合同矩阵与性质
两个矩阵合同
两个矩阵合同
两个矩阵的合同，是指两个矩阵具有相同的阶数，并且每个对应的元素也相等。
下面将分别介绍两个矩阵的合同的定义、性质以及实际应用。
一、合同矩阵的定义：
设A、B是两个n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得PAP^{-1}=B，则称A和B是合同矩阵。
二、合同矩阵的性质：
1. 合同矩阵具有相同的阶数，即两个矩阵的行数和列数相等。
2. 如果A和B是合同矩阵，则B和A也是合同矩阵。
3. 如果A和B是合同矩阵，C是任意矩阵，则C^TAC和
C^TBC也是合同矩阵。
4. 合同矩阵的相等是一个等价关系。
三、合同矩阵的应用：
1. 矩阵的合同在线性代数中经常用于矩阵的相似性判断。
如果两个矩阵是合同矩阵，则它们之间存在一个可逆矩阵，可以用来表示相似关系。
2. 合同矩阵也可以用于矩阵的特征值和特征向量的计算。
通过合同变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，便于计算特征值和特征向量。
3. 合同矩阵还可以应用于矩阵的标准型的求解。
通过合同变换，可以将一个矩阵转化为一个特定形式的标准型，进而进行进一步的计算和分析。
4. 合同矩阵在矩阵的相合关系和正定性判断中也具有重要作用。
通过合同矩阵的变换，可以将一个矩阵转化为一个已知的形式，进而判断其性质和特性。
综上所述，合同矩阵在线性代数中具有重要的理论和应用价值。
通过对矩阵的合同性进行研究，可以帮助我们判断矩阵的相似性、特征值和特征向量，以及进行标准型的求解和正定性的判断，对于解决实际问题和推动数学发展都具有重要的意义。
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
合同矩阵性质
合同矩阵性质合同矩阵是指一个方块矩阵，其中的每个元素都满足非负性、单一性和加法性。
具体地说，对于一个合同矩阵A，有以下性质：1. 非负性（Non-negativity）：合同矩阵的每个元素都大于等于零。
即，对于任意的i，j，A[i][j] >= 0。
2. 单一性（Unity）：对于每一行，所有元素的和等于1。
即，对于任意的i，∑A[i][j] = 1。
3. 加法性（Additivity）：对于两个合同矩阵A和B，它们的和也是一个合同矩阵，且满足元素的和等于两个矩阵对应元素和的和。
即，对于任意的i，j，(A + B)[i][j] = A[i][j] + B[i][j]，且∑(A + B)[i][j] = ∑A[i][j] + ∑B[i][j]。
这些性质使合同矩阵在许多领域中有重要的应用，特别是在概率论、统计学和经济学中。
在概率论中，合同矩阵可以描述随机过程的转移概率。
例如，考虑一个马尔科夫链，它具有有限个状态，并且每个状态之间的转移概率满足合同矩阵的性质。
合同矩阵可以用于计算从一个状态转移到另一个状态的概率，以及计算马尔科夫链的平稳分布。
在统计学中，合同矩阵可以用于描述随机变量之间的相关关系。
具体地说，合同矩阵的元素可以表示两个随机变量的协方差。
合同矩阵的非负性保证了协方差是非负的，而合同矩阵的单一性保证了每个随机变量的方差是1。
通过对合同矩阵进行特征值分解，可以得到随机变量之间的主成分，从而进行降维和数据分析。
在经济学中，合同矩阵可以用于描述经济系统的供给和需求关系。
例如，考虑一个简化的经济模型，其中有n个商品和m个市场。
合同矩阵的第i行第j列的元素表示商品i在市场j中的供给或需求量。
合同矩阵的非负性保证了供给和需求是非负的，而合同矩阵的单一性保证了所有市场中的供给和需求之和等于商品的总供给和总需求。
通过对合同矩阵进行运算，可以分析商品之间的替代关系和互补关系，从而指导政府和企业的决策。
综上所述，合同矩阵是一个具有非负性、单一性和加法性的方块矩阵。
矩阵ab合同的定义
矩阵合同的定义
在数学中，尤其是在线性代数领域，"合同"一词通常用来描述两个矩阵之间的某种关系。
具体来说，如果存在一个可逆矩阵( P )，使得两个矩阵( A )和( B )满足等式( P^TAP = B )，则称矩阵( A )与( B )是合同的。
这种定义揭示了矩阵在经过一定的变换后可以具有相同的某些性质。
合同的性质
1. 保持正定性：如果( A )是正定的，那么所有与( A )合同的矩阵也是正定的。
2. 相似性：合同的概念与相似性紧密相关。
如果两个实对称矩阵相似，则它们一定
合同。
3. 特征值：合同变换不改变矩阵的特征值，但可能会改变特征向量。
4. 秩不变性：合同操作不会改变矩阵的秩。
合同的应用
- 二次型简化：在处理二次型问题时，通过合同变换可以将复杂的二次型转换为标准形式，从而简化问题的求解。
- 数值分析：在数值分析中，合同可以用来研究矩阵的稳定性和条件数。
- 物理学：在物理学中，特别是在量子力学和固体物理中，合同变换用于描述系统状态的变化。
结论
矩阵的合同概念是线性代数中的一个重要工具，它不仅有助于理解矩阵的内在属性，还广泛应用于多个学科领域中的实际问题解决。
通过掌握合同的基本定义和性质，我们可以更好地利用这一工具进行科学研究和工程计算。
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以上内容为关于矩阵合同定义的基本介绍，旨在提供一个清晰、准确的理论基础，帮助读者理解和应用这一概念。
矩阵的合同变换
矩阵的合同变换介绍矩阵的合同变换是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将从理论基础、矩阵相似性和合同变换的性质等方面进行全面、详细、完整且深入地探讨矩阵的合同变换。
理论基础1. 矩阵的定义在线性代数中，矩阵是由数按照矩形排列的矩形阵列。
一个m×n 矩阵是由 m 行n 列的矩形排列数字所组成的矩阵，其中每一个数字叫作矩阵的元素。
2. 矩阵的相似性矩阵的相似性是矩阵理论中的重要概念。
对于两个n×n 矩阵 A 和 B，如果存在一个n×n 矩阵 P 使得 PAP^-1 = B，那么称 A 和 B 是相似的，P 是相似变换矩阵。
•相似变换矩阵 P 是可逆矩阵，即存在矩阵 P^-1，使得 P^-1 P = PP^-1 = I，其中 I 是单位矩阵。
•相似的矩阵具有相同的特征值和特征向量。
3. 矩阵的合同变换矩阵的合同变换是另一个重要的矩阵变换。
对于两个n×n 矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P^TAP = B，那么称 A 和 B 是合同的，P 是合同变换矩阵。
合同变换和相似变换的不同之处在于，合同变换是在矩阵 A 的转置上进行的。
矩阵的合同变换的性质矩阵的合同变换具有一些重要的性质，下面将对这些性质进行详细介绍：1. 合同变换的保持特征值的性质如果 A 和 B 是合同矩阵，即存在一个可逆矩阵 P 使得 P^TAP = B，则 A 和 B具有相同的特征值。
这个性质与矩阵的相似性保持特征值的性质是相似的。
2. 合同变换的保持矩阵的秩的性质如果 A 和 B 是合同矩阵，即存在一个可逆矩阵 P 使得 P^TAP = B，则 A 和 B的秩相等。
这一性质保证了合同变换不改变矩阵的秩。
3. 合同变换的保持正定性和半正定性的性质如果 A 和 B 是合同矩阵，即存在一个可逆矩阵 P 使得 P^TAP = B，则 A 和 B的正定性和半正定性保持不变。
矩阵合同的性质
矩阵合同的性质矩阵合同是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种等价关系。
具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B满足等式A = PBP^-1，那么我们称矩阵A和B是合同的。
矩阵合同有以下几个性质：1.自反性：任意矩阵A与自身都是合同的，即A和A是合同的。
这是因为可以取P为单位矩阵，使得A = IA = PAP^-1成立。
2.对称性：如果矩阵A和B是合同的，那么矩阵B和A也必然是合同的。
这是因为如果A = PBP^-1，那么将等式两边同时左乘P^-1并右乘P，得到等式B = (P^-1AP)(PP^-1) = (P^-1AP)I = (P^-1AP)，即B和A也是合同的。
3.传递性：如果矩阵A和B是合同的，矩阵B和C也是合同的，那么矩阵A和C也必然是合同的。
这可以通过合同的定义推导得出：如果A = PBP^-1且B = QCQ^-1，那么A =P(QCQ^-1)P^-1 = (PQ)C(Q^-1P^-1)，即矩阵A和C是合同的。
4.等价类：由矩阵合同所定义的等价关系可以将所有的矩阵划分为不同的等价类。
对于任意的矩阵A，其所属的等价类可以表示为[A] = {B | A 与 B 是合同的}。
等价类具有以下性质：(1)等价类是一个非空的集合；(2)等价类之间是互不相交的；(3)所有矩阵的集合可以表示为不同等价类的并集：{所有矩阵} =[A1]∪[A2]∪...∪[An]。
5.合同矩阵的性质：合同的矩阵具有一些相同的性质。
例如，对于合同矩阵A和B，它们具有相同的秩、特征值和迹。
此外，如果A经过相似变换变为B，那么A和B也是合同的。
矩阵合同的性质是线性代数中的基础性质之一。
它不仅在理论上有重要意义，还在实际问题中有着广泛的应用。
矩阵合同的概念和性质为我们理解矩阵之间的关系提供了一个有效的方法，并且为矩阵的运算和分析提供了便利。
矩阵的合同变换的定义与性质
矩阵的合同变换的定义与性质英文回答：Definition of Congruence Transformation:A congruence transformation, also known as a congruence or similarity transformation, is a type of transformation that preserves the shape and size of a matrix. In other words, it is a transformation that does not change the angles or lengths of the vectors in the matrix.Properties of Congruence Transformations:1. Preservation of Shape: A congruence transformation preserves the shape of the matrix. This means that the transformed matrix has the same number of rows and columns as the original matrix.For example, let's consider a 2x2 matrix:Original matrix: A = [1 2][3 4]If we apply a congruence transformation to this matrix by multiplying it by a 2x2 matrix B, the resulting matrix C will also have 2 rows and 2 columns:Transformed matrix: C = B A = [a b][c d]2. Preservation of Size: A congruence transformation also preserves the size of the matrix. This means that the transformed matrix has the same determinant as the original matrix.For example, let's consider the same 2x2 matrix A as before. If we apply a congruence transformation to this matrix, the determinant of the transformed matrix C will be the same as the determinant of the original matrix A:det(C) = det(B A) = det(B) det(A) = det(A)。
合同矩阵
发展史
1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)证明了其他数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如称为 埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称 矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并得出了一些有关的结论。
正定二次型
半正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到一个对角线元素只由0和1构成的对角矩阵。 一个二次型是半正定二次型，当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。 正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。 一个n元二次型是正定二次型，当且仅当它的正惯性指数是n。正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵，且行列 式大于0。 同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。
合同矩阵
线性代数的定义
目录
01 定义
03 正定二次型
02 性质 04 发展史
合同矩阵，在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的， 存在可逆矩阵 C，使得CTAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。
定义
合同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得 例题则称方阵A与B合同，记作 A≃B。 一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合 同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。
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性质
合同关系是一个等价关系，也就是说满足： 1、反身性：任意矩阵都与其自身合同； 2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A； 3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C； 4、合同矩阵的秩相同。 矩阵合同的主要判别法： 设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同. 设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负 特征值的个数相等）。
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第十五讲：配方法与正定二次型
2.特征值判定方法
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特
征值全为正 分析：由于二次型可合同为标准型，标准型的系数即组成 了对角矩阵，主对角线的元素是由特征值构成的，所以特 征值即标准型系数，由以上定理即可得出结论。 3.主子式判定方法：
特征值相同，为：A ,i 1, ,n.
i
A正定,i 0, A 0,
A 0,i 1, ,n. A*的特征值均为正，即正定。
i 25（2）证：设f1 xT Ax, f2 xT Bx,, 则; f ( x) xT ( A B)x xT Ax xT Bx,
xTU TUx (Ux)T (Ux)， Unn xn1 qn1 q1 , q2 , qn
f
(
x
)
qT
q
q2 1
q2 2
q2 n
0
x 0, U可逆Ux 0,即q 0, f 0
即f xT Ax为正定二次型
第十五讲：配方法与正定二次型
4.负定判定方法：
对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：A 的奇数阶主子式
二、正定二次型的概念 1.惯性定理： 定理11 设有实二次型
, 它的秩为 r ，有两个实可逆
变换
及
使
及
则
中正数的个数与
中正数的个数相等.
这个定理称为惯性定理.
标准化后正系数的个数称为正惯性指数，记为p
负（含零）系数的个数称为负惯性指数
第十五讲：配方法与正定二次型 该定理说明了：
（1）二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所
为负，而偶数阶主子式为正，即
这个定理称为霍尔维茨定理. 例5 判别二次型
解
的正定性.
所以f 为负定的.
第十五讲：配方法与正定二次型
例6 设二次型 f 2x12 x22 x32 2x1 x2 tx2 x3
是正定的,则 t ( ).
2
解: A 1
1 1
0 t
A1 2 2 0
x1
x2
2x3
2
[
2 x2
2 2(2x2 )x3
x2 3
]
9
x2 3
x1 x2 2x3 2
2 x2
x3
2
9
x2 3
第十五讲：配方法与正定二次型
y1 x1 x2 2 x3
令
y2
2 x2
x3
y3 x3
15
即
x1
x2
y1 2 y2
1 2
y2
1 2
y3
2
y3
x3 y3
解: f x12 5x22 4x32 2x1 x2 4x1 x3
x12 2x1( x2 2x3 ) 5x22 4x32
[
x2 1
2x1( x2
2x3 )
x2 2x3 2 ]
x2
2x3
2
5
x2 2
4
x2 3
x1
x2 2x3
2
4
x2 2
4 x2
x3
8
x2 3
是否正定
解:
6 2 2
6 A 2
2
2 5 0
2
0
a11 6 0
7
6 2
2 34 0
5
2 5 0 162 0
所以正定
2 07
第十五讲：配方法与正定二次型
必 要 性 ： 设A对 称 且 正 定 ， 则 存 在 正交 矩 阵P， 与 对 角
矩阵 diag(1,2 , ,n )，i 0, i 1,2, , n.使得：
0
t 2
2
1
2 A2 1
1 1 0
1
21 0
A3 1
1
t
t2
1 0
2
2
2 t
2
0t 1
2
第十五讲：配方法与正定二次型
证：（1) A正定， A的特征值全为正。且存在P正交，
使得：P 1 AP .即：
(P 1 AP)1 1.P 1 A1P 1.设 diag(1, ,n ),
则：－1 diag( 1 , , 1 )。
第十五讲：配方法与正定二次型
2.正定二次型的定义：
定义9 设有实二次型
, 如果对任何 ，
都有 f >0 （显然 f (0) = 0）， 则称 f 为正定二次型，
并称对称矩阵 A 是正定的； 如果对任何 ， 都有
则称为负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的.
三、正定二次型的判定方法：
1.标准型系数法：
第十五讲：配方法与正定二次型
本次课讲完大纲规定全部内容， 下次课进行全书总结并讲授一套模拟 训练题 本次上课交作业P49—P50,T20可暂不 做，课堂上讲
第十五讲：配方法与正定二次型
一、配方法化标准型
例1 化二次型 f x12 5x22 4x32 2x1 x2 4x1 x3
成标准型，并所用的变换矩阵.
P 1 AP PT AP .即 : A PP 1 PPT
1
A PPT P
PT
n
1
P
1
n
PT
n
1
P
第十五讲：配方法与正定二次型
1
PT
n
n
1
令U
PT ,则：A U TU .结论成立。
n
充分性：设U为可逆矩阵，A U TU，f ( x) xT Ax
含的项数是确定的（即是二次型的秩）。
（2）在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个 数（即正惯性指数）是不变的，同理，负惯性指数也 不变
（3）在二次型标准化的各类变换中，通过练习已知， 一种典型的变换是正交变换，变换后标准型的系数恰好 是特征值。根据惯性定理，所有特征值中，正特征值的 个数等于正惯性指数，负（含零）特征值个数等于负惯 性指数
1
n
A1与1相似， A1的特征值与1的相同，
为：1
1
,
,
1
n
。
i
1 0,
i
0,
i 1,2, , n.特征值均为正，即A1正定。
第十五讲：配方法与正定二次型
AA* A E, A* A A1 . P 1 A A1P A 1 即：P 1 A*P A 1，即：A* A A1与 A 1相似。
（1）什么是主子式 沿主对角线，从a11开始，依次计算的1、2、 n阶行列式
a11 a11
分别称为1,2, n阶主子式
第十五讲：配方法与正定二次型
（2）主子式判定定理
定理13 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主
子式都为正，即
例4: 判断二次型 f 6x12 5x22 7x32 4x1x2 4x1x3
1 1 5
2 2
P
0
1 2
1 2
0 0 1
( P 0)
标准型为: f y12 y22 9 y32
第十五讲：配方法与正定二次型
例2 化二次型 成标准型，并求所用的变换矩阵.
解
令
即
第十五讲：配方法与正定二次型
就把 f 化成标准形
所用变换矩阵为
（|P|=1≠0）
第十五讲：配方法与正定二次型