华中师范大学2014-量子力学B卷-参考答案

=
−
μes4 82
，概率为 1；其它取值的概率为 0；能量平均值为 E2
=
−
μes4 82
；
两个本征态都是 l=1 的本征态，角动量平方的本征值公式 L2 = l(l +1) 2 ，故其可能值为2 2 ，概率为
1：其它取值的概率为 0；平均值为2 2 ；
两个本征态对应于 m=0 和 m=-1，角动量 z 分量的本征值公式 Lz = m ，故其可能值：0，概率为 1/4； − ，概率为 3/4；平均值为−3 / 4 。
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------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
（提示：氢原子能级公式 En
=
−
μes4 2 2n2
）
解：题示的状态是用本征态展开的形式，只包含两个本征态，根据态叠加原理，体系处于这两个本征态的 概率分别为：1/4，3/4。
从量子数可以看出，这两个本征态都是 n=2 的本征态，对应于同一能量，根据氢原子的能级公式，该
状态下，体系能量的可能值是 E2
6. 电子云 答：从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是以不同 的概率出现在空间各处，这种电子电荷在核外的概率分布称为电子云。
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三、证明题（共 3 题，共 19 分）
1. 证明对易关系 ⎡⎣Lˆx , yˆ ⎤⎦ = ihzˆ 。（8 分） 证明：因为 ⎡⎣xˆα , xˆβ ⎤⎦ = 0, ⎡⎣ pˆα , pˆβ ⎤⎦ = 0, ⎡⎣xˆα , pˆβ ⎤⎦ = i δαβ ，且 Lˆx = yˆpˆ z − zˆpˆ y ，利用对易关系 的运算法则，得
是
Sˆz
=
Sˆ1z +Sˆ2z
的本征态，本征值为λ
=
。证毕。
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四、计算题（共 4 题，共 45 分）
1.
设氢原子处于归一化状态ψ
(r,θ
,ϕ
)
=
1 2
R21 (r )Y10
(θ
,ϕ)
−
3 2
R21 (r )Y1−1 (θ
,ϕ)
，求其能量、角
动量平方及角动量 z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（12 分）
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------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
= [Sˆ1z χ1/2 (S1z )]χ1/2 (S2z ) + χ1/2 (S1z )[Sˆ2z χ1/2 (S2z )]
= 2 χ1/2 (S1z )χ1/2 (S2z ) + 2 χ1/2 (S1z )χ1/2 (S2z ) = χ1/2 (S1z )χ1/2 (S2z )
可见，
χ
(1) s
证明：总自旋角动量
z
分量算符为 Sˆz
=
Sˆ1z +Sˆ2z
，把它作用在体系状态
χ
(1) s
上，利用粒子
1
的角
动量只对粒子 1 的波函数有作用，对粒子 2 的波函数没有作用，可得
Sˆz
χ
(1) s
=
Sˆz χ1/2 (S1z )χ1/2 (S2z )
=
(Sˆ1z
+
Sˆ2z )χ1/2 (S1z )χ1/2 (S2z )
⎡⎣Lˆx , yˆ ⎤⎦ = ⎡⎣ yˆpˆ z − zˆpˆ y , yˆ ⎤⎦ = [ yˆpˆ z , yˆ] − ⎡⎣zˆpˆ y , yˆ ⎤⎦ = yˆ [ pˆ z , yˆ ] − zˆ ⎡⎣ pˆ y , yˆ ⎤⎦ = 0 − zˆ(−ih) = ihzˆ
2. 证明：厄米算符的本征值必为实数。（5 分）
4. 共振跃迁 答：当周期性微扰的频率不等于两能级间的玻尔频率时，即ω ≠ ±ωmn 时，跃迁概率不大； 当ω = ±ωmn 时，即吸收过程和辐射过程，其跃迁概率随时间而增大，称为共振跃迁。这类似 于经典力学中的受迫振动：当外力频率不等于振子固有频率时，振幅始终不大；当外力频率等 于振子固有频率时，振幅会变得很大。因而通常把跃迁中的这种现象称为共振跃迁。 5. 分波法的基本思想 答：对于中心力场，角动量是守恒量。应用角动量守恒，把受势场作用前后的定态按分波 展开，各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理，势场对各分波的效应在于改变分波的相 位。
的强弱反映了在空间某处发现粒子的概率的大小。波函数的标准条件是单值、连续和有限。
专业：
院（系）：
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二、名词解释题（共 6 题，每题 4 分，共 24 分）
1. 态叠加原理 答 ： 若 ψ1,ψ 2, ,ψ n , 是 体 系 的 一 系 列 可 能 的 状 态 ， 则 这 些 态 的 线 性 叠 加 ψ = C1ψ1 + C2ψ 2 + + Cnψ n + （其中C1, C2 , , Cn , 为复常数）也是体系的一个可能 状态。当体系处于ψ 态时，发现体系处于ψ n 态的概率是 Cn 2 。 2. 隧道效应
答：钠黄线的精细结构，复杂塞曼效应，斯特恩-盖拉赫实验都表明电子具有自旋。电子
自旋角动量不是电子自转产生的，因为按照电子自转的图像，算得电子表面的线速度会超光速，
按照狭义相对论，这是不可以的。
3. 波函数的统计解释及波函数的标准条件
答：t 时刻 x 附近dx 体积元内发现粒子的概率为ψ ( x,t ) 2 dx 。描写粒子的波是概率波，波
4. 设粒子处于状态ψ (r , t ) = ϕ1(r )e− i E1t + ϕ2 (r )e− i E2t ，式中ϕ1 和ϕ2 分别是本征值为 E1 和 E2 的
能量本征态，如果将粒子空间概率密度的周期 T 看作表征体系性质变化快慢的特征时间Δt ，
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
交归一的本征矢在 A 表象的矩阵表示；（2）使矩阵 F 对角化的么正变换矩阵 U。（12 分）
解
：
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------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
∑ E ( 2) 1
=
l ≠1
| H1′l |2
E(0) 1
−
E(0) l
=
| H1′2 |2
E(0) 1
−
E(0) 2
+
| H1′3 |2
E(0) 1
−
E(0) 3
=
− 1 c2 2
∑ E ( 2) 2
=
l≠2
| H2′l |2
E(0) 2
−
E(0) l
=
|
H
′
21
|2
E(0) 2
−
E(0) 1
+
学号：
华中师范大学 2014 –2015 学年第一学期 期末考试试卷（B）
课程名称 量子力学 课程编号 83810113 任课教师
题型 简答题 名词解释题 证明题 计算题
总分
分值
12
24
19
45
100
得分
得分 评阅人
一、简答题（共 3 题，每题 4 分，共 12 分）
学生姓名：
年级：
1. 量子力学基本假设是什么？
| H2′3 |2
E(0) 2
−
E(0) 3
=
1 c2 2
∑ E ( 2) 3
=
l ≠3
|
H
′
3l
|2
E(0) 3
−
E(0) l
=
|
H
′
31
|2
E(0) 3
−
E(0) 1
+
|
H
′
32
|2
E(0) 3
−
E(0) 2
=0
得二级近似下 E1
=1−
1 2
c2 , E2
=
3+
1 2
c2,
E3
=
−2 +
c
。
1− E c
答：微观粒子能穿越比它的能量高的势垒的现象，称为隧道效应。它是微观粒子波动性的体现。
3. 全同性原理和泡利不相容原理
答：全同性原理表述为：全同粒子是不可区分的，全同粒子体系的状态不会因为任意两个全同粒子的交 换而改变。由于全同性原理，全同粒子体系的总波函数具有交换对称性或反对称性。全同玻色子体系的 总波函数是交换对称的，全同费米子体系的总波函数是交换反对称的。对于费米子，如果有两个或两个 以上的粒子状态相同，则不可能组成反对称的波函数，这表明，在全同费米子体系中不能有两个或两个 以上的费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理。泡利不相容原理是全同性原理的推论。