数值分析李庆扬第五版第三章数值积分
数值分析第五版李庆扬王能超课件第3章(2)
复化求积公式
h2 h2 6 上例中若要求 | I Tn | 10 ，则 | Rn [ f ] | | f (1) f (0) | 10 12 6
6
h 0.00244949 即：取 n = 409
通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 可用来判断迭代 上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202 是否停止。 2 1 h 1 注意到区间再次对分时 R2 n [ f ] [ f (b) f (a )] Rn [ f ]
Romberg
T1 = T0( 0 )
<?
算法： T4 = T0( 2 )
T8 = T0
(3)
T2 = T0( 1 )
S1 = T1( 0 )
S2 = T1 S4 = T1
(1) (2)
<?
C1 = T2 C2 = T2
(0) (1)
<?
………………
R1 = T3
第二讲
§1. 复化求积公式
§2. 龙贝格求积公式
高次插值有Runge 现象，故采用分段低 次插值
分段低次合成的 Newton-Cotes 复 合求积公式。
§ 1. 复化求积公式 § 1.拉格朗日插值
2.1 复化梯形公式 1.1 拉格朗日插值
1.2 复化辛普森公式
1.1 复化梯形公式
ba 复合梯形公式： h , xk a k h n
4T2 n Tn 4 1 T2 n Tn 来计算 I 效果是否好些？ 4 1 3 3 Romberg 序列
4 1 T8 T4 = 3.141592502 = S 4 3 3 4T2 n Tn 42 S2n Sn Sn 一般有： Cn 2 41 4 1
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。
《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。
绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。
绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。
有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。
插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。
它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。
差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。
通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)
b
( f , g) f (x)g(x)dx a
函数族{ 0, 1, …, n}C [a , b]在[a ,b]上线性无关，必须满足矩阵 G 的行列式不等于 0
(1,1) (1,2 ) ... (1,n )
G (2,1)
(2 ,2 )
...
(2
,
n
)
， det G 0 。
...
... ... ...
|| f (x) p*(x) ||2 min || f (x) pn(x) ||2
取 2-范数，则
b
|| f (x) p*(x) ||2 min { f (x) pn (x)}2 dx a
问题：为什么选择不同的范数求解？ 由于各种范数的收敛性保持一致，因此可以选择最有利于求解的范数进行求解。 5、什么是[ a , b ]上带权 (x)的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什么重要 性质？ 解：
3 k 0
f
(
k 3
)
3 k
xk
(1
x)3k
f
(0)
3 0
x0
(1
x)30
f
(
1) 3
3 1
x1
(1
x)2
f
(
2 3
)
3 2
x
2
(1
x)1
f
(1)
3 3
x3
(1
x)0
3 x 1 x2 x3 22
注意：伯恩斯坦多项式在0,1 上有效，如果区间超出，则应进行区间不变。那么常系数 1
（8）三角最小平方逼近与三角插值都要计算 N 点 DFT，所以他们没有任何区别。
（9）只有点数 N 2p 的 DFT 采能用 FFT 算法，所以 FFT 算法意义不大。
《数值分析》李庆杨,第五版第3章课件
n
（1.12）
向量2-范数为
x ( x, x) ( xi2 )
i 1 1 2 n 1 2
2
28
若给定实数 i 0(i 1,2,, n), 称{i } 为权系数，
R n 上的加权内积为
( x, y ) i xi yi
p( x) H n 表示为
p( x) a0 a1 x an x n ,
它由 n 1 个系数 (a0 , a1 ,, an ) 唯一确定.
（1.2）
1, x, , x n是线性无关的， 它是 H n 的一组基，故
H n span{1, x, , x n },
且 (a0 , a1 ,, an ) 是 p (x) 的坐标向量，H n 是 n 1维的.
17
类似地，对连续函数空间 C[a, b] ，若 f ( x) C[a, b] ,
可定义三种常用范数如下：
f
f
max f ( x) ,
a x b
b
称为 范数， 称为 1-范数，
1 2
1
a
f ( x) dx,
b
f
2
( f 2 ( x)dx) ,
a
称为 2-范数.
可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.
（1.7）
称为格拉姆(Gram)矩阵， 则 G 非奇异的充分必要条件是 u1 , u2 ,, un 线性无关.
24
证明 方程组
G非奇异等价于 det G 0，其充要条件是齐次
( j u j , uk ) (u j , uk ) j 0, k 1,2, , n（1.8）
第3章
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
数值分析课程课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析报告第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题问题详解
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析第五版_李庆扬
数值分析第五版_李庆扬数值分析第五版_李庆扬一、课程基本信息课程中文名称：数值分析课程英文名称：Numerical Analysis课程类别：专业基础课开课学期：秋适用专业：信息与计算科学；应用数学总学时：86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）总学分：5（理论课3学分；上机实习2学分）预修课程（编号）：数学分析，高等代数，常微分方程课程简介：本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。
本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。
是应用数学的重要分支之一。
建议教材：《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书：[1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年；[2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年；[3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年[4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社2008年[5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司20036、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。
二、理论课程教育目标通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。
三、理论教学内容与要求（含学时）第一章：计算方法的一般概念（4学时）本章教学内容：理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。
第二章：解线性方程组的直接法（8学时）本章教学内容：1、高斯消去法；选主元的高斯消去法；2、矩阵的LR分解；解三对角方程组的追赶法；解方程组的平方根法；矩阵的求逆；3、方程组的数；病态方程组的判断。
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二、代数精度的概念
定义1 若一个求积公式 对于所有次数不超过m的多项式 都准确成立, 而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成 立, 则称该求积公式具有m次代数精度.
依次取ƒ(x)=1,x,x2…验证求积公式是否成立, 若第一个不成立 的等式是ƒ(x)=xm+1,则其代数精度是m.
即满足
1 dx
n 1 i 0
f ( )x ,
i 0 i i
n 1
如果 lim f ( i )xi , max{xi } 存在，
0
则称 f ( x ) 可积，极限值称为函数 f ( x ) 在区间[a,b]上的 定积分，记为:
b
a
f ( x )dx
Riemann积分
黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家 之一,著作不多，却异常深刻，富于对概念
极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下
三种情况：
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：
1
0
1 sin x x2 dx和 e dx 0 x
Newton-Leibnitz公式就无能为力了 (2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，被 积函数表达式不太复杂， 但积分后其表达式却很复杂。 例如函数
2、积分的计算 Riemann积分从定义上基本不可算
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi , max{xi }
0
i 0
n1
Newton-Leibniz公式
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
其中 F ( x ) C f ( x )dx
Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题，这时需
要用数值解法来建立积分的近似计算方法。 将积分区间细分，在每一个小区间内用简单函 数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想， 用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分
是本章讨论数值积分的主要内容。
一、数值积分的基本思想
积分值 I a f ( x)dx 在几何上可以解释为由 x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯 形面积。如下图所示，而这个面积之所以难于计算 是因为它有一条曲边 y=f(x)
的创造与想象，思想极其深邃难以理解。许
多奠基性、创造性的工作，直接影响了19 世纪以后的数学发展，在黎曼思想的影响下
数学许多分支取得了辉煌成就。
■ 黎曼几何、流形、微分流形、椭圆几何的创始人 爱因斯坦用黎曼几何将广义相对论几何化；黎曼几何是现代 理论物理必备的数学基础。
■ 完善微积分理论的出杰b
如梯形公式
ba a f ( x )dx 2 [ f (a ) f (b)] b ba [ f (a ) f (b)] b a a 1dx b a 2 b 1 2 ba ba 2 x dx ( b a ) [ f (a ) f (b)] (a b) a 2 2 2 b 2 1 3 3 ba ba 2 2 x dx ( b a ) [ f ( a ) f ( b )] ( a b ) a 3 2 2
b
y=f(x)
a
b
问题的提出和解决办法 :
I = f ( x)dx f ( )(b a).
a
b
左矩形公式 右矩形公式
I (b a) f (a) I (b a) f (b)
ab ) 中矩形公式 I (b a ) f ( 2 (b a ) I [ f (a ) f (b)] 梯形公式 2 (b a) ab [ f (a) 4 f ( ) f (b)] Simpson公式 I 6 2
微积分理论严谨性论证的杰出贡献者有：黎曼、波尔查诺、柯
西、阿贝尔、狄利克莱、维尔斯特拉斯等等。柯西证明连续函 数必定可积，黎曼指出可积函数不一定连续。黎曼推广了博里 叶展开式成立的狄利克莱条件，即三角级数收敛的黎曼条件等 等。
■ 解析数论、与复变函数的里程碑
■ 组合拓扑的开拓者 ■ 代数几何的奠基人 ■ 在数学物理、微分方程等领域贡献卓著
求解
f ( x )dx 的方法：
第一类换元（凑微分）、第二类换元、分部积分 有理函数。
F ( x ) C f ( x )dx
如果 F ( x ) 为初等函数，能得到 F ( x ) 的 f ( x ) 远远少于得不到 F ( x ) 的 f ( x )
理论求解定积分基本看运气
求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式 无论在理论上 还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完 全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题
f ( x) x 2 2x 2 3
积分后其原函数F(x)为：
1 2 3 9 2 2 F ( x) x 2 x 3 x 2 x 3 ln( 2 x x 2 2 x 2 3 ) 4 16 16 2
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式，其函数
关系由表格或图形表示。 对于这些情况，要计算积分的准确值都是十分困难 的。由此可见，通过原函数来计算定积分有它的局 限性，因而研究一种新的积分方法来解决Newton-
回顾我们高等数学所学定积分的求取 求积公式
b
a
f ( x)dx f ( xk )xk wk f k
k 0 k 0
n
n
xk wk
n
f ( xk ) fk
求积系数 求积节点值
Rn f ( x)dx wk f ( xk )
b a k 0
为截断误差,又称求积余项.
b
第三章
§3.1 引言
数值积分
§3.2 牛顿—柯特斯公式 §3.3 复化求积公式 §3.4 龙贝格求积公式
§3.1 引言
1、积分的概念
设 f ( x ) C[a, b], a x0 x1 xn b
任取 i [ xi , xi 1 ], i 0,1,2,, n 1. 做