分布函数例题
多元正态分布条件分布例题
多元正态分布条件分布例题
多元正态分布是指具有多个随机变量的正态分布。
它的概率密度函数可以用矩阵符号来表示。
对于一个具有n个变量的多元正态分布，其概率密度函数可以写作：
f(x) = (1 / ( (2π)^(n/2) |Σ|^0.5 )) exp(-0.5 (x-μ)' Σ^(-1) (x-μ))。
其中，x是一个n维向量，μ是一个n维向量，Σ是一个n×n 的对称正定矩阵，|Σ|表示Σ的行列式。
这个概率密度函数描述了多元正态分布的形状和分布情况。
现在让我们来看一个条件分布的例题。
假设我们有一个二维多元正态分布，其均值向量为μ = [1, 2]，协方差矩阵为Σ = [[2, 1], [1, 2]]。
我们想要求在给定X1 = 1 的条件下，X2 的条件分布。
首先，我们可以计算边缘分布，即X1的边缘分布。
X1的边缘
分布仍然是一个正态分布，其均值和方差可以通过均值向量和协方差矩阵的对应元素得到。
然后，我们可以计算条件分布。
在给定X1 = 1 的条件下，X2 的条件分布也是一个正态分布，其均值和方差可以通过边缘分布的均值和方差以及协方差矩阵的相关元素计算得到。
通过这个例题，我们可以理解多元正态分布的条件分布是如何计算的，以及如何利用均值向量和协方差矩阵来描述多元正态分布的形状和分布情况。
麦克斯韦速率分布例题
麦克斯韦速率分布例题23/22/2()4π()2πm kT m f e kT-=v v v 麦克斯韦速率分布函数m 为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量k = 1.38×10-23 J / K23/22/2d ()d 4π()d 2πm kT N m f e N kT-==v v v v v 1. 平均速率8 1.59πm kT RT m M ==0()d f ∞=⎰v v v v 23 1.73mkT RT m M ==v 2. 方均根速率3. 最概然速率 22 1.41p m mkT RT RT m M M ===v例: 试求氮分子及氢分子在标准状况下的平均速率。
解（1）氮分子平均速率（2）氢分子平均速率 ●以上计算表明，除很轻的元素如氢、氦之外，其它气体的平均速率一般为数百米的数量级11888.31273m s 454m s 3.140.028m RT M π--⨯⨯==⋅=⋅⨯v 311.7010m s -=⨯⋅v根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率v p ~v p +Δv 区间内的分子数与温度成反比( 设Δv 很小)T 23/2/22()4π()2πm kT m f e kT -=v v v 2/322π4v v v v p e p --=11π4)(--=e f p p v v 将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有例证v v v ∆=∆≈∆-12π4)(e kT m N Nf N p T N 1∝∆m kT 2p =v p v f (v )vO ( 速率分布曲线 )T例在温度为300K 时，空气中速率在 (1)v p 附近；(2)10v p 附近，速率区间Δv ＝1m/s 内的分子数占分子总数的比率是多少？麦克斯韦速率分布为解式中v p 为最概然速率 mkT 2p =v 当T =300K 时，空气分子的最概然速率为p 3mol 2228.31300m/s 415m s 2910kT RT m M -⨯⨯====⨯v vv v v v v v v ∆∆∆2p 223p 22223π4π2π4--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e kT m N N kT m 相对于最概然速率的速率分布(1)在v= v p 附近，Δv ＝1m/s 内单位速率区间的分子数占分子总数的比率为22p 213p Δ441e Δe 1415ππ 0.0020.2%N N --==⨯⨯==v v v v v (2)在v= 10v p 附近， Δv ＝1m/s 的速率区间内的分子数占分子总数的比率为22p p 2(10)p 3p 1004442(10)4e π4100e 1 2.010415π2.010%N N ----∆=∆=⨯⨯=⨯=⨯v v v vv谢谢大家！。
经验分布函数例题
例4随机观察总体X ，得到一个容量为10的样本值：
3.2, 2.5, -2， 2.5, 0, 3, 2, 2.5, 2, 4 求X 经验分布函数.
解 ：把样本值按从小到大的顺序排列为
5.25.22202=<=<<-4
2.335.2<<<=
于是得经验分布函数为
,
4,14
2.3,10/92.33,10/835.2,10/75
.22,
10/420,10/202,10/12,0)(10⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎧≤<≤<≤<≤<≤<≤<≤--<=x
x x x x x x x x F
其中如5.22<≤x 时, 因事件
}{x X ≤包含的样本值个数
,
4=k 故
事件
}
X≤发生的频率为,10/4从而.10/4)(10=x F
{x
是一个阶梯注: 经验分布函数)(x F
n
形函数, 当样本容量增大时, 相邻两阶梯的跃度变低, 阶梯宽度变窄, 容易想像, 这样的阶梯形折线几乎就是一条曲线, 如果设总体X的分布
函数为),(x F那么)(x F
n非常接近于).(x F
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一维随机变量函数的分布
fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的 另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)
FY
(
y
)
y
FX
y FX
y
y
.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)
2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y
1 4
e
(
y3 4
)
,
0
已知概率密度求分布函数例题
已知概率密度求分布函数例题假设有一个随机变量X，其概率密度函数为f(x)。
我们需要求出它的分布函数F(x)。
分布函数F(x)表示随机变量X小于等于x的概率。
分布函数的定义为：F(x)=P(X≤x)我们可以通过对概率密度函数进行积分来求得分布函数：F(x) = ∫[a, x] f(t) dt其中，a是随机变量X的定义域的下限值。
下面通过一个例题来说明如何通过已知的概率密度函数求解分布函数。
例题：假设有一个随机变量X，其概率密度函数为：f(x) = kx (0 ≤ x ≤ 2)=0(其他)求X的分布函数F(x)。
解答：首先，我们需要确定常数k的值。
由概率密度函数的性质知道，对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足：∫[a, b] f(x) dx = 1根据上述性质，我们可以得到：∫[0, 2] kx dx = 1求解上述积分，我们得到：k/2*[x^2]([0,2])=1k=1/[2^2-0^2]=1/4因此，常数k的值为1/4接下来，我们可以根据已知的概率密度函数来计算分布函数。
情况1：当x<0时，F(x)=P(X≤x)=0，因为x小于0的概率为0。
情况2：当0≤x≤2时F(x) = ∫[0, x] 1/4 * t dt=1/4*[t^2/2]([0,x])=1/4*(x^2/2-0^2/2)=1/8*x^2情况3：当x>2时，F(x)=P(X≤x)=1，因为x大于2的概率为1综上所述，我们可以得到分布函数F(x)的表达式：F(x)=0(x<0)=1/8*x^2(0≤x≤2)=1(x>2)上述就是通过已知的概率密度函数求解分布函数的方法和例题的详细步骤。
通过计算概率密度函数的定积分可以得到分布函数的表达式。
随机变量函数的分布 (2)
2
[(
x
ห้องสมุดไป่ตู้
)
2
(
z
x
)2
]
2
令t x
1
1 [t2 ( z2 t)2 ]
e 2 2
dt
2 2
1
1 2[(t z2 )2 ( z2 )2 ]
e 2 2
2
2 dt
2 2
1
1 2(t z2 )2
e 2 2
2
2 ( )
2
1
1 (z2)2
e 2 2 2 dt
2 ( )
2
1
e
(z 2(
0 ,
z0,
于是 Z max X ,Y 的概率密度为
fmax z Fmax z
e y , 0 x 1, y 0
f (x, y)
f
X
(
x
)
fY
(
y)
0,
其他
e y , 0 x 1, y 0
f (x, y) 0,
其他
第二步 求Z =2X+Y的分布函数
Fz (z) P2X Y z f ( x, y)dxdy 2x yz
0,
z
2 dx
0
z2 x e ydy 1 1 z 1 ez ,
例题13
设X,Y 服从区域 G={(x,y)| 0 X 1, 0 Y 2 }
的均匀分布, Z =Max(X ,Y) 求 P(Z>1/2)=?
解: p{z 1} 1 p{z 1}
2
2
1 p{X 1 且Y 1}
2
2
1 1 1 7 24 8
例题14
设x1,X2,X3…Xn 独立同分布, 求Y=Min(X1,..Xn)×n 的分布函数
2.3随机变量的分布函数
2 3 5 5 F (0) F ( ) 0 2 6 6 P{0 X 1} P{X 1} P{X 0} P{X 0} 5 1 2 F (1) F (0) P{ X 0} 1 6 2 3
2
用分布函数表示概率
P(a X b) P( X b) P( X a) F (b) F (a)
0, x 1, 1 3 例 求 1 P{ X }; 2 P{ X 0}; 1 2 2 , 1 x 0, 3 3 P{0 X 1}. F ( x) 5 解:(2) , 0 x 1, 6 1 , x 1. 3 3 P{ X 0} P{x 0} P{x }
(3) P{ X b} F(b) P{X b} (4) P{a X b} F(b) F(a) P{ X b}
(5) P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
例
设随机变量X分布函数为 F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞), 确定A,B的值，并计算P{-1<X≤1}
xi x
即
F ( x ) pk ,
xk x
这里和式是对所有满足 xk x 的k 求和的. 分布函 数F ( x )在x xk (k 1,2,)处有跳跃, 其跳跃值为
pk P{ X xk }.
例 设离散型随机变量 X 的分布列为
X
1
1 3
0
1 2
1
1 6
求 X 的分布函数 F x
P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3)
随机变量的分布函数
1 e 2π
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
Xμ 引理 若X ~ N ( μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ
2
若 X ~ N ( ,
2)
x ,则 F ( x)
P (a X b) F (b) F (a ) b a P( X a) 1 F (a) a 1
F (b 0 ) F ( a )
P (a X b) F (b 0) F (a 0)
sin x, 0 x 例1.设F ( x) , F ( x)是否为r.v的分布函数. 其他 0,
例2.r.v. X 的分布函数 A Be F ( x) 0, 求A, B.
F ( x ) 1; F () lim F ( x) 0, F ( ) lim x
( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
(3) lim F ( x) F ( x0 ), ( x0 ).
x x0
用分布函数表示概率
7 7 41 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) . 2 2 48
课堂练习: 设r.v. X 的概率密度为f ( x) Ae , x 求 : (1) A; (2) P{0 X 1}; (3) X 的分布函数.
x
二、常见连续型随机变量的分布
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
e
1 2
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}
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例题
【例】
解：
【例】
将介绍连续型随机变量。
我们要讨论的问题是相同的，但是它们的描述方法和使用助数学工具却不相同，为此我们将给出密度函数和分布函数的概念。
正态分布是概率论和数理统计中最重要的分布，无论在理论研究和实际应用中它都占有头等重要的地位.
连续型随机变量和密度函数概念
例如：
由分布函数性质很容易看出，密度函数具有下面性质：：
3．则
4．
有
5．
对于连续型随机变量，如果已知分布函数或密度函数中的任一个，可求得另一个函数。
【例】
【例】
解：
由密度函数求分布函数，注意到当密度函数是分段表示的函数时，分布函数也要分段表示，
【例】
解：
对于正态分布，
例题：。