14.3.1公式法因式分解1

-( 2a –1)(2a –1) -(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
（2）4( a + b)²- 25(a - c)²
（3）4a³- 4a
（4）(x＋y + z)² (x－y－z )² －
（5）9(m+n)2－(m-n)2 （6）5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2
解：（1）( x + z )² ( y + z )² -
=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]
有公因式时，先提 公因式，再考虑用 公式.
例3
计算下列各式的值： （2） 5.42-4.62
（1） 652-642
解：652-642 =(65+64)(65-64) =129×1 =129
解：5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =10×0.8 =8
例4.把下列各式因式分解： （1）( x + z )² ( y + z )² -
的平方差公式.
利用平方差公式分解因式
a2－b2=（a+b)(a-b) 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： （1）一个二项式. （2）每项都可以化成整式的平方.
（3）整体来看是两个整式的平方差.
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
理解平方差公式
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什 么？ x 2 +y 2； （1） 2 2 （2） x -y ； （3） - x 2 +y 2； （4） - x 2 -y 2．
=x2－y2＋（2x－2y）
=（x +y）（ x －y ）＋2（x－y） =（ x －y ）（ x ＋y ＋2） =5×9=45
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.利用平方差公式分解因式: a2－b2=（a+b)(a-b).
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法.
3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止. 4.计算中应用因式分解,可使计算简便.
【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +… +(2+1)(2-1) =100+99+98+97+ 96+95 +… +4+3+2+1 =5 050.
把下列各式分解因式：
5 1、a-a
2、2(x-y)-
1 2 2 a (x-y)
已知，x+ y =7，x-y =5，求代数式 x2- y22y+2x的值． 解： x2－y2－2y+2x
（4）(x＋y + z)² (x－y－z )² － =[(x+y+z)+(x-y-z)]×[(x+y+z)- (x-y-z)] =2x (2y + 2z) =4x (y + z )
（5） 5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2 =5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)[1-2xy2(x-y)]
14.3.2 公式法
第1课时
1.运用平方差公式分解因式，能说出 平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与公式法分解因式． 3.培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法, 并能说出提公因式法在这类因式分解中的作用.
1 11 1 11＋ 7 77 （1） 259 259 259 259 ＋ 259 259 259 259 259 3 33 5 55 15 15 15 1 1 17 7 1 解：原式＝ 259 ＋ ） （ × 解：原式＝ 259 （ ＋ ） 3 3 5 15 5 15
=(x+y+2z)(x-y) （2）4( a + b)²- 25(a - c)² =4( a + b)²- 25(a - c)²
=[2(a＋b) ＋5(a-c)][2(a＋b)-5(a-c)]
=(7a＋2b－5c)(－3a＋2b＋5c)
（3）4a³- 4a =4a(a² -1)
=4a(a+1)(a-1)
如果一个多项式的 各项，不具备相同的 因式，是否就不能分 解因式了呢？
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个
公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的 乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
.判断下列各式是因式分解的是 （2） . (1) (x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4=(x+2)(x-2) (3) x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
=5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3)
例5. 若n是整数，证明(2n+1)2-(2n-1)2 是8的倍数．
证明： (2n+1)2-(2n-1)2
=（2n＋1＋2n-1）（2n＋1-2n＋1） =4n×2 =8n 因为n是整数，所以原式是8的倍数．
3.利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12.
答案:a(x+y)(x－y)
4.分解因式：
（1）x4-y4. （2）a3b-ab.
分解因式，必须进行到 每一个多项式都不能再 分解为止.
【解析】(1)x4-y4 =（x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1).
1.（杭州·中考）分解因式 m3 – 4m = 【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2)
.
2.(江西·中考)因式分解:2a2－8＝___________.
【解析】 原式= 2(a 2 4) 2(a 2)(a 2) 答案：2(a 2)(a 2) 3.(珠海·中考)因式分解: ax 2 ay 2 =______. 【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式； 即ax2-ay2=a（x2－y2）=a（x+y）（x－y）
【解析】（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－(m－n)2 =[3(m +n)+(m－n)][3(m +n)－(m－n)] =（3 m +3n+ m－n)(3 m +3n－m +n） =（4 m +2n)(2 m +4n） =4（2 m +n)(m +2n）. （2）2x3－8x =2x（x2－4） =2x（x+2)(x－2）.
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)²
C.
-4 X² -y³
（ D ）
D. - X² y² +
2) -4a²+1分解因式的结果应是 A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
×
√ √ ×
【例题】
【例1】把下列各式分解因式： （1）25－16x2. 【解析】（1）25－16x2 =52－（4x）2 =（5+4x)(5－4x）. （2）9a2－b2.
（2）9a2－b2
=（3a）2－（b）2 =（3a+b)(3a－b）.
【例2】把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2－（m－n）2. （2）2x3－8x.
1. 计算：（1）(x+1)(x-1)
(2) (y+4)(y-4)
x 1
2
y 16
2
2. 根据1题的结果分解因式：
（1）x 2
1
（2） y 2 16 =(y+4)(y-4)
=(x+1)(x-1)
3.由以上1、2两题你发现了什么？
符合因式分解的定义，因此是因式分解,是利用平 方差公式进行的因式分解.第1题等式可以看作是整式乘 法中的平方差公式，第2题等式可以看作是因式分解中
=259 （2） 992＋99
+ 解：原式＝99× 991 99 99 （99 ）
= 99 ×(99ư）101+（-2）100 2、已知, 2 x y 4 xy 3 , 求代数式 2 x 2 y xy 2 的值。

1.如何理解因式分解？ 把一个多项式分解成几个 整式的积的形式. 2.什么是提公因式法分解因式?