最新七年级数学全等图形习题精选

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华师版七年级下册数学第10章 10.5. 图形的全等习题课件

能力提升练
(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°. ①求∠DBC 的度数；
解：∵△ABC≌△DEB， ∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝85°， ∴∠DBC＝∠ABC－∠DBE＝85°－60°＝25°.
能力提升练
(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°. ②求∠AFD 的度数．
【答案】C
能力提升练
13．如图，△ABE≌△ECD，点 B，E，C 在同一直线上，
AB⊥BC，则结论：①AE＝ED；②AE⊥ED；③BC＝
AB＋CD；④AB∥DC.其中成立的是( D )
A．仅①
B．仅①③
C．仅①③④
D．①②③④
能力提升练
14.如果△ABC≌△DEF，△DEF 的周长为 13，DE＝3，EF ＝4，则 AC 的长为____6____．
【答案】D
能力提升练
12．如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点 A，D，E 在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC 的度数是( ) A．55° B．60° C．65° D．70°
能力提升练
【点拨】 ∵△ABC≌△EDC， ∴AC＝CE，∠DCE＝∠ACB＝20°. ∴∠BCD＝∠ACE，△ACE为等腰三角形， ∴∠CAE＝∠E. ∵BC⊥CD，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.∴∠E＝45°， ∴∠ADC＝∠E＋∠DCE＝45°＋20°＝65°，故选C.
能力提升练
11. 如图，若△MNP≌△MEQ，则点 Q 的位置应在图中的
() A．点 A 处
B．点 B 处
C．点 C 处
D．点 D 处
能力提升练
【点拨】△MNP的三边分别是MN，MP，NP，其中 MN的长为2个单位长度，MP是边长为3个单位长度的正方形的对角线，NP是长为3个单位长度、宽为1个单位长度的长方形的对角线， ∴点Q的位置应在图中的点D处，故选D.

北师大七年级下册数学全等三角形习题精选

FED CB A 第五章全等三角形 A一、选择题1．下列三角形不一定全等的是（） A ．有两个角和一条边对应相等的三角形 B ．有两条边和一个角对应相等的三角形C ．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形D ．三条边对应相等的两个三角形 2．下列说法：①所有的等边三角形都全等 ②斜边相等的直角三角形全等③顶角和腰长对应相等的等腰三角形全等 ④有两个锐角相等的直角三角形全等其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.如图，AB 平分∠CAD ，E 为AB 上一点，若AC=AD ，则下列结论错误的是（）=BD =DE 平分∠CBD D.图中有两对全等三角形是△ABC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下列结论中错误的是 ( )=DF =AF =CD D.∠ADE=∠ADF5.在△ABC 中，∠B=∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是130°，那么△ABC 中与这个角对应的角是（）．A ．∠AB ．∠BC ．∠CD ．∠B 或∠C6.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AD=CD ，BD=ED ，若∠ABC=54°，则∠E=（）．A ．25°B ．27°C ．30°D ．45° 7.如右图，△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE⊥AB，且AB ＝10 cm ，则△BED 的周长为 ( ) A ．5 cm B ．10 cm; C ．15 cm D ．20 cm8．如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BOF ≌△COE ；③点O 在∠BAC 的角平分线上，其中正确的结论有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 作BE ⊥AD 于E ，过E作EF ∥AC 交AB 于F ，则( ) A 、AF=2BF; B 、AF=BF; C 、AF>BF; D 、AF<BF E DCBAD A CE B CBAEF O二、填空题1.如果△ABC≌△A’B’C’，若AB ＝A’B’，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠A’＝ °2.如图，若BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DC=DC ，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=________。

初中数学《全等三角形》基本模型训练含解析

全等三角形基本模型专项训练一、单选题1如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在边BC及其延长线上，BD2+CE2=DE2，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则结论：①FA=AE；②∠DAE=45°；③S△ADE=14AD⋅EF；④CE2+BE2=2AE2，其中正确的是()A.①②③④B.①②④C.①③④D.①②【答案】A【分析】根据全等三角形的性质，证明△ABF和△ACE全等，即可得到FA=AE；连接DF如图见解析，证明△ADE和△ADF全等，即可得到∠DAE=45°；延长AD交EF于H如图见解析，利用等腰直角△AFE三线合一的性质，∠FAE=90°，∠DAE=45°∠DAE=45°，可知AH⊥EF，S△ADE=12AD⋅EH，HE=HF=12EF，即可判断③；在Rt△EBF和Rt△EAF中，利用勾股定理以及等式的性质，即可判断④．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ACE=180°-∠ACB=135°∵FB⊥BC∴∠FBE=90°∴∠ABF=∠ABC+∠FBE=135°∴∠ABF=∠ACE∵FA⊥AE∴∠FAE=90°=∠BAC∴∠FAE-∠FAC=∠BAC-∠FAC即∠CAE=∠BAF在△ABF和△ACE中，∠ACE=∠ABF AC=AB∠CAE=∠BAF∴△ACE≌△ABF ASA∴FA=EA，故①正确；连接DF，如图：∵△ACE≌△ABF∴BF=CE在Rt△BDF中，BD2+BF2=DF2∴BD2+CE2=DF2∵BD2+CE2=DE2∴DE=DF∵AE=AF，AD=AD∴△ADE≌△ADF SSS∴∠DAE=∠DAF∴∠DAE=12∠EAF=45°，故②正确；延长AD交EF于H，如图：∵AE=AF，∠EAD=∠FAD∴AH⊥EF，HE=HF=12EF∴S△ADE=12AD⋅EH=12AD⋅12EF=14AD⋅EF，故③正确；在Rt△EBF中，BE2+BF2=EF2∵CE=BF∴BE2+CE2=EF2∵AE=AF，∠FAE=90°∴EF2=AE2+AF2=2AE2∴BE2+CE2=2AE2，故④正确，综上所述，正确的有①②③④，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．2如图所示，△ABC中，AC=BC，M、N分别为BC、AC上动点，且BM=CN，连AM、CN，当AM +BN最小时，CMCN=( )．A.2B.32C.54D.1【答案】D 【分析】过B 点在BC 下方作BH ∥AC ，且BH =AC ，链接BH ，AH ，先证明△BCN ≌△HBM ，即有BN =HM ，则AM +BN =AM +MH ，当A 、M 、H 三点共线时，AM +MH 值最小，再证明△ACM ≌△HBM ，问题随之得解．【详解】如图，过B 点在BC 下方作BH ∥AC ，且BH =AC ，链接BH ，AH ，∵BH ∥AC ，∴∠C =∠CBH ，∵BH =AC ，BM =CN ，∴△BCN ≌△HBM ，∴BN =HM ，∴AM +BN =AM +MH ，当A 、M 、H 三点共线时，AM +MH 值最小，如图，此时∵BH ∥AC ，∴∠C =∠CBH ，∠CAM =∠BHM ，∵AC =BC ，∴△ACM ≌△HBM ，∴CM =BM ，∵BM =CN ，∴CM CN=CM BM =1，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．3如图，正五边形ABCDE 中，点F 是边CD 的中点，AF ,BC 的延长线交于点N ，点P 是AN 上一个动点，点M 是BN 上一个动点，当PB +PM 的值最小时，∠BPN =()A.72°B.90°C.108°D.120°【答案】C【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接BF ，EF ，PE ，EM ，根据全等三角形的判定与性质可得EP =BP ，则当E 、P 、M 三点共线，且EM ⊥BC 时，PB +PM 的值最小，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AF 于P ，分别求出∠BAP 和∠ABP 的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：连接BF ，EF ，PE ，EM ，∵正五边形ABCDE ，∴AE =AB =BC =ED ，∠BAE =∠AED =∠BCD =∠EDC =5-2 ×180°5=108°，∵点F 是边CD 的中点，∴CF =DF ，∴△BCF ≌△EDF SAS ，∴BF =EF ，又AE =AB ，AF =AF ，∴△AEF ≌△ABF SSS ，∴∠EAF =∠BAF =12∠BAE =54°，∴△AEP ≌△ABP SAS∴EP =BP ，∴PB +PM =EP +PM ≥EM ，∴当E 、P 、M 三点共线，且EM ⊥BC 时，PB +PM 的值最小，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AF 于P ，同理可求∠ABP =∠AEP =12∠AED =54°，∴∠BP N =∠BAP +∠ABP =108°，即当PB +PM 的值最小时，∠BPN =108°．故选：C ．4如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，给出下列结论：①AB =MG ；②S △ABC =S △AFN ；③过点B 作BI ⊥EH 于点I ，延长B 交AC 于点J ，则AJ =CJ ．④若AB =1，则EH 2+FN 2=5．其中正确的结论个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出△ACB ≌△MCG SAS ，进而得到AB =MG ，即可判断①；过点F 作FO ⊥NA 交NA 延长线于点O ，证明出△AFO ≌△ABC AAS ，得到OF =BC ，然后利用三角形面积公式即可得到S △ABC =S △AFN ，即可判断②；过点A 作AP ⊥BJ 交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ ⊥BJ ，证明出△ABP ≌△BEI AAS ，得到AP =BI ，同理得到CQ =BI ，得到CQ =AP ，然后证明出△AJP ≌△CJQ AAS ，得到AJ =CJ ，即可判断③；根据全等三角形的性质得到EH =2BJ ，然后利用勾股定理证明出EH 2=AC 2+4BC 2，同理得到NF 2=4AC 2+BC 2，然后得到EH 2+NF 2=5AB 2=5，即可判断④．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，∴AC =MC ，BC =GC ，∠MCA =∠GCB =90°∵∠ACB =90°∴∠MCG =∠ACB =90°∴△ACB ≌△MCG SAS∴AB =MG ，故①正确；如图所示，过点F 作FO ⊥NA 交NA 延长线于点O ，∵∠FAO +∠BAO =∠CAB +∠BAO =90°∴∠FAO =∠CAB又∵∠O =∠ACB =90°，AF =AB∴△AFO ≌△ABC AAS∴OF =BC∵AN =AC∵S △ANB =12AN ⋅OF ，S △ACB =12AC ⋅BC ∴S △ABC =S △AFN ，故②正确；如图所示，过点A 作AP ⊥BJ 交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ ⊥BJ∵∠ABP +∠BEI =90°，∠EBI +∠BEI =90°∴∠ABP =∠BEI又∵∠P =∠BIE =90°，AB =BE∴△ABP ≌△BEI AAS∴AP =BI同理可证，△BCQ ≌△HBI AAS ∴CQ =BI∴CQ =AP∵∠P=∠CQJ=90°，∠AJP=∠CJQ∴△AJP≌△CJQ AAS∴AJ=CJ，故③正确；∵△ABP≌△BEI AAS∴BP=EI∵△BCQ≌△HBI AAS∴BQ=HI∵△AJP≌△CJQ AAS∴PJ=QJ∵EH=EI+HI=PB+BQ=PJ+QJ+BQ+BQ=2BJ ∵AJ=CJ∴BJ2=CJ2+BC2=14AC2+BC2∴EH2=2BJ2=4BJ2=414AC2+BC2=AC2+4BC2同理可证，NF2=4AC2+BC2∴EH2+NF2=AC2+4BC2+4AC2+BC2=5AC2+BC2=5AB2=5×12=5，故④正确．综上所述，正确的结论个数是4．故选：D．5如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠E=∠F=90 °，∠EAC=∠FAB，AE=AF．给出下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③BE= CF；④△ACN≅△ABM．其中正确的结论是()A.①③④B.①②③④C.①②③D.①②④【答案】A【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键．【详解】解：∵∠EAC=∠FAB，∴∠EAB=∠FAC，在△EAB 和△FAC 中，∠E =∠F =90 °AE =AF ∠EAB =∠FAC，∴△EAB ≌△FAC ASA ，∴∠B =∠C ,BE =CF ,AB =AC ，∴①③都正确，在△ACN 和△ABM 中，∠B =∠CAB =AC ∠CAN =∠BAM，∴△ACN ≌△ABM ASA ，故④正确，根据已知条件无法证明②是否正确，故①③④正确，故选：A ．二、填空题6如图，在△ABC 中，AH 是高，AE ⎳BC ，AB =AE ，在AB 边上取点D ，连接DE ，DE =AC ，若S △ABC =5S △ADE ，BH =1，则BC =．【答案】2.5【分析】过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，先分别证明△ABH ≌△EAF ，Rt △ACH ≌Rt △EDF ，由此可得S △ABH =S △EAF ，S △ACH =S △EDF =S △EAF +S △ADE ，再结合S △ABC =S △ABH +S △ACH =5S △ADE 可得S △ACH S △ABH =32，由此可得CH BH=32，进而即可求得答案．【详解】解：如图，过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，∵EF ⊥AB ，AH ⊥BC ，∴∠EFA =∠AHB =∠AHC =90°，∵AE⎳BC ，∴∠EAF =∠B ，在△ABH 与△EAF 中，∠AHB =∠EFA∠B =∠EAFAB =EA∴△ABH ≌△EAF (AAS )，∴AH =EF ，S △ABH =S △EAF ，在Rt△ACH与Rt△EDF中，AH=EF AC=DE∴Rt△ACH≌Rt△EDF(HL)，∴S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，∵S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE，∴S△ABH+S△EAF+S△ADE=5S△ADE，∴2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，解得：S△ABH=2S△ADE，∴S△ACH=5S△ADE-S△ABH=3S△ADE，∴S△ACHS△ABH=3S△ADE2S△ADE=32，∴12CH⋅AH12BH⋅AH=32，即CHBH=32，又∵BH=1，∴CH=1.5，∴BC=BH+CH=2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．7如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF=4，则FG的长是．【答案】3【分析】过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF=AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG，同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA=6，进而得到FG的长．【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：在△ABC 和△ADE 中，BC =DE∠C =∠E CA =EA，∴△ABC ≌△AED SAS∴AD =AB ,S △ABC =S △AED ,又∵AF ⊥DE ，∴12×DE ×AF =12×BC ×AH ，∴AF =AH ，∵AF ⊥DE ,AH ⊥BC ，∴∠AFG =∠AHG =90°，在Rt △AFG 和Rt △AHG 中，AG =AG AF =AH ,∴Rt △AFG ≌Rt △AHG HL ，同理：Rt △ADF ≌Rt △ABH HL ，∴S 四边形DGBA =S 四边形AFGH =12，∵Rt △AFG ≌Rt △AHG ，∴S Rt △AFG =6,∵AF =4,∴12×FG ×4=6，解得：FG =3；故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．8如图，动点C 与线段AB 构成△ABC ，其边长满足AB =9，CA=2a +2，CB =2a -3．点D 在∠ACB 的平分线上，且∠ADC =90°，则a 的取值范围是，△ABD 的面积的最大值为．【答案】a >52454【分析】在△ABC 中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知AC +BC >AB ，代入数值即可确定a 的取值范围；延长AD 、CB交于点E ，首先利用“ASA ”证明△ACD ≌△ECD ，由全等三角形的性质可得AC =EC =2a +2，AD =ED ，进而可求得BE =5，结合三角形中线的性质易知S △ABD :S △ABE =1:2，确定△ABE 面积的最大值，即可获得答案．【详解】解：∵在△ABC 中，AC +BC >AB ，∴2a +2+2a -3>9，解得a >52；如下图，延长AD 、CB 交于点E ，∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠ACD =∠ECD ，在△ACD 和△ECD 中，∠ACD =∠ECDCD =CD ∠ADC =∠EDC =90°，∴△ACD ≌△ECD (ASA )，∴AC =EC =2a +2，AD =ED ，∵CB =2a -3，∴BE =2a +2-(2a -3)=5，∵AD =ED ，∴S △ABD :S △ABE =1:2，当BE ⊥AB 时，△ABE 的面积取最大值，即S △ABE max =12×9×5=452，∴S △ABD max =454．故答案为：a >52，454．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．9如图，AB =AC ，AD=AE ，∠BAC =∠DAE =40°，BD 与CE 交于点F ，连接AF ，则∠AFB 的度数为．【答案】70°/70度【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，根据手拉手模型证明△BAD≌△CAE，得到∠ADM=∠AEN，然后证明△AMD≌△ANE，得到∠DAM=∠EAN，AM=AN，进一步推得∠MAN=∠DAE= 40°，再证明△AMF≌△ANF，可得∠FAM=20°，最后根据三角形内角和定理即得答案．【详解】过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS，∴∠ADM=∠AEN，∵∠AMD=∠ANE=90°，AD=AE，∴△AMD≌△ANE AAS，∴∠DAM=∠EAN，AM=AN，∴∠DAM+∠DAN=∠EAN+∠DAN，即∠MAN=∠DAE=40°，∵∠AMF=∠ANF=90°，AM=AN，AF=AF，∴△AMF≌△ANF HL，∴∠FAM=∠FAN=1∠MAN=20°，2∴∠AFB=180°-90°-∠FAM=70°．故答案为：70°．10如图所示，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD=CE，连接DE，点F是DE的中点，则CDAF的最大值为．【答案】5+1/1+5【分析】作EM⊥ED，且EM=ED，连DM，MC，取ME中点N，连ND、NC、NF，可根据“SAS”证明△ADE≌△CEM，可得∠ECM=90°，再设AF=1，并表示DE，EM，及CN，然后根据勾股定理求出DN，最后根据三角形的三边关系ND+NC≥DC，求出CD最大值，可得答案.【详解】解：过E作EM⊥ED，且EM=ED，连DM，MC．取ME中点N，连ND、NC、NF．∵∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠MEC=90°，∴∠ADE=∠MEC.∵AD=CE，DE=EM，∴△ADE≌△CEM，∴∠ECM=∠DAE=90°．设AF=1，∵F为DE中点，∴DE=2AF=2，∴EM=2.∵N为EM中点，∴CN=EN=1．∴DN=DE2+EN2= 5.∵ND+NC≥DC，∴CD最大值5+1，=5+1.∴CDAF故答案为：5+1.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据三角形的三边关系求最大值，作出辅助线是解题的关键．三、解答题11数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：如图1：在△ABC中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题初探】：第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长AD至E．使得DE=AD，连接BE．利用三角形全等将线段AC转移到线段BE，这样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABE中．利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围，第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，利用三角形全等将线段AC转移到BF，同样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABF中，利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围．(1)请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程【方法感悟】当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题【类比分析】(2)如图4：在△ABC中，∠B=90°，AB=6，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=10且∠ADE=90°．求AE的长度．【思维拓展】(3)如图5：在△ABC中，AF⊥BC于点F在AB右侧作AD⊥AB，且AD=AB，在AC的左侧作AE⊥AC，且AE=AC，连接DE，延长AF交DE于点O，证明O为DE中点．【答案】(1)见解析(2)16(3)见解析【分析】(1)选择第一个小组的解题思路：延长AD到点E，使DE=AD，证明△ADC≌△EDB(SAS)，得到BE=AC=10，再根据在△ABE中，5-3<AE<5+3，即2<2AD<8，求解即可；选择第二个小组的解题思路：过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，先证明△BDF≌△CDA (AAS)，得到DF=AD，BF=AC=5，则2AD=AF，再根据在△ABF中，5-3<AF<5+3，即2<2AD<8，求解即可；(2)延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，先证明△ABD≌△FCD SAS，得到∠FCD=∠ABD=90°，CF=AB=6，再证明E、C、F三点共线，得到EF=EC+CF=10+6=16，然后证明△ADE≌△FDE SAS，得到AE=EF=16解决问题；(3)过点E作EM∥AD交AD延长线于M，先证明△AEM≌△CAB AAS，得到EM=AB，再证明△AOD≌△MOE AAS，得到OD=OE，即可得出结论．【详解】解：(1)选择第一个小组的解题思路：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE=AC=10，△ABE中，5-3<AE<5+3，∴2<2AD<8，∴1<AD<4；选择第二个小组的解题思路：如图3，过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C，∠F=∠CAD，∴△BDF≌△CDA(AAS)，∴DF=AD，BF=AC=5，∴2AD=AF，在△ABF中，5-3<AF<5+3，∴2<2AD<8，(2)延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，如图4，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADB=∠FDC，DF=AD，∴△ABD≌△FCD SAS，∴∠FCD=∠ABD=90°，CF=AB=6，∵CE⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠FCD+∠ECD=180°，∴E、C、F三点共线，∴EF=EC+CF=10+6=16，∵∠ADE=90°，∴∠FDE=∠ADE=90°，∵DE=DE，AD=DF，∴△ADE≌△FDE SAS，∴AE=EF=16；(3)证明：过点E作EM∥AD交AD延长线于M，如图4，∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠2+∠BAE=90°，∴∠CAD=∠BAE，又∵AF⊥BC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠BAE+∠B=90°，∴∠2=∠B，∵EM∥AD，∴∠2=∠M，∴∠B=∠M，∵AE⊥AC，AF⊥BC，∴∠3+∠CAM=∠C+∠CAM=90°，∴∠3=∠C，∵AE=AC，∴△AEM≌△CAB AAS，∵AB =AD ，∴EM =AD ，∵∠2=∠M ，∠AOD =∠EOM ，∴△AOD ≌△MOE AAS ，∴OD =OE ，∴O 为DE 中点．【点睛】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握倍长中线，构造出“平行八字型”全等三角形是解题的关键．12已知，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，点D 是线段BC 上一点，点D 不与点B ，点C 重合，连接AD ，以AD 为一边作△ADE ，AD =AE ，∠DAE =90°，且点E 与点D 在直线AC 两侧，DE 与AC 交于点H ，连接CE ．(1)如图1，求证：△ABD ≌△ACE ．(2)如图2，在CE 的延长线上取一点F ，当∠AEF =∠AFE 时，求证：CD =CF ．(3)过点A 作直线CE 的垂线，垂足为G ，当CD =6EG 时，直接写出△CDH 与△CEH 的面积比．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)32或34【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及SAS 、AAS 以及HL 等判定方法，(1)利用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE 即可作答；(2)结合(1)的结论，再利用“AAS ”证明△ACD ≌△ACF 即可作答；(3)分类讨论，第一种情况：点G 在点E 的下方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，先证明△AOC ≌△AGC ，即有AO =AG ，CO =CG ，同理可证明：MH =NH ，再证明Rt △AOD ≌Rt △AGE HL ，可得OD =GE ，问题即可作答；第二种情况：点G 在点E 的上方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，按照第一种情况作答即可．【详解】(1)∵∠DAE =90°，∠BAC =90°，∴∠DAE -∠DAH =∠BAC -∠DAH ，∴∠CAE =∠BAD ，又∵AB =AC ，AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE SAS ；(2)∵△ABD ≌△ACE SAS ，∴∠ADB =∠AEC ，∠ABD =∠ACE =45°，∴180°-∠ADB =180°-∠AEC ，∠ACB =∠ACE =45°，∴∠ADC =∠AEF ，∵∠AEF =∠AFE ，∴∠ADC =∠AFE ，在△ACD 和△ACF 中，∴∠ACD =∠ACF∠ADC =∠AFC AC =AC，∴△ACD ≌△ACF AAS ，∴CD =CF ；(3)分类讨论：第一种情况：点G 在点E 的下方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，如图，∵AO ⊥BC ，AG ⊥CE∴∠AOC =∠AGC =90°，又∵∠ACB =∠ACE =45°，AC =AC ，∴△AOC ≌△AGC ，∴AO =AG ，CO =CG ，同理可证明：MH =NH ，又∵AD =AE ，∴Rt △AOD ≌Rt △AGE HL ，∴OD =GE ，∵CD =6EG ，∴CO =CD -OD =5EG ，∴CG =CO =5EG ，∴CE =CG -EG =4EG ，∵S △CHD =12×CD ×MH ，S△CHE =12×CE ×NH ，MH =NH ，∴S △CHD S △CHE =12×CD ×MH 12×CE ×NH =CD ×MH CE ×NH ，∵CD =6EG ，CE =4EG ，MH =NH ，∴S △CHD S △CHE =CD ×MH CE ×NH=32；第二种情况：点G 在点E 的上方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，如图，同理可得：OD =GE ，OC =CG ，MH =NH ，∵CD =6EG ，∴CO =CD +OD =7EG ，∴CG =CO =7EG ，∴CE =CG +EG =8EG ，∴S △CHD S △CHE =CD ×MH CE ×NH=34；综上：△CDH 与△CEH 的面积比为32或者34．13如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边BC 在x 轴上，A 、C 两点的坐标分别为A (0,m ),C (n ,0)，B (-5,0)，且m ，n 满足方程组m +2n =103m -n =9 ，点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．(1)求A 、C 两点的坐标；(2)连接P A ，用含t 的代数式表示△AOP 的面积，并直接写出t 的取值范围；(3)当点P 在线段BO 上运动时，在y 轴上是否存在点Q ，使△POQ 与△AOC 全等？若存在，请求出t 的值并直接写出Q 点标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A (0,4)，C (3,0)；(2)0≤t <52，S △AOP =10-4t ；t >52，S △AOP =4t -10．(3)存在，Q (0,3)或(0,-3)或Q (0,4)或(0,-4)．【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，二元一次方程组的解法，坐标与图形性质等知识点的综合运用，关键是利用分类讨论求出符合条件的所有情况．(1)解二元一次方程组求出m ，n 的值即可；(2)分为两种情况：当0≤t <52时,P 在线段OB 上,②当t >52时,P 在射线OC 上,求出OP 和OA ,根据三角形的面积公式求出即可；(3)分为四种情况：①当BP =1,OQ =3时,②当BP =2,OQ =4时,③④利用图形的对称性直接写出其余的点的坐标即可.【详解】(1)解方程组m +2n =103m -n =9 得m =4n =3 ，∴ A 的坐标是0,4 ,C 的坐标是3,0 ；(2)由已知，BP =2t ，OB =5．①0≤t <52，P 在线段OB 上．OP =OB -BP =5-2tS △AOP =12×OP ×OA 2=12×(5-2t )×4=10-4t ．②t >52，P 在射线OC 上，OP =BP -OP =2t -5S △AOP =12×OA ×OP =12×4×(2t -5)=4t -10(3)在y 轴上存在点Q ，使△AOC 与△POQ 全等．①△POQ ≌△AOC 时，OQ =OC =3．OP =OA =4．t =5-42=12,Q (0,3)或Q (0,-3)②△POQ ≌△COA 时，OQ =OA =4,OP =OC =3．t =5-32=1 Q (0,4)或(0,-4)t =12，Q (0,3)或(0,-3)；t =1，Q (0,4)或(0,-4)；综上所述，t =12，Q (0,3)或(0,-3)；t =1，Q (0,4)或(0,-4)．14某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图1，①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径在AB 两侧画弧，四段弧分别交于点C ，点D ；②连接AC ，BC ，AD ，作射线BD ；③以D 为圆心，BD 的长为半径画弧，交射线BD 于点E ；④连接CE ，交于AB 点F ．点F 即为AB 的一个三等分点(即AF =13AB )．学习任务：(1)填空：四边形ADBC的形状是，你的依据是；(2)证明：AF=13AB；(3)如图2，若CE交AD于点H，∠CAD=60°，AC=6，将CH绕着点C旋转，当点H的对应点H 落在直线FD上时，求DH 的长．【答案】(1)菱形；四条边相等的四边形为菱形(2)见解析(3)DH′的长为33+32或33-32【分析】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，善于利用特殊叫以及直角三角形中的关系是解题的关键．(1)根据菱形的性质判定即可．(2)证明△AFC∽△BFE，得出AFFB =ACBE，再根据线段关系即可求出．(3)利用菱形及已知条件推出相关信息，证明△ACD为等边三角形，再根据AAS证明△AHC≌△DHE，求得CH ;然后证明△AKF∽△BDF，根据相似三角形的性质得出AK、CK；最后用勾股定理解三角形即可．CH绕着点C旋转，点H的对应点H 需要分情况讨论．【详解】(1)解：由图的作法可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC的形状是菱形，依据是：四条边相等的四边形为菱形．故答案为：菱形；四条边相等的四边形为菱形；(2)证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，∴AC∥BE，∴△AFC∽△BFE，∴AF FB =ACBE．∵AC=BD，BD=DE，∴BE=2AC，∴AF FB =12，∴FB=2AF，∴AB=3AF．∴AF=13AB．(3)解：①当点H 在线段FD上时，连接CD，如图，∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD=AD=6，∠ADC=60°．∵AC∥BE∴∠ACF =∠DEC ．在△AHC 和△DHE 中，∠AHC =∠DHE∠ACE =∠DEC AC =DE，∴△AHC ≌△DHE AAS ，∴AH =HD =3，∵△ACD 为等边三角形，∴CH ⊥AD ，∠ACH =∠DCH =30°，∴CH =33．∴CH =CH =33．设FD 与AC 交于点K ，∵AC ∥BE ，∴△AKF ∽△BDF ，∴AK BD =AF FB=12．同理：CK ED =AF FB=12，∴AK BD =CK ED．∵BD =ED ，∴AK =CK =3，∴HK ⊥AC ，∠CDK =12∠ADC =30°．∴H K =CH 2-CK 2=32，DK =33．∴DH =DK -H K =33-32．②当点H 在射线FD 上时，连接CD ，如图，由①知CH =CH =33，HK ⊥AC ，AK =KC =3，∴DK =AD 2-AK 2=33，∴H K =CH 2-CK 2=32．∴DH =H K +DK =33+32．综上，DH 的长为33+32或33-32．15(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE ．(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】(1)见解析；(2)DE =BD +CE ，见解析；(3)见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD =AE 、CE =AD 是解题的关键．(1)由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；(2)由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得出结论；(3)由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】解：(1)如图1，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠BDA =∠CEA AB =AC，∴△ABD ≌△CAE AAS ，∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；(2)成立，理由如下：如图，证明如下：∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中．∠BDA =∠AEC∠DBA =∠CAE AB =AC．∴△ABD ≌△CAE AAS∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；(3)如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ．∴∠EMI =∠EMA =∠GNA =90°，∠BAE =90°，∴∠EAM +BAH =90°，∵AH 是BC 边上的高，∴∠AHB =90°，∴∠BAH +∠ABH =90°，∴∠ABH =EAM ，∵AE =AB ，∴△ABH ≌△EAM ，∴EM =AH ，同理△ACH ≌△GAN ，∴AH =GN ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，∠EIM =∠GIN∠EMI =∠GNI EM =GN，∴△EMI ≌△GNI AAS ，∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．16如图，在△ABC 中，BC =5，高AD 、BE 相交于点O ，BD =2，且AE =BE．(1)请说明△AOE ≌△BCE 的理由；(2)动点P 从点O 出发，沿线段OA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，动点Q 从点B 出发沿射线BC 以每秒4个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达A 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t 秒，求当t 为何值时，△AOQ 的面积为3．(3)在(2)的条件下，点F 是直线AC 上的一点且CF =BO ．当t 为何值时，以点B 、O 、P 为顶点的三角形与以点F 、C 、Q 为顶点的三角形全等？(请直接写出符合条件的t 值)．【答案】(1)见解析(2)当t 为15或45时，△AOQ 的面积为3(3)t =1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，(1)首先推导出∠EAO =∠EBC ，通过ASA 即可证明△AOE ≌△BCE ；(2)分两种情形讨论求解即可①当点Q 在线段BD 上时，QD =2-4t ,②当点Q 在射线DC 上时，DQ =4t -2时；依据三角形面积计算公式解答即可；(3)分两种情形求解即可①如图2中，当OP =CQ 时，BOP ≌△FCQ ．②如图3中，当OP =CQ 时，△BOP ≌△FCQ ．【详解】(1)如图1中，∵AD 是高，∴∠ADC =90°，∵BE 是高，∴∠AEB =∠BEC =90°，∴∠EAO +∠ACD =90°，∠EBC +∠ECB =90°，∴∠EAO =∠EBC ，在△AOE 和△BCE 中，∠EAO =∠EBCAE =BE ∠AEO=∠BEC，∴△AOE ≌△BCE ASA ，(2)解：由(1)知△AOE ≌△BCE ，∴OA =BC =5，∵BD =2，∴CD =3，由题意OP =t ,BQ =4t ,①当点Q 在线段BD 上时，QD =2-4t ,∴S △AOQ =12OA ⋅QD =12×5×2-4t =3，解得：t =15；②当点Q 在BD 延长线上时，DQ =4t -2，∴S △AOQ =12OA ⋅DQ =12×5×4t -2 =3，解得：t =45，综上，当t 为15或45时，△AOQ 的面积为3；(3)存在．①如图2中，当OP =CQ 时，∵OB =CF ，∠POB =∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ =OP ，∴5-4t =t ，解得t =1，②如图3中，当OP =CQ 时，∵OB =CF ，∠POB =∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ =OP ，∴4t -5=t ，解得t =53．综上所述，t =1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等．17如图1，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，BF 是∠ABD 的角平分线，点E 为AF 上一点，连接AE ，∠AEF =45°．(1)求证：AE平分∠BAF(2)如图2，连接CE交BD于点G，若△BAE与△CAE的面积相等，求证：BG=CF【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．(1)根据BF是∠ABD的角平分线和，BD为AC边上的高，可得12∠BAD=45°-12∠ABD，由∠AEF=45°得∠BAE=45°-∠ABE=45°-12∠ABD，即可证明∠BAE=12∠BAD；(2)过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，由角平分线性质可以得EM=EN，由△BAE与△CAE的面积相等可得AB=AC，证明△ABE≌△ACE(SAS)，得出∠AEB=∠CEB=135°，BE=EC，即可得出∠BEG=∠CEF=360°-∠AEB-∠AEC=90°，再根据垂直模型证明△BEG≌△CEF(ASA)，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵BD为AC边上的高，即∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴12(∠ABD+∠BAD)=45°，∴1 2∠BAD=45°-12∠ABD∵∠AEF=∠ABF+∠BAE=45°，∴∠BAE=45°-∠ABF，∵∠ABF=12∠ABD，∴∠BAE=45°-12∠ABD，∴∠BAE=12∠BAF，即：AE平分∠BAF．(2)过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，∵AE平分∠BAC，且EM⊥AB，EN⊥AC，∴EM=EN．∵S△ABE=S△ACE，∴AB=AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，AB=BC∠BAE=∠CAE AE=AE∴△ABE≌△ACE(SAS)，∴∠AEB=∠CEB，BE=EC，∵∠AEF=45°，∴∠AEB=∠AEC=135°，∴∠BEG=∠CEF=360°-∠AEB-∠AEC=90°，∵BD为AC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠FBD+∠BFC=∠BFC+∠FCE，∴∠EBG=∠ECF．在△BEG和△CEF中，∠BEG=∠CEF BE=CE∠EBG=∠ECF∴△BEG≌△CEF(ASA)．∴BG=CF .18如图，已知A a，0,B0,b，AB=AC且AB⊥AC，AC交y轴于E点．(1)如图1，若a2+b2-4a-8b+20=0，求C点坐标；(2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为AC的中点，BC交x轴于G点，连EG，若a=3，求G点的坐标；(3)如图3，A在x轴的负半轴上，以BC为边在BC的右侧作等边△BCD，连OD，当∠BOD=60°时，请探究线段OA、OB、OD之间的数量关系，并证明．【答案】(1)(-2,-2)(2)(-2,0)(3)OD=OB+2OA【分析】(1)利用完全平方公式将等式变形为两个数平方和的形式，即可求出a=2，b=4，如图1中，过点C作CH ⊥x轴于点H，证明△AHC≌△BOA，可得CH=OA=2，AH=OB=4，即可得到点C坐标．(2)根据(1)可得CH=OA=a，AH=OB=b，再由a=3，E为AC的中点，可得点C(-3,-3)，AH=OB=6，再利用面积法求出AG =5，即可解题；(3)过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，在OD 上取一点M ，使得OM =OB ，证明△OBM 是等边三角形，进而证明△MBD ≌△OBC ，得∠BMD =∠BOC =120°，MD =OC ，再证明∠COH =30°，得OC =2CH =2OA ，即可得出OD =OB +2OA ．【详解】(1)解：∵a 2+b 2-4a -8b +20=0，∴(a 2-4a +4)+(b 2-8b +16)=0，即(a -2)2+(b -4)2=0，∴a =2，b =4，∴A 2,0 ，B 0,4如图1中，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，∵∠AHC =∠BOA =∠BAC =90°，∴∠CAH +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CAH =∠ABO ，在△AHC 和△BOA 中，∠AHC =∠BOA∠CAH =∠ABO AC =BA，∴△AHC ≌△BOA (AAS )，∴CH =OA =2，AH =OB =4，∴OH =AH -OA =4-2=2∴点C 坐标为(-2,-2)；(2)如图2，同理(1)可证明：CH =OA =a ，AH =OB =b ，∵a =3，E 为AC 的中点，OE 平行于CH ，∴OA =OH =3，CH =3，∴点C (-3,-3)，AH =OB =6，AB =AC =OA 2+OB 2=62+32=35，∵S △ABC =S △AGC +S △AGB ，即12×35×35=12×3⋅AG +12×6⋅AG ，∴AG =5，∴GO =AG -OA =5-3=2，∴点G 坐标为(-2,0)；(3)结论：OD =OB +2OA ，如图3，过点C 作CH⊥x轴于点H ，同理可得：CH =OA ，AH =OB ，在OD 上取一点M ，使得OM =OB ，∵OM =OB ，∠BOD =60°，∴△OBM 是等边三角形，∴BO =BM ，∠OMB =60°，∴∠BMD =120°，∵△BCD 是等边三角形，∴BC =BD ，∠CBD =∠OBM =60°，∴∠DBM =∠CBO ，在△MBD 和△OBC 中，BM =OB∠DBM =∠CBO BD =BC，∴△MBD ≌△OBC (SAS )，∴∠BMD =∠BOC =120°，MD =OC ，∴∠COH =120°-90°=30°，∵CH ⊥x 轴，∴OC =2CH =2OA ，∵OD =OM +MD ，∴OD =OB +OC =OB +2OA【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19已知△ABC 为等边三角形，D 是边AC 上的一点，连接BD ，E 为BD 上的一点，连接CE．(1)如图1，延长CE 交AB 于点G ．若∠DCG =15°，BG =2，求BC 的长；(2)如图2，将△BEC 绕点B 逆时针旋转60°至△BFA ，延长CB 至点M ，使得BM =DC ，连接AM 交BF 于点N ，探究线段FN ，DE ，BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在(2)问的条件下，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点B 作BK ∥AH 且BK =AH ，连接HK ，NK ，NH ，NC ．若BC =4，当12BD +NK 的值最小时，请直接写出CD NH的值．【答案】(1)1+3(2)2FN +DE =BE ．理由见解析(3)277【分析】(1)作CF⊥BC，解直角三角形BFG求得BF和FG，进而解直角三角形CFG求得CF，从而得出结果；(2)延长BF至G，使FG=DE，连接AG，作BH∥AF，交BF于H，证明△ABG≌△CBD，进而证明△ANG≌ΔMNB，△AFN≌△MHN，△BMH≌△DCE，进一步得出结论；BD+NK最小，此时BG⊥AG，即BD⊥AC，进一步得出(3)可得出当K、N、G共线且与AG垂直时，12结果．【详解】(1)解：如图1，作CF⊥BC于F，∴∠CFG=∠BFG=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，在Rt△BFG中，BG=2，∠ABC=60°，=1，∴BF=2cos60°=2×12=3，FG=2⋅sin60°=2×32在Rt△CFG中，FG=3，∠FCG=∠ACB-∠ACG=60°-15°=45°，∴CF=FG=3，tan∠FCG∴BC=BF+FC=1+3；(2)证明：如图2，延长BF至G，使FG=DE，连接AG，作BH∥AF，交BF于H，∴∠MHN=∠AFN，∠NMH=∠FAN，∴∠MHB=∠AFG∵△BEC绕点B逆时针旋转60°至△BFA，∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，AB=BC，∴BG=BD，∴△ABG≌△CBD，∴AG=CD=BM，∠G=∠BDC=180°-∠CBE-∠ACB=120°-∠CBE，∵∠MBN=180°-∠ABC-∠ABF=120°-∠CBE，∴∠G=∠MBN，∴△ANG≌△MNB，∴AN=MN，∴△AFN≌△MHN，∴FN=NH，∵△ANG ≌△MNB ，∴NG =BN ，∵FN =NH ，∴BH =FG ，∵FG =DE∴BH =DE ，∵旋转，∴CE =AF ，∵△AFN ≌△MHN ，∴AF =MH ，∴MH =CE ，∵CD =BM ，∴△BMH ≌△DCE ，∴BH =DE ，∵FN +NH +BH =BF ，∴2FN +DE =BE ；(3)解：如图3，由(2)知：BD =BG =2BN ，∴12BD +NK =GN +NK ，∴当K 、N 、G 共线且与AG 垂直时，12BD +NK 最小，此时BG ⊥AG ，即BD ⊥AC ，如图4，连接NH ，∵AC =BC =4，∴CD =BH =2，BD =32BC =23，BN =GN =12BG =12BD =3，∵NH =BH 2+BN 2=2+(3)2=7，∴CD NH=277．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．。

全等三角形练习题含答案

.七年级全等测试一．选择题〔共3 小题〕1．如图， EB 交 AC 于 M，交 FC 于 D，AB 交 FC 于 N，∠E=∠F=90 °，∠B=∠C，AE=AF ，给出以下结论：①∠1= ∠2；② BE=CF ；③△ACN ≌△ABM ；④ CD=DN ．其中正确的结论有〔〕A．4 个B．3 个 C． 2 个D．1 个2．如图，△ABC 为等边三角形， D、 E 分别是 AC 、 BC 上的点，且AD=CE ，AE 与 BD 相交于点 P，BF ⊥AE 于点 F．假设 BP=4 ，那么 PF 的长〔〕A．2 B．3 C． 1 D．23．如图，OA=OC ，OB=OD 且 OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，以下结论：①△AOD ≌△COB ；② CD=AB ；③∠CDA= ∠ABC ；其中正确的结论是〔〕.A．①②B．①②③C．①③D．②③二．解答题〔共11 小题〕4．如图，四边形ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O， AB=AC ，点 E 是 BD 上一点，且 AE=AD ，∠EAD= ∠BAC ．（1〕求证：∠ABD= ∠ACD ；（2〕假设∠ACB=65 °，求∠BDC 的度数．5．〔 1〕如图①，在四边形 ABCD 中，AB ∥DC ，E 是 BC 的中点，假设 AE 是∠BAD 的平分线，试探究AB ，AD ，DC 之间的等量关系，证明你的结论；〔 2〕如图②，在四边形ABCD 中， AB ∥DC ，AF 与 DC 的延长线交于点F， E是BC 的中点，假设 AE 是∠BAF 的平分线，试探究 AB ，AF ，CF 之间的等量关系，证明你的结论．6．：在△ABC 中， AB=AC ， D 为 AC 的中点， DE⊥AB ，DF ⊥BC，垂足分别为点 E， F，且 DE=DF ．求证：△ABC 是等边三角形．.7．，在△ABC 中，∠A=90 °， AB=AC ，点 D 为 BC 的中点．（1〕如图①，假设点 E、F 分别为（2〕假设点 E、F 分别为 AB 、CA请利用图②说明理由．AB 、AC 上的点，且 DE ⊥DF ，求证： BE=AF ；延长线上的点，且DE ⊥DF，那么 BE=AF 吗？8．如图，在Rt △ABC ，∠ACB=90 °， AC=BC ，分别过 A、B 作直线 l 的垂线，垂足分别为 M、N．（1〕求证：△AMC ≌△CNB ；（2〕假设 AM=3 ，BN=5 ，求 AB 的长．9．，如图，在等腰直角三角形中，∠ C=90 °，D 是 AB 的中点， DE ⊥DF ，点E、 F 在 AC 、BC 上，求证： DE=DF ．10 ．如图， OC 是∠MON 内的一条射线， P 为 OC 上一点， PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为 A，B， PA=PB ，连接 AB ，AB 与 OP 交于点 E．（1〕求证：△OPA ≌△OPB ；（2〕假设 AB=6 ，求 AE 的长．11 ．如图，△ABC 和△ADE 分别是以 BC ，DE 为底边且顶角相等的等腰三角形，点D 在线段 BC 上，AF 平分 DE 交 BC 于点 F，连接 BE，EF．〔 1〕 CD 与 BE 相等？假设相等，请证明；假设不相等，请说明理由；〔 2〕假设∠BAC=90 °，求证： BF 2+CD 2=FD 2．12 ．如图， OC 是∠AOB 的角平分线， P 是 OC 上一点， PD ⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为 D，E．F 是 OC 上另一点，连接DF，EF．求证： DF=EF ．13 ．如图， OP 平分∠AOB ， PE⊥OA 于 E，PF ⊥OB 于 F，点 M 在 OA 上，点 N在OB 上，且 PM=PN ．求证： EM=FN ．14 ．如图，△ABC 中，D 为 BC 边上一点， BE ⊥AD 的延长线于 E，CF ⊥AD 于 F，BE=CF ．求证： D 为 BC 的中点．答案一．选择题〔共3 小题〕1．如图， EB 交 AC 于 M，交 FC 于 D，AB 交 FC 于 N，∠E=∠F=90 °，∠B=∠C，AE=AF ，给出以下结论：①∠1= ∠2；② BE=CF ；③△ACN ≌△ABM ；④ CD=DN ．其中正确的结论有〔〕A．4 个B．3 个 C． 2 个D．1 个【解答】解：∵∠E=∠F=90 °，∠B=∠C，AE=AF∴△ABE ≌△ACF∴BE=CF∠BAE= ∠CAF∠BAE ﹣BAC=∠ ∠CAF ﹣BAC∠∴∠1=∠2△ABE ≌△ACF∴∠B=∠C，AB=AC又∠BAC= ∠CAB△ACN ≌△ABM ．④CD=DN 不能证明成立， 3 个结论对．应选： B．2．如图，△ABC 为等边三角形， D、 E 分别是 AC 、 BC 上的点，且AD=CE ，AE 与 BD 相交于点 P，BF ⊥AE 于点 F．假设 BP=4 ，那么 PF 的长〔〕A．2 B．3 C． 1 D．2【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ．∴∠BAC= ∠C．在△ABD 和△CAE 中，，∴∠ABD= ∠CAE ．∴∠APD= ∠ABP+ ∠PAB= ∠BAC=60 °．∴∠BPF= ∠APD=60 °．∵∠BFP=90 °，∠BPF=60 °，∴∠PBF=30 °．∴PF=．应选： A．3．如图，OA=OC ，OB=OD 且 OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，以下结论：①△AOD ≌△COB ；② CD=AB ；③∠CDA= ∠ABC ；其中正确的结论是〔〕A．①②B．①②③C．①③D．②③【解答】解：∵OA ⊥OB， OC ⊥OD ，∴∠AOB= ∠COD=90 °．∴∠AOB+ ∠AOC= ∠COD+ ∠AOC ，即∠COB= ∠AOD ．在△AOB 和△COD 中，，∴AB=CD ，∠ABO= ∠CDO ．在△AOD 和△COB 中，∴△AOD ≌△COB 〔SAS 〕∴∠CBO= ∠ADO ，∴∠ABO ﹣CBO=∠ ∠CDO ﹣ADO∠，即∠ABC= ∠CDA ．综上所述，①②③都是正确的．应选： B．二．解答题〔共11 小题〕4．如图，四边形ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O， AB=AC ，点 E 是 BD 上一点，且 AE=AD ，∠EAD= ∠BAC ．（1〕求证：∠ABD= ∠ACD ；（2〕假设∠ACB=65 °，求∠BDC 的度数．【解答】证明：〔1〕∵∠BAC= ∠EAD∴∠BAC ﹣EAC=∠ ∠EAD ﹣EAC∠即：∠BAE= ∠CAD在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△ACD∴∠ABD= ∠ACD（2〕∵∠BOC 是△ABO 和△DCO 的外角∴∠BOC= ∠ABD+ ∠BAC ，∠BOC= ∠ACD+ ∠BDC∴∠ABD+ ∠BAC= ∠ACD+ ∠BDC∵∠ABD= ∠ACD∴∠BAC= ∠BDC∵∠ACB=65 °，AB=AC∴∠ABC= ∠ACB=65 °∴∠BAC=180 °﹣ABC∠ ﹣ACB=180∠ °﹣65°﹣65 °=50 °∴∠BDC= ∠BAC=50 °．5．〔 1〕如图①，在四边形 ABCD 中，AB ∥DC ，E 是 BC 的中点，假设 AE 是∠BAD 的平分线，试探究AB ，AD ，DC 之间的等量关系，证明你的结论；〔 2〕如图②，在四边形ABCD 中， AB ∥DC ，AF 与 DC 的延长线交于点F， E是BC 的中点，假设 AE 是∠BAF 的平分线，试探究 AB ，AF ，CF 之间的等量关系，证明你的结论．.【解答】解：〔1〕证明：延长 AE 交 DC 的延长线于点 F，∵E 是 BC 的中点，∴CE=BE ，∵AB ∥DC ，∴∠BAE= ∠F，在△AEB 和△FEC 中，，∴△AEB ≌△FEC ，∴AB=FC ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠BAE= ∠EAD ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE= ∠F，∴∠EAD= ∠F，∴AD=DF ，∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，（2〕如图②，延长 AE 交 DF 的延长线于点 G，∵E 是 BC 的中点，∴CE=BE ，∵AB ∥DC ，∴∠BAE= ∠G，在△AEB 和△GEC 中，，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB=GC ，∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG= ∠FAG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAG= ∠G，∴∠FAG= ∠G，∴FA=FG ，∴AB=CG=AF+CF ，6．：在△ABC 中， AB=AC ， D 为 AC 的中点， DE⊥AB ，DF ⊥BC，垂足分别为点 E， F，且 DE=DF ．求证：△ABC 是等边三角形．【解答】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E， F，∴∠AED= ∠CFD=90 °，∵D 为 AC 的中点，∴AD=DC ，在Rt△ADE 和 Rt△CDF 中，，∴Rt△ADE ≌Rt△CDF ，∴∠A=∠C，∴BA=BC ，∵AB=AC ，∴AB=BC=AC ，∴△ABC 是等边三角形．7．，在△ABC 中，∠A=90 °， AB=AC ，点 D 为 BC 的中点．（1〕如图①，假设点 E、F 分别为 AB 、AC 上的点，且 DE ⊥DF ，求证： BE=AF ；（2〕假设点 E、F 分别为 AB 、CA 延长线上的点，且 DE ⊥DF，那么 BE=AF 吗？请利用图②说明理由．【解答】〔1〕证明：连接 AD ，如图①所示．.∵∠A=90 °， AB=AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠ EBD=45 °．∵点D 为 BC 的中点，∴AD=BC=BD ，∠FAD=45 °．∵∠BDE+ ∠EDA=90 °，∠EDA+ ∠ADF=90 °，∴∠BDE= ∠ADF ．在△BDE 和△ADF 中，，∴△BDE ≌△ADF 〔ASA 〕，∴BE=AF ；（2〕 BE=AF ，证明如下：连接 AD ，如图②所示．∵∠ABD=∠BAD=45 °，∴∠EBD=∠FAD=135 °．∵∠EDB+ ∠BDF=90 °，∠BDF+∠FDA=90 °，∴∠EDB= ∠FDA ．在△EDB 和△FDA 中，，∴△EDB ≌△FDA 〔ASA 〕，∴BE=AF ．..8．如图，在Rt △ABC ，∠ACB=90 °， AC=BC ，分别过 A、B 作直线 l 的垂线，垂足分别为 M、N．（1〕求证：△AMC ≌△CNB ；（2〕假设 AM=3 ，BN=5 ，求 AB 的长．【解答】解：〔1〕∵AM ⊥l，BN ⊥l，∠ACB=90 °，∴∠AMC= ∠ACB= ∠BNC=90 °，∴∠MAC+ ∠MCA=90 °，∠MCA+ ∠NCB=180 °﹣90°=90°，∴∠MAC= ∠NCB ，在△AMC 和△CNB 中，，.∴△AMC ≌△CNB 〔AAS 〕；（2〕∵△AMC ≌△CNB ，∴CM=BN=5 ，∴Rt△ACM 中， AC===，∵Rt△ABC ，∠ACB=90 °， AC=BC=，∴AB===2．9．，如图，在等腰直角三角形中，∠ C=90 °，D 是 AB 的中点， DE ⊥DF ，点E、 F 在 AC 、BC 上，求证： DE=DF ．【解答】证明：连接 CD ．∵在等腰直角三角形 ABC 中， D 是 AB 的中点．∴CD 为等腰直角三角形ABC 斜边 BC 上的中线．∴CD ⊥AB ，∠ACD= ∠BCD=45 °， CD=BD=AD ．又∵DE ⊥DF∴∠EDC= ∠FDB在△ECD 和△FBD 中.∴△ECD ≌△FDB 〔ASA 〕∴DE=DF10 ．如图， OC 是∠MON 内的一条射线， P 为 OC 上一点， PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为 A，B， PA=PB ，连接 AB ，AB 与 OP 交于点 E．（1〕求证：△OPA ≌△OPB ；（2〕假设 AB=6 ，求 AE 的长．【解答】解：〔1〕∵PA⊥OM ， PB⊥ON ，∴∠PAO= ∠PBO=90 °，又∵PA=PB ，PO=PO ，∴Rt△AOP ≌Rt△BOP ；（2〕∵△OPA ≌△OPB ，∴∠APE= ∠BPE ，又∵PA=PB ，∴AE=BE ，∴AE=AB=3 ．11 ．如图，△ABC 和△ADE 分别是以 BC ，DE 为底边且顶角相等的等腰三角形，点 D 在线段 BC 上，AF 平分 DE 交 BC 于点 F，连接 BE，EF．（1〕 CD 与 BE 相等？假设相等，请证明；假设不相等，请说明理由；（2〕假设∠BAC=90 °，求证： BF 2+CD 2=FD 2．【解答】解：〔1〕CD=BE ，理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等腰三角形，∴AB=AC ， AD=AE ，∵∠EAD= ∠BAC ，∴∠EAD ﹣BAD=∠ ∠BAC ﹣BAD∠，即∠EAB= ∠CAD ，在△EAB 与△CAD 中，∴△EAB ≌△CAD ，∴BE=CD ，（2〕∵∠BAC=90 °，∴△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴∠ABF= ∠C=45 °，∵△EAB ≌△CAD ，∴∠EBA= ∠C，∴∠EBA=45 °，∴∠EBF=90 °，在Rt△BFE 中， BF 2+BE 2=EF 2，∵AF 平分 DE ，∴AF 垂直平分 DE，∴EF=FD ，由〔 1〕可知， BE=CD ，∴BF 2+CD 2=FD 212 ．如图， OC 是∠AOB 的角平分线， P 是 OC 上一点， PD ⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为 D，E．F 是 OC 上另一点，连接DF，EF．求证： DF=EF ．【解答】证明：∵OC 是∠AOB 的角平分线， P 是 OC 上一点， PD ⊥OA ，PE⊥OB ，∴∠DOP= ∠EOP ，PD=PE ．在 Rt△POD 和 Rt△POE 中，，∴Rt△POD ≌Rt△POE 〔HL 〕，∴OD=OE ．在△ODF 和△OEF 中，，∴△ODF ≌△OEF 〔SAS 〕，∴DF=EF ．13 ．如图， OP 平分∠AOB ， PE⊥OA 于 E，PF ⊥OB 于 F，点 M 在 OA 上，点 N 在OB 上，且 PM=PN ．求证： EM=FN ．【解答】证明：∵点 P 在∠AOB 的平分线上， PE 丄 0A 于 E， PF 丄 OB 于 F，∴PF=PE ，在Rt△PEM 和 Rt△PEN 中，∴Rt△PEM ≌Rt△PEN 〔HL 〕，∴EM=FN ．14 ．如图，△ABC 中，D 为 BC 边上一点， BE ⊥AD 的延长线于 E，CF ⊥AD 于 F，BE=CF ．求证： D 为 BC 的中点．....【解答】证明：∵BE ⊥AD 的延长线于 E，CF ⊥AD 于 F，∴∠CFD= ∠BED=90 °，在△BED 和△CFD 中，∴△CDF ≌△BDE 〔AAS 〕∴CD=BD ．∴D 为 BC 的中点．....。

初中数学全等图形练习题

初中数学全等图形练习题1. 下列图形是全等图形的是( )A.B.C.D.2. 如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，AD，BE相交于点G，若S△BDE=1，S△ABC=( )A.1B.2C.3D.43. 如图，O是等边△ABC内的一点，OA=1，OC=3，∠AOC=150∘，则OB的长为（）A.3B.4C.2√2D.√104. 下列说法中，正确的个数为（）①用一张像底片冲出来的10张五寸照片是全等形；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形；③所有的正六边形是全等形④面积相等的两个直角三角形是全等形．A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如果两个图形全等，则这个图形必定是（）A.形状相同，但大小不同B.形状大小均相同C.大小相同，但形状不同D.形状大小均不相同6. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60∘，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（）A.8B.9C.D.7. 下列说法正确的是（）A.所有正方形都是全等图形B.所有长方形都是全等图形C.所有半径相等的圆都是全等图形D.面积相等的两个三角形是全等图形8. 如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）________．9. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形．一定可以拼成的图形是________（填序号）10. 如图，有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有________.11. 请在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形：________．12. 下图是由全等的图形组成的，其中AB＝3cm，CD＝2AB，则AF＝________．13. 全等图形的形状和大小都相同．________ （判断对错）．14. 如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．15. 判断下列图形是否全等，并说明理由：（1）周长相等的等边三角形；（2）周长相等的直角三角形；（3）周长相等的菱形；（4）所有的正方形．16. 沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用三种不同的方法试一试．17. 我们把两个能够互相重合的图形称为全等形．（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数；（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出．18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，请用尺规过点C作直线l，使其将Rt△ABC分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）19. 如图，△ABC中，∠B=∠C，点D、E、分别在AB、BC、AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B，求证：ED=EF．参考答案与试题解析初中数学全等图形练习题一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1.【答案】B【考点】全等图形【解析】全等图形应形状相同，大小一致.【解答】解：全等图形应形状相同，大小一致.只有B符合题意.故选B.2.【答案】D【考点】三角形的面积【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得：△BDE和△CDE等底同高，所以S△CDE=S△BDE=1.所以S△BCE=2S△BDE=2.因为△BCE和△BAE等底同高，所以S△ABC=2S△BCE=4.故选D.3.【答案】D【考点】旋转的性质等边三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：将△AOC绕A点顺时针旋转60∘到△AO′B的位置，由旋转的性质，得AO=AO′，所以△AOO′是等边三角形，由旋转的性质可知∠AOC=∠AO′B=150∘，所以∠BO′O=150∘−60∘=90∘.因为OO′=OA=1，BO′=OC=3，所以OB=√12+32=√10.故选D.4.【答案】B【考点】全等图形【解析】根据能互相重合的两个图形叫做全等图形对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①用一张像底片冲出来的10张五寸照片是全等形，正确；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形，正确；③所有的正六边形是全等形，错误，正六边形的边长不一定相等；④面积相等的两个直角三角形是全等形，错误．综上所述，说法正确的是①②共2个．故选B．5.【答案】B【考点】全等图形【解析】根据全等图形的定义，能够完全重合的两个图形是全等图形解答即可．【解答】解：如果两个图形全等，则这个图形必定是形状大小完全相同．故选B．6.【答案】B【考点】菱形的性质等边三角形的性质与判定相似多边形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】全等图形【解析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．【解答】解：A、所有正方形都是全等图形，说法错误；B、所有长方形都是全等图形，说法错误；C、所有半径相等的圆都是全等图形，说法正确；D、面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误；故选：C．二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）8.【答案】21cm【考点】规律型：图形的变化类全等图形【解析】观察图形，发现：以中间的点看，再画第二个图形的时候，需要再往右用1个格，画第三个图的时候，需要再往右用3个格，画第四个图的时候，需要再往右走1个格，以此类推，则画10个图，需要4+1+3+1+3+1+3+1+3+1=21个．【解答】解：∵后面画出的图形与第一个图形完全一样，∴以中间的点看，再画第二个图形的时候，需要再往右用1个格，画第三个图形的时候，需要再往右用3个格，画第四个图形的时候，需要再往右用1个格，以此类推，则画10个图形，需要4+(1+3+1+3+1+3+1+3+1)=21个．故答案为：21cm.9.【答案】①②⑤【考点】全等图形【解析】解：拿两个“90∘60∘30∘的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故答案为：①②⑤．【解答】此题暂无解答10.【答案】①和⑥，②③⑤【考点】全等图形【解析】设每个小方格的边长为1，分别表示出第个图形的各边长，再根据全等形是可以完全重合的图形进行判定即可．【解答】解：由图可知，①与⑥的的三条边对应相等，②，③，⑤的四条边对应相等，故①⑥是全等形，②③⑤是全等形．故答案为：①和⑥，②③⑤．11.【答案】分法可分别如下所示：【考点】全等图形【解析】(1)选择对边的两个中点连接即可；(2)分别连接对边的两个中点即可；(3)分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可．【解答】解：所作图形如下所示：．12.【答案】27cm【考点】全等图形【解析】根据已知图形得出CD＝2AB＝6cm，进而求出即可．【解答】解:∵AB＝3cm，∴CD＝2AB＝6cm，∴AF＝3AB+3CD＝3×3+3×6＝27(cm)．故答案为:27cm13.【答案】正确【考点】全等图形【解析】利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，进而判断即可．【解答】解：全等图形的形状和大小都相同，正确．故答案为：正确．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14.【答案】解：如图所示：．【考点】全等图形【解析】利用网格图形的特征和全等图形的性质即可求解．【解答】此题暂无解答15.【答案】解：（1）全等．理由：等边三角形各角都是60∘，各角对应相等，周长相等即边长相等，各边对应相等．（2）不一定全等．理由：由已知条件，只能得到一组直角对应相等，其余的角和边不能确定是否相等．（3）不一定全等．理由：菱形的四条边都相等，由周长相等只能得到四条边对应相等，不能确定四个角是否相等．（4）不一定全等．理由：正方形的四个角都是直角，所有的正方形的角对应相等，但边长不能确定．【考点】全等图形【解析】根据多边形全等必须同时具备各边对应相等，各角对应相等．若不能确定都相等，则两个多边形不一定全等对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）全等．理由：等边三角形各角都是60∘，各角对应相等，周长相等即边长相等，各边对应相等．（2）不一定全等．理由：由已知条件，只能得到一组直角对应相等，其余的角和边不能确定是否相等．（3）不一定全等．理由：菱形的四条边都相等，由周长相等只能得到四条边对应相等，不能确定四个角是否相等．（4）不一定全等．理由：正方形的四个角都是直角，所有的正方形的角对应相等，但边长不能确定．16.【答案】解：如下图所示：【考点】作图—应用与设计作图全等图形【解析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，即占8个方格，且必须保证分割后的两个图形相同．【解答】解：如下图所示：17.【答案】解：（1）所画图形如上．（2）能，所画图形如上所示．【考点】全等图形【解析】（1）根据题意画出图形即可，注意所得的图形不应全等．（2）作长为1，宽分别为1，2，3，4，5的图形即可．【解答】解：（1）所画图形如上．（2）能，所画图形如上所示．18.【答案】，△ACD和△CDB即为所求【考点】作图—应用与设计作图【解析】作斜边AB的中垂线可以求得中点D，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边AD＝DB．的一半，可得CD=12【解答】解19.【答案】证明：∠DEC=∠B+∠BDE,∠DEC=∠DEF+∠CEF 又∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF又∵BD=CE，∠B=∠C，∴△EBD≅△FCE，∴ED=EF．【考点】全等三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】证明：∠DEC=∠B+∠BDE,∠DEC=∠DEF+∠CEF 又∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF又∵BD=CE，∠B=∠C，∴△EBD≅△FCE，∴ED=EF．。

北师大七年级数学下4.2《图形的全等》习题含详细答案

《图形的全等》习题一、选择题1．下列说法正确的是( )A.周长相等的矩形是全等形B.所有的五角星都是全等形C.面积相等的三角形是全等形D.周长相等的正方形是全等形2．下列判断正确的是( )A.形状相同的图形叫全等形B.图形的面积相等的图形叫全等形C.部分重合的两个图形全等D.两个能完全重合的图形是全等形3．下列各组图形中，一定是全等图形的是( )A.两个周长相等的等腰三角形B.两个面积相等的长方形C.两个斜边相等的直角三角形D.两个周长相等的圆4．如果△ABC与△DEF是全等形，则有( )(1)它们的周长相等；(2)它们的面积相等；(3)它们的每个对应角都相等；(4)它们的每条对应边都相等．A.（1）（2）（3）（4）B.（1）（2）（3）C.（1）（2）D.（1）5．如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB=CD，那么下列结论中，不正确的是( )A.AC=CEB.∠BAC=∠ECDC.∠ACB=∠ECDD.∠B=∠D6．如图，△ABC≌△CDA，AB=4，BC=6，则AD等于( )A.4B.5C.6D.不确定二、填空题7．在如图所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2=_____度．8．由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片_____全等图形(填“是”或“不是”)．9．下列图形中全等图形是_____(填标号)．10．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=_____度．三、解答题11．如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．12．找出图中全等的图形．13．周长相等的两圆相同，周长相等的两个正方形相同，那么，周长相等的两个三角形全等吗？14．如图，一块土地上共有20棵果树，要把它们平均分给四个小组去种植，并且要求每个小组分得的果树组成的图形、形状大小要相同，应该怎样分？15．判断下列图形是否全等，并说明理由：(1)周长相等的等边三角形；(2)周长相等的直角三角形；(3)周长相等的菱形；(4)所有的正方形．参考答案一、选择题1．答案：D解析：【解答】A周长相等的矩形不一定重合，错；B所有的五角星不一定重合，错；C面积相等的三角形也不一定重合，错；D周长相等的正方形边长一定相等，则周长相等的正方形一定是形状大小都相同的图形，一定重合，正确．故选D．【分析】全等的图形是指形状，大小都相同的图形，即能够完全重合的两个图形，两个条件要同时具备，按定义逐个验证可得答案．2．答案：D解析：【解答】A、如果形状相同而面积不同，则不是全等形，错误；B、如果面积相等，而形状不同，则不是全等形，错误；C、根据全等形概念，强调是完全重合，错误．D、正确．故选D．【分析】要判断选项的正误，要以全等形的概念为依据，结合各选项认真验证，与之相符和是正确的，反之，是错误的．3．答案：D解析：【解答】A、两个周长相等的等腰三角形，不一定全等，故此选项错误；B、两个面积相等的长方形，不一定全等，故此选项错误；C、两个斜边相等的直角三角形，不一定全等，故此选项错误；D、两个周长相等的圆，半径一定相等，故两圆一定全等，故此选项正确．故选：D．【分析】根据全等图形的性质分别判断得出即可．4．答案：A解析：【解答】根据全等形的概念可以判定：（1）（2）（3）（4）都成立．故选A．【分析】全等的图形是指形状，大小都相同的图形，即能够完全重合的两个图形．则它们的周长、面积、对应角、对应边一定都对应相等．5．答案：C解析：【解答】∵△ABC≌△CDE，AB=CD∴∠ACB=∠CED，AC=CE，∠BAC=∠ECD，∠B=∠D∴第三个选项∠ACB=∠ECD是错的．故选C．【分析】两三角形全等，根据全等三角形的性质判断．6．答案：C解析：【解答】∵△ABC≌△CDA，∴AD=BC=6．故选C．【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，找到对应边即可解答．二、填空题7．答案：90°解析：【解答】在△ACM和△BAN中，AN=CM，∠AMC=∠BNA，CM=AN∴△ACM≌△BAN，∴∠2=∠CAM，即可得∠1+∠2=90°．【分析】根据图形可判断出△ACM≌△BAN，从而可得出∠1和∠2互余，继而可得出答案．8．答案：不是解析：【解答】由全等形的概念可知：由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片，大小不一样，所以不是全等图形．【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，图形重合的是全等形，不重合的不是全等形．9．答案：⑤和⑦解析：【解答】由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合．【分析】要认真观察图形，从①开始找寻，看后面的谁与之全等，然后是②，看后面的哪一个与它全等，如此找寻，可得答案．10．答案：135°解析：【解答】如图所示：∠2=45°，在△ACB和△DCE中，AB=DE，∠A=∠D，AC=DC∴△ACB≌Rt△DCE（SAS），∴∠ABE=∠3，∴∠1+∠2+∠3=（∠1+∠3）+45°=90°+45°=135°【分析】首先利用全等三角形的判定和性质得出∠1+∠3的值，即可得出答案．三、解答题11．答案：见解答过程．解析：【解答】设计方案如下：【分析】根据正方形的性质，①两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；②作一组对边的平行线也能把正方形分成四个全等的矩形；③连接一组对边的中点，把正方形分成两个全等的矩形，再作矩形的对角线就把每个矩形都分成两个全等的三角形，这样就分成了四个全等的三角形；④过正方形的中心做互相垂直的两条线也能把正方形分成四个全等的四边形．12．答案：见解答过程．解析：【解答】如图所示：1和2全等，3和4全等．【分析】利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，进而判断即可．13．答案：不一定全等．解析：【解答】不一定全等，例如，两个三角形的周长均为10，一个三角形的三边长为4，3，3，而另一个三角形的三边长为4，4，2，这两个三角形显然不全等，但当两个三角形为正三角形时，这两个三角形全等．【分析】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，周长相等的两个三角形，构成三角形的三条边不一定全部相等，可得周长相等的两个三角形不一定全等．14．答案：见解答过程．解析：【解答】如图所示：【分析】一共有20棵果树把它们平均分给四个小组去种植，每一个小组平均5棵，再根据条件“分得的果树组成的图形、形状大小要相同”进行分割即可．15．答案：（1）全等（2）不一定全等（3）不一定全等（4）不一定全等．解析：【解答】（1）全等．理由：等边三角形各角都是60°，各角对应相等，周长相等即边长相等，各边对应相等．（2）不一定全等．理由：由已知条件，只能得到一组直角对应相等，其余的角和边不能确定是否相等．（3）不一定全等．理由：菱形的四条边都相等，由周长相等只能得到四条边对应相等，不能确定四个角是否相等．（4）不一定全等．理由：正方形的四个角都是直角，所有的正方形的角对应相等，但边长不能确定．【分析】根据多边形全等必须同时具备各边对应相等，各角对应相等．若不能确定都相等，则两个多边形不一定全等对各小题分析判断即可得解．。

七年级数学图形的全等练习题.doc

2.图形的全等与
3.图案设计
一、判断题
1.两个形状相同的图形，称为全等图形.（）
2.两个圆是全等图形.（）
3.两个正方形是全等图形.（）
4.全等图形的形状和大小都相同.（）
5.面积相同的两个直角三角形是全等图形.（）
二、填空题
指出下列图形中的全等图形
三、选择题
1.下列图形能分成两个全等图形的是（）
2.不能把一个圆分成下列全等图形个数的是（）
A.3
B.5
C.6
D.7
3.下面是网球场地，A、B、C、D、E、F几个区域中，其中全等图形的对数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
四、做一做
1.用四个全等的小菱形纸片，将它们拼成一个与大菱形全等的图形.
2.用三个全等的纸片，将它们拼成一个与全等的图案.
2.图形的全等与
3.图案设计
一、1.× 2.× 3.× 4.√ 5.×
二、1和9 3和8 4和10 6和7
三、1.C 2.D 3.C
四、略。

数学北师大版七年级下册全等图形的练习题精品PPT课件

全等图形的练习
练习题
1、如图，已知⊿ABD≌⊿ACE，∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，请用等式表示其它的对应边和对应角.
A
AB=AC AD=AE
B
C
D
E
BD=CE
∠BAD=∠CAE
2、若 ⊿ABE≌⊿ACD，∠B=∠C，∠ADC=∠AEB，请用等式表示其它的对应边和对应角.
AB=AC AE=AD
FD
A
C
1
O
2
E
B
A
F
8、如图,若△ABC≌△EFC,
点B、C、E在同一条直线
B
C
E
上，且CF=3cm, CE=7cm, ∠EFC=64°,则BC=_____cm, AC3=_____cm, ∠B=_____.
AF=4cm
7
64°
∠ACB=∠ECF= 90°
∠A= ∠E=26°
你还能求出哪些边的长度,哪些角的度数?
9、已知：⊿MNP≌⊿ABC，MN=AB，MP=AC，∠MPN=35º，∠CAB=40º,则 ∠ABC=____，∠M=____.
分析：本题没有图，可以从两个角度出发，一个是根据题意作图，另一个就是找到对应顶点.
10、已知：⊿MNP≌⊿ABC，MN=AB，MP=AC，∠MPN=35º，∠CAB=40º,则
分析： ∠1与∠2分别在
△AOF与△EOB中，显而
A
易见∠AOF与∠EOB是
对顶角，而∠A与∠E是△ABC与△EBD的对应
角，可由三角形内角和得到∠1与∠2相等. E
FD C
1
O
2
B
7、如图,△ABC≌△EBD,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明,若不相等说出为什么?

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11.4 全等图形习题精选
【同步达纲练习】
一、选择题
1．全等图形是指两个图形 ( )
A．大小相同
B．形状相同
C．能够重合
D．相等
2．下面不是全等图形的性质特征的是 ( )
A．大小相同
B．形状相同
C．颜色相同
D．周长相同
二、解答题
1．找出下图中的全等图形．
2．把下图中的矩形(1)分成两个全等的三角形；(2)分成两个全等的四边形；(3)分成三个全等的四边形；(4)分成四个全等的三角形．
3．把下图的图形分成4个全等部分怎样划分．
4．怎样把一个圆形分成2个全等的图形?分成3个全等的图形呢?4个呢?5个呢? (360)
个呢?
5．你能把下图这个平行四边形分成两个全等的图形吗?最多能找到几种方法?
【综合能力训练】
1．如图（1），△APB与△CPD全等．
相等的边是：AB＝CD，________，________；
相等的角是：∠A＝∠C，________，________；
△APB如何变换可得到△CPD?
_______________________________________________________________________．
2．如图（2），△FAD与△EBC全等，其中F和E是对应顶点，写出相等的对应边和对应角，并指出△FAD到△EBC通过什么变换得到的?
3．如图（3），∠AOB＝∠COD＝60°，OA＝OB，OC＝OD，把△AOC绕着点O旋转60°，点A将落在点________上，点C将落在点________上，因此，△AOC与△BOD 可以通过________变换完全重合．
4．下图中是五角星，则阴影部分面积是五角星面积的（）
A ．43
B ．21
C ． 54
D ．32
5．如右上图是某房间木地板的一个图案，其中AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AE ＝CE ＝CF ＝FA ．图案由深色的全等三角形木块（阴影部分）和浅色的全等三角形木块（无阴影部分）拼成．这个图案的面积是2
0.05m ．若房间的面积是2
13m ，问最少需要深色木块和浅色木块各多少块?
参考答案
【同步达纲练习】一、1．C 2．C
二、1．（1）与（7）、（2）与（8）、（4）与（6）、（9）与（10）． 2．（1）分成两个全等的三角形如图（1）所示．
（2）分成两个全等的四边形如图（2）所示．
（3）分成三个全等的四边形如图（3）所示．
（4）分成四个全等的三角形如图（4）．
3．分成4个全等部分如图所示
4．我们把任意一条半径看作是以圆心为顶点的周角．这个圆心角是360°．分成几个全等的图形，就是把圆心角的半径几等分，如下图扇形所示．
5．能．无数种如下图
【综合能力训练】
1．AP＝CP，PB＝PD，∠B＝∠D，∠APB＝∠CPD，绕点P旋转180°；
2．略；
3．B，D，旋转；
4．B；
5．（13÷0.05）×4＝1040块深色木块；（13÷0.05）×2＝520块浅色木
块．。