高考总复习 数学文科 (新人教B版)--第十章 第5节--(附解析及答案)
高考总复习 数学文科 (新人教B版)--第四章 第1节--(附解析及答案)
第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝π180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.[微点提醒]1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析(1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角.。
2019版高考数学大一轮复习人教B版全国通用文档：第十
§13.1 合情推理与演绎推理1．合情推理2．归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)． 3．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．4．演绎推理由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．5．“三段论”可表示为①大前提：M是P；②小前提：S是M；③结论：所以，S是P.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N＋)．(×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)题组二教材改编2．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案 C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.3．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，b29＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．题组三易错自纠4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．5．(2017·济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．(填序号)答案①④解析显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．6．(2018·中山模拟)在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立；在凸四边形ABCD中，不等式1A＋1 B＋1C＋1D≥162π成立；在凸五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立…依此类推，在凸n边形A1A2…A n中，不等式1A1＋1A2＋…＋1A n≥____________________成立．答案n2(n－2)π(n∈N＋，n≥3)解析∵1A＋1B＋1C≥9π＝32π，1 A＋1B＋1C＋1D≥162π＝422π，1 A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π＝523π，…，∴1A1＋1A2＋…＋1A n≥n2(n－2)π(n∈N＋，n≥3).题型一归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 典例 (2016·山东)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________.答案 43×n ×(n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题点2 与不等式有关的推理典例 (2017·济宁模拟)已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；…；照此规律，当n ∈N ＋，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______.答案na 1a 2…a n解析 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (n ∈N ＋，n ≥2)．命题点3 与数列有关的推理典例 (2017·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；…；可以推测，1＋5＋15＋…＋124n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝____________________.答案1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N＋)解析根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) (n∈N＋)．命题点4与图形变化有关的推理典例(2017·大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A．21 B．34 C．52 D．55答案 D解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．跟踪训练(1)将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是()答案 A解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案 C解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N ＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层． 题型二 类比推理典例 (1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{n T n }的公比为( ) A.q2 B ．q 2 C.q D.nq答案 C解析 由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝b n 1(1)2n n q-.∴nT n ＝b 112n q-，∴等比数列{n T n }的公比为q ，故选C.(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练(2018·晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n＋C r＋1n ＝C r＋1n＋1，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是____________．1 112 1133 11464 11510105 1…C0n C1n…C r n…C n－1nC n n图11 21 21 316131 4112112141 5120130120151 613016016013016…1C1n＋1C0n1C1n＋1C1n…1C1n＋1C r n…1C1n＋1C n－1n1C1n＋1C n n图2答案1C1n＋1C r n＝1C1n＋2C r n＋1＋1C1n＋2C r＋1n＋1解析类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C1n＋1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n＋C r＋1n ＝C r＋1n＋1，有1C1n＋1C r n＝1C1n＋2C r n＋1＋1C1n＋2C r＋1n＋1.题型三 演绎推理典例 (2018·保定模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 答案 D解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.(2)已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：①b2 018是数列{a n}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________．①A＝N＋，B＝N；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R；④A ＝Z ，B ＝Q .解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2 018＝⎝⎛⎭⎫2 0182×5⎝⎛⎭⎫2 0182×5＋12＝a 5 045.②由①知b 2k －1＝⎝⎛⎭⎫2k －1＋12×5－1⎝⎛⎭⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2. (2)对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N ＋，所以A ＝N ＋，B ＝N 是“保序同构”的，故排除①； 对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故排除②； 对于③，取f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫πx －π2(0<x <1)， 所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故排除③. ④不符合，故填④.答案 (1)①5 045 ②5k (5k －1)2(2)④1．(2018·衡水模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案 B解析A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C，D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C，D都不正确，只有B正确，故选B. 2．(2018·武汉模拟)观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2答案 B解析由题中式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n－1项，且第一项为n，则最后一项为3n－2，等式右边均为2n－1的平方．3．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.4．(2017·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…等于( ) A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52答案 C解析 设1＋11＋11＋…＝x ，则1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍. 故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 5．(2017·湖北宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是( )A ．甲、丙B ．乙、丁C ．丙、丁D ．乙、丙答案 D解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为D.6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a|·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a b”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n…可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________.答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n ， ∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10 ＝1 100－100＝1 000.8．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，m ，n ，p 是互不相等的正整数，有__________________．答案 b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝1 解析 类比已知条件中等差数列的等式(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，结合等比数列通项公式可得出等比数列的结论为b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝1.9．(2017·青岛模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N ＋)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝______.答案 n ＋22n ＋2解析 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34， f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝34⎝⎛⎭⎫1－19＝23＝46， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝23⎝⎛⎭⎫1－116＝58， 推测f (n )＝n ＋22n ＋2. 10．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为____________________．答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 11．(2018·济南模拟)设f (x )＝13x＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3 ＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)1233x x++=====.12．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2，那么在四面体A—BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图所示，由三角形相似得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.猜想，四面体A—BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ACD.∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.13．(2017·佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为____________．答案 26＋27＋…＋212解析 由题意，如果2n －1是质数，则2n －1(2n －1)是完全数，n ≥2，n ∈N ＋，∴令n ＝7，可得一个四位完全数为64×(128－1)＝8 128，∴8 128＝26＋27＋ (212)14．(2017·厦门模拟)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明：(1)a >0且－2<b a<－1； (2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．证明 (1)因为f (0)>0，f (1)>0，所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0，所以－2<b a<－1. (2)因为抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 3a ，3ac －b 23a ， 又因为－2<b a<－1， 所以13<－b 3a <23. 因为f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝⎛⎭⎫－b 3a ＝3ac －b 23a ＝－a 2＋c 2－ac 3a ＝－⎝⎛⎭⎫a －c 22＋3c 243a <0，所以方程f (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎫0，－b 3a 与⎝⎛⎭⎫－b 3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．15．(2017·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积为________．答案 43πb 2a 解析 椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝⎛⎭⎫π×b 2×a －13π×b 2a ＝43πb 2a . 16．(2017·青岛模拟)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017. 解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f ⎝⎛⎭⎫12＝13×⎝⎛⎭⎫123－12×⎝⎛⎭⎫122＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1.(2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝2， f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 017＝2， f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 017＝2， …，F ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫42 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0162 017＝12×2×2 016＝2 016.。
2022版新教材高考数学一轮复习 10 指数与指数函数训练(含解析)新人教B版
十 指数与指数函数(建议用时 : 45分钟) A 组 全考点巩固练1．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )A BC DD 解析 : 当x ＞0时 , |x |＝x , 此时y ＝a x (0＜a ＜1) ; 当x ＜0时 , |x |＝－x , 此时y ＝－a x(0＜a ＜1) , 那么函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图像的大致形状如下列图．应选D.2．3a ·6－a 等于( ) A ．－－a B ．－a C.－a D.aA 解析 : 由6－a 知a <0 ,故原式＝a ·(－a )＝－(－a )·(－a )＝－(－a )＝－－a .3．函数f (x )＝a x －b 的图像如下列图 , 其中a , b 为常数 , 那么以下结论中正确的选项是( )A ．a >1 , b <0B ．a >1 , b >0C ．0<a <1,0<b <1D ．0<a <1 , b <0D 解析 : (方法一)由题图可知0<a <1 , 当x ＝0时 , a －b ∈(0,1) , 故－b >0 , 得b <0.应选D. (方法二)由题图可知0<a <1 , f (x )的图像可由函数y ＝a x 的图像向左平移得到 , 故－b >0 , 那么b <0.应选D.4．已知a ＝(2) , b ＝2 , c ＝9 , 那么( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <bA 解析 : a ＝(2)＝2＝2 , b ＝2 , c ＝9＝3.由2<3 , 得a <c .由23>25, 得a >b ,所以c >a >b .应选A.5．(多项选择题)已知a ＋a －1＝3 , 在以下各选项中 , 正确的选项是( ) A ．a 2＋a －2＝7 B ．a 3＋a －3＝18 C ．a ＋a＝±5D ．a a ＋1a a＝2 5ABD 解析 : 因为a ＋a －1＝3 , 所以a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝9－2＝7 , 应选项A 正确 ; 因为a ＋a －1＝3 , 所以a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－1＋a －2)＝(a ＋a －1)·[(a ＋ a －1)2－3]＝3×6＝18 , 应选项B 正确 ; 因为a ＋a －1＝3 , 所以(a ＋a )2＝a ＋a －1＋2＝5 , 且a ＞0 , 所以a ＋a ＝ 5 , 应选项C 错误 ; 因为a 3＋a －3＝18 , 且a ＞0 , 所以⎝⎛⎭⎫a a ＋1a a 2＝a 3＋a －3＋2＝20 , 所以a a ＋1a a＝2 5 , 应选项D 正确． 6．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4 , b 为常数)的图像经过点(2,1) , 那么f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1 , ＋∞)C 解析 : 由f (x )的图像过定点(2,1)可知b ＝2.因为f (x )＝3x －2在[2,4]上单调递增 , 所以f (x )min ＝f (2)＝32－2＝1 ; f (x )max ＝f (4)＝34－2＝9.应选C.7．方程4x －2x ＋1－3＝0的解集是__________．x ＝log 23 解析 : 设2x ＝t (t ＞0) , 那么方程变形为t 2－2t －3＝0 , 即(t －3)(t ＋1)＝0 , 解得t ＝3或t ＝－1(舍去)．所以2x ＝3.所以x ＝log 23.8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为________．(－∞ , 1] 解析 : 设u ＝－x 2＋2x ＋1 , 因为y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数 , 所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的单调递增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的单调递增区间为(－∞ , 1] , 所以f (x )的单调递减区间为(－∞ , 1]．B 组 新高考培优练9．(多项选择题)以下说法中 , 正确的选项是( ) A ．当a >0 , 且a ≠1时 , 有a 3>a 2 B ．y ＝(3)－x 是增函数 C ．y ＝2|x |的最小值为1D ．在同一平面直角坐标系中 , y ＝2x 与y ＝2－x 的图像关于y 轴对称CD 解析 : 当a >1时 , a 3>a 2 ; 当0<a <1时 , a 3<a 2 , A 错误．y ＝(3)－x 是减函数 , B 错误．y ＝2|x |的最小值为1 , C 正确．在同一平面直角坐标系中 , y ＝2x 与y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像关于y 轴对称 , D 正确．应选CD.10．(多项选择题)设函数f (x )＝2x , 对于任意的x 1 , x 2(x 1≠x 2) , 以下命题中正确的选项是( )A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0D ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2 ACD 解析 : 2x 1·2 x 2＝2 x 1＋x 2 , 所以A 成立.2 x 1＋2 x 2≠2 x 1·x 2, 所以B 不成立．函数f (x )＝2x, 在R 上是单调递增函数．假设x 1＞x 2 , 那么f (x 1)＞f (x 2) , 那么f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0 ; 假设x 1＜x 2 , 那么f (x 1)＜f (x 2) , 那么f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0 , 故C 正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2说明函数是凹函数 , 而函数f (x )＝2x 是凹函数 , 故D 正确．应选ACD.11．已知函数f (x )＝2x1＋a ·2x 的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 12对称 , 那么a ＝________ , f (x )的值域为________．1 (0,1) 解析 : 依题设f (x )＋f (－x )＝1 , 那么2x1＋a ·2x ＋2－x1＋a ·2－x ＝1 , 整理得(a －1)[4x ＋(a －1)·2x ＋1]＝0. 所以a －1＝0 , 那么a ＝1. 因此f (x )＝2x1＋2x ＝1－11＋2x . 因为1＋2x >1 , 所以0<11＋2x<1 , 所以0<f (x )<1. 故f (x )的值域为(0,1)．12．已知函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图像关于y 轴对称．当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[a , b ]上同时递增或同时递减时 , [a , b ]叫做函数y ＝f (x )的〞不动区间〞．假设[1,2]为函数f (x )＝|2x ＋t |的〞不动区间〞 , 那么实数t 的取值范围为______________．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 －12 解析 : 当t ≥0时 , 函数f (x )＝2x ＋t 在[1,2]上单调递增 , 此时g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋t 在[1,2]上单调递减 , 不满足题意．当t ＜0时 , 函数f (x )＝||2x＋t 的图像与函数g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x＋t 的图像有如下列图的两种情况 , 易知当函数f (x )＝||2x ＋t 的零点x 0＝log 2(－t )满足－1≤x 0≤1时 , 区间[1,2]为函数f (x )＝||2x ＋t 的〞不动区间〞 , 由－1≤log 2(－t )≤1 , 得－2≤t ≤－12.13．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.(1)假设f (x )＝32, 求x 的值 ;(2)假设2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立 , 求实数m 的取值范围． 解 : (1)当x <0时 , f (x )＝0 , 无解． 当x ≥0时 , f (x )＝2x －12x .由2x －12x ＝32,得2×22x －3×2x －2＝0.将上式看成关于2x 的一元二次方程 , 解得2x ＝2或2x ＝－12.因为2x >0 , 所以x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时 , 2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0 , 即m (22t －1)≥－(24t －1)．因为22t －1>0 , 所以m ≥－(22t ＋1)恒成立． 因为t ∈[1,2] , 所以－(22t ＋1)∈[－17 , －5] , 故实数m 的取值范围是[－5 , ＋∞)．。
2022北师大版文科数学高考总复习教师用书：10-4随机事件的概率 Word版含答案
第4讲随机大事的概率最新考纲 1.了解随机大事发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区分；2.了解两个互斥大事的概率加法公式．知识梳理1．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观看某一大事A是否消灭，称n次试验中大事A消灭的次数n A为大事A消灭的频数，称大事A消灭的比例f n(A)＝n An为大事A消灭的频率．(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机大事A发生的频率会在某个常数四周摇摆，即随机大事A发生的频率具有稳定性．这时我们把这个常数叫作随机大事A的概率，记作P(A)．2．大事的关系与运算定义符号表示包含关系假如大事A发生，则大事B肯定发生，这时称大事B包含大事A(或称大事A包含于大事B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B A＝B和大事(并大事)若某大事发生当且仅当大事A发生或大事B发生，称此大事为大事A与大事B的并大事(或和大事)A＋B(或A∪B)交大事(积大事)若某大事发生当且仅当大事A发生且大事B发生，则称此大事为大事A与大事B的交大事(或积大事)A∩B(或AB)互斥大事若A∩B为不行能大事，则称大事A与大事B互斥A∩B＝∅对立大事若A∩B为不行能大事，A∪B为必定大事，那么称大事A与大事B互为对立大事A∩B＝∅P(A＋B)＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必定大事的概率P(E)＝1.(3)不行能大事的概率P(F)＝0.(4)互斥大事概率的加法公式①假如大事A与大事B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②若大事B与大事A互为对立大事，则P(A)＝1－P(B)．诊断自测1．推断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT呈现(1)大事发生的频率与概率是相同的．()(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值．()(3)若随机大事A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述大事中，是对立大事的为()A．①B．②C．③D．④解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且肯定有一个发生．∴②中两大事是对立大事．答案 B3．(2022·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56 B.25C.16D.13解析 设“两人下成和棋”为大事A ，“甲获胜”为大事B .大事A 与B 是互斥大事，所以甲不输的概率P ＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋13＝56. 答案 A4．(2021·威海模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 解析 由题意知，所求概率P ＝17＋1235＝1735. 答案 17355．(2021·长沙模拟)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5，39.5)，7；[39.5,43.5]，3.依据样本的频率分布估量，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________．解析 由条件可知，落在[27.5,43.5]的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约为3366＝12. 答案 12考点一 随机大事间的关系【例1】 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述大事中，是对立大事的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③解析 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种状况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数． 其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种状况，它与两个都是偶数是对立大事．又①②④中的大事可以同时发生，不是对立大事． 答案 C规律方法 (1)本题中精确 理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把全部试验结果写出来，看所求大事包含哪些试验结果，从而断定所给大事的关系．(2)精确 把握互斥大事与对立大事的概念． ①互斥大事是不行能同时发生的大事，但可以同时不发生．②对立大事是特殊的互斥大事，特殊在对立的两个大事不行能都不发生，即有且仅有一个发生． 【训练1】 口袋里装有1红，2白，3黄共6个外形相同的小球，从中取出2球，大事A ＝“取出的2球同色”，B ＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C ＝“取出的2球至少有1个白球”，D ＝“取出的2球不同色”，E ＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列推断中正确的序号为________．①A 与D 为对立大事；②B 与C 是互斥大事；③C 与E 是对立大事；④P (C ＋E )＝1；⑤P (B )＝P (C )．解析 当取出的2个球中一黄一白时，B 与C 都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，大事C 与E 都发生，则③不正确．明显A 与D 是对立大事，①正确；C ＋E 不肯定为必定大事，P (C ∪E )≤1，④不正确．由于P (B )＝45，P (C )＝35，所以⑤不正确． 答案 ①考点二 随机大事的频率与概率【例2】 (2022·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a (单位：元)，连续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数605030302010(1)记A 为大事：(2)记B 为大事：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估量值；(3)求续保人本年度平均保费的估量值．解 (1)大事A 发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估量值为0.55.(2)大事B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估量值为0.3.(3)由所给数据得调查的200×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估量值为1.192 5a.规律方法(1)解题的关键是依据统计图表分析满足条件的大事发生的频数，计算频率，用频率估量概率．(2)频率反映了一个随机大事消灭的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机大事发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，大事发生的频率会渐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机大事概率的估量值.【训练2】(2021·北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估量顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估量为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估量为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估量为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估量为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估量为1001 000＝0.1.所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．考点三互斥大事与对立大事的概率【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A表示大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.由于A＝A1＋A2＋A3，且A1，A2，A3是互斥大事，所以P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7 10.规律方法(1)①求解本题的关键是正确推断各大事的关系，以及把所求大事用已知概率的大事表示出来．②结算时间不超过2分钟的大事，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误．(2)求简单的互斥大事的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求大事的概率分解为一些彼此互斥的大事的概率再求和；二是间接法，先求该大事的对立大事的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法．【训练3】某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的大事分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120.故大事A，B，C的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个大事为M，则M＝A ＋B＋C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为大事N，则大事N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立大事，∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.[思想方法]1．对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估量概率P(A)．2．对立大事不仅两个大事不能同时发生，而且二者必有一个发生．3．求简单的互斥大事的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求大事的概率分解为一些彼此互斥的大事的概率的和，运用互斥大事的求和公式计算．(2)间接法：先求此大事的对立大事的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)．[易错防范]1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．正确生疏互斥大事与对立大事的关系，对立大事是互斥大事，是互斥大事中的特殊状况，但互斥大事不肯定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．需精确理解题意，特殊留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．有一个玩耍，其规章是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，任意两人不能同一个方向．大事“甲向南”与大事“乙向南”是()A．互斥但非对立大事B．对立大事C．相互独立大事D．以上都不对解析由于任意两人不能同一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不行能的，故是互斥大事，但不是对立大事．答案 A2．(2021·合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设大事A＝{抽到一等品}，大事B＝{抽到二等品}，大事C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则大事“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3解析大事“抽到的产品不是一等品”与大事A是对立大事，由于P(A)＝0.65，所以由对立大事的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案 C3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若大事“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率为710的大事是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个大事，它是“2张全是移动卡”的对立大事，因此“至多有一张移动卡”的概率为7 10.答案 A4．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，登记编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，登记编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()A.15 B.16 C.56 D.3536解析设a，b分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有36种不同结果，满足a＝b的基本大事共有6种．所以摸出编号不同的概率P＝1－636＝56.答案 C5．掷一个骰子的试验，大事A表示“消灭小于5的偶数点”，大事B表示“消灭小于5的点数”，若B表示B的对立大事，则一次试验中，大事A＋B发生的概率为()A.13 B.12 C.23 D.56解析掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝26＝13，P(B)＝46＝23，∴P(B)＝1－P(B)＝1－23＝13，∵B表示“消灭5点或6点”的大事，因此大事A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝13＋13＝23.答案 C二、填空题6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次消灭正面，因此正面消灭的概率是37；③随机大事发生的频率就是这个随机大事发生的概率．解析①错，不肯定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案07．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现接受随机模拟的方法估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989据此估量，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．解析20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝520＝14.答案1 48．某城市2021年的空气质量状况如表所示：其中污染指数T≤＜T≤150时，空气质量为稍微污染，则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为________．解析由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为P＝110＋16＋13＝35.答案35三、解答题9．某班选派5人，参与学校进行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)若获奖人数不超过2(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．解记大事“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k∈N，k≤5)，则大事A k彼此互斥．(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.10．(2021·陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气状况进行统计，结果如下：(1)在(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开头进行连续2天的运动会，估量运动会期间不下雨的概率．解(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估量概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f＝1416＝78.以频率估量概率，运动会期间不下雨的概率为78.力量提升题组(建议用时：20分钟)11．设大事A，B，已知P(A)＝15，P(B)＝13，P(A＋B)＝815，则A，B之间的关系肯定为()A．两个任意大事B．互斥大事C．非互斥大事D．对立大事解析由于P(A)＋P(B)＝15＋13＝815＝P(A＋B)，所以A，B之间的关系肯定为互斥大事．答案 B12.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率是()A.25 B.710 C.45 D.910解析设被污损的数字为x，则x甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90，x乙＝15(83＋83＋87＋99＋90＋x)，若x甲＝x乙，则x＝8.若x甲＞x乙，则x可以为0,1,2,3,4,5,6,7，故P＝810＝45.答案 C13．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，大事A表示“朝上一面的数是奇数”，大事B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝________.解析将大事A＋B分为：大事C“朝上一面的数为1,2”与大事D“朝上一面的数为3,5”．则C，D互斥，且P(C)＝13，P(D)＝13，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝2 3.答案2 314．(2021·宝鸡调研)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆数(辆)500130100150120(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解(1)设A表示大事“赔付金额为3 000元”，B表示大事“赔付金额为4 000元”，以频率估量概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估量概率得P(C)＝0.24.特殊提示：老师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
高考总复习 数学文科 (新人教B版)--第七章 第2节--(附解析及答案)
第2节均值不等式及其应用最新考纲 1.了解均值不等式的证明过程；2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.均值不等式：ab≤a＋b2(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[微点提醒]1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是相同的.( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx≥2的充要条件.( ) 解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修5P73B2改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A.9B.18C.36D.81 解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.答案 A。
2019版高考数学大一轮复习人教B版全国通用文档：第十章 计数原理10.3 Word版含答案
§10.3 二项式定理 最新考纲 考情考向分析 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.1．二项式定理 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N ＋) 二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 二项式系数二项展开式中各项的系数C r n (r ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n＝1. C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n －m n .(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项12n T +的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数相等且最大．(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . 知识拓展二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n a n －r b r 是二项展开式的第r 项．( × ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ )(4)(a －b )n 的展开式第r ＋1项的系数为C r n a n －r b r .( × ) (5)(x －1)n 的展开式二项式系数和为－2n .( × )题组二 教材改编2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )A ．80B ．40C ．20D ．10答案 B解析 T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝C r 52r x r ，当r ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40. 3．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10B ．20C ．30D ．120 答案 B解析 二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 6x 6－2r ，当6－2r ＝0，即当r ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.4．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.题组三 易错自纠5．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( )A ．C m nB ．C m ＋1n C ．C m －1n D ．(－1)m －1C m －1n 答案 D。
新教材2022版新高考数学人教B版一轮复习学案：第10章第2节二项式定理Word版含解析
第2节二项式定理一、教材概念·结论·性质重现1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)二项展开式的通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示展开式的第k＋1项二项式系数C k n(k＝0,1,2，…，n)(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．2．二项式系数的性质二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项．( × )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ )(4)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k中的a 和b 不能互换．( √ ) (5)(a ＋b )n 的展示式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( √ )2．(1－2x )4展开式中第3项的二项式系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24D ．－24A 解析：(1－2x )4展开式中第3项的二项式系数为C 24＝6.故选A. 3．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 3y 2的系数是( )A ．5B ．－20C ．20D ．－5A 解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的通项公式为T k ＋1＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－k (－2y )k.根据题意，得⎩⎨⎧5－k ＝3，k ＝2，解得k ＝2.所以x 3y 2的系数是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123×(－2)2＝5.故选A.4．(2020·天津联考)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2a x 8的展开式中常数项为112，则实数a 的值为( )A ．±1B ．1C ．2D ．±2A 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2a x 8展开式中的通项公式为 T k ＋1＝C k 8(3x )8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a x k ＝C k 8(－2a )k x 8－k 3－k .令8－k 3－k ＝0，求得k ＝2，所以它的展开式的常数项是C 28(－2a )2. 再根据展开式中的常数项是112，可得C 28(－2a )2＝112，求得a ＝±1.故选A. 5．(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为________．－15 解析：(x ＋1)5(x －2)＝x (x ＋1)5－2(x ＋1)5展开式中含有x 2的项为－20x 2＋5x 2＝－15x 2.故x 2的系数为－15.6．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．8 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0.令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.考点1 二项展开式的通项公式及其应用——基础性考向1 求二项展开式中的特定项(1)(2020·全国卷Ⅲ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是________(用数字作答)．240 解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝2k C k 6x 12－3k.令12－3k ＝0，解得k ＝4，故常数项为24C 46＝240.(2)(2019·浙江卷)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．162 5 解析：由题意，(2＋x )9的通项公式为T k ＋1＝C k 9(2)9－k ·x k(k ＝0,1,2，…，9)．当k ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝16 2.若展开式的系数为有理数，则k ＝1,3,5,7,9，有T 2，T 4，T 6，T 8，T 10共5个．求二项展开式中特定项的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k ；第三步，把k 代入通项公式中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量．考向2 形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式(1)(2020·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20C 解析：要求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可．由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35＝10，x 4y的系数为C 15＝5，故⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C.(2)(x 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是( )A ．5B ．－10C ．－32D ．－42D 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的通项公式为C k 5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－k ×(－2)k ＝C k 5×(－2)k ×x k －52.令k －52＝0，解得k ＝5；令k －52＝－2，得k ＝1.故(x 2＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是C 15×(－2)＋C 55×(－2)5＝－42.求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )n (c ＋d )m 是否可以合并，如(1＋x )5·(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5·(1－x )2.(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑． 考向3 形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60C 解析：(方法一)(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25×C 13＝30.(方法二)(x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积，所以x 5y 2可从其中5个因式中，2个取因式中的x 2，剩余的3个因式中1个取x,2个因式取y ，因此x 5y 2的系数为C 25C 13C 22＝30.求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．1．(2020·海淀区高三一模)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．－120B ．120C ．－160D ．160C 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2x 6展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k 2k C k 6x 2k －6.令2k －6＝0，得k ＝3.所以常数项为T 3＋1＝(－1)323C 36＝－160.故选C.2．(2021·烟台模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10B 解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的展开式的各项系数和为243，令x ＝1，得3n ＝243，即n ＝5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5，则T k ＋1＝C k 5·(x 3)5－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝2k ·C k 5·x 15－4k.令15－4k ＝7，得k ＝2，所以展开式中x 7的系数为22×C 25＝40.3．(2021·八省联考)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是( )A．60 B．80C．84 D．120D解析：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是C22＋C23＋C24＋…＋C29.因为C22＝C33，所以C22＋C23＝C33＋C23＝C34.所以C22＋C23＋C24＝C24＋C34＝C35.以此类推，C22＋C23＋C24＋…＋C29＝C39＋C29＝C310＝10×9×83×2×1＝120.4．(2020·攀枝花市高三三模)(x2－x－2)3的展开式中，含x4的项的系数是()A．9 B．－9C．3 D．－3D解析：因为(x2－x－2)3＝(x－2)3(x＋1)3，所以含x4的项为C03x3·C23x＋C13 x2(－2)·C13x2＋C23x×(－2)2·C03x3＝－3x4.故选D.考点2二项式系数与各项的系数和问题——基础性(1)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A．－960 B．960C．1 120 D．1 680C解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C48(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120.故选C.(2)(2020·哈尔滨市第一中学高三一模)若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝()A．28－1 B．28C．38－1 D．38D解析：由题可知，x的奇数次幂的系数均为负数，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 8|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8. 因为(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝38， 则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 8|＝38.故选D.(1)赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立．因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取1，－1或0，有时也取其他值．如：①形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可；②形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中， ①各项系数之和为f (1)；②奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2；③偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.1．(2020·广西高三5月联考)若(a ＋x 2)(1＋x )n 的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x 4的系数为( )A ．30B ．45C ．60D ．81B 解析：令x ＝0，得a ＝2，所以(a ＋x 2)(1＋x )n ＝(2＋x 2)(1＋x )n .令x ＝1，得3×2n ＝192，所以n ＝6.故该展开式中x 4的系数为2C 46＋C 26＝45.故选B.2．(2020·大同一中高三一模)若a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋a 3(2x －1)3＋a 4(2x －1)4＋a 5(2x －1)5＝x 5，则a 2的值为( )A.54B.58C.516D.532C 解析：因为x 5＝132[(2x －1)＋1]5，所以二项式[(2x －1)＋1]5的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5·(2x －1)5－k ×1k ＝C k 5·(2x －1)5－k .令k ＝3，所以T 4＝C 35·(2x －1)2.因此有a 2＝132·C 35＝132·C 25＝132×5×42＝516.故选C.3．(多选题)(2020·南京市高三开学考试)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120ABC 解析：令x ＝0，得a 0＝2，故A 正确．2×(－2)5C 55＋(－2)4C 45＝16，故a 5＝16，B 正确．令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3①.又a 0＝2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－5，故C 正确．令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝243②.由①②得a 1＋a 3＋a 5＝－123，D 错误．故选ABC.考点3 二项式系数的性质——综合性考向1 二项式系数的最值问题(2020·大庆市高三三模)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是( )A ．－462B ．462C ．792D ．－792D 解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以n 为偶数，展开式共有13项，则n ＝12.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 12的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k C k 12 x 12－2k .令12－2k ＝2，得k ＝5.所以展开式中含x 2项的系数是(－1)5C 512＝－792.故选D.考向2 项的系数的最值问题(1)(2020·邵阳市高三第一次联考)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝ ( )A ．5B ．6C ．7D ．8B 解析：由题意可知C m 2m ＝a ，C m 2m ＋1＝b .因为13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，即13(2m )！m ！m ！＝7(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，所以13＝7·2m ＋1m ＋1，解得m ＝6.故选B.(2)(2020·延安市第一中学高三月考)已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：①展开式中二项式系数最大的项； ②展开式中系数最大的项．解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ， 所以22n －2n ＝992，n ＝5.①因为n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3,4两项，所以T 3＝C 25(x )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x )2(3x 2)3＝270x .②设展开式中第r ＋1项系数最大，则T r ＋1＝C r 5(x )5－r (3x 2)r ＝3r C r 5x.所以⎩⎨⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15.解得72≤r ≤92.所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大，T 5＝405x 263.1．二项式系数最大项的确定方法当n 为偶数时，展开式中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大，最大值为或.2．二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k 即可．1．(2020·绵阳高三三模)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n的展开式中，仅第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为( )A ．－360B ．－160C ．160D ．360B 解析：因为展开式中，仅第4项的二项式系数最大， 所以展开式共有7项．所以n ＝6.所以展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k 6x 6－2k. 由6－2k ＝0得k ＝3，即常数项为T 4＝(－2)3C 36＝－160.故选B.2．已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．C 715(3x )7和C 815(3x )8 解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n ＝121，则12n (n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8.(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4B ．－3C ．3D ．4[四字程序] 读想算思展开式中x 的系数1.二项展开式的项与系数； 2．展开式的通项公式两个乘积式各自用展开式的通项公式计算系数转化(1－x )6· (1＋x )4第k ＋1项T k ＋1＝C k n an －k b k T k ＋1＝C k n an －k b k1.通项公式法； 2．组合数生成法思路参考：直接利用两个二项展开式的通项公式乘积获得x 的系数．B 解析：(1－x )6的展开式的通项公式为C m 6·(－x )m ＝C m6(－1)m x ，(1＋x )4的展开式的通项公式为C n 4·(x )n ＝C n 4x ，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.思路参考：将两个二项式化成一个二项展开式与一个多项式乘积的形式，再利用二项展开式的通项公式．B 解析：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )．于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14(－1)1×1＝－3.思路参考：利用组合的知识求解x 的系数．B 解析：在(1－x )6(1＋x )4的展开式中要出现x ，可以分为以下三种情况： ①(1－x )6中选2个(－x )，(1＋x )4中选0个x 作积，这样得到的x 的系数为C 26·C 04＝15；②(1－x )6中选1个(－x )，(1＋x )4中选1个x 作积，这样得到的x 的系数为C 16(－1)1·C 14＝－24；③(1－x)6中选0个(－x)，(1＋x)4中选2个x作积，这样得到的x的系数为C06·C24＝6.所以x的系数为15－24＋6＝－3.故选B.二项式定理是必考内容，主要以通项公式为主，考查系数问题，解法灵活多变，借助二项展开式的通项公式，在每个二项展开式中求出各自的通项公式，最后利用展开式中系数的生成法求出结果．解答本题需要一定的运算能力和推理能力，体现了逻辑推理及数学运算的素养．在(x2＋2x＋1)2(x－1)5的展开式中，x4的系数为()A．－6 B．6C．10 D．4A解析：(x2＋2x＋1)2(x－1)5＝(x＋1)4(x－1)5＝(1＋x)4(－1＋x)5.因为(1＋x)4的展开式的通项公式为T r＝C r4·14－r·x r＝C r4x r，(－1＋x)5的展开＋1＝C k5·(－1)5－k·x k，式的通项公式为T k＋1则展开式中含x4的项需满足r＋k＝4，所以展开式中x4的系数为C04C45·(－1)＋C14C35·(－1)2＋C24C25·(－1)3＋C34C15·(－1)4＋C44C05·(－1)5＝－5＋40－60＋20－1＝－6.故选A.。
高考总复习 数学文科 (北师大版)--第十章 第5节--(附解析及答案)
第5节古典概型最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.知识梳理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝m n.4.古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. [微点提醒]概率的一般加法公式P (A +B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A +B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( )(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，所有可能结果不是有限个，不是古典概型，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修3P135例2改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( )A.25B.415C.35D.非以上答案解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p ＝615＝25. 答案 A3.(必修3P157A7改编)某人有4把钥匙，其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________. 解析 第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开的概率为2×24×3＝13； 如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为2×24×4＝14. 答案 13 14。
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第5节古典概型
最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知识梳理
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能
性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1
n；如果某个事件
A包括
的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝m n.
4.古典概型的概率公式
P (A )＝A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数.
[微点提醒]
概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( )
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )
解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，所有可能结果不是有限个，
不是古典概型，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(必修3P108B2改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( )
A.25
B.415
C.35
D.非以上答案
解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，
则所求概率为p ＝615＝25
. 答案 A
3.(必修3P107A2改编)某人有4把钥匙，其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________. 解析 第二次打开门，说明第一次没有打开门，
故第二次打开的概率为2×24×3＝13
； 如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为2×24×4＝14
. 答案 13 14。