刘泉《信号与系统》 第三章85068036剖析
信号系统(第3版)习题解答
文档《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育出版社目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
《信号与系统》课件第三章
FS系数ak
1.4
a0 = 1
1
1 a1 = 1 j 2 1 a 1 = 1 + j 2
1 j a2 = e 4 2 a 2 = 1 2
π
π j e 4
a k = 0, k > 2
1
1
5 2
0.5
1 arctg 2
π 4
由于x(t)为实信号,可以看出
a k = a k 说明
ak 偶对称
∠a k 奇对称
一. 非周期信号傅里叶变换(FT)表示的导出
~ (t ) , x (t) x p
1
FT––Fourier Transform p––periodic signal
…
~ (t ) x
T →∞
-T -T/2 -T1 0 T1 T/2 T
…t
x(t)
FS展开对
~ (t ) = x
lim
k = ∞
∑a e
k
0.025
-0.1 -20 0.125 0.075
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
0.0125
-0.05 -40
并非所有周期信号都能用傅里叶级数表示. 满足狄里赫利条件(充分条件): (1)绝对可积 (2)任意有限区间内, 信号的最大值和最小值数目有限 (3)任意有限区间内,有限个不连续点
-32 -24 -16 -8 0 8 16 24 32 40
x(t )e
jnω0t
k = ∞
∑a e
k T
0
∞
j ( k n ) ω0 t
∫
T
x(t )e
信号与系统 第三章(第5-7讲)
第三章连续信号的正交分解§3-1 引言线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。
在上一章所述的时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。
然而，很多信号的特性与频率有着很重要的关系，因此研究信号在频域中的特性可以得到许多极具实用价值的结论，它在工程中也具有很重要的意义。
故此，从本章开始，我们就是研究这方面的问题。
在本章中，我们研究任何将信号分解成与频率有关的函数的叠加。
即在频域中，将信号分解为一系列与频率有关的正弦函数的和（或积分）。
然后，再研究如何通过系统对正弦信号的响应求解系统对原信号的响应。
类似上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。
2） 求解系统对各个正弦子信号的响应(这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍)。
3） 将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。
本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。
§3-2 信号在正交函数集中的分解信号的分解，在某种意义上与矢量的分解有相似之处。
为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。
一、矢量的分解1、矢量的定义：具有大小和方向的量叫做矢量。
2、矢量运算：加，矢量点乘（结果是标量），矢量叉乘。
3、矢量的分解：1） 矢量的单矢量基的分解：A 在1A 上的分量为A 在1A 上的投影：E +=11A A c其中，E 为误差矢量。
而A 在1A 上的垂直投影11c A 的模11A c ：11111A A Acos θA Acos θA AA ∙===1c ，从几何或者解析角度，都可以得到使误差E 最小的系数为：1112111A A A AA A A ∙∙=∙=c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。
其它投影情况下误差E 不为最小，见上图。
刘泉《信号与系统》 第三章85068036剖析
an 2
例如：周期三角波信号
n 0
f (t)
其傅里叶级数三角展开式中
仅含直流项和余弦项，
E
其傅里叶级数指数展开式中
F (n1)为实函数。
T1 0
T1
2
2
t 其傅里叶级数表达式为：
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是一偶函数
f
(t)
E 2
4E
2
coWsH(UwT1t )
1 9
cos(3w1t)
1 25
cos(5w1t)
2
F
f (t) f (t T )，半周镜像（奇谐函数） 无偶次谐波，只有奇次谐波分量
2
F
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23
四、傅里叶有限级数与最小方均误差
实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。
显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有 限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。
有限项傅里叶级数：
n 1, 2,...
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
三角函数集是一组完备函数集。
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9
2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t)展开为常用形式
f (t) c0 cn cos(n1t n ) 或 n1
f (t) d0 dn sin(n1t n ) n1
• 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。
• 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
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3
信号系统课件第3章
0
T 2
T
0
T 2
T
(a) 直流+基波
(b) 直流+基波“+”三次谐波
0
T 2
T
0
T 2
T
(c) 直流+基波“+”三次谐波“+”
五次谐波
(d) 直流+基波“+”三次谐
波“+”五次谐波“+”七次 谐波
由图可见，当它包含的谐波分量越多时， 波形越接近于原来的方波信号，其均方误差越 小。还可看出，频率较低的谐波，其振幅较大，
n 1
An e j n e jnt
及 n n ，则上式可写为
将上式第三项中的n用-n代换，并考虑到 A n An
A0 1 f (t ) 2 2 A0 1 2 2
A e
n n 1 j n n
j n
e
jnt
1 A n e j n e jnt 2 n1
f (t )
c g (t )
i i i 1
cr
t2
t1
f (t ) g r (t ) dt
t2 t1
g r 2 (t )dt
1 kr
t2
t2
t1
f (t ) g r (t ) dt
其中 此时的均方误差为
kr
t1
g r 2 (t ) dt
1 2 t2 t1
3.1.2
周期信号的分解
2 T
设有周期信号f(t),它的周期是T,角频率 2 F
，它可分解为：
a0 f (t ) a1 cos t a2 cos 2t an cos nt (3.2-1) 2 b1 sin t b2 sin 2t bn sin nt
第三章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
所以有
an 0
0
bn
4
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
f
(t)
4
[sin 0t
1 sin 3
3
0t
1 5
sin
5
0
t
1 n
sin n
0t
]
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
2 . 复指数形式的傅立叶级数
a
b
0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
三角函数集:
{1, cos0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, }
在区间 (t0 ,
t0
T)
内是一完备正交函数集。
T
2 0
正交性:（m 和 n 都是整数）
0
t0 T cos
t0
m0t
cos
信号与系统
§ 3.2 周期信号的 傅立叶级数展开
信号与系统
周期信号
周期信号: 定义在区间 (, ) ，每隔一定时间 T ，按 相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为
f (t)=f ( t+mT )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t
1
0 T/2 T
t
1
信号与系统
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos 20t b1 sin 0t b2 sin 20t
a0 an cos n0t bn sin n0t
信号与系统PPT 第三章 傅利叶变换
bn an
)
2
(n 1,3,5)
f
(t)
2E
n1,3,5
1 n
sin
n1t
2E
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51
)
或
2E
f (t)
n1,3,5
1 n
cos(n1t
2
)
Fn
1 2 (an
jbn
)
j
bn 2
jE
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
f (t) jE e j1t jE e j31t jE e j1t jE e j31t
5
51 31 1 1 31 51
0 1 31 51
n
n 1 31
0
51
51 31 1
2
1
31 51
2
2
3.1.4 波形的对称性与傅里叶级数的关系
已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)
是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶 级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也 将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整 周期对称；另一类是对半周期对称。
那么这个正交函数集也就不完备。
1,cos1t,cos 21t,cos n1t,, sin1t,sin21t,sinn1t,
包含正、 余弦函数的三角函数集是最重要的完
备正交函数集。 它具有以下优点：
(1) 三角函数是基本函数； (2) 用三角函数表示信号， 建立了时间与频率两个基本物理量之
间的联系； (3) 单频三角函数是简谐信号,简谐信号容易产生、传输、 处理； (4) 三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信
信号与系统第三章课件
(n 0)
1 1 Fn An an 2 bn 2 2 2 bn n n arctg a ( n 0) n F0 a0 A0 (n 0)
f (t )
Fn
n T 1 2
Fn e jn 0t
f (t )e jn0t dt
n 1,2,
2 bn f (t ) sin n 0 tdt n 1,2, 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS T T
ZB
2 0 为基波频率，n0为谐波频率，an和bn为傅里叶系数， T
[]dt表示从任意起始点 开始，取一个周期 为积分区间。 T
f (t )
...
0
T 4 T 2
...
T
t
4. 奇谐函数： f (t ) f (t T ) ，则 只含奇次谐波。
2
f (t )
...
T 2
T
...
0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
T 2
t
ZB
3.1.2 指数型傅里叶级数
由欧拉公式
sin n0t 1 jn0t 1 e e jn0t , cosn0t e jn0t e jn0t 2j 2
3.3.1 周期信号的单边频谱和双边频谱
单边幅度频谱（ n ~ n0 ) A 单边频谱 单边相位频谱（ n ~ n0 ) 双边幅度频谱（Fn ~ n0 ) 双边频谱 双边相位频谱（ n ~ n0 )
jn0t
抽样函数
sin x Sa ( x ) x
1. 偶函数
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展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变 换域的区别就在于选取不同的正交完备集。
采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章付里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 从而便于研究信号的传输和处理问题。
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2
傅里叶分析发展史
其中基波——角频率为1的分量; n次谐波——角频率为n1的分量
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直流分量：a0
1 T1
t0 T1 f (t)dt 1
t0
T1
T1 f (t)dt
0
其中余弦分量幅度：an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos(n1t)dt
正弦分量幅度：bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin(n1t)dt
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5、幅度谱、相位谱
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn
c0
c1 c2
c3
n ~ n1 信号的相位谱
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
0 w1 3w1
nw1
w
? 包络线”。
n
周期信号的主要特点：
具有离散性、谐波性、收敛性
0
w1 3w1
nw1
w
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n 1, 2,...
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
三角函数集是一组完备函数集。
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2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t)展开为常用形式
f (t) c0 cn cos(n1t n ) 或 n1
f (t) d0 dn sin(n1t n ) n1
其中
n ~
1 T1
t0 T1 f (t)
t0
jn1tdt
直流分量：F0 c0 a0
e 当n 0时，Fn Fn
jn 1 2
an jbn
Fn
Fn
e jn
1 2
Hale Waihona Puke (anjbn )其中 Fn
1 2
a2 n
b2 n
1 2 cn
n n (三角函数形式）
example
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
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4、基波、谐波
2
通常把频率为： f1 T1 w1
频率为：2
f1
2T1
2
2
w1
2
频率为： 3 f1 3T1 3 w1
称为基波。 称为二次谐波。 称为三次谐波。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
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3.1周期信号的傅 里叶级数
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三角函数形式的傅里叶级数
1、一种三角函数形式的傅里叶级数
设f(t)为任意周期信号（周期
T1 , 角频率 1
2
T1
）
则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
第三章 连续时间信号与系统的频域分析
本章要点
F 周期信号傅里叶级数 F 周期信号频谱 F 非周期信号的傅里叶变换 F 常用信号的傅里叶变换 F 傅立叶变换的性质 F 连续时间系统的频域分析 F 系统无失真传输的条件 F 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 F 调制与解调 F 抽样与抽样定理
引言
变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。
• 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 生的。
• 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。
• 1822年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。
• 但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方 法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里 叶分析这一数学工具增添了新的生命力。
• 傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中， 而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关 数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。
c0 d0 a0
其中
cn
dn
a2 b2
n
n
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n
arctg
bn ,
anWHUT
n
arctg
an bn
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3、傅里叶级数展开的充分条件
傅里叶级数存在的充分条件： 周期信号f(t)须满足“狄利克雷”(Dirichlet)条件，即
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值；
一周期内绝对可积，tt00 T1 f (t) dt
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二、指数形式的傅里叶级数
1、指数形式的傅里叶级数的形式
设f(t)为任意周期信号（周期
T1 , 角频率 1
2
T1
）
则其可展开为指数形式的傅里叶级数
e f (t)
F (n1) jn1t
n
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2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系
e 复函数：F(n1) 记 Fn
• 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。
• 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
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3
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波 器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。
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5
• 本章讨论的路线： • 傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号
频谱的概念； • 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，
掌握傅里叶分析方法的应用。 • 对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级
数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换 的一种特殊表达形式。 • 最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换， 并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理 论基础。
• 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。
• 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。
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• 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数），它 对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径和手 段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一 的变换域方法。