分式方程知识点归纳总结(整理)
分式方程总结知识点
分式方程总结知识点其中，a、b、c代表有理数，b不等于0，a和b不是互为相反数，c不等于0。
分式方程的含义是表示一个等式，其中分子和分母的比值为c。
解分式方程的过程就是找出满足该等式的未知数的值。
分式方程的解法可以分为以下几种情况：一、通分法解分式方程通分法是解分式方程的一种基本方法，它通过找到一个使得分子和分母同时乘以这个数后，分子分母能整除的数。
例如，对于分式方程\[ \frac{2}{x} + \frac{3}{2x} = 1 \]我们可以通过通分法求解：首先，求出分母的最小公倍数，这里为2x。
然后将所有分数都乘以2x:\[ 2 \times 2x = 4x, 3 \times x = 3x \]得到：\[ \frac{4x}{2x} + \frac{3x}{2x} = 1 \]再进行化简，得到\[ \frac{4x + 3x}{2x} = 1 \]最终解得\[ \frac{7x}{2x} = 1 \]从中可得在此分式方程中，x=2。
二、通解法解分式方程通解法是解分式方程的另一种常见方法，其前提是寻找到一个分式方程的通解形式。
例如，对于分式方程\[ \frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{3} \]我们可以通过通解法求解：首先，我们将分式方程变形为\[ 3(x+1) = 2(x-1) \]然后将此等式展开并化简，得\[ 3x + 3 = 2x - 2 \]继续化简，得\[ x = -5 \]我们可以发现，这里的解x=-5并不是一个通解，因为在我们寻找通解时，我们应该得到x 的一组解。
所以，我们继续进一步变形原方程。
在这里，我们可以取x=k, 进行另一次转换，求通解。
\[ 3(k+1) = 2(k-1) \]得\[ 3k+3 = 2k-2 \]继续化简，得\[ k = -5 \]所以，我们可以得到通解为x=-5。
分式方程的解法是一个非常复杂同时也是非常具有挑战性的一部分。
需要我们对分数的运算非常熟练，同时也对不同的解法有深入的了解。
八年级分式方程数学知识点
八年级分式方程数学知识点一、基本概念分式方程是指未知量中包含分数表达式的方程，可用一组数值解求出未知量的值。
如：\frac{x+1}{2}=3，其中x为未知量。
二、分式方程的解法1. 化简分式，使其成为整式方程。
如：\frac{x+1}{2}=3化简为x+1=6。
2. 通分，消去分母。
如：\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x+1}通分后为3(x+1)=x-2。
3. 变形化简后求解。
如：\frac{2}{2x+3}-\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x^2-x-3}变形化简后得到x=-1或x=\frac{5}{2}。
三、分式方程的注意事项1. 化简前应检查分母是否有值为0的情况。
如：\frac{x}{x^2-4x+4}=1化简前需考虑x^2-4x+4=0的情况，即x=2。
2. 通分时应注意分母因式分解。
如：\frac{x}{2x-4}-\frac{2}{x+1}=\frac{3x}{x^2-3x+2}通分前需分解(x-1)(x-2)。
3. 将解代回原分式方程检验。
如：\frac{4}{x+3}-\frac{5}{x-1}=\frac{1}{x-2}解得x=5/2，代入原式验证是否成立。
四、分式方程的应用例题1. 甲、乙两地的距离为480km，两地之间有一辆车和一辆自行车相向而行，行至中途时，车停下了，自行车继续前进，最后到达乙地时，车和自行车的距离为40km。
已知车行驶的速度比自行车快20km/h，求车和自行车的速度各是多少。
设自行车的速度为x km/h，车的速度为x+20 km/h，时间为t，车行驶的距离为(x+20)×t，自行车行驶的距离为x×(t+2)。
由题意可得(x+20)t+x(t+2)=480及(x+20)t-x(t+2)=40，解得x=20，车速为40km/h，自行车速度为20km/h。
2. 一条河流的宽度为200m，在河岸的A、B两处浅滩的位置分别离河口12km、18km处。
分式的全部知识点总结
分式的全部知识点总结在本文中，我们将全面总结分式的相关知识点，包括分式的定义、简化、运算、化简以及分式方程的解法等内容。
一、分式的定义分式是用分数表示的数，它是分子与分母之比。
其形式通常为a/b，其中a为分子，b为分母，分子和分母都是整数。
分式通常表示为a/b，读作a分之b，a称为分子，b称为分母。
分式也可以表示为小数形式，分数形式等，但本质上还是表示两个数之间的比值关系。
二、分式的简化分式的简化是指将分式化为最简形式的过程。
通常情况下，分式的分子和分母可以约分，分子和分母的公因数可以化简，最终得到最简分式。
简化分式的步骤包括：1. 找出分子和分母的公因数；2. 用公因数约分分子和分母；3. 化简得到最简分式。
例如，分式2/4可以简化为1/2，分式6/9可以简化为2/3等。
三、分式的运算分式的运算包括加减乘除四则运算。
分式的加减法通常需要找到它们的公分母，然后进行加减，乘法和除法要分别进行分子和分母的运算，然后化简得到最终结果。
加减法运算步骤如下：1. 找到分式的公分母；2. 将分式按照公分母进行加减；3. 化简得到最终结果。
例如，分式1/3和2/5的加法运算为：1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15。
乘法和除法运算步骤如下：1. 分子相乘，分母相乘；2. 化简得到最终结果。
例如，分式1/2和2/3的乘法运算为：1/2 * 2/3 = 2/6 = 1/3。
四、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，通常需要通过化简分式，转化为一般方程，然后解方程得到结果。
解分式方程的步骤如下：1. 化简分式，得到一般方程；2. 解一般方程得到结果；3. 检验解是否正确。
例如，解分式方程2/x = 3的步骤如下：1. 化简得到2 = 3x；2. 解一般方程得到x = 2/3；3. 检验得到的解是否正确。
以上是关于分式的全部知识点总结，分式是数学中非常重要的概念，掌握分式的相关知识对于数学学习具有重要意义。
数学八年级上册【分式方程】知识点梳理
数学八年级上册【分式方程】知识点梳理知识点汇总一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
三、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.今日练习1.校运动会上，初二（3）班啦啦队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为：A．B．C． D .2.以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是：A．B．C． D .【参考答案】1.B若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解解：设甲种雪糕的价格为x元，则甲种雪糕的根数：；乙种雪糕的根数：．可得方程：故选B考点：由实际问题抽象出分式方程2.B。
分式方程知识点归纳总结
分式方程知识点归纳总结分式方程（也称有理方程）是含有分式的等式，其中分子和（或）分母中至少有一个包含一个或多个未知量。
解分式方程的过程是确定使得等式成立的未知量的值。
下面是分式方程的一些常见知识点的总结：1.分式的定义域：对于一个分式，需要注意其定义域，即分母不能为零。
当分母为零时，分式没有意义。
因此，在解分式方程时，需要排除使分母为零的解。
2.分式方程的简化：可以通过约分的方法，将分式方程进行简化。
约分是将分子和分母同时除以他们的最大公约数。
这样可以简化方程，使求解更易于处理。
3.分式方程的通分：当分式方程中出现了不同的分母时，可以通过通分的方式将分式方程转换为求解多项式方程。
通分是将所有分母进行相同因式的乘法，使所有分母都相同。
然后分别将分子相加或相减，并保持分母不变。
这样，就可以将分式方程转化为多项式方程。
4.分式方程的解的确定性：一般而言，分式方程的解并不唯一、因此，在解分式方程时，需要注意是否有解，以及解的个数。
当方程的分子和分母为多项式时，可以通过将方程转化为多项式方程的方式来求解。
而对于含有绝对值、根号等特殊函数的分式方程，可能存在特殊解或无解的情况。
5.分式方程的解法：求解分式方程的常用方法有以下几种：a.通过消去分母的方式来求解。
首先将方程中的每一个分式都通分，这样可以得到一个多项式方程。
然后通过求解得到的多项式方程，找到使方程成立的未知量的值。
b.通过移项和合并同类项的方式转化为多项式方程。
首先将方程中的每一个分式都移动到一个方程的一边，将所有未知量合并，并将同类项相加。
最终得到一个多项式方程，通过求解多项式方程来求解分式方程。
c.通过换元的方式转化为多项式方程。
首先令一个新的未知量等于原方程中的一个分式，将分式方程转化为一个多项式方程。
然后通过求解新的多项式方程，找到使方程成立的未知量的值。
最后，将得到的解代入原方程中，验证是否是原方程的解。
以上是分式方程的一些常见知识点的总结。
分式方程知识点归纳
分式方程知识点归纳分式方程是指含有分子和分母的方程，分子和分母分别为代数式或数字，并且方程中包含有未知数的方程。
下面将分式方程的知识点进行归纳，以便更好地理解和应用分式方程。
一、基本概念：1.分式方程的定义：含有未知数、带有分式形式的等式称为分式方程。
2.分式的定义：分式是由一个或多个代数式构成的比。
二、分式方程的解的性质：1.分式方程的等价方程：分式方程可以转化为多项式方程进行求解，这样可以得到等价的方程，两者的解是相同的。
2.分式方程的根的性质：一个分式方程的解，如果使得分式方程中的分子等于0，则该解就是方程的根。
三、分数的性质：1.分式的约分：分式的分子和分母同时除以它们的公因式，可以得到分式的约分式。
2.分式的通分：将不同分母的分式通过找到它们的最小公倍数，转化为具有相同分母的等价分式。
3.分数的四则运算：分数之间可以进行加减乘除的运算，需要注意分子和分母的相应运算。
四、分式方程的解法：1.乘法解法：对分式方程的两边同乘以一个使得方程中的分母消去的数，从而化简为一个多项式方程。
2.加减消去解法：对分式方程的两边同乘以使得方程中的分母消去的数，然后将方程中的分式整理为一个多项式，并进行求解。
3.代入解法：将分式方程中的一个未知数表示成另一个未知数的代数式，再代入到分式方程中，得到一个不含有代入的未知数的分式方程，进而进行求解。
4.通分解法：对分式方程的两边同时乘以方程中所有的分母的积，将分式方程化简为一个多项式方程进行求解。
五、分式方程的解的判定：1.当方程的分式的分子为0时，方程的解为0。
2.当方程的分式的分子和分母存在着相同的因式时，方程的解为使得分式方程中的分子等于0的值。
3.当分式方程的分母的值等于0时，方程没有解。
六、应用：分式方程在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学和金融学中，经常需要使用分式方程来解决实际问题。
比如计算财务利润率、财务收益率、物体的运动速度等。
七、常见的分式方程：1.一次方程：分式方程的分子和分母都是一次函数的方程。
分式与分式方程知识点总结
分式与分式方程知识点总结分式是一种特殊的代数表达式，有分子和分母组成，通常用斜杠“/”或者横线“-”表示分数线。
分式可以表示为a/b的形式，其中a为分子，b为分母。
分式的乘法和除法的法则：1.分式乘法法则：分式的乘法可以简化为分子相乘，分母相乘的运算。
即(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)。
2.分式除法法则：将除法转化为乘法后，取除数的倒数，然后按照分式乘法法则进行运算。
即(a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)。
分式的加法和减法的法则：1.分式加法法则：要进行分式的加法，需要先找到两个分式的共同分母。
然后将分式的分子按照共同分母的比例进行加法运算。
即a/b+c/d=(a*d+b*c)/(b*d)。
2.分式减法法则：和分式加法法则类似，需要找到两个分式的共同分母。
然后将分式的分子按照共同分母的比例进行减法运算。
即a/b-c/d=(a*d-b*c)/(b*d)。
分式的化简：将分式化简为最简形式的步骤如下：1. 如果分子和分母有相同的公因子，可以约分掉。
即a/b =(a/gcd(a,b)) / (b/gcd(a,b))。
2.如果分数的分子和分母都是整数，并且分子能整除分母，可以化简为整数。
即a/b=a/b，其中a能整除b。
3.如果分式的分子和分母都是多项式，并且可以进行因式分解，可以使用因式分解后的形式来化简分式。
分式方程是包含一个或多个分式的方程。
求解分式方程的一般步骤如下：1.将方程两边的分式通过相乘分母的方法，化简为有理式。
2.对于有理式的方程，可以通过解方程的方法求出x的值。
3.检验所求得的x的值是否满足原方程，如果满足，即为解；如果不满足，则该方程无解。
在求解分式方程时，需要注意以下几个问题：1.分母不能为0，需要排除分母为0的解。
2.对于含有分式的方程，需要注意去除分式的分母后方程是否成立，避免出现无意义的解。
3.可能出现分母为0的情况，需要排除该解，以免引起除法运算错误。
分式方程知识点复习总结大全
分式方程知识点复习总结大全分式及其基本性质1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母整式和分式统称有理式, 即有有理式整式，分式.2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.分析 分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母的公因式.分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.§ 分式的运算1. 分式的乘除法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.§ 可化为一元一次方程的分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验例2 解方程：730100-=x x. 解 方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得 100（x-7）=30x. 解这个整式方程，得 x=10.检验：把x=10代入x(x-7)，得 10×（10-7）≠0所以，x=10是原方程的解.§ 零指数幂与负整指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.小结一、知识结构二、注意事项1.分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要注意不断地与分数情形进行类比，以加深对新知识的理解.2.解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验.学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验.3.由于引进了零指数幂与负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示.。
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分式方程知识点归纳总结
A
1.分式的定义：如果 A 、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子
叫做分式。
B
1） 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2） 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
3） 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零
其中A 、B 、C 为整式（C = 0）
注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2 ）应用基本性质时，要注意 C 老，以及隐含的B 和。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母 乘除的
不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式
1） 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2） 最简分式：分子与分母没有公因式的分式
3） 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母
的分式化成分母相同的分式。
4） 最简公分母：取“各个分母”的所有因式”的最高次幕的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值
1 ）整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子,
从而可避免局部运算的麻烦和困难。
0的整式，分式的值不变。
用式子表示
2.
11, a -3ab b
a b 2a 2b -7ab
例：已知，则求2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。
a b c 3a - 2b 5c
2 3 4 a b c
例：若，则求
6.分式的运算:
分式乘法法则: 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则: 分式除以分式（把把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
b d bd b d b
c bc
n
a
b7
3 ）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4 ）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序
运算
5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减
a b a 士b a c ad bc ad 士be
—主—= --------- —主 --- = ----- 主---- = -----------
c c c ' b
d bd bd bd
7.整数指数幕. 1）任何一个不等于零的数的零次幕等于1，即a°=d（a =
0）；
2）任何一个不等于零的数的-n次幕（n为正整数），等于这个数的注：分数的负指数幕等于这个分数的倒数的正整数指数幕。
即n次幕的倒数，即 a
（捫
3）科学计数法：把一个数表示为 a x10n（1 w a l<10,n为整数）的形式，称为科学计数法。
注：（1）绝对值大于1的数可以表示为ax10n的形式，n为正整数；
（2）绝对值小于1的数可以表示为a x10-n的形式，n为正整数.
（3）表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n -1
（4）表示绝对值小于1的正小数时，其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数（包括小数点前面的一个0）
4）正整数指数幕运算性质也可以推广到整数指数幕. （m,n是整数）
（1）同底数的幕的乘法：a m‘a n =a m如；（2）幕的乘方：（a m）n=a mn；（3）积的乘方：（ab）n=a n b n；
n
a a
（4）同底数的幕的除法：a m-、a n二a m』（a和）；（5）商的乘方：（一）n n（）；（b和）
b b
8.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程一一分式方程。
1）增根：分式方程的增根必须满足两个条件：
（1）增根是最简公分母为0;（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。
2）分式方程的解法：
（1）能化简的先化简⑵方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根.
注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0,这样就产生了增根，因此分式方
程一定要验根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
3 ）烈分式方程解实际问题
（1）步骤：审题一设未知数一列方程一解方程一检验一写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
（2）应用题基本类型；
a. 行程问题：基本公式：路程=速度x时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.
b. 数字问题
d.顺水逆水问题
14植树问题
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
基本公式：工作量=工时x工效.
全长=株距x （株数一1）
株距=全长* （株数一1）
⑵如果在非封闭线路的一端要植树
c. 工程问题
v逆水=V静水-V水•
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树
那：
株数=段数+ 1 =全长*株距一1
在数字问题中要掌握十进制数的表示法.
V顺水=V静水+V水.
另一端不要植树，那就这样:
株数=段数=全长*株距
全长=株距X株数
株距=全长*株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：
株数=段数—1 =全长十株距—1
全长=株距X （株数+ 1）
株距=全长* （株数+ 1）
2封闭线路上的植树问题的数量关系
如下：
株数=段数=全长*株距
全长=株距X株数
株距=全长*株数
15盈亏问题
（盈+亏）十两次分配量之差=参加分配的份数
（大盈—小盈）十两次分配量之差=参加分配的份数
（大亏一小亏）十两次分配量之差=参加分配的份数
16相遇问题相遇时间=相遇路程*速度和
速度和=相遇路程*相遇时间
17追及问题
追及距离=速度差X追及时间
追及时间=追及距离十速度差
速度差=追及距离十追及时间
18流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=（顺流速度+逆流速度）吃水流
速度=（顺流速度-逆流速度）吃 19浓度
问题
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重
量
溶质的重量十溶液的重量X 100% =浓
度
溶液的重量X浓度=溶质的重量
溶质的重量十浓度=溶液的重量
20利润与折扣问题
涨跌金额=本金X涨跌百分比
折扣=实际售价十原售价X 100%（折扣
<1）
利息=本金X利率X时间
税后利息=本金X利率X时间X （1 —
20%）
十成本一1） X100%
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