和第Ⅱ卷（3—8页，非选择题）两部分，共150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项符合题目要求。
1．若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的范围是(A) (90°180°) (B) [ 90°,180°) (C) [ 0°,90°) (D)[ 0°,180°)2．下列说法正确的是(A) 任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关(B) 任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关(C) 有的物体的三视图与物体的摆放位置无关(D) 正方体的三视图一定是三个全等的正方形3．若点与点关于直线对称，则直线方程为(A) (B) (C) (D)4．设点是轴上一点，且点到与点的距离相等，则点的坐标是(A) (B) (C) (D)5．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是(A) 垂直(B) 斜交(C) 平行(D) 重合6．设、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是(A) 若∥，∥，则∥(B) 若⊥，⊥，则⊥(C) 若⊥，∥则⊥ (D) 若⊥，，则⊥7．直线（）在轴上的截距是(A) (B) (C) (D)8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱CC1与D1C1的中点，则直线EF 与A1C1 所成角的正弦值为(A) 1 (B) (C) (D)9．点P（x,y）在以A(－3,1)、B(－1,0)、C(－2,0)为顶点的△ABC内部运动（不包含边界），则的取值范围是(A) (B) (C) (D)10．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为(A) 或(B) (C) 或(D)11．点到平面四边形四条边的距离相等，则四边形是(A) 某圆的内接四边形(B) 某圆的外切四边形(C) 正方形(D) 任意四边形两个半圆12．方程所表示的曲线是(A) 一个圆(B) 两个圆(C) 半个圆(D) 两个半圆二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。
江苏省无锡市锡山区江苏省天一中学(实验学校)2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题
江苏省无锡市锡山区江苏省天一中学（实验学校）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的有（ ）①21x x +=；②22340x xy -+=；③211x x -=；④20x =；⑤233x x +=． A ．1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个． 2．若一元二次方程230x x a -+=的一个根为2x =，则a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-3．如图，若点D 是线段AB 的黄金分割点（AD BD >），6AB =，则AD 的长是（ ）A ．3B ．1C ．9-D ．3 4．方程2230x x --=配方后可化成()2x m n +=的形式，则m n +的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．15．如图，已知12∠=∠，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定ABC ADE △△∽的是（ ）A ．AB AC AD AE = B ．B D ∠=∠ C ．AB BC AD DE = D ．C AED ∠=∠6．若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k ≥B ．54k >C ．54k >且1k ≠D ．54k ≤且1k ≠ 7．下列各组图形中，一定相似的是（ ）A ．两个正方形B ．两个矩形C ．两个菱形D ．两个平行四边形 8．如图，在ABC V 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若31BF FD =：：，=10BC ，则CE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1039．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x 尺，则可列方程为（ ）．A ．()222101x x +=+B ．()222110x x ++= C ．()222104x x +=- D ．()222410x x -+= 10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将ABP V 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将CMP !沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是．（ ）①CMP BPA ∽△△；②CNP V的周长始终不变： ③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线；④线段AM ：⑤当ABP ADN △△≌时，2BP =．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．已知23a b =，则b a =． 12．关于x 的方程()222310m m x x --+-=是一元二次方程，则m 的值为．13．如果两个相似三角形的面积之比为4:9，这两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为cm ．14．若α，β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为．15．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x =．16．已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x --=+，其中a 、b 、c 分别为ABC V 三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则ABC V 的形状为．17．如图，ABC ADE ∽△△，90BAC DAE ∠=∠=︒，3AB =，4AC =，点 D 在线段BC 上运动，P 为线段DE 的中点，在点D 的运动过程中，CP 的最小值是．18．如图①②，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()，点(,0)M t 是横轴上的一点，点N 在y 轴上，且90MPN ∠=︒，0t ≤≤（1）如图①，当0t =时，PM PN=；（提示：过点P 作x 轴垂线，垂足为H ，交过点N 作y 轴的垂线于点G ）（2）连接MN ，设MN 的中点为T ，在点M 从0t =这个时刻走到t =点T 所走过的路线长是．三、解答题19．按要求解下列方程：(1)23610x x +-=（配方法）(2)2650x x -+=(3)290x --=（公式法）(4)()()()2243225x x x x +--=+．20．化简再求值：2221111a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中a 是方程280x x --=的根． 21．已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=(1)求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰ABC V 的一边3a =，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC V 的周长． 22．如图，在6×10的方格纸ABCD 中有一个格点△EFG ，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O 画一条格点线段PQ （端点在格点上），使点P ，Q 分别落在边AD ，BC 上，且PQ 与FG 的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF 上一点M ，EG 上一点N ，连结MN ，使△EMN 和△EFG 的相似比为2：5．（保留作图痕迹）23．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的延长线上一点，连接BE 交CD 于点F ，交对角线AC 于点G ．(1)若12DE AD ==，，求CF DF的值； (2)求证：BCF EAB ∽V V ．24．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？25．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程()2200,40ax bx c a b ac ++=≠-≥的两根1x ，2x 有如下的关系（韦达定理）：12b x x a +=，12c x x a⋅=； 材料2：如果实数m 、n 满足210m m --=、210n n --=，且m n ≠，则可利用根的定义构造一元二次方程210x x --=，将m 、n 看作是此方程的两个不相等实数根．请根据上述材料解决下面问题：(1)①已知一元二次方程22350x x --=的两根分别为1x ，2x ，则12x x +=_______，12x x ⋅=_______．②已知实数a ，b 满足：2430a a +-=，2430b b +-=（a b ≠），则11a b+=_______． (2)已知实数m 、n 、t 满足：2411m m t -=+，2411n n t -=+，且0m n <<，求(1)(1)m n ++的取值范围．26．每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一4米高的小树CD ，发现水平地面上点E 、树顶C 和塔顶A 恰好在一条直线上，测得57BD =米，D E 、之间有一个花圃无法测量，然后在E 处放置一个平面镜，沿BE 后退．退到G 处恰好在平面中看到树顶C 的像，此时 2.4EG =米，测量者眼睛到地面的距离FG 为1.6米，求出塔高AB ．27．阅读感悟：已知方程2210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y ，则2y x =．所以2y x =． 把2y x =代入已知方程，得221022y y ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭． 化简，得2440y y +-=，故所求方程为2440y y +-=．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．解决问题：(1)已知方程230x x --=，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；(2)方程20ax bx c ++=()20040a c b ac ≠≠-≥，，的两个根与方程______的两个根互为倒数．(3)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1和12-，求关于y 的一元二次方程()()()22024420200c y b y b a c -+-=-≠的两个实数根．28．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、点D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程218720x x -+=的两根（OA OC >），5BE =，43OB OA =． （1）求点A 、点C 的坐标； （2）求直线CD 的解析式； （3）在x 轴上是否存在一点P ，使以点C 、E 、P 为顶点的三角形与DCO ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2019-2020学年江苏省无锡市锡山高级中学高二(上)10月段考数学试卷(解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）10月段考数学试卷一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共计60分）1．命题“若x是正数，则x＝|x|”的否命题是（）A．若x是正数，则x≠|x|B．若x不是正数，则x＝|x|C．若x是负数，则x≠|x|D．若x不是正数，则x≠|x|2．设x∈R，则“x2+x﹣2＞0”是“1＜x＜5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆C：3x2+4y2＝12的左、右焦点为F1，F2，△PF1F2的周长为7，则点P（）A．在椭圆C上B．在椭圆C外C．在椭圆C内D．条件不足，无法判断4．设双曲线2mx2﹣my2＝1的一个焦点的坐标为（0，4），则m的值为（）A．B．C．.．D．5．使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．x＞0B．x＞﹣1C．x＜﹣1或x＞0D．﹣1＜x＜06．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x7．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．x＝1是x2﹣3x+2＝0的充分不必要条件C．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件D．命题p：任意x＞0，都有x2﹣3x+2＜0，则命题p的否定为：存在x≤0，使得x2﹣3x+2≥0．9．《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F是椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线y＝x交椭圆于A、B两点，若|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的面积为（）A．B．C．D．11．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A．B．C．D．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）和动直线l：y＝kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b≠0）相交于A（x1，y2），N）x2，y2）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为k OA•k OB＝恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（）A．（﹣p，0）B．（﹣2p，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知命题；命题q：m≥1．则命题p是命题q的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）．14．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则AB的中点到y轴的距离为．15．在周长为16的△PMN中，MN＝6，则的取值范围是．16．已知双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题：（本题共6小题，共计70分）17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）求与椭圆有相同的焦点，且离心率的双曲线的方程；（2）求长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）的椭圆的方程．18．命题p：方程＝1表示椭圆；命题q：双曲线C：＝l（m＞0）的虚轴长于实轴．（1）当简单命题p为真命题时，求实数m的取值范围；（2）当复合命题“p∧q”为真命题时，求实数m的取值范围．19．给定直线l：y＝2x﹣16，抛物线C：y2＝ax（a＞0）．（1）当抛物线C的焦点在直线l上时，确定抛物线C的方程；（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，直线BC的方程为4x+y﹣40＝0，求△ABC的重心坐标．20．若直线l：y＝﹣过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．（1）求双曲线的方程；（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN 的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．21．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？22．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2019-2020学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共计60分）1．命题“若x是正数，则x＝|x|”的否命题是（）A．若x是正数，则x≠|x|B．若x不是正数，则x＝|x|C．若x是负数，则x≠|x|D．若x不是正数，则x≠|x|【解答】解：命题“若x是正数，则x＝|x|”的否命题是“若x不是正数，则x≠|x|”．故选：D．2．设x∈R，则“x2+x﹣2＞0”是“1＜x＜5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x2+x﹣2＞0，解得x＜﹣2或x＞1；当x＜﹣2或x＞1时，使得1＜x＜5不成立；当1＜x＜5时，使得x＜﹣2或x＞1成立；∴x2+x﹣2＞0是1＜x＜5的必要不充分条件．故选：B．3．已知椭圆C：3x2+4y2＝12的左、右焦点为F1，F2，△PF1F2的周长为7，则点P（）A．在椭圆C上B．在椭圆C外C．在椭圆C内D．条件不足，无法判断【解答】解：椭圆C：3x2+4y2＝12的标准方程为：，所以a＝2，b＝，c＝1，如果P在椭圆上，则△PF1F2的周长为：2a+2c＝6，因为△PF1F2的周长为7，所以P在椭圆外．故选：B．4．设双曲线2mx2﹣my2＝1的一个焦点的坐标为（0，4），则m的值为（）A．B．C．.．D．【解答】解：双曲线2mx2﹣my2＝1的一个焦点的坐标为（0，4），可得，解得m＝﹣．故选：B．5．使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．x＞0B．x＞﹣1C．x＜﹣1或x＞0D．﹣1＜x＜0【解答】解：由，得＞0，解得x＜﹣1或x＞0．∴使不等式成立的一个充分不必要条件是x＞0．故选：A．6．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【解答】解：由题意可得e＝＝，即为c2＝a2，由c2＝a2+b2，可得b2＝a2，即a＝2b，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±2x．故选：D．7．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的长轴为2a，短轴的长为2b，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，可得，即a＝2b，所以e＝＝＝．故选：C．8．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．x＝1是x2﹣3x+2＝0的充分不必要条件C．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件D．命题p：任意x＞0，都有x2﹣3x+2＜0，则命题p的否定为：存在x≤0，使得x2﹣3x+2≥0．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，符号逆否命题的形式，所以A正确；对于B，x＝1推出x2﹣3x+2＝0，反之不成立，所以x＝1是x2﹣3x+2＝0的充分不必要条件，B正确；命题“任意x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1”，对于C，设a，b∈R，a≠0时，不能得出ab≠0，充分性不成立；“ab≠0”时，得出a≠0，必要性成立，是必要不充分条件，所以C正确；对于D，命题p：任意x＞0，都有x2﹣3x+2＜0，则命题p的否定为：存在x＞0，使得x2﹣3x+2≥0，所以D不正确．故选：D．9．《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F是椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线y＝x交椭圆于A、B两点，若|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，∴AF1⊥BF1，∴OA＝OB＝OF1＝c．∴A（，），∴⇒，，⇒，e2＝1﹣＝4﹣2，∴﹣1．故选：A．10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，c＝1，则F2的坐标为（1，0），过F2且斜率为1的直线l为：y＝x﹣1，即x＝y+1，代入：得：7y2+6y﹣9＝0，则y1﹣y2＝＝，故△F1AB的面积S＝•2c•|y1﹣y2|＝，故选：C．11．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x＝﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x＝﹣1于N，由抛物线的定义可知PF＝PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：y＝k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，所以△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0，解得k＝±1，所以∠NPA＝45°，＝cos∠NPA＝．故选：B．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）和动直线l：y＝kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b≠0）相交于A（x1，y2），N）x2，y2）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为k OA•k OB＝恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（）A．（﹣p，0）B．（﹣2p，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【解答】解：将直线与抛物线联立，消去y，得k2x2+（2kb﹣2p）x+b2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝；∵k OA•k OB＝，∴y1y2＝x1x2，∴y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）＝k2x1x2+kb（x1+x2）+b2＝；∴＝•，解得b＝，∴y＝kx+＝k（x+）令x＝﹣，得y＝0，∴直线过定点（﹣，0）．故选：D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共计20分）13．已知命题；命题q：m≥1．则命题p是命题q的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）．【解答】解：当x，tan x∈[0，1]由命题，m ＞（tan x）min＝0，命题q：m≥1，m＞0推不出m≥1，而m≥1能推出m＞0，则命题p是命题q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．14．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则AB的中点到y轴的距离为．【解答】解：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1．∵＝3，F（1，0），∴1﹣x1＝3（x2﹣1），解方程组，可得x1＝3，x2＝，∴x1+x2＝，∴AB的中点的横坐标为＝．故答案为：．15．在周长为16的△PMN中，MN＝6，则的取值范围是[7，16）．【解答】解：设PM＝x，则PN＝10﹣x，∠MPN＝θ所以＝x（10﹣x）cosθ在△PMN中，由余弦定理得cosθ＝∴（2＜x＜8）分析可得当x＝5时最小为7，且＜16，即的取值范围是[7，16）；故答案为[7，16）16．已知双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，与抛物线C2：y2＝2px联立，可得x＝0或x＝，不妨取A（，），设垂心H（，0），则k AH＝，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）＝﹣1，即9a2＝5c2，∴e＝．故答案为：．三、解答题：（本题共6小题，共计70分）17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）求与椭圆有相同的焦点，且离心率的双曲线的方程；（2）求长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）的椭圆的方程．【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（±5，0），设双曲线方程＝1（a，b＞0），则c＝5，离心率，b2＝c2﹣a2．∴a＝4，b2＝9．∴所求双曲线方程为：．（2）若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1，（a＞b＞0），由题意知，解得a＝，b＝，∴椭圆方程为：．若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1，（a＞b＞0），由题意知：，解得a＝，b＝，∴椭圆方程为：．18．命题p：方程＝1表示椭圆；命题q：双曲线C：＝l（m＞0）的虚轴长于实轴．（1）当简单命题p为真命题时，求实数m的取值范围；（2）当复合命题“p∧q”为真命题时，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若p是真命题，则，得，得﹣2＜m＜4且m≠1，即实数m的取值范围是﹣2＜m＜4且m≠1．（2）当q是真命题时，4＞2m＞0，得0＜m＜2，若“p∧q”为真命题，则p，q同时为真命题，即得0＜m＜2且m≠119．给定直线l：y＝2x﹣16，抛物线C：y2＝ax（a＞0）．（1）当抛物线C的焦点在直线l上时，确定抛物线C的方程；（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，直线BC的方程为4x+y﹣40＝0，求△ABC的重心坐标．【解答】解：（1）由题意得：直线l与x轴的交点坐标为（8，0），而抛物线的焦点（，0），由题意得：＝8，∴a＝32，所以抛物线的方程为：y2＝32x．（2）由题意得A（2，8），设B（x，y），C（x'，y'），联立直线BC与抛物线方程整理得：x2﹣22x+100＝0，△＝84＞0，x+x'＝22，∴y+y'＝（40﹣4x）+（40﹣4x'）＝﹣8，∴△ABC的重心（，），即重心坐标为：（8，0）．20．若直线l：y＝﹣过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．（1）求双曲线的方程；（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN 的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．【解答】解：（1）直线l：y＝﹣过x轴上一点（2，0），由题意可得c＝2，即a2+b2＝4，双曲线的渐近线方程为y＝±x，由两直线平行的条件可得＝，解得a＝，b＝1，即有双曲线的方程为﹣y2＝1；（2）设直线y＝kx+1（k≠0），代入﹣y2＝1可得，（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣6＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2＝，x1x2＝，MN中点为（，），可得MN的垂直平分线方程为y﹣＝﹣（x﹣），令x＝0，可得y＝，由△＝36k2+24（1﹣3k2）＞0，解得3k2＜2，又＜0，解得3k2＜1，综上可得，0＜3k2＜1，即有的范围是（4，+∞），可得直线m与y轴上的截距的取值范围为（4，+∞）．21．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【解答】解：（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得﹣＝，即|PA|﹣|PB|＝8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c＝10，2a＝8，即有c＝5，a＝4，b＝3，则P的轨迹方程为﹣＝1（x≥4），时刻t0时，|OP|＝4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y＝x+m，联立双曲线方程﹣＝1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144＝0，即有△＝（32m）2﹣28（16m2+144）＝0，且x1+x2＝﹣＞0，可得m＝﹣，即l1：y＝x﹣与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d＝＝，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．22．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵，∴．∴a+c＝5（a﹣c），化简得2a＝3c，故椭圆E的离心率为．（2）存在满足条件的常数λ，．∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c＝2，从而a＝3，，左焦点F1（﹣2，0），椭圆E的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，代入椭圆方程，整理得，．∵，∴．从而，故点．同理，点．∵三点M、F1、N共线，∴，从而x1y2﹣x2y1＝2（y1﹣y2）．从而．故，从而存在满足条件的常数λ，．。
无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷高二数学参考答案
无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷评分标准高 二 数 学一、单项选择题：1、A2、A3、C4、B5、D6、B7、C8、D二、多项选择题：9、AC 10、ACD 11、AB 12、BD三、填空题：13、02<∈∃x R x ，14、x y 342= 15、13-16、56四、解答题：17、解：（1）设公差为)0(≠d d ，由842,,a a a 成等比数列所以8224a a a ⋅=，所以)17)(1()13(2++=+d d d ，所以d d =2，所以1=d所以n a n =…………………………………………………………………………………4分（2）由（1）得n a n =，2)1(+=n n S n 所以n n n n n n n b 2)111(22)1(2++-=++=……………………………………………6分 所以21)21(2)1113121211(2--++-++-+-=n n n n T 所以12222)111(211+-=-++-=++n n T n n n …………………………………………10分18、解：（1）若p 是真命题，所以⎪⎩⎪⎨⎧≠>-03422m m m 所以m 的取值范围是31<<m 。
……………………………………………………………4分（2）由（1）得，p 是真命题时，m 的取值范围是31<<mq 为真命题时，0)1)((<---t m t m ，所以m 的取值范围是1+<<t m t …………………………………………………………6分 因为p 是q 的必要不充分条件，所以⎩⎨⎧≤+≥311t t ，所以21≤≤t ，等号不同时取得 所以21≤≤t …………………………………………………………………………………10分注：“等号不同时取得”没写的扣1分19、解：（1）当0=k 时，m y =，所以B A ,两点关于y 轴对称，设),(0m x A ，),(0m x B -所以)1(4220m x -= 所以2014||2m x AB -==………………………………………………………………2分 所以12121221222=-+⋅≤-=⨯⨯=m m m m m AB S 当且仅当21m m -=，即22=m ，等号成立， 所以AOB ∆的面积S 的最大值为1………………………………………………………5分（2）当1=k 时，设),(),,(2211y x B y x A⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m x y ，得0448522=-++m mx x 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∆-=⋅-=+05445822121m x x m x x ，………………………………………………7分 所以5168024)(2||2||22122121m x x x x x x AB -⋅=-+⋅=-= 又因为564||=AB 所以3416802=-m ，………………………………………………10分 所以2±=m所以直线l 的方程为2±=x y ………………………………………………12分20、解：（1）因为22n n n a a S +=，当1=n 时，11=a ， n n n a a S +=22)2(21211≥+=---n a a S n n n所以12122---+-=n n n n n a a a a a所以111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a ………………………………………………………3分 因为0>n a ，所以01>+-n n a a （没写的扣一分）所以11=--n n a a （常数）……………………………………………………………4分 所以}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列（不下结论的扣一分）所以n a n =…………………………………………………………………………………6分（2）由题得n n n b 2)13(⋅-=n n n T 2)13(282522321⋅-++⨯+⨯+⨯=14322)13(2825222+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T13212)13()222(322+⋅--++++⨯=-n n n n T112)13(21)21(434+-⋅----⨯+=-n n n n T 12)34(8+⋅-+-=-n n n T ………………………………………………………………10分 12)43(8+⋅-+=n n n T ……………………………………………………………………12分21、解：（1）记n a 为n 天后感染总人数，则2.21=a ，222.2=a ，所以12072.299≈=a答：9天后感染总人数是1207万人………………………………………………6分 注：若用递推关系得12.2-=n n a a ，求通项公式得最终结果同样得分（2）记n b 为第n 天收入医院的人数所以11=b ，2.12=b ，由题易得}{n b 为首项为1，公比为1.2的等比数列所以12.1-=n n b若n 天后总感染人数超过1000万即10002.121≥⋅++++n n b b b b所以10002.12.12.112≥++++n所以2012.11≥+n ………………………………………………………………………11分又因为2014.2372.130>≈，2018.1972.129<≈ 所以301≥+n ，所以29≥n答：29天后感染总人数将超过1000万……………………………………………12分22、解：（1）由题得⎪⎩⎪⎨⎧=+=32222b a a c ，所以1,2==b a 所以椭圆的标准方程为1222=+y x ………………………………………………………4分 （2）设),(),,(2211y x T y x S设直线x k y OS 1:=，直线x k y OT 2:=⎪⎩⎪⎨⎧=+=12221y x x k y ，所以2121212k x +=， 同理得2222212k x += 点T 到直线OS 的距离21221212211||||1||k x k k k y x k d +⋅-=+-=，||1121x k OS ⋅+=…………7分 所以22)21)(21(||21222121=++-=⋅⋅=∆k k k k d OS S OST 平方得0)12(221=+k k 所以2121-=k k ………………………………………………………………………9分（3）设),(11y x M ，),(22y x N（i ）直线l 的斜率存在时，设直线m kx y l +=: ⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x m kx y ，得0224)21(222=-+++m kmx x k所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∆+-=+-=+021222142221221k m x x k km x x 由题得0=⋅ 所以0)2)(2(2121=+--y y x x 化简得02))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k代入韦达定理得0242322=++km k m0)2)(23(=++k m k m 所以k m 2-=或k m 32-=……………………………………………………11分 当k m 2-=时，k kx y l 2:-=，定点为)0,2(，为右顶点（舍）。
江苏省锡山高级中学2019-2020学年高二数学第一学期阶段测试卷(十月月考)
江苏省锡山高级中学2019-2020学年度第一学期阶段考试高二数学试卷一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共计60分） 1、命题“若x 是正数，则x x =”的否命题是（ ）A. 若x 是正数，则x x ≠B. 若x 不是正数，则x x =C.若x 是负数，则x x ≠D. 若x 不是正数，则x x ≠2、设R x ∈，则“022>-+x x ”是“51<<x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3、已知椭圆1243:22=+y x C 的左、右焦点为21,F F ，21F PF ∆的周长为7，则点P （ ） A. 在椭圆C 上 B. 在椭圆C 外 C. 在椭圆C 内 D. 条件不足，无法判断4、设双曲线1222=-my mx 的一个焦点的坐标为)4,0(，则m 的值为（ ）A.323 B. 323- C. 316 D. 316- 5、使不等式011>+x成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 0>x B. 1->x C. 01>-<x x 或 D. 01<<-x6、已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ）A. x y 41±= B. x y 31±= C. x y 21±= D. x y ±= 7、美学四大构件：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。
素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要一步。
某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（ ）A.21 B.22 C. 23 D. 318、以下有关命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”B. 1=x 是0232=+-x x 的充分不必要条件C. 设R b a ∈,，则“0≠a ”是“0≠ab ”的必要不充分条件D. 命题p:任意0>x ，都有0232<+-x x ，则命题p 的否定为：存在0≤x ，使得0232≥+-x x .9、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用”。
2020年江苏省无锡市天一中学高二数学理模拟试卷含解析
2020年江苏省无锡市天一中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，，，则a、b、c的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的减函数，则，即；指数函数为上的增函数，则；对数函数为上的增函数，则.因此，.故选：C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.2. 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有（）种．A．72 B．60 C．48 D．24参考答案：A【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：若选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；若4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同；求出每种情况的着色方法数目，由加法原理求解即可．【解答】解：由题意，分2种情况讨论：（1）、选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有C43?A33=24种（2）、4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有C21?A44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故选：A．3. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为A. B. C. D.参考答案：A解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=200，∠BAC=300，所以，在△ADC中，由正弦定理得，，故选择A.4. 下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数为（）A. 0.27B. 0.85C. 0.96D. 0.5参考答案：C越大，拟合效果越好，故选C。
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √322.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 143.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.15.（单选题.5分）过三点A（1.3）.B（6.-2）.C（1.-7）的圆交x轴于M、N两点.则MN=（）A.2B. 2√21C.4D. 4√216.（单选题.5分）已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.则m=（）A.3B.-1C.1或-1D.3或-17.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.1208.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为212.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√2213.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．14.（填空题.5分）已知变量x.y线性相关.由观测数据算得样本的平均数x=4，y=5 .线性回归方程ŷ=bx+a中的系数b.a满足b+a=4.则线性回归方程为___ ．15.（填空题.5分）在△ABC中.角A.B.C满足sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC.则1tanA −1tanB=___ ．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．17.（问答题.10分）过点M（3.4）作直线l.当l的斜率为何值时．（1）直线l将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？（2）直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？18.（问答题.10分）在锐角△ABC中. a=12.______.求△ABC的周长l的取值范围．① a⃗=(−cos A2，−sin A2)，b⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且a⃗•b⃗⃗=−12．② （c-2b）cosA+acosC=0．③ f(x)=cosxcos(x−π3)+34，f(A)=54．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程； （3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ． （1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a的最大值；.α.β∈（0.π）.求α及β的值．（3）已知f(α)+f(β)−f(α+β)=322019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=（）A. −12B. 12C. −√32D. √32【正确答案】：B【解析】：由已知利用诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值即可求解．【解答】：解：sin20°cos（-10°）+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°．= 12故选：B．【点评】：本题主要考查了诱导公式.两角和的正弦函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．2.（单选题.5分）用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.其中三位数是奇数的概率为（）A. 12B. 13C. 23D. 14【正确答案】：C【解析】：基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.由此能求出其中三位数是奇数的概率．【解答】：解：用数字1、2、3组成没有重复数字的三位数.基本事件总数n= A33 =6．其中三位数是奇数包含的基本事件个数m= C21A22 =4.∴其中三位数是奇数的概率为p= mn =46=23．故选：C．【点评】：本题考查概率的求法.考查列举法等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（单选题.5分）用符号表示“点A在直线l上.l在平面α内”.正确的是（）A.A∈l.l∉αB.A⊂l.l⊄αC.A⊂l.l∈αD.A∈l.l⊂α【正确答案】：D【解析】：根据空间中点、线、面的位置关系的符号语言求解即可．【解答】：解：点与线的位置关系用“∈”或“∉”表示.线与面的位置关系用“⊂”或“⊄”表示. 则“点A在直线l上.l在平面α内”可用A∈l.l⊂α表示．故选：D．【点评】：本题考查空间中点、线、面的位置关系及符号表示.属于基础题．4.（单选题.5分）已知一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7.则该组数据的方差为（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【正确答案】：D【解析】：先求出平均数.再求出该组数据的方差．【解答】：解：一组数据5.5.5.4.5.1.4.8.4.7. ∴平均数为 x = 15 （5.5+5.4+5.1+4.8+4.7）=5.1． ∴该组数据的方差为：S 2= 15 [（5.5-5.1）2+（5.4-5.1）2+（5.1-5.1）2+（4.8-5.1）2+（4.7-5.1）2]=0.1． 故选：D ．【点评】：本题考查方差的求法.考查平均数、方差的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．5.（单选题.5分）过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆交x 轴于M 、N 两点.则MN=（ ） A.2 B. 2√21 C.4 D. 4√21 【正确答案】：B【解析】：设出圆的一般方程.由已知可得关于D 、E 、F 的方程组.求得D 、E 、F 的值.得到圆的方程.取y=0得到关于x 的一元二次方程.再由弦长公式及根与系数的关系求解．【解答】：解：设过三点A （1.3）.B （6.-2）.C （1.-7）的圆的方程为： x 2+y 2+Dx+Ey+F=0．则 {1+9+D +3E +F =036+4+6D −2E +F =01+49+D −7E +F =0 .解得D=-2.E=4.F=-20．∴圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 取y=0.得x 2-2x-20=0.∴MN=|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √22−4×(−20)=2√21 ． 故选：B ．【点评】：本题考查圆的一般方程的求法.考查方程组的解法.训练了弦长公式的求法.是基础题． 6.（单选题.5分）已知两条直线l 1：（m-2）x+3y+1=0.l 2：x+my+1=0平行.则m=（ ） A.3 B.-1 C.1或-1 D.3或-1【正确答案】：B【解析】：由题意利用两条直线平行的性质.求得m的值．【解答】：解：∵已知两条直线l1：（m-2）x+3y+1=0.l2：x+my+1=0平行.∴ m−21 = 3m≠ 11.求得m=-1.故选：B．【点评】：本题主要考查两条直线平行的性质.属于基础题．7.（单选题.5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示．为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度.拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中生需抽取30名学生.则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.90D.120【正确答案】：C【解析】：利用分层抽样.可知从高中生中抽取的比例与从整体中抽取的比例相同.列出关系式.即可解得抽取的总人数．【解答】：解：设抽取的学生总人数为x.则307200=x21600.解得x=90.故选：C．【点评】：本题主要考查分层抽样.属于基础题．8.（单选题.5分）在平面直角坐标系xOy中.圆C：x2+y2=3.T（2.m）.若圆C上存在以M为中点的弦AB两点.且AB=2MT.则实数m的取值范围是（）A. [−√2，0]B. (0，√2]C. [−√2，√2]D. (−√2，√2)【正确答案】：C【解析】：根据条件把问题转化为圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .进而得到答案．【解答】：解：本题的实质是圆C上存在AB两点.使∠ATB=90°.即过T到向圆引的两条切线的夹角不小于90°.即圆心（0.0）到点T（2.m）的距离不大于√6 .即√22+m2≤ √6 .解得：m∈[- √2 . √2 ]．故选：C．【点评】：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系.考查轨迹方程.正确转化是关键．9.（多选题.5分）对于实数a.b.c.下列说法正确的是（）A.若a＞b＞0.则1a ＜1bB.若a＞b.则ac2≥bc2C.若a＞0＞b.则ab＜a2D.若c＞a＞b.则ac−a ＞bc−b【正确答案】：ABC【解析】：利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】：解：A．∵a＞b＞0.∴ aab ＞bab. 1a＜1b.正确．B．∵a＞b.c2≥0.则ac2≥bc2.正确．C．a＞0＞b.则ab＜a2.正确．D．c＞a＞b.则0＜c-a＜c-b.∴ 1c−a ＞1c−b＞0.但是a.b与0的关系不确定.虽然a＞b.无法判断a c−a ＞bc−b的正误．综上可得：ABC正确．故选：ABC．【点评】：本题考查了不等式的基本性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．10.（多选题.5分）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅.记事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.事件C为“至多订一种报纸”.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．下列命题正确的是（）A.A与C是互斥事件B.B与E是互斥事件.且是对立事件C.B与C不是互斥事件D.C与E是互斥事件【正确答案】：BC【解析】：根据互斥事件和对立事件的概念即可判断．【解答】：解：事件A为“只订甲报纸”.事件B为“至少订一种报纸”.包含为订甲报纸.订乙报纸.订甲乙两种报纸.事件C为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸.事件D为“不订甲报纸”.事件E为“一种报纸也不订”．A．A与C不互斥不对立事件.所以A与C是互斥事件.不正确；B．B与E是互斥事件.且是对立事件.正确；C．B与C不互斥不对立事件.所以B与C不是互斥事件正确；D．C与E既不互斥也不对立事件．所以C与E是互斥事件不正确；故选：BC．【点评】：本题考查互斥事件和对立事件.分清互斥事件和对立事件之间的关系.互斥事件是不可能同时发生的事件.对立事件是指一个不发生.另一个一定发生的事件．11.（多选题.5分）设正实数m、n满足m+n=2.则下列说法正确的是（）A. 1m +2n的最小值为3+2√22B. √mn2的最大值为12C. √m+√n的最小值为2D.m2+n2的最小值为2 【正确答案】：ABD【解析】：m.n＞0.m+n=2.利用“乘1法”可得：1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+2mn）.再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出BCD的正误．【解答】：解：m.n＞0.m+n=2.则1m + 2n= 12（m+n）（1m+ 2n）= 12（3+ nm+ 2mn）≥ 12（3+2 √nm •2mn）= 3+2√22.当且仅当n= √2 m=4-2 √2时成立．m+n=2≥2 √mn .解得mn≤1．∴ √mn2≤12. (√m+√n)2 =m+n+2 √mn≤2+2.∴ √m + √n≤2．m2+n2≥ (m+n)22=2.当且仅当m=n=1时取等号．综上可得：ABD正确．故选：ABD．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．12.（多选题.5分）如图A（2.0）.B（1.1）.C（-1.1）.D（-2.0）. CD̂是以OD为直径的圆上一段圆弧. CB̂是以BC为直径的圆上一段圆弧. BÂ是以OA为直径的圆上一段圆弧.三段弧构成曲线Ω．则下面说法正确的是（）A.曲线Ω与x轴围成的面积等于32πB. CB̂与BÂ的公切线方程为：x+y−1−√2=0C. AB̂所在圆与CB̂所在圆的交点弦方程为：x-y=0D.用直线y=x截CD̂所在的圆.所得的弦长为√22【正确答案】：BC【解析】：首先利用分割法的应用求出曲线Ω与x轴围成的曲变形的面积.进一步利用点到直线的距离和直线的平行的应用求出圆的公切线的方程.最后利用垂径定理的应用和勾股定理的应用求出结果．【解答】：解：根据题意：圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆的周长的12．圆弧CD是以（-1.0）为圆心.1为半径的圆的周长的14．所以把图形进行分割.如图所示：① 所以曲线Ω与x轴围成的图形的面积为S= 12•π•12+14•π•12+14•π•12+1×2=π+2 .故选项A错误．② 由于圆弧AB表示为以（1.0）为圆心.1为半径的圆．圆弧BC表示为以（0.1）为圆心.1为半径的圆．所以AB̂和BĈ所在的圆的公切线平行于经过（1.0）和（0.1）的直线.所以设直线的斜率k=-1.设直线的方程为x+y+b=0.所以（0.1）到直线x+y+b=0的距离d= |1+b|√2=1 .解得b= −√2−1或√2−1 .根据图象得：公切线的方程为x+y- √2−1=0 .故选项B正确．③ 以AB̂和所在的圆的方程为（x-1）2+y2=1. BĈ所在的圆的方程为x2+（y-1）2=1.两圆相减得：x-y=0．④ CD̂所在的圆的方程为（x+1）2+y2=1.所以圆心（-1.0）到直线x-y=0的距离d= 1√2=√22.所以所截的弦长为l=2 √1−(√22)2=√2 .故选项D错误．故选：BC．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用.勾股定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．13.（填空题.5分）若tan(α+π4)=−6 .则tanα=___ ．【正确答案】：[1] 75【解析】：利用两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】：解：∵ tan (α+π4)=−6 .即 tanα+11−tanα =-6. ∴解得tanα= 75． 故答案为： 75 ．【点评】：本题主要考查了两角和的正切函数公式.特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用.考查了转化思想.属于基础题．14.（填空题.5分）已知变量x.y 线性相关.由观测数据算得样本的平均数 x =4，y =5 .线性回归方程 y ̂=bx +a 中的系数b.a 满足b+a=4.则线性回归方程为___ ． 【正确答案】：[1] y ̂=13x +113【解析】：根据回归直线方程过样本中心点.结合题意得出关于a 、b 的方程组.求解即可．【解答】：解：线性回归方程 y ̂=bx +a 过样本中心点（4.5）. 所以4b+a=5； 又a+b=4.解方程组 {4b +a =5a +b =4 .得b= 13.a= 113.所以线性回归方程为： y ̂=13x +113． 故答案为： y ̂=13x +113．【点评】：本题考查了线性回归方程的应用问题.是基础题．15.（填空题.5分）在△ABC 中.角A.B.C 满足sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC.则 1tanA −1tanB =___ ． 【正确答案】：[1]-2【解析】：sinC=sin[π-（A+B ）]=sin （A+B ）=sinAcoB+cosAsinB.代入化简得（1-1tanB ）2=（1+ 1tanA ）2.结合余弦定理和正弦定理整理得到sin （A-B ）=2sinAsinB.所以 1tanA +1tanB =0 或1tanA −1tanB=-2.由题知sin 2A ＞sin 2B.即 |1tanA | ＜| 1tanB|. ① 当A.B 都是锐角时.1tanA ＜ 1tanB. 1tanA −1tanB＜0 ． ② 当A 是锐角.B 是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB . 1tanA +1tanB ＜0. ③ 当A 是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜ 1tanB . 1tanA +1tanB ＞0.所以 1tanA −1tanB =-2.【解答】：解：sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsinC. sin 2A-sin 2B=2sinAsinBsin[π-（A+B ）].sin2A-sin2B=2sinAsinBsin（A+B）.sin2A-sin2B=2sin2AsinBcosB+2sinAsin2BcosA.sin2A-sin2B=sin2Asin2B+sin2Bsin2A.sin2A-sin2Asin2B=sin2B+sin2Bsin2A.sin2A（1-sin2B）=sin2B（1+sin2A）.sin2A（sin2B+cos2B-sin2B）=sin2B（sin2A+cos2A+sin2A）. sin2A（sinB-cosB）2=sin2B（sinA+cosA）2(sinB−cosB)2sin2B =(sinA+cosA)2sin2A（1- 1tanB ）2=（1+ 1tanA）2.所以1- 1tanB =1+ 1tanA或1- 1tanB=-（1+ 1tanA）.所以1tanA +1tanB=0或1tanA−1tanB=-2.因为sin2A-sin2B=2sinAsinBsinC＞0. 所以sin2A＞sin2B.即sin 2Asin2A+cos2A =sin2Bsin2B+cos2Bsin2Asin2A+cos2A＞sin2Bsin2B+cos2B11+1tan2A ＞11+1tan2B.|1 tanA |＜| 1tanB|.① 当A.B都是锐角时. 1tanA ＜1tanB. 1tanA−1tanB＜0．② 当A是锐角.B是钝角时. 1tanA ＜- 1tanB. 1tanA+1tanB＜0.③ 当A是钝角.B是锐角时.- 1tanA ＜1tanB. 1tanA+1tanB＞0.所以1tanA −1tanB=-2.故答案为：-2．【点评】：本题考查三角恒等变换的应用.属于中档题．16.（填空题.5分）已知实数x.y满足：xy-y=1.且0＜x＜1．则1x +2y−2的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.+∞）【解析】：利用所给的关系式.二元换一元.再由0＜x＜1．解出y的范围.进而求出1x +2y−2的取值范围．【解答】：解：由xy-y=1可知.x=y+1y .所以 1x+2y−2=y y+1+2y−2 =y+1−1y+1+2y−2=1+1−1−y +1y−2 =1+（ 1−1−y+1y−2 ）（-1-y+y-2）（- 13 ）=1+（- 13）（1+1+ y−2−1−y+−1−yy−2）. 由0＜x ＜1.可得y ＜-1.所以令t= y−2−1−y ＜-1.所以 y−2−1−y +−1−yy−2＜-2.所以1+（- 13 ）（1+1+y−2−1−y+−1−yy−2 ）＞1. 即 1x +2y−2 的取值范围为（1.+∞）. 故答案为：（1.+∞）．【点评】：本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、变形转化思想方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．17.（问答题.10分）过点M （3.4）作直线l.当l 的斜率为何值时． （1）直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分？ （2）直线l 与圆（x+1）2+（y-2）2=4相切？【正确答案】：【解析】：（1）求出圆心坐标.再由两点求斜率公式求解； （2）设出直线方程.由圆心到直线的距离等于半径列式求解．【解答】：解：（1）圆（x+1）2+（y-2）2=4的圆心坐标为（-1.2）. 若直线l 将圆（x+1）2+（y-2）2=4平分.则直线l 过圆心. 又l 过点M （3.4）.则直线l 的斜率为 4−23−(−1)=12 ；（2）设直线l 的斜率为k.则直线方程为y-4=k （x-3）.即kx-y-3k+4=0． 由 √k 2+1=2 .解得k=0或k= 43．【点评】：本题考查直线与圆位置关系的应用.考查点到直线距离公式的应用.考查计算能力.是基础题．18.（问答题.10分）在锐角△ABC 中. a =12 .______.求△ABC 的周长l 的取值范围． ① a ⃗=(−cos A2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A2，−sin A2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12 ． ② （c-2b ）cosA+acosC=0．③ f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ．注：这三个条件中选一个.补充在上面的问题中并对其进行求解.如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分．【正确答案】：【解析】：根据选择的条件.即可选择对应的知识进行转化.即可求出周长的取值范围．【解答】：解：（1）若选择条件 ① . a ⃗=(−cos A 2，−sin A2)，b ⃗⃗=(cos A 2，−sin A 2) .且 a ⃗•b ⃗⃗=−12. 则cos 2 A2 -sin 2 A2 =cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3．若选择条件 ② .则（c-2b ）cosA+acosC=0 由正弦定理可得.（sinC-2sinB ）cosA+sinAcosC=0. 即sin （C+A ）-2sinBcosA=0.解得cosA= 12 . ∵0＜A ＜π.所以A= π3 ．若选择条件 ③ . f (x )=cosxcos (x −π3)+34，f (A )=54 ． f （x ）= 12 [cos （2x- π3 ）+cos π3 ]+ 34 = 12 cos （2x- π3 ）+1 由f （A ）= 54 .可得cos （2A- π3 ）= 12 .又A 为三角形内角. ∴2A - π3= π3.所以A= π3．无论选哪个条件.结果都是A= π3 ．（2）由正弦定理可得. asinA=b sinB=c sinC=12√32=√33. 即b= √33 sinB.c= √33 sinC.所以b+c= √33（sinA+sinB）= √33×2sin π3cos A−B2=cos（A- π3）.而0＜A＜π2 .0＜B= 2π3-A＜π2.所以π6＜A＜π2.即−π6＜A- π3＜π6.cos（A- π3）∈（12.1].l=a+b+c∈（1. 32]．故周长l的取值范围为（1. 32]．【点评】：本题主要考查利用正弦定理解三角形.以及利用三角函数的性质求三角形周长的范围.属于中档题．19.（问答题.12分）平面四边形ABCD.点A.B.C均在半径为2的圆上.且∠BAC=π6．（1）求BC的长；（2）若BD=3.∠DBC=2∠BCD.求△BCD的面积．【正确答案】：【解析】：（1）设△ABC外接圆半径为R.则由正弦定理可求得BC=2Rsin∠BAC．（2）由∠DBC=2∠BCD及正弦定理得CD=2BD•cos∠BCD.再根据余弦定理得CD2=15.cos∠CBD=- 16 .sin ∠CBD=√356.由此能求出△BCD的面积．【解答】：解：（1）由题意得△ABC外接圆半径R=2. ∠BAC=π6.由正弦定理得BC=2Rsin∠BAC=4× 12=2.故BC的长为2．（2）在△BCD中.∵∠DBC=2∠BCD.∴sin∠DBC=sin2∠BCD=2sin∠BCDcos∠BCD.则由正弦定理.得CD=2BD•cos∠BCD.由余弦定理.得cos∠BCD= BC 2+CD2−BD2 2•BC•CD.∴CD= BD(BC2+CD2−BD2)BC•CD.又BC=2.BD=3.解得CD2=15.由余弦定理.得cos∠CBD= BD 2+BC2−CD22BD•BC= 9+2−152×3×2=- 16.∴sin∠CBD= √1−(−16)2= √356．∴△BCD的面积S△BCD= 12×BC×BD×sin∠CBD = √352．【点评】：本题考查三角形的边长、三角形面积的求法.正弦定理、余弦定理的应用等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.12分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b．（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民.估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数.并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1.列出方程组.能求出a.b．由频率分布直方图能估计该市居民用水的平均数．（2）由频率分布直方图先求出全市居民中月均用水量不低于2吨的频率.由此能求出全市居民中月均用水量不低于2吨的人数．（3）前6组的频率之和是0.88＞0.85.而前5组的频率之和为0.73＜0.85.从而5≤x＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.能估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【解答】：解：（1）由题意得： {0.4a =b0.04+0.08+a +0.2+0.26+a +b +0.04+0.02=1 .解得a=0.15.b=0.06．由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07．（2）由频率分布直方图得：全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：1-0.04-0.08=0.88. ∴全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400000×（1-0.04-0.08）=352000．（3）∵前6组的频率之和是0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88＞0.85. 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73＜0.85. ∴5≤x ＜6.由0.15×（x-5）=0.85-0.73.解得：x=5.8.因此.估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．【点评】：本题考查平均数、频数、用水量标准的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0及其上一点A （-2.-4）．（1）设圆N 与y 轴相切.与圆M 外切.且圆心N 在直线y=-7上.求圆N 的方程； （2）设垂直于OA 的直线l 与圆M 相交于B.C 两点.且 BC =15OA .求直线l 的方程； （3）设点T （0.t ）满足：存在圆M 上的两点P.Q.使得 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求实数t 的取值范围【正确答案】：【解析】：（1）根据题意得圆M 的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得a.进而得到圆N 的方程；（2）由题意可得k OA .且|OA|.设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d.得弦长|BC|=2 √r 2−d 2 .代入 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15 •2√5 .解得m.进而得直线l 的方程．（3）根据题意得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 .因为| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得实数t 的取值范围．【解答】：解：（1）因为以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2+12x+14y+60=0的圆心坐标为（-6.-7）.半径r 为 5.由题意设圆N 的圆心的坐标为（a.-7）.a ＜0由题意可得半径为-a.且|a+6|=-a+5.解得：a=- 12 . 所以圆N 的方程为：（x+ 12 ）2+（y+7）2= 14 ；（2）由题意可得k OA = −4−2=2.且|OA|= √(−2)2+(−4)2 =2 √5 .所以由题意可得直线l 的斜率为- 12 .设直线l 的方程为：y=- 12 x+m.即x+2y-2m=0.圆M 的圆心坐标到直线l 的距离d= √5.所以弦长|BC|=2 √r 2−d 2 =2 √25−(√5)2 . 因为 BC =15OA .所以2 √25−(√5)2= 15•2√5 .解得m=-10± √31 .所以直线l 的方程为：y=- 12x -10+ √31 或y=- 12x -10- √31 ． （3）因为 TQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−TP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即| PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| TA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(t +4)2+22 . 又| PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤10.即 √(t +4)2+22 ≤10.解得-4-4 √6 ≤t≤-4+4 √6 . 故实数t 的取值范围为[-4-4 √6 .-4+4 √6 ．【点评】：本题考查直线.圆的方程.以及直线与圆的相交问题.属于中档题． 22.（问答题.14分）已知函数f （x ）=cosx ． （1）若α.β为锐角. f (α+β)=−√55. tanα=43 .求cos2α及tan （β-α）的值；（2）函数g （x ）=f （2x ）-3.若对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.求实数a 的最大值；（3）已知 f (α)+f (β)−f (α+β)=32.α.β∈（0.π）.求α及β的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想.可得cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α .代入已知数据计算即可；由于α.β为锐角.所以2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）.再结合同角三角函数的平方关系和商数关系.可依次求得tan2α= −247.tan （α+β）=-2.然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan（β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α .代入已得数据进行计算即可；（2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.原问题可转化为（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].所以at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t．令y=t+ 1 t .结合对勾函数的性质即可得函数y 的最小值.从而得解；（3）根据同角三角函数的平方关系.结合配方法对等式 f (α)+f (β)−f (α+β)=32 进行变形.可推出sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.再分α=β和α=π-β两种情况.分类讨论即可．【解答】：解：（1）∵tanα= 43 .∴cos2α=cos 2α-sin 2α= cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α = 1−tan 2α1+tan 2α = 1−1691+169 = −725 . ∵α.β为锐角.即 α，β∈(0，π2) .∴2α∈（0.π）.α+β∈（0.π）． ∴sin2α= √1−cos 22α = 2425 .∴tan2α= sin2αcos2α=−247. ∵f （x ）=cosx.∴f （α+β）=cos （α+β）= −√55. ∴sin （α+β）= √1−cos 2(α+β) =2√55 .∴tan （α+β）= sin (α+β)cos (α+β)=-2. ∴tan （β-α）=tan （α+β-2α）= tan (α+β)−tan2α1+tan (α+β)tan2α = −2+2471+2×247= 211 ． 综上.cos2α= −725 .tan （β-α）= 211． （2）g （x ）=f （2x ）-3=cos2x-3.∵对任意x 都有g 2（x ）≤（2+a ）g （x ）-2-a 恒成立.∴（cos2x-3）2≤（2+a ）（cos2x-3）-2-a 恒成立.即（cos2x-4）a≥（cos2x-3）2-2（cos2x-3）+2恒成立.设cos2x-4=t.则t∈[-5.-3].∴at≥（t+1）2-2（t+1）+2=t 2+1.则a≤t+ 1t． 设y=t+ 1 t .由对勾函数的性质可知.函数y 在区间[-5.-3]上为增函数. ∴y=t+ 1 t ≥-5- 15 = −265 .∴a≤ −265. 故a 的最大值为 −265． （3）∵ f (α)+f (β)−f (α+β)=32 . ∴cosα+cosβ-cos （α+β）= 32.∴cosα+cosβ= 32 +cos （α+β）= 12 + 12 （sin 2α+cos 2α）+ 12 （sin 2β+cos 2β）+cosαcosβ-sinαsinβ = 12 + 12 （sin 2α-2sinαsinβ+sin 2β）+ 12 （cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β） = 12 + 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ）2.∴ 12 （sinα-sinβ）2+ 12 [（cosα+cosβ）2-2（cosα+cosβ）+1]=0 即 12 （sinα-sinβ）2+ 12 （cosα+cosβ-1）2=0. ∴sinα-sinβ=0且cosα+cosβ-1=0.当α=β时.cosα=cosβ= 12 .∵α.β∈（0.π）.∴α=β= π3；当α=π-β时.cosα=-cosβ与cosα+cosβ-1=0相矛盾.不符合题意．综上所述.α=β= π3．【点评】：本题主要考查三角恒等变换的混合运算.还涉及函数的恒成立问题.用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等.覆盖的知识面非常广.有一定的综合性.考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力.属于难题．。
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三(上)10月调研数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三（上）10月调研数学试卷试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）设全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={3.4}.B={2.4.5}.则（∁U A）∪B=___ ．2.（填空题.5分）若复数z满足条件（3-i）z=5（其中i为虚数单位）.则|z|=___ ．3.（填空题.5分）执行如图所示的程序框图.则输出s的值为___ ．4.（填空题.5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析.随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩.并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图）.则成绩在[250.400）内的学生共有___ 人．5.（填空题.5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.若从袋中一次随机摸出2个球.则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为___ ．6.（填空题.5分）已知f(x)=2x+a2x 为奇函数. g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.则f（ab）=___ ．7.（填空题.5分）若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象关于点（x0.0）成中心对称. x0∈[0，π2] .则x0=___ ．8.（填空题.5分）在等差数列{a n}中.S n为前n项和.已知a5+a7+a10=15.S15=45.则公差d的值为___ ．9.（填空题.5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1.S2.体积分别为V1.V2.若它们的侧面积相等.且S1S2 = 94.则V1V2的值是 ___ ．10.（填空题.5分）向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量. (a⃗+2b⃗⃗)⊥a⃗，(b⃗⃗+2a⃗)⊥b⃗⃗ .则a⃗与b⃗⃗的夹角为___ ．11.（填空题.5分）已知α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.则cos(2α+π6) =___ ．12.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f'（x）.满足f（x）＜x•f'（x）.且f（1）=0.则关于x的不等式f（x）＜0的解集为___ ．13.（填空题.5分）如图.A.B.C是直线l上的三点.P是直线l外一点.已知AB= 12BC=1 .∠CPB=90°.tan ∠APB=43．则PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．14.（填空题.5分）已知实数x.y＞0.则(2x+1)(y+1)2x2+5y2+7的最大值为___ ．15.（问答题.14分）设向量a⃗=(sinx，√3cosx)，b⃗⃗=(−1，1)，c⃗=(1，1)．（其中x∈[0.π]）（1）若(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .求实数x的值；（2）若a⃗•b⃗⃗=12 .求函数sin(x+π6)的值．16.（问答题.14分）如图.已知A.B.C.D四点共面.且CD=1.BC=2.AB=4.∠ABC=120°.cos∠BDC=2√77．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．17.（问答题.14分）在如图所示的空间几何体中.四边形ABCD为正方形.四边形ABEF为直角梯形.已知AF || BE.AB⊥BE.平面ABEF⊥平面ABCD.AB=BE=2AF.点P为棱DE上一点.且DP=2PE．（1）求证：AC || 平面DEF；（2）求证：BP⊥平面DEF．18.（问答题.16分）政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城市转型发展.对一片半径为1km的圆形采煤塌陷区进行生态修复和景观建设.将其开发为湿地景区．一期工程对塌陷区水面及周边整治已结束.二期工程是进行湖面观光曲桥建设.设计方案如下：在圆形水面上建设由线段AB、AP、BP、CD组成的环湖观光曲桥.其中A、B、P是湖面观光曲桥的出入口.出入口A建在湖面东西方向的正东的湖边.出入口B建在湖面南北方向方向的正北的湖边.出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边.C、D分别在东西和南北方向的轴线上.满足P、C、B共线.P、D、A共线．（1）求曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积；（2）试确定P点的位置.使得曲桥CD、DP、PC围成的水域面积最大．19.（问答题.16分）对于无穷数列{a n}与{b n}.记A={x|x=a n.n∈N*}.B={x|x=b n.n∈N*}.若同时满足条件：① {a n}.{b n}均单调递增；② A∩B=∅且A∪B=N*.则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n-1.b n=4n-2.判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列.并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列.求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列.{a n}为等差数列且a16=36.求{a n}与{b n}的通项公式．20.（问答题.16分）已知函数f(x)=a2x2+x+1e x−1．（1）若a=2.求函数f（x）的极小值；（2）若f（x）在x∈[0.+∞）的最小值为0.求实数a的取值范围；（3）证明：当a≥1时.证明不等式f（x）≤x+1对x∈R恒成立．2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三（上）10月调研数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）设全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={3.4}.B={2.4.5}.则（∁U A）∪B=___ ．【正确答案】：[1]{1.2.4.5.6}【解析】：进行并集和补集的运算即可．【解答】：解：∵U={1.2.3.4.5.6}.A={3.4}.B={2.4.5}.∴∁U A={1.2.5.6}.（∁U A）∪B={1.2.4.5.6}．故答案为：{1.2.4.5.6}．【点评】：考查列举法的定义.以及并集和补集的运算．2.（填空题.5分）若复数z满足条件（3-i）z=5（其中i为虚数单位）.则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √102【解析】：把已知等式变形.再由复数代数形式的乘除运算化简.然后利用复数模的计算公式求解．【解答】：解：由（3-i）z=5.得z= 53−i =5(3+i)(3−i)(3+i)=32+12i .∴|z|= √(32)2+(12)2=√102．故答案为：√102．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础题．3.（填空题.5分）执行如图所示的程序框图.则输出s的值为___ ．【正确答案】：[1]20【解析】：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值.模拟程序的运行过程.分析循环中各变量值的变化情况.可得答案．【解答】：解：第一次满足循环的条件.执行循环体后.S=5.a=4；第二次满足循环的条件.执行循环体后.S=20.a=3；第三次不满足循环的条件.不执行循环体.故输出S值为20.故选答案为：20．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题.解题时应模拟程序框图的运行过程.以便得出正确的结论.是基础题4.（填空题.5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析.随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩.并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图）.则成绩在[250.400）内的学生共有___ 人．【正确答案】：[1]750【解析】：由样本的频率分布直方图求出a.从而成绩在[250.400）内的频率为0.75.由此能求出成绩在[250.400）内的学生人数．【解答】：解：由样本的频率分布直方图得：（0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003）×50=1.解得a=0.006．∴成绩在[250.400）内的频率为（0.004+0.006+0.005）×50=0.75.∴成绩在[250.400）内的学生共有1000×0.75=750．故答案为：750．【点评】：本题考查频数的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．5.（填空题.5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.若从袋中一次随机摸出2个球.则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：从袋中一次随机摸出2个球.基本事件总数n= C42 =6.利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数.由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．【解答】：解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.从袋中一次随机摸出2个球.基本事件总数n= C42 =6.摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1.4）.（2.3）.（2.4）.（3.4）.共4个.∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p= 46=23．故答案为：23．【点评】：本题考查概率的求法.考查古典概型、列举法等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．6.（填空题.5分）已知f(x)=2x+a2x 为奇函数. g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.则f（ab）=___ ．【正确答案】：[1] −32【解析】：由f(x)=2x+a2x为奇函数.可得f（0）=1+a=0.可求a.然后由g（x）为偶函数.结合g（-x）=g（x）.可求b.然后代入即可求解．【解答】：解：由f(x)=2x+a2x为奇函数.可得f（0）=1+a=0.∴a=-1.∵ g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.∴g（-x）=g（x）.∴ log2(2x+1)−12bx−1=log2(2−x+1)+12bx−1 .整理可得.2bx=2x. ∴b=1.∴f（ab）=f（-1）= 2−1−12−1 =- 32故答案为：- 32．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数解析式及求解函数值.属于基础知识的灵活应用．7.（填空题.5分）若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象关于点（x0.0）成中心对称. x0∈[0，π2] .则x0=___ ．【正确答案】：[1] 5π12【解析】：利用两角和的正弦公式化简f（x）.然后由f（x0）=0求得[0. π2]内的x0的值．【解答】：解：∵函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2.∴ 2πω=π.∴ω=2∴f（x）=sin（2x+ π6）．∵f（x）的图象关于点（x0.0）成中心对称.∴f（x0）=0.即sin（2x0+ π6）=0.∴2x0+ π6=kπ.∴x0= kπ2 - π12.k∈Z.∵x0∈[0. π2].∴x0= 5π12．故答案为：5π12．【点评】：本题考查两角和与差的正弦函数.考查了正弦函数的对称中心的求法.属于基本知识的考查．8.（填空题.5分）在等差数列{a n}中.S n为前n项和.已知a5+a7+a10=15.S15=45.则公差d的值为___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：将a5+a7+a10=15.S15=45.用基本量a1和d表示出来.消去a1即可求d．【解答】：解：根据题意.a5+a7+a10=15.所以3a1+19d=15 ① .又S15=45=15a8=45.所以a8=a1+7d=3 ② .联立① ② 得d=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查了等差数列的基本量的运算.属于基础题．9.（填空题.5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1.S2.体积分别为V1.V2.若它们的侧面积相等.且S1S2 = 94.则V1V2的值是 ___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：设出两个圆柱的底面半径与高.通过侧面积相等.推出高的比.然后求解体积的比．【解答】：解：设两个圆柱的底面半径分别为R.r；高分别为H.h；∵ S1 S2 = 94.∴ R r =32.它们的侧面积相等. 2πRH2πrℎ=1∴ H ℎ=23.∴ V1 V2 = πR2Hπr2ℎ= (32)2•23= 32．故答案为：32．【点评】：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用.是基础题目．10.（填空题.5分）向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量. (a⃗+2b⃗⃗)⊥a⃗，(b⃗⃗+2a⃗)⊥b⃗⃗ .则a⃗与b⃗⃗的夹角为___ ．【正确答案】：[1] 2π3【解析】：由平面向量垂直时数量积为0.列方程求出a⃗、b⃗⃗的夹角余弦值.从而求出向量a⃗，b⃗⃗的夹角．【解答】：解：由（a⃗ +2 b⃗⃗）⊥ a⃗ .得（a⃗ +2 b⃗⃗）• a⃗ = a⃗2 +2 a⃗• b⃗⃗ =0.∴ |a⃗|2 +2| a⃗ |×| b⃗⃗|×cosθ=0；… ①又（b⃗⃗ +2 a⃗）⊥ b⃗⃗ .得（b⃗⃗ +2 a⃗）• b⃗⃗ = b⃗⃗2 +2 a⃗• b⃗⃗ =0.∴ |b⃗⃗|2 +2| a⃗ |×| b⃗⃗|×cosθ=0；… ②又向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量.则| a⃗ |=| b⃗⃗ |.且cosθ=- 12.由θ∈[0.π].得θ= 2π3.即a⃗与b⃗⃗的夹角为2π3．故答案为：2π3．【点评】：本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题.是基础题．11.（填空题.5分）已知α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.则cos(2α+π6) =___ ．【正确答案】：[1] 4√29【解析】：由已知利用诱导公式可求sin（α- π6）.根据同角三角函数基本关系式可求cos（α- π6）的值.进而根据诱导公式.二倍角的正弦函数公式化简所求即可求解．【解答】：解：∵ α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.∴sin[ π2 -（α+π3）]=sin（π6-α）= 13.可得sin（α- π6）=- 13.∵α- π6∈（- π6. π3）.∴cos（α- π6）= √1−sin2(α−π6) = 2√23.∴ cos(2α+π6) =sin[ π2-（2α+ π6）]=sin（π3-2α）=-sin（2α- π3）=-sin2（α- π6）=-2sin（α- π6）cos（α- π6）=-2×（- 13）× 2√23= 4√29．故答案为：4√29．【点评】：本题主要考查了诱导公式.同角三角函数基本关系式.二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．12.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f'（x）.满足f（x）＜x•f'（x）.且f（1）=0.则关于x的不等式f（x）＜0的解集为___ ．【正确答案】：[1]（0.1）【解析】：构造函数g（x）= f(x)x.利用函数的导数判断函数的单调性.然后转化不等式f（x）＜0.求解即可得到答案．【解答】：解：函数f（x）的定义域为x＞0.xf'（x）＞f（x）.令g（x）= f(x)x.g′（x）= xf′(x)−f(x)x2＞0.所以函数g（x）在（0.+∞）上为增函数.∵f（1）=0.关于x的不等式f（x）＜0.f(x)x＜0 .可得g（x）＜g（1）.解得0＜x＜1.故答案为：（0.1）．【点评】：本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系.考查了学生的计算能力.属基础题．13.（填空题.5分）如图.A.B.C是直线l上的三点.P是直线l外一点.已知AB= 12BC=1 .∠CPB=90°.tan ∠APB=43．则PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] −3217【解析】：设∠PBC=θ.利用三角函数的定义以及余弦定理.以及向量数量积的公式进行计算即可．【解答】：解：设∠PBC=θ.∵tan ∠APB =43 .∴cos∠APB= 35 .sin∠APB= 45 .则由AB= 12 BC=1.可得|PC|=2sinθ.|PB|=2cosθ.|PA|=sin （π-θ） •1sin∠APB = 54 sinθ. 且|PA|2=|AB|2+|PB|2-2|PB||AB|cos （π-θ）=1+4cos 2θ+4cos 2θ=1+8cos 2θ. ∴ 2516 sin 2θ=1+8cos 2θ得sin 2θ= 1617 .则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APC= 54 sinθ•2sinθcos （90°+∠APB ）= 52sin 2θ（-sin∠APB ）=- 52×1617×45 =- 3217 ．故答案为：- 3217 ．【点评】：本题主要考查向量数量积的应用.结合三角函数的定义以及余弦定理建立方程是解决本题的关键．14.（填空题.5分）已知实数x.y ＞0.则 (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：构造新的不等式.引入参数t. (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7+t = 2tx+2(y+1)x+5ty 2+y+7t+12x 2+5y 2+7.然后令分子等于0.△=0.即（10t 2-1）y 2+2（t-1）y+14t 2+2t-1=0.再令△=0.t 2（2t+1）（14t-5）=0解得t=0或t=- 12 或t= 514 .进而求解．【解答】：解：构造新的不等式.引入参数t. (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7+t = 2tx 2+2(y+1)x+5ty 2+y+7t+12x 2+5y 2+7 . 令分子等于0.△=0.即（10t 2-1）y 2+2（t-1）y+14t 2+2t-1=0. 再令△=0.t 2（2t+1）（14t-5）=0解得t=0或t=- 12 或t= 514 . ① (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 - 12 =−2x 2+4(y+1)x−5y 2−5+2y 2(2x 2+5y 2+7) = −2(x−y−1)2−3(y−1)22(2x 2+5y 2+7)≤0. 当且仅当 {x −y −1=0y −1=0 即 {x =2y =1 时等号成立；② (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 + 514 =10x 2+28(y+1)x+25y 2+14y+4914(2x 2+5y 2+7) = 2(5x+7y+7)2+3(3y−7)270(2x 2+5y 2+7)≥0. 当且仅当 {5x +7y +7=03y −7=0 即 {x =−143y =73 时等号成立；综上.(2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7最大值为 12.故答案为： 12【点评】：考查转化思想.不等式成立的条件．15.（问答题.14分）设向量a⃗=(sinx，√3cosx)，b⃗⃗=(−1，1)，c⃗=(1，1)．（其中x∈[0.π]）（1）若(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .求实数x的值；（2）若a⃗•b⃗⃗=12 .求函数sin(x+π6)的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .列出方程即可求实数x的值；（2）由已知条件a⃗•b⃗⃗=12和辅助角公式得到sin(x+2π3)=14．然后由同角三角函数关系来求sin(x+π6)的值．【解答】：解：（1）∵ (a⃗+b⃗⃗)∥c⃗⇒(sinx−1)−(√3cosx+1)=0 .∴ sinx−√3cosx=2⇒2(12sinx−√32cosx)=2⇒sin(x−π3)=1 .又x∈[0，π]⇒x−π3∈[−π3，2π3] .∴ x−π3=π2⇒x=5π6．（2）∵ a⃗•b⃗⃗=−sinx+√3cosx=12⇒2(−12sinx+√32cosx)=12.∴ sin(x+2π3)=14.∴ sin(x+π6)=sin((x+2π3)−π2)=−cos(x+2π3)．又x∈[0.π]且sin(x+2π3)=14＞0⇒x+2π3∈(2π3，π) .∴ cos(x+2π3)=−√154即sin(x+π6)=√154．【点评】：本题考查向量的共线与数量积的运算.三角函数的恒等变换应用.基本知识的考查．16.（问答题.14分）如图.已知A.B.C.D四点共面.且CD=1.BC=2.AB=4.∠ABC=120°.cos∠BDC=2√77．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin∠BDC=√217.进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（Ⅱ）在△BDC中.由余弦定理可求DB的值.利用同角三角函数基本关系式可求cos∠DBC=5√714.进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值.在△ABD中.由余弦定理可求AD的值．【解答】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中.因为cos∠BDC=2√77.所以sin∠BDC=√217．由正弦定理DCsin∠DBC =BCsin∠BDC得. sin∠DBC=DC•sin∠BDCBC=√2114．…（5分）（Ⅱ）在△BDC中.由BC2=DC2+DB2-2DC•DBcos∠BDC. 得. 4=1+DB2−2DB2√77．所以DB2−4√77DB−3=0．解得DB=√7或DB=−3√77（舍）．由已知得∠DBC是锐角.又sin∠DBC=√2114.所以cos∠DBC=5√714．所以cos∠ABD=cos（120°-∠DBC）=cos120°•cos∠DBC+sin120°•sin∠DBC= −12•5√714+√32•√2114= −√714．在△ABD中.因为AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos∠ABD= 16+7−2×4×√7×(−√714)=27 .所以AD=3√3．…（13分）【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.正弦定理.余弦定理.两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.数形结合思想.属于中档题．17.（问答题.14分）在如图所示的空间几何体中.四边形ABCD为正方形.四边形ABEF为直角梯形.已知AF || BE.AB⊥BE.平面ABEF⊥平面ABCD.AB=BE=2AF.点P为棱DE上一点.且DP=2PE．（1）求证：AC || 平面DEF；（2）求证：BP⊥平面DEF．【正确答案】：【解析】：（1）连结BD.设AC∩BD=O.推导出O为BD中点.设G为DE的中点.连结OG.FG.推导出四边形AOGF是平行四边形.由此能证明AC || 平面DEF．（2）设AF=x.则AB=BE=2x.推导出△PEB∽△BED.BP⊥DE.PF⊥PB.由此能证明PB⊥平面DEF．【解答】：证明：（1）连结BD.设AC∩BD=O.∵四边形ABCD为正方形.∴O为BD中点.设G为DE的中点.连结OG.FG.BE.则OG || BE.且OG= 12∵AF || BE.且AF= 12BE.∴AF || OG.OG=AF.∴四边形AOGF是平行四边形.∴AO || FG.∴AC || FG.∵AC⊄平面DEF.FG⊂平面DEF.∴AC || 平面DEF．（2）设AF=x.则AB=BE=2x.Rt△BDE中.DE2=BD2+BE2=12x2.∴DE=2 √3x .∵DP=2PE.∴PE= 2√33x.∵ PE BE =√33. BEDE= √33.∴ PEBE=BEDE.∵∠BEP=∠DEB.∴△PEB∽△BED. ∴∠BPE=∠DBE=90°.∴BP⊥DE.在△DEF中.cos∠FED= EF 2+DE2−DF2 2•EF•DE= √155.解得PF= √213x.∵BF= √5 x.∴PF2+PB2= 219x2+249x2 =5x2=BF2.∴PF⊥PB.∵PF∩DE=P.∴PB⊥平面DEF．【点评】：本题考查线面平行、线面垂直的证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.16分）政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城市转型发展.对一片半径为1km的圆形采煤塌陷区进行生态修复和景观建设.将其开发为湿地景区．一期工程对塌陷区水面及周边整治已结束.二期工程是进行湖面观光曲桥建设.设计方案如下：在圆形水面上建设由线段AB、AP、BP、CD组成的环湖观光曲桥.其中A、B、P是湖面观光曲桥的出入口.出入口A建在湖面东西方向的正东的湖边.出入口B建在湖面南北方向方向的正北的湖边.出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边.C、D分别在东西和南北方向的轴线上.满足P、C、B共线.P、D、A共线．（1）求曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积；（2）试确定P点的位置.使得曲桥CD、DP、PC围成的水域面积最大．【正确答案】：【解析】：（1）以圆形湖面的东西方向的轴线为x轴.南北方向的轴线为y轴建立直角坐标系.由题意可得.圆O的方程为x2+y2=1.A（1.0）.B（0.1）.设P（m.n）（m＜0.n＜0）.则m2+n2=1.求出D.C的坐标.代入求出面积S；（2）由S△PAB=12AB•d=12•|m+n−1| .设m=cosα.n=sinα（π＜α＜3π2）.利用三角函数的性质.求出最值即可．【解答】：解：以圆形湖面的东西方向的轴线为x轴.南北方向的轴线为y轴建立直角坐标系. 由题意可得.圆O的方程为x2+y2=1.A（1.0）.B（0.1）.设P（m.n）（m＜0.n＜0）.则m2+n2=1.（1）由拱桥AB.BC.CD.DA所围成的水面的面积为S.直线PA的方程为y=nm−1(x−1) .令x=0.得D（0. n1−m) .直线PB的方程为y=1−n−m x+1 .令y=0.得C（m1−n，0）.则S= 12AC•BD = 12|1−m1−n||1−n1−m|=(1−m−n)22(1−m)(1−n)= 1−2m−2n+m2+n2+2mn2(1−m)(1−n)=1 .所以曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积为1km2；（2）由（1）曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积为1km2.要使CD.DP.PC所围成的面积最大.只需要确定P的位置使得△PAB的面积最大.易知.直线AB的方程为x+y-1=0.AB= √2 km.点P（m.n）到直线AB的距离d=√2.所以S△PAB=12AB•d=12•|m+n−1| .因为m＜0.n＜0.所以S△PAB=1−m−n2.设m=cosα.n=sinα（π＜α＜3π2）.所以S△PAB=1−cosα−sinα2 = 1−√2sin(α+π4)2.当且仅当α=5π4时.S△PAB面积最大为1+√22km2 .此时又CD.DP.PC所围成的水面的面积最大.且最大值为1+√22−1=√2−12(km2) .所以当入口P位于湖面的正西南方向时.CD.DP.PC所围成的水面的面积最大．【点评】：考查直线与圆的位置关系.三角函数求最值.解三角形等.难度较大.综合性高．19.（问答题.16分）对于无穷数列{a n}与{b n}.记A={x|x=a n.n∈N*}.B={x|x=b n.n∈N*}.若同时满足条件：① {a n}.{b n}均单调递增；② A∩B=∅且A∪B=N*.则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n-1.b n=4n-2.判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列.并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列.求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列.{a n}为等差数列且a16=36.求{a n}与{b n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）{a n}与{b n}不是无穷互补数列．由4∉A.4∉B.4∉A∪B=N*.即可判断；（2）由a n=2n.可得a4=16.a5=32.再由新定义可得b16=16+4=20.运用等差数列的求和公式.计算即可得到所求和；（3）运用等差数列的通项公式.结合首项大于等于1.可得d=1或2.讨论d=1.2求得通项公式.结合新定义.即可得到所求数列的通项公式．【解答】：解：（1）{a n }与{b n }不是无穷互补数列． 理由：由a n =2n-1.b n =4n-2.可得4∉A .4∉B .即有4∉A∪B=N *.即有{a n }与{b n }不是无穷互补数列； （2）由a n =2n .可得a 4=16.a 5=32.由{a n }与{b n }是无穷互补数列.可得b 16=16+4=20. 即有数列{b n }的前16项的和为 （1+2+3+…+20）-（2+4+8+16）=1+202×20-30=180； （3）设{a n }为公差为d （d 为正整数）的等差数列且a 16=36.则a 1+15d=36. 由a 1=36-15d≥1.可得d=1或2.若d=1.则a 1=21.a n =n+20.b n =n （1≤n≤20）. 与{a n }与{b n }是无穷互补数列矛盾.舍去； 若d=2.则a 1=6.a n =2n+4.b n = {n ，n ≤52n −5，n ＞5．综上可得.a n =2n+4.b n = {n ，n ≤52n −5，n ＞5 ．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查等差数列的通项公式和求和公式的运用.考查运算和推理能力.属于中档题．20.（问答题.16分）已知函数 f (x )=a2x 2+x+1e x−1 ．（1）若a=2.求函数f （x ）的极小值；（2）若f （x ）在x∈[0.+∞）的最小值为0.求实数a 的取值范围； （3）证明：当a≥1时.证明不等式f （x ）≤x+1对x∈R 恒成立．【正确答案】：【解析】：（1）求出 f′（x ）.求出函数的单调区间.得出极值；（2）分a 的符号讨论函数f （x ）的单调性.从而得出取最值的情况.得到参数a 的取值范围； （3）用分析法当x≥0时.要证明 e x −a 2x 2e |x|≤x +1 成立；构造函数g （x ）= a 2x 2+x+1e x.讨论函数g（x）的单调性.得出最值从而证明.同理去证明x＜0的情况．【解答】：解：（1）因为a=2.所以f(x)=x2+x+1e x −1 .∴ f′(x)=(2e x−1)xe x.所以 f（x）极小值=f（0）=0；（2）f'（x）= x(a−1e x) .∵x≥0.则e x≥1∴ 0＜1e x≤1 .① 若a≤0.则当x＞0时.f'（x）＜0.f（x）为减函数.而f（0）=0.从而f'（x）＜0.不符合题意.舍去；② 若0＜a＜1.则当x＜-lna时.f'（x）＜0.f（x）为减函数.而f（0）=0.从而f'（x）＜0.不符合题意.舍去；③ 若a≥1.则当x＜0时.f'（x）＞0.f（x）为增函数.而f（0）=0.从而当x≥0时.f（x）≥0.综上：实数a的取值范围是[1.+∞）；（3）由题可知f（x）≤x+1即为e x−a2x2e|x|≤x+1；① 当x≥0时.要证明e x−a2x2e|x|≤x+1成立；只需证e x≤a2x2e x+x+1 .即证a2x2+x+1e x≥1 ① ；令g（x）= a2x2+x+1e x.得g′(x)=ax+e x−(x+1)e x(e x)2=ax−xe x；整理得g′(x)=x(a−1e x)∵x≥0 时. 1e x≤1结合a≥1.得g′（x）≥0；∴g（x）在[0.+∞）上是增函数.故g（x）≥g（0）=1；所以① 得证；② 当x＜0时.要证明e x−a2x2e|x|≤x+1成立；只需证e x≤a2x2e−x+x+1 .即证a2x2e−2x+(x+1)e−x≥1 ② ；令m（x）= a2x2e−2x+(x+1)e−x .得m′（x）=-xe-2x[e x+a（x-1）]；而 h（x）=e x+a（x-1）在x≤0时为增函数；故h（x）≤h（0）=1-a≤0.从而m′（x）≤0；∴m（x）在x≤0时为减函数.则m（x）≥m（0）=1.从而② 式得证；故当a≥1时.不等式f（x）≤x+1对x∈R恒成立．【点评】：本题考查函数的极值.根据最值求参数范围.构造函数利用导数证明不等式.考查分类讨论的思想和构造法.属于难题．。
【20套试卷合集】江苏省无锡市锡山高级中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案体验 探究 合作 展示数学试题理科答案一、BDCCC ADABD CD二、13．414．032=+-y x15．1121622=+x y 16．2三、17．解析：由题意知02>a ，即0>a ，又过点)3,2(且平行于直线064=++y ax 的直线方程可写为)2(43--=-x a y ，此直线与x 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,212a ，与y 轴的交 点为⎪⎭⎫ ⎝⎛+23,0a ，由已知条件，得)0(22321221>=+⋅+a a a a ，解得6=a ． 18．解析： 设圆心为),(b a ，则⎪⎩⎪⎨⎧-++=-+-=--2222)1()3()2()2(2322b a b a a b 解得1394,1,02=+=-==r b a即所求圆的方程为13)1(22=++y x ．19．解析：设动圆M 的半径为r ，则由已知2,221-=+=r MC r MC ， ∴2221=-MC MC ．又)0,4(),0,4(21C C -，∴821=C C ，∴2122C C <．根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以)0,4(),0,4(21C C -为焦点的双曲线的右支． ∵4,2==c a ，∴14222=-=a c b∴点M 的轨迹方程是)2(114222≥=-x y x ． 20．解析：(1)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，3=a ．在Rt 21F PF ∆中，52212221=-=PF PF F F ， 故椭圆的半焦距5=c ，从而4222=-=c a b ．所以椭圆C 的方程为14922=+y x ． (2)设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)．已知M 的坐标为(－2，1)，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1．代入椭圆C 的方程得，0273636)1836()94(2222=-+++++k k x k k x k ．因为A ，B 关于点M 对称，所以29491822221=++=+k k k x x ，解得k ＝98, 所以直线l 的方程为y －1＝98 (x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0． 经检验，所求直线方程符合题意．(本题也可用点差法求解)21．解析：(1)依题意得)0,1(F ，设直线AB 方程为1+=my x ．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得0442=--my y ．设),(),,(2211y x B y x A ，所以4,42121-==+y y m y y ．①因为2=，所以212y y -=．②联立①和②，消去21,y y ，得42±=m ，所以直线AB 的斜率是22±． (2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于AOB S ∆2．因为212122y y OF S AOB -⋅⨯=∆221221144)(m y y y y +=-+=，所以 0=m 时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．22．解析：(1)∵点M 到抛物线准线的距离为41724=+p ，∴21=p ．即抛物线C 的方 程为x y =2．(2)解法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直于x 轴时，点)2,4(H ，∴HF HE K K -=，设),(),,(2211y x F y x E ∴2211x x y y x x y y H H H H ---=-- ∴22222121y y y y y y y y H H H H ---=-- ∴4221-=-=+H y y y411122122121212-=+=--=--=y y y y y y x x y y k EF ． 解法二：当AHB ∠的角平分线垂直于x 轴时，点)2,4(H∴ 60=∠AHB ，可得3,3-==HB HA k k ．∴直线HA 的方程为2343+-=x y ， 联立方程组⎩⎨⎧=+-=xy x y 22343 得023432=+--y y ∵332=+E y ， ∴33413,363-=-=E E x y ， 同理可得33413,363+=--=F F x y ∴41-=EF k ． (3)解法一：设),(),,(2211y x B y x A ∵,411-=x y k MA ∴114y x k HA -= 可得，直线HA 的方程为),(41111x x y x y y --=- 即04)4(2112111=+-+--y x x y y x x ．又,1)4(2121=+-y x ∴1544121121-=+-x y x x∴直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ，同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ，∴0154)4(101201=-+--x y y y x0154)4(202202=-+--x y y y x∴直线AB 的方程为0154)4(020=-+--x yy y x ，即0154)4(20020=-+--y y y x y令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵t 关于0y 的函数在[)+∞,1上单调递增，∴11min -=t ．解法二：设点H (m m ,2)(m ≥1)， ∴157,16724222242+-=-=+-=m m MA HM HA m m HM以H 为圆心，HA 为半径的圆的方程为157)()(24222+-=-+-m m m y m x ，①∵M 的方程为1)4(22=+-y x ．②①－②得直线AB 的方程为 147)2()4)(42(2422+-=-----m m m m y m m x ．当x ＝0时，直线AB 在y 轴上的截距t ＝4m －m15(m ≥1)， ∵t 关于m 的函数在[1,＋∞)上单调递增，∴t min ＝－11．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案(共100分,考试时间120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(每小题3分，共36分．每小题只有一项是符合题目要求)1．抛物线y 2＝4x ，经过点P (3，m )，则点P 到抛物线焦点的距离等于( )A ．94B ．4C ．134D ．32．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4D ．143．命题：“若a 2＋b 2＝0(a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a ≠b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0B ．若a ＝b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠04．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4，所表示的平面区域的面积等于( ) A ．32 B ．23 C ．43 D ．345．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到直线1x =-的距离为d 1，到直线x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．5B ．4C ．115 5D ．1157．设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的( ) A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如果命题“非p 或非q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的是( )①命题“p 且q ”是真命题②命题“p 且q ”是假命题 ③命题“p 或q ”是真命题④命题“p 或q ”是假命题 A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④9．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么命题丁是命题甲的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 10．设平面区域D 是由双曲线y 2－x 24＝1的两条渐近线和椭圆x 22＋y 2＝1的右准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x ，y )∈D ，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．611．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．312．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t ,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)数学(文)第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题3分，共12分．)13．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是_______________________________；14．设实数,x y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是________； 15．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →＝___________16．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，则我们知道1|AF|＋1|BF|为定值，请写出关于椭圆的类似的结论：_______________________；当椭圆方程为x 24＋y 23＝1时，1|AF|＋1|BF|＝___________三、解答题：(本大题共5小题，共52分)17．(本小题满分10分)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0．若┐p 是┐q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分10分)(1)求与椭圆2212516x y +=共焦点的抛物线的标准方程． (2)已知两圆()221:42C x y ++=，()222:42C x y -+=，动圆M 与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．19．(本小题满分10分)(1)已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，求m 的值； (2)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，求该双曲线的离心率．20．(本小题满分10分)抛物线y 2＝2px (p ＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．21．(本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为3，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(Ⅰ)求a 与b ；(Ⅱ)设该椭圆的左，右焦点分别为1F 和2F ，直线1l 过2F 且与x 轴垂直，动直线2l 与y 轴垂直，2l 交1l 于点p ．求线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(本大题共10小题．每小题5分，共50分)二、填空题：(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11．1412．外心13．051121022=+--+y x y x14．0203=-=-+y x y x 或 15．a 36 三、解答题：(本大题共6小题,共75分)16．解：(1)依题意：321220=++=AB k ； …………(2分) 由CD AB ⊥得：1-=⋅CD AB k k ，∴ 23-=CD k ； ……………(4分) 直线CD 的方程为：)1(233--=-x y ，即：0923=-+y x ．…………(6分) (2)方法一：)2,3(=AB ，)5,2(=AC ； …………………………(10分)211|2253|21=⨯-⨯=∆ABC S ．………………………………(12分) 方法二：13)20()12(||22=+++=AB ，直线AB 的方程为：121202++=++x y ，即：0432=--y x ；…………(8分) 131311)3(2|43312|||22=-+-⨯-⨯=CD ； ………………………………(10分) 2111313111321||||21=⨯⨯==∆CD AB S ABC ．……………………(12分) 17．解： (1)证明：依题意：AC AB ⊥ ;∵ ABC AA 平面⊥1，∴ AC AA ⊥1， ………………………(2分) 又 ∵ A AA AB =1 ，∴ B B AA AC 11平面⊥, ………………(4分) ∵ 1BA B B AA 11平面，∴ 1BA AC ⊥．……………………(6分)(2)在ABC Rt ∆中，2=AB ，22=AC ，090=∠BAC∴ 32=BC , ππ36332=⨯=侧S ．……………………(12分)18．解：(1)证明：∵ BD CO ⊥， ABD BCD 平面平面⊥，CO ≠⊂BCD 平面，BD ABD BCD =平面平面 ， ∴ ABD CO 平面⊥; ……………………………………(3分) ∵ 正方形ABCD 边长为4，∴ 22==OA CO ,在COA Rt ∆中，4)22()22(2222=+=+=AO CO AC ，∴ BC AC =．(也可证COA ∆≌COB ∆)……………………(6分)(2)321622421312=⨯⨯⨯=-ABD C V ．………………………(12分) 19．解：(1)依题意： 0)28(4)12(4)3(4222>+--++m m m ………………(2分)即：0328122>++-m m ， 解得：234<<-m ， ∴ m 的取值范围是(34-，2)．……………………(6分) (2))28(4)12(4)3(421222+--++=m m m r 325)31(382322+--=++-=m m m ……………………(9分) ∵ ∈m (34-，2)， ∴3350≤<r ， ∴ r 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛335,0．………………………………(12分) 20．解：(1)设圆心a C (，0)， Z a ∈， 依题意：534|294|22=+-a ， ………………(2分) 得：2271==a a 或(舍去)， …………(4分) ∴ 圆C 的标准方程为：25)1(22=+-y x ．……………………(6分)(2)设圆心C 到直线05=+-y ax 的距离为d ， 则 1|5|2++=a a d ，① 若 51|5|2>++a a ， 即 1250<<a 时，r d >，直线与圆相离； ………(8分)② 若 51|5|2=++a a ， 即 1250==a a 或时， r d =，直线与圆相切；……(10分) ③若 51|5|2<++a a ， 即 1250><a a 或时，r d <，直线与圆相交．……(12分) ∴当1250<<a 时，直线与圆相离；当1250==a a 或时，直线与圆相切； 当1250><a a 或时，直线与圆相交．……………………(13分) 21．解(1)证明：∵ G E 、分别是BC PC 、的中点， ∴ EG ∥PB ，又 ∵ EG ≠⊂平面PAB ， PB ≠⊂平面PAB ， ∴ EG ∥平面PAB ， ……………………………(2分)同理可证：EF ∥平面PAB ，∵ E EF EG = ， ∴ 平面PAB ∥平面EFG ．……………(4分)(2)证明： ∵ ABCD PD 平面⊥， ∴ DC PD ⊥，又 AD DC ⊥， D AD PD = ,∴ PAD DC 平面⊥, ………………(6分)∵ EF ∥CD ， ∴ PAD EF 平面⊥EF ≠⊂平面EFG ， ∴ PAD EFG 平面平面⊥．……………(8分) (3)Q 为PB 的中点．………………………………(9分)证明：连接QE DE AQ 、、， 平面ADQ 即为平面ADEQ ，∵ ABCD PD 平面⊥， ∴ AD PD ⊥，又 DC AD ⊥， D PD DC = ,∴ PCD AD 平面⊥, ∴ PC AD ⊥．……………………(11分)∵ CD PD =， ∴ PC DE ⊥， ………………………………(12分)∵ D DE AD = ， 且AD ，DE ≠⊂平面ADQ ， ∴ ⊥PC 平面ADQ ．…………………………(14分)注：若学生采用其他解法，可酌情给分．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列语句中，命题的个数是 ( )①|x ＋2|；②－5∈；③π∉R ；④{0}∈N.A ．1B ．2C ．3D ．42．已知命题“若p ，则q ”，假设其逆命题为真，则p 是q 的 ( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D ．无法判断3.设命题：对，则为（ ）A ．B ．C ．D ．4．命题“若x 2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( )A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1B ．若－1<x<1，则x 2<1C ．若x>1或x<－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥15.已知数列，则“为等比数列”是“1n 1-n 2n a a a +∙=”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．若A 是定直线l 外一定点，则过点A 且与直线l 相切的圆的圆心轨迹为 ( )A ．直线B ．椭圆C ．线段D ．抛物线7．抛物线x 2＝4y 的焦点到准线的距离为 ( )A ．12B ．1C ．2D ．48．设正方形ABCD 的边长为1，则|﹣+|等于（ ）A ．0B ．C ．2D ．29．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m)，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2C.12 D ．310．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为 ()A ．至多一个B ．2C ．1D ．011．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c|＝14，若(a ＋b)·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB|＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为________.14.已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1, 1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________.15. 已知a ＝(2，－1，3)、b ＝(－1,4，－2)、c ＝(7,7，λ)，若a 、b 、c 共面，则实数λ＝________.16.下列说法中错误的是_______（填序号）①命题“,,212,1x x M x x ≠∈∃有0))](()([1221>--x x x f x f ”的否定是“,,212,1x x M x x ≠∉∀有0))](()([1221≤--x x x f x f ”；②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；③已知032:2>-+x x p ， 131:>-xq ，若命题p q ∧⌝)(为真命题，则x 的取值范围是(,3)(1,2)[3,)-∞-+∞；④“3≠x ”是“3≠x ”成立的充分条件．三、解答题（共70分）17．(本题满分10分)命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实根，命题q ：函数f(x)＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”真命题，求实数a 的取值范围18. (本题满分12分)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．(本题满分12分)已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．（1）求m的取值范围；（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．20. (本题满分12分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，求点A1到截面AB1D1的距离21. （本题满分12分）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB=AE ，DB=DE ，∠BAE=∠BDE=90°.(1)求异面直线AB 与DE 所成角的大小；(2)求二面角B-AE-C 的平面角的余弦值.22．(本题满分12分)已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，椭圆C 的长轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y=kx +与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．一、选择题CBCDB DCCBB CB二、填空题13.4a+2m 14．⎝⎛⎭⎫－12，12，0 15. 9 16. ①③④ 三、解答题17、解： ∵方程x 2＋ax ＋2＝0无实根，∴△＝a 2－8<0，∴－22<a<22，∴p ：－22<a<2 2.∵函数f(x)＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a>1.∴q ：a>1.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假．当p 真q 假时，－22<a ≤1，当p 假q 真时，a ≥2 2.综上可知，实数a 的取值范围为(－22，1]∪[22，＋∞)18、解： 由(4x －3)2≤1，得12≤x ≤1，令A ＝{x|12≤x ≤1}． 由x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，令B ＝{x|a ≤x ≤a ＋1}．由¬p 是¬q 的必要不充分条件，得p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1，∴0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是 [0，12]． 19.解：（1）由题意得：，解得：0＜m ＜4；（2）由题意得：8﹣2=+，解得：m=2或m=﹣4（舍），故双曲线方程是：x 2﹣y 2=3，故渐近线方程是：y=±x ．20.解：建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)，A 1(2,0,4)，AB 1＝(0,2,4)，AD 1＝(－2,0,4)，AA 1＝(0,0,4)．设平面AB 1D 1的法向量n ＝(x ，y ，z)，有⎩⎪⎨⎪⎧ AB 1·n ＝0， AD 1·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋4z ＝0，－2x ＋4z ＝0，令x ＝2，得n ＝(2，－2,1)． 所以A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1·n||n|＝43. 21.解：(1)不妨设OA=a ，以O 为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系O-xyz ，则A(0，0，a)，B(0，-a ，0)，C(a ，-2a ，0)，D(a ，0，0)，E(0，a ，0)，所以=(0，-a ，-a)，=(-a ，a ，0).因为cos<>===-， 所以与的夹角为120°，所以异面直线AB 与DE 所成的角为60°.(2)设平面ACE 的法向量为n 1=(x ，y ，z).因为=(0，a ，-a)，=(a ，-3a ，0)，所以所以解得取y=z=1，得x=3，所以n 1=(3，1，1).又平面ABE 的一个法向量为n 2=(1，0，0)，设二面角B-AE-C的平面角为θ，则cos θ===，因此二面角B-AE-C的余弦值为.22.解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，故所求椭圆C的方程为+x2=1．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l 的方程y=kx+代入+x2=1，并整理，得（k2+4）x2+2 kx﹣1=0．（*）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以•=0，即x1x2+y1y2=0．又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，于是﹣﹣+3=0，解得k=±，经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案1．A.10B.11C.12D.132．下列说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1”B ．命题“若A ＝B ，则tanA ＝tanB ”的逆否命题为假命题C ．命题“∃x 0∈R ，x 02＋x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x －1＞0”D ．若“p 或q”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.85yx a =+，则a =A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.9 4．已知命题p ：若x>y ，则x y e e >；命题q ：若a<|b|，则22a b >.下列四个命题：①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;，其中真命题的编号是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5．准线为x=2的抛物线的标准方程是（ ）A ．y 2=﹣4xB ．y 2=﹣8xC ．x 2=4yD ．x 2=8y6．已知3:1,:11p x k q x ≥+<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A. ),1[+∞B. ()1,+∞C. ),2[+∞D. ),2(+∞7．如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋139的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是 A ．n ＝n ＋2，i>21?B ．n ＝n ＋2，i>20?C ．n ＝n ＋1，i ≥20?D ．n ＝n ＋1，i>21?8．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为A. B. C. 23 D. 129．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为A ．23B ．25C ．35D ．910三、解答题：（3小题，共34分）15．（本小题10分）（Ⅰ）求图中实数a 的值； （Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.16．（本小题12分）已知抛物线2:4E x y =.（Ⅰ）若直线1y x =+与抛物线E 相交于,P Q 两点，求PQ 弦长；BC边过定点(0,2)N，点M在BC 上且17.”是真命题．x M∈的必要条件，求a的取值范围．18AB≠CD“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“19P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的12⎫⎪⎭，则椭圆方程为A D三、解答题：（3小题，共36分）21．（本小题12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为25. （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球的标号为a ，第二次取出的小球的标号为b .(i)记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；(ii)在区间[0,4]内任取2个实数,x y ，记a b >+” 为事件B ，求使事件B 恒成立的概率.22．（本小题12分）设命题:p 函数21()lg()16f x ax ax =-+的定义域R ，命题:q 不等式ax x +<+4163对一切正实数x 均成立，如果命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围.23．（本小题12分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；的上方有两个交点，（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆在x 轴且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆C的方程稿 纸第I卷（共100分）一、选择题：（共10小题，每小试题5分，共50分）1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．A 9．D 10．D 二、填空题：（4小题，每小题4分，共16分）11．3 12．4313．80 14．78三、解答题：（3小题，共34分）12分）即(2) 当当则⎪⎩⎪⎨⎧当第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（共2小题，每小试题5分，共10分） 18．B 19．C 二、填空题：（共4分） 20．M N Q P e e e e <<<三、解答题：（3小题，共36分）21．（本小题12分）【解析】（Ⅰ）由题意，2125n n =++，2n ∴=……………3分（Ⅱ）①将标号为1的小球记为1a ，2a ，将标号为2的小球记为1b ，2b ，两次不放回的取小球的所有基本事件为10个，事件A 包含的基本事件为3个.3()10P A ∴=.……………………………………7分 ②.∵a+b 的最大值为4，∴事件B 等价于2216x y +>,………………8分(,)x y 可以看作平面中的点,则全部结果所构成的区域{(,)04,04,,}x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈,而事件B 的所构成的区域B=22{(,)16,,}x y x y x y +>∈Ω,………………10分444()1444B S P B S ππΩ⨯-∴===-⨯.…………12分 22．（本小题12分）【解析】p 为真2104ax ax <=>-+>恒成立， 当0a =，符合题意，…………………………1分 当0a ≠ 时，由0010a a >⎧⇒<<⎨∆<⎩∴:01p a ≤< …………………… 5分q 为真<=>a >==对一切x >均成立， …………………………7分48> 8341633<++∴x 从而38a ≥………………………… 8分 又3018p q p p a a q q p q ∨⎫⎧⎧⇔⇔≤<≥⎬⎨⎨∧⎩⎩⎭为真真假，或，或假真为假. ………… 12分 （其他解法酌情给分）高二数学（理）期中考试卷答案 第3页 共4页 高23．（本小题12分）【解析】解：（Ⅰ）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由121F F DF =得12DF c ==从而1221121,222DF F S DF F F ∆=⋅==故1c =.……………………2分从而12DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此22DF =.所以122a DF DF =+=2221a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=…………………………4分 （Ⅱ）如右图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=，…………5分由（1）知()()121,0,1,0F F -， 所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P ，得()221110x y -++=， 又由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =. 当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. …………………………7分 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C .………8分 由11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，知21CP CP ⊥，又12||||CP CP =故圆C的半径11213CP ===.……………………………10分 容易求得圆心坐标为(0，53)………………………………………………11分 所以，所求的圆的方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ……………………12分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-，则7a 的值为( )A ．64-B ．64C ．48-D ．482．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1313=-S S ，则数列}{n a 的公差是( ) A ．21B ．1C ．2D ．33．已知△ABC 中，a =b =60B =，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°4．若0<<b a ，则( )A ．22b a <B ．ab a <2C ．1>b aD ．ab b >25．顶点为原点，焦点为F （0，-1）的抛物线方程是( )A ．x y 22-=B ．x y 42-=C ．y x 22-=D ．y x 42-=6．双曲线22142x y -=的焦点坐标是( )A ．(6,0),(6,0)-B ．(C ．(2,0),(2,0)-D ．(7．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 为其左、右焦点，以21F F 为直径的圆与椭圆交于D C B A ,,,四个点，若21,F F ，D C B A ,,,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为( )A 1B ．2C 1D ．28．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k ( )A ．有3个B ．有2个C ．有1个D ．不存在二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．抛物线x y 22=上横坐标为2的点到其焦点的距离为________ 10．在ABC ∆中，3,5,120a b C ===，则＝________11．渐近线为x y 3±=且过点(1,3)的双曲线的标准方程是________12．已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则_____n a =13．已知数列{}n a 对任意的*,N q p ∈满足q p q p a a a +=+且62-=a ，那么=10a ________.14．观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是________，其通项公式为________.三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本题满分7分)在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为4,,,,cos ,35a b c B A b π==. (1)求sin C 的值； (2)求ABC △的面积.16．(本题满分7分)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列(1)求{n a }的公比q ； (2)求1a －3a ＝3，求n S17．(本题满分8分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34-=n n a S (*n ∈N )．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)若数列{}n b 满足*1()n n n b a b n +=+∈N ，且12b =，求数列{}n b 的通项公式．18．(本题满分7分)已知椭圆22:184x y C +=的左焦点为1F ，直线2:-=x y l 与椭圆C 交于A 、B 两点.(1)求线段AB 的长； (2)求1ABF ∆的面积.19．(本题满分7分)已知拋物线C ： x 2＝2py(p ＞0)的焦点F 在直线10x y -+=上.(1)求拋物线C 的方程；(2)设直线l 经过点A (－1，－2)，且与拋物线C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.20．(本题满分8分)给出下面的数表序列：其中表),3,2,1( =n n 有n 行，第1行的n 个数是12,5,3,1-n ，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．(1)写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表)3(≥n n (不要求证明)；(2)每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，记此数列为{}n b 求和：32412231n n n b b b b b b b b b ++++(*N n ∈)选做题 已知椭圆C 经过点A (1，32)，且两个焦点分别为(－1，0)，(1，0)． (1)求椭圆C 的方程； (2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1、命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是( )A .不存在01,23≤+-∈x x R xB .存在01,23≥+-∈x x R xC .存在01,23>+-∈x x R xD .对任意的01,23>+-∈x x R x2、已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为() A ．2 B ．3 C ．5 D ．73、若命题p ：(x -2)(x -3)=0，q ：x -2=0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设x x x f cos sin )(+=，那么( )A ．x x x f sin cos )(-='B ．x x x f sin cos )(+='C ．x x x f sin cos )(+-='D ．x x x f sin cos )(--='5、抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是( )A ．25B ．215C ．5D ．1068=的点M 的轨迹方程是( ) A. 221169x y += B. 191622=-x y C. 2210169()x y x -=> D. 2210169()y x y -=>7、若1)()(lim 000-=--→k x f k x f k ，则)(0x f '等于( )A ．-1B ．1C ．0D ．无法确定8、如图所示：为'()y f x =的图像，则下列判断正确的是( ) ①()f x 在(),1-∞上是增函数②1x =-是()f x 的极小值点③()f x 在()2,4上是减函数，在()1,2-上是增函数④2x =是()f x 的极小值点A ．①②③B ．①③④C ．③④D ．②③9、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A ．),3[]3,(+∞--∞B ．)3,3(-C ．),3()3,(+∞--∞D ．]3,3[-10、如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为(090)θθ<<的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30时，这个椭圆的离心率为( )A ．12B ．2C ．3 D ．2311、已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式2()3(2)xf x x xf e '=++，则(2)f '的值等于( ) A ．2- B ．222e - C ．22e - D ．222e -- 12、抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，三角形OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，该圆的面积为36π，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13、写出命题：“若2x =且3y =，则5x y +=”的逆否命题是 命题(填“真”或“假”)14、已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程是20x y +=，则该双曲线的离心率是15、求曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为 16、已知点P 是抛物线x y 42=上的一个动点，点P 到点(0，3)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值是三、解答题（本题共6小题，第17～21题每题12分，第22题14分，共74分）17、已知命题0107:2≤+-x x p ，)0(0)1)(1(:>≤-+--a a x a x q 其中.(1)若2a =，命题“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)已知p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.18、函数54)(23+++=bx ax x x f 的图像在x=1处的切线方程为y= -12x ；(1)求函数)(x f 的解析式；(2)求函数)(x f 在[-3，1]上的最值.19、已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上.已知该抛物线上一点A(1，m)到焦点的距离为3.(1)求此抛物线的方程； (2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．20、有一块边长为6m 的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池。