数列的极限与函数的导数
导数在数列极限中的应用
导数在数列极限中的应用数列极限是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们理解数学关系的本质，以及不同类型的数量间的联系。
导数在数列极限中也扮演着重要的角色。
其主要作用是描述数列中变化量的大小，从而使我们能够更好地分析数列的特征。
一般而言，导数可以是正数、负数或零。
当导数为正数时，数列的变化量是增大的，而当导数为负数时，数列的变化量是减小的。
此外，当导数为零时，数列的变化量是不变的。
这就是导数在数列极限中的应用函数的变化率可以用它来表示。
在数学分析中，导数还可以用来分析数列的特征。
例如，给定一个数列，当其第一项的导数大于零时，该数列一定是单调递增的；反之，当其第一项的导数小于等于零时，该数列一定是单调递减的。
此外，当一个数列的第二项的导数大于零时，该数列的变化量会越来越快，而当其第二项的导数小于零时，该数列的变化量会越来越慢。
这种性质很重要，因为它可以帮助我们更好地理解数列特征，从而使我们能够对特定数列进行更有效的分析。
此外，在研究极限和连续函数时，导数也可以发挥重要作用。
我们知道，连续函数在极限中是无穷小量，如果我们知道连续函数的导数值，那么就可以算出该函数的递增量，从而更好地理解其变化特征。
另外，导数在应用极限的概念时也有重要的作用。
在某些情况下，我们可以用导数来计算一个函数的极限。
这一点非常重要，因为极限有助于我们确定数列的构成以及数量的变化趋势。
总之，导数在数列极限中发挥着重要的作用。
它不仅可以帮助我们了解数列的特性，还可以用来计算连续函数的极限。
对于数学家而言，导数就像一个分析数学关系的桥梁，使我们能够理解更多的数学知识。
综上所述，导数是一种重要的数学概念，它在数列极限中的应用十分广泛。
要想更好地了解数列特征，必须熟练掌握导数的概念和计算方法，以及对导数的运用等方面的知识。
高等数学零基础入门教程
高等数学零基础入门教程第一章：数列与极限1.1 什么是数列？数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
例如：1，2，3，4，5，...就是一个数列，其中的规律是每个数比前一个数大1。
1.2 数列的分类数列可以分为等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中的每两个相邻项之差为常数，而等比数列是指数列中的每两个相邻项之比为常数。
1.3 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的规律，找到数列中第n项与n的关系的公式。
通项公式可以帮助我们快速计算数列中任意一项的值。
1.4 极限的概念在数学中，极限是指当自变量趋近于某个值时，函数或数列相应的取值趋近于某个值的过程。
极限可以帮助我们研究函数或数列在某一点的行为特性。
第二章：导数与微分2.1 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点的变化率，它可以帮助我们研究函数的增减性、最值等性质。
导数的计算可以通过求导公式或几何意义进行。
2.2 导数的性质导数具有线性性、乘法法则、链式法则等性质，这些性质可以简化导数的计算过程，并帮助我们更好地理解函数的特性。
2.3 高阶导数除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等。
高阶导数可以帮助我们研究函数更加详细的性质。
2.4 微分的概念微分是导数的一种形式，它描述了函数在某一点的变化量与自变量变化量之间的关系。
微分在近似计算、最值求解等问题中具有广泛的应用。
第三章：积分与定积分3.1 不定积分不定积分是求解函数的原函数的过程，它是导数的逆运算。
不定积分可以帮助我们求解函数的积分表达式。
3.2 定积分的概念定积分是求解函数在某个区间上的累积效应的过程。
定积分可以帮助我们计算曲线下的面积、弧长、体积等物理问题。
3.3 定积分的性质定积分具有线性性、区间可加性、积分中值定理等性质，这些性质可以简化定积分的计算过程，并帮助我们更好地理解积分的含义。
3.4 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是导数与积分之间的重要关系，它描述了函数在某个区间上的积分与该区间两端点的原函数值之差的关系。
高中数学-公式-极限与导数
极限与导数一、极限1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→nn ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S n n -==∞→1lim 1(0<1<q ); 2、函数的极限：(1)当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim (2)当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 00: 3、函数的连续性：(1)如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；(2)若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续； (3)若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4、连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→；二、导数1、导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000； 2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 );()(x f x x f y -∆+=∆ (2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; (3)取极限,得导数x y x f x ∆∆='→∆0lim )(; 3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4、导数的几何意义：曲线y ＝f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5、导数的四则运算法则：v u v u '±'='±)( ///[()()]()()f x g x f x g x ±=± v u v u uv '+'=')( []()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 推论：[]()()cf x cf x ''=(C 为常数)2)(v v u v u v u '-'=' []2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 6、复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'=' 7、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
工科数学分析大一知识点总结
工科数学分析大一知识点总结大一工科数学分析知识点总结工科数学分析是工科学生大一必修的一门课程，主要介绍了数列、极限、导数、微分、积分等基本概念和计算方法。
本文将对大一工科数学分析的知识点进行总结。
一、数列与极限1. 数列的定义和性质：数列是按照一定规律排列的数的集合。
常见数列有等差数列、等比数列等。
数列有界的概念和数列极限的概念也需要了解。
2. 极限的定义和性质：极限是数列逐渐趋向于某个值的过程。
可以通过极限的唯一性、夹逼定理等性质求解极限。
3. 常见的数列极限：包括常数列、幂函数列、指数函数列、对数函数列等。
二、函数与导数1. 函数的定义和性质：函数是一种对应关系，将自变量的取值映射到因变量的取值。
函数的定义域、值域、图像等概念需要了解。
2. 导数的概念和性质：导数描述了函数在某一点上的变化率。
导数的定义、求导法则、高阶导数等需要掌握。
3. 常见函数的导数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数计算。
三、微分学应用1. 微分中值定理和导数的应用：包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，以及函数的单调性、极值等问题。
2. 泰勒展开和泰勒级数：泰勒展开是将函数表示为无穷级数的形式，可以用于计算函数的近似值。
四、积分学1. 不定积分的定义和性质：不定积分是求解导数的逆过程，表示函数的原函数。
不定积分的基本性质和计算方法需要掌握。
2. 定积分与积分中值定理：定积分用于计算曲线下面的面积或弧长等问题。
积分中值定理可以用于计算定积分的近似值。
3. 常见函数的积分：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的积分计算。
总结：通过对大一工科数学分析的学习，我们可以掌握数列与极限、函数与导数、微分学应用、积分学等基本知识和计算方法。
这些知识点对于工科学生的后续学习和工作都具有重要意义，因此需要认真学习和掌握。
以上就是大一工科数学分析的知识点总结，希望对你有所帮助。
通过深入理解和充分练习，相信你能够顺利掌握这门课程的内容。
MBA数学辅导：极限、连续、导数、积分的概念
MBA数学辅导：极限、连续、导数、积分的概念极限的概念是整个微积分的基础，需要深刻地理解，由极限的概念才能引出连续、导数、积分等概念。
极限的概念首先是从数列的极限引出的。
对于任意小的正数E，如果存在自然数M，使所有N》M时，|A(N)-A|都小于E，则数列的极限为A。
极限不是相等，而是无限接近。
而函数的极限是指在X0的一个临域内(不包含X0这一点)，如果对于任意小的正数E，都存在正数Q，使所有(X0-Q，X0+Q)内的点，都满足|F(X)-A|《E，则F(X)在X0点的极限为A。
很多求极限的题目都可以用极限的定义直接求出。
例如F(X)=(X^2-3X+2)/(X-2), X=2不在函数定义域内，但对于任何X不等于2，F(X)=X-1，因此在X无限接近2，但不等于2时，F(X)无限接近1，因此F(X)在2处的极限为1。
连续的概念。
如果函数在X0的极限存在，函数在X0有定义，而且极限值等于函数值，则称F(X)在X0点连续。
以上的三个条件缺一不可。
在上例中，F(X)在X=2时极限存在，但在X=2这一点没有定义，所以函数在X=2不连续;如果我们定义F(2)=1，补上“缺口”，则函数在X=2变成连续的;如果我们定义F(2)=3，虽然函数在X=2时，极限值和函数值都存在，但不相等，那么函数在X=2还是不连续。
由连续又引出了左极限、右极限和左连续、右连续的概念。
函数值等于左极限为左连续，函数值等于右极限为右连续。
如果函数在X0点左右极限都存在，且都等于函数值，则函数在X=X0时连续。
这个定义是解决分段函数连续问题的最重要的、几乎是唯一的方法。
如果函数在某个区间内每一点都连续，在区间的左右端点分别左右连续(对闭区间而言)，则称函数在这个区间上连续。
导数的概念。
导数是函数的变化率，直观地看是指切线的斜率。
略有不同的是，切线可以平行于Y轴，此时斜率为无穷大，因此导数不存在，但切线存在。
导数的求法也是一个极限的求法。
23考研数二范围
23考研数二范围数学二是考研数学中的一门重要科目，覆盖的知识点较多，广泛应用于各个领域，对考生的数学基础要求也较高。
本文将对考研数学二的范围进行详细介绍。
一、数列和数列极限数列是数学中一种基本的数学对象，指的是按照一定规律排列起来的一组数。
考研数学二中，数列和数列极限是一个重要的考点。
涉及到常数列、等差数列、等比数列等。
在考试中，常常会考察数列的性质、收敛性与发散性等相关概念，并通过题目考查学生对数列极限的求解能力。
二、函数函数是数学中的一个重要概念，广泛用于数学和理工科学科中。
考研数学二中的函数包括基本初等函数、常见函数及其性质以及函数的连续性与可导性等。
在考试中，考生需要对各类函数进行熟练的运算和分析，并能够解决与函数相关的各类问题。
三、导数与微分导数是函数微分学的一个基本概念，指的是函数在某一点的变化率。
微分则是导数的一个重要应用，是微积分中的一个重要概念。
在考研数学二中，导数和微分是重要的考察内容，着重考察学生对导数定义、导数法则以及微分的计算与应用能力。
四、不定积分不定积分是微积分中的一个重要概念，是求解函数原函数的一种方法。
在考研数学二中，考生需要熟练掌握函数求不定积分的方法与技巧，并具备利用不定积分解决实际问题的能力。
五、定积分定积分是微积分中的一个重要内容，主要用于计算曲线下面积、求解定积分的计算与应用。
在考研数学二中，考生需要对定积分的性质和计算方法熟练掌握，包括定积分的性质、换元法、分部积分法、定积分的应用等。
六、级数级数是数学中一个重要的概念，指的是把一列数相加得到的无穷和。
在考研数学二中，级数以及级数收敛性的讨论是一个重要的考察内容。
考生需要了解级数的概念、级数的性质、收敛级数与发散级数的判定方法等，同时还要具备解决与级数相关的各类问题的能力。
七、解析几何解析几何是数学中的一个分支学科，主要研究几何问题的解析方法与解析性质。
在考研数学二中，解析几何是一个重要的考点。
考生需要掌握解析几何的基本概念、基本性质以及常见图形的解析几何表示等，并具备解决与解析几何相关的各类问题的能力。
极限和连续、导 数
【极限和连续】解决两个问题：○1如何求极限；○2如何解读、应用极限 （一）数列极限1、常用数列的极限：①lim n →∞C=C （常数列的极限就是这个常数）②1lim0n n→∞= ③设||1q <，则lim 0n n q →∞=；1,lim 1nn q q →∞==；,1-=q 或nn q q ∞→>lim ,1不存在。
其它不数列常常通过以下方式：○1分子分母同时除以n 的最高次项（最该次项系数比）；○2分子分母同时除以 |底数|大的，从而产生设||1q <，则lim 0n n q →∞=进行应用； ○3分子分母有理化 ○4若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为： 2、数列极限的运算法则：如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，那么见右上注意：数列极限运算法则运用的前提:(1)参与运算的各个数列均有极限;(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能直接运算，应该先华无 限为有限。
如：数列求和等。
【典型题目】1、求极限：○1n n n n 2312lim 22++∞→= ； ○2 22322lim n n n n n→∞+++= ○3135(21)lim 2462n n n →∞+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=_____ ○4lim n →∞(3221n n --2)21n n =+ ○5 1123lim 23n n n n n --→∞-=- ○6)n n →∞= 2、s 表示(12)n x +展开式中各项系数和，t 表示(13)nx +的二项式系数之和，则._____lim =+-∞→ts ts n3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a S ==,则2lim nn S n →∞=4、n a 是(1)nx +展开式中含2x 的项的系数，则)111(lim 32nn a a a +⋅⋅⋅++∞→等于 【函数极限】：分清楚类型1、lim ()x f x →+∞、lim ()x f x →-∞、lim ()x f x →∞的理解；lim ()lim ()lim ()x x x f x a f x f x a →∞→+∞→∞=⇔==、（存在且相等）思考：“lim ()x f x →+∞存在且lim ()x f x →-∞存在”是“lim ()x f x →∞存在”的什么条件？（必要不充分）求法：数列极限是函数极限的特殊情况，所以数列极限求法相似可以类推到函数极限中，但是也得注意函数极限的一般性，如：lim 2xx →∞、1lim()2x x →∞、小心lim xx a →∞2、0lim ()x x f x →、0lim ()x x f x +→、0lim ()x x f x -→的理解；000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==、（存在相等）求法：代入求值，如果代入分母出现零因式，一般通过因式分解把零因式约掉，在从新代入；（洛比达法则）：00//()()lim lim ()()x x x x f x f x g x g x →→== 到无零因式为止，在代入求极限。
导数在数列极限中的应用
导数在数列极限中的应用数列极限是数学中一个重要的概念。
它可以用来描述渐近演化和分析数字运动，从而对数学和物理问题进行建模。
通常，求解数列极限所需要的主要工作是确定它的收敛进度、确定它是否有极限值，以及求出其具体值。
在这一过程中，导数发挥着极为重要的作用。
导数在极限的应用中可以说是无处不在，大多数的极限问题，如极限的唯一性定理，都需要导数的运用。
导数是一种描述现有数据的函数，可以让我们快速求得函数的斜率，而且可以更进一步通过斜率来求出极限值。
有时，通过极限的定义可以把求导数转化成求极限的问题，这样就能更进一步理解数列极限以及它们之前的关系。
除此之外，导数在数列极限中还可以用来验证一个序列是不是连续或是分段连续的。
例如，如果一个函数f除外某个点x0外在x0附近可以连续导数，那么就可以说明f在x0处是连续的。
而如果函数f在x0处的导数不存在，那么就可以说明f在x0处是分段连续的。
这一点也可以用来验证极限的存在性，如果一个序列在极限处的导数存在，那么就可以说明极限存在。
此外，导数在极限中还可以用来确定函数的单调性，这种方法叫做代数极限法。
如果在某个点处函数的导数为正，则说明该函数在该点处是单调递增的；如果在某个点处函数的导数为负，则说明该函数在该点处是单调递减的；如果有极限存在，而且该极限等于函数的某处的定值，则说明该函数是有界的；如果极限不存在，则说明该函数是无界的。
通过以上分析，可以看出，导数在数列极限中发挥着重要的作用，它可以用来解决许多实际问题，特别是极限的存在性和函数的单调性，它们可以用来确定函数的行为。
在这方面，导数比极限更易于理解和应用，所以在数列极限中，它给了我们更多的思考空间。
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专题九：数列的极限与函数的导数【考点审视】极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。
纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。
从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限：1)c c c n (lim =∞→是常数）,2)01lim =∞→n n ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n .(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。
（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
（4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。
（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。
对00、∞∞、∞-∞、∞•0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。
例如（2004年辽宁，14）πππ--→x x x x cos )(lim=【分析】这是00型，需因式分解将分母中的零因子消去，故πππ--→x x x x cos )(lim=x x x cos )(lim ππ+→=π2-。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。
例如：（2004年广东,4）-+++-+∞→131211(lim n n n n …+12112+-++n nn n )的值为…（ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）21（D ）1【分析】这是求无穷项的和，应先求前n 2项的和再求极限Θ12112+-++n n n n =11+-n ，∴原式=)1(lim +-∞→n n n =-1，故选)(A 。
3，无穷等比数列的公比q ，当|q |<1时，各项的和qa s -=11及重要应用。
例如（2004年上海，4）设等比数列{}n a （N n ∈）的公比21-=q ，且)(lim 12531-∞→++++n n a a a a Λ=38，则=1a 【分析】Θ数列}{12-n a 是首项为1a ，公比是412=q 的等比数列，∴)(lim 12531-∞→++++n n a a a a Λ=211q a -=38，解得1a =2。
4，当且仅当()()a x f x f ox x x x ==+-→→lim lim 0时，()a x f ox x =→lim ，0x x =时()x f 可有定义也可无定义。
例如下列命题正确的是…………( ) (A )若()1-=x x f ,则()0lim 1=→x f x ，()B 若()222++=x xx x f ,则()2lim 2-=-→x f x ，)(C 若()xx f 1=,则()0lim =∞→x f x ， (D)若⎩⎨⎧<+≥=)0(1)0()(x x x x x f ,则0)(lim 0=→x f x 。
【分析】Θ(A )中-→1x 无定义，（C ）中-∞→x 无定义，而(D)0)(lim 0=+→x f x ，1)(lim 0=-→x f x ，故()B 是正确的。
5，函数()x f 在0x x =处连续是指()()00lim x f x f x x =→，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。
6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。
例如||x y =在（0，0）处的导数存在吗？为什么？【分析】1||lim |0||0|lim 00=∆∆=∆-∆+++→∆→∆x x x x x x Θ，xx x ∆-∆+-→∆|0||0|lim 0 1||lim 0-=∆∆=-→∆xx x ∴||x y =在（0，0）处的导数不存在。
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。
导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。
【经典题例】【例１】求下列数列的极限： （１）)310(lim +-∞→n l n l gg n ；（２）θθθθn n n n n sin cos sin cos lim +-∞→（20πθ≤≤）； （３）)]11()31()21()1(1[1lim a nn n a n a n a n n -+++++++++∞→Λ；（４）已知0>a ，数列{n a }满足nn a a a a a 1,11+==+，若{n a }的极限存在且大于零，求n n a ∞→lim 的值。
【例２】求下列函数的极限： （1）22312lim4---+→x x x （2）2sin 2cos cos lim2x x xx -→π（3）)1311(lim 21xx x ---→ （4）)11(lim 22--+∞→x x x x【例３】求下列函数的导函数：（１）)(x f ＝)sin (cos x x e x +-； （２）)(x f ＝)2(ln cos 2x ； （３）)(x f ＝21lgx x x +-； （４）已知)(x f ＝||323x x x +，求)0(f '。
【例４】设121-++++=n n q q q a Λ（1,2≠∈*q N n ），=n A （11a C n + n nn n n a C a C a C +++Λ3322）。
（Ⅰ）用q 和n 表示n A ；（Ⅱ）当13<<-q 时，求n nn A 2lim ∞→的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求xqx x 11lim 30-+→的取值范围。
【例５】过点（2，0），求与曲线32x x y -=相切的直线方程。
【例６】（2004全国卷二，22）已知函数x x x f -+=)1ln()( ，x x x g ln )(=。
（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）设b a <<0，证明2ln )()2(2)()(0a b ba gb g a g -<+-+<。
【例７】（2004广东卷，21）设函数)(x f =)ln(m x x +-，其中常数m 为整数。
（Ⅰ）当m 为何值时，)(x f 0≥；（Ⅱ）定理：若函数)(x g 在[b a ,]上连续，且)(a g 与)(b g 异号，则至少存在一点),(0b a x ∈使0)(0=x g 。
试用上述定理证明：当整数1>m 时，方程)(x f =0，在[m e m e m m ---2,]内有两个实根。
【例８】溶液自深18cm ，顶直径12cm 的圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形容器中，开始时漏斗中盛满水，已知当溶液在漏斗中之深为12cm 时，其水平下落的速度为1cm ∕min ，问此时圆柱形容器中水面上升的速度是多少？【热身冲刺】一、选择题： 1、下列数列极限为1的是…………………………………………………………（）)(A n m m m )1(lim -∞→； )(B nn mm )1(lim -∞→； n n n C )9999.0()1(lim )(-∞→； )11(lim )(2n n e n n D -∞→++。
2、已知65252lim 221-=+--→ax x x x ，则常数a 的值为…………………………………（ ）65)(-A （B ）56- 526)(-C 526)(D ； 3、)1ln(3[lim 111x e xx -++--→]的值是………………………………………………（ ）0)(A 1)(B e C )( )(D 不存在；4、若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-≥-+-+=)0()01(1111)(3x a x x x x x f 且在点0=x 处连续，则=a （ ）23)(A 32)(B 0)(C 1)(D5、若)1(-x f 为偶函数，且)1(-'f 存在，则=-')1(f ……………………（ ）（A ）0 )(B x - )(C 1 )(D -1； 6、设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是…………………………………………………………………（ ）(A) (B) (C) (D)7、函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是……………………………（ ）（A ）0.>a 0)(≥a B 0)(<a C （D ）0≤a 8、(2004江苏卷，10)函数13)(3+-=x x x f 在区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是………………………………………………………………………………（ ）（A ）1,-1 （B ）1,-17 （C ）3,-17 （D ）9,-199、)(x f 、)(x g 分别是定义R 上的奇函数和偶函数。
当0<x 时，0)()()()(>'+'x g x f x g x f ，且0)3(=-f ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）（A ）（-3，0）Y （3，∞+） )3,0()0,3)((Y -B （C ）),3()3,(+∞--∞Y )3,0()3,)((Y --∞D 10、三次函数)(x f =b bx x 333+-在[1，2]内恒为正值的充要条件为………… （ ）（A ）21≤≤b )(B 0<b )(C 21<<b )(D 49<b ； 二、填空题： 11、曲线2212x y -=与2413-=x y 在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）；12、a x f =')(，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()2(lim0 ；13、已知)(x f 是x 的一个三次多项式，若2)(lim 2-→x x f x =4)(lim 4-→x x f x =1，则3)(lim 3-→x x f x = 14、如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为21的半圆后得图形2P ，然后剪去更小的半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形3P ，4P ，……，n P ，……，记纸板n P 的面积为n S ，则n n S ∞→lim =1P 2P 3P4P三、解答题：15、已知函数)(x f 在定义域R 上可导，设点P 是函数=y )(x f 的图象上距离原点0最近的点。