用三种方法测量重力加速度

用三种方法测量重力加速度朱津纬1（1.复旦大学物理学系，上海市200433）摘要：本实验通过手机phyphox软件，用三种方法测量了重力加速度。

分别将落币法、复摆法和弹簧法所得的重力加速度结果与实际值比较，误差不超过4%。

1 引言随着科技的发展，如今智能手机功能越来越丰富。

许多应用软件全面地利用手机中传感器，可以用来实施物理实验[1,2]。

其中，“phyphox”是集合了很多实验项目的应用软件。

本实验将利用它来测量重力加速度。

重力加速度可通过多种方法进行测得。

如单摆法[3]，多管落球法[4]，和利用自由落体的方法[5]等。

在本实验中，重力加速度利用落币法、复摆法和弹簧法三种方法被测量，并与标准值比较。

2 实验原理首先，分别介绍三种方法的理论原理。

2.1 落币法该实验将利用“phyphox”中的“声控秒表”项目，测量硬币从不同高度ℎ自由落体所需的时间t。

通过对t−√ℎ数据线性拟合，得到重力加速度g=2斜率2。

如图1所示，硬币自由落体下落的高度为ℎ。

用水笔敲击直尺发出敲击声，设该时刻为t0。

经过微小时间差Δt（与高度无关，假设为常量），硬币开始下落，设该时刻为t1。

一段时间后，硬币落到地上，并发出与地面的碰撞声，设该时刻为t2。

“声控秒表”测量了两次声响的时间差t=t2−t0。

由自由落体公式可知ℎ=12g(t2−t1)2=12g(t−Δt)2，(2.1)即t=√2g√ℎ+Δt。

(2.2)因此t−√ℎ呈线性关系，斜率为√2g。

2.2 复摆法图1 落币法实验示意图该实验将利用“phyphox ”中的“单摆”项目，测量不同摆长L 复摆的摆动周期T 。

通过对T 2−L 2+bL+b 23(L+b 2)数据线性拟合，得到重力加速度g =4π2斜率。

如图2所示，长度为L 的细线与宽度为b 的手机组成复摆，以杆子为轴前后摆动。

设复摆的转动惯量为I ，手机（过中心水平轴）的转动惯量为I c =mb 212。

则由平行轴定理得I =I c +m(L +b2)2。

(2.3)由复摆摆动周期公式得T =2π√Img(L+b2)=2π√L 2+bL+b 23g(L+b 2)。

(2.4)因此T 2−L 2+bL+b 23(L+b 2)呈线性关系，斜率为4π2g。

2.3 弹簧法该实验将利用“phyphox ”中的“弹簧”项目，测量悬挂不同质量重物弹簧的（平衡时的）下端位置x 和振动周期T 。

通过对x −T 2数据线性拟合，得到重力加速度g =斜率。

之后，将考虑空气阻力，得到修正结果。

如图3所示，弹簧悬挂重物。

设弹簧不悬挂重物时的平衡位置为x 0（是常量）、弹簧的弹性系数为k 、塑料袋重物的总质量为m 。

由受力平衡，得mg =k (x −x 0)。

(2.5) 再由弹簧的周期公式T =2π√mk ， (2.6)消去m ，得x =g (T2π)2+x 0。

(2.7)图3 弹簧法实验示意图 图2 复摆法实验示意图因此x −(T2π)2呈线性关系，斜率为g 。

下面讨论计入空气阻力的修正结果。

设重物所受的阻力与速度成正比，即f =−bv ，(2.8) 其中比例系数b 为常数。

则频率修正为2πT =√k m −(b2m )2。

(2.9)再联立(2.5)式，得(2πT )2=gx−x 0−(bg2k (x−x 0))2。

(2.10)按上式对(2πT )2−x 图进行拟合，可得到参数g 。

3 实验方法和步骤先保持手机静止不动，用电脑远程控制手机测量加速度，作为重力加速度的标准值。

接下来依次给出三种测量重力加速度方法的实验步骤。

3.1 落币法首先，设置手机声传感器的阈值，通过测试是否有声音记录使其略高于噪音音量大小。

按图1所示放置硬币。

接着，调节谱架，使用皮尺测量直尺离地面高度ℎ（五次取平均）。

用水笔快速敲击直尺露出台面的一端（即图1中左端，在硬币稍右处），发出清脆的敲击声。

硬币脱离直尺开始自由落体，落在地上发出响声，手机传感器测得两次声响的时间差为t 。

重复五次求t 的平均值。

改变高度ℎ，重复上述步骤。

最后，对t −√ℎ数据线性拟合，计算重力加速度g =2斜率2。

3.2 复摆法首先，测量手机的宽度b 。

用细线将手机如图2所示悬挂于杆子。

使用皮尺测量细线长度L 。

接着，将细线与手机所组成的复摆从偏离平衡位置约5°处释放，使其以杆为轴前后摆动。

用电脑远程控制手机传感器，读取摆动周期T 。

改变线长L ，重复上述步骤。

最后，对T 2−L 2+bL+b 23(L+b 2)数据线性拟合，计算重力加速度g =4π2斜率。

3.3 弹簧法首先，将水杯装上适量的水，将装有手机和水杯的塑料袋悬挂于弹簧（如图3所示）。

接着，用皮尺测得弹簧平衡时下端的位置x 。

将塑料袋拉至偏离平衡位置约0.5m 处释放，使弹簧上下振动。

用电脑远程控制手机传感器，读取弹簧振动周期T 。

改变水杯中水的多少，重复上述实验步骤。

最后，对x −T 2数据线性拟合，得到重力加速度g =斜率。

再以公式(2πT )2=gx−x 0−(bg2k (x−x 0))2对(2πT )2−x 数据进行拟合，得到重力加速度g 。

4 实验结果和分析(1) 用手机直接测得的重力加速度为g 0=9.85m/s 2。

(2) 落币法所得到的t −√ℎ数据如图4所示。

线性拟合得到斜率为0.458s/√m ，算得g =2斜率2=9.52m/s 2。

误差为9.52−9.859.85=−3.35%。

误差来源有：① 由于皮尺不够直，且不能保证沿着直尺到地面的垂线，导致ℎ偏大（且ℎ越大偏得越大）。

因此线性拟合斜率偏小，g 偏大。

② 敲击声传播到手机延迟Δt 0=ℎv sound<10−2（可忽略不计）。

③ 手机传感器的仪器误差。

(3) 复摆法所得到的T 2−L 2+bL+b 23(L+b2)数据如图5所示。

线性拟合得到斜率为3.934 s 2/m ，算得g =4π2斜率=10.03m/s 2。

误差为10.03−9.859.85=1.83%。

误差来源有：① 由于皮尺不够直，导致L 偏大（且L 越大偏得越大）。

因此线性拟合斜率偏小，g 偏大。

② 手机传感器的仪器误差。

(4) 弹簧法所得到的x −(T2π)2数据如图6所示。

线性拟合得到斜率为9.77m/s 2，算得g =斜率=9.77m/s 2。

误差为9.77−9.859.85=−0.81%。

误差来源有：① 由于空气阻力的存在，导致周期偏大（且质量越小偏得大），因此线性拟合斜率偏大，即g 偏大。

② 手机传感器的仪器误差。

图4 落币法实验t −√ℎ图 图6 弹簧法实验x −(T 2π)2图 图7 弹簧法实验(2πT )2−x 图 图5 复摆法实验T −L 2+bL+b 23(L+b 2)图(5)弹簧法所得的(2πT )2−x数据如图7所示。

以公式(2πT)2=gx−x0−(bg2k(x−x0))2进行拟合得到g=9.70m/s2。

误差为9.70−9.859.85=−1.52%。

5 实验结论本实验通过用三种方法测量重力加速度，展示了用智能手机“phyphox”应用软件进行物理实验。

在落币法实验中，测得重力加速度g=9.52m/s2，误差为−3.35%。

在复摆法实验中，测得重力加速度g=10.03m/s2，误差为1.83%。

在弹簧法实验中，测得g=9.77m/s2，误差为−0.81%；考虑空气阻力修正后的结果为g=9.70m/s2，误差为−1.52%。

造成这些误差的主要原因是手机传感器的仪器误差。

参考文献:[1] 宋伊, 丁益民, 胡琦珩, et al. 利用智能手机磁传感器测重力加速度[J]. 大学物理实验, 2018,31(2):39-41.[2] 温宁红, 倪刚, 赵瑞雪,等. 利用智能手机测定牛奶中蛋白质的含量[J]. 化学教与学, 2019,000(001):81-82,64.[3] 郝建明, 李咏波, 和伟. 单摆法测重力加速度的修正公式分析[J]. 云南师范大学学报:自然科学版,2004(03):66-69.[4] 朱道云, 庞玮, 吴肖,等. 多管落球法测量重力加速度[J]. 实验技术与管理, 2012(04):69-71.[5]吴兆旺, 马业万, 章礼华. 自由落体实验法测重力加速度的误差探讨[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版), 2013(03):39-41.。