建构良好数学认知结构教学策1

促进学生良好数学认知结构形成的教学策略进一步学习分析有关影响学生数学知识结构形成的因素，探求相应的教学策略。

摘要：良好的数学认知结构的特征是：层次分明的概念网络结构；一定的问题解决策略的观念。

建构良好的数学认知结构的教学策略：熟悉学生原有的数学认知结构；创设良好的问题情境；突出数学思想方法的教学；注意整体性教学。

关键词：数学认知结构；教学策略；数学教学的本质是：学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并使自己得到全面发展的过程。

数学教学的根本任务就是要造就学生良好的数学认知结构，以满足后继的学习需要，最终提高学生的问题解决能力。

那么，在数学教学中如何帮助学生建构良好的数学认知结构呢？这是值得广大的数学教师和教育研究人员去探讨的问题。

数学认知结构是数学知识结构在学习者头脑里的反映，它是学习者在学习的过程中逐步积累起来的在数学方面的观念系统。

这些观念可能包括三种类型：一是基本观念（言语信息或表象信息），它是学习者通过学习一些数学概念和数学命题之后形成的；二是数学具体方法的观念，它是学习者在运用基本观念来解决问题的过程中形成的；三是数学问题解决策略的观念。

良好的数学认知结构有三个特征：一是可利用性，即在学习者原有的数学认知结构中有适当的起同化作用的观念可以利用；二是可辨别性，即新知识与学习者原有的数学认知结构中的相关观念是可辨别的；三是稳定性，即同化新知识的原有的观念是清晰和稳定的。

从数学问题解决的角度来考察，良好的数学认知结构的特征包括：足够多的观念，现代研究表明，在某个领域内善于解决问题的专家必须具备上万个知识组块，没有这些专门的知识，专家就不能解决该领域内的技术问题。

在许多专门领域，如工程学、计算机程序、社会科学、阅读理解、物理、数学和医疗诊断等，将“专家”和“新手”作比较，都证明了解决问题的能力取决于个人所获得的有关知识的多少及其组织结构。

绝大多数IMO选手，除了具备一定的数学天赋之外，他们必需系统接受过各种专题知识的训练。

在各种专家的辅导下，他们的认知结构中积累了丰富的专门知识，与新手相比，专家解决自己领域内的问题时较为出色，在不熟悉的领域，专家通常并不比新手好，因为他在那一领域内的观念不够多。

足够多的观念仅仅是问题解决的必要条件。

也就是说，头脑中的知识越多，并不意味着解决问题的能力越强。

甚至问题解决者已具备了解决某一问题所需的全部知识，但却解决不了这个问题。

例如，有的问题解决者在解决一个问题时，百思而不得其解。

但经旁人一指点，即刻恍然大悟。

这说明他的认知结构中已具备了解决这个问题所必需的概念、性质和定理等知识。

一些新教师经常觉得自己备课十分认真，课也讲得头头是道，学生对知识的提问反应也不错，可一到自己作业和考试就不行。

也就是说，恍然大悟的问题解决者与不能独立作业（尤其是非模仿的作业）的学生，他们失败的原因不是缺乏所需的具体知识观念，而是缺乏与具体知识相对应的稳定的产生式。

只要条件信息一出现，活动就会自动产生。

这里所说的活动不仅是外显的行为反应，还包括内隐的心理活动或心理运算。

例如，如果学生一识别出三角形ABC是直角三角形，他就能作出反应：斜边的平方等于两条直角边的平方之和，那么，我们就说该学生已习得了这个产生式。

假如被试是在被主试问到什么是勾股定理的情形下复述出勾股定理，我们不能肯定被试已习得这个产生式，因为他可能仅仅是从长时记忆中检索出勾股定理的言语信息，并没有学会将其应用于实际情境。

学生是否习得产生式，关键是看他在问题情境中识别出条件信息后能否作出活动。

尚未习得勾股定理产生式的学生当然不能解决与勾股定理相关的问题,尽管他脑中贮存有勾股定理的言语观念。

“条件→活动”式的产生式对解决一些简单的由已知到结论的问题有效，但对一些复杂的问题则不然。

因为，有许多产生式的条件信息是完全一样的，换句话说，由问题情境中的同一条件信息可以引发许多活动。

这样，如果解决一个问题需要好几个产生式，而每一个产生式的条件信息又可以引发几个活动，那么，问题解决者将面对几何级数般增长的解题思路而不知如何选择。

因此，除了“条件→活动”这样的正向产生式之外，问题解决者的认知结构中还应该具备逆向产生式。

逆向产生式是以“要…，就要…”的形式表示的规则。

其含义是，在当前情境之下，要使目标得以实现，就要具备什么条件。

例如，在不同的图形背景下证明两条线段相等的逆向产生式可能有：“要AB=AC，就要∠B=∠C”、“ 要AB=CD，就要ΔABC≌ΔCDA”、“ 要AB=CD，就要弧AB=弧CD”、“ 要AB=CD，就要AB=EF= CD”、“ 要AB=CD，就要AB∶EF=CD∶EF”等等。

除了正向产生式和逆向产生式之外，良好的数学认知结构中还应该有一些与正向产生式的数学模式对应的变形产生式。

所谓变形产生式是这样一种双反应产生式，即：学习者事先已习得某一产生式C→A，只要一出现与产生式C→A相关的信息，学习者立刻检索出与产生式C→A对应的数学模式，然后根据目标信息对这一数学模式进行变形。

例如，某学习者习得了有关匀速运动的产生式“知道速度和时间→路程=速度×时间”，他还可以得出变形产生式“出现速度、时间、路程这些部分信息→ 检索出数学模式：路程=速度×时间→ 变形”。

解决问题的思路探索过程实质上由一连串的产生式构成。

在问题解决者具备相关稳定的产生式的前提下，如何从问题情境中识别出相关信息并与众多的产生式中的条件信息相匹配是成功解决问题的关键。

除了具备足够多的观念和稳定而又灵活的产生式之外，要建构良好的数学认知结构，学习者还必须对所习得的知识信息进行加工整理，使之形成一个个的知识组块，并对这些知识组块再进行组织、分类和概括，使之形成一个有层次有条理的知识网络结构，这样，就可以提高信息的检索效率。

某一问题领域内的专家解决问题的能力之所以比新手强，主要的原因之一是专家的认知结构中有着比新手多得多的问题解决策略的观念。

因此，良好的数学认知结构必须包括一定的问题解决策略的观念。

如化陌生为熟悉的观念、化繁为简的观念、特殊与一般的互化的观念、正难则反的观念、顺推与逆推之结合的观念、动静之转化的观念等等。

这种观念的形成不是一蹴而就的，要靠长期的学习、反思和总结。

建构良好数学认知结构的教学策略：熟悉学生原有的数学认知结构，有意义学习的条件表明，要使学生有效地接纳新知识，学习者认知结构中必须具备适当的观念。

因此，要发展学生良好的数学认知结构，教师首先必须熟悉学生原有的数学认知结构，这样才能知道选择教什么和怎样教。

例如，在进行二次函数的教学时，教师可以通过提问、作业、测验、个别谈话等方式去了解学生是否已经具备相关的观念，比如他们是如何理解一次函数与反比例函数的，是否真正领悟了函数的本质，一次函数的概念和性质掌握得如何，等等，当教师对学生的数学认知结构有了全面而又细致的认识之后，就可以通过适当的教学手段帮助学生建构那些缺少的观念，明晰那些模糊的观念，强化其稳定性。

创设良好的问题情境，有意义学习的条件之一是学习者必须具有有意义学习的心向，即学习者积极主动地把符号所代表的新知识与他的认知结构中原有的适当观念加以联系的倾向性。

要使学习者具有这种“心向”，教师就要创设良好的问题情境。

良好的问题情境应具备以下条件：让学生明白自己将要学到什么或将要具备什么能力。

这是使学生自觉参与学习的最好“诱惑”。

例如，对于初中数学中运用公式法分解因式的第一节课“平方差公式，教师可以这样来创设问题情境：师：在一次智力抢答竞赛中，主持人提供了两道题：852-842=? 542-462=?主持人的话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于169，第二题等于800。

”其速度之快，简直给人以不假思索之感。

同学们，你知道他是如何计算的吗？生：……？师：学了今天的平方差公式，就可以揭开这个谜底。

如此来创设问题情境，就使学生产生了“我也要成为他那样的快速抢答者”的渴望。

能造成认知冲突。

这样就可以打破学生的心理平衡，激发学生学习的动力。

例如，在“线段的垂直平分线”的教学中，教师可以如此创设问题情境：如图1所示，在草原上有A、B、C三个村庄。

现在要为它们设置一个物质供应站P，使得P到A、B、C的距离都相等。

那么P应该设在哪里呢？然后教师用三条橡皮筋一端系在一起作为P点，另一端分别固定在A、B、C三点。

教师一边移动点P一边问：“PA、PB、PC的长度相等吗？” 通过几次尝试之后，使学生体会到，单靠观察是不准确的，用测量的方法也不可行。

最后，教师再指出：“只要我们掌握了线段的垂直平分线的知识，这个问题易如反掌。

”这时，学生已产生了问题，如何准确地确定点P的位置呢？这样，学生就会积极地进入新知识的建构学习。

问题情境是学生熟悉的。

最好是从学生熟悉的生活情境和生产实际这些角度去创设问题情境，这样才能保证学生有相关的观念来理解问题，也才有可能使学生主动积极地建构他们的数学认知结构。

例如，为了使学生理解数轴的意义，教师可以通过“线珠模型”（即一条线上穿着一串小珠子，每一颗珠子的位置对应着一个数）或“水平放置的温度计模型”来创设问题情境。

提出问题的方式和问题的难度是适宜的。

提出问题的方式影响着学生解决问题的积极性和成功率。

问题过难，学生没法入手，望而却步；问题太容易，学生学不到新东西，他们没有兴趣。

突出数学思想方法的教学，学校教学的目的就是要使学生能把习得的内容迁移到新情境中去。

知识越具体，应用的范围越狭窄，只能用于非常具体的情境，也容易遗忘；概括性越高，其应用的范围就越广，随时可用于任何情境中的类似问题，也有利于保持。

数学思想方法是数学中的一般性的原理，它有高度的概括性，有助于学习的迁移。

因此，要发展学生良好的数学认知结构，就必须要突出数学思想方法的教学，帮助学生建构思想方法层次上的数学观念。

例如，象配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法这一类基本方法；象实验、观察、猜想、类比、分析、综合、抽象、概括、分类、归纳、演绎这一类思维方法；以及象方程的思想、函数的思想、极限的思想、化陌生为熟悉的思想、化繁为简的思想、特殊与一般的互化的思想、正难则反的思想、顺推与逆推之结合的思想、动静之转化的思想这一类高层次的思想观念。

注意整体性教学我们在前面已经指出，层次分明的观念网络结构是良好的数学认知结构的特征之一。

因此，要发展学生良好的数学认知结构，教师就必须注意整体性教学。

整体性教学有两个方面的要求：注意知识组块的教学，孤立的知识教学不可能建立起层次分明和联系紧密的观念系统。

因此，新知识的教学不能孤立进行,应把新知识纳入原有的观念系统中进行整体考虑，使新知识与原有的相关知识相联系，并把这些有联系的知识点重新组织为一个大的知识组块。