第一专题：数学认知结构分析
数学认知结构
良好的数学认知结构的特征数学认知结构是数学知识结构在学习者头脑里的反映，它是学习者在学习的过程中逐步积累起来的在数学方面的观念系统。
这些观念可能包括三种类型：一是基本观念（言语信息或表象信息），它是学习者通过学习一些数学概念和数学命题之后形成的；二是数学具体方法的观念，它是学习者在运用基本观念来解决问题的过程中形成的；三是数学问题解决策略的观念。
就一个具体的新知识的学习而言，根据美国教育心理学家奥苏贝尔的观点可知，良好的数学认知结构有三个特征：一是可利用性，即在学习者原有的数学认知结构中有适当的起同化作用的观念可以利用；二是可辨别性，即新知识与学习者原有的数学认知结构中的相关观念是可辨别的；三是稳定性，即同化新知识的原有的观念是清晰和稳定的。
从数学问题解决的角度来考察，良好的数学认知结构的特征包括以下四个方面：1．足够多的观念现代认知心理学关于“专家系统”的研究表明，在某个领域内善于解决问题的专家必须具备上万个知识组块，没有这些专门的知识，专家就不能解决该领域内的技术问题。
在许多专门领域，如工程学、计算机程序、社会科学、阅读理解、物理、数学和医疗诊断等，将“专家”和“新手”作比较，都证明了解决问题的能力取决于个人所获得的有关知识的多少及其组织结构。
根据笔者长期从事数学竞赛辅导工作的经验，绝大多数IMO选手，除了具备一定的数学天赋之外，他们必需系统接受过各种专题知识的训练。
在各种专家的辅导下，他们的认知结构中积累了丰富的专门知识。
例如，在IMO中的数论这一专题中，我们要求选手掌握的基本概念、原理达到五十余条。
与新手相比，专家解决自己领域内的问题时较为出色，在不熟悉的领域，专家通常并不比新手好，因为他在那一领域内的观念不够多。
和IMO选手相比，绝大部分数学博士导师就是一个“新手”，这就是为什么一个数学博士导师解不了IMO问题的原因。
2．具备稳定而又灵活的产生式足够多的观念仅仅是问题解决的必要条件。
也就是说，你头脑中的知识越多，并不意味着你解决问题的能力越强。
初中数学教学中如何构建数学认知结构
初中数学教学中如何构建数学认知结构摘要：为了达到新时代背景下的教学改革目标，教师需要促使学生构建更加完善的数学认知结构，培养学生的综合素养。
而且结构属于数学教学的基础，改善认知结构能打破传统教学课堂的限制。
在构建数学认知结构的过程中，教师需更加注重学生学习态度、学习能力的提升，从而提高教学的总体效率。
笔者针对初中数学的认知结构建立进行了分析，具体如下。
关键词：初中数学；课堂；认知结构；培养前言：数学认知结构是由教材知识转变来的，其除了能保留数学知识的复杂性、抽象性特点，也融入了学生的综合素养。
在课堂上，教师需要通过积极主动以及思维活动，将数学知识转变为学生脑海中的认知结构。
一、什么是数学认知结构所谓数学认知结构，指的是学生脑海中的数学知识根据自身的理解程度、通过推理、记忆、联想等认知形式，形成一个具有一定规律的知识结构，其属于一个多层次的组织体系。
因为不同的学生对知识内容的把握也不同，所以认知结构是存在差异的。
教师必须把握学生的认知结构，并且对其进行合理构建，提升学生各方面的能力，为数学知识的学习打下基础。
二、初中数学教学中如何构建数学认知结构（一）熟悉学生过去的数学认知结构教师需要熟悉学生巩固过去的数学认知结构，掌握学生的认知情况、学习效果，这样才能有针对性的开展教学工作。
因为教师只有了解了学生的认知结构，才能对症下药。
为此，教师需要将学生分成不同的小组，按照学生的各种层次、认知水平来采取教学对策。
举个例子，在学习“二次函数的概念”时，教师需要先了解学生之前所学习的函数概念，明确学生对知识的掌握程度。
所以将学生分成了三种小组，第一组是掌握了函数概念的小组，第二组是基本了解知识的小组，第三组是完全忘记了知识的小组。
针对第三组的情况，教师要让学生重新学习一遍函数的概念，促使他们构建函数概念的认知结构。
在形成了清晰的函数认知之后，再在全班展开二次函数概念的教学，这样便能提高教学的效率和效果[1]。
（二）把握数学认知结构，稳定基础如今，数学教学课堂在不断的改进和更新，很多教师只注重学生的成绩，忽视了思维能力、认知结构的培养。
高职院校学生数学认知结构特点分析及教学对策
高职院校学生数学认知结构特点分析及教学对策摘要：高职院校学生在数学课程的学习上表现出来的一系列特点，与其数学认知结构有着根本联系。
本文从高职学生学习数学的心理特点入手，重点分析了其数学认知结构的特点，并在此基础上提出了完善高职学生数学认知结构的教学对策。
关键词：高职数学学习数学认知结构教学对策高等职业院校学生在高等数学课程的学习上，普遍存在以下心理：自卑心理、应付心理依赖心理和定势心理。
具体表现为：上课缺乏热情，注意力不集中，懒于思考，几乎不做课堂笔记，抄袭作业现象严重，严重缺乏学习数学的积极性和耐心，大部分学生认定了自己学不会数学，只想应付了事。
这一现象的背后，有着深刻的数学学习心理学背景。
本文主要从数学学习的一般认知过程分析这一现象的成因，并给出相应教学对策。
认知心理学家普遍认为，环境只提供潜在刺激，这些刺激能否受到注意并被加工，则取决于个体内部的心理结构。
因此，原有认知结构是影响当前学习的最重要因素。
数学学习无疑是一个复杂的心理过程，它包括了认知过程和个性心理特征在内的心理活动。
高职学生在数学学习上表现出来的一系列心理和行为上的特点，正是在其原有认知结构的基础上形成的。
1.高职院校学生数学认知结构特点分析（1）原有认知结构中对新知识的可利用性不足。
可利用性是影响数学学习的首要认知结构变量。
在新知识学习中，学生原有认识结构中是否有用来同化新知识的适当观念，是决定数学学习活动能否顺利进行的关键因素。
如果新知识输入头脑后没有相应的旧知识与之发生作用，就不可能有原有数学认知结构的扩充和新数学认知结构的建立。
例如在学习函数极限概念和性质的内容时，学生原有认知结构中如果没有函数的基本概念和性质，就根本不可能建立起关于函数极限的正确认知。
高等数学课程以高中数学课程作为教学起点，而目前我国高职院校学生的数学水平普遍偏低，有些甚至没有达到高中毕业的水平，基本的代数运算都没有掌握熟练，他们原有知识结构里缺乏稳固清晰的概念作为新学知识的起点，这在很大程度上造成了他们进一步学习高数知识的障碍。
第六讲数学学习心理第一章数学认知...
第六讲数学学习心理第一章数学认知结构1.1数学认知结构的基本理论1.1.1 认知结构的内涵皮亚杰用图式来描述认知结构。
图式是指个体对世界的知觉、理解和思考的方式，可以把图式看做是心理活动的框架或组织结构。
在皮亚杰看来，图式是认知结构的核心，是人类认识事物的基础，人们认知的发展就是图式的形成和发展过程。
图式的发展一般要经历3个过程，即同化、顺应和平衡。
同化是指个体把外部信息纳入自己头脑中的原有图式中形成新的图式的过程。
顺应是指个体调节自己的内部结构以适应特定刺激情境的过程，当个体遇到不能用原有图式来同化新的刺激时，就要对原有图式进行修正、改组、重建，以适应环境，这就是顺应过程。
平衡是指个体通过自我调节机制使认知发展从一个平衡状态向另一个较高平衡状态过渡的过程。
奥苏泊尔认为，认知结构是指某一个人的各种观念的全部内容和组织；或者就教材学习方面说，指学生在某一特定的知识领域内的各种观念的内容和组织。
他强调认知结构的3个变量，这3个变量可以反映认知结构的优良程度。
①可利用性。
②可辨别性。
③稳定性。
认知结构与知识结构是两个不同的概念，但是他们之间存在内在的、密切的联系。
首先，两个概念的内涵不同。
知识结构是以外显的文本形式表现的知识体系，而认知结构是一种经过学习者主观改造的知识结构，它是数学知识结构与学生的心里结构高度融合、内化的结果，具有个体自我建构的特征。
认知结构既具有知识结构的客观性，又具有个体对知识建构的主观性。
其次，结构的构造方式不同。
作为课程内容的知识其内容是一个相对严密的逻辑体系，前后内容连贯有序，整个结构相对完整。
而学生经过个人建构的认知结构，往往会出现残缺、不完整、曲解等现象，可能对外显知识结构制造了变异，即知识结构与认知结构之间不是一种同构关系。
另外，两者的完备性也不同。
1.1.2 数学认知结构的特征从信息加工心理学的观点理解数学认知结构。
所谓数学认知结构，就是经过学习者对外显知识的感知、理解、内化进而贮存在自己长时记忆中的、相互联系的陈述性知识、程序性知识和过程性知识组成的结构。
有关数学认知结构的探讨
有关数学认知结构的探讨摘要：现代认知心理学研究告诉我们，学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在老师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构。
简单地讲，数学认知结构就是学生头脑里获得的数学知识结构，那是一种经过学生主观改造后的数学知识结构，它是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，其内容包括数学知识和这些数学知识在头脑里的组织方式与特征。
学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，由于不同主体对知识内容的理解和组织方式不同，所以数学认知结aq构是有个体差异的。
一、数学认知结构的基本特点1．数学认知结构是学生已有数学知识在头脑里的组织形式。
从学生构建数学认知结构的过程和方式来看，他们都是以原有知识为基础对新的数学知识进行加工改造或者适当调整自己的数学认知结构，然后按照一定的方式将所要学习的新知识内化到头脑里，使新旧内容融为一体，形成相应的数学认知结构，并通过这种形式把所学数学知识储存下来的。
2．数学认知结构是一个多层次的组织系统。
数学认知结构是一个相对的概念，它的内容是一个多层次的庞大系统。
既可以是大到包括整个小学数学知识系统在内的数学认知结构，也可以是小到由一个概念或命题组成的数学认知结构。
数学认知结构的层次性主要是由数学知识结构内部的层次性和逻辑系统性决定的，原则上数学知识有怎样的分类，学生的数学认知结构就有怎样的划分。
3．数学认知结构是一个不断发展变化的动态结构。
由于学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，所以它又是一个不断发展变化的动态结构，其动态性主要表现在以下几个方面。
一是数学认知结构的建立要经历一个逐步巩固的发展过程。
二是学生头脑里的数学认知结构经过不断分化逐步趋于精确。
学习初期学生头脑里形成的数学认知结构是笼统的，甚至是模糊的，随着认知活动的不断深入，他们头脑里的数学知识经过不断分化才能形成比较精确的数学认知结构。
数学认知结构的研究综述
数学认知结构的研究综述汉字作为中国文化的载体，具有悠久的历史和深厚的文化内涵。
在信息化、现代化的社会中，汉字的认知和应用显得尤为重要。
本文旨在综述汉字认知规律的研究成果，探讨汉字认知的内在机制和外在影响因素，以期为汉字教育和学习提供理论支持和实践指导。
汉字的字形认知是汉字认知的基础。
研究表明，人们对汉字字形的识别主要是通过对字形的结构特征、笔画特征、颜色特征等进行综合分析而实现的。
在字形认知中，笔画数、笔画结构、笔画的起始和终止点等都是重要的影响因素。
汉字的字音认知是指通过对汉字的发音来识别其意义的过程。
研究表明，字音的认知主要依赖于语音编码和音韵编码。
语音编码是指对声音的直接感知和识别，而音韵编码则是对声音的韵律、音节、声调等特征的感知和识别。
汉字的意义认知是指通过对汉字的解释来理解其意义的过程。
研究表明，意义认知是基于词汇知识、语义知识和语境知识等多重因素的综合运用。
词汇知识是指对词汇的感知和识别，语义知识是指对词汇意义的解释和理解，语境知识则是指对语言环境的感知和理解。
年龄是影响汉字认知的重要因素之一。
研究表明，随着年龄的增长，人们对汉字的认知能力会逐渐提高。
这主要是因为随着年龄的增长，人们的语言知识和经验会不断积累，从而提高了对汉字的认知能力。
教育也是影响汉字认知的重要因素之一。
研究表明，受过良好教育的人往往具有更高的汉字认知能力。
这主要是因为他们接受了更多的汉字教育和训练，掌握了更多的词汇和语言知识，从而提高了对汉字的认知能力。
环境也是影响汉字认知的重要因素之一。
研究表明，生活在不同环境中的人往往具有不同的汉字认知能力。
这主要是因为不同的环境会对人们的语言使用和认知产生不同的影响。
例如，生活在以汉语为主的环境中的人往往具有更高的汉字认知能力。
汉字认知规律研究在过去的几十年中取得了显著的进展。
人们对汉字的字形、字音和意义的认知机制有了更深入的了解，同时也发现了一些影响汉字认知的外在因素。
023数学认知结构的特征与数学学习过程研究
023数学认知结构的特征与数学学习过程研究数学认知结构是指一个人对数学概念、原理和方法的理解和掌握程度。
它是以认知心理学为基础进行研究，通过分析个体在数学学习过程中的思维活动和认知结构变化，揭示数学学习的规律和特征。
数学认知结构的特征与数学学习过程研究对于提高数学教学质量和培养学生的数学思维能力具有重要意义。
一、数学认知结构的特征：1.层次性：数学认知结构具有由浅入深、由易到难的层次性特征。
学习者首先形成简单的数学概念和基本的数学方法，然后逐渐深入理解和掌握更复杂、更抽象的数学概念和方法。
2.系统性：数学认知结构由多个相互关联的数学概念构成，各个概念之间有着明确的逻辑关系。
学习者在掌握一个概念的基础上，能够逐渐扩展到其他相关的概念，并形成一个有机的系统。
3.抽象性：数学是一门抽象的学科，数学认知结构也具有抽象性特征。
学习者需要通过抽象思维的能力，将具体的数学问题或实例归纳为通用的数学概念和原理，理解其本质和普遍性。
4.可塑性：数学认知结构具有较强的可塑性，可以通过学习和实践不断发展和完善。
学习者在数学学习的过程中会逐渐提升自己的数学认知结构，并能够运用所学知识解决更为复杂和抽象的数学问题。
二、数学学习过程的研究：1.知觉与感知阶段：学习者通过感官接受和感知教师所提供的数学信息和刺激，形成初步的数学认知结构。
2.理解与运用阶段：学习者通过思考、比较和归纳，逐渐理解和掌握数学概念和方法，并能够灵活运用于解决实际问题。
3.反思与互动阶段：学习者在数学学习的过程中，通过反思自己的学习方法和思维方式，积极参与课堂讨论和合作学习，与他人进行互动和交流，促进数学认知结构的进一步发展。
4.自主学习与创造性思维阶段：学习者逐渐形成独立思考和解决数学问题的能力，能够运用已有的数学知识和方法，进行创造性思维，提出新的数学问题和解决方法，从而不断拓展数学认知结构。
数学认知结构的特征与数学学习过程的研究为教师提供了指导学生数学学习的重要参考。
认知结构
整体认知结构与局部结构
人脑可以存储各种知识，整体认知结构应该包括 全部知识，因为有结构在内部发生作用，这些知识就 可以分门别类得得到整理，形成有关的局部结构。而， 所谓局部结构并不是若干个分界明显的，相互隔绝的 领域，而是存在着相互渗透，相互交叉的直接联系， 或存在着相互影响，相互利用的间接关系，能起到促 进各类知识相互交织，理解，提示，运用的作用。
认知结构的第二个特征涉及新学习的知识与同化它 的相关知识的可分辨度，两者的可分辨度越高，越 有助于迁移并避免因混淆而带来的干扰。 认知结构的第三个特点是同化新知识的原有知识的 巩固程度。原有知识巩固程度越高，则越有助于迁 移。
信息加工心理学对结构的认识
信息加工心理学认为所谓认知结构就是贮存于个人 长时记忆系统内的陈述性知识和程序性知识的实质 内容和他们彼此之间的联系。
认知结构包括元认知
心理学家弗拉维尔首次将“元认知”的概念引入心 理学的研究范畴。元认知是对于认知的认知，是对 于人类基本心理活动的感觉，理解，调节，监控与 管理。它体现了人类对自身的内省与意识，以及自 身活动的监管与控制。元认知包括元认知知识（知 识意识，思维意识和思维策略）和元认知管理（个 体利用掌握的元认知知识对知识学习活动进行管理 和指导），前者是个体对自身思维活动的意识，后 者是对个体认知活动的管理与监控的能力。元认知 的另外一个重要成分是元认知体验（伴随着认知活 动而产生的认知和情感体验）。
第二章
认知结构
一· 什么是认知结构
任倩
数学科学从17世纪末有了极大的变化和发展。20世纪中叶， 许多现代数学的新内容已进入了大学的课程。而中小学数学教 育在几百年间没有太大的变化，与大学数学有着很大的距离， 显然不能适应现代科技发展的需要。法国布尔巴基学派的出现 又使数学抽象化、公理化、结构化的程度越来越高，数学的应 用领域也越来越广。他们将数学看作"形式结构"的科学。他们 认为数学结构的序为:集合，代数结构，序结构，拓扑结构，复 合结构，多重结构，混合结构。而全部数学又基于三种母结构: 代数结构、序结构和拓扑结构。大体上来说: 代数结构，反映整数集合或有理数集合中数与数的运算关 系。 序结构，由实数集合R中任何两个实数都可以比较大小而 来。 拓扑结构，它为我们提供了对空间的领域、极限及连续性 等直观概念的抽象的数学表述。
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二、数学认知结构的基本形态
1.概念图式 2.原理图式 3.认知策略图式
1.概念图式
概念图式由一些反映概念属性的观念组成. 概念图式中观念的多少、观念的准确与 否、观念的深刻程度是反映概念理解水平的 重要因素。
1.概念图式
概念的层次结构： 按抽象程度和类别将概念划分为一级一 级的层次。 概念的语义网络结构： 以语义联系或语义相似性将概念组织起 来。
a
a
良好的概念图式是由一系列反映概念本质属 性的观念组成。 比如， a 的教学本质是帮助学生建构起认知 图式：“ a 是一个数；它不会是负的； 它的平方等于 a ；在数轴上它可能是原点 x 都是表示 也可能在原点的右边； 和 a 一个数的符号，他们没有什么不同；……”
“ loga N 是一个数；它可正可负；……” 字母 a 的图式是……
数学认知结构
内 容 纲 要
一、什么是数学认知结构 二、数学认知结构的基本形态 三、数学认知结构的元素 四、数学认知结构的作用 五、数学认知结构的优化
一、什么是数学认知结构[2]
1.数学知识结构：
指的是由数学的概念、公式、法则、定理和性 质等知识内容构成的结构系统，它反映了现实世 界中事物在数量关系和空间形式以及在此基础之 上形成的结构等方面的内部联系和规律，是客观 存在的东西，不以我们的意志为转移.
数学认知结构中的基本元素称为节点，它 可能是言语信息，也可能是表象信息。
我们把主体在数学活动中的心象叫做数学表 象（mathematical image）。
数学表象是人脑对数学物象进行形式结构
的特征概括而得到的观念性形象。它是通过 逻辑思维的渗透和数学语言作物质外壳，运 用典型化的手段概括了的理想化形象。
图式有简单和复杂、抽象和具体、高级和低 级之分。简单的图式可以只是一个字符,复杂的图 式可以由几个子图式构成。
3.数学认知结构与数学知识结构的区别： (1)表达形式不同 数学知识结构是以数学符号语言为载体来 表达和记载的； 数学认知结构则是数学知识结构在学习 者脑中的反映，它以概念言语信息和与之相 对应的数学表象信息两种方式贮存于长时记 忆中.
心理学家将人们头脑中对外界事物的描述称 为表征[1]， [1] 约翰.安德森．认知心理学及其启示 [M]．秦裕林等译．人民邮电出版社， 145．
3.认知策略图式
（2）元认知策略 ①制定认知计划 ②实际控制认知过程 ③及时检查认知结果 ④及时调整认知计划 ⑤在认知活动偏离目标时采取补救措 施，对自己的注意力或行为进行自我管理.
元认知和认知的区别：
1.认知活动的内容是对认知对象进行某种智 力操作； 元认知活动的内容是对认知活动进行监控与 调节. 2.认知活动的对象较具体；元认知活动的对 象是抽象的认知过程. 3.认知的目的是取得认知活动的进展；而元认 知是监控认知活动的进展并间接地促进这种进展. （检查一遍，验算）
三、数学认知结构的元素
什么是元认知？
元认知（metacognition)：关于认知的认知. 是主体对自身认知活动的认知。它包括 1.元认知知识：有关认知的知识，即个 体关于自己的认知能力、认知策略的知识. 2.元认知体验：伴随着认知活动的认知 体验或情感体验。包括意识到的、能表达的 和模糊的、表达不清的体验.
3.元认知监控：个体对自身学习过程的 有效监视、控制和调节.
（1）一般认知策略 （2）元认知策略
3.认知策略图式
（1）一般认知策略 ①复述策略 ②精加工策略：给学习内容赋予意义， 构建联系. 如：人为联想、做摘录、划线、 列提纲与标题、提问、记笔记. ③组织策略.如形成概念图、分类、类推 、叙事、概括.
④解决问题的策略
如表征问题的策略、波利亚的策略、奥加涅 相的策略、舍费尔德的策略、化陌生为熟悉的观 念、化繁为简的观念、特殊与一般的互化的观 念、正难则反的观念、顺推与逆推之结合的观 念、动静之转化的观念
(2)形成的过程不同 数学知识结构是人类数学历史发展的产 物，是数学成果的积累、概括与总结，其过 程往往需要数百年甚至更长的时间； 数学认知结构则主要是学习者在学习数学 知识结构的过程中逐步积累起来的,可以在较 短的时间内完成.
（3）数学知识结构是对客观世界在数学方面 的反映，具有准确的科学性、严谨的逻辑性 和完备的系统性,它是客观的,不以个人的意 志为转移； 数学认知结构则是学习者对数学知识结 构的主观反映，有鲜明的个人特色.
数学表象与数学的外部表征密切相关 1.数学的外部表征 数学的外部表征是指传递知识、思想而使用 的外部交流工具。 例如，在教师讲解时，使用了口头语言，并写 下文字、符号，画出图形、图象，还可能展 示实物或数学模型。这些东西对于学生来说， 就是数学的外部表征。
2.原理图式
原理图式由一些反映原理属性的观念组成。 原理图式中观念的多少、观念的准确与 否、观念的深刻程度是反映原理理解水平的 重要因素。 勾股定理的各种图式……
勾股定理的各种图式： 低级的图式： 言语图式…… 符号图式…… 图形图式…… 高级的图式： 产生式…… 结构图式……
3.认知策略图式
认知结构的另一名称——图式
Piaget:图式指相对稳定的以动作为主的认知结构 组织.（物理动作、思想动作） 图式是指个体对世界的知觉、理解和思考的方式. 可以把图式看作是心理活动的框架或组织结构. 图式是认知结构的起点和核心，或者说是人 类认识事物的基础。 图式的形成和变化是认知发展的实质。
认知结构的另一名称——图式 Robert M.者能表征问 题. 实际上，图式是一些观念及其关系的集 合，并形成学习者“可用来理解”的类别。
2.数学认知结构：
数学认知结构，是学习者头脑里的数学 知识结构，它是学习者在学习的过程中逐步 积累起来的在数学方面的主观经验系统，它 反映了学习者对数学的理解和看法.
认知结构的另一名称——图式 John.Best ：图式（schema）是指贮存 于长时记忆中的那些组织良好的（关于自然 界、事件、人物和行动的）知识组快。它标 明类别成员的实质并隐含着可用于接收或组 织新刺激的计划或预期的一个术语.