八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线导学案(新版)北师大版
线段的垂直平分线的性质导学案
《线段的垂直平分线的性质》导学案一．学习目标：1.探究线段垂直平分线的性质和判定，证明相关结论；2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决简单数学问题；3.学会尺规作图画出线段的垂直平分线。
二．学习过程（一）创设情境：如图：某地由于居民增多，要在公路边增加一个卫生所， A,B 是公路边两个村庄，这个卫生所建在什么位置，能使两个村庄到卫生所的路程一样长？（二）复习引入1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？2.你能画出线段的对称轴吗？（请在右边空白处画出图形）3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？4.什么是线段的垂直平分线？（三）探索性质（四）归纳性质。
（五）证明性质已知： ，求证： 。
（六）运用性质练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 与E ，则△ADE 的周长等 于______． A B CD E2 如图，AD ⊥BC ，BD =DC ，点C 在AE的垂直平分线上，AB ，AC ，CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE 有什么关系？（七）探索判定反过来，如果PA =PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？（八）证明判定已知： ，求证： 证明：（九）归纳判定线段垂直平分线的判定： 。
（十）运用判定 练习3 如图，直线AM 是线段BC 解：（十一）尺规作图作出线段AB 的垂直平分线（十二）解决问题请同学完成“创设情境”中提出的问题。
（十三）课堂小结（1）本节课学习了哪些内容？（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？（十四）布置作业 教科书习题13.1A :第6、9题．B:第9、13题 A B C D E B C D A B。
第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的的性质与判定北师大版八年级数学下册
无数 种.
3. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA＝
EB，PA＝PB； ② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB； ③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的 点；
④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB． 其中正确的有 ①②③ （填序号）.
A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三边高线的交点 D.没有这样的点
3. 在△ABC 中，AB 的中垂线与 AC 边所在直线相交所得的锐角为 50°，则∠A 的
度数为（ C）
A. 50°
B. 40°
C. 40°或140°
D. 40°或50°
4. 已知：如图，在△ABC 中，边 AB、
P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． P3
P1A _＝___P1B
P2 P1
P2A __＝__ P2B
A
B
P3A __＝__ P3B
l
活动探究 将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l
是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
l
证明：∵ l⊥AB，
P
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB (SAS)． A
C
B
∴ PA = PB．
微课——证明线段垂直平分线的性质
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总结归纳
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等.
练习
AA′ 沿直线 l 折叠，则点 A 与点 A′ 重合，AD = A′D，
北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.3线段垂直平分线 教学设计
《线段的垂直平分线》基于课程标准的教学方案设计【课题】《线段垂直平分线》【教材来源】义务教育教科书/ 北京师范大学出版社 2021年版【学习内容】八年级数学下册第22--24页【授课对象】八年级学生【设计者】【目标确定的依据】1.基于课程标准《数学课程标准（2021年版）》有关本课的要求是：理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
2.对教材的理解本节课是北师大版八年级数学下册第一章第三节的内容，基于学习等腰三角形之后的一节，通过本节课的学习使学生能对等腰三角形有更深刻的认识，对等腰三角形的性质有更深刻的理解和应用。
让学生通过对定理的证明体会证明的严谨性和必要性。
3、学情分析学生在七年级学习轴对称时，已经知道了线段垂直平分线的概念，并通过折纸的方法理解了线段的垂直平分线的性质定理。
在此基础上，通过本节课的学习让学生经历证明的过程体会理解证明的步骤，进一步熟悉几何（数学）符号语言的运用，为以后证明的学习打下坚实的基础。
【学习目标】1.经历探索、猜想、证明的过程，会证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，体会证明的必要性.2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.【学习重点】能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.【学习难点】探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理的过程.【评价任务】1.能够正确找出线段垂直平分线的性质定理和判定定理的条件和结论，并会结合图形写出已知、求证和证明过程.2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理进行计算和推理.教学方法：导学法教学准备：导学稿课件三角板矩形纸教学过程：一、设情激趣导入新课教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?问题设置1.所建码头满足什么条件？2.满足这个条件的点在什么地方？为什么？3.你是怎么知道这个结论的？4.你能证明这个结论吗？这就是我们本节课要学习的内容《线段垂直平分线》的证明板书：线段垂直平分线【设计意图】通过问题情景，引导学生回顾七年级学习的线段的垂直平分线，从而引入本节课的主题——线段的垂直平分线.【评价要点】会找到码头的位置，并会说出根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”二、自主研讨，尝试证明教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。
1.3线段的垂直平分线 第一课时 导学案
1.3 线段的垂直平分线（一）一、学习准备：1、什么叫线段的垂直平分线？2、作出线段AB 的垂直平分线：二、学习目标：1、掌握线段的垂直平分线的性质定理和判定定理以及它们的证明。
2、能利用所学定理解决简单的实际问题。
三、学习提示：阅读P22~23完成下列任务： 1，自主探究：做一做，在上面所做的线段的垂直平分线上任取一点P ，连接PA 、PB 利用折纸的方法比较一下PA 、PB 的大小。
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 相等。
2. 合作探究：证明上面的定理：3、你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明。
定理：到一条线段两端点距离相等的点，在 上。
练习例：已知，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC ，求证：直线AO 垂直平分线段BC4、练习： 1、P23随堂练习四、学习小结：你有哪些收获BA五、夯实基础：1、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果BC=3cm ，△DBC 的周长是7cm ，那么AC 的长度为（ ）。
A 、3cmB 、4cmC 、5cmD 、6cm2、在R t △ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ，已知∠BAE=10°，则∠的度数为（ ）。
A 、30°B 、40°C 、50°D 、60°1题 2题3、如图、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于点E ，D 为垂足，连接EC ，(1)求∠ECD 的度数； (2)若CE=5，求BC 的长。
六、能力提升1、在四边形ABCD 中，A D ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，B E ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ，求证：(1)FC=AD ；（2）AB=BC+AD.作业：P23习题1.7--1、3、4、B C。
北师大版八年级下册1.3线段的垂直平分线教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了线段垂直平分线的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对线段垂直平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.教学难点
（1）理解线段垂直平分线的概念：线段垂直平分线的定义涉及到垂直与平分两个要素，学生可能难以同时理解这两个要素。
（2）运用垂直平分线性质解决实际问题：学生在解决实际问题时，可能难以将线段垂直平分线的性质与问题情境相结合，不知道如何运用。
（3）垂直平分线判定定理的应用：学生可能难以理解判定定理的证明过程，以及在具体问题中如何使用该定理。
（2）线段垂直平分线的性质：熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，并能运用该性质解决相关问题。
（3）垂直平分线判定定理：掌握如何判断一条直线是否为线段的垂直平分线，即一条直线垂直平分线段，那么线段上的任意一点到这条直线的距离都相等。
举例：讲解线段垂直平分线的定义时，可以通过实际操作让学生观察垂直和平分的直观表现；在讲解性质时，可以通过具体图形让学生验证线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
五、教学反思
八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线第2课时三角形三边垂直平分线的性质教案新版北师大版
八年级数学下册教案:第2课时三角形三边垂直平分线的性质1．能够证明三角形三边垂直平分线的相关结论．2．能够利用尺规作已经底边及底边上的高的等腰三角形．重点掌握三角形三边垂直平分线的性质．难点会用所学知识按要求作图．一、复习导入活动一：尺规作图作三角形三条边的垂直平分线．师：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示作图过程)引导学生得出：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．活动二：下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．师：这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．二、探究新知1．三角形三边垂直平分线的性质(1)教师引导学生分析，寻找证明方法．师：我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．我们不妨再来看一下作图过程，或许你能从中受到启示．通过回顾作图过程，引导学生认同：两直线必交于一点，那么要想证明“三线共点”，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．(2)师生共同分析，完成证明．处理方式：讨论结束后，学生书写证明过程．教师点评，注意几何符号语言的规范性．已知：在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：点P在AC的垂直平分线上．证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理PB＝PC.∴PA＝PC.∴点P在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P.师：从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？ (交点P到三角形三个顶点的距离相等)(3)多媒体演示我们得出的结论：定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．2．按要求作图(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？处理方式：学生通过小组讨论得出结论，并尝试作出草图，验证自己的结论．解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个．已知：三角形的一条边a和这边上的高h，求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h.从上图我们会发现，先作已知线段BC＝a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD＝A1D＝h，连接AB，AC(或A1B，A1C)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．说明：不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上排除．(3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．已知：线段a，h.求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h.作法：①作BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；③以点D为圆心，h长为半径作弧交MN于点A；④连接AB，AC.∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．三、练习巩固1．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是( ) A．三角形三条角平分线的交点B．三角形三条垂直平分线的交点C．三角形三条中线的交点D．三角形三条高的交点2．已知△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．等腰Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是________．4．如图，有A，B，C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置．(要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法)四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？五、课外作业1．教材第26页“随堂练习”．2．教材第26～27页习题1.8第1～4题．本节课主要学习“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”和“已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形”，在讲解的过程中从尺规作图、逻辑推理等多层次地理解并证明了定理，学生思维活跃，能够积极参与到学习中来，教学效果较好．。
2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教学设计
2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教学设计一. 教材分析《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第3节的内容。
本节课主要介绍线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过证明线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，以及线段垂直平分线垂直平分线段这两个性质，让学生理解线段垂直平分线的重要性和应用。
同时，通过逆定理的证明，让学生掌握如何判断一条直线是线段的垂直平分线。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段、射线、直线的基本概念，以及全等三角形的性质和判定。
但线段垂直平分线的性质定理及其逆定理较为抽象，需要学生具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过生动形象的比喻和具体例子，帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
2.学会运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明。
2.如何运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索；通过具体案例，让学生理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；通过小组合作学习，培养学生之间的交流和合作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.尺子、圆规、直尺等作图工具。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入：在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(6,7)之间有一条线段，求线段的垂直平分线方程。
让学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题。
2.呈现（15分钟）讲解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
通过PPT课件和板书，呈现定理的证明过程，让学生理解定理的含义。
同时，给出一些例子，让学生学会运用定理解决实际问题。
《线段的垂直平分线》教案 北师大版
1．3 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线1．掌握线段垂直平分线的性质；(重点) 2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点)一、情境导入如图所示，有一块三角形田地，AB ＝AC ＝10m ，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得△BDC 的周长为17m ，你能帮测量人员计算BC 的长吗？二、合作探究 探究点一：线段的垂直平分线的性质定理【类型一】 应用线段垂直平分线的性质定理求线段的长如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为()A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．17.5cm 解析：∵△DBC 的周长＝BC ＋BD ＋CD ＝35cm ，又∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，故BC ＋AD ＋CD ＝35cm.∵AC ＝AD ＋DC ＝20，∴BC ＝35－20＝15cm.故选C.方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【类型二】 线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .求证：(1)FC ＝AD ；(2)AB ＝BC ＋AD . 解析：(1)根据AD ∥BC 可知∠ADC ＝∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB ＝BF 即可．证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠ECF .∵E 是CD 的中点，∴DE ＝EC .又∵∠AED ＝∠CEF ，∴△ADE ≌△FCE ，∴FC ＝AD .(2)∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，AD ＝CF .∵BE ⊥AE ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB ＝BF ＝BC ＋CF .∵AD ＝CF ，∴AB ＝BC ＋AD .方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．探究点二：线段的垂直平分线的判定定理如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的关系．解析：先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，易证AD 垂直平分EF .解：AD 垂直平分EF .理由如下：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠EAD ＝∠F AD ，∠AED ＝∠AFD .在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAF ，∠AED ＝∠AFD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，DE ＝DF ，∴直线AD 垂直平分线段EF .方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．三、板书设计1．线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．2．线段的垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.。
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八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线导学案
（新版）北师大版
一、学习目标：
1、能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。
2、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力。
二、学习重点、难点：线段垂直平分线的性质定理和判定定理证明及应用。
三、学习过程：
（一）、自主探究：
1、如图，
A、B表示两个仓库，要在
A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
2、证明：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：求证：证明：
3、预习检测：如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60，那么∠EDC= 。
（二）、合作探究探究点一：线段垂直平分线的判定定理
1、把定理“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…”的形式。
2、写出上面定理的逆命题，它是真命题吗？如果是请证明它。
3、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线的判定定理：探究点二：应用
1、如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且OB = O
C、求证：直线 AO 垂直平分线段B
C、你还有其他证明方法吗？
2、在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N、(1) 求△AEN的周长、 (2)
求∠EAN的度数、(3)
判断△AEN的形状
（三）、当堂检测
1、如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB =5， BD =4，则AC = ，CD = ，AD = 。
2、如图，△ABC中，AB = AC，∠A =40，DE为AB 的中垂线，则∠1 = ，∠C = ，∠3 = ，∠2 = ；若△ABC的周长为
16cm，BC =4cm，则AC = ，△BCE的周长为。
(四)、作业
1、课本
2、如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交A
B、BC延长线于F、E。
求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF∥AC（3）∠EAC=∠B
四、谈谈自己的收获：二次备课。