华中师范大学,2014量子力学-A卷-参考答案

1. 简述玻尔的量子论，并对它进行简单的评价。
答：为了解释原子稳定性的问题和光谱的线状谱，玻尔的工作：（a）首先假设了不连续的定态，处 于定态的电子不辐射。定态由量子化条件决定。(b) 还引进了量子跃迁的概念。这一模型解决了上 述两个困难，其定态的概念依然保留在近代量子论中，为人们认识微观世界和建立量子理论打下 了基础。其缺点是，量子化条件是输入，而不是输出；保留了经典的概念，如轨道，没有成为一 个完整的量子理论体系。
②
对上式取共轭，得
fn
F
fn
*=
f
* n
③
利用厄米算符的定义 fn F fn * = fn F † fn = fn F fn ，得出②式与③式相等，即
f
* n
=
fn
（2）厄米算符的本征值方程记为 F i = fi i 或 F j = f j j ，用 j 左乘前式，用 i 左乘后式，得
j F i = j fi i = fi j i
2. 已知在 Lˆ2 和 Lˆz 的共同表象中，算符 Lˆx 和 Lˆy 的矩阵表示分别为
⎛0 1 0⎞
⎛0 −i 0 ⎞
Lx =
2
⎜⎜⎜⎝10
0 1
1
⎟ ⎟
，Ly
0 ⎟⎠
=
2
⎜ ⎜⎜⎝
i 0
0 i
−
i
⎟ ⎟
，求它们的本征值和归一化的本征函数，并将矩阵
Lx
0 ⎟⎠
和 Ly 对角化，写出使矩阵对角化的么正变换矩阵 U。（12 分）
α
−
e
1α 2 x2 2
，其中α
=
μω ，求粒子出
π
现在经典禁区的概率。（10 分）
∫ ∫ +∞
（积分公式： e−x2 dx =
π,
1
e−x2 dx = 0.75 ）
0
20
解：谐振子的能量表达式 E = T + 1 μω2 x2 ，因经典粒子的动能必小于等于总能量，其转折点（动能 2
为零的点）满足 E = 0 + 1 μω2 A2 ，得 x = ± 2E 。
华中师范大学 2014 –2015 学年第一学期 期末考试试卷（A）
课程名称 量子力学 课程编号 83810113 任课教师
题型 填空题 判断题 证明题 简答题 计算题 总分
分值 20
10
16
20
34
100
得分
学号：
学生姓名：
年级：
得分 评阅人
一、填空题：（共 10 题，每题 2 分，共 20 分）
体现。
4. 跃迁的选择定则及其理论依据。
答：光照射原子时，即使入射光中与玻尔频率对应的能量密度不为零，跃迁也不一定发生。
还要求两能级的量子数满足Δl = l '− l = ±1, Δm = m '− m = 0, ±1，这称为选择定则。其理
论依据是，在电偶极近似下跃迁概率 wn→m ∝ rmn 2 ρ ( ωmn ) 。当 ρ ( ωmn ) ≠ 0 时，若 rmn 2 = 0 ，导致跃迁概率为零，跃迁是禁戒的。允许的跃迁要满足 rmn 2 ≠ 0 ，就得到选择
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
−∞
α e−α 2x2 dx π
+
+
+
μω
μω
μω
∫ ∫ ∫ +∞
=2
+1
1 π
e−ξ2 dξ
⎛ +∞ = 2⎜
⎝0
1
1
e−ξ2 dξ −
π
0
1 π
e−ξ 2 dξ
⎞ ⎟ ⎠
=
2 ⎜⎝⎛
1 2
−
0.75 ⎞ π ⎟⎠
= 0.154
在经典禁区，粒子出现的概率不为零，对于基态，在经典禁区出现的概率为 15.4%。
2. 处于定态的体系具有哪些性质。
答：（a）定态是能量有确定值的状态；（b）处于定态的系统，几率分布与时间无关，几率流密度 与时间无关；（c）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化。总之，定态是一种力学性 质稳定的状态。
3. 隧道效应。
答：微观粒子能穿越比它的能量高的势垒的现象，称为隧道效应。它是微观粒子波动性的
④
i F j = i fj j = fj i j
⑤
④式取共轭得
i F j = fi i j
⑥
⑤式与⑥式相减，左边为零，得
( fi − f j ) i j = 0
而( fi − f j ) ≠ 0 ，则 i j = 0 ，证毕。
2. 证明处于 1s，2p 和 3d 态的氢原子，分别在r = a0 ，4a0 和9a0 的球壳内发现电子的概率
2
μω 2
对于基态， E = 1 2
ω ，转折点 x = ±
⎛ μω ，经典禁区为⎜⎜⎝ −∞, −
μω
⎞ ⎟⎟⎠
和⎜⎜⎝⎛
+
⎞ μω , +∞ ⎟⎟⎠ 。
量子谐振子出现在经典禁区的概率为
−
∫ ∫ ∫ ∫ μω
+∞
+∞
+∞
ψ 0 (x) 2 dx + ψ 0 (x) 2 dx = 2 ψ 0 (x) 2 dx = 2
1. 用狄拉克符号证明：
（1） 厄米算符的本征值是实数；
（2） 厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非简并情形）。（8 分）
证明：（1）设 F † = F ，其本征值方程为
F fn = fn fn
①
用本征矢的共轭矢量 fn 左乘上式，得到
fn F fn = fn fn fn = fn fn fn = fn
最大。（提示：氢原子波函数ψ nlm (r,θ ,ϕ) =
Rnl (r)Ylm (θ ,ϕ)
，其中 R10 (r) =
2 a3/2
0
−
e
r a0
，
R21 (r )
=
1 (2a0 )3/2
r a0
3
−
e
r 2 a0
， R32 (r)
=
⎛ ⎜ ⎝
2 a0
⎞3/2 ⎟ ⎠
1 81 15
⎛ r ⎞2
⎜ ⎝
a0
1. 若某种光的波长为λ ，则其光子的能量为 hc / λ ，动量大小为 h / λ 。
2. 戴维逊—革末实验主要表现出电子具有 波动性
。
3. 若ψ ( x, t ) 是归一化的波函数，则ψ ( x,t ) 2 dx 表示 t时刻x附近dx体积元内发现粒子的概率 。
4. 设力学量算符 Fˆ 与Gˆ 不对易，且其对易子为 ⎣⎡Fˆ ,Gˆ ⎦⎤ = ikˆ ，则它们的不确定性关系为
k ΔFΔG ≥
。
2
5. 厄米算符在自身表象是 对角 矩阵。
6. 从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云
的图像，电子云是 电子电荷在核外的概率分布
。
7.
设氢原子处于态ψ
( r,θ ,ϕ )
=
2 3
R21(r)Y10 (θ ,ϕ)
−
5 3
R21 (r )Y1−1 (θ
Fmn 2 δ
E(0) m
−
E(0) n
±
ω
。式中
δ 函数的物理意义是 跃迁过程能量守恒 。
得分 评阅人
二、判断题：（共 10 题，每题 1 分，共 10 分）
1. 光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。 （ √ ）
2. 若 ψ1,ψ 2, ,ψ n , 是 体 系 的 一 系 列 可 能 的 状 态 ， 则 这 些 态 的 线 性 叠 加 ψ = C1ψ1 + C2ψ 2 + + Cnψ n + （其中C1, C2 , , Cn , 为复常数）也是体系的一个可
定则。
5. 分波法的基本思想。
答：对于中心力场，角动量是守恒量。应用角动量守恒，把受势场作用前后的定态按分波
展开，各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理，势场对各分波的效应在于改变分波
的相位。
得分 评阅人
五、计算题：（共 3 题，共 34 分）
1. 质量为 μ 的一维谐振子的基态波函数为ψ 0 (x) =
⎟ ⎠
−r
e 3a0 。（8 分）
证明：r ∼ r + dr 球壳内发现电子的概率（利用球函数的归一性，径向波函数是实函数）

2π π
∫ ∫ wnl (r)dr = dϕ dθ ψ nlm (r,θ ,ϕ) 2 r2 sinθ dr
0
0
2π π
∫ ∫ = Rnl (r) 2 r2dr dϕ Ylm (θ ,ϕ) 2 sinθ dθ
一定具有确定的宇称。
（√）
8. 费米子体系的哈密顿算符 Hˆ 必须是交换反对称的，玻色子体系的哈密顿算符 Hˆ 必须是
交换对称的。
（×）
9. 全同粒子体系的波函数具有一定的对称性，是来自于全同粒子的不可区分性。（√ ）
10. 自由粒子所处的状态只能是平面波。
（×）
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得分 评阅人
,ϕ)
，求氢原子的角动量
z 分量的平均值 −5 / 9 。
8. 证明电子具有自旋的实验是 钠黄线的精细结构 / 复杂塞曼效应 / 斯特恩-盖拉赫实