第二章：随机变量与分布函数习题

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概率论第二章习题解答

a
b X t
ba
0
F
t
t b
a a
1
ta at b bt
2024年8月31日7时2分
P44 2.4.1 X ~ U 0,10,均匀分布 0, x 0
概率密度f
方程x2
x
1
=10
,
0,
Xx 1
0 x 10 分布函数F 其它
0有实根,
x
x 10 1
0 x 10 10 x
=X 2 4 0 X 2
1 P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3 1 P A1A2 A3
1 P A1 P A2 P A3 1 0.9730633 0.078654
设Y “3人维修的90台设备发生故障的台数”
近似
则Y ~ B 90，0.01， 2 =np 90 0.01 0.9,Y ~ 0.9
Probability
2024年8月31日7时2分
第二章随机变量及其分布 P35练习2.2
1
P
X
k
k
A
k 1
k
1, 2,
,且
k 1
k
A
k 1
1
1
k 1
k
A
k 1
A
k 1
k
1
k 1
A 11
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
A
A1
2024年8月31日7时2分
P35练习2.2
2 解：设X =8次射击击中目标次数，则X ~ N 8,0.3
2024年8月31日7时2分
P49 2.5.1 Y sin X 1,0,1
X

《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X xdy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ.8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2. ),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足 (A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负. 所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ 其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ 其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π 解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点解. 分布函数:))2,(m i n (1))2,(m i n ()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m i n (1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m i n (1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m i n(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====P P A P A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p13101311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|a r c s i n 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dxX P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时⎰⎰∞--=-==xdt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x t d t dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤= 当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x。

第二章随机变量及其分布作业及其答案

第二章随机变量及其分布18.[十七] 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2), P {0<X ≤3}, P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ). 解：（1）P (X ≤2)=F X (2)= ln2， P (0<X ≤3)= F X (3)－F X (0)=1，45ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<<X X F F X P （2）⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,1,1)(')(e x x x F x f24.[二十二] 设K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率∵ K 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他50051)(K K f要方程有根，就是要K 满足(4K )2－4×4× (K+2)≥0。

解不等式，得K ≥2时，方程有实根。

∴53051)()2(5522=+==≥⎰⎰⎰∞+∞+dx dx dx x f K P 25.[二十三] 设X ～N （3.22）（1）求P (2<X ≤5)，P (－4)<X ≤10)，P {|X|>2}，P (X>3)∵ 若X ～N （μ，σ2），则P (α<X ≤β)=φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμβφ⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμα ∴P (2<X ≤5) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-235φ⎪⎭⎫ ⎝⎛-232=φ(1)－φ(－0.5) =0.8413－0.3085=0.5328P (－4<X ≤10) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2310φ⎪⎭⎫ ⎝⎛--234=φ(3.5)－φ(－3.5) =0.9998－0.0002=0.9996P (|X |>2)=1－P (|X |<2)= 1－P (－2< P <2 )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-2322321 =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977P (X >3)=1－P (X ≤3)=1－φ⎪⎭⎫⎝⎛-233=1－0.5=0.5（2）决定C 使得P (X > C )=P (X ≤C )∵P (X > C )=1－P (X ≤C )= P (X ≤C )得 P (X ≤C )=21=0.5 又P (X ≤C )=φ023,5.023=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C C 查表可得∴ C =3 28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X ≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？∵ P (120＜X ≤200)=80.04040160120160200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσσσσ 又对标准正态分布有φ(－x )=1－φ(x )∴ 上式变为80.040140≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ 解出9.040:40≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ便得再查表，得25.31281.140281.140=≤≥σσ 31.[二十八] 设随机变量X 在（0，1）上服从均匀分布（1）求Y=e X 的分布密度∵ X 的分布密度为：⎩⎨⎧<<=为其他x x x f 0101)(Y=g (X ) =e X 是单调增函数又 X=h (Y )=lnY ，反函数存在且α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1=βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e∴ Y 的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅=⋅=为其他y e y yy h y h f y ψ0111|)('|)]([)(（2）求Y=－2lnX 的概率密度。

第二章随机变量及其分布及第2章补充练习参考答案

第二章随机变量及其分布1. 从一个装有4个红球和2个白球的口袋中不放回地任取5个球,以X 表示取出的红球个数.(1) 求X 的分布律;(2) 求X 的分布函数; (3) 求)40(<<X P .2. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,10)(x b a x a x a x x F ，, 且21)2(==X P ,求b a ,和X 的分布律. 3. 设随机变量X 具有分布律X -1 0 1 2 3k p 0.16 10a 2a 5a 0.3 确定常数a .4. 设在时间t(min)内,通过某十字路口的汽车数X 服从参数与t 成正比的泊松分布.已知在1min 内没有汽车通过的概率为0.2,求在2min 内有多于1辆汽车通过的概率.5. 有一决策系统,其中每一成员作出决策互不影响,且每一成员作出正确决策的概率均为)10(<<p p ,当半数以上成员作出正确决策时,系统作出正确决策,问p 多大时,5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠?6. 某商店出售某种商品,根据历史记录分析,月销售量服从参数5=λ的泊松分布.问在月初进货时要库存多少件该种商品,才能以0.999的概率满足顾客的需求?7. 设随机变量X ~),2(2σN ,且3.0)42(=<<X P ,求)0(<X P .8. 设随机变量X ~),0(2σN ,问当σ取何值时, 概率)31(<<X P 取到最大?9. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,4)(2x x xe x f x求: (1) X 的分布函数;(2) )121(<≤-X P ; (3) )23(=X P . 10. 设随机变量X ~)1,0(U ,求X Y 32-=的密度函数.11. 设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=-x Aex f x ,)(,求:(1) 确定常数A ;(2) )10(<<X P ;(3) X 的分布函数.12. 设随机变量X 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=　其他　　,032,21,)(x B x Ax x f 且))3,2(())2,1((∈=∈X P X P ,求:(1) 常数A,B;(2) X 的分布函数.13. 设随机变量X 的绝对值不大于1, 81)1(=-=X P ,41)1(==X P ,在事件)11(<<-X 出现的条件下, X 在)1,1(-内的任一子区间上的取值的条件概率与该子区间的长度成正比,求X 的分布函数)()(x X P x F ≤=.14.设离散型随机变量X 具有分布律 ,2,1,21)(===k k X P k ,求随机变量X Y 2sin π=的分布律.15. 设一电路装有三个同种电器元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布,当三个元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作,试求电路正常工作时间T 的概率分布.16. 设随机变量X ~)1,0(N ,求:(1) 122+=X Y 的密度函数; (2) X Z =的密度函数.第2章补充练习参考答案1. (1) X 3 4 k p32 31 (2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=　　4,143,323,0)(x x x x F (3) 32)3()40(===<<X P x P 2. 65,61==b a 3. =a 0.6 4. 255ln 224-(提示:X ~)(at π,t=1时,由)0(=X P =0.2可确定常数a ) 5. 21>p (提示:设5个成员与3个成员的决策系统中作出正确决策的人数分别为X 和Y ,则X ~),5(p B ,Y ~),3(p B ,要求)2()3(≥>≥Y P X P ) 6. 至少13件7. 0.2 8. 3ln 22=σ 9.(1)⎩⎨⎧<≥--=--0,00,21)(22x x e xe x F x x (2)231--e (3) 0 10. ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,021,31)(x y f Y 11. (1)21=A (2) 211--e (3)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0,2110,21)(x e x e x F x x 12. (1),31,21==B A (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-≤<-≤=32),1(2121),1(611,0)(2x x x x x x F 13. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,1671651,0)(x x x x x F 14.Y -1 0 1k p 152 31 158 15. T 服从参数为λ3的指数分布.即T 的密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,3)(3t t e t f t T λλ(提示:T 的分布函数)(1)()(t T P t T P t F T >-=≤=)=),,(1321t X t X t X P >>>-)16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--1,01,)1(21)(41 y e y y f y Y π,⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,00,2)(22z z e z f z z π第二章补充练习参考答案1. (1) X 3 4k p 32 31(2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=　　4,143,323,0)(x x x x F (3) 32)3()40(===<<X P x P 2. 65,61==b a 3. =a 0.6 4. 255ln 224-(提示:X ~)(at π,t=1时,由)0(=X P =0.2可确定常数a ) 5. 21>p (提示:设5个成员与3个成员的决策系统中作出正确决策的人数分别为X 和Y ,则X ~),5(p B ,Y ~),3(p B ,要求)2()3(≥>≥Y P X P ) 6. 至少13件7. 0.2 8. 3ln 22=σ 9.(1)⎩⎨⎧<≥--=--0,00,21)(22x x e xe x F x x (2)231--e (3) 0 10. ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,021,31)(x y f Y 11. (1)21=A (2) 211--e (3)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0,2110,21)(x e x e x F x x 12. (1),31,21==B A (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-≤<-≤=32),1(2121),1(611,0)(2x x x x x x F 13. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,1671651,0)(x x x x x F 14.Y -1 0 1k p 152 31 158 15. T 服从参数为λ3的指数分布.即T 的密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,3)(3t t e t f t T λλ(提示:T 的分布函数)(1)()(t T P t T P t F T >-=≤=)=),,(1321t X t X t X P >>>-)16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--1,01,)1(21)(41 y e y y f y Y π,⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,00,2)(22z z e z f z z π。

第二章随机变量及其分布习题

第二章随机变量及其分布习题(1)随机变量及其分布1.一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律2.分析下列函数是否是分布函数.若是分布函数，判断是哪类随机变量的分布函数.（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.0,1,02,21,2,0)(x x x x F （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,0,sin ,0,0)(ππx x x x x F （3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.21,1,210,21,0,0)(x x x x x F 3.盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0、1、2、…、9.从中任取1个，观察号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情况.试定义一个随机变量，求其分布律和分布函数.4.已知随机变量X 的概率密度为||1()2x f x e -=，x -∞<<+∞.求X 的分布函数.5.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01,1)(2x x c x f ，试求：（1）常数c ；（2）}210{≤≤X P ；（3）X 的分布函数.6.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2),P {0<X ≤3},P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ).7.设随机变量X 的概率密度)(x f 为（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它01112)(2x x x f π，（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其他021210)(x x x x x f 求X 的分布函数F (x )，并作出（2）中的f (x )与F (x )的图形。

8.设随机变量X 的分布律为（0>α为参数）2,1,1)(===k ak X P k 求（1）(5)P X ≥；（2）(3)P X 为的倍数。

第二章随机变量及其分布

第⼆章随机变量及其分布第⼆章随机变量及其分布习题2.1 P732. ⼀颗骰⼦抛两次,以X 表⽰两次中所得的最⼩点数. (1) 试求X 的分布列;(2) 写出X 的分布函数, 并作图.4. 有3个盒⼦,第⼀个盒⼦装有1个⽩球,4个⿊球; 第⼆个盒⼦装有2个⽩球,3个⿊球; 第三个盒⼦装有3个⽩球,2个⿊球. 现任取⼀个盒⼦,从中任取3个球. 以X 表⽰所取到的⽩球数.(1) 试求X 的概率分布列;(2) 取到的⽩球数不少于2个的概率是多少?6. 设随机变量X 的分布函数为≥<≤<≤<≤<=.6,1;63,2/1;31,3/1;10,4/1;0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及P(X<3),P(X ≤3),P(X>1),P(X ≥1).11. 如果X 的密度函数为<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x x p试求P(X ≤1.5).13. 设连续随机变量X 的分布函数为≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F试求 (1) 系数A;(2) X 落在区间(0.3,0.7)内的概率;(3) X 的密度函数.15. 设随机变量X 和Y 同分布,X 的密度函数为<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 已知事件A={X>a}和B={Y>a 独⽴, 且P(A ∪B)=3/4,求常数a.16. 设连续随机变量X 的密度函数p(x)是⼀个偶函数,F(x)为X 的分布函数, 求证对任意实数a>0, 有(1);)(5.0)(1)(0-=-=-adx x p a F a F(2);1)(2)|(|-=习题2.2 P811.设离散型随机变量X 的分布列为试求E(X)和5. ⽤天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在⼀个盘中), 现有三组砝码(甲)1,2,2.5,10(g); (⼄)1,2,3,4,10(g); (丙)1,1,2,5,10(g), 称重时只能使⽤⼀组砝码. 问:当物品的质量为1g, 2g, …, 10g 的概率是相同的, ⽤哪⼀组砝码称重所⽤的平均砝码数最少?7. 对⼀批产品进⾏检查, 如查到第a 件全为合格品, 就认为这批产品合格;若在前a 件中发现不合格品即停⽌检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很⼤, 可认为每次查到不合格品的概率都是p, 问每批产品平均要查多少件?11. 设随机变量X 的分布函数如下, 试求E(X).≥-<≤<=--.1,211;10,21;0,2)()1(21x ex x e x F x x12. 某⼯程队完成某项⼯程的时间X(单位:⽉)是⼀个随机变量,它的分布列为(1) (2) 设该⼯程队所获利润为Y=50(13-X),单位为万元. 试求⼯程队的平均利润; (3) 若该⼯程队⾼速安排,完成该项⼯程的时间1X (单位:⽉)的分布为13. 设随机变量X 的概率密度函数为≤≤=.,0;0,2cos 21)(其他πx x x p 对X 独⽴重复观察4次,Y 表⽰观察值⼤于π/3的次数,求Y 2的数学期望. 习题2.3P884. 设随机变量X 的分布函数为≥-<≤<=--,1,211;10,21;0,2)()1(21x ex x e x F x x试求Var(X).5. 设随机变量X 的密度函数为≤<-≤<-+=,,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p试求Var(3X+2).7. 设随机变量X 仅在区间[a,b]上取值,试证.)2()(,)(2a b X Var b X E a -≤≤≤9. 设g(x)为随机变量X 取值的集合上的⾮负不减函数,且E(g(X))存在,证明:对任意的ε>0,有.)())(()(εεg X g E X P ≤>11. 已知正常成⼈男性每升⾎液中的⽩细胞数平均是7.3×109,标准差是0.7×109. 试利⽤切⽐雪夫不等式估计每升⾎液中的⽩细胞数在5.2×109⾄9.4×109之间的概率的下界. 习题2.4P1013. 某优秀射⼿命中10环的概率为0.7, 命中9环的概率为0.3. 试求该射⼿三次射击所是的环数不少于29环的概率.5. 设随机变量X~b(n,p),已知E(X)=2.4, Var(X)=1.44, 求两个参数n 与p 各为多少?7. ⼀批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进⾏检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别⽤以下⽅法求拒收的概率:(1)⽤⼆项分布作精确计算;(2)⽤泊松分布作近似计算.9. 已知某商场⼀天来的顾客数X 服从参数为λ的泊松分布,⽽每个来到商场的顾客购物的概率为p,证明:此商场⼀天内购物的顾客数服从参数为λp 的泊松分布.12. 设随机变量X 的密度函数为<<=.,0;10,2)(其他x x x p以Y 表⽰对X 的三次独⽴重复观察中事件{X ≤1/2}出现的次数,试求P(Y=2).13. 某产品的不合格品率为0.1,每次随机抽取10件进⾏检验,若发现其中不合格品数多于1, 就去调整设备.若检验员每天检验4次,试问每天平均要⾼速⼏次设备. 习题2.5P1153. 设K 服从(1,6)上的均匀分布,求⽅程012=++Kx x 有实根的概率.6. 设某种商品每周的需求量X 服从区间(10,30)上均匀分布,⽽商店进货数为区间(10,30)中的某⼀整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供⼤于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.10. 某种设备的使⽤寿命X(以年讲)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的⼚家规定,若设备在使⽤⼀年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造⼚每售出⼀台设备可赢利100元,⽽调换⼀台设备制造⼚需花费300元.试求每台设备的平均利润. 11. 设顾客在某银⾏的窗⼝等待服务的时间X(以min 计)服从指数分布,其密度函数为>=-.,0;0,51)(5其他x e x p x某顾客在窗⼝等待服务,若超过10min,他就离开,他⼀个⽉要到银⾏5次,以Y 表⽰⼀个⽉内他未等到服务⽽离开窗⼝的次数,试求P(Y ≥1).13. 设随机变量X 的密度函数为≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x λλ(λ>0)试求k,使得P(X>k)=0.5.20. 设X~N(3,22),(1)求P(22);(3)确定c 合得P(X>c)=P(X(1) 该机在下午2:30以后到达⼄地的概率是多少? (2) 该机在下午2:20以前到达⼄地的枝率是多少? (3) 该机在下午1:50⾄2:30之间到达⼄地的概率是多少?24. 某单位招聘员⼯,共有10000⼈报考.假设考试成绩服从正态分布,且已知90分以上有359⼈,60分以下有1151⼈.现按考试成绩从⾼分到低分依次录⽤2500⼈,试问被录⽤者最低分为多少?30. 设随机变量X~N(µ,σ2),求E|X-µ|. 习题2.6P1231. 已知离散随机变量X 的分布列为试求Y=X 2与Z=|X|3. 设随机变量X 服从(-1,2)上的均匀分布,记<-≥=.0,1;0,1X X Y 试求Y 的分布列.7. 设随时机变量X 服从区间(1,2)上的均匀分布,试求Xe Y 2=的密度函数.8. 设随机变量X 服从区间(0,2)上的均匀分布,(1)求Y=X 2的密度函数.(2)P(Y<2).13. 设),(~2σµN X ,求Xe Y =的数学期望与⽅差.15. 设随机变量X 的密度函数为≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x 若若试求以下Y 的密度函数(1) Y=2X+1; (2)Xe Y =; (3)2X Y =.17. 设),(~2σµLN X ,试证:).,(~ln 2σµN X Y =。

2第二章随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布一、填空题1、设随机变量X 的分布律为0),2,1,0(!)(>===λλ k k ak XP k，则=a 。

2、设随机变量X 服从参数为1/3的0—1分布，则X 的分布函数为= 。

3、设随机变量21)(),4,1(~=≥a X P N X，则=a 。

4、设随机变量X 的分布律为0),2,1()(>===λN k Nak XP ，则=a 。

5、设随机变量X 服从(0,1)区间上的均匀分布，则随机变量2X Y =的密度函数为。

6、随机变量X 的密度函数为8)1(2)(--=x ke x f )(+∞<<-∞x ，则=k 。

7、随机变量X 的密度函数为),4,1(~N X 则~12-=X Y 。

8、若2112,)(,1)(x x x XP x X P <=>-=≤αβ，则=≤<)(21x X x P。

9、设离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=b a a ax F 320)(221211≥<≤<≤--<x x x x且21)2(==X P ，则=a，=b 。

10、设连续型随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧=-0)(2xkex f0≤>x x 则=k，=≤<)21(X P ，==)2(X P 。

11、设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品不放回，直到把2个次品都找到为止，设X为需要进行测试的次数，则==)3(X P。

12、设)(x F 为离散型随机变量的分布函数为，若)()()(a F b F b X a P -=<<，则==)(b XP。

13、一颗均匀骰子重复掷10次，设X 表示点3出现的次数，则X 的分布律==)(k X P。

14、设X 为连续型随机变量，且75.0)29.0(=≤X P ，X Y -=1，且25.0)(=≤k Y P ，则=k 。

中山第4版概率论习题解答第二章

第二章：随机变量及其分布函数2.甲乙两名篮球队员独立的轮流投篮，直至某人投中篮筐为止。

今让甲先投，果甲投中的概率为0.4，乙为0.6。

求各队员投篮次数的概率分布。

解：对甲而言： ξ=1 甲（未中）乙（中）或甲（中） ………………. ξ=k 意味着1.k -⋯⋯甲（未）乙（未）甲（未）乙（未）甲（中）或者.k⋯⋯甲（未）乙（未）甲（未）乙（未）所以111()(0604)04(0604)0606(0604)076k k k P k ξ---==⋅⨯⋅⨯⋅+⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⨯⋅其中1=k 、2、3…..对乙而言：40)()0(⋅===甲首次即投中P P η4560)240(40)4060(60)4060()(121⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⨯⋅+⋅⨯⋅⨯⋅==--k k k k P η其中1=k 、2、3…..5.设某个动物生下r 个蛋的概率是p(r =ξ)=λλ-e r r!。

若每一个蛋能发育成动物的概率是p ,且各个蛋能否发育成小动物是彼此相互独立的。

证明恰有k 个后代的概率分布是具有参数为p λ的泊松分布。

证明;令η表示恰有k 个后代，k 个后代是由于r 个蛋孵化出来的，r ≥k. 那么据全概率公式得P(η=k)= ()(|)r k P r P k r ξηξ∞====∑=λλ--∞=-∑e r p p c rkr kkr k r!)1(=er k r kk r p p r k r k r λλ-∞=---∑)1(!1)!(!! =ek k r k r k k r p p k r k λλλ--∞=---∑)1()!(!1=ekr k r kp k r k p -∞=---∑))1(()!(1!)(λλλ=e()(1)!!k i ii p p k i λλλ∞-=-∑=e(1)()!k p p e k λλλ-- =k pp k e )(!λλ- 即函数为p λ的泊松分布。

6.设1ξ与2ξ相互独立，并具有共同的几何分布 {}k i p k pq ξ==()1,2;0,1,2,......i k == （1）证明：()1211i p k n n ξξξ=+==+。

概率第二章练习题

第二章随机变量及其分布练习题一填空题1. 若在三次独立重复试验中，至少有一次成功的概率为61/125 ，求一次试验的成功率 0.22. 设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其他102)(x xx f ，则X 的分布函数为 110010)(2>≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x F 3.设随机变量X 的分布律为.3,2,1,3/)(===k ak k X P ，则常数a= 1/2 . 4.已知随机变量X 的分布函数为+∞<<-∞+=x x x F ,arctan 121)(π}31{≤<-X P =7/12.5 设随机变量~,12),1,0(~Y X Y N X 则+= N(1, 4) 6. 连续型随机变量()~(),0,X e λλ>则=k λ2ln 时，41)2(=<<k X k P . 7 设随机变量X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它020)1(41)(x x x f ，对X 独立观察3次，则至少有2次的x 大于1的概率为175256.二选择题1.设随机变量X 的概率密度为()X f x ，Y=-2X+3,则Y 的概率密度为（ B ）.(A)13()22X y f --- (B) 13()22X y f -- (C) 13()22X y f +-- (D) 13()22X y f +- 2. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ，则)(x f 一定满足（ C ） (A) 1)(0≤≤x f ; (B) ⎰∞-=>xdt t f x X P )(}{(C) 1)(=⎰+∞∞-dx x f . (D)1)(=+∞f .3.设(),2~2,σN X 且6.0)40(=<<X P ，则()=<0X P （ C ）（A ）0.3 （B ）0.4 （C ）0.2 （D ）0. 54. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f ，且)()(x f x f -=，又)(x F 为分布函数，则对任意实数a ，有（ B ） (A) (),1)(0dx x f a F a⎰-=- (B) (),21)(0dx x f a F a ⎰-=- (C) )()(a F a F =-， (D) ()1)(2-=-a F a F ，5.设随机变量)4,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，}{41-≤=μX P P ，}{52+≥=μY P P ，则（ A ）（A ）对任意的实数21,P P =μ，（B ）对任意的实数21,P P <μ，（C ）只对实数μ的个别值，有21P P =，（D ）对任意的实数21,P P >μ三计算题：1. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律和分布函数。

概率论第二章+习题

第二章随机变量与概率分布一、单项选择题 1．设随机变量的密度函数p(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x [0、A]0 其他, 则常数A=( )A 、1/4B 、1/2C 、1D 、22．设随机变量的分布列为P{=k}=C2k ，k=1,2,…，则常数C=( )A 、1/4B 、1/2C 、1D 、23．设 ~ N (, 2 )，且概率密度 p(x) =16e -(x-2)2/6 ，则正确的为 ( )A 、= 3 , =2B 、=2, =3C 、=2, = 3D 、= 2 , = 34．设随机变量的密度函数 p(x) = ⎩⎪⎨⎪⎧Asinx ， x [0，]0，其它，则A=( )A 、1B 、1/2C 、1/4D 、2 5．设离散型随机变量X 的分布列为错误!其分布函数为F(x),则 F(3/2) = ( ) A 、 B 、0.3 C 、 D 、6．设随机变量的分布列为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 4P 1/4 1/2 , 则常数 =( )A 、1/8B 、1/4C 、1/3D 、1/2 7．在相同条件下，相互独立地进行5次射击，每次射击时命中目标的概率为，则击中目标的次数的概率分布为 ( )A 、二项分布 B(5,B 、普阿松分布P(2)C 、均匀分布 U, 3)D 、正态分布 N(3, 52) 8．某射手对目标独立地进行射击，直到击中目标为止，设每次击中的概率为2/3，则击中目标前的射击次数X 的概率分布为 ( )A 、P{X=k}= C n k (23 ) k (13) n – k, k=0,1,2,…,n B 、P{X=k}= kk!e –1 ,>0, k=0,1,2,…,nC 、P{X=k}= (23 ) (13 )kk=0,1,2,…D 、P{X=k}= (23 ) (13)k-1k=0,1,2,…9．设随机变量的密度函数为p(x)，且p(-x)=p(x)，F(x)是的分布函数，则对任意的实数a,有( )A 、F(-a)=1- ⎠⎛0a p(x)dxB 、F(-a)=12- ⎠⎛0a p(x)dxC 、F(-a)=F(a)D 、F(-a)=2F(a)-110．设随机变量的密度函数为p(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧x 0<x ≤12-x 1<x ≤20 其它，则P{<}等于 ( )A 、B 、C 、⎠⎛0(2-x)dxD 、⎠⎛1(2-x)dx二、填空题11．设随机变量的分布函数为 F(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧0 x<0sinx 0x</21 x/2 , 则F(/4) = 。

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第二章：随机变量与分布函数习题
一、“离散型随机变量与分布函数”习题：
1. 射手对靶子进行射击，用X 表示击中的环数，已知击中一环的概率为0.2，击中两环的概率为0.8；求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）()()10,1≤<≥X P X P .
2. 射手对靶子进行射击，一次射击的命中率为0.8，现在连续射击三枪，用X 表示三枪中命中的次数，求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）A “至少命中两枪”的概率.
3. 设随机变量X 的分布函数为
()()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥<≤<≤--<=≤=31
318.0114.010
x x x x x X P x F 求：X 的分布列. 4. 设随机变量X 的分布函数为
()⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
>≤≤<=2120sin 00ππx x x A x x F 求：
（1）A =？（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛
<6πx P . 5. 设随机变量X 的分布列为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--22121101q q ；求：
（1）q=？（2）X 的分布函数. 6. 某设备由三个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为
0.1，求该设备在一次试验在中发生故障的元件数的分布列.
7. 将一颗骰子投掷两次，以X 表示两次所得点数之和、Y 表示两次中所得的小的点数；分别求X 与Y 的分布列.
8. 设随机变量X ~()p B ,2，随机变量Y ~()p B ,3；已知()9
5
1=≥X P ，求：()1≥Y P .
二、“连续型随机变量与分布函数”习题：
1. 设()()⎪⎩⎪
⎨⎧<>≥=-00
0,0212
x a x e
a x x f a x
； ()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他0
0cos 21
2
πx x x f ； ()⎪⎩⎪⎨⎧
<<-=其他0
22cos 3ππx x x f ；
（1）以上()()()x f x f x f 321,,是否是某随机变量X 的分布密度函数？
（2）若是X 的密度函数，求出X 的分布函数；（3）求()10≤≤X P .
2. 在数值计算中，由四舍五入引起的误差X 服从均匀分布。

若小数点后面第五位按四舍五入处理，求：（1）X 的密度函数和分布函数；（2）误差在0.00003与0.00006之间的概率.
3. 某仪器装有三个独立工作的同类电子元件，其寿命都服从同一指数分布，密度函数为
()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>=-0
006001600x x e
x f x
求：仪器使用的最初200小时内，至少有一个电子元件损坏的概率. 4. 设随机变量X 的密度函数为()a
x Ce
x f -
= ()0>a ；求：
（1）?=C （2）X 的分布函数；（3）()
2<X P .
5. 设连续型随机变量X 的分布函数为()⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤>+=-0
002
2
x x Be A x F x ；求常数A 与B .
6. 设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<-=1
0112
x x x A x f ；
求：（1）系数A ；（2）⎪⎭
⎫
⎝⎛
<
21X P ；（3）X 的分布函数. 7. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其密度函数为
()⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-0
0515x x e
x f x
X ；某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开；他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求：（1）Y 的分布列；（2）()1≥Y P . 8. 设随机变量X ~()2
,σμN
，且二次方程042
=++X y y
无实根的概率为2
1
，求μ.
9. 设随机变量X 服从2=λ的指数分布，证明：随机变量X
e Y 21--=服从()1,0上的
均匀分布. 三、“正态分布的计算”习题：
1. 设X ~()4,5N ，求a 使：（1）()90.0=<a X P ；（2）()
01.05=>-a X P .
2. 某地2006年全国高校统考数学成绩X 服从正态分布(
)2
6
,42N ，一个考生得48分，
求有多少考生名列该考生之后？
3. 已知某批建筑材料的强度X ~()
218,200N ，现从中任取一件，求：
（1）取得的这件材料的强度不低于180的概率；
（2）如果所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合要求？ 4. 某种电子元件在电源电压不超过200V 、200~240V 及超过240V 三种情况下，损坏率依次为0.1、0.001及0.2；设电源电压X ~()
225,220N ，求：
（1）此种电子元件的损坏率；（2）此种电子元件损坏时，电源电压在200~240V 的概率. 四、“随机变量函数的分布”习题：
1. 设随机变量X 的分布列为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛a p X k 3.02.03.01.0:22320:ππππ；求：（1）a =？（2）X Y sin 1=的分布列；（3）X Y cos 22=的分布列.
2. 设随机变量X 服从⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-2,2ππ上的均匀分布，X Y tan =，求Y 的密度函数.
3. 对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于()b a ,内，求圆面积的密度函数.
4. 设随机变量X 的密度函数()⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤=其他
022
ππx x x f X ；
求X Y sin =的密度函数()y f Y .
5. 设随机变量X 的密度函数为()()+∞<<∞-=-
x e
x x 2
2
21π
ϕ，求X Y =
的密度
函数()y f Y .
6. 设随机变量X 的分布函数()x F 是连续函数，求（1）()X F Y =的密度函数；（2）()X F Y ln 2-=的密度函数.
7. 设()x F 1和()x F 2都是分布函数，又0,0>>b a 是两个常数，且1=+b a ，证明：()()()x bF x aF x F 21+=也是一个分布函数.。