广东省实验中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题文

广东实验中学2016—2017学年（上）高二级期末考试文 科 数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( )A ．－3B ．3C ．－13D ． 132．圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 3．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ． 1(,0)16D ． 1(0,)164．已知向量a b 、满足1,4,a b ==，且2⋅=a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．已知ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A,B,C 的对边，30,34,4=∠==A b a ，则B ∠等于（ ）图1俯视图A ． 30B ． 30或 150C ． 60D ． 60或120 6． 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（ ）A ．2B ． 1C ．23 D ． 137．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ． y ＝±2xB ． y ＝±2x C ． y ＝±12x D ． y ＝±22x8．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．99．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．椭圆 10．,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题： ①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ）A ．45B ．30C ．60D ．90 12．函数cos()sin()23y x x ππ=++-具有性质（ ）． A ．图像关于点(,0)6πB ．图像关于点(,0)6π对称，最大值为1C ．图像关于直线6x π=对称，最大值为3 D ．图像关于直线6x π=对称，最大值为1二、填空题（每小题5分，共20分）13．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 .14．已知圆C ：()()22324x y -+-=与直线3y kx =+相交于M,N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是 .15．直线l ：4x －y －6＝0交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．16．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12121n n a a 的前50项和T 50=________．三、解答题题（六小题 共70分）17．（本小题满分10分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点．（1）求证：⊥DE 平面BCE ； （2）求证：//AF 平面BDE ．18．（本小题满分10分）一束光线l 自A （－3，3）发出，射到x 轴上的点M 后，被x 轴反射到⊙C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上．（1）求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； （2）求满足条件的入射点M 的横坐标的取值范围．1C 1B 1D 1D F第17题图E19．（本小题满分12分）已知函数f (x )=－sin 2x +sin x +a ，（1）当f (x )=0有实数解时，求a 的取值范围； （2）若2x [,]63ππ∈，恒有1≤f (x )≤417，求a 的取值范围。

20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC ⊥底面ABCD ，且2AB =，SC SD ==（1）求证：平面SAD ⊥平面SBC ；（2）若2=BC ，求点A 到平面SBD 的距离h 的值.SCABD21．（本小题满分12分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知函数)(x f 对任意的R y x ∈,均有21)1(),()()(=⋅=+f y f x f y x f . (),*n n b a f n n N =⋅∈，求)(n f 的表达式并证明：122n b b b +++<.22．（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =. （1）求椭圆1C 的方程；（2）过点()1,0A -的直线与椭圆1C 交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程；（3）若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.高二上学期期末考试文科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）B D DCD A B B C B D A 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 4 14． 3[,0]4- 15．21023 16． 5099-三、解答题题（六小题 共70分） 17．（本小题满分10分）（1）证明：⊥BC 侧面11C CDD ，⊂DE 侧面11C CDD ，BC DE ⊥∴，……2分 在CDE ∆中，a DE CE a CD 2,2===，则有222DE CE CD +=，︒=∠∴90DEC ，EC DE ⊥∴， ………………………………………4分又C EC BC = ⊥∴DE 平面BDE ． ……………………………………5分（2）证明：连EF 、11C A ，连AC 交BD 于O ，1121//C A EF ，1121//C A AO ，∴四边形AOEF 是平行四边形，……………7分 OE AF //∴ ………………………8分又⊂OE 平面BDE ，⊄AF 平面BDE ，………………………9分//AF ∴平面BDE ． ………………………10分18．（本小题满分10分）解： ⊙C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1 ……………1分（1）C 关于x 轴的对称点C ′(2，－2)，……………2分A 1C 1B 1D 1DF 第17题图E过A ，C ′的方程：x ＋y ＝0为光线l 的方程．……………4分（2）A 关于x 轴的对称点A ′(－3，－3)，设过A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)，……………5分当该直线与⊙C 相切时，有341133222=⇒=+-+-k k k k 或43=k ……………8分∴过A ′，⊙C 的两条切线为)3(433),3(343+=++=+x y x y ……………9分 令y ＝0，得1,4321=-=x x ∴反射点M 在x 轴上的活动范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,43 ……………10分19．（本小题满分12分）解：（1）f(x)=0，即a=sin 2x －sinx …………1分=(sinx －21)2－41……………3分 ∴当sinx=21时，a min =41……………4分当sinx=－1时，a max =2， ∴[41-，2]为所求 …………5分法2：∵-sin 2x+sinx+a=0 设t= sinx ，则t ∈[-1,1] (1)那么依题意有方程2t t a 0-++=在区间]1,1[-上有实数根，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≥+=∆≤≤≤-1211-04a 10f(1)0f(-1)0)1(f )1(f 或 …3分 解得： 1a 24-≤≤……………5分（2）由1≤f(x)≤47得⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+-≤1sin sin 417sin sin 22x x a x x a ……7分∵2x [,]63ππ∈ ∴12≤sinx ≤1 ……8分 ∴u 1=sin 2x －sinx+2)21(sin 417-=x +4≥4 …9分 u 2=sin 2x －sinx+1=43)21(sin 2+-x ≤1 …11分∴ 1≤a ≤4 …………12分20．（本小题满分12分） 解：（1）证明：在SDC ∆中，2SC SD ==，2CD AB ==90DSC ∴∠=︒ 即DS SC ⊥，底面ABCD 是矩形 BC CD ∴⊥……………3分又平面SDC ⊥平面ABCD BC ∴⊥面SDCDS BC ∴⊥， DS ∴⊥平面SBC …………………………...……..6分 DS ⊂平面SAD ， ∴平面SAD ⊥平面SBC ．……………………….7分（2）方法1：由（1）可知∴⊥DS BS ， 且226=+=BS BC SC ……………………….8分112221323-=⨯⨯⨯⨯=S ABD V ……………………….9分SABD112632-=⨯⨯⨯⨯A SBD V h ……………………….10分又--=S ABD A SBD V V ，故点A 到平面SBD 的距离23=h ……………………….12分 方法2：由（1）⊥DS 平面SBC 可得平面⊥SBD 平面SBC ，……………………….9分由C 引SB 的垂线CH ，垂足为H ，则平面⊥CH SBD ，……………………….11分 连AC 交BD 于O ，O 平分AC ，则233==CH h ……………………….12分21．（本小题满分12分）解析：（1）由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立 ，∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）②…………………….1分 ①--②得21122----+=n n n n n a a a a a ，…………………….2分∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a …………………….3分∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2）…………………….4分又n =1时，21112S a a =+， 解得1a =1，…………………….5分∴数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，∴n a n =.(*N n ∈)…………………….6分（2）令1,==y n x ，则)1()()1(f n f n f ⋅=+，21)1()()1(==+∴f n f n f ，……….8分∴数列{})(n f 是以21为公比，21为首项的等比数列，nn f ⎪⎭⎫⎝⎛=∴21)(.…………………9分()2n nnb n f n ∴=⋅=，令12n n T b b b =+++，则231232222n nnT =+++，1432223222121++++=n n nA ，…………………….10分 两式相减：13222121212121+-+++=n n n nA ，…………………….11分 112222n n nnT -⎛⎫∴=--< ⎪⎝⎭…………………….12分22．（本小题满分14分）解析: （1)解法1： 抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，设点P 的坐标为()00x y ,,0000x y ,>>. ∵53PF =, ∴()22002519x y -+=. ①∵点P 在抛物线22:4C y x =上, ∴2004y x =. ② 解①②得023x =,0263y =.∴点P 的坐标为226,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ……………….2分 ∵点P 在椭圆22122:1x y C a b +=上， ∴2248193a b+=.又1c =，且22221a b c b =+=+， 解得224,3a b ==. ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. ……….4分解法2：定义法更简单. (2)解法1：设点M()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-.∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR +=, ∴121221,x x x y y y +-=-+=. ① ……………….5分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+=上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ ……………….7分 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ……………….8分 ∵M 、N 、Q 、A 四点共线，∴MNAQ k k =, 即121221312yy y y x x x x -==+-++. ④ …….9分 把④式代入③式，得()3134x y x y+=-+，化简得()2243430y x x +++=. …………….10分当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. ……………….11分 解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =+，由()221143y k x x y ,,⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++-=. 设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则2122834k x x k +=-+,()()()1212122611234ky y k x k x k x x k+=+++=++=+. ∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-.∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR +=,∴121221,x x x y y y +-=-+=.∴21228134k x x x k +=+=-+, ① 2634ky k=+. ② ①÷②得()314x k y+=-， ③ 把③代入②化简得()2243430y x x +++=. (*)当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-,依题意, 可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上. ∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=.(3) 由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=,即()224343y x x =-++,由20y ≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-. (12)分∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=∴当3x =-时,4RFmax=, 此时,415RT max =+=. ……………….14分。