2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第六章 3 第3讲 等比数列及其前n项和 含解析
[基础题组练]1．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C.当q ＝1时，a n ＝7，S 3＝21，符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，得q ＝－12.综上，q 的值是1或－12，故选C. 2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：选A.由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32，所以a 7＋a 8＝40×⎝⎛⎭⎫323＝135.3．等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．2＋log 35解析：选B.由题a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10.4．(一题多解)(2019·湖北武汉联考)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析：选 D.法一：设数列{a n }的公比为q ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．10解析：选B.设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2· a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，所以a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，所以T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n，所以n ＝12.6．(2019·黄冈模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________．解析：设{a n }的公比为q (q >0)，因为a 1a 6＝2a 3，而a 1a 6＝a 3a 4，所以a 3a 4＝2a 3，所以a 4＝2. 又a 4＋2a 6＝3，所以a 6＝12，所以q ＝12，a 1＝16，所以S 5＝16[1－（12）5]1－12＝31.答案：317．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：188．(2019·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________．解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：29．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.10．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.[综合题组练]1．(创新型)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3，故选B.2．(应用型)(2019·河南濮阳模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1，2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q 等于( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选C.{b n }有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且b n ＝a n ＋1.a n ＝b n －1，则{a n }有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．因为{a n }是等比数列，等比数列中有负数项，则q <0，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值递增或递减．按绝对值的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81， 相邻两项相除－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，则可得－24，36，－54，81是{a n }中连续的四项．q ＝－32或q ＝－23(因为|q |>1，所以此种情况应舍)，所以q ＝－32.故选C.3．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝________． 解析：因为{a n }为等比数列， 所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64. 又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2. 又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q ＝42，解得q ＝4.由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3. 答案：34．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n＝________．解析：因为a n ＋ma m ＝a n ，令m ＝1，则a n ＋1a 1＝a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2， 所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－25．(应用型)(2019·成都市第一次诊断性检测)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)证明：因为a 1＝－2，所以a 1＋4＝2.因为a n ＋1＝2a n ＋4，所以a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， 所以a n ＋1＋4a n ＋4＝2，所以{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，所以a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，所以S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.所以S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋ (2)－4(n －1)＝2（1－2n ）1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足． 所以当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.6．(应用型)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .解：(1)因为a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n， 所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，所以b 1＝a 1＋a 2＝32.所以{b n }是首项为32，公比为12的等比数列．所以b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。
模板-2020年高考理科数学新课标必刷试卷六含解析
2020年高考理科数学新课标必刷试卷六（含解析）2020年高考必刷卷（新课标卷）06 数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（） A． B． C． D．【答案】A 【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合. 【详解】，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设，则A． B． C． D．【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解：，则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．若向量，，若，则A． B．12 C． D．3 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若，则有，解可得的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，向量，，若，则有，解得；故选：．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题． 4．设等差数列的前项和为，若，则等于 A．18 B．36 C．45 D．60 【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前项和公式求得的值. 【详解】由于数列是等差数列，所以由得，即，而.故选：C. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式及前项和公式的基本量计算，属于基础题. 5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则的系数为（） A．15 B．45 C．135 D．405 【答案】C 【解析】【分析】令代入可求得各项系数和,根据展开式二项式系数和为,结合两个系数比即可求得的值,进而根据二项展开式的通项求得的系数即可. 【详解】令,代入可得各项系数和为展开式的各项的二项式系数和为由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64 所以解方程可得则二项式的展开式的通项公式为令解得所以的系数为故选:C 【点睛】本题考查了二项式系数和与二项式展开式的系数和的应用,二项展开式通项公式的应用,求指定项的系数,属于基础题. 6．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D 【解析】【分析】设椭圆的焦距为，利用向量数量积的坐标运算得出，可得出，等式两边同时除以可得出关于椭圆离心率的二次方程，解出即可. 【详解】设椭圆的焦距为，离心率为，则点、、，所以，，，则，即，即，等式两边同时除以得，，解得，因此，该椭圆的离心率为. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及向量数量积的坐标运算，解题的关键就是要得出关于、、的齐次等式，考查运算求解能力，属于中等题. 7．在满足不等式组的平面内随机取一点，设事件A＝“”，那么事件A发生的概率是（） A． B． C． D．【答案】B 【解析】【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率. 【详解】如下图，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），易知，，，该区域面积为. 事件A＝“”，表示的区域为阴影部分AOC，其面积为. 所以事件A发生的概率是.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题. 8．函数在区间上的图像大致为（）A． B． C． D．【答案】B 【解析】【分析】结合选项对和函数分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】 . 故选:B 【点睛】本题考查已知函数求图像，化简函数是解题的关键，属于中档题. 9．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的的值为35，则输入的的值为( ) A．4 B．5 C．7 D．11 【答案】A 【解析】起始阶段有，，第一次循环后，，；第二次循环后，，；第三次循环后，，；接着计算，跳出循环，输出.令，得.选A. 10．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为（）A． B． C． D．【答案】C 【解析】【分析】根据三视图求出三棱柱的体积，再求出几何体F－AMCD的体积，即可求出概率. 【详解】由三视图可知：底面三角形ADF是腰长为a的等腰直角三角形，几何体ADF－BCE是侧棱为a的直三棱柱，由题图可知VF－AMCD＝×S梯形AMCD×DF＝a3，VADF－BCE＝a3，所以它飞入几何体F－AMCD内的概率为. 故选：C 【点睛】此题考查求几何概型概率，关键在于根据三视图准确求出几何体的体积. 11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第三章 2 第2讲 导数与函数的单调性 含解析
[基础题组练]1．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上是( ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：选A.f ′(x )＝1－cos x >0恒成立，所以f (x )在R 上递增，在(0，2π)上单调递增． 2．(2019·济南调研)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C.由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，故选C.3．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D.由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0，3]解析：选A.因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，由x －9x ≤0，得0<x ≤3，所以f (x )在(0，3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0，3]，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：选C.因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )在 (－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)＜f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )， 所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)＜f (0)＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选C. 6．函数f (x )＝x 4＋54x －ln x 的单调递减区间是________．解析：因为f (x )＝x 4＋54x －ln x ，所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，5)． 答案：(0，5)7．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________．解析：由f (x )图象特征可得，f ′(x )在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在⎝⎛⎭⎫12，2上小于0， 所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f ′（x ）≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′（x ）≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 9．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x ，又因为f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1e x ，设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在(－1，1)上为单调减函数，求实数a 的取值范围； (3)若函数f (x )的单调递减区间为(－1，1)，求实数a 的值； (4)若函数f (x )在区间(－1，1)上不单调，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1，1)上恒成立， 所以a ≥3x 2在(－1，1)上恒成立，因为当－1<x <1时，3x 2<3，所以a ≥3，所以a 的取值范围为[3，＋∞)． (3)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3， 又f (x )的单调递减区间为(－1，1)， 所以3a3＝1，解得a ＝3. (4)由题意知：f ′(x )＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x )≥0，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a >0.令f ′(x )＝0，解得x ＝±3a 3. 因为f (x )在区间(－1，1)上不单调，所以f ′(x )＝0在(－1，1)上有解，需0<3a3<1，得0<a <3， 所以实数a 的取值范围为(0，3)．[综合题组练]1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)<f (x 2)，那么( )A ．x 1－x 2>0B ．x 1＋x 2>0C ．x 21－x 22>0D ．x 21－x 22<0解析：选D.由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )>0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以当f (x 1)<f (x 2)时，有f (|x 1|)<f (|x 2|)，所以|x 1|<|x 2|，x 21－x 22<0，故选D.2．(应用型)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0解析：选A.因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时a ∈(0，1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1，2)，又f (1)＝e －1>0， 所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )．3．(应用型)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________． 解析：由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2x ln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.答案：(1，2)4．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．解析：设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以 g ′(x )<0，所以 g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.因为 f (x )为奇函数，所以 g (x )为偶函数， 所以 g (x )的图象的示意图如图所示． 当x ＞0，g (x )＞0时，f (x )＞0，0＜x ＜1， 当x ＜0，g (x )＜0时，f (x )>0，x ＜－1，所以 使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)． 答案：(－∞，－1)∪(0，1)5．(综合型)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 此时f ′(x )＝2（x ＋1）2，可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋a x （x ＋1）2.当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12<a <0时，Δ>0，设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a.由于x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a>0，所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0， 函数f (x )单调递增，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增．6．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′（x ）＋m2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x，当a >0时，f (x )的单调增区间为(0，1)， 单调减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .所以g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， 所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点． 由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373.所以－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第二章 4 第4讲 二次函数与幂函数 含解析
[基础题组练]1．幂函数y＝x m2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．0B．1C．2 D．3解析：选C.因为y＝x m2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m<0，即0<m<4.又因为函数的图象关于y轴对称，且m∈Z，所以m2－4m为偶数，因此m＝2.2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2 D．1或2解析：选B.由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.3．对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()解析：选A.当0<a<1时，y＝log a x为减函数，y＝(a－1)x2－x开口向下，其对称轴为x＝12（a－1）<0，排除C，D；当a>1时，y＝log a x为增函数，y＝(a－1)x2－x开口向上，其对称轴为x＝12（a－1）>0，排除B.故选A.4．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为() A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)解析：选A.二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( )A ．(－4，2)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：选C.依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x <－4.6．已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选A.根据题意，m －1＝1， 所以m ＝2，所以2n ＝8， 所以n ＝3，所以f (x )＝x 3.因为f (x )＝x 3是定义在R 上的增函数，又－12<0<⎝⎛⎭⎫1312<⎝⎛⎭⎫130＝1<ln π， 所以c <a <b .7．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (1)＝f (3)>f (4)，则( ) A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解析：选B.若a ＝0，f (x )不满足题意，所以a ≠0，f (x )为二次函数． 因为f (1)＝f (3)，则x ＝2为对称轴，故－b2a ＝2，则4a ＋b ＝0，又f (3)>f (4)，在(2，＋∞)上f (x )为减函数，所以开口向下，a <0. 故选B.8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时f (x )为减函数， 又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5. 答案：(3，5)9．已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于点(0，3)， 所以3＝9a ，即a ＝13.所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.答案：y ＝13x 2－2x ＋310．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝ax ＋1在[1，2]上是减函数，所以a >0，所以0<a ≤1.答案：(0，1]11．已知函数f (x )＝bx 2－2ax ＋a (a ，b ∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14. (1)当a ＝2时，求函数y ＝log 12f (x )的单调增区间；(2)当a ＜0时，求使函数f (x )的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a 值． 解：因为f (x )＝bx 2－2ax ＋a 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14， 所以b ＝1，(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－4x ＋2， 令f (x )＞0可得， x ＞2＋2或x ＜2－2，所以f (x )在(2＋2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2－2)上单调递减， y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝log 12f (x )的单调增区间为(－∞，2－2)．(2)当a ＜0时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的对称轴x ＝a ＜0， ①a ≤－1时，函数f (x )在[－1，1]上单调递增， 当x ＝－1时，函数有最小值f (－1)＝1＋3a ＝－2， 当x ＝1时，函数有最大值f (1)＝1－a ＝2， 解得a ＝－1，②0＞a ＞－1时，函数在[－1，1]上先减后增，当x ＝a 时，函数有最小值f (a )＝a －a 2＝－2， 解得，a ＝2(舍)或a ＝－1(舍)， 综上可得，a ＝－1.12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]， 对称轴x ＝－32∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1.[综合题组练]1．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选C.由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0，2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4，故选C.2．(应用型)已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关解析：选C.该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0， 所以当x 1，x 2在对称轴的两侧时， 14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时， 由单调性知f (x 1)<f (x 2)． 综上，f (x 1)<f (x 2)．3．(创新型)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点． 答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练力：第三章 1 第1讲 变化率与导数导数的计算 含解析
[基础题组练]1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C.因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．(2019·河北衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A.因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，所以y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2，y ′|x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线的斜率为2，所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D. 12解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )解析：选D.由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A 、C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故排除B.5．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52 C.32D.12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝⎛⎭⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5， 解得b ＝52.故选B.6．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________． 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7， 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：87．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0相互垂直，则实数a ＝________．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2·cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：28．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.[综合题组练]1．(应用型)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.故选C. 2．(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．(创新型)(2019·黑龙江伊春质检)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是________．解析：设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．因为y ′＝22x －1，所以22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以M (1，0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5. 答案：2 54．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得， x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.5．(2019·福州质检)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第二章 1 第1讲 函数及其表示 含解析
[基础题组练]1．y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2，0)∪(1，2) B ．(－2，0]∪(1，2) C ．(－2，0)∪[1，2)D ．[－2，0]∪[1，2]解析：选C.要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2＞0，解得x ∈(－2，0)∪[1，2)，即函数的定义域是(－2，0)∪[1，2)． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2解析：选D.A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D.3．(2019·合肥质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C.因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C. 4．(2019·甘肃张掖诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≥4，f （x ＋1），x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝⎛⎭⎫121＋log 25C.12D.120解析：选D.因为2＜log 25＜3，所以3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫122＋log 25＝14×15＝120，故选D. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.6．已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋1x ＋2B ．f (x )＝xx ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋2解析：选A.令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，所以f (t )＝t ＋1t ＋2，即f (x )＝x ＋1x ＋2.故选A.7．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D.当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.8．(2019·安徽合肥质检)已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x ＜2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( ) A.98 B.94 C.92D ．9解析：选C.因为f (2x )＝2f (x )，且当1≤x ＜2时，f (x )＝x 2，所以f (3)＝2f ⎝⎛⎭⎫32＝2×⎝⎛⎭⎫322＝92. 9．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________． 解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 因为g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g (x )＝3x 2－2x .答案：3x 2－2x10．(2019·安徽合肥质检)已知函数f (x )＝mx 2＋（m －3）x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－3x ＋1的值域是[0，＋∞)，显然成立；当m ＞0时，Δ＝(m －3)2－4m ≥0，解得0＜m ≤1或m ≥9.显然m ＜0时不合题意．综上可知，实数m 的取值范围是[0，1]∪[9，＋∞)．答案：[0，1]∪[9，＋∞)11．(2019·安徽合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．解析：用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， 所以⎩⎨⎧3f （x ）＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1 ①，3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f （x ）＝3x ＋1 ②，①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．答案：f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)12．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________． 解析：因为y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2，3]， 所以－1≤x ＋1≤4.由－1≤2x －1≤4，得0≤x ≤52，即y ＝f (2x －1)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，52. 答案：⎣⎡⎦⎤0，52 [综合题组练]1．(创新型)具有性质f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②解析：选A.对于①，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意； 对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.2．(创新型)设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.3．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________．解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：74．(应用型)(2019·广东珠海质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12.答案：[－1，12)。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版刷好题练能力：第六章 第2讲 等差数列及其前n项和
2019年4月[基础达标]1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 详细分析：选C.由题知3a 1＋3×22d ＝12，因为a 1＝2，解得d ＝2，又a 6＝a 1＋5d ，所以a 6＝12，故选C.2．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n }，S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意的n ∈N *，“a n >0”是“S n >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选A.对于任意的n ∈N *，“a n >0”能推出“S n >0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列5，3，1，－1，不满足条件，不是必要条件，故选A.3．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为( )A ．24B ．39C ．104D ．52详细分析：选D.因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和为13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×82＝52，故选D.4．(2019·金华十校联考)在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (3n －1)B ．n （n ＋3）2C ．n (n ＋1)D ．n （3n ＋1）2详细分析：选C.依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，选C.5．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24 D ．23详细分析：选D.因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，又a 1＝15，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n＝15－23·(n－1)＝－23n＋473，且{a n}为递减数列，令a n＝－23n＋473＞0，得n＜23.5，可知使a k·a k＋1＜0的k值为23.6．(2019·温州十校联合体期初)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则()A．若S9>S8，S9>S10，则S17>0，S18<0B．若S17>0，S18<0，则S9>S8，S8>S10C．若S17>0，S18<0，则a17>0，a18<0D．若a17>0，a18<0，则S17>0，S18<0详细分析：选B.A.由S9>S8，且S9＝S8＋a9得a9>0，又S9>S10，S10＝S9＋a10，则a10<0，因为S17＝17a9>0，S18＝9(a10＋a9)符号不确定，A错误；B．在等差数列{a n}中，S17>0，且S18<0，则S17＝17a9>0，S18＝9(a10＋a9)<0，所以a9>0，a10<0，且|a10|>a9，所以等差数列{a n}的公差d<0，则S9＝S8＋a9>S8，S10＝S8＋a9＋a10<S8，B正确；C．由B知，a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负，C错误；D．由a17>0，a18<0知，a1，a2，…，a17为正，a18，a19，…为负，所以S17＝17a9>0，S18＝9(a1＋a18)＝9(a2＋a17)>0，D错误．故选B.7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8.若a n＝0，则n＝________．详细分析：因为a3＋a9＝a10－a8，所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d，所以a n＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.答案：58．在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为________．详细分析：由题意，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.所以－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 9．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n成等差数列，则a n ＝________．详细分析：因为a n ，S n ，a 2n 成等差数列， 所以2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21， 又a 1>0，所以a 1＝1，当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1， 所以(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 又a n ＋a n －1>0，n ≥2， 所以a n －a n －1＝1，n ≥2，所以{a n }是等差数列，其公差为1， 因为a 1＝1， 所以a n ＝n (n ∈N *)．答案：n 10．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8＞0，a 8＋a 9＜0，则满足S n ＞0的n 的最大值是________；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第________项．详细分析：因为等差数列{a n }满足a 8>0，a 8＋a 9<0， 所以S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝162(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，所以满足S n >0的n 的最大值是15.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0， 所以该数列是递减数列，且|a 8|最小，|S 8|最大，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第8项．答案：15 811．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值．解：(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝45a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝2， 故a n ＝2n －7(n ∈N *)． (2)由a n ＝2n －7＜0，得n ＜72，因为n ∈N *，即n ≤3，所以当n ≤3时，a n ＝2n －7＜0， 当n ≥4时，a n ＝2n －7＞0.易知S n ＝n 2－6n ，S 3＝－9，S 5＝－5，所以T 5＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5＝－S 3＋(S 5－S 3)＝S 5－2S 3＝13.12．(2019·嵊州模拟)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， 所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， 所以数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， 所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n （b 1＋b n ）2＝n [5＋（8－3n ）]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋（n －2）[1＋（3n －8）]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.[能力提升]1．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4详细分析：选D.由a n ＋1－a n ＝d ＞0，知数列{a n }是递增数列，可知p 1是真命题；由(n ＋1)a n ＋1－na n ＝(n ＋1)(a 1＋nd )－n [a 1＋(n －1)d ]＝a 1＋2nd ，仅由d ＞0是无法判断a 1＋2nd 的正负的，因而不能判定(n ＋1)a n ＋1，na n 的大小关系，故p 2是假命题；显然，当a n ＝n 时，a n n ＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数数列，不是递增数列，故p 3是假命题；数列的第n ＋1项减去数列的第n 项[a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝(a n ＋1－a n )＋[3(n ＋1)d －3nd ]＝d ＋3d ＝4d ＞0，所以a n＋1＋3(n ＋1)d ＞a n ＋3nd ，即数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4是真命题．2．(2019·金华市东阳二中高三调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )A ．n 2n －1B ．n ＋12n －1＋1C ．2n －12n －1D ．n ＋12n ＋1详细分析：选A.设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝4，b 2＝8，因为{b n }为等差数列，所以b n ＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，S n ＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n ＝4. 当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2（n ＋1）n a n ＝n ＋1n －1·a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，又因为a 11＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1(n ∈N *)，即a n ＝n2n －1(n ∈N *)，故选A.3．已知等差数列{a n }满足a 9＜0，且a 8＞|a 9|，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，{b n }的前n 项和为S n ，当S n 取得最大值时，n 的值为________．详细分析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 9<0， 且a 8>|a 9|，所以d <0，a 8＋a 9>0，a 8>－a 9>0. 所以当n ≤8时，a n >0；当n ≥9时，a n <0.S n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a 6a 7a 8＋a 7a 8a 9＋a 8a 9a 10＋a 9a 10a 11＋…＋a n a n ＋1a n ＋2， 当n ≤6时，a n a n ＋1a n ＋2>0，当n ≥9时， a n a n ＋1a n ＋2<0，而a 7a 8a 9<0，a 8a 9a 10>0，又a 7a 8a 9＋a 8a 9a 10＝a 8a 9(a 7＋a 10)＝a 8a 9(a 8＋a 9)<0， 所以当S n 取得最大值时，n ＝6.答案：6 4．(2019·舟山市普陀三中高三期中)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26.记T n ＝S nn 2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是________．详细分析：因为{a n }为等差数列，由a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26， 可解得S n ＝2n 2－n ，所以T n ＝2－1n ，若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需T n 的最大值小于或等于M 即可．又T n ＝2－1n<2，所以只需2≤M ，故M 的最小值是2.答案：25．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以m ＝5，k ＝4.6．(2019·浙江省衢州市高考数学模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，2a n a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)若ta n ＋1(a n －1)＋1≥0对任意n ≥2的整数恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1)由题意得，2a n a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0， 两边同除a n a n ＋1得，1a n ＋1－1a n＝2，因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项、2为公差的等差数列，则1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1， 所以a n ＝12n －1.(2)由(1)得，ta n ＋1(a n －1)＋1≥0 即为t ·12n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1＋1≥0，由n ≥2化简得，t ≤（2n －1）（2n ＋1）2（n －1），设b n ＝（2n －1）（2n ＋1）2（n －1），则b n ＋1－b n ＝（2n ＋1）（2n ＋3）2n －（2n －1）（2n ＋1）2（n －1）＝2n ＋12·（2n ＋3）（n －1）－n （2n －1）n （n －1）＝（2n ＋1）（2n －3）2n （n －1）>0，所以当n ≥2时， 数列{b n }是递增数列， 则（2n －1）（2n ＋1）2（n －1）≥152， 所以实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，152.。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：选修4-5 1 第1讲 绝对值不等式 含解析
[基础题组练]1．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－(|x |－32)2＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当(x ＋a )(x －2)≤0时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a . (1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不合题意； 当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意． 综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1，0)．4．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R )． (1)若f (1)<11，求a 的取值范围；(2)若∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，求x 的取值范围． 解：(1)f (1)＝|1－a |＋|2－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a ≤1，1，1<a <2，2a －3，a ≥2，当a ≤1时，3－2a <11，解得a >－4， 所以－4＜a ≤1；当1<a <2时，1<11恒成立； 当a ≥2时，2a －3＜11， 解得a <7，所以2≤a <7.综上，a 的取值范围是(－4，7)． (2)因为∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立， 又f (x )＝|x －a |＋|2x －a |≥|x －a －(2x －a )|＝|x |， 所以|x |≥x 2－x －3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥x 2－x －3，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥x 2－x －3，x <0，解得0≤x ≤3或－3≤x ＜0， 所以x 的取值范围为[－3，3]．[综合题组练]1．设函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋g (x )<2；(2)对于实数x ，y ，若f (x )≤1，g (y )≤1，证明：|x －2y ＋1|≤3.解：(1)解不等式|x －3|＋|x －2|<2.①当x <2时，原不等式可化为3－x ＋2－x <2，可得x >32.所以32<x <2.②当2≤x ≤3时，原不等式可化为3－x ＋x －2<2，可得1<2.所以2≤x ≤3. ③当x >3时，原不等式可化为x －3＋x －2<2，可得x <72.所以3<x <72.由①②③可知，不等式的解集为{x |32<x <72}．(2)证明：|x －2y ＋1|＝|(x －3)－2(y －2)|≤|x －3|＋2|y －2|≤1＋2＝3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3时等号成立．2．已知f (x )＝|2x －1|＋|ax －5|(0<a <5)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥9的解集； (2)若函数y ＝f (x )的最小值为4，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x <12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，所以f (x )≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)． (2)因为0<a <5，所以5a>1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋2）x ＋6，x <12，（2－a ）x ＋4，12≤x ≤5a ，（a ＋2）x －6，x >5a.注意到当x <12时，f (x )单调递减，当x >5a 时，f (x )单调递增，所以f (x )的最小值在⎣⎡⎦⎤12，5a 上取得，因为在⎣⎡⎦⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f (x )单调递增，当2<a ≤5时，f (x )单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a ≤5，f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫5a ＝4. 解得a ＝2.3．(2019·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4. 当x >2时，原不等式可化为2x <5， 所以2<x <52；当x <－1时，原不等式可化为－2x <3， 所以－32<x <－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4， 所以－1≤x ≤2.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <52， 即x 1＝－32，x 2＝52.所以x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k .当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，所以k ≥0. 当x ≤－2或x ≥0时， 因为|x ＋1|≥1，所以不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立． 当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ， 可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，所以k ≤3. 当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x ，所以k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3. 4．(2019·山西太原模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝|x －a |＋12a ，所以f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a， 所以f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |，所以|m |≤1，即－1≤m ≤1，所以实数m 的最大值为1. (2)当a <12时，g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋12a＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x >12，所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a ≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a 2＋a ＋1≥0， 所以－12≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0.。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第六章 4 第4讲 数列求和 含解析
[基础题组练]1．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200D ．100解析：选D.由题意知S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选D. 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100D ．99解析：选A.n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.3．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A.因为a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故 S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3.故选A.4.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1的值为( ) A.n ＋12（n ＋2）B.34－n ＋12（n ＋2） C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析：选C.因为1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2） ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2.5．(2019·开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018等于( ) A ．22 018－1B ．3×21 009－3C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：选B.a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n＝2n ＋12n ＝2，所以a n ＋2a n＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，所以S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋2（1－21 009）1－2＝3·21 009－3.故选B.6．(2019·郑州质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n(n ∈N *)，则T 2 018＝________．解析：由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （n ＋1）2，所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2(1n －1n ＋1)，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2(11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 0362 019.答案：4 0362 0197．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________．解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝2×（1－29）1－2＝210－2＝1 022.答案：1 0228．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 018项的和等于________． 解析：因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ， 所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1（k ∈N *），1，n ＝2k （k ∈N *），故数列的前2 018项的和等于S 2 018＝1 009×⎝⎛⎭⎫1＋12＝3 0272. 答案：3 02729．(2019·唐山模拟)已知数列{a n }满足：1a 1＋2a 2＋…＋n a n ＝38(32n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n n ，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1.解：(1)1a 1＝38(32－1)＝3，当n ≥2时，因为n a n ＝(1a 1＋2a 2＋…＋n a n )－(1a 1＋2a 2＋…＋n －1a n －1) ＝38(32n －1)－38(32n －2－1) ＝32n －1，当n ＝1，n a n ＝32n －1也成立，所以a n ＝n32n －1.(2)b n ＝log 3a nn＝－(2n －1)，因为1b n b n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1) ＝n2n ＋1. 10．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋ a 2 ＝6，a 1a 2＝ a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.又a n >0，解得：a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)·b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .[综合题组练]1．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析：选B.由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1·a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1，5，9及n ＝2，6，10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为( ) A ．2 015 B ．2 013 C ．1 008D ．1 009解析：选D.因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，n ≥1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009，故选D.3．已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2 019项和为________．解析：由“凸数列”的定义及b 1＝1，b 2＝－2，得b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，…，所以数列{b n }是周期为6的周期数列，且b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝0，于是数列{b n }的前2 019项和等于b 1＋b 2＋b 3＝－4.答案：－44．(一题多解)(2019·合肥模拟)数列{a n }满足：a 1＝13，且a n ＋1＝（n ＋1）a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：通解：a n ＋1＝（n ＋1）a n 3a n ＋n ，两边同时取倒数得1a n ＋1＝3a n ＋n （n ＋1）a n ＝3n ＋1＋n（n ＋1）a n，整理得n ＋1a n ＋1＝n a n ＋3，所以n ＋1a n ＋1－n a n ＝3，所以数列{n a n }是以1a 1＝3为首项，3为公差的等差数列，所以n a n ＝3n ，所以a n ＝13，所以数列{a n }是常数列，所以S n ＝n3. 优解：用归纳法求解，a 1＝13，根据a n ＋1＝（n ＋1）a n 3a n ＋n ，可得a 2＝13，a 3＝13，a 4＝13，所以猜想a n ＝13，经验证a n ＋1＝13，从而S n ＝n3.5．(2018·高考天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．解：(1)设等比数列{b n }的公比为q .由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q＝2，故b n ＝2n －1.所以，T n ＝1－2n 1－2＝2n－1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n .所以，S n ＝n （n ＋1）2.(2)由(1)，有T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2×（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得 n （n ＋1）2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1， 整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4. 所以，n 的值为4.6．(2019·银川质检)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n } 的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 解：(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于数列{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n . 于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上可知，数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2. T n ＝116⎣⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－⎦⎤1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2＝116⎣⎡1＋122－1（n ＋1）2－⎦⎤1（n ＋2）2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564.。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第二章 3 第3讲 函数的奇偶性及周期性 含解析
[基础题组练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：选B.y ＝1x 为奇函数；y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在(0，＋∞)上为减函数；y ＝|x |－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．2．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数解析：选A.易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1＋21－x ，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ）（x <0），g （x ）＋1（x >0），若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1解析：选C.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ）（x <0），g （x ）＋1（x >0），f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)，所以log 2(1＋3)＝－[g (3)＋1]，则g (3)＝－3.故选C.4．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( )A ．－9B ．9C ．－3D ．0解析：选B.因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9.故选B.5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )．若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－3) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选D.因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )是定义在R 上的以3为周期的函数，所以f (7)＝f (7－9)＝f (－2)．又因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，所以f (7)＝f (2)>1， 所以a >1，即a ∈(1，＋∞)．故选D.6．(2019·四川达州模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1，0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b解析：选D.因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为2.所以a ＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b ＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c ＝f (0.5)＝f (－0.5)． 因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x )在[－1，0]上单调递减，所以a >c >b ，故选D. 7．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________． 解析：因为 f (x )为偶函数， 所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.答案：18．(2019·山西太原联考)已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．解析：由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x .答案：x 2＋2x9．(2019·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________．解析：因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，所以f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：⎝⎛⎭⎫13，2310．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f （x ），当1<x ≤3时，f (x )＝cos πx 3，则f (2 017)＝________．解析：由已知可得f (x ＋6)＝f ((x ＋3)＋3) ＝－1f （x ＋3）＝－1－1f （x ）＝f (x )，故函数f (x )的周期为6.所以f (2 017)＝f (6×336＋1)＝f (1)．因为f (x )为偶函数，所以f (1)＝f (－1)， 而f (－1＋3)＝－1f （－1），所以f (1)＝f (－1)＝－1f （2）＝－1cos2π3＝2. 所以f (2 017)＝2. 答案：211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．12．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数． 所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. [综合题组练]1．(应用型)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x ＋t ，若f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12＝6，则实数t ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．3解析：选D.令g (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以g ⎝⎛⎭⎫12＋g ⎝⎛⎭⎫－12＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12＝g ⎝⎛⎭⎫12＋g ⎝⎛⎭⎫－12＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3.故选D. 2．(应用型)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.答案：⎣⎡⎦⎤1e ，e3．(应用型)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知，f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔13<x <1.答案：⎝⎛⎭⎫13，14．已知函数f (x )对任意x ∈R 满足f (x )＋f (－x )＝0，f (x －1)＝f (x ＋1)，若当x ∈[0，1)时，f (x )＝a x ＋b (a ＞0且a ≠1)，且f ⎝⎛⎭⎫32＝12.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＋f (－x )＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝f (x )， 即函数f (x )是周期为2的周期函数， 所以f (0)＝0，即b ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝1－a ＝12， 解得a ＝14.(2)当x ∈[0，1)时，f (x )＝a x＋b ＝⎝⎛⎭⎫14x－1∈⎝⎛⎦⎤－34，0， 由f (x )为奇函数知，当x ∈(－1，0)时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫0，34， 又因为f (x )是周期为2的周期函数， 所以当x ∈R 时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫－34，34， 设t ＝f (x )∈⎝⎛⎭⎫－34，34， 所以g (x )＝f 2(x )＋f (x )＝t 2＋t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 即y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14∈⎣⎡⎭⎫－14，2116. 故函数g (x )＝f 2(x )＋f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－14，2116.。
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第六章 1 第1讲 数列的概念与简单表示法 含解析
[基础题组练]1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项解析：选C.数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n ＝5＋6（n －1）＝6n －1， 令6n －1＝55，得n ＝21.2．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56 B.65 C.130D.30解析：选D.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n （n ＋1），所以1a 5＝5×6＝30.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2nD ．2n －1解析：选C.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n＝2a n －1，所以数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n ＝2n .4．已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( )A ．504B ．588C ．－588D ．－504解析：选C.因为a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，所以a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，所以数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，因为2 016÷4＝504，所以S 2 016＝504×⎝⎛⎭⎫－76＝－588，故选C. 5．(2019·西宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，则a n ＝( ) A ．10n －2B ．10n －1C ．102n －4D ．22n －1解析：选D.因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ⇒log 2a n ＋1log 2a n＝2，所以{}log 2a n 是公比为2的等比数列，所以log 2a n ＝log 2a 1·2n －1⇒a n ＝22n －1.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2·3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 7．数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝12a n －1，则a 5的值为______．解析：由a n ＋1＝12a n －1，得a n ＋1＋2＝12(a n ＋2)，所以数列{a n ＋2}是以4为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＋2＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1＝23－n ，a n ＝23－n －2，所以a 5＝23－5－2＝－74.答案：－748．(2019·长春模拟)已知数列{a n }满足a n ≠0，2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：因为a n ≠0，2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，所以两边同除以a n ·a n ＋1，得2（1－a n ＋1）a n ＋1－2（1－a n ）a n ＝1a n ＋1－1a n ＋1，整理，得1a n ＋1－1a n ＝1，即{1a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝1n ＋2.答案：1n ＋29．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是 a 1＝1， a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2.显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.10．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3＞a 1.综上，a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．[综合题组练]1．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( ) A ．256 B ．510 C ．512D ．1 024解析：选C.在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析：选A.由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.3．(创新型)若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， 当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *4．(应用型)(2019·湖南永州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝2－a ，a n ＋2－a n ＝2，若数列{a n }单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由a n ＋2－a n ＝2可知数列{a n }的奇数项、偶数项分别递增，若数列{a n }单调递增，则必有a 2－a 1＝(2－a )－a ＞0且a 2－a 1＝(2－a )－a ＜a n ＋2－a n ＝2，可得0＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(0，1)．答案：(0，1)5．(应用型)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)令n ＝1，T 1＝2S 1－1，因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1 ＝2a n －2n ＋1.因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2， 所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)， 所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.6．(创新型)已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{}c n 的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0. 所以数列{c n }的变号数为3.。