2020届云南省昆明市第一中学高中新课标高三 一模 数学(文)(附带详细解析)
云南省昆明市第一中学2020届高三上学期第一次摸底测试数学(理)试题+Word版含解析【KS5U+高考】
2019-2020学年云南省昆明一中高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）（9月份）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合0，，，则A. 0，B.C.D.2.若，则A. B. C. D.3.“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事．在中国共产党建党98周年之际某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，则该校高一年级学生人数为A. 720B. 960C. 1020D. 16804.的展开式中含项的系数为A. B. C. 6 D. 75.函数的图象大致为A.B.C.D.6.已知等差数列的前n项和为，若，则A. B. 3 C. D. 67.在正方体中，E为的中点，F为BD的中点，则A. B.C. 平面D. 平面8.已知函数，若是的一个极小值点，且，则A. B. 0 C. 1 D.9.执行如图所示的程序框图输出的S的值为A. 25B. 24C. 21D. 910.偶函数在上为减函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若，的面积为，则A. 1B.C.D. 212.若存在，满足，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知，为单位向量，且，的夹角为，则______．14.公比为3的等比数列的各项都是正数，且，则______．15.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线C的右支于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为______．16.在三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题）17.某学校为了解本校文理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在的有10个．求n和乙样本直方图中a的值；试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数同组中的数据用该组区间中点值为代表．18.已知在中，，．求tan A的值；若，的平分线CD交AB于点D，求CD的长．19.图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中，，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面平面DEC；求图2中的二面角的大小．20.过的直线l与抛物线C：交于A，B两点，以A，B两点为切点分别作抛物线C的切线，设与交于点求；过Q，F的直线交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN面积的最小值．21.已知函数，．讨论的单调性；是否存在a，b，使得函数在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．参考数据：．22.如在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若点Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l的距离的最小值．23.已知正数a，b，c满足等式证明：；．答案和解析1.【答案】B【解析】解：0，，，．故选：B．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：由，得．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设该校高一年级学生人数为x人，由题意得：，解得．故选：C．设该校高一年级学生人数为x人，由此利用列举法得，由此能求出该校高一年级学生人数．本题考查高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：的展开式中含项的系数为，故选：A．把按照二项式定理展开，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数定义域为；且，函数为偶函数，排除选项D；将表达式的分子分母均乘以，可得且当时，，故选项A，C不成立．故选：B．首先利用函数的奇偶性排除选项D，再将原函数的分子分母同乘进行化简，最后利用特殊值法即可判断．本题考查函数的奇偶性及图象对称性的综合应用，属于中档题6.【答案】A【解析】解：等差数列的前n项和为，，，解得，．故选：A．利用等差数列的前n项和公式推导出，再由，能求出结果．本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则0，，1，，2，，0，，0，，在A中，1，，，与不平行，故A错误；在B中，0，，，与不垂直，故B错误；在C中，平面的法向量1，，，与平面不平行，故C错误；在D中，0，，2，，，，，，，平面D.故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：，，又，或，当，时，，在区间上，在区间上，是极大值点，不符合题意．当，时，，在区间上，在区间上，是极小值点，符合题意．，故选：C．先写出导函数，得，又因为，所以或，分别代入解析式，检验哪个符合题意．本题考查导数的应用，极值，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：初始值，；第一步，，，此时，故；第二步：，，此时，故；第三步：，，此时，故；第四步：，，此时，故；第五步：，，此时，故输出；故选：A．根据程序框图依次写出每次循环的结果，再根据判断框内的条件，确定输出的S的值即可．本题考查程序框图，难度较小，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：是偶函数，图象关于y轴对称．在的单调性与的单调性相反，可得在上是增函数．不等式恒成立，等价于恒成立．即不等式恒成立，的解集为R，结合一元二次方程根的判别式，得：且解之得．故选：D．根据偶函数图象关于y轴对称，得在上是单调减函数，且在上单调增，由此结合是正数，将原不等式转化为恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a的取值范围．本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：如图所示，设l与x轴交于H，且，l：，因为，在直角三角形FBH中，可得，所以圆的半径为，，由抛物线的定义知，点A到准线l的距离为，所以的面积为，解得．故选：D．根据题意画出图形，结合图形求出，，由抛物线的定义可得点A到准线l的距离，运用三角形的面积公式可得的面积，从而求出p的值．本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了数形结合思想应用，是中档题．12.【答案】A【解析】解：设，，则是单调增函数，且的值域为；设，则恒过定点，又，，且，存在，不等式时，即，不等式不成立，由此得，解得，所以a的取值范围是．故选：A．设，，，对求导数，利用导数的几何意义列不等式求出a的取值范围．本题主要考查对数函数与不等式的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性问题，是中档题．13.【答案】【解析】解：已知，为单位向量，且，的夹角为，，则，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积的定义求出，再根据求向量的模的方法，求出本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：公比为3的等比数列的各项都是正数，且，，且，解得，，．故答案为：3．由公比为3的等比数列的各项都是正数，且，求出，从而，由此能求出的值．本题考查等比数列的第9项的对数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】【解析】解：设，由，且圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，在等腰三角形中，，，可得，则A的横坐标为，即，代入双曲线的方程可得，由，，可得，化为，由，可得，解得．故答案为：．设，圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，再由等腰三角形的性质和勾股定理，求得A的横坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查圆和双曲线的对称性，等腰三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，如图所示，取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，是边长为的等边三角形，外接圆半径为，且，，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，在直角中，平面ABC，且，在直角中，，且，在直角中，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，该球的表面积．故答案为：．取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，外接圆半径为2，且，，求出，，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，由此能求出该球的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：由频率分布直方图得：乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，则，解得，由乙样本数据直方图得：，解得．甲样本数据的平均值估计值为：，乙样本数据直方图中前三组的频率之和为：，前四组的频率之和为：，乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，由，解得，中位数为．根据样本估计总体思想，可以估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82．【解析】由频率分布直方图得乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，由此能求出n，由乙样本数据直方图能求出a．利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数．本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：，由正弦定理，可得，，可得，是角平分线，，由，可得，，，由，可得．【解析】由已知利用正弦定理，三角形内角和定理可得，利用两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tan A的值．由已知可求，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，cos A的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理即可解得CD的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：证明：由正方形ABCG中，直角梯形ABED中，．，E，C，G四点共面．，，，，平面ADG．平面ADG，．在直角梯形ABED中，，可得，同理直角梯形GCED中，可得，．，．，，平面DEG，平面ADB，平面平面DEG．平面平面DEC；解：过点D作的垂线，垂足为O，过点O作BC的垂线，垂足为H，则，，故以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，0，，1，．所以，．设平面ACE的法向量为y，，由．设平面BCE的法向量为b，，由．，二面角的大小为．【解析】根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面DEC；建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角的大小．本题主要考查空间平面和平面垂直的判定，以及二面角的求解，综合考查学生的计算能力．20.【答案】解：设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，可得，即有，，由的导数为，可得的方程为，化为，同理可得的方程为，联立两直线方程解得，，故；由，，，可得，即，，，则四边形AMBN的面积，当且仅当时，四边形AMBN的面积取得最小值32．【解析】设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求值；求得，的坐标和数量积，可得，即，运用抛物线的弦长公式可得，，由四边形的面积公式，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考查切线方程的求法，以及向量垂直的性质，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21.【答案】解：，令，，，在上单调递增，，，若时，恒成立，即在区间上单调递增，若时，则，则，则在区间上单调递减，若，则，，又在上单调递增，结合零点存在性定理知，存在唯一的实数，使得，当时，，则，则在上单调递减，当时，，则，则在上单调递增，综上所述：若时，在区间上单调递增，若时，在区间上单调递减，若时，存在唯一的实数，，在上单调递减，在上单调递增．由可得：若，则，则，而，解得满足题意，若时，则，则时，而，解得满足题意，若时，令，，则，在上单调递减，，令，，由可知，令，，由可知，，，，，综上：当且，或当且时，使得在区间的最小值为且最大值为1．【解析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，对a分类讨论，利用的结论即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：由为参数，消去参数t，可得直线l的普通方程为，由，且，，，得曲线C的直角坐标方程为；点P的极坐标为，则点P的直角坐标为，点Q为曲线C上的动点，设，则PQ中点M为，则点M到直线l的距离：，点M到直线l的最小距离为．【解析】直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，由已知结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；化P为直角坐标，设出Q的坐标，由中点坐标公式求得M的坐标，再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值．本题考查点的直角坐标、曲线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的中小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：要证不等式等价于，因为，，当且仅当时取等号．，，又，，当且仅当时取等号．【解析】利用基本不等式即可证明结论；利用基本不等式即可证明结论．本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找不等式成立的充分条件，属于中档题．。
2020届云南省昆明一中高三第三次高中新课标双基检测数学(理)试题及答案解析
1
2
4 (
1)
3
4
4
2
4
4
2
2
………6 分
所以 BD 3 .
………12 分
18. 解析：（1）证明：取 C1F 的中点 G ,连接 EG , 因为 E 为棱 A1D1 中点,所以 EG ∥ D1C1 ,
D1
E
12. 解析：将正方体 ABCD A1B1C1D1 补全成长方体,点 C1 关于面 ABCD 的对称点为
C2 ,连接 EC2 交平面 ABCD 于一点,即为所求点 F ,使 EF FC1 最小．其最小值是
EC2 ． 连 接 A C2 , B1 C2, 计 算 可 得 AC2 2 3, , B1C2 2 5 , AB1 2 2 , 所 以
2
2
sin BcosC cos BsinC sin B cosC 1 sinC ,可得 cos B 1 , B 2 .
2
23
（2）因为 D 是 AC 边的中点,所以 BD 1 BA 1 BC , 22
BD
2
1
2
BA
1
2
BC
1
BA
BC
1
22
1
42
选 D.
10.
解析：设椭圆 C ：
x2 4
y2
1 的左焦点为 F1 ,则
OP
OF
1 2 F1F
,所以 PF1 PF ,
所以△ PFO 的面积 2
tan
4
1 2
,选
B.
11. 解 析 ： 因 为 f ( 0) - f ( ) , 所 以 1 = sin( ) , 即 = +2k 或
昆明市一中2020届高三数学文科第五次检测及附答案解析
2020一、选择题1.解析：因为()31i 22i z =-=--，所以22i z=-+选A.2.解析：因为集合{}0,1A =，{}0,1AB =，则B A Í，所以集合B 可能的情况有{}0，{}1，{}0,1，Æ，共有4个.选D.3.解析：因为21cos411()sin 2cos4222x f x x x -===-，所以()f x 的最小正周期242T p p ==，选B ．4.解析:由13b a =得：222222119b c a e a a -==-=，所以e =，选A ．5.解析：该几何体是由一个底面半径为1，高为3的半圆锥，和一个底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥组成，所以该几何体的体积为：21111=(13(213132322V p p ´××´+´´´´=+）），选B ．6.解析：121333BD BA AD BA AC BA BC =+=+=+,所以23l =，13m =，211333l m -=-=，选D.7.解析：画出可行域如下，可知当直线经过点()13，或者()0，4时取得最大值4，选A.8.解析：由log a y x =在()0+¥，上单调递减，得01a <<，由1()13y a x =--在(0)+¥，单调递减，得103a -<，即13a >，由减函数的定义，有1()11log 13a a -´-£，解得23a ³-，所以a 的范围是1(1)3，，选C.9.解析：1i =时，()1021121S =+´+-=-；2i =时，()()()()2212212141S =-+´+-=-++；3i =时，()()()()()()32141231214161S =-+++´+-=-+++-；……6i =时，()()()()214161121241242S =-+++-+++=+++=，所以输出42，选B.10.解析：对于A ：()2222222222f x x x x x =+=++-++2³中，22222x x +=+的等号不成立，A 错；当0m =时210mx mx ++³也成立，B 错；当13x =，2y =时1xy <也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，所以D 错；选C.11.解析：两次抽取共有25结果，抽得的第2张卡片上的数字小于第一张卡片上的数字的共有10种，所以概率为102=255，选C.12.解析：双曲线的两个焦点分别为（4,0-），（4,0），则这两点刚好是两圆的圆心，由几何性质知，13PM PF £+,21PN PF ³-,所以12316PM PN PF PF -£+-+=,选B.二、填空题13.解析：因为()2sin cos )f x x x x j =-=-，（其中1tan 2j =），所以()f x ．14.解析：由已知可得15x +<，解得：515x -<+<，即64x -<<，所以x 的取值范围是()64-，.15.解析：因为222PA PB AB +=，所以PA PB^，同理得：PC PA^，PC PB ^，因此，以PA ，PB ，PC 为同一顶点出发的正方体的八个顶点在球O 的表面上，所以2222412R PA PB PC =++=，所以球O 的表面积为12p．16.解析：设=2AB x ，=BCy ，则==AD BD x ,在△ACD 和△BCD 中由余弦定理得，cos cos ADC BDC Ð=-Ð,所以222244444x x x y x x+-+-=-，所以22148x y +=，设=2cos x a ，则y a ，所以周长为=8cos )l a a a j +=+，tanj =a ，使得max l 三、解答题（一）必考题17.解：（1）设{}n a 的公比为q ，若1q =，则412410S a S =¹，所以1q ¹由4210S S =，得4211(1)(1)1011a q a q q q--=´--，2110q +=，29q =，3q =±，当3q =时，13n n a -=，当3q =-时，1(3)n n a -=-.………6分1（2）当13n n a -=时，1336413mm S -==-，解得6m =，当1(3)n n a -=-时，1(3)3641(3)mm S --==--，(3)1455m -=-，m 无正整数解，所以6m =.………12分18.（1）证明：因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以BC ∥11B C ，且11BC B C =，又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，且BC AD =，所以AD ∥11C B ，且11AD C B =，所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以A ，D ，1C ，1B 四点共面；因为1AA AC =，又1AA ^平面ABCD ，所以1AA AC ^，所以四边形11A ACC 正方形，连接1AC 交1A C 于E ，所以11A C AC ^，在ADC D 中，2CD AD =，60ADC Ð=，由余弦定理得2222cos60AC ADCD AD CD =+-×，所以AC =，所以222CD AC AD =+，所以AD AC ^，又1AA AD ^，所以AD ^平面11A ACC ，所以1AD A C ^，又因为!AD AC A =，所以1A C ^平面11ADC B ；所以11A C DC ^.………6分（2）解：由（1）知：1A C ^平面11ADC B ，在Rt △DAC 中，由已知得AC，所以CE ==，所以四棱锥11C ADC B -的体积1113V AD AC CE =××=；因为BC ∥AD ，所以点M 到平面11ADC B的距离为定值，即为点C 到平面11ADC B 的距离CE =………12分19.解：（1）0.005100.01000.02510100.020101a ´+´+´+´+´=，解得0.040a =．……3分由频率分布直方图，该品种花苗综合评分的平均值估计为550.05650.1750.25850.4950.02=81x =´+´+´+´+´．………6分（2）频率分布直方图，优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+´=，则样本中优质花苗的株数为60株，列联表如下表所示：可得22100(20103040)16.667 6.63560405050K ´-´=»>´´´．所以，有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．………12分20.解：(1)设(,)M x y2=，即22222(1)2(2)x y x y -+=-+，所以曲线22:2E x y +=.………4分(2)当PQ 所在直线斜率不存在时，其方程为：x =此时PQ =当PQ 所在直线斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，()0,0O 到直线PQ 的距离d r ==，所以2222m k =+.直线PQ 与椭圆C 联立22163x y y kx m ì+=ïíï=+î，得()222214260k x kmx m +++-=，所以12221224212621mk x x k m x x k -ì+=ïï+í-ï=ï+î，所以PQ ===2211t k =+³，(]10,1t Î22222224121112(1)2(21)k t t z k k t t t ++--=+==+++，因为(]10,1t Î，所以924z éùÎêúëû，，所以PQ éùÎëû，所以2,2OPQ S PQ é=ÎêëûV .………12分21.解：（1）因为()'e 1x u x =-为增函数，又()'00u =，当0x <时，()'0u x <，当0x >时，()'0u x >，故()u x 在(,0)-¥上单调递减，在(0,)+¥上单调递增，则()()00u x u ³=，故当且仅当0x =时，()u x 取得最小值0；………6分（2）()()'e 2e 2x x f x x =--，构造函数()2e 2x g x x =--，则()'2e 1x g x =-，又()'g x 在R 上单调递增，且()'ln 20g -=，故当ln 2x <-时，'()0g x <，当ln 2x >-时，'()0g x >，则()g x 在(,ln 2)-¥-上单调递减，在(ln 2,)-+¥上单调递增，又()00g =，()2220e g -=>，()2110e g -=-<，结合零点存在性定理知，存在唯一实数0(2,1)x Î--，使得()00g x =，当0x x <时，()'0f x >，当00x x <<时，()'0f x <，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,x -¥单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,+¥单调递增，故()f x 存在唯一极大值点0x ，因为()0002e 20x g x x =--=，所以00e 12x x =+，故()()()()0022200000111e 1e 111122444x x x xf x x x x æöæö=-+=+-++=-+<ç÷ç÷èøèø.………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
2020年昆明一中高考数学模拟试卷(文科)(含答案解析)
2020年昆明一中高考数学模拟试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<1}，B ={x|y =ln(−x)}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {x|x <0}C. {x|−1<x <0}D. {x|0<x <1}2. 若z +2z =3−i ，则|z|=( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是( )A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率4. 若θ∈(π4,π2)，sin 2θ=4√29，则cosθ=( )A. 13B. 23C. 2√23D. 895. 已知x ，y 满足{x ≤32y ≥x3x +2y ≥63y ≤x +9，则z =2x −y 的最大值是( )A. 152B. 92C. 94D. 26. 函数f(x)=sinx(sinx +√3cosx)的最大值为( )A. 2B. 1+√3C. 32D. 17.函数y=1−1x−1的图象是()A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是()A. 7B. 6C. 5D. 49.若球O的表面积值为4π，则它的体积V=()A. 4πB. 43π C. 163π D. 34π10.在四面体ABCD中，∠ABC=∠ABD=∠ADC=π2，则下列是直角的为()A. ∠BCDB. ∠BDCC. ∠CBDD. ∠ACD11.若a≥√2，则双曲线x2a2−y23=1的离心率的取值范围是()A. [√102,+∞) B. (√102,+∞) C. (1,√102] D. (1,√102)12.函数f(x)=(1−x)|x−3|在(−∞,a]上取得最小值−1，则实数a的取值范围是()A. (−∞,2]B. [2−√2, 2]C. [2, 2+√2]D. [2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,2)，若m a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，则m等于______ ．14.已知△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，a2=b2+c2−ab，则角A等于______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，离心率为√3.若C上一点P满足|PF1|−|PF2|=2√3，则C的方程为______．16.已知函数f(x)=|x|+cosx，若方程f2(x)−af(x)+3=0有四个不等实根，则实数a的取值范围为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等比数列{a n}的公比q>0,a2a3=8a1，且a4,36,2a6成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=2na n，求数列{b n}的前{b n}的前n项和T n．18.某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如表：节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100(1)若全小区节能意识强的人共有360人，则估计这360人中，年龄大于50岁的有多少人⋅(2)按表格中的年龄段分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．19.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，AD=a，G是EF的中点，且AF=12(1)求证平面AGC⊥平面BGC；(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值．20.如图，已知抛物线C：x2=2py(p>0)过点(2,1)，直线l过点P(0,−1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B．(1)求抛物线C的标准方程；(2)问直线A′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．21. 设函数f(x)=lnx −x +1．(1)求函数f(x)的最值；(2)证明：lnx ≤x −1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=|1−2x|+|1+x|．(1)解不等式f(x)≥4；(2)若关于x的不等式a2+2a−|1+x|<f(x)恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A={x|−1<x<1}，B={x|x<0}；∴A∩B={x|−1<x<0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数的有关概念和复数的运算．z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，根据复数相等的意义即可求解；解：设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，依题意知a+bi+2(a−bi)=3−i，即3a−bi=3−i，根据复数相等的意义得a=b=1，于是z=1+i，所以|z|=√2．故选B;3.答案：D解析：解：对于A，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例．所以西安所占比例为3287>13，故A正确；对于B，由曲线图可知.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确：对于C，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213−116=97例，故C正确：对于D，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了98−8888=544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了88−7474=737，显然737>544，故D 错误．故选：D ．根据图表中包含的信息对照选项分析即可判断真假．本题主要考查学生的数据分析能力和图形阅读理解能力，属于基础题．4.答案：A解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求可得cos2θ，进而利用二倍角公式可求cosθ的值． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的综合应用，属于基础题．解：由θ∈(π4,π2)，sin2θ=4√29，得2θ∈(π2,π)，可得cos2θ=−√1−sin 22θ=−79， 所以cosθ=√1+cos2θ2=13．故选：A ．5.答案：B解析：解：作出不等式组{x ≤32y ≥x3x +2y ≥63y ≤x +9表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD 及其内部，其中A(32,34)，B(3,32)，C(3,4)，D(0,3)设z =F(x,y)=2x −y ，将直线l ：z =2x −y 进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值∴z 最大值=F(3,32)=2×3−32=92故选：B ．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形ABCD 及其内部，再将目标函数z =2x −y 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =32时，目标函数z 取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z =2x −y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：f(x)=sinx(sinx +√3cosx)=sin 2x +√3sinxcosx =12(1−cos2x)+√32sin2x =sin(2x −π6)+12， ∴当sin(2x −π6)=1时，函数取得最大值1+12=32， 故选：C ．利用三角函数的倍角公式以及三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查三角函数最值的求解，利用三角函数的倍角公式以及三角函数的辅助角公式进行化简是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：把y =1x 的图象向右平移一个单位得到y =1x−1的图象， 把y =1x−1的图象关于x 轴对称得到y =−1x−1的图象， 把y =−1x−1的图象向上平移一个单位得到y =1−1x−1的图象． 故选：B ．把函数y =1x 先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位． 本题考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力．8.答案：A解析：解：由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数， ∴n =1，2，4，8，16，32，64， 故选：A ．由题意，即求n ≤100(n ∈N)，满足log 2n ∈N 的n 的个数．本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能9.答案：B解析：本题考查了球的表面积和体积公式的运用，属于基础题．由球O的表面积值为4π，求出半径r的值，然后求出体积．解：S球=4πr2=4π，得r=1，所以V球=43πr3=43×π×13=43π，故选B．10.答案：B解析：解：∵在四面体ABCD中，∠ABC=∠ABD=π2，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵∠ADC=π2，∴CD⊥AD，∵AB∩AD=A，∴CD⊥平面ABD，∴∠BDC=π2．故选：B．在四面体ABCD中，由∠ABC=∠ABD=π2，知AB⊥平面BCD，从而得到AB⊥CD，由∠ADC=π2，知CD⊥AD，从而得到CD⊥平面ABD，所以∠BDC=π2．本题考查直角的判断，是基础题，解题时要注意直线与平面垂直的判断与应用．11.答案：C解析：解：根据题意，双曲线x2a2−y23=1中a≥√2，则c=√a2+3，则双曲线的离心率e=ca =√a2+3a=√1+3a2，又由a≥√2，则有1<e≤√102，即双曲线的离心率e的取值范围是(1,√102]故选：C．根据题意，由双曲线的标准方程可得c的值，进而由双曲线的离心率公式可得e=ca =√a2+3a=√1+3a2，结合a的范围，分析可得答案．本题考查双曲线的几何意义，关键是掌握双曲线的离心率计算公式．12.答案：C解析：解：∵函数f(x)=(1−x)|x−3|={−x 2+4x−3,x≥3x2−4x+3,x<3，其函数图象如下图所示：由函数图象可得：函数f(x)=(1−x)|x−3|在(−∞,a]上取得最小值−1，当x≥3时，f(x)=−x2+4x−3=−1，解得x=2+√2，当x<3时，f(x)=x2−4x+3=−1，解得x=2，实数a须满足2≤a≤2+√2．故实数a的集合是[2,2+√2].故选：C．由零点分段法，我们可将函数f(x)=(1−x)|x−3|的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数分段处理的原则，画出函数的图象，进而结合图象数形结合，可得实数a的集合本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中根据分段函数图象分段画的原则，画出函数的图象是解答本题的关键．13.答案：65解析：解：∵向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,2)，∴m a⃗+b⃗ =(2m−1,3m+2)a⃗−2b⃗ =(4,−1)又∵m a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，∴(m a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−2b⃗ )=4(2m−1)−(3m+2)=5m−6=0，解得m=65．故答案为：65．根据平面向量的坐标运算，利用m a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，数量积为0，求出m的值．本题考查了平面向量的数量积的应用问题，是基础题目．14.答案：π3解析：解：△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，a2=b2+c2−ab，cosA=b2+c2−a22bc =12，A是三角形内角，∴A=π3．故答案为：π3．直接利用余弦定理求出A的余弦函数值，即可求解A的大小．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．15.答案：x23−y26=1解析：解：由双曲线的定义可知a=√3，由e=ca=√3，得c=3，则b2=c2−a2=6，所以双曲线C的方程为x23−y26=1．故答案为：x23−y26=1．根据双曲线的定义和离心率公式求出c和a，则双曲线方程可得．本题主要考查双曲线的简单性质，根据双曲线的定义求出a，b是解决本题的关键．16.答案：(2√3,4)解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用换元法将方程进行转化是解决本题的关键．利用换元法，将方程，转化为关于t的一元二次方程，利用根与系数之间的关系即可得到结论．解：设t=f(x)，则方程f2(x)−af(x)+3=0有四个不等实根，做出f(x)的图象等价为t 2−at +3=0有两个不同的解，且两个根t 1，t 2都大于1，， 即{△=a 2−12>01−a +3>0a2>1， 解得2√3<a <4，∴实数a 的取值范围为(2√3,4)， 故答案为(2√3,4)．17.答案：解：(1)由a 2a 3=8a 1得：a 1q 3=8 即a 4=8又因为a 4，36，2a 6成等差数列 所以a 4+2a 6=72 将a 4=8代入得：a 6=42 从而：a 1=1，q =2所以：a n =2n−1 (2)b n =2n =2n ⋅(1)n−1 T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1……………………①12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n ……………………② ①−②得：12T n =2×(12)0+2((12)1+(12)2+⋯+(12)n−1)−2n ⋅(12)n=2+2×12×(1−(12)n−1)1−12−2n ⋅(12)n =4−(n +2)⋅(12)n−1 ∴T n =8−(n +2)⋅(12)n−2解析：(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式．(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力．18.答案：解：(1)全小区节能意识强的人共有 360 人，估计这 360 人中，年龄大于 50 岁的有3645×360=288人．(2)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的有5×936+9=1人，∴年龄大于50岁的有4人，记这5人分别为a，b，c，d，e，从这5人中，任取2人，所有的可能情况有10种，分别为：{a,b}，{a,c}，{a,d}，{a,e}，{b,c}，{b,d}，{b,e}，{c,d}，{c,e}，{d,e}，设事件A表示“恰有 1 人年龄在 20 岁至 50 岁”，则事件A包含的基本事件有4种，分别为：{a,b}，{a,c}，{a,d}，{a,e}，∴恰有 1 人年龄在 20 岁至 50 岁的概率P(A)=410=25．解析：本题考查频数分布表的应用，考查概率的求法，古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)全小区节能意识强的人共有 360 人，由此能估计这 360 人中，年龄大于 50 岁的人数．(2)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的有1人，年龄大于50岁的有4人，记这5人分别为a，b，c，d，e，利用列举法能求出恰有 1 人年龄在 20 岁至 50 岁的概率．19.答案：(1)证明：∵正方形ABCD，∴CB⊥AB，∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，CB⊂面ABCD，∴CB⊥面ABEF．∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴AG=BG=√2a，AB=2a，AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG，∵BG∩BC=B，BG，BC⊂面CBG，∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．(2)解：如图，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，由(Ⅰ)知面AGC⊥面BGC，且交于GC，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．∴在Rt △CBG 中BH =BC⋅BG CG=BC⋅BG √BC 2+BG 2=2√33a ，又BG =√2a ，∴sin∠BGH =BH BG=√63．解析：(1)由面面垂直的性质证明CB ⊥AG ，用勾股定理证明AG ⊥BG ，得到AG ⊥平面CBG ，从而结论得到证明．(2)由(Ⅰ)知面AGC ⊥面BGC ，在平面BGC 内作BH ⊥GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ，故∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角，解Rt △CBG ，可得GB 与平面AGC 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，体现转化的思想，属于基础题．20.答案：解：(1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程，得p =2，所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y ． (2)设直线l 的方程为y =kx −1， 又设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A′(−x 1,y 1)， 由{y =x 24,y =kx −1,得x 2−4kx +4=0， 则Δ=16k 2−16>0，x =4k±√16k2−162，x 1x 2=4，x 1+x 2=4k ，所以k A′B =y 2−y 1x 2−(−x 1)=x 224−x 124x1+x 2=x 2−x 14， 于是直线A′B 的方程为y −x 224=x 2−x 14(x −x 2)，所以y =x 2−x 14(x −x 2)+x 224=x 2−x 14x +1，当x =0时，y =1，所以直线A′B 过定点(0,1)．解析：本题考查抛物线的方程与抛物线与直线的位置关系，属于中档题． (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程，即可求解，(2)设直线l 的方程为y =kx −1，又设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A′(−x 1,y 1)，直线方程与抛物线方程联立，求得x 1x 2=4，x 1+x 2=4k ，写出直线A′B 的方程，整理即可求解． 21.答案：解：(1)由题设，函数f (x )的定义域为(0,+∞)， ，令，；当x 变化时，，f (x )的变化情况如下表：因此，当x =1，函数f (x )有极大值即为最大值，且最大值为f (1)=0，没有最小值; (2)证明：由(1)可知函数f (x )在x =1处取得最大值，且最大值为0， 即f (x )=lnx −x +1≤0⇒lnx ≤x −1，证毕．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题． (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)由(1)和函数的单调性证明结论即可．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos α=−4cos α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)=|1−2x|+|1+x|，故f(x)≥4，即|1−2x|+|1+x|≥4，∴{x <−11−2x −x −1≥4①或{−1≤x ≤121−2x +x +1≥4②或{x >122x −1+x +1≥4③，解①求得x ≤−43，解②求得x ∈⌀，解③求得x ≥43， 综上，可得不等式的解集为．(2)关于x 的不等式a 2+2a −|1+x|<f(x)恒成立，即a 2+2a <|1−2x|+|2x +2|，而|1−2x|+|2x +2|≥|1−2x +2x +2|=3， 故有a 2+2a <3，求得3<a <1，即实数a 的取值范围为(−3,1)．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f(x)≥4的解集； (2)绝对值三角不等式的应用．。
2020届云南省昆明市第一中学高中新课标高三第一次摸底测试数学(文)试题(解析版)
2020届云南省昆明市第一中学高中新课标高三第一次摸底测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}21x B x =≤，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,1-【答案】B 【解析】先求集合B ，然后求A B I .【详解】 因为{}0B x x =≤，所以{}1,0A B ⋂=-，选B.【点睛】本题考查了集合的交集.2．若()347z i i +=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】B【解析】复数734i z i+=+，然后化简. 【详解】 7(7)(34)134(34)(34)i i i z i i i i ++-===-++-，选B. 【点睛】本题考查了复数的运算，属于简单题型.3．中秋佳节即将来临之际，有3名同学各写一张贺卡，混合后每个同学再从中抽取一张，则每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．13【答案】D【解析】记3名同学及他们所写贺卡分别为、、A B C ，写出所有他们拿到的贺卡的排列方式的基本事件并记录总数，找出满足条件的对应都不同的基本事件个数，由古典概型概率公式计算求得答案.【详解】记3名同学及他们所写贺卡分别为、、A B C ，则他们拿到的贺卡的排列方式分别为ABC ，ACB ，BAC ， BCA ， C AB ， C BA ，共6种， 其中对应位置字母都不同的有 BCA ， C AB ， 共2种，则所求概率2163p ==， 故选：D【点睛】本题考查古典概型问题，属于简单题.4．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党98周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，则该校高一年级学生人数为（ ）A ．720B ．960C ．1020D ．1680 【答案】C【解析】先计算高一年级抽取的人数，然后计算抽样比，再计算高一年级的总人数.【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高三年级抽12人，高二年级抽16人，所以高一年级要抽取45121617--=人，因为该校高中学共有2700名学生，所以各年级抽取的比例是451270060=，所以该校高一年级学生人数为117102060÷=人，选C. 【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题型.5．椭圆24x +2y m =1（0＜m ＜4m 的值为（ ）A ．1B C ．2 D ．【答案】C【解析】利用椭圆方程，结合离心率公式求解即可．【详解】解：椭圆224x y m +=1（0＜m ＜4，可得22=，解得m =2． 故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．函数()cos f x x x =在[,0]π-上的最大值为（ ）A ．1B C ．2 D ．1【答案】A【解析】由辅助角公式整理，再在三角函数中由内到外求值域，即可求得答案.【详解】因为()cos 2sin ([,0])6f x x x x x ππ⎛⎫==+∈- ⎪⎝⎭，所以5666x πππ-≤+≤， 所以11sin 62x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在[,0]π-上的最大值为1， 故选：A【点睛】 本题考查三角函数求值域，常借助三角恒等变换与辅助角公式化为同一个角的三角函数处理，属于简单题.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若927S =，则5a =（ ）A ．-3B ．3C ．-6D ．6 【答案】B【解析】将已知由等差数列前n 项和公式表示，再由等差数列项的下标的性质整理，运算求得答案.【详解】因为927S =，所以()1959922722a a a +⋅==，所以5927a =，则53a =， 故选：B【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的前n 项和公式，属于简单题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AD 的中点，F 为BD 的中点，则（ ）A ．11//EF C DB ．1EF AD ⊥C ．//EF 平面11BCC BD ．EF ⊥平面11AB C D【答案】D【解析】分析选项，得到正确结果.【详解】 连结AC ，1D C ，则F 为AC 的中点，所以1//EF D C ，因为11⊥D C DC ，1D C AD ⊥，1AD DC D =I ，所以1DC ⊥平面11AB C D ，所以EF ⊥平面11AB C D ，选D.【点睛】本题考查了几何体里面的线线和线面的位置关系，考查空间想象能力，以及逻辑推理能力，本题的关键是能证明1//EF CD .9．已知函数()e (sin cos )x f x a x b x =⋅+，若0x =是()f x 的一个极小值点，且222a b +=，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．±1【答案】C【解析】首先求函数的导数，()00f '=，再结合已知求解,a b ，注意不要忘了验证0x =是极小值点.【详解】由，()()()sin cos x f x e a b x a b x '=⋅-++⎡⎤⎣⎦得()00f a b '=+=，又222a b +=，则21a =，若1a =-，则1b =，此时()2sin xf x e x '=-⋅，0x =是()f x 的一个极大值点，舍去；若1a =，则1b =-，此时()2sin x f x e x '=⋅，0x =是()f x 的一个极小值点，满足题意，故1a =，选C.【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，属于简单题型，本题的一个易错点是忘记回代验证0x =是极小值点.10．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．25B ．24C ．21D ．9【答案】A 【解析】根据程序框图，顺着流程线依次代入循环结构，得到结果.【详解】第一次循环：09S =+，97T =+：第二次循环：97S =+，975T =++； 第三次循环：975S =++，9753T =+++；第四次循环：9753S =+++，97531T =++++；第五次循环：97531S =++++，()975311T =+++++-，此时循环结束，可得()591252S ⨯+==.选A. 【点睛】本题考查了循环结构，顺着结构图，依次写出循环，属于简单题型.11．若点P 在不等式组2202010x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩内，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么||PQ 的最小值为（ ）A．451 5-B．2 21-C．3212-D．51-【答案】D【解析】如图作出满足约束条件的可行域和圆的图像，显然||PQ的最小值即为可行域中的点到圆上的最小距离，转化为到圆心的距离减半径，观察图像即可求得答案.【详解】如图作出满足约束条件2202010x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩的可行域和曲线22(2)1x y++=，||PQ的最小值即为可行域中的点到圆上的最小距离n minmi||||151PQ PC=-=-故选：D【点睛】本题考查线性规划问题中目标函数为距离型问题，属于中档题.12．偶函数()f x在(],0-∞上为减函数，若不等式()()212f ax f x-<+对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．()23,2-B．(2,23-C．(23,23-D．()2,2-【答案】D【解析】偶函数满足()()f x f x=，所以函数化简为()()212f ax f x-<+，再根据()0,∞+的单调性去绝对值，转化为210x ax++>和230x ax-+>在R上恒成立，求出a的取值范围.【详解】因为()f x 为偶函数，由题意可知，()()212f ax f x-<+，()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以212ax x -<+，从而22212x ax x --<-<+在x ∈R 恒成立，可得212a <且24a <，所以22a -<<，选D.【点睛】本题考查了根据偶函数和单调性解抽象不等式，以及一元二次不等式恒成立的问题，需注意偶函数解抽象不等式时，需根据公式()()f x fx =化简，根据()0,∞+的单调性去绝对值.二、填空题 13．已知(1,2)a =r ，(3,)b m =r ，且a b ⊥r r ，则m =_____ 【答案】32- 【解析】因为由a b ⊥r r 构建方程，解得答案.【详解】因为a b ⊥r r ， 所以320m +=，32m =-. 故答案为：32-【点睛】本题考查由平面向量垂直的坐标表示求参数，属于基础题.14．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，51a =，3119a a =，则{}n a 的公比为_____.【解析】由等比数列下标的性质且{}n a 的各项都是正数，可求得7a ，再由275a q a =，求得答案.【详解】因为{}n a 为各项都是正数的等比数列，所以由231179a a a ==，得73a = 且2753a q a ==.，则q =【点睛】本题考查等比数列的性质求项，进而求公比，属于简单题.15．已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，以2F 为圆心，12F F 为半径的圆交双曲线C 的右支于A ，B 两点，若123AB F F =，则双曲线C 的离心率为_________. 【答案】31+. 【解析】根据已知条件可知22,3AF c AH c ==，那么260AF H ∠=o ，然后进一步求出1AF ，根据双曲线的定义可知122AF AF a -=，求出离心率.【详解】设AB 与x 轴交于点H ，则3AH c =，所以260AF H ∠=︒，所以130AF H ∠=︒，所以123AF c =，所以2322c c a -=，所以双曲线C 的离心率312e +=.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，本题的重点是利用半径等于2c ，根据平面几何的性质将1AF 和2AF 都表示成与c 有关的量，然后根据双曲线的定义求解.在圆锥曲线中求离心率的方法：（1）直接法，易求,,c b c b a a的比值；（2）构造法，根据条件构造成关于,a c 的齐次方程；（3）几何法，利用椭圆和其他平面图形的一些几何性质，找到等量关系，求离心率.16．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB ∆和ABC ∆均为边长为23的等边三角形，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________.【答案】20π.【解析】因为PAB ∆和ABC ∆是全等的等边三角形，所以取AB 中点H ，连接,PH CH ，过两个三角形外接圆的圆心做,PH CH 的高，交点就是外界球的球心，根据所构造的平面图形求半径，最后求球的表面积.【详解】由题意可知，设PAB ∆和ABC ∆的外心的半径为1r ，2r ， 则1223224sin 60r r ===︒，122r r ==，21O H =，11O H =，3AH =， 22222115R AO AH O H O O ==++=，5R =，所以球的表面积为2420S R ππ==.【点睛】本题考查了几何体外接球的表面积的求法，考查了空间想象能力，以及转化与化归和计算能力，属于中档题型，这类问题，需先确定球心的位置，一般可先找准底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，垂线上的点到底面各顶点的距离相等，然后再满足某点到顶点的距离也相等，找到球心后，利用球心到底面的距离，半径和顶点到底面中心的距离构造直角三角形，求半径.三、解答题17．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：甲样本数据直方图乙样本数据直方图已知乙样本中数据在[)70,80的有10个.（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）81.5,82.5.【解析】（1）首先计算乙样本中数据在[)70,80的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求a ；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在[)70,80的频率为0.020100.20⨯=，而这个组学生有10人，则100.20n=，得50n =. 由乙样本数据直方图可知()0.0060.0160.0200.040101a ++++⨯=，故0.018a =.（2）甲样本数据的平均值估计值为()550.005650.010750.020850.045950.0201081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.由（1）知0.018a =，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为()0.0060.0160.018100.400.50++⨯=<，前四组的频率之和为()0.0060.0160.0180.040100.800.50+++⨯=>， 故乙样本数据的中位数在第4组，则可设该中位数为80x +， 由()0.0060.0160.018100.0400.50x ++⨯+=得2.5x =，故乙样本数据的中位数为80 2.582.5+=.根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为81.5，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82.5. 【点睛】本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率⨯样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是0.5. 18．已知在ABC ∆中，120ACB ∠=︒，2BC AC =. （1）求tan A 的值；（2）若1AC =，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ，求CD 的长.【答案】（1）tan A =； （2）23. 【解析】（1）根据正弦定理边角互化可知sin 2sin A B =，利用60A B +=o ，代入60B A =-o ，整理求tan A ；（2）60ACD ∠=o ，利用180A ACD ADC +∠+∠=o ，()sin sin ADC A ACD ∠=+∠，最后ADC ∆中利用正弦定理求CD 的长.【详解】（1）因为2BC AC =，所以sin 2sin 2sin 3A B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭.sin sin A A A =-，可得tan A =. （2）因为CD 是角平分线，所以60ACD ∠=︒，由tanA =，可得sin 7A ==cos 7A ==，所以()321sin sin sin cos cos sin14ADC A ACD A ACD A ACD ∠=∠+∠=∠+∠=， 由sin sin AC CDADC A=∠可得21sin 27sin 332114AC A AD ADC ===∠. 【点睛】本题考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换解三角形，常用公式180A B C ++=o ，()sin sin A B C =+以及两角和或差的三角函数，辅助角公式等转化，考查了转化与化归的思想，以及计算能力的考查.19．图1是由正方形ABCG ，直角梯形ABED ，三角形BCF 组成的一个平面图形，其中22AB DE ==，3BE BF CF ===，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.（1）证明：图2中的D ，E ，C ，G 四点共面，且平面ABD ⊥平面DEC ； （2）求图2中的点A 到平面BCE 的距离. 【答案】（1）见解析（22【解析】（1）由平行的传递性可证得//DE CG ，即可说明DECG 四点共面；由//DE CG 和直角梯形可知，利用线面垂直的判定定理可证得DE ⊥平面ADG ，进而DE DG ⊥，分别在直角梯形ABED 和直角梯形GCED 中由勾股定理求得AD 和DG ，再由勾股定理逆定理可知AD DG ⊥，从而AD ⊥平面DEG ，即可证得平面ABD ⊥平面DEC .（2）计算等腰直角三角形ADG 中AG 边上的高，由线面平行的性质可知，点E 到平面ABC 的距离1h ，分别计算三角形ABC 的面积1S 和BCE V 的面积2S ，由等体积法A BCE E ABC V V --=构建方程，可求得点A 到平面BCE 的距离2h .【详解】（1） 证明：因为正方形ABCG 中， //AB CG ，梯形ABED 中， //DE AB ， 所以//DE CG ，所以DECG 四点共面；因为AG AB ⊥， 所以AG DE ⊥， 因为,AD DE AD AG A ⊥⋂=，所以DE ⊥平面ADG ，因为DG ⊂平面ADG ， 所以DE DG ⊥，在直角梯形ABED 中，2,1,AB DE BE ===，可求得AD =，同理在直角梯形GCED 中，可求得DG =，又因为2AG BC ==， 则222AD DG AG +=，由勾股定理逆定理可知AD DG ⊥，因为,AD DE DE DG D ⊥⋂=， 所以AD ⊥平面DEG ， 因为AD ⊂平面ABD ，故平面ABD ⊥平面DEG ， 即平面ABD ⊥平面DEC .（2）在等腰直角三角形ADG 中，AG 边上的高为1， 所以点D 到平面ABC 的距离等于1，因为DE 与平面ABC 平行， 所以点E 到平面ABC 的距离11h =， 三角形ABC 的面积1122S AB BC =⋅=，BCE V 中，BC =又因为BCE V 的面积212S BC == 设点A 到平面BCE 的距离为2h ，由三棱锥A BCE -的体积A BCE E ABC V V --=，得2h = 故点A 到平面BCE . 【点睛】本题考查空间中平面与平面垂直的证明，空间中四点共面的证明，还考查了利用等体积法求点到面的距离问题，属于较难题.20．过(0,1)F 的直线l 与抛物线2: 4C x y =交于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，设1l 与2l 交于点()00,Q x y . （1）求0y ；（2）过Q ，F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，证明：QF AB ⊥，并求四边形AMBN 面积的最小值.【答案】（1）01y =-（2）见解析，最小值为32.【解析】（1）设直线:1l y kx =+，联立直线l 与抛物线方程，由韦达定理可得根与系数的关系，利用导数的几何意义表示1l ，2l 的斜率，进而表示1l ，2l 的方程，联立两直线的方程表示交点坐标，即可求得答案；（2）由两点坐标分别表示,QF AB u u u r u u u r ，由0QF AB ⋅=u u u r u u u r可知MN AB ⊥，由抛物线的焦点弦弦长公式表示||AB 和||MN ，因为MN AB ⊥，所以由1||||2AMBN S AB MN =表示四边形AMBN 的面积，最后由均值不等式求得最小值. 【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:1l y kx =+，所以241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，所以121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由2142x y y x '=⇒=，所以()111112:l y y x x x -=-， 即2111124:x l y x x =-，同理22221:24x l y x x =-，联立得1201202214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩即01y =-.（2）因为()122121,2,,2x x QF AB x x y y u u u r u u u r +⎛⎫=-=--⎪⎝⎭， 所以()2222222121212120222x x x x x x QF AB y y u u u r u u u r ---⋅=--=-=，QF AB ⊥u u u r u u u r， 即MN AB ⊥，()21212||2444AB y y k x x k =++=++=+，同理24||4MN k =+， ()2222111||||81182322AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当1k =±时， 四边形AMBN 面积的最小值为32. 【点睛】本题考查椭圆的焦点弦问题，还考查了借助导数的几何意义表示切线方程以及平面图形面积的最值问题，属于难题.21．已知函数()(2)ln x f x x e a x ax =-+-在区间(1,2)内没有极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间[]1,2的最大值为M 且最小值为m ，求M m -的取值范围. 参考数据： 2.718, ln 20.693e ≈≈.【答案】（1）(])2,2,e e U ⎡-∞+∞⎣（2）)222e e 2e ln 2,⎡--+∞⎣【解析】（1）对函数()f x 求导，因为()1,2x ∈，所以10x x->，令()e x g x x a =-，对其求导利用分类讨论参数的取值范围进而研究()f x 的单调性，其中当e a ≤，22e a ≥单调性唯一，满足条件，当2e 2e a <<，导函数()f x '存在零点，原函数()f x 由极值点不满足条件，综上得答案；（2）由（1）可知()f x 的单调性，利用分类讨论当e a ≤，()f x 在[1,2]上单调递增，即可表示M ，m ，从而表示M m -，视为关于a 的函数，可求得值域，同理当22e a ≥时，可求得M m -的值域，比较两类结果的范围，求得并集，即为答案. 【详解】（1）因为函数()(2)ln xf x x e a x ax =-+-，求导得()1()e x x f x x a x-'=-， 令()e ,[1,2]xg x x a x =-∈，则()(1)e 0xg x x '=+>，则()g x 在[1,2]上单调递增，①.若e a ≤，则()(1)0g x g e a ≥=-≥，则()f x 在[1,2]上单调递增， ②.若22e a ≥，则2()(2)2e 0g x g a ≤=-≤，则(1)()()0x g x f x x-⋅'=≤，则()f x 在[1,2]上单调递减；③.若2e 2e a <<，则2(1)0,(2)2e 0g e a g a =-<=->，又因为()g x 在[1,2]上单调递增，结合零点存在性定理知：存在唯一实数0(1,2)x ∈，使得()00g x =， 此时函数()f x 在区间(1,2)内有极小值点0x ，矛盾. 综上，(])2,2,a e e U ⎡∈-∞+∞⎣（2）由（1）可知，()(2)ln x f x x e a x ax =-+-，()1()e x x f x x a x-'=-， ①.若e a ≤，则()f x 在[1,2]上单调递增，则(1)m f e a ==--，(2)ln 22M f a a ==-，则(ln 21)e M m a -=-+是关于a 的减函数，故e(ln 21)e eln 2M m -≥-+=； ②.若22e a ≥， 则()f x 在[1,2]上单调递减，则(1)M f e a ==--，而(2)ln 22m f a a ==-；则(1ln 2)M m a e -=--是关于a 的增函数，故2222e (1ln 2)e 2e e 2e ln 2M m -≥--=--；因为(212ln 2)ln 221(21)ln 20.0240e e e e ---=--+≈-<，故(212ln 2)eln 2e e e --<，综上，)222e e 2e ln 2,M m ⎡-∈--+∞⎣ 【点睛】本题考查由极值关系利用导数求得参数的取值范围，还考查了在分类讨论思想下研究最值差的范围问题，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为54π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）50x y --=，()2224x y ++=；（2）1.【解析】（1）两式相减，消去t 后的方程就是直线l 的普通方程，利用转化公式222x y ρ=+，sin y ρθ= ，极坐标方程化为直角坐标方程；（2）32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后写出点到直线的距离公式，转化为三角函数求最值. 【详解】（1）直线l 的普通方程为：50x y --=，由线C 的直角坐标方程为：()2224x y ++=.（2）曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），点P 的直角坐标为()3,3--，中点32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 到直线l的距离d =， 当cos 14πα⎛⎫⎪⎝⎭+=时，d的最小值为1， 所以PQ 中点M 到直线l的距离的最小值为1. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将距离的最值转化为三角函数问题，意在考查转化与化归的思想，以及计算求解的能力，属于基础题型.23．已知正数a ，b ，c 满足等式1a b c ++=. 证明：（1≤ （2≤ 【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】（1）采用分析法证明，要证明不等式成立，只需证明23≤，展开以后利用基本不等式证明；（2）利用2323231111111a b c +++++=，再利用第一问的结论，即可证明. 【详解】（1）要证不等式等价于23≤，因为22123222a b b c a c a b c +++⎛⎫=+++≤+++= ⎪⎝⎭，≤，当且仅当13a b c ===时取等号. （2）因为()()()23232311a b c +++++=，所以2323231111111a b c +++++=，又因为23011a +>，23011b +>，23011c +>.≤13a b c ===时取等号. 【点睛】本题考查了利用基本不等式证明不等式，考查了学生分析问题和类比推理的能力，属于中档题型.。
2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学(文)试题(解析版)
2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|213A x x =-+≤，{}|ln 1B x x =≤，则A B =I （ ） A ．(]1,e - B ．(]1,1-C ．()1,0-D ．(]0,e【答案】D【解析】先分别求出集合,A B ，由此能求出A B I . 【详解】{}{}2131A x x x x =-+<=>-，{}{}ln 10B x x x x e =≤=<≤，则{}0A B x x e ⋂=<≤， 故选：D. 【点睛】本题考查交集的求法，考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算等基础知识，属于基础题.2．已知复数z 满足(2+i) z=3-i ，其中i 为虚数单位，则|z|=（ ）A ．1 BC ．32D ．23【答案】B【解析】用复数除法的运算法则化简复数z 的表示，再根据复数模的定义求出模的大小. 【详解】因为3(3)(2)12(2)(2)i i i z i i i i --⋅-===-++⋅-，所以z ==故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数模的定义，考查了数学运算能力. 3．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：数值空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占1 2C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差【答案】C【解析】通过图象的变换可以判断出选项A的正确性，通过所给的表可以统计出中度污染及以上的天数，这样可以判断选项B的正确性，根据表中所提供的数据可以判断出中位数的大小，这样可以判断出选项C的正确性，通过表中所提供的数据可以判断出选项D的正确性.【详解】由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B错误，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，D错误.根据表中所提供的数据可以判断出中位数略高于100，所以C正确.故选：C【点睛】本题考查了识图和识表的能力，考查了中位数的概念，考查了数据分析能力.4．若,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，42sin 29θ=，则cos θ=（ ） A ．13B ．23C ．223D ．89【答案】A【解析】由同角三角函数的基本关系直接可得结论. 【详解】 由,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭得2,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，27cos 21sin 29θθ=-=-，所以1cos 21cos 23θθ+== 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.5．若实数x ，y 满足10220220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．6【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案. 【详解】 画出可行域，将目标函数化为322z y x =-+， 由图可知，目标函数经过点()2,0A 时取得最大值， 所以32z x y =+的最大值为6z =.故选：D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题． 6．函数()22sin cos 23sin cos x x x x x f =-+的最小值为（ ）A ．-2B ．3-C ．2-D ．-1【答案】A【解析】由二倍角公式以及两角差的正弦公式化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可得到结论. 【详解】因为()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为2-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于基础题.7．已知定义在R 上的函数()y f x =的图象如下图所示，则函数()1y f x =--的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数()y f x =的图象与函数()1y f x =--关于原点对称，再平移即可得到结论. 【详解】因为()1y f x =--的图象可以由()y f x =的图象先关于原点对称，再向上平移一个单位得到. 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象得对称变换，属于基础题. 8．执行如下所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．12【答案】D【解析】由初始条件进入循环体，求出每一次a 的值，可以发现规律，最后求出答案. 【详解】11,2n a ==；2,1n a ==-；3,2n a ==；14,2n a ==；…，a 的值构成以3为周期的数列，因为202036731=⨯+，所以当2020n =时，12a =. 故选：D 【点睛】本题考查了循环结构的输出问题，考查了数列的周期性，考查了数学运算能力. 9．已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5.若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为（ ） A ．92π B ．9π C ．323πD ．12π【答案】A【解析】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积. 【详解】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，所以11()22SAB S AB SO SA SB AB r =⋅=++⋅V ，解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为92π. 故选：A 【点睛】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力.10．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DD ⊥B ．1A E DB ⊥C ．111A ED C ⊥ D ．11AE DB ⊥【答案】B【解析】由已知可得ABD ∆与DAE ∆相似，进而可得BD ⊥平面1A AE ，从而可得1A E DB ⊥.【详解】连结AE ，BD ，因为AB =，所以AB ADAD DE==，所以ABD ∆与DAE ∆相似，所以DAE ABD ∠=∠，所以90EAB ABD ∠+∠=︒，即：AE BD ⊥，所以BD ⊥平面1A AE ，所以1A E DB ⊥.故选：B. 【点睛】本题考查简单几何体，线面垂直得线线垂直，属于基础题.11．设1a ≥，则双曲线22214x y a a -=+离心率的取值范围为（ ）A ．[)5,+∞B ．[)6,+∞C．)+∞ D．)+∞【答案】C【解析】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，从而可得离心率的取值范围. 【详解】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，又1a ≥411415a a ∴++≥=+=，当且仅当4a a =，即2a =时取等号，所以双曲线的离心率的取值范围为)+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，不等式的性质的应用，属于基础题.12．设函数2()2,0()4,0x a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,2]- B ．[1,0]-C ．[1,2]D ．[0,2]【答案】D【解析】利用基本不等式可以求出当0x >时，函数的最小值，再用分类讨论方法求出0x ≤时，函数的最小值，最后根据题意得到不等式，解这个不等式即可.【详解】当0x >时，44x a a a x ++≥=+(当且仅当4x x =时取等号，即2x =时取等号)； 当0x ≤时，若0a ≥，函数的最小值为2(0)2f a =+；若0a <，函数的最小值为()2f a =，由题意可知：(0)f 是函数()f x 的最小值，所以有2(0)2412002f a a a a a =+≤+⇒-≤≤≥∴≤≤Q .选D. 【点睛】本题考查了已知分段函数的最小值求参数取值范围，考查了分类讨论思想，考查了数学运算思想.二、填空题13．已知()1,3a =-r ，()2,1b =r ，若向量a b +r r 与a mb +r r垂直，则m =______.【答案】94-【解析】根据两向量垂直，数量积为0，列方程解得即可. 【详解】因为()3,2a b +=-r r ，()12,3a mb m m +=+-+r r，由已知可得：()()312230m m +--+=，解得：94m =-.故答案为：94-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，属于基础题．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a =，1b =，60A =︒，则c =______. 【答案】4【解析】由已知利用余弦定理即可得到c 的值. 【详解】因为a =，1b =，60A =︒，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2120c c --=，所以4c =．故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.15．已知点()3,4A 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上一点，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若以12F F 为直径的圆经过点A ，则双曲线C 的离心率为______.【解析】由已知可直接得到5c =，a =.【详解】由已知得12AF AF ⊥，所以12210F F AO ==，所以5c =，2a=，所以a =所以双曲线C 的离心率e =【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.16．已知函数1()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则实数a 的取值范围为______. 【答案】514a <<【解析】要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a=-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点1,1（）以下（不含过该点的直线），利用方程的思想最后求出实数a 的取值范围. 【详解】解析：要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a =-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点1,1（）以下（不含过该点的直线），当直线14y x a =-+与1y x =相切时，即11+4x a x =-，所以211+4x ax =-,所以=0∆，所以1a =，（1-舍去），当直线14y x a =-+过点1,1（）时，54a =，所以514a <<.【点睛】本题考查了方程有实根求参数的取值范围，考查了推理认证能力，考查了数学运算能力.三、解答题17．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()11n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T .【答案】（1）43n a n =-（2）4037【解析】（1）由已知可直接求得14d a =，又41133a a d ==+，进而可得11a =，4d =，即可得到结论； （2）由（1）得()()1143n n b n +=--，利用分组求和法即可得到结论.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，因为1a ，2a ，7a 成等比数列，所以2217a a a =，可得()()21116a d a a d +=+，0d ≠，得14d a =， 又41133a a d ==+，可得11a =，4d =，所以43n a n =-. （2）()()()111143n n n n b a n ++=-=--，2019122019T b b b =++⋅⋅⋅+()()()15913806580698073=-+-+⋅⋅⋅+-+()4100980734037=-⨯+=.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，以及数列前n 项和的求法，属于基础题.18．【2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在[]20,60内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如表：（1）为推广移动支付，商场准备对使用移动支付的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该商场预计有12000人购物，试根据上述数据估计，该商场当天应准备多少个环保购物袋？（2）某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式抽取7人作跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人年龄都在[)20,30内的概率. 【答案】(1)7000个；(2) 17. 【解析】试题分析：（1）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为712，据此估计该商场要准备环保购物袋712000700012⨯= 个； （2）按年龄分层抽样时，抽样比例为15:1，所以应从[)20,30内抽取3人，从[)30,40内抽取2人，从[)40,50内抽取1人，从[)50,60内抽取1人.列出所有可能的基本事件，结合古典概型计算公式可得获得额外礼品的2人年龄都在[)20,30内的概率为17. 试题解析：（1）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为105718012=， 若当天该商场有12000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋712000700012⨯= 个；（2）按年龄分层抽样时，抽样比例为4530151515:17+++=，所以应从[)20,30内抽取3人，从[)30,40内抽取2人，从[)40,50内抽取1人，从[)50,60内抽取1人. 记选出年龄在[)20,30的3人为,,A B C ，其他4人为,,,a b c d ，7个人中选取2 人赠送额外礼品，有以下情况：,,,,,AB AC Aa Ab Ac Ad ， ,,,,BC Ba Bb Bc Bd ， ,,,Ca Cb Cc Cd ， ,,ab ac ad ，,bc bd ，cd .共有21种不同的情况，其中获得额外礼品的2人都在[)20,30的情况有3种， 所以，获得额外礼品的2人年龄都在[)20,30内的概率为31=217. 19．如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求直线CQ 与平面APBQ 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析（22【解析】（1）易证BC ⊥平面APBQ ，进而可得⊥AP BC ，由BG ⊥平面APC ，得AP BG ⊥，从此即可得证；（2）由等体积法分析得当PA PB ⋅最大时，三棱锥P ABC -体积最大，此时2BQ PA ==【详解】（1）因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ I 平面ABCD AB =， 四边形ABCD 为正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面APBQ ，又因为AP ⊂平面APBQ ，所以⊥AP BC ， 因为BG ⊥平面APC ，AP ⊂平面PAC ， 所以AP BG ⊥，因为BC BG B =I ，,BC BG ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ， 因为AP ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面PBC ．（2）111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⋅的最大值． 令PA m =，PB n =， 由（1）知，PA PB ⊥，所以224m n +=，当且仅当2m n == 即2PA PB ==()a 2m x21123323P ABC n V mn m -+=≤⋅=， 因为四边形APBQ 为平行四边形，所以2BQ PA ==因为BC ⊥平面APBQ ，所以直线CQ 与平面APBQ 所成角的正切值为tan 2CQB ∠=【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，等体积法的转化，线面角的求法，属于中档题. 20．过点(0,2）的直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)在y 轴上是否存在定点M ，使得OMA OMB ∠=∠？并说明理由. 【答案】(1)22x y =；(2)存在,理由见解析【解析】(1)设出直线l 的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合OA OB ⊥可以求出抛物线的方程；(2)假设存在，根据二个角相等可以转化为两条直线的斜率互为相反数，根据斜率的公式，结合根与系数的关系可以求出在y 轴上存在定点M ，使得OMA OMB ∠=∠. 【详解】解：(1)设直线l ：2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则联立222y kx x py=+⎧⎨=⎩得2240x pkx p --=，则1212=2=4x x pk x x p+⎧⎨-⎩，所以()()()212121212=22+244y y kx kx k x x k x x ++=++=， 所以1212440OA OB OA OB x x y y p ⊥⇔⋅=+=-+=u u u r u u u r，1p =，所以抛物线C 的方程为22x y =．(2)假设存在满足条件的点()0,M t ,设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由（1）知1212=2=4x x kx x +⎧⎨-⎩，若OMA OMB ∠=∠，则0MA MB k k +=，()()()()122112211212121222y t x y t x kx t x kx t x y t y t x x x x x x -+-+-++---+== ()()()()121212228222042kx x t x x k t kt kx x +-+-+-+====-，所以存在()0,2M -满足条件． 【点睛】本题考查了求抛物线的标准方程，考查了利用直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的应用，考查了抛物线中定点问题，考查了数学运算能力. 21．已知函数()ln f x x x =-. （1）求()f x 的最小值；（2）证明：对于任意正整数n ，22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【答案】（1）()f x 的最小值为1（2）证明见解析 【解析】（1）利用()f x 的导函数即可得到结论.（2）利用（1）的结论，推出ln 1x x ≤-，进而利用放缩法对2211ln 111k k⎛⎫+≤+- ⎪⎝⎭放缩，得2111ln 11k k k⎛⎫+≤- ⎪-⎝⎭，即可得到结论. 【详解】解：（1）()111x f x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()'0f x <，故()f x 在()0,1单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 在()1,+∞单调递增； 故()()11f x f ≥=，故()f x 的最小值为1.（2）由（1）可得，()ln 1f x x x =-≥即ln 1x x ≤-， 所以()2211111ln 111k k k k k k⎛⎫+≤<=- ⎪--⎝⎭，*k N ∈且2k ≥， 则222111111111ln 1ln 1ln 12312231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ， 即2221111ln 1111123n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 即22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查函数的导数以及最大值的求法，放缩法证明不等式的综合应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．22．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数，0απ<<)，抛物线C 的普通方程为22y x =.(1)求抛物线C 的准线的极坐标方程；(2)设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的最小值及此时α的值. 【答案】(1)1cos 2ρθ=-； (2)当且仅当2πα=时，AB 取得最小值2【解析】(1)利用极坐标与直角坐标转化公式求出抛物线C 的准线的极坐标方程； (2) 将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程中，利用参数的意义结合一元二次方程根与系数的关系求出||AB 的最小值及此时α的值. 【详解】解:(1)依题意可得，抛物线C 的准线的普通方程为12x =-，化为极坐标方程即是1cos 2ρθ=-. (2)将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程22y x =，化简整理得，22sin 2cos 10t t αα--=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ,则有1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=-，所以1222sin AB t t α=-==，因为0απ<<，所以，20sin 1α<≤，222sin α≥，即2AB ≥， 当且仅当2πα=时，AB 取得最小值2.【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了利用参数的意义求弦长问题，考查了数学运算能力.23．已知()|4||8|f x ax ax =--+. (1)当2a =时，解不等式()2f x <； (2)求()f x 的最大值【答案】(1)32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；(2)12【解析】(1)利用零点法化简函数的解析式，然后分类求解即可； (2)利用绝对值的性质可以直接求解出函数的最大值. 【详解】解(1)当2a =时,12(4)()44(42)12(2)x f x x x x <-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩当4x <-时，不等式不成立； 当42x -≤≤时，解得322x -<≤； 当2x >时，不等式恒成立.综上，不等式()2f x <的解集为32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.(2)因为()48f x ax ax =--+(4)(8)12ax ax ≤--+=,当且仅当80ax +≤时取到等号，所以()f x 的最大值为12. 【点睛】本题考查了利用零点法解绝对值不等式，考查了利用绝对值的性质求函数的最大值问题，考查了数学运算能力.。
2020年云南省昆明市第一中学高考第一次摸底测试数学试题(附答案解析)
2020年云南省昆明市第一中学高考第一次摸底测试数学试题一、单选题1．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分， 光源放在焦点F 处．己知灯口直径为60cm ，光源距灯口的深度为40cm ，则光源到反射镜的顶点的距离为( )A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm2．已知函数()151xf x e x =--（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ．3．若复数z 满足24iz i =-，则z 在复平面内对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2,4)-C ．(4,2)--D ．(4,2)-4．若集合{}{}21,,2,4A mB =，则"2"m =是{}"4"A B ⋂=的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12B ．14C ．14-D ．12-6．抛物线22y px =，过点(2,4)A ，F 为焦点，定点B 的坐标为(8,8)-，则||:||AF BF 值为（ ）A ．1:4B ．1:2C ．2:5D ．3:87．三维柱形图中柱的高度表示的是（ ） A ．各分类变量的频数 B ．分类变量的百分比 C ．分类变量的样本数 D ．分类变量的具体值8．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A 在x 轴上，AB 平行于y 轴，侧棱1AA 平行于z 轴．当顶点C 在y 轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（ ）A ．该三棱柱主视图的投影不发生变化；B ．该三棱柱左视图的投影不发生变化；C ．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D ．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化． 9．设复数2i 1ix =-(i 是虚数单位),则12016C x +222016C x +332016C x ++201620162016C x=A ． 0B ． 2-C ． 1i -+D ． 1i --10．将四棱锥S ﹣ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（ ） A ．480种B ．360种C ．420种D ．320种11．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =⋅-+，将()f x 图像的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位后得到函数()g x ，在区间[0,]π上随机取一个数x ，则()1g x ≥的概率为 A ．13 B ．14C ．15D ．1212．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为1，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于（）A ．B ．323π C ．12π D ．16π二、填空题13．在平面直坐标系中，O 为原点，点()4,2A -，点P 满足3OP PA =-，则点P 的坐标为_______. 14．设点P 为ABC ∆的重心，若AB=2，AC=4，则•AP BC =___________.15．已知实数x ，y 满足约束条件22024410x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数3z x y =-+的最大值为______.16．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰Rt ∆，AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为____________。
(新课标)云南省昆明市第一中学2020高三数学第三次双基检测试题 文(扫描版)
2020届昆一中高三联考卷第三期数学参考答案及评分标准参考答案（文科数学）一、选择题1. 解析：因为{}1,0,5U B =-ð，所以{}1,0,3,5U A B =-U ð. 选A.2. 解析：因为3111=i 1i 22z =--，所以复平面内z 对应的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 选D. 3. 解析：由已知得(2,2)a b x -=-rr ，所以4(2)0x --=，解得2x =-，选B.4. 解析：从36名学生中抽取9名，抽样间隔为4，所以9名学生的编号分别为33，29，25，21，17，13，9，5，1，选A ．5. 解析：因为0c d <<，所以110c d>>，由不等式的性质可知：选C.6. 解析：依题意，1.618s a ≈，所以 1.618611.604PH s a =≈=，选D.7. 解析：o o o o o cos 213cos(18033)cos33sin 57=+=-=-=，选C ．8. 解析：设()f x t =，令()0f t =，则1t =或1t =-.当0x ≥时，由()1f x =，得x ()1f x =-，得0x =；当0x <时，由()1f x =，即111x +=，无解；由()1f x =-，即111x+=-，得12x =-，所以有三个零点，选B.9. 解析：输入0,1,1a b i ===；第1次循环：1,1,1,2c a b i ====；第2次循环：2,1,2,3c a b i ====；第3次循环：3,2,3,4c a b i ====； 第4次循环：5,3,5,5c a b i ====；第5次循环：8,5,8,6c a b i ====； 第6次循环：13,8,13,7c a b i ====；…因为输出13b =，所以7i =时就要输出，结合选项，选C.10. 解析：设椭圆C ：2214x y +=的左焦点为1F ，则112OP OF F F ==，所以1PF PF ⊥，所以△PFO 的面积12111tan 2242PF F S S b π===V ，选A. 11. 解析：由题意可知，平面PAB ⊥平面ABC ,2233()24R R =-+,即=1R ，S=4π，选B.12. 解析：因为(0)f =-()2f π，所以12=sin()26ππω-，即=+2266k πππωπ-或5=+2266k πππωπ-， 即2=+43k ω或=2+4k ω，（k ∈Z ）,又因为在（02π，）上有且仅有三个零点，2πω2π<<4πω,所以48ω<<,所以ω为143或6，选A. 二、填空题13. 解析：则()4ln ex xf x '=，由导数的几何意义知函数()f x 在点()e,e 处的切线斜率()e 4k f '==，则函数()f x 在点()e,e 处的切线方程为()e 4e y x -=-即43e y x =-. 14. 解析：因为7311(3)()2473S S a d a d d -=+-+==，所以2d =，5149a a d =+=.故5a =9. 15. 解析：因为()sin()cos()2sin()4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++的最小正周期为π，所以2ω=，又因为()()0f x f x --=，所以()f x 为偶函数，得：=+4k πϕπ（k ∈Z ）而||2πϕ<，所以=4πϕ，所以()2sin(2)2cos22f x x x π=+=，所以2()6f π=. 16. 解析：由图和对称性可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=o ，所以2e =三、解答题 （一）必考题17. 解：（1）根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A 、B 、C ，不挑同桌有2人，记为d 、e ；从这5人中随机选取3人，基本事件为ABC ABd ABe ACd ACe Ade BCd BCe Bde Cde ，，，，，，，，，共10种，这3名学生中恰有2名要挑同桌的事件为ABd ABe ACd ACe BCd BCe ，，，，，，共6种，故所求的概率为63105P ==；………6分 （2）根据以上22⨯列联表，计算观测值22100(30102040) 4.7619 3.84170305050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，A B 1对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．………12分18. 解析：（1）因为123n n n a a +=+⋅，所以123n n n a a +-=⋅从而12123a a -=⋅，23223a a -=⋅，…，1123(2)n n n a a n ---=⋅≥ 累加可得112113(13)23232323313n n n n a a ----=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⨯=--，所以3n n a =因为13a =适合n a ，所以3()n n a n =∈*N ………6分（2）1133log log 3nn n b a n ===-，11111(1)1n n b b n n n n +==-++ n T =1111111111()()()11(1)122311n n b b n n n n n +==-+-+⋅⋅⋅+-=-<+++ ………12分19. 解析：（1）证明：取1C F 的中点G ，连接EG ,因为E 为棱11A D 中点，所以EG ∥11D C ， 又因为11D C ∥DC ，所以EG ∥DC ；因为11111122A B B C C D ==，所以11EG D C DC ==， 故四边形EDCG 为平行四边形， 所以DE ∥CG ,因为DE ⊄平面1CC F ，CG ⊂平面1CC F ，所以DE ∥平面1CC F . ………5分 （2）解：等腰梯形1111A B C D 中，因为111111222A B B C C D m ===，所以1160FB C ∠=o ； 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1C C ⊥平面11A C ， 所以平面11A C ⊥平面1BC ，取11B C 的中点H ，连接FH ，则FH ⊥平面1BC ，且FH ， 所以1131132BB C C m V S FH =⋅⋅=四边形，32194BCD m V S AA =⋅=梯形A ，所以1229V V =. ………12分20. 解：（1）由题意可知，动圆圆心P 到点102（，）的距离与到直线12x =-的距离相等，所以点P 的轨迹是以102（，）为焦点，直线12x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为22y x =． ………5分（2）易知()22M ，，设点11()A x y ，，22()B x y ，，直线AB 的方程为：x my b =+， 联立22x my b y x =+⎧⎨=⎩，得2220y my b --=，所以121222y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，所以21221222x x m b x x b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩ 因为12121222=122y y k k x x --⋅=--，即1212121222y y y y x x x x -+=-+（）（）， 所以222440b b m m --+=，所以22221b m --（）=（），所以=2b m 或=2+2b m - 当22b m =-+时，直线AB 的方程：22x my m =-+过定点()22，与M 重合，舍去； 当2b m =时，直线AB 的方程：+2x my m =过定点()02-，，所以直线AB 过定点()02-，．………12分 21. 解：（1）()()e sin x g x f x x '==+，则()e cos xg x x '=+，因为cos y x =与e x y =在(,0)π-均为增函数，故()g x '在(,0)π-为增函数，又()e 10g ππ-'-=-<，且()020g '=>，则()()00g g π''-<，结合零点存在性定理知：()g x '在区间(,0)π-存在唯一零点； ………6分（2）构造函数()e xF x ax =-，R x ∈，由题意知()0F x ≥，①当0a <时，11e 10a F a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与题意矛盾，舍去；②当0a =时，()e 0xF x =>，符合题意；③当0a >时，()e xF x a '=-，()F x '为增函数，当(),ln x a ∈-∞时()0F x '<，即()F x 在(),ln a -∞单调递减， 当()ln ,x a ∈+∞时()0F x '>，即()F x 在()ln ,a +∞单调递增，则()()()ln min ln e ln 1ln aF x F a a a a a ==-=-，要使()0F x ≥对任意R x ∈恒成立，即需使()min 0F x ≥，即()1ln 0a a -≥，解得e a ≤； 综上所述，a 的取值范围为[0,e]. ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
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5．椭圆 + =1（0＜m＜4）的离心率为 ，则m的值为（ ）
A．1B． C．2D．
6．函数 在 上的最大值为（）
A．1B． C．2D．
7．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （）
A．-3B．3C．-6D．6
8．在正方体 中， 为 的中点， 为 的中点，则（ ）
A． B．
C． 平面 D． 平面
16．在三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均为边长为 的等边三角形，若三棱锥 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________.
评卷人
得分
三、解答题
17．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取 人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．中秋佳节即将来临之际，有3名同学各写一张贺卡，混合后每个同学再从中抽取一张，则每个同学抽到的都不是自己写的贺卡的概率是（）
A． B． C． D．
4．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党 周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生 名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为 的样本参加活动，其中高三年级抽了 人，高二年级抽了 人，则该校高一年级学生人数为（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知 ， ，且 ，则 _____
14．已知等比数列 的各项都是正数， ， ，则 的公比为_____.
15．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆交双曲线 的右支于 ， 两点，若 ，则双曲线 的离心率为_________.
绝密★启用前
2020届云南省昆明市第一中学高中新课标高三第一次摸底测试数学（文)试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
【分析】
复数 ，然后化简.
【详解】
，选B.
【点睛】
本题考查了复数的运算，属于简单题型.
3．D
【解析】
【分析】
记3名同学及他们所写贺卡分别为 ，写出所有他们拿到的贺卡的排列方式的基本事件并记录总数，找出满足条件的对应都不同的基本事件个数，由古典概型概率公式为 ，则他们拿到的贺卡的排列方式分别为 ， ， ， ， ， ，共6种，其中对应位置字母都不同的有 ， ，共2种，则所求概率 ，
故选：D
【点睛】
本题考查古典概型问题，属于简单题.
4．C
【解析】
【分析】
先计算高一年级抽取的人数，然后计算抽样比，再计算高一年级的总人数.
【详解】
因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 的样本，其中高三年级抽 人，高二年级抽 人，所以高一年级要抽取 人，因为该校高中学共有 名学生，所以各年级抽取的比例是 ，所以该校高一年级学生人数为 人，选C.
甲样本数据直方图
乙样本数据直方图
已知乙样本中数据在 的有 个.
（1）求 和乙样本直方图中 的值；
（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
18．已知在 中， ， .
（1）求 的值；
（2）若 ， 的平分线 交 于点 ，求 的长.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上的最大值为1，
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数求值域，常借助三角恒等变换与辅助角公式化为同一个角的三角函数处理，属于简单题.
7．B
【解析】
【分析】
将已知由等差数列前n项和公式表示，再由等差数列项的下标的性质整理，运算求得答案.
9．已知函数 ，若 是 的一个极小值点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．执行如图所示的程序框图，输出的 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．若点P在不等式组 内，点 在曲线 上，那么 的最小值为（）
A． B． C． D．
12．偶函数 在 上为减函数，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
19．图1是由正方形 ，直角梯形 ，三角形 组成的一个平面图形，其中 ， ，将其沿 ， 折起使得 与 重合，连接 ，如图2.
（1）证明：图2中的 ， ， ， 四点共面，且平面 平面 ；
（2）求图2中的点 到平面 的距离.
20．过 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，以 ， 两点为切点分别作抛物线 的切线 ， ，设 与 交于点 .
【点睛】
本题考查了分层抽样，属于简单题型.
5．C
【解析】
【分析】
利用椭圆方程，结合离心率公式求解即可．
【详解】
解：椭圆 =1（0＜m＜4）的离心率为 ，
可得 ，解得m=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
6．A
【解析】
【分析】
由辅助角公式整理，再在三角函数中由内到外求值域，即可求得答案.
（1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若点 为曲线 上的动点，求 中点 到直线 的距离的最小值
23．已知正数 ， ， 满足等式 .
证明：（1） ；
（2） .
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先求集合 ，然后求 .
【详解】
因为 ，所以 ，选B.
【点睛】
本题考查了集合的交集.
2．B
【解析】
（1）求 ；
（2）过 ， 的直线交抛物线 于 ， 两点，证明： ，并求四边形 面积的最小值.
21．已知函数 在区间 内没有极值点.
（1）求实数 的取值范围；
（2）若函数 在区间 的最大值为 且最小值为 ，求 的取值范围.
参考数据： .
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 ，曲线 的极坐标方程为 .