北师大版(文科数学)第六章第2讲等差数列及其前n项和名师精编单元测试

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高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和课件文北师大版

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(1)B (2)C
答案
-13考点1 考点2 考点3 考点4
解析: (1)∵在等差数列{an}中,a4=2,且a1+a2+…+a10=65,
(4)等差数列的前 n
��(��1 +�� ) ��(��-1) 项和公式:Sn= =na1+ d. 2 2
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2.等差数列及其前n项和的性质 (1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq (m,n,p,q∈N+);m+n=2p,则 am+an=2ap(m,n,p∈N+). (2)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md 的等差数列. (3)若{an},{bn}是等差数列,p,q∈R,则{pan+qbn}也是等差数列. (4)设Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列 Sm,��2 �� -Sm,S3m-��2 �� ,… 也是等差数列. (5)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. �� (6)若n为偶数,则S偶-S奇= 2 ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
∴(k-1)d=21d. ∴k=22.故选A.
A
解析答案
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3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a10+a11+a12=6,则S21=( A.42 B.21 C.23 D.44

2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义第6章第02节等差数列及其前n项和 Word版含答案

第二节等差数列及其前项和．等差数列的有关概念()定义，我们称这样的同一个常数一般地，如果一个数列从第项起，每一项与前一项的差是数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为－－＝(常数)(∈＋，≥)或＋－＝(常数)(∈＋)．()等差中项如果在与中间插入一个数，使，，成等差数列，那么叫作与的等差中项．．等差数列的有关公式 .＋(－)()通项公式：＝ ()前项和公式：＝＋＝. ．等差数列的常用性质)．＋∈(，(－)()通项公式的推广：＝＋.＋＝＋)，则＋∈()若{}为等差数列，且＋＝＋(，，， ()若{}是等差数列，公差为，则{}也是等差数列，公差为.()若{}，{}是等差数列，则{＋}也是等差数列．()若{}是等差数列，公差为，则，＋，＋，…(，∈＋)是公差为的等差数列．提醒：辨明三个易误点()要注意等差数列概念中的“从第项起”．如果一个数列不是从第项起，而是从第项或第项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．()注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．()求等差数列的前项和的最值时，需要注意“自变量为正整数”这一隐含条件．．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)()若一个数列从第项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() ()数列{}为等差数列的充要条件是对任意∈＋，都有＋＝＋＋.( )()等差数列{}的单调性是由公差决定的．( )()数列{}为等差数列的充要条件是其通项公式为的一次函数．( )答案：()×()√()√()×．(教材习题改编)在等差数列{}中，若＝，＝，则＝( )．．－．．解析：选∵{}为等差数列，∴＝＋，∴＝－，即＝×－＝.．已知等差数列{}满足：＝，＝，则数列{}的公差为( )．．．．解析：选设等差数列{}的公差为，则＝＝＝，故选．．(·临沂模拟)已知数列{}是首项为，公差为(∈)的等差数列，若是该数列中的一项，则公差不可能是( )＋．．．．解析：选∵数列{}是首项为，公差为(∈＋)的等差数列，∴＝＋(－)，∵是该数列中的一项，∴＝＋(－)，∴＝＋，∵，∈＋，∴是的因数，故不可能是.故选．等差数列的基本运算[明技法]等差数列的基本运算的解题策略()等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量，，，，，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．()数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换的作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．[提能力]【典例】()(·全国卷Ⅰ)记为等差数列{}的前项和．若＋＝，＝，则{}的公差为( ) ．．．．解析：选设{}的公差为，则由(\\(＋＝，＝，))。

届高考数学大一轮复习第六章数列第讲等差数列及其前n项和配套练习文北师大版

第2讲等差数列及其前n 项和一、选择题1．(2022·汉中调研)数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，那么数列{a n }的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析法一由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋6d ＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4，∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.答案 C2．等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，那么这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析设项数为2n ，那么由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 A3．等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，那么有( )A ．a 1＋a 101＞0B ．a 2＋a 100＜0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51 解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.答案 C4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，那么(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.答案 C5．(2022·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，那么当S n 取最小值时，n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－13，d ＝2.∴a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.应选C.答案 C二、填空题6．(2022·南昌模拟)每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N ＋且n ≥2)，那么a 61＝________. 解析由S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480. 答案 4807．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ＋，n ≥2)，那么a 7＝________.解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ＋，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19. 答案 19 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，那么m ＝________.解析法一由得，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以d ＝a m ＋1－a m ＝1，又因为S m ＝m a 1＋a m2＝0，所以m (a 1＋2)＝0，因为m ≠0，所以a 1＝－2，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，解得m ＝5.法二因为S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n n －12，。

2021高三统考北师大数学学案：第6章第2讲等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n项和基础知识整合1．等差数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊,d为常数）．(2)等差中项：数列a,A，b成等差数列的充要条件是错误!A＝错误!，其中A叫做a,b的错误!等差中项．2．等差数列的有关公式（1)通项公式:a n＝错误!a1＋（n－1)d。

(2）前n项和公式：S n＝错误!na1＋错误!d＝错误!错误!。

等差数列的常用性质（1)通项公式的推广：a n＝a m＋（n－m)d（n,m∈N*）．(2）若｛a n｝为等差数列,且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＊)，则a k＋a l＝a m＋a n。

若m＋n＝2p(m，n，p∈N＊)，则a m＋a n＝2a p.（3）若｛a n}是等差数列,公差为d，则｛a2n｝也是等差数列，公差为2d。

(4）若｛a n}，｛b n｝是等差数列,则{pa n＋qb n}也是等差数列．(5)若｛a n}是等差数列，公差为d，则a k,a k＋m，a k＋2m,…(k，m∈N ＊)是公差为md的等差数列．（6）等差数列｛a n｝的前n项和为S n，则S n,S2n－S n,S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.（7）若等差数列的项数为2n（n∈N＊)，则S偶－S奇＝nd，错误!＝错误!。

（8)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＊),则S奇－S偶＝a n，错误!＝错误!(S奇＝na n，S偶＝(n－1)a n)．（9)若S m＝n，S n＝m（m≠n），则S m＋n＝－（m＋n）．（10）由公式S n＝na1＋错误!得错误!＝a1＋错误!d＝错误!n＋a1－错误!，因此数列错误!是等差数列，首项为a1,公差为等差数列｛a n｝公差的一半．(11）等差数列与函数的关系①a n＝a1＋(n－1)d可化为a n＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，a n 是关于n的一次函数．当d〉0时,数列为递增数列；当d〈0时,数列为递减数列．②S n＝错误!n2＋错误!n.当d≠0时,它是关于n的二次函数．数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn（A，B为常数)．1．（2019·河北邯郸模拟）在等差数列{a n}中,a3＋a4＝12，公差d ＝2，则a9＝（）A．14 B．15C．16 D．17答案D解析错误!⇒a1＝1，∴a9＝a1＋8d＝1＋16＝17。

高考数学大一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案理北师大版

高考数学大一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和学案理北师大版0510490§6.2等差数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系. 以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1．等差数列的定义从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N＋)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列．(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．(6)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…构成等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．知识拓展等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34答案 B解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝ .答案 180解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325答案 D解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，所以875<d ≤325.故选D.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过秒落到地面．答案 20解析设物体经过t 秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.题型一等差数列基本量的运算1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 C解析设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．题型二等差数列的判定与证明典例已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N ＋)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，b n ＝1a n －1(n ∈N ＋)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列． (4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．跟踪训练若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.题型三等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质典例已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝ . 答案 21解析因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝ .答案 6 054解析由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0182 018＝S 11＋2 017d ＝－2 014＋2 017＝3， ∴S 2 018＝3×2 018＝6 054. 思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.1914 C.3929 D.43答案 A解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.等差数列的前n 项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝ . 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N ＋，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2018·济南质检)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析因为数列是等差数列，a 2＝4,2a 4＝a 2＋a 6＝4，所以a 6＝0，故选B.2．(2018·日照模拟)由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列答案 B解析设新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…的第n 项是b n ，则b n ＝a n ＋a n ＋3＝2a 1＋(n －1)d ＋(n ＋2)d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ，∴b n ＋1－b n ＝2d ，∴新数列是以2d 为公差的等差数列，故选B. 3．(2017·宁德一模)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( ) A ．54 B ．50 C ．27 D ．25 答案 C解析数列{a n }为等差数列，设公差为d ，则a 4＝a 2＋2d ，∴a 2＝3(a 2＋2d )－6，∴2a 2＋6d －6＝0，∴a 2＋3d ＝3，即a 5＝3，则S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9×a 5＝27.故选C.4．(2017·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( )A ．0B ．－9C ．10D ．－10答案 A解析设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2，∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0，故选A.5．(2017·唐山统考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( )A ．18B ．12C ．9D ．6 答案 D解析由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.6．(2017·湖南省湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033 答案 C解析因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2>0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.7．(2017·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是．答案 24解析由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝ .答案－12解析因为a 4和a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 4＋a 2 016＝4.又a 4，a 1 010，a 2 016成等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以14log a 1 010＝－12. 9．(2017·郑州模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织尺布．答案 21解析由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布． 10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝ . 答案 130解析由a n ＝2n －10(n ∈N ＋)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.11．(2016·全国Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N ＋)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.13．(2017·郑州一模)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是．答案 245 解析 ∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1， ∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96，解得a 20＝9620＝245. 14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N ＋)，则a 10＝ . 答案 14解析 ∵1a n ＋1＝1a n ＋13，∴1a n ＋1－1a n ＝13， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，13为公差的等差数列， ∴1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14.15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ . 答案 5解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． ∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5，经检验符合题意．16．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N ＋)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是．答案 121解析设数列{a n }的公差为d ，由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋212n －12. 又⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12为递减数列，所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121.。

高考数学一轮复习统考第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课时作业(含解析)北师大版-北师大版

等差数列及其前n 项和课时作业1．在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝() A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3答案 B解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，7a 1＋7×62d ＝56，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3，选B.2．(2019·某某模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为() A ．6 B ．12 C ．24 D ．48答案 D解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴由等差数列的性质可得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.故选D. 3．(2020·荆州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是() A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋74×11＝15.故选A.4．(2019·某某某某调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为()A ．50B ．45C ．55D ．40 答案 B解析因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6)2＝45.5．(2019·某某某某模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝()A ．9B ．15C ．18D ．36答案 C解析由等差数列的通项公式及性质，可得S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C. 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝() A ．27 B ．36 C ．45 D ．54答案 D解析 ∵在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11， ∴a 5＝6，故S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54.故选D.7．(2019·东北三省三校联考)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是()A ．S 9＝0B ．S 5最小C ．S 3＝S 6D ．a 5＝0 答案 B解析由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×42d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5＝0，故选B.8．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20b 7＋b 15＝()A.10724 B.724C.14912D.1493答案 A 解析由题知，a 2＋a 20b 7＋b 15＝S 21T 21＝10724. 9．(2019·某某统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为()A ．6B ．7C ．12D ．13答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.故选C.10．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝()A.310B.13C.18D.19答案 A解析令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A. 11．已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是()A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 6D ．S 6，S 7均为S n 的最大值答案 C解析因为S 5<S 6，所以S 5<S 5＋a 6，所以a 6>0，因为S 6＝S 7，所以S 6＝S 6＋a 7，所以a 7＝0，因为S 7>S 8，所以S 7>S 7＋a 8，所以a 8<0，所以d <0且S 6，S 7均为S n 的最大值，所以S 9<S 6.故选C.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *，则m ＝()A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5.13．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________. 答案19解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________.答案 676解析 ∵a n ＋2－a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，2，n 为偶数，∴数列{a n }的奇数项为常数1，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25×2＋25×242×2＝676.15．(2019·广雅中学模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，若abn ＝3n －1，则b 2019＝________.答案 2020解析由a 2＝2，a 4＝8，得公差d ＝8－22＝3，所以a n ＝2＋(n －2)×3＝3n －4，所以a n ＋1＝3n －1.又由数列{a n }的公差大于0，知数列{a n }为递增数列，所以结合abn ＝3n －1，可得b n ＝n ＋1，故b 2019＝2020.16．(2020·某某模拟)在数列{a n }中，a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________，数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________．答案3n －13n －4 －13解析由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，即b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n －43，即1a n －1＝n －43，∴a n ＝3n －13n －4.又b 1＝－13<0，b 2＝23>0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13.17．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)，得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.18．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值X 围．解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值X 围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(2)若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对任意的n ∈N *恒成立，求λ的取值X 围．解 (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1－22，得a 1＝4.S n ＝2a n －2n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2n ，即a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n －a n －12n －1＝1，又a 121＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知a n2n ＝n ＋1，即a n ＝n ·2n ＋2n.因为a n >0，所以不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 等价于5－λ>2n －32n .即λ<5－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32n .记b n ＝2n －32n ，b 1＝－12，b 2＝14，当n ≥2时，b n ＋1b n ＝2n －12n ＋12n －32n ＝2n －14n －6，则b 3b 2＝32，即b 3>b 2，又显然当n ≥3时，b n ＋1b n <1，所以(b n )max ＝b 3＝38，所以λ<378. 20．(2019·某某模拟)已知{a n }是公差为正数的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵{a n }是公差d >0的等差数列， ∴由a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16＝a 3＋a 6，解得a 3＝5，a 6＝11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋5d ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)∵a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，∴a n －1＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n －12n －3(n ≥2，n ∈N *)，两式相减，得b n2n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)，则b n ＝4n －2(n ≥2，n ∈N *)，当n ＝1时，b 1＝1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，4n －2，n ≥2，∴当n ≥2时，S n ＝1＋(n －1)(6＋4n －2)2＝2n 2－1.又n ＝1时，S 1＝1，适合上式， ∴S n ＝2n 2－1.。

北师大版高三数学(理)一轮复习：第6章第2节等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n 项和[最新考纲] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1)定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N ＋),d 为常数．(2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A,使a,A,b 成等差数列,那么A 叫作a 与b 的等差中项,即A ＝a ＋b 2.2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d. (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋nn －12d ＝na 1＋a n2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)当d≠0时,等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d)是关于d 的一次函数． (2)当d≠0时,等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数．4．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中,a 1>0,d<0,则S n 存在最大值；若a 1<0,d>0,则S n 存在最小值． [常用结论] 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m)d(n,m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列,且m ＋n ＝p ＋q,则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m,n,p,q ∈ N ＋)．(3)若{a n }是等差数列,公差为d,则a k ,a k ＋m ,a k ＋2m ,…(k ,m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m ,…(m∈N ＋)也是等差数列,公差为m 2d. (5)若{a n },{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ,T n ,则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(6)若{a n }是等差数列,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列,其首项与{a n }的首项相同,公差是{a n }的公差的12.(7)若等差数列{a n }的项数为偶数2n,则 ①S 2n ＝n(a 1＋a 2n )＝…＝n(a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd,S 奇S 偶＝a na n ＋1.(8)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1,则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的. ( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋,都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、教材改编1．等差数列{a n }中,a 4＋a 8＝10,a 10＝6,则公差d 等于( ) A ．14 B ．12 C ．2D ．－12A [∵a 4＋a 8＝2a 6＝10,∴a 6＝5,又a 10＝6,∴公差d ＝a 10－a 610－6＝6－54＝14.故选A.]2．设数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 6＝2且S 5＝30,则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33D ．34 B [设数列{a n }的公差为d, 法一：由S 5＝5a 3＝30得a 3＝6, 又a 6＝2, ∴S 8＝8a 1＋a 82＝8a 3＋a 62＝86＋22＝32.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋5×42d ＝30，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×263－28×43＝32.]3．已知等差数列－8,－3,2,7,…,则该数列的第100项为________． 487 [依题意得,该数列的首项为－8,公差为5,所以a 100＝－8＋99×5＝487.]4．某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则剧场总共的座位数为________．820 [设第n 排的座位数为a n (n ∈N ＋),数列{a n }为等差数列,其公差d ＝2,则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60,得60＝a 1＋2×(20－1),解得a 1＝22,则剧场总共的座位数为20a 1＋a 202＝20×22＋602＝820.]考点1 等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a 1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含a 1,d,n,a n ,S n 五个量,可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a 1,d 表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0,a 5＝5,则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2nA [由题知,⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋d 2×4×3＝0，a 5＝a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝2n －5,S n ＝n 2－4n,故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4,a 1＝2,则a 5等于( ) A ．－12B ．－10C ．10D ．12B [设等差数列{a n }的公差为d,由3S 3＝S 2＋S 4, 得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×3－12×d ＝2a 1＋2×2－12×d＋4a 1＋4×4－12×d ,将a 1＝2代入上式,解得d ＝－3,故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]3．(2019·黄山三模)《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著．在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推．在这个问题中,记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ,则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列,其公差为－3,则9a 1＋9×82×(－3)＝207,解得a 1＝35,故选C.]确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a 1和公差d. 考点2 等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后,再根据定义判定数列{a n }为等差数列． (4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2),a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n≥2时,由a n ＋2S n S n －1＝0, 得S n －S n －1＝－2S n S n －1, 因为S n ≠0,所以1S n －1S n －1＝2,又1S 1＝1a 1＝2,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n,所以S n ＝12n .当n≥2时, a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n2n n －1＝－12nn －1. 当n ＝1时,a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n≥2.证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列的关键是1S n －1S n －1为与n 无关的常数,同时注意求数列{a n }的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n ＝1的情形．[教师备选例题]数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1,a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ,并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞nn ＋1.[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1, ∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ,化简得1a n ＋1＝2＋1a n , 即1a n ＋1－1a n＝2, 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝2n －1,所以S n ＝n1＋2n －12＝n 2,1S n ＝1n 2＞1nn ＋1＝1n －1n ＋1. 证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1nn ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞n n ＋1. 1.已知数列{a n }满足a 1＝1,且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n.(1)求a 2,a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,并求{a n }的通项公式．[解] (1)由已知,得a 2－2a 1＝4, 则a 2＝2a 1＋4,又a 1＝1,所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12,得2a 3＝12＋3a 2,所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n(n ＋1), 得na n ＋1－n ＋1a n n n ＋1＝2,即a n ＋1n ＋1－a nn＝2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1,公差d ＝2的等差数列．则a n n＝1＋2(n －1)＝2n －1,所以a n ＝2n 2－n. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,a n ≠0,a n a n ＋1＝λS n －1,其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列？并说明理由．[解] (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1,a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1,两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1, 由于a n ＋1≠0, 所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1,a 1a 2＝λS 1－1, 可得a 2＝λ－1. 由(1)知,a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3, 解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4,由此可得{a 2n －1}是首项为1, 公差为4的等差数列,a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1,a n ＋1－a n ＝2,因此存在λ＝4,使得数列{a n }为等差数列．考点3 等差数列的性质及应用等差数列中常用的解题性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中,m ＋n ＝p ＋q(m,n,p,q ∈N ＋),则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则 ①S 2n ＝n(a 1＋a 2n )＝…＝n(a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n . (3)在S n ＝na 1＋a n2中常用性质或等差中的项解题． (1)正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3＋a 9－a 26＋15＝0,则S 11＝( )A ．35B ．36C ．45D ．55(2)(2019·锦州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7,S 10＝21,则S 15等于( ) A ．35 B ．42 C ．49D ．63(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1＝－2 018,S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6,则S 2 020＝________. (1)D (2)B (3)2 020 [(1)因为{a n }为正项等差数列,故a 3＋a 9＝2a 6,所以a 26－2a 6－15＝0,解得a 6＝5或者a 6＝－3(舍),所以S 11＝11a 6＝11×5＝55,故选D. (2)在等差数列{a n }中, S 5,S 10－S 5,S 15－S 10成等差数列,即7,14,S 15－21成等差数列, 所以7＋(S 15－21)＝2×14,解得S 15＝42.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d,则S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6d ＝6,∴d ＝1. 故S 2 0202 020＝S 11＋2 019d ＝－2 018＋2 019＝1, ∴S 2 020＝1×2 020＝2 020.]以数列项或和的下角标为突破口,结合等差数列的性质灵活解答．[教师备选例题](1)设数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1＝25,b 1＝75,a 2＋b 2＝100,则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－37(2)(2019·商洛模拟)等差数列{a n }中,a 1＋3a 8＋a 15＝120,则2a 9－a 10的值是( )A ．20B ．22C ．24D ．8(3)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3＝9,S 6＝36,则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27(1)C (2)C (3)B [(1)设{a n },{b n }的公差分别为d 1,d 2,则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2,所以{a n ＋b n }为等差数列．又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100,所以{a n ＋b n }为常数列,所以a 37＋b 37＝100.(2)因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120,所以a 8＝24,所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.(3)由{a n }是等差数列,得S 3,S 6－S 3,S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6), 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.]1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若m ＞1,且a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0,S 2m －1＝39,则m 等于( )A ．39B ．20C ．19D ．10B [数列{a n }为等差数列,则a m －1＋a m ＋1＝2a m ,则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0,解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39,则m ＝20.故选B.]2．设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意的n ∈N ＋,都有S n T n ＝2n －34n －3,则a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11的值为( )A.2945B.1329C.919D.1930C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8, ∴a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11＝a 2＋a 142b 8＝a 8b 8＝S 15T 15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn,通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0,d<0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0,d>0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[一题多解]等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8C [法一：(邻项变号法)由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a 7>0,a 8<0,故n ＝7时S n 最大．法二：(函数法)由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d,把a 1＝13代入,得d ＝－2,故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n.根据二次函数的性质,知当n ＝7时S n 最大．法三：(函数法)根据a 1＝13,S 3＝S 11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图像的对称性,可得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值．] [母题探究] 将本例中“a 1＝13,S 3＝S 11”改为“a 1＝20,S 10＝S 15”,则n 为何值？ [解] 因为a 1＝20,S 10＝S 15,所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d,所以d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653,得a 13＝0.即当n≤12时,a n >0,当n≥14时,a n <0. 所以当n ＝12或n ＝13时,S n 取得最大值．法二：S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.因为n ∈N ＋,所以当n ＝12或n ＝13时,S n 有最大值．法三：由S 10＝S 15,得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. 所以5a 13＝0,即a 13＝0.所以当n ＝12或n ＝13时,S n 有最大值．本题用了三种不同的方法,其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图像及性质给与解得,三种方法各有优点,灵活运用是解题的关键．1.设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 6＝5a 1＋10d,则S n 取最大值时,n的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11C [由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d,化简得a 1＝－5d,所以a 6＝0,故当n ＝5或6时,S n 最大．] 2．(2019·北京高考)设{a n }是等差数列,a 1＝－10,且a 2＋10,a 3＋8,a 4＋6成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ,求S n 的最小值．[解] (1)∵{a n }是等差数列,a 1＝－10,且a 2＋10,a 3＋8,a 4＋6成等比数列． ∴(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6), ∴(－2＋2d)2＝d(－4＋3d),解得d ＝2, ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋2n －2＝2n －12. (2)法一：(函数法)由a 1＝－10,d ＝2, 得S n ＝－10n ＋nn －12×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1122－1214,∴n ＝5或n ＝6时,S n 取最小值－30. 法二：(邻项变号法)由(1)知,a n ＝2n －12. 所以,当n≥7时,a n ＞0；当n≤6时,a n ≤0. 所以S n 的最小值为S 6＝－30.。

2019届高考数学复习数列第2讲等差数列及其前n项和配套练习文北师大版

第2讲等差数列及其前n 项和一、选择题1．(2017·汉中调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4 解析法一由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋6d ＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C2．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A3．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101＞0B ．a 2＋a 100＜0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.答案 C4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.答案 C5．(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n取最小值时，n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.∴a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数，∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题6．(2017·南昌模拟)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N ＋且n ≥2)，则a 61＝________.解析由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480. 答案 4807．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ＋，n ≥2)，则a 7＝________.解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ＋，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19. 答案198．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.解析法一由已知得，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以d ＝a m ＋1－a m ＝1，又因为S m ＝m a 1＋a m2＝0，所以m (a 1＋2)＝0，因为m ≠0，所以a 1＝－2，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，解得m ＝5.法二因为S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n n －2d ＝na 1＋n n －2，得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m m －2＝0， ①m －a 1＋m －m －2＝－2. ②由①得a 1＝1－m 2，代入②可得m ＝5.法三因为数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．所以S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5，经检验为原方程的解．答案 5 三、解答题9．(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． (1)证明由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．11．(2016·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为( )A.53B.103C.56D.116解析依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a －2m ，a －m ，a ，a ＋m ，a ＋2m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝100，a ＋a ＋m ＋a ＋2m ＝a －2m ＋a －m ，解得a ＝20，m ＝11a 24，a －2m ＝a12＝53，即其中最小一份为53，故选A. 答案 A12．(2017·郑州模拟)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则a 6·a 7的最大值为( )A ．36B ．6C ．4D ．2解析在等差数列{a n }中，∵S 12＝6(a 6＋a 7)＝24，∴a 6＋a 7＝4，令x >0，y >0，由基本不等式可得x ·y ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立．又a 6>0，a 7>0，∴a 6·a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立．即a 6·a 7的最大值为4，故选C.答案 C13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 答案194114．在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N ＋)，若对于任意n ∈N ＋，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列． ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3， ∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8.(2)|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ≤2时，S n ＝n＋8－3n 2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋n －＋3n －2＝3n 22－132n ＋14，综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.。

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1．(2018·洛阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208解析：选C ．依题意得3a 7＝24，a 7＝8，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝104，选C ．2．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B ．设{a n }的公差为d ，由S 5＝5(a 2＋a 4)2⇒25＝5(3＋a 4)2⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12解析：选B ．由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 6＋a 7>0”是“S 9≥S 3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充要也不必要条件解析：选A ．法一：将它们等价转化为a 1和d 的关系式．a 6＋a 7>0⇒a 1＋5d ＋a 1＋6d >0⇒2a 1＋11d >0；S 9≥S 3⇒9a 1＋9×8×d 2≥3a 1＋3×2×d 2⇒2a 1＋11d ≥0.法二：a 6＋a 7>0⇒a 1＋a 12>0，S 9≥S 3⇒a 4＋a 5＋…＋a 9≥0⇒3(a 1＋a 12)≥0.5．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ．设{a n }的公差为d ，因为a 1＝29，S 10＝S 20，所以10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，所以S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.所以当n ＝15时，S n 取得最大值．6．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝________．解析：因为a 3＋a 9＝27－a 6，2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.答案：997．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________．解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：108．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得正整数m 的值为5. 答案：59．(2016·高考全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2<2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4<2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1. 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.1．(2018·张掖模拟)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选B ．a n a 2n ＝a 1＋(n －1)d a 1＋(2n －1)d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.因为a 1＝d ≠0，所以a n a 2n ≠0，所以该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12. 2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C ．在等差数列{a n }中，因为a 4＜0，a 5＞|a 4|，所以a 5＞0，a 5＋a 4＞0，S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7a 4＜0，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝4(a 4＋a 5)＞0.所以使S n ＞0成立的最小正整数n 为8，故选C ．3．已知在等差数列{a n }中，S n ＝33，S 2n ＝44，则这个数列的前3n 项和S 3n 为________．解析：由题意知，⎝⎛⎭⎫n ，33n ，⎝⎛⎭⎫2n ，442n ，⎝⎛⎭⎫3n ，S 3n 3n 三点在同一条直线上，从而有442n －33n 2n －n ＝S 3n 3n －442n3n －2n，解得S 3n ＝33.所以该数列的前3n 项的和为33.答案：334．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝306，则a 7－a 33＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由前n 项和公式可得S 17＝17a 1＋17×162d ＝306，所以a 1＋8d ＝18.所以a 7－a 33＝a 1＋6d －a 1＋2d 3＝2a 1＋16d 3＝23(a 1＋8d )＝23×18＝12.答案：125．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式，当n ＝1时，不满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.6．(2018·洛阳第一次统一考试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，所以a 2k －1＝1＋2(k－1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数n －32，n 为偶数.。