二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法讲解
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二阶常系数非齐次线性微分方程资料讲解
齐通解 Y c1 cos x c2 sin x
先求 y y ex 的特解
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
代入上式 2Aj 4, A 2 j,
y* 2 jxe jx 2x sin x (2x cos x) j, 所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例4 求方程 y y x cos 2x 的通解.
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
().Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0, 可设 Q( x) Qm ( x), y Qm ( x)ex;
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2( x)均是m次实系数多项式
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
先求 y y ex 的特解
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
代入上式 2Aj 4, A 2 j,
y* 2 jxe jx 2x sin x (2x cos x) j, 所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例4 求方程 y y x cos 2x 的通解.
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
().Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0, 可设 Q( x) Qm ( x), y Qm ( x)ex;
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2( x)均是m次实系数多项式
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微ຫໍສະໝຸດ 方程一般式是y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题讲解
把它代入所给方程 得
>>>
2b0x2b0b1=x
比较系数
得
b0
=
1 2
b1=1
故 y*= x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b0=1 齐2次b0方b程1=y05y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则
y*=Qm(x)ex
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
y*=x2Qm(x)ex
提示 此时2pq=0 2p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Q下页
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=Qm(x)ex y*=xQm(x)ex
提示 此时2pq=0 但2p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x)
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
>>>
2b0x2b0b1=x
比较系数
得
b0
=
1 2
b1=1
故 y*= x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b0=1 齐2次b0方b程1=y05y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则
y*=Qm(x)ex
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
y*=x2Qm(x)ex
提示 此时2pq=0 2p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Q下页
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=Qm(x)ex y*=xQm(x)ex
提示 此时2pq=0 但2p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x)
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x+2b0b1x
比较系数 得 b0 1 b1 1 故 y* x( 1 x 1)e 2 x 2 2
2b0x+2b0b1x
比较系数 得 b0 1 b1 1 故 y* x( 1 x 1)e 2 x 2 2
提示 2b01 2b0b10 齐次方程y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
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一、 f(x)Pm(x)ex 型 设方程y+py+qyP (x)e 特解形式为y*Q(x)e
m x
则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示
y*+py*+qy* [Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex] [Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
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一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
二阶常系数非齐次微分方程的特解
二阶常系数非齐次微分方程的特解1. 引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域中。
其中，二阶常系数非齐次微分方程是一类常见且重要的微分方程。
本文将详细介绍二阶常系数非齐次微分方程的特解求解方法，并给出一些具体例子进行说明。
2. 二阶常系数非齐次微分方程的一般形式二阶常系数非齐次微分方程的一般形式如下：ay″+by′+cy=g(x)其中，a,b,c为常数，g(x)为已知函数。
我们需要寻找满足该方程的特解。
3. 特解求解方法3.1 齐次线性微分方程的通解首先，我们需要求解对应的齐次线性微分方程：ay″+by′+cy=0这个方程称为齐次线性微分方程。
其通解可以表示为：yℎ(x)=C1e r1x+C2e r2x其中，C1,C2为任意常数，r1,r2为方程的特征根。
3.2 特解的形式我们假设二阶常系数非齐次微分方程的特解形式为：y p(x)=u(x)v(x)其中，u(x)和v(x)是待定函数。
3.3 确定待定函数的形式根据已知函数g(x)的形式，我们可以确定待定函数u(x)和v(x)的形式。
•若g(x)是多项式，则取u(x)和v(x)都为多项式。
•若g(x)是指数函数，则取u(x)为指数函数，v(x)为多项式。
•若g(x)是三角函数，则取u(x)和v(x)都为三角函数。
•若g(x)是指数函数与三角函数的乘积，则取u(x)和v(x)都为指数函数与三角函数的乘积。
3.4 代入原方程求解将特解形式代入原方程，得到一个关于待定系数的代数方程。
通过求解这个代数方程，可以确定待定系数的值。
3.5 特解与通解特解加上齐次线性微分方程的通解即为二阶常系数非齐次微分方程的通解：y=yℎ+y p4. 实例分析下面我们通过一些具体的例子来说明二阶常系数非齐次微分方程的特解求解方法。
4.1 例子1考虑方程：y″−2y′+y=x2+3x首先，我们求解对应的齐次线性微分方程：y″−2y′+y=0。
特征根为r1=r2=1，因此齐次线性微分方程的通解为：yℎ(x)=C1e x+C2xe x接下来，我们确定待定函数的形式。
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次 升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方 程的一个特解y(x)。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
二阶常系数非齐次线性方程解法
就是微分方程的解
22
下面分三种情况讨论常系数齐次线性方程的通解.
1). 特征方程有两个不相等的实根
p2 4q 0
特征根为
1 p
p2 4q ,
2
2 p
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e1x ,
y2 e2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e1x C2e2x ;
14
定理 5.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程解的叠加原理)
例1
求方程
y x y 1 y 0,(x 1) x 1 x 1
23
2） 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解
若 p2 4q 0，则
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
e1 x [(u 21u 12u ) p(u 1u ) q u 0
u ( 2 1 p ) u ( 12 p 1 q ) u 0
数) 是该方程的通解.
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
11
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
二阶非齐次微分方程的特解
二阶常系数非齐次线性微分方程特解如下：二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y*设法分为：一、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。
二、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。
①设f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。
②设f(x)=P（x）e^αx，Pn （x）为n阶多项式。
③假设f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式。
①设f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式：在这个假设情况下，若0不是特定值的话，在特解中，要导入Qm(x)与Pn（x）多项式，所以要根据Qm(x)设法要根据Pn（x）的具体问题和情况而定。
②设f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式：在该项假设情况下，若α不是特定值的话，y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)的设法要根据Pn（x）的情况来定。
③假设f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式：在该假设情况下如果α±iβ并不是特征数值，则即y*=x*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx。
特解y设法二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。
自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。
特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
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其中Q (x =x k
Q m (x是k +m次多项式,将特解
y *代入方程(1 ,化简并整理得:
Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2+p λ+q Q (x =P m (x。(2
结论
1 λ不是特征方程的根时,取k =0,
2λ+p及λ2
+p λ+q都不为零;
2 λ是特征方程的单根时,取k =1, λ2
2a +(4－5 (2ax +b =x ,
即:
－2ax +2a－b =x。
由待定系数法得:
a =－1
2
, b =－1, Q (x =－
1
2
x 2－x。
因此求得一个特解为:
y *=x－1 2 x－
(1e 2x。求yᵡ－6y' +9y =(x +1 e 3x的特解。
解:由于λ=3,是特征方程的重根,取k =2,则Q' (x , Q (x的系数都为零。
可设特解y *=x 2(ax +b e 3x ,则Q (x =ax 3 +bx 2,将Q (x代入式(2有:
6ax +2b =x +1。
由待定系数法得:
a = 1
6
, b = 1 2 ,
因此求得一个特解为y *=x 2
1
6
x +
(1 2 e 3x。
2f (x =e λx [P l (x cos ωx +P n
,
又很难记住公式。采取以下方法减少运算量,又不偏离教材中求特解的方法。常见的方程右端非齐次项f (x主要有两种类型:
f (x =P m (x e λx及e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]
1
f (x =P m (x e λx
型
解法是设特解y
*
=x k Q m (x e λx =Q (x e λx ,
二阶常系数线性非齐次微分方程
特解简易求法
王海菊
(北京联合大学基础部,北京
100101
[摘要]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法,计算量很大。本文
在不脱离教材特解的求法,
利用推导特解过程中出现的重要式子Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2
+p λ+q Q (x =P m (x ,简化待定系数法求特解的过程。对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换,化简右端非齐次项。[关键词]微分方程;特解;待定系数法[中图分类号]O 241. 8
可,不需求y *的一阶,二阶导数,可以大大简化此
类题的计算量。以教材[1]中例题或习题为例。求
yᵡ－2y' +y =(2x +1 e－x的特解。
解:由于λ=－1,不是特征方程的单根,取k
=0。
设特解y *=(ax +b e－x ,则Q (x =ax +b ,
将Q (x代入式(2有:
(－2－2 a +(1+2+1 (ax +b =2x +1,
(x
sin ωx ]型特解可设为:
y *=x k e λx [R (1 m (x cos ωx +R (2
m
(x sin ωx ]。
主要是当λ≠ 0时,用待定系数法求特解是很麻烦的。
不妨先设变换y =e λx u (x代入式(1 ,消去e λx ,得到一个与式(2极相似的式子uᵡ (x +(2λ
WANG Hai-ju
(Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing
100101, China
Abstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified．
Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars
0引言
一般教材中,二阶常系数线性的非齐次方程yᵡ
+py' +qy =f (x (1的特解采用待定系数法[1]
,计算量很大,也很繁琐;有的文献给出特解公式
[2-3]
+p λ+
q =0,此时式(2就简化为Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x =P m (x ;
3 λ是特征方程的重根时,取k =2, λ2+p λ+
q =0,且2λ+p =0,此时式(2就简化为Qᵡ (x =P m (x。
北京联合大学学报(自然科学版2011年6月
可见利用式(2 ,只需求Q' (x及Qᵡ (x即
[文献标志码]A
[文章编号]1005-
0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear
Non-homogeneous Differential Equation with Constant Coefficients
即:
4ax－4a +4b =2x +1。
由待定系数法得:
a = 1
(x =
1
2
x + 3 4。
因此求得一个特解为y *=
1
2
x +
(3 4 e－x ,
求yᵡ－5y' +6y =x e 2x的特解。
解:由于λ=2,是特征方程的单根,取k =1, Q (x的系数为零。
设特解y *=x (ax +b e 2x ,则Q (x =ax 2+ bx ,将Q (x代入式(2有:
2011年6月
第25卷第2期总84期北京联合大学学报(自然科学版
Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011
Vol．25No．2Sum No．84
[收稿日期]2010－09－20
[作者简介]王海菊(1966— ,女,黑龙江人,北京联合大学基础部讲师,研究方向为应用数学与数学教学。
Q m (x是k +m次多项式,将特解
y *代入方程(1 ,化简并整理得:
Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2+p λ+q Q (x =P m (x。(2
结论
1 λ不是特征方程的根时,取k =0,
2λ+p及λ2
+p λ+q都不为零;
2 λ是特征方程的单根时,取k =1, λ2
2a +(4－5 (2ax +b =x ,
即:
－2ax +2a－b =x。
由待定系数法得:
a =－1
2
, b =－1, Q (x =－
1
2
x 2－x。
因此求得一个特解为:
y *=x－1 2 x－
(1e 2x。求yᵡ－6y' +9y =(x +1 e 3x的特解。
解:由于λ=3,是特征方程的重根,取k =2,则Q' (x , Q (x的系数都为零。
可设特解y *=x 2(ax +b e 3x ,则Q (x =ax 3 +bx 2,将Q (x代入式(2有:
6ax +2b =x +1。
由待定系数法得:
a = 1
6
, b = 1 2 ,
因此求得一个特解为y *=x 2
1
6
x +
(1 2 e 3x。
2f (x =e λx [P l (x cos ωx +P n
,
又很难记住公式。采取以下方法减少运算量,又不偏离教材中求特解的方法。常见的方程右端非齐次项f (x主要有两种类型:
f (x =P m (x e λx及e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]
1
f (x =P m (x e λx
型
解法是设特解y
*
=x k Q m (x e λx =Q (x e λx ,
二阶常系数线性非齐次微分方程
特解简易求法
王海菊
(北京联合大学基础部,北京
100101
[摘要]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法,计算量很大。本文
在不脱离教材特解的求法,
利用推导特解过程中出现的重要式子Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2
+p λ+q Q (x =P m (x ,简化待定系数法求特解的过程。对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换,化简右端非齐次项。[关键词]微分方程;特解;待定系数法[中图分类号]O 241. 8
可,不需求y *的一阶,二阶导数,可以大大简化此
类题的计算量。以教材[1]中例题或习题为例。求
yᵡ－2y' +y =(2x +1 e－x的特解。
解:由于λ=－1,不是特征方程的单根,取k
=0。
设特解y *=(ax +b e－x ,则Q (x =ax +b ,
将Q (x代入式(2有:
(－2－2 a +(1+2+1 (ax +b =2x +1,
(x
sin ωx ]型特解可设为:
y *=x k e λx [R (1 m (x cos ωx +R (2
m
(x sin ωx ]。
主要是当λ≠ 0时,用待定系数法求特解是很麻烦的。
不妨先设变换y =e λx u (x代入式(1 ,消去e λx ,得到一个与式(2极相似的式子uᵡ (x +(2λ
WANG Hai-ju
(Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing
100101, China
Abstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified．
Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars
0引言
一般教材中,二阶常系数线性的非齐次方程yᵡ
+py' +qy =f (x (1的特解采用待定系数法[1]
,计算量很大,也很繁琐;有的文献给出特解公式
[2-3]
+p λ+
q =0,此时式(2就简化为Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x =P m (x ;
3 λ是特征方程的重根时,取k =2, λ2+p λ+
q =0,且2λ+p =0,此时式(2就简化为Qᵡ (x =P m (x。
北京联合大学学报(自然科学版2011年6月
可见利用式(2 ,只需求Q' (x及Qᵡ (x即
[文献标志码]A
[文章编号]1005-
0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear
Non-homogeneous Differential Equation with Constant Coefficients
即:
4ax－4a +4b =2x +1。
由待定系数法得:
a = 1
(x =
1
2
x + 3 4。
因此求得一个特解为y *=
1
2
x +
(3 4 e－x ,
求yᵡ－5y' +6y =x e 2x的特解。
解:由于λ=2,是特征方程的单根,取k =1, Q (x的系数为零。
设特解y *=x (ax +b e 2x ,则Q (x =ax 2+ bx ,将Q (x代入式(2有:
2011年6月
第25卷第2期总84期北京联合大学学报(自然科学版
Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011
Vol．25No．2Sum No．84
[收稿日期]2010－09－20
[作者简介]王海菊(1966— ,女,黑龙江人,北京联合大学基础部讲师,研究方向为应用数学与数学教学。