山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
2020-2021学年山东省德州市高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年山东省德州市高一（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知集合A={x|x≥-1}，B={x|lgx ＞0}，则A∩B=（ ） A.（0，+∞） B.（-1，1） C.（10，+∞） D.（1，+∞）2.（单选题，5分）已知命题p ：“∀x∈R ，|x-1|＞0”，则￢p 为（ ） A.∃x∈R ，|x-1|≤0 B.∀x∈R ，|x-1|＜0 C.∃x∈R ，|x-1|＜0 D.∀x∈R ，|x-1|≤03.（单选题，5分）已知函数f （x ）= {3x +log 2a ，x ＞03x+1，x ≤0 ，若f[f （-1）]=5，则a=（ ）A.-2B.2C.-3D.34.（单选题，5分）已知向量 a ⃗ =（1，2）， b ⃗⃗ =（1，0）， c ⃗ =（3，4）．若λ为实数，（ a ⃗ +λ b ⃗⃗ ） || c ⃗ ，则λ=（ ） A. 14 B. 12 C.1 D.25.（单选题，5分）设a ，b 都是不等于1的正数，则“2a ＞2b ＞2”是“log a 2＜log b 2”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要6.（单选题，5分）已知不等式ax 2-bx-a 3≥0的解集是[-4，1]，则a b 的值为（ ） A.-64 B.-36 C.36 D.647.（单选题，5分）已知min{a ，b}表示a ，b 两个数中较小一个，则函数 f (x )=min{|x |，1x 2}−12的零点是（ ）A. √2 ， 12B. √2 ， −√2 ， 12 ， −12 C. (√2，0) ， (12，0)D. (−12，0) ， (12，0) ， (−√2，0) ， (√2，0)8.（单选题，5分）甲乙两人进行扑克牌得分比赛，甲的三张扑克牌分别记为A ，b ，C ，乙的三张扑克牌分别记为a ，B ，c ．这六张扑克牌的大小顺序为A ＞a ＞B ＞b ＞C ＞c ．比赛规则为：每张牌只能出一次，每局比赛双方各出一张牌，共比赛三局，在每局比赛中牌大者得1分，牌小者得0分．若每局比赛之前彼此都不知道对方所出之牌，则六张牌都出完时乙得2分的概率为（ ） A. 16B. 23C. 12D. 139.（多选题，5分）下列说法中正确的是（ ） A.两个非零向量 a ⃗，b ⃗⃗ ，若 |a ⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗−b ⃗⃗| ，则 a ⃗⊥b ⃗⃗ B.若 a ⃗∥b ⃗⃗ ，则有且只有一个实数λ，使得 b ⃗⃗=λa ⃗ C.若 a ⃗，b ⃗⃗ 为单位向量，则 a ⃗=b ⃗⃗ D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ 10.（多选题，5分）国家为了实现经济“双循环”大战略，对东部和西部地区的多个县市的某一类经济指标进行调查，得出东部，西部两组数据的茎叶图如图所示，则下列结论正确的是（ ）A.西部的平均数为13.3B.东部的极差小于西部的极差C.东部的30%分位数是116D.东部的众数比西部的众数小11.（多选题，5分）若c a ＜c b ＜c ，0＜c ＜1，则（ ） A.a c ＜b cB.ab c ＞ba cC.ln （a 2+1）＞ln （b 2+1）D.log a c ＜log b c12.（多选题，5分）我们知道：函数y=f （x ）关于x=0对称的充要条件是f （-x ）=f （x ）．某同学针对上述结论进行探究，得到一个真命题：函数y=f （x ）关于x=a 对称的充要条件是f （2a-x ）=f （x ）．若函数y=g （x ）满足g （2-x ）=g （x ），且当x≥1时，g （x ）=x 2-4x+3，则（ ） A.g （0）=0B.当x ＜1时，g （x ）=x 2-1C.函数g （x ）的零点为3，-1D.g （x-1）＞g （4）的解集为（-∞，-1）∪（5，+∞）13.（填空题，5分）已知 α∈{−1，12，−2} ，若幂函数f （x ）=x α在（0，+∞）上单调递增，则f （log 216）=___ ．14.（填空题，5分）已知a ，b∈R +，且2a+b=ab ，则a+b 的最小值为 ___ ．15.（填空题，5分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时乙得分的概率为0.6，各球的结果相互独立．在某局打成10：10后，甲先发球，乙以13：11获胜的概率为 ___ ． 16.（填空题，5分）已知函数 f (x )={x 2，x ≤1log 2x ，x ＞1 ，若方程f （x ）=m 有三个不同的根分别设为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则 (x 1+x 2)m 2021+x 3 的取值范围为 ___ ． 17.（问答题，0分）求值：（1） (lg2)2+lg20×lg5+3log 94 ；（2） (π−3)0+(√3×√23)6−√24×80.25 ．18.（问答题，0分）如图所示，在△ABC 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，D ，F 分别为线段BC ，AC 上一点，且BD=2DC ，CF=3FA ，BF 和AD 相交于点E ． （1）用向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 表示 BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）假设 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μBF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 表示 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 并求出μ的值．19.（问答题，0分）已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过点（4，2）．（1）若f（3x-1）＞f（-x+5）成立，求x的取值范围；) -m＜0恒成立，求实数m的取值范围．（2）若对于任意x∈[1，4]，不等式f（2x）g (x420.（问答题，0分）某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表．组号分组频数频率1 [0，5）50 0.052 [5，10） a 0.353 [10，15）300 b4 [15，20）200 0.25 [20，25] 100 0.1合计1000 1（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到0.01）；（3）现从第4，5组中用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情况，求抽取的2人中至少有一人是5组的概率．21.（问答题，0分）某专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现其注意力指数p与听课时间t（h）之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈（14，40]时，曲线是函数y=log a（t-5）+83（0＜a＜1）图象的一部分．专家认为，当注意力指数p大于或等于80时定义为听课效果最佳．（1）试求p=f（t）的函数关系式．（2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？请说明理由．−b)（其中a，b∈R且a≠0）的图象关于原点对22.（问答题，0分）已知函数f(x)=ln(axx+1称．（1）求a，b的值；（2）当a＞0时，① 判断y=f（e x）在区间（0，+∞）上的单调性（只写出结论即可）；② 关于x的方程f（e x）-x+lnk=0在区间（0，ln4]上有两个不同的解，求实数k的取值范围．。
2022-2023学年山东省淄博市淄博第五中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省淄博市淄博第五中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{1|,|1A x y B y y x ⎧⎫====⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．{|0}x xB ．{0x x ≥且}1x ≠C ．{|1}x x ≠D ．{|0}x x >【答案】D【分析】根据函数定义域和值域求出,A B ，从而求出交集. 【详解】由函数定义域可得：{}0A x x =≥， 由值域可得{}|0B y y =≠，故{}0A B x x ⋂=>. 故选：D2．下列式子的值为32a -的是（ ）A B CD【答案】D【分析】根据根式与分数指数幂之间的转化，逐一化简即可得到结果. 23a =32a 23a -=32a -=，故选:D.3．著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为0(0)N >，经过时间(t 天)之后的新闻热度变为0()e t N t N α-=，其中α为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数0.3α=，要使该新闻的热度降到初始热度的10%以下，需要经过天（参考数据：ln10 2.303≈）（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【分析】根据题意建立不等式求解.【详解】依题意，()00e 0.1tN t N N α-=< ，0.3ln10 2.303e 0.1,0.3ln 0.1ln10,7.6770.30.3t t t -∴<-<=->≈≈ ， 即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下；故选：C.4．已知函数(2)x y f =的定义域为[1,4]，则函数(1)1f x y x +=-的定义域为（ ） A ．[1,1)- B ．(1,15] C ．[0,3]D ．[0,1)(1,3]⋃【答案】B【分析】由函数(2)x y f =的定义域求出函数()y f x =的定义域，再根据抽象函数的定义域问题即可得解.【详解】解：由函数(2)x y f =的定义域为[1,4]，得[]22,16x∈，所以函数()y f x =的定义域为[]2,16， 由函数(1)1f x y x +=-， 得211610x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩，解得115x <≤，所以函数(1)1f x y x +=-的定义域为(1,15]. 故选：B.5．函数3222x xx xy --=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除选项C 和D ，再利用特殊值排除选项B 即可求解. 【详解】因为函数32()22x xx xy f x --==+的定义域为R ，且3322()()2222xx x xx x x xf x f x ---+--==-=-++，所以函数为奇函数，故排除选项C 和D ； 又因为当1x =时，(1)0f <，当2x =时，(2)0f >，且当x →+∞时，0y >，故排除选项B . 故选：A .6．一元二次方程()25400ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充要条件是（ ）A ．a<0B ．0a >C ．2a <-D ．1a >【答案】A【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得0∆>以及两根之积小于0，列不等式组即可求解.【详解】因为一元二次方程()25400ax x a ++=≠有一个正根和一负根，设两根为1x 和2x ，所以212Δ544040a x x a ⎧=-⨯>⎪⎨=<⎪⎩，解得25160a a ⎧<⎪⎨⎪<⎩，故a<0. 故选：A.7．已知0.33a =，12b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，log c =，则下列大小关系正确的是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】D【解析】根据指数函数与对数函数的性质，先判断,,a b c 的大致范围，即可得出结果. 【详解】因为0.30331a =>=，1111222b π⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，551log log 2c =>且5log 1c =<， 所以a c b >>. 故选：D.【点睛】本题主要考查比较指数幂与对数的大小，属于基础题型.8．已知定义域为[]7,7-的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x -+=.若(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >，则满足()()()()212144m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为 （ ） A ．[]1,3- B ．[]1,5-C ．[]3,5-D ．[]3,3-【答案】A【解析】根据(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2112f x f x x x >，转化为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2211x f x x f x >，令()()g x xf x =，则()g x 在(]0,7上递增，再根据()()0f x f x -+=，得到()g x 在[]7,7-上是偶函数，将()()()()212144m f m m f m --≤++，转化为()()214g m g m -≤+求解.【详解】令()()g x xf x =，因为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2211x f x x f x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()21g x g x >， 所以()g x 在(]0,7上递增， 又因为()()0f x f x -+=， 所以()g x 在[]7,7-上是偶函数，又因为()()()()212144m f m m f m --≤++， 所以()()214g m g m -≤+，即()()214g m g m -≤+， 所以21747214m m m m ⎧-≤⎪+≤⎨⎪-≤+⎩即3411315m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，解得13m -≤≤，所以实数m 的取值范围为 []1,3- 故选：A【点睛】关键点点睛：本题令()()g x xf x =是关键，利用()g x 在(]0,7上递增，结合()g x 在[]7,7-上是偶函数，将问题转化为()()214g m g m -≤+求解.二、多选题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A ．1010x x y -=- B ．()22log 1y x =+C ．3y x =D ．1y x=-【答案】AC【分析】利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.【详解】对于选项A ：记()1010x x f x -=-，函数()1010x x f x -=-的定义域为(),-∞+∞，定义域关于原点对称，又()1010()x x f x f x --=-=-，所以函数()1010-=-x x f x 是奇函数，又因为10x y =是增函数，10x y -=是减函数，所以1010x x y -=-是增函数，符合题意，A 正确；对于选项B ：记()22()log 1=+g x x ，函数()22()log 1=+g x x 的定义域为(),-∞+∞，定义域关于原点对称，且()22()log 1()⎡⎤-=-+=⎣⎦g x x g x ，所以函数()22()log 1=+g x x 是偶函数，不符合题意，B 错误； 对于选项C ：记3()h x x =，函数3()h x x =的定义域为(),-∞+∞，定义域关于原点对称，且33)()()(=-=--=-h x h x x x ，所以函数3()h x x =是奇函数，根据幂函数的性质，函数3()h x x =是增函数，符合题意，C 正确；对于选项D ：记1()t x x =-，函数1()t x x=-的定义域为()(),00,∞-+∞，定义域关于原点对称，又11()()t x t x x x -=-==--，所以函数1()t x x=-为奇函数，当=1x -时，(1)1t -=，当1x =时，(1)1t =-，所以1y x=-在定义域上不是单调递增函数，D 错误.故选：AC.10．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）A ．函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12B ．若幂函数的图象经过点1,28⎛⎫⎪⎝⎭，则解析式为13y x -=C ．函数2x y =与函数2log y x =互为反函数D ．若,0,3x y x y xy >++=，则xy 的最小值为1 【答案】BC【分析】根据指数函数，幂函数和对数函数的性质即可判断选项A,B,C ；利用基本不等式即可判断选项D .【详解】因为函数21x -+有最大值1，由指数函数的单调性可知：函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭取最小值12，故选项A 错误；设幂函数为y x α=，因为幂函数的图象经过点1,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以1()28α=，则13α=-，所以函数解析式为13y x -=，故选项B 正确；根据指数函数与对数函数的关系可知：函数2x y =与函数2log y x =互为反函数，故选项C 正确；因为,0,3x y x y xy >++=，所以3xy x y -=+≥1x y ==时取等，则230+≤，解得：01<≤，则1xy ≤，所以xy 有最大值1，故选项D 错误， 故选：BC .11．已知函数()()2lg 1f x x ax =++，下列论述中正确的是（ ）A ．当0a =时，()f x 的定义域为RB ．()f x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是()2,2-C ．()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是][(),22,∞∞--⋃+D ．若()f x 在区间()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是[)4,-+∞ 【答案】ABC【分析】由对数型复合函数的定义域可判断AB ；由对数函数的值域判断C ；由复合函数的单调性可判断D【详解】对于A ：当0a =时，()()2lg 1f x x =+，由210x 解得x ∈R ，故A 正确；对于B ：()f x 的定义域为R ，则210x ax ++>恒成立，则240a ∆=-<， 解得22a -<<，故B 正确；对于C ：()f x 的值域为R ，则21t x ax =++能取完所有正数，此时240a ∆=-≥， 解得][(),22,a ∈-∞-⋃+∞，故C 正确；对于D ：因为复合函数()()2lg 1f x x ax =++是由lg y t =，21t x ax =++，复合而成，而lg y t =在()0,+∞上单调递增，又()()2lg 1f x x ax =++在区间()2,+∞上单调递增，所以21t x ax =++在()2,+∞上单调递增，则有22a-≤，解得4a ≥-， 又210x ax ++>在()2,+∞上恒成立，则有22210a ++≥，解得52a ≥-，综上，52a ≥-，故D 错误；故选：ABC12．已知函数()||2f x x x a =--有三个不同的零点，则实数a 的取值可以为（ ）A ．0B ．C ．3D ．4【答案】CD【分析】确定0x ≤时，()f x 在区间(,0]-∞上无零点，题目转化为2a x x=-或=a 2x x +有3个解，得到220x ax -+=有两个正数解，解得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x <恒成立，即()f x 在区间(,0]-∞上无零点， 所以当0x >时，||2x x a -=有三个正根，解得2a x x=-或=a 2x x +.当0x >时，2y x x =-单调递增，且2R x x -∈，则方程2a x x=-有一个根，则方程2a x x =+要有两个根，即220x ax -+=有两个正数解，则212Δ800a x x a ⎧=->⎨+=>⎩，解得a >CD 项正确. 故选：CD三、填空题13．已知函数1()2x a f x a x -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为____________. 【答案】()1,4【解析】结合指数函数和幂函数的性质求解．【详解】1x =时，(1)1124f =++=，所以函数图象恒过定点(1,4)． 故答案为：(1,4)．14．设25a b m ==，且211a b+=，则m =________．【答案】20【分析】显然0,m >用对数式表示出,a b 后代入211a b+=，运用对数的运算法则化简可得答案.【详解】依题意有0,m > 2525,log ,log ,a b m a m b m ==∴==25212112log 2log 5log 20,20log log m m m m a b m m=+=+=+=∴=. 故答案为：2015．已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的反函数1()f x -过点(4,2)，设1()()()g x f x f x -=+，则不等式(21)(4)0g x g x ---<的解集是_________． 【答案】15,23⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据反函数定义得到反函数解析式1()log a f x x -=，根据题中所给点解出a 的取值，得到()g x 解析式，根据()g x 单调性得到最后解集.【详解】根据反函数定义可知1()log a f x x -=，由题可知1(4)log 422a f a -==⇒=故12()log f x x -=，()2x f x =，即2()2log xg x x =+，根据解析式可知()g x 在()0,∞+为增函数，(21)(4)0(21)(4)g x g x g x g x ---<⇒-<-可列不等式210154023421x x x x x ->⎧⎪->⇒<<⎨⎪->-⎩ 故答案为：15,23⎛⎫⎪⎝⎭四、双空题16．已知函数()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<,则a 的最小值是______,()41223416x x x x x ⋅++⋅的最大值是______. 【答案】 1 4【解析】画出()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩的图像,再数形结合分析参数的a 的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断1234,,,x x x x 中的定量关系化简()41223416x x x x x ⋅++⋅再求最值即可. 【详解】画出()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩的图像有：因为方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ,故()f x 的图像与y a =有四个不同的交点,又由图,()01f =, ()12f -=故a 的取值范围是[)1,2,故a 的最小值是1. 又由图可知,1212122x x x x =-⇒+=-+,0.530.54log log x x =,故0.530.540.534log log log 0x x x x =-⇒=,故341x x =.故()4124234416162x x x x x x x ⋅++=-⋅+. 又当1a =时, 0.544log 12x x -=⇒=.当2a =时, 0.544log 24x x -=⇒=,故[)42,4x ∈. 又44162y x x +=-在[)42,4x ∈时为减函数,故当42x =时44162y x x +=-取最大值162242y +=-⨯=. 故答案为：(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.五、解答题17．已知集合{}()()27100,{20}A x x x B x x a x a =-+<=---<.(1)若B A ⊆，求实数a 的取值范围；(2)若22log 5log 40,140215m n g g =-=+，求,m n 的值，并从下列所给的三个条件中任选一个，说明它是B A ⊆的什么条件.（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”回答）①5,;6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭②5,;3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦③5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【答案】(1)[]2,3(2)3,3m n =-=，5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭是B A ⊆的既不充分也不必要条件，5,3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是B A ⊆的必要不充分条件，5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是B A ⊆的充分不必要条件.【分析】（1）解不等式得到,A B ，根据B A ⊆得到不等式组，求出实数a 的取值范围；（2）先利用对数计算公式得到3,3m n =-=，从而判断出5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，5,3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是B A ⊆的什么条件.【详解】（1）{}{}2710025A x x x x x =-+<=<<，()(){}{}202B x x a x a x a x a =---<=<<+，因为B A ⊆，所以225a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得：23a ≤≤；实数a 的取值范围是[]2,3；（2）222log 5log 43108log m ===--， lg 402lg5lg 40lg 25lg10003n =+=+==，选①55,3,62a m n ⎡⎫⎡⎫∈=-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，由于B A ⊆，求出[]2,3a ∈，而5,23a ⎡⎫∈-⇒⎪⎢⎣⎭[]2,3a ∈，[]2,3a ∈⇒253,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭是B A ⊆的既不充分也不必要条件；选②[]5,3,53a m n ⎡⎤∈=-⎢⎥⎣⎦，由于B A ⊆，求出[]2,3a ∈，而[]3,5a ∈-⇒[]2,3a ∈，[][],52,33a a ∈-∈⇒， 故5,3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是B A ⊆的必要不充分条件；选③,255,36a n m ⎡⎤⎡⎤∈-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由于B A ⊆，求出[]2,3a ∈，而[],352,32a a ⎡⎤⇒⎥⎦∈∈⎢⎣，[]2,3a ∈⇒5,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是B A ⊆的充分不必要条件.18．已知函数2()1mx nf x x+=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =． （1）求()f x 的解析式；（2）已知0a >，0b >，且128a b+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）22()1xf x x=+；（Ⅱ）(2⎤⎦． 【解析】（1）根据题意分析可得()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式；（2）因为128a b +=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122b a +≥，则只需使1()2f t >，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，函数2()1mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 则(0)0f =，可得0n =，则2()1mxf x x =+， 又由()11f =得，则12m=，可得2m =， 则22()1xf x x =+． （2）因为0a >，0b >，且128a b+=，所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，12b =时，等号成立， 若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即22112t t >+，解得：22t <[]1,1t ∈-，所以实数t 的取值范围是(2⎤⎦．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =； （2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后根据128a b +=，利用基本不等式求解2ba +的最小值． 19．已知函数()2ln,02mxf x m x-=>+，且()()011f f +-=. (1)证明：()f x 在定义域上是奇函数； (2)判断()f x 在定义域上的单调性，无需证明； (3)若()()ln9f x f x +<-，求x 的取值集合. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)单调递减，理由见解析 (3){}12x x <<【分析】（1）根据()()011f f +-=求出1m =，()2ln 2xf x x-=+，求出定义域，并利用()()f x f x -=-证明出结论； （2）设()22x g x x -=+，利用定义法证明出()22xg x x-=+的单调性，从而利用复合函数单调性满足同增异减，判断出()f x 的单调性；（3）利用()f x 的奇偶性得到()ln30f x +<，从而得到63012xx-<<+，求出x 的取值集合. 【详解】（1）()()22lnln 0121211m mf f -++=+--=+，解得：21m =，因为0m >，所以1m =，()2ln 2xf x x-=+， 令202xx->+，解得：22x -<<，故()f x 的定义域为()2,2-，关于原点对称， 又()()22lnln 22x xf x f x x x+--==-=--+， 所以()f x 在定义域上是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减，理由如下： 任取()1212,2,2,x x x x ∈-<， 令()22x g x x-=+， 则()()()()()()()()()()()12212112121212122222422222222x x x x x x x x g x g x x x x x x x -+--+----=-==++++++，因为()1212,2,2,x x x x ∈-<，所以122120,20,0x x x x +>+>->，故()()()()()2112124022x x g x g x x x --=>++，所以()()12g x g x >，故()22xg x x-=+在()2,2-上单调递减， 根据复合函数单调性满足“同增异减”， 所以()2ln2xf x x-=+在()2,2-上单调递减； （3）()()ln9f x f x +<-变形为()()ln3ln3f x f x +<--，因为()f x 在定义域上是奇函数，所以()()ln3ln3f x f x ⎡⎤--=-+⎣⎦， 即()()ln3ln3f x f x ⎡⎤+<-+⎣⎦，即()2ln30f x ⎡⎤+<⎣⎦，()ln30f x +< 因为()2ln 2x f x x-=+，所以263lnln 3ln 0ln122x xx x --+=<=++， 故63012xx-<<+，解得：12x <<， 故x 的取值集合为{}12x x <<.20．已知二次函数()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集为1,2．(1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()()2124a x ax f x +->+（其中R a ∈）．【答案】(1)()22f x x x =--(2)答案见解析【分析】（1）根据不等式()0f x <的解集为1,2，得到()0f x =的根，由韦达定理求出未知数b 和c ，即可求出函数()f x 的解析式（2）将（1）求出的函数()f x 的解析式代入不等式，分类讨论即可求出不等式的解. 【详解】（1）由题意在()2f x x bx c =++中，()0f x <的解集为1,2∴20x bx c ++=的根为1,2- ∴12b -+=-，12c -⨯=， 解得：1b，2c =-∴()22f x x x =--（2）由题意及（1）得，R a ∈在()22f x x x =--中，()()2124a x ax f x +->+∴()221224a x ax x x +->--+即()()120ax x +->当0a =时，不等式化为：20x ->，解得：2x >，当0a >时，10a -<，则不等式()()120ax x +->的解为：1x a<-或2x >，当0a <时，10a ->，不等式化为1()(2)0+->a x x a ，即1()(2)0+-<x x a， 若12a -=，即12a =-，则不等式化为：()220x -<，其解集为空集． 若12a -<，即12a <-，则不等式1()(2)0+-<x x a 的解集为1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，若12a ->，即102a -<<，则不等式1()(2)0+-<x x a 的解集为1|2x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，综上所述：当0a >时，不等式的解集为1|2x x x a ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或，当0a =时，不等式的解集为{}|2x x >；当102a -<<时，不等式的解集为1|2x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；当12a =-时，不等式的解集为∅；当12a <-时，不等式的解集为1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．21．已知函数()22(x xf x a -=+⋅常数R)a ∈.(1)若1a =-，且()4f x =，求x 的值；(2)当()f x 为奇函数时，存在[]1,2x ∈使得不等式()()210f x mf x -+<成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)(2log 2x =(2)m 的取值范围为13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）解方程()224x xf x -=-=即可求解；（2）由()00f =求得a 的值，再利用奇函数的定义检验可得()f x 的解析式，分离参数可得()()1m f x f x >+，根据单调性求出()f x 范围，()()1f x f x +的最小值即可求解.【详解】（1）当1a =-时，()22x xf x -=-， 令()224x xf x -=-=可得()224210x x -⋅-=，所以()2225x -=，可得22x -=20x >，所以22x =(2log 2x =（2）若函数()22x x f x a -=+⋅是奇函数，则()0002210f a a -=+⋅=+=，可得1a =-， 所以()22x xf x -=-，经检验()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()22x xf x -=-是奇函数，1a =-符合题意，因为2x y =在[]1,2上单调递增，2xy -=在[]1,2上单调递减， 所以22x x y -=-在[]1,2上单调递增，所以当2x =时，()22max 15224f x -=-=，当1x =时，()11min 3222f x -=-=， 所以()315,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为存在[]1,2x ∈使得不等式()()210f x mf x -+<成立，所以存在[]1,2x ∈使得()()1m f x f x >+成立， 所以()()min1m f x f x ⎡⎤>+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 令()f x t =，设()()()11g t f x t f x t =+=+， 315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，任取12315,,24t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12t t <，则()()()212121212121111t t g t g t t t t t t t t t ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭， 因为12t t <，12315,,24t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以210t t ->，2110t t ->，所以()()21g t g t >，故函数()g t 在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当32t =时，()g t 取最小值，最小值为136，即1x =时，()()1f x f x +取最小值，最小值为136所以136m >， 所以实数m 的取值范围为13,6∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.22．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()P x (单位：元)与时间x （单位：天）（130,x x N *≤≤∈）的函数关系满足()10kP x x=+（k 为常数，且0k >），日销售量()Q x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），且第20天的日销售收入为603元. （1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型： ①()Q x ax b =+；②()||Q x a x m b =-+； ③()x Q x ab =； ④()log b Q x a x =.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()Q x ，求()f x 的最小值.【答案】（1）1；（2）()*()|20|60130,Q x x x x =--+∈N ；（3）441.【解析】（1）由(20)(20)(20)603f P Q ==可求得k ；（2）由数据知()Q x 先增后减，选择②，由对称性求得20m =，再利用其他函数值求出,a b ； （3）根据（2）求得()f x 的表达式，然后一段利用基本不等式求得最小值，一段利用函数的单调性刘最小值，比较可得结论．【详解】解:（1）因为第20天的日销售收入为603元， 所以(20)(20)(20)106060320k f P Q ⎛⎫==+⨯= ⎪⎝⎭，解得1k =.（2）由表中的数据知，当时间x 变化时，()Q x 先增后减.函数模型①()Q x ax b =+;③()x Q x ab =④()log b Q x a x =都是单调函数， 所以选择函数模型②()||Q x a x m b =-+. 由(15)(25)Q Q =，得1525m m -=-， 所以20m =， 由()()15555,2060,Q a b Q b ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩解得1,60a b =-=所以日销售量()Q x 与时间x 的变化关系为()*()|20|60130,Q x x x x =--+∈N（3）由（2）知**40,120,,()206080,2030,,x x x Q x x x x x ⎧+∈=--+=⎨-+<∈⎩N N 所以**110(40),120,()()()110(80),2030,x x x N x f x P x Q x x x x N x ⎧⎛⎫++∈ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪+-+<∈ ⎪⎪⎝⎭⎩即**4010401,120,,()8010799,2030,,x x x xf x x x x x ⎧++∈⎪⎪=⎨⎪-++<∈⎪⎩N N 当*120,x x ∈N 时， 由基本不等式得，()40104012400401441,f x x x=+++= 当且仅当4010x x=，即2x =时，等号成立. 所以min ()441f x =.当*2030,x x <∈N 时，80()10799f x x x=-++为减函数， 所以min 8()(30)4994413f x f ==+>，综上所述：当2x =时，()f x 的最小值为441.【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，在已知函数模型时，直接利用所给数据求出模型听参数得函数解析式．然后可根据函数解析式确定函数性质求得最值等．分段函数在求最值时需要分段求解，然后比较才能得出结论．。
山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期末考试化学试题 含答案
4.宏观辨识与微观探析相结合是化学特有的认识物质的方法。NaCl溶于水的过程如图所示。下列说法不正确的是( )
A.水合a离子为水合钠离子
B.水合离子的形成是电性作用的结果
C.水合离子的定向运动，是水溶液导电的原因
D.NaCl溶于水发生电离：NaCl= Na++Cl-
【答案】A
5.NA代表阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是( )
B.过氧化钠放入水中：
C. 通入水中：
D.腐蚀印刷铜电路板：
【答案】D
7.某同学欲用Na2CO3固体配制480mL 0.10mol/L Na2CO3溶液，过程如图所示。其中错误的操作有( )
A.①⑤B.①⑥⑦C.②⑦D.⑤⑥⑦
【答案】B
8.下列关于钠及其化合物性质的叙述中，正确的是( )
A.钠 金属性强于铜，故可用钠与硫酸铜溶液反应置换铜
C.一定没有Fe2+D.可能有K+
【答案】BD
第Ⅱ卷(非选择题，共5题，共60分)
16.Ⅰ.元素X、Y、Z、W、Q在元素周期表中的相对位置如下图所示。
X
Y
Z
W
Q
(1)元素X在周期表中的位置是第_______周期，第_______族。
(2)五种元素中离子半径最小的是_______。
Ⅱ.下图是部分短周期主族元素原子半径与原子序数的关系。
A.向 溶液中滴加稀硫酸B.向 溶液中滴加稀盐酸
C.向纯水中滴加 溶液D.向 溶液中滴加氯水
【答案】A
10.某反应过程中存在 、 、 、 、 和 六种粒子，测得 、 的质量分数(w)随时间变化的曲线如图所示，下列判断错误的是( )
A. 被还原，发生还原反应B.还原性：
山东省淄博市美达菲双语高级中学2024-2025学年高一上学期9月份阶段性测试数学试卷(无答案)
淄博市美达菲双语高级中学2024-2025学年度高一阶段性测试数学试题（9月份）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是（）A. B. C. D.2.设集合，则等于（ ）A. B. C. D.3.已知为实数，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.设满足，且都是正数.则的最大值是（）A.400 B.100 C.40 D.205.已知集合，则的关系满足（ ）A.B.C D.6.不等式的解集是（）A.或 B.C.或 D.7.已知，以下给出的4个不等式中错误的共有（）（1）（2）3）（4）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个0⊆N {}0∅∈{}1-⊆Z13∉Q {}{}1,2,3,4,5,21,A B y y x x A ===-∈∣A B ⋂{}2,4{}1,3,5{}2,4,7,9{}1,2,3,4,5,7,9,,a b c a b c c>a b >22ac bc >a b >a b >22ac bc >a b <22a b <,x y 40x y +=,x y xy 111,,,,,62326n p M x x m m N x x n P x x p ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==+∈==-∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭Z Z Z ,M N P ､M N P =⊂M N P ⊂=M N P ⊂⊂N P M⊂⊂()()5326x x +-≥{1x x ≤-∣9}2x ≥912x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭9{|2x x ≤-1}x ≥912x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭0a b >>2a b a b ab +>>>2a b a b +>>>2a b a b +>>>2a b a b +>>>8.设均为非零实数，不等式和的解集分别为集合和，那么“”是“”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（ ）A. B.C. D.10.下列说法中正确是（）A.集合与集合是同一个集合；B.集合中的元素都是集合中的元素；C.集合中的元素都是集合中的元素D.集合中的元素都是集合中的元素11.下列命题正确的是（ ）A.若，且B.己知正数满足，则的最小值为C.若，则的最大值是D.若，则的最小值是9三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，集合，若，则的取值范围是__________.13.若正数满足，则的最小值为__________.14.已知关于的不等式的解集为，则关于x 的不等式的解111222a b c a b c ､､､､､21110a x b x c ++>22220a x b x c ++>M N 111222a b c a b c ==M N =1142x <+<132x -<<142x -<<132x -<<13x -<<N *N Q Z N Z Q R ,a b ∈R 0,ab a b >+≥x y ､1x y +=141x y ++920x >423x x--2-()2,0,0x x y x y =->>2x y +{21}A xx =-<<∣{}B x m x m =-<<∣A B ⊆m ,m n 1m n +=11m n+x 20ax bx c ++>{23}xx <<∣20cx bx a ++<集为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知全集，集合.求：（1）；（2）；（3）设集合且，求的取值范围.16.（15分）已知实数满足：（1），求的取值范围；（2），求的取值范围；（3），求的取值范围.17.（15分）已知集合（1）若，求的取值范围：（2）若，求：（3）若是的必要条件，求实数的取值范围.18.（17分）已知命题，命题.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题：求实数的取值范围；（3）若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.19.（17分）已知集合.（1）判断是否属于集合；（2.）若正整数为完全平方数，，证明：；（3）若集合，证明：.{6}U x x =∈<N∣{}{}1,2,3,2,4A B ==U U ,,A B A B ⋂ðð()U ,A B A B ⋃⋃ð{21}C xa x a =-<≤-∣()U A B C ⋃⊆ða ,ab 12,26a b <<<<2a b +12,26a b <<<<b a13,325a b a b <+<<+<2a b -{}21211,02x A xm x m B x x ⎧⎫-=-≤≤+=<⎨⎬-⎩⎭∣m B ∉m 12m =()A B ⋂R ðx B ∈x A ∈m 2:,230p x x m ∀∈+->R 2000:,220q x x mx m ∃∈-++<R p m q m ,p q m {}22,,A xx m n m n ==+∈∈Z Z ∣2,5,25A y z A ∈yz A ∈{}43,B x x k k ==+∈Z ∣A B ⋂=∅。
2020-2021学年山东省济宁市高一(下)期末数学试卷(b卷)
2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（B卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z的共轭复数为，z＝1+i，则z（+1）＝（）A．3+i B．3﹣i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）设向量＝（2，1），＝（λ，1），若（+2）⊥，则实数λ的值等于（）A．﹣2B．﹣C．2D．3．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB＝BC＝CC′且∠ABC＝90°．则异面直线AC与BC′所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（5分）我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法（）A．8人B．10人C．12人D．18人5．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x100的方差为4，若由y1＝2x1+3，y2＝2x2+3，…，y100＝2x100+3得到另一组样本数据y1，y2，…，y100，则样本数据y1，y2，…，y100的方差为（）A．8B．16C．32D．646．（5分）为了让学生了解更多的“一带一路”倡议的信息，某中学举行了一次“丝绸之路知识竞赛”，全校学生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示，则可以参加复赛的成绩约为（）A．72B．73C．74D．757．（5分）已知||＝4，||＝2，当与时，在上的投影向量为（）A．2B．C．2D．8．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三点，⊙O1为△ABC的外接圆，若AB＝BC＝AC＝OO1＝，则球O的表面积为（）A．16πB．12πC．9πD．8π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
山东省淄博市桓台第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
山东省淄博市桓台第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合(){},3A x y x y =+=，集合(){},1B x y x y =-=，则A B ⋂等于（ ） A ．{2,1}B ．(){2,1}C ．{2,1}x y ==D ．()2,12．已知集合{}2,3,4,7A ⊆，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 的个数为（ ） A ．11B ．12C ．13D ．143．已知集合1|,6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1|,23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，1|,26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 、P 的关系满足（ ）． A ．M N P =⊂ B ．M N P ⊂= C ．M N P ⊂⊂ D ．N P M ⊂⊂4．设R a ∈，则“9a >”是“119a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()23132f x x x +=++，则A ．30B ．6C ．9D ．206．已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（ ）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭7．已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（ ） AB．CD．二、多选题8．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()f x =与()g x =B ．()f x x =与()g xC ．()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩ D ．()21f x x x =-+与()21g t t t =-+9．下列命题为真命题的是（ ） A ．2,1x x ∃∈≤RB ．22a b =是a b =的必要不充分条件C ．集合{}2(,)|x y y x =与集合{}2|y y x =表示同一集合 D ．设全集为R ，若A B ⊆，则R R C B C A ⊆10．以下结论正确的是（ ）A ．函数1y x x=+的最小值是2； B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b aa b+≥；C ．y =的最小值是2；D ．函数12(0)y x x x=++<的最大值为0．11．若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥三、填空题12．若集合{}213A x x =-<，2103x B xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =I . 13．某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有人．四、解答题14．设全集为R ，集合{}2560A x x x =-->，{}121B x a x a =+<<-(1)若4a =，求A B U ，A B ⋂R ð；(2)若()A B =∅R I ð，求实数a 的取值范围. 15．已知25x y <+<，36x y <-<. (1)求x 的取值范围； (2)求x yx y-+的取值范围； (3)求23x y -的取值范围.16．已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩ (1)求3(3),,[(0)]2f f f f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)画出函数()f x 的图象； (3)若()5f a ≤，求a 的取值范围．17．设函数2()(1)2(R)f x ax a x a a =+-+-∈(1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式：()1f x a <-．。
山东省淄博市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷
2020-2021学年山东省淄博市高一（上）期末数学试卷1.已知集合A={x|3x<13}，B={−3,−2,−1,0,1,2}，则(∁R A)⋂B=( )A. {−3,−2}B. {−3,−2,−1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}2.已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为( )A. 2B. 4C. 6D. 83.下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−x 12 B. f(x)=3−x C. f(x)=log2|x| D. f(x)=1x44.用二分法求方程log2x+x=2的近似解时，可以取的一个区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.已知a=212，b=313，c=ln52，则( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c6.函数f(x)=x1−x2的图象大致是( )A. B.C. D.7.已知实数x>3，则4x+9x−3的最小值是( )A. 24B. 12C. 6D. 38.我们知道：y=f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y=f(x)的图象关于(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=f(x+a)−b为奇函数.若f(x)=x3+3x2的对称中心为(m,n)，则f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+f(3)+ f(1)+f(−3)+f(−5)+…+f(−2017)+f(−2019)+f(−2021)=( )A. 8080B. 4040C. 2020D. 1010A. lg2−lg 14+3lg5=3 B. 命题“∀x >0，2x >1”的否定为“∃x ≤0，2x ≤1”C. “α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件D. 若幂函数f(x)=x α(α∈R)经过点(18,2)，则α=−310. 若角α为钝角，且sinα+cosα=−15，则下列选项中正确的有( )A. sinα=45 B. cosα=−45 C. tanα=−43D. sinαcosα=−122511. 设a >b >0，c ≠0，则下列不等式成立的是( )A. a −c >b −cB.c 2a>c 2b C. a b <a+cb+cD. a −1a >b −1b12. 三元均值不等式：“当a ，b ，c 均为正实数时，a+b+c 3≥√abc 3，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a =b =c 时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( ) A. 若x >0，则x 2+2x ≥3B. 若0<x <1，则x 2(1−x)≤19C. 若x >0，则2x +1x 2≥3D. 若0<x <1，则x(1−x)2≤1913. 函数f(x)=(12)1−x 2的值域为__________.14. 已知函数f(x)={x 2−3x,x ≤0log 2x,x >0，若f(a)=4，则实数a =__________.15. 若sin(π3−α)=15，则sin(2π3+α)=__________，cos(5π6−α)=__________.16. 已知函数f(x)=2x +ax 2(a >0)，g(x)=x 2−4x +1.若对任意x 1∈[−1,2]，总存在x 2∈[−1,2]，使得f(x 1)=g(x 2)，则实数a 的取值范围是__________. 17. 已知角α终边上一点P(1,2).(1)求sinα+2cosαsinα−cosα的值； (2)求cos(11π2−α)+sin(9π2+α)的值.18. 已知集合A ={x|(x −a)(x +1)>0}(a ∈R)，B ={x|−1<log 2x ≤1}.(1)当a =1时，求A⋂B ；(2)是否存在实数a ，使得_____成立？请在①A⋂B =B ，②A⋂B =⌀，③B ⊆(∁R A)这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题中的实数a 存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.19.已知函数g(x)=asin(2x+π6)+b(a>0,b∈R).若函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0.(1)求函数g(x)的解析式；(2)求出g(x)在(0,π)上的单调递增区间.20.某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量M(x)(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：M(x)={5(x2+3),0≤x≤250x1+x+53,2<x≤5，单株成本投入(含施肥、人工等)为30x元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f(x)(单位：元).(1)求f(x)的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？21.已知一元二次函数f(x)=ax2−x+1(a≠0).(1)若0<a≤1，证明函数f(x)在区间(−∞,12]上单调递减；(2)若函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为−2，求实数a的值.22. 函数f(x)的定义域为D ，若x 0∈D ，满足f(x 0)=x 0，则称x 0为f(x)的不动点.已知函数f(x)={3−3x,0≤x ≤1log 3x,1<x ≤3，g(x)=f(f(x)).(1)试判断g(x)不动点的个数，并给予证明；(2)若“∃x ∈[0,23),g(x)−1>log 3(1+x)+log 3(x +k)”是真命题，求实数k 的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义，运算即可．本题考查了集合的化简与运算问题．【解答】}={x|x<−1}，解：集合A={x|3x<13所以∁R A={x|x≥−1}；又集合B={−3,−2,−1,0,1,2}，所以(∁R A)⋂B={−1,0,1,2}.故选D.2.【答案】B【解析】【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．【解答】解：设扇形的半径为R，所以2R+2R=8，所以R=2，扇形的弧长为4，半径为2，×4×2=4.扇形的面积为S=12故选B.3.【答案】C【解析】可看出选项A，B的函数都是非奇非偶函数，选项D的函数在(0,+∞)上是减函数，从而只能选C.本题考查了函数奇偶性，幂函数、指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．【解答】解：f(x)=−x 12和f(x)=3−x都是非奇非偶函数；f(x)=log2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增；f(x)=1x4是偶函数，在(0,+∞)上单调递减．故选C.4.【答案】B【解析】【分析】令f(x)=log2x+x−2，分别求出f(1)，f(2)，然后利用零点的存在性定理即可判断得到答案．本题考查了二分法，涉及了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．【解答】解：令f(x)=log2x+x−2，则f(1)=log21+1−2=−1<0，f(2)=log22+2−2=1>0，故f(1)f(2)<0，由零点的存在性定理可得，在区间(1,2)内存在函数的零点，故方程log2x+x=2的近似解可以取的一个区间是(1,2).故选B.5.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：∵a =212>20=1，b =313>30=1，a 6=23=8，b 6=32=9，∴a <b ，c =ln 52<lne =1，∴b >a >c.故选C.6.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，结合排除法是解决本题的关键，是中档题． 【解答】解：函数的定义域为{x|x ≠±1}，f(−x)=−x 1−x 2=−f(x)，为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ， 当x >1时，f(x)<0，排除B ， 故选A.7.【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 4x +9x−3=4(x −3)+9x−3+12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值．【解答】解：∵x >3，∴x −3>0，4x +9x−3=4(x −3)+9x−3+12≥12+2√4(x −3)×9x−3=24， 当且仅当4(x −3)=9x−3，即x =92时，取得最小值24.8.【答案】B【解析】【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合对称性的定义求出函数的对称中心，然后进行转化是解决本题的关键，是拔高题．【解答】解：若函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为(m,n)，则y=f(x+m)−n为奇函数，即y=(x+m)3+3(x+m)2−n=x3+(3m+3)x2+(3m2+6m)x+m3+3m2−n为奇函数，必有3m+3=0且m3+3m2−n=0，解得m=−1，n=2，则f(x)的对称中心为(−1,2)，所以f(−2+x)+f(−x)=4，设S=f(2019)+f(2017)+f(2015)+…+f(3)+f(1)+f(−3)+f(−5)+…+f(−2017)+f(−2019)+f(−2021)，则S=f(−2021)+f(−2019)+f(−2017)+…+f(3)+f(5)+…+f(2017)+f(2019)，由−2021=2019−2(n−1)，得n=2021，去掉f(−1)项，共2020项，则两式相加得2S=[f(2019)+f(−2021)]+[f(2017)+f(−2019)]+…+[f(−2021)+f(2019)]=4+4+…+4=4×2020，所以S=2×2020=4040，故选B.9.【答案】AC【解析】【分析】A根据对数运算判断；B根据全称量词命题的否定定义判断；C根据充分条件和必要条件概念判断；D 根据幂函数函数值运算判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了幂函数与对数的基本运算，考查了全称量词命题的否定概念，属中档题．【解答】解：对于A ，lg2−lg 14+3lg5=lg2+lg4+lg53=lg(2×4×53)=lg103=3，所以A 正确；对于B ，命题“∀x >0，2x >1”的否定为“∃x >0，2x ≤1”，所以B 错误； 对于C ，α=β⇒sinα=sinβ，反之未必成立，如sin0=sinπ，0≠π， 即“α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件，所以C 正确；对于D ，幂函数f(x)=x α(α∈R)经过点(18,2)，则(18)α=2，α=−13，所以D 错误． 故选AC.10.【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查． 根据sinα+cosα=−15，sin 2α+cos 2α=1，角α为钝角，求得α的三角函数值．【解答】解：∵角α为钝角， ∴sinα>0，cosα<0，联立方程组{sinα+cosα=−15sin 2α+cos 2α=1，解得{sinα=35cosα=−45， ∴tanα=sinαcosα=−34，sinα⋅cosα=−1225. 观察选项，选项BD 符合题意． 故选BD.11.【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项中的命题判断正误即可．本题主要考查了不等式的性质和应用问题，熟练掌握不等式成立的性质是解题的关键，是中档题． 【解答】解：对于A，因为a>b>0，c≠0，所以a−c>b−c，所以A正确；对于B，因为a>b>0，c≠0，所以c2>0，1a <1b，所以c2a<c2b，所以B错误；对于C，因为a>b>0，当b+c<0且a+c>0时，ab >0>a+cb+c，所以C错误；对于D，因为a>b>0，所以1a <1b，所以−1a>−1b，所以a−1a>b−1b，所以D正确．故选AD.12.【答案】AC【解析】【分析】根据已知将原式变形为，a+b+c3≥√abc3，即可判断．本题考查了新定义三元均值不等式的应用，属于拔高题．【解答】解：对于A：x>0，x2+2x =x2+1x+1x≥3√x2⋅1x⋅1x3=3，当且仅当x=1时取等号，故A正确，对于B：∵0<x<1，∴1−x>0，x2(1−x)=12x⋅x⋅(2−2x)≤12(x+x+2−2x3)3=427，当且仅当x=23时取等号，故B错误，对于C：x>0，2x+1x2=x+x+1x2≥3√x⋅x⋅1x23=3，当且仅当x=1时取等号，故C正确，对于D：∵0<x<1，∴1−x>0，x(1−x)2=12×2x(1−x)(1−x)≤12(2x+1−x+1−x3)3=427，当且仅当x=13时取等号，故D错误．故选AC.13.【答案】[12,+∞)【解析】【分析】本题主要考查指数函数值域的求解，注意换元法的使用．利用换元法，结合指数函数的性质进行求解即可．解：设t =1−x 2，则t ≤1， 所以y =(12)t ≥(12)1=12，所以函数f(x)=(12)1−x 2的值域为[12,+∞),故答案为[12,+∞).14.【答案】−1或16 【解析】 【分析】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数的应用. 直接利用分段函数的解析式，分两种情况分别求解，即可得到答案． 【解答】解：当a ≤0时，则有a 2−3a =4，解得a =−1或a =4(舍)； 当a >0时，则有log 2a =4，解得a =16. 故a =−1或16. 故答案为：−1或16.15.【答案】15−15【解析】 【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果． 本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 【解答】解：若sin(π3−α)=15，则sin(2π3+α)=sin[π−(π3−α)]=sin(π3−α)=15； cos(5π6−α)=cos(π2+π3−α)=−sin(π3−α)=−15， 故空1答案为：15；空2答案为：−15.16.【答案】(0,12]【解析】【分析】本题考查了恒成立问题，涉及了二次函数求最值、函数单调性的应用，对于此类问题一般会转化为两个函数值域的包含关系进行研究，属于较难题．先求出g(x)在[−1,2]上的值域，设函数f(x)的值域为A，然后将问题转化为A⊆[−3,6]，进而研究函数f(x)的取值情况，得到f(x)>0恒成立，又f(x)的最大值为f(2)，则f(2)≤6，求解即可．【解答】解：函数g(x)=x2−4x+1=(x−2)2−3，因为x2∈[−1,2]，所以g(x2)∈[−3,6]，因为对任意x1∈[−1,2]，总存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)=g(x2)，设函数f(x)的值域为A，所以A⊆[−3,6]，又2x>0，ax2≥0，故f(x)>0在[−1,2]上恒成立，又f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)=4+4a≤6，解得a≤12，又a>0，所以实数a的取值范围是(0,12].故答案为(0,12].17.【答案】解：(1)因为α终边上一点P(1,2)，所以tanα=yx=2，所以sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1=4.(2)角α终边上一点P(1,2)，则r=|OP|=√12+22=√5，所以sinα=yr =√5=2√55，cosα=xr=√5=√55，所以cos(11π2−α)+sin(9π2+α)=−sinα+cosα=−√55.【解析】(1)由α终边上一点P(1,2)，得tanα=y x=2，由此能求出sinα+2cosαsinα−cosα的值．(2)由角α终边上一点P(1,2)，求出sinα=y r=√5=2√55，cosα=x r=√5=√55，由此能求出cos(11π2−α)+sin(9π2+α)的值．本题考查三角函数值的求法，考查任意角三角函数的定义、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)若a =1，则A ={x|(x −1)(x +1)>0}=(−∞,−1)⋃(1,+∞)， 解不等式−1<log 2x ≤1，得，12<x ≤2，所以集合B =(12,2], 所以A⋂B =(1,2]. (2)由于B =(12,2],若选①A⋂B =B ，则B ⊆A ，当a ≥−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)， 要使B ⊆A ，则需a ≤12，所以−1≤a ≤12；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时满足B ⊆A ， 所以若选①，则实数a 的取值范围为{a|a ≤12}；若选②A⋂B =⌀，当a ≥−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)， 要使A⋂B =⌀，则需a ≥2，所以a ≥2；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时不满足A⋂B =⌀， 所以若选②，则实数a 的取值范围为{a|a ≥2}； 若选③B ⊆(∁R A)，B =(12,2],当a >−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(a,+∞)，∁R A =[−1,a]， 要使B ⊆(∁R A)，则需a ≥2，所以a ≥2；当a =−1时，集合A =(−∞,−1)⋃(−1,+∞)，此时(C R A)={−1}，不满足条件B ⊆(∁R A)；当a <−1时，集合A =(−∞,a)⋃(−1,+∞)，此时∁R A =[a,−1]，B⋂(∁R A)=⌀，不满足条件B ⊆(∁R A)； 所以若选③，则实数a 的取值范围为{a|a ≥2}.【解析】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于拔高题．(1)求出a =1时集合A ，化简集合B ，根据交集的定义写出A⋂B ； (2)由集合知识可以解出集合B ，若选①A⋂B =B ，则B ⊆A ，对集合A 进行分类求解，再利用集合的子集解出； 若选②A⋂B =⌀，对集合A 进行分类求解，再利用集合的交集解出； 若选③B ⊆(∁R A)，对集合A 进行分类求解，再利用集合的子集，补集解出．19.【答案】解：(1)由题意知，若x ∈[0,π2]，则π6≤2x +π6≤7π6，所以sin(2x +π6)∈[−12,1]，又因为a >0，所以{a +b =3−12a +b =0，得a =2，b =1；所以g(x)=2sin(2x +π6)+1；(2)令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2,k ∈Z ，得到kπ−π3≤x ≤kπ+π6,k ∈Z ，当k =0时，−π3≤x ≤π6； 当k =1时，2π3≤x ≤7π6，所以g(x)在(0,π)上的单调递增区间为(0,π6]和[2π3,π).【解析】本题主要考查了y =Asin(ωx +φ)+b 的图象及性质，属于中档题． (1)由题意知，利用正弦函数的性质可得sin(2x +π6)∈[−12,1]，又a >0，可得{a +b =3−12a +b =0，解得a ，b 的值，即可求g(x)的函数解析式； (2)根据正弦函数的单调性即可求解．20.【答案】解：(1)由题意得：f(x)=15M(x)−30x ， 则函数f(x)的解析式为：f(x)={75x 2−30x +225,0≤x ≤2750x 1+x−30x +25,2<x ≤5；(2)由(1)得f(x)={75x 2−30x +225,0≤x ≤2750x 1+x −30x +25,2<x ≤5；(i)当0≤x ≤2时，f(x)=75(x −15)2+222， 当x =2时，f(2)=465；(ii)当2<x ≤5时，f(x)=750x 1+x−30x +25=805−30[251+x+(1+x)]≤805−30×2√251+x ⋅(1+x)=505，当且仅当251+x =1+x 时，即x =4时等号成立， 因为465<505，所以当x =4时，f(x)max =505，所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元．【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型，涉及到分段函数求最大值的问题，考查了学生的运算能力．(1)由题意得：f(x)=15M(x)−30x ，然后即可求解； (2)根据(1)，分段求出函数的最大值，比较即可求解．21.【答案】(1)证明：根据题意，设x 1<x 2≤12，则f(x 1)−f(x 2)=(ax 12−x 1+1)−(ax 22−x 2+1)=(x 1−x 2)[a(x 1+x 2)−1]， 因为x 1<x 2，得x 1−x 2<0； 因为x 1<12,x 2≤12，得x 1+x 2<1，且0<a ≤1，得a(x 1+x 2)<a ≤1，即a(x 1+x 2)−1<0； 所以f(x 1)−f(x 2)>0成立，即f(x 1)>f(x 2)； 函数f(x)在区间(−∞,12]上单调递减；(2)解：根据题意，f(x)=ax 2−x +1，其对称轴为x =12a ， 分4种情况讨论：①当a <0时，此时f(x)的对称轴12a<0，函数f(x)=ax 2−x +1在区间[1,4]上单调递减，此时f(x)min =f(4)=16a −3=−2，得a =116，不符合题意； ②当0<a ≤18时，此时f(x)的对称轴12a ≥4， 函数f(x)=ax 2−x +1在区间[1,4]上单调递减，此时f(x)min =f(4)=16a −3=−2，得a =116，符合题意； ③当18<a ≤12时，此时f(x)的对称轴满足1≤12a <4， 此时函数f(x)=ax 2−x +1的最小值为f(x)min =f(12a )=4a−14a=−2，解得a =112，不符合题意；④当a >12时，此时f(x)的对称轴满足0<12a <1，函数在区间[1,4]上单调递增，f(x)min =f(1)=a =−2，不符合题意． 综合可得：a =116.【解析】(1)根据题意，作差分析可得结论．(2)根据题意，结合二次函数的对称轴和单调性，按a 的取值范围分4种情况讨论，求出a 的值，综合可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的单调性证明．22.【答案】解：g(x)=f(f(x))={log 3(3−3x),(0≤x <23)3−3(3−3x),(23≤x ≤1)3−3log 3x,(1<x ≤3)={log 3(3−3x),(0≤x <23)9x −6,(23≤x ≤1)3−3log 3x,(1<x ≤3). (1)下面分区间讨论g(x)的不动点个数．①当0≤x <23时，g(x)=x ⇒log 3(3−3x)=x ⇒x −log 3(1−x)−1=0，因为函数ℎ(x)=x −log 3(1−x)−1在[0,23)上单调递增，ℎ(0)=−1<0，ℎ(23)=23>0，所以ℎ(x)在[0,23)内存在唯一零点，即g(x)在[0,23)内存在唯一不动点；②当23≤x ≤1时，g(x)=x ⇒9x −6=x ，解得x =34， 即g(x)在[23,1]内存在唯一不动点；③当1<x ≤3时，g(x)=x ⇒3−3log 3x =x ；φ(x)=x +3log 3x −3在(1,3]上单调递增，φ(1)=−2<0，φ(3)=3>0， 所以φ(x)=x +3log 3x −3在(1,3]内有唯一零点，即g(x)在(1,3]内存在唯一不动点； 综上所述，g(x)有3个不动点．(2)因为“∃x ∈[0,23),g(x)−1>log 3(1+x)+log 3(x +k)”是真命题， 所以{ log 3(3−3x)−1>log 3(x +1)+log 3(x +k)0≤x <23x +1>0x +k >0有解，即{log 3(1−x)−log 3(x +1)>log 3(x +k)0≤x <23x >−k有解，所以{1−x 1+x>x +k0≤x <23−x <k有解，即{k <2x+1−(x +1)−x <k 0≤x <23有解，即{−x <k <2x+1−(x +1)0≤x <23有解， 令p(x)=−x ，q(x)=2x+1−(x +1)，函数p(x)与q(x)在[0,23)上都是减函数，值域分别为(−23,0]和(−715,1]；所以k 的取值范围是(−23,1).【解析】本题主要考查命题的真假应用，考查了不等式性质，考查了复合函数，理解新定义是是解决本题的关键，属于难题．(1)用函数复合运算求出函数解析式，理解新定义，分段讨论，解方程确定不动点个数； (2)对命题等价变换，用函数值域确定取值范围．第18页，共1页。
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参照秘密级管理★启用前普通高中高一期末质量检测数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合133x A x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}3,2,1,0,1,2B −−=−，则AB =R （） A ．{}3,2−− B ．{}3,2,1−−−C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2−2．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 3．下列函数是偶函数且在(0,)+∞上单调递增的是A ．12()f x x =− B ．()3xf x −= C ．()2log f x x = D ．41()f x x=4．用二分法求方程2log 2x x +=的近似解时，可以取的一个区间是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 5．已知122a =，133b =，5ln2c =，则 A ．b c a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 6．函数2()1xf x x=−的图像大致是A ．B ．C ．D ．7．已知实数3x >，则943x x +−的最小值是 A ．24 B ．12 C ．6 D ．38．我们知道：()y f x =的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：()y f x =的图像关于(,)a b 成中心对称图形的充要条件是()y f x a b =+−为奇函数．若()323f x x x =+的对称中心为(,)m n ，则()()()()()()()320192017203+5151f f f f f f f −+−++++⋅⋅⋅++()()()201720192021f f f ⋅⋅⋅+−+−+−=A ．8080B ．4040C ．2020D ．1010二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的有A ．1lg 2lg3lg534−+= B ．命题“0,21x x ∀>>”的否定为“0,21x x ∃≤≤” C ．“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的充分不必要条件D ．若幂函数()()f x x αα=∈R 经过点1(,2)8，则3α=−10．若角α为钝角，且1sin cos 5αα+=−，则下列选项中正确的有A ．4sin 5α=B ．4cos 5α=−C ．4tan 3α=−D ．12sin cos 25αα=−11．设0a b >>，0c ≠，则下列不等式成立的是A ．a c b c −>−B ．22c c a b >C ．a a c b b c +<+ D ．11a b a b−>−12．三元均值不等式：“当,,a b c 均为正实数时，3a b c ++≥，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a b c ==时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有A ．若0x >，则223x x +≥ B ．若01x <<，则21(1)9x x −≤ C ．若0x >，则2123x x +≥ D ．若01x <<，则21(1)9x x −≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数211()()2x f x −=的值域为______________；14．已知函数()223,0,log ,0,x x x f x x x ⎧−≤=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =_____________；15．若π1sin 35α⎛⎫−=⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________，5πcos 6α⎛⎫−= ⎪⎝⎭________（第一空2分，第二空3分）；16．已知函数()22(0)xf x ax a =+>，2()41g x x x =−+．若对任意[]11,2x ∈−，总存在[]21,2x ∈−，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知角α终边上一点()12P ,． （1）求sin 2cos sin cos αααα+−的值；（2）求11π9πcos()sin()22αα−++的值． 18．（12分）已知集合()(){}10()A x x a x a =−+>∈R ，{}21log 1B x x =−<≤． （1）当1a =时，求AB ；（2）是否存在实数a ，使得________成立？ 请在①AB B =，②AB =∅，③()R B A ⊆这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题中的实数a 存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 19．（12分）已知函数π()sin(2)6g x a x b =++(0,)a b >∈R ．若函数()g x 在区间π[0,]2上的最大值为3，最小值为0． （1）求函数()g x 的解析式；（2）求出()g x 在(0,π)上的单调递增区间．20．（12分）某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量()M x （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()505,2513x x M x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨+<≤⎪+⎩，单株成本投入（含施肥、人工等）为30x 元．已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （1）求()f x 的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?21．（12分）已知一元二次函数()21f x ax x =−+（0a ≠）．（1）若01a <≤，证明函数()f x 在区间1(,]2−∞上单调递减； （2）若函数()f x 在区间[1,4]上的最小值为2−，求实数a 的值．22．（12分）函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∈，满足()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点．已知函数333, 01()log , 13x x f x x x −≤≤⎧=⎨<≤⎩，()()()g x f f x =． （1）试判断()g x 不动点的个数，并给予证明；（2）若“20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，()()33()1log 1log g x x x k −>+++”是真命题，求实数k 的取值范围．普通高中高一期末质量检测数学参考答案一、单项选择题1．D ；2．B ；3．C ；4．B ；5．C ；6．A ；7．A ；8．B ； 二、多项选择题：9．AC ；10．BD ；11．AD ；12．AC ；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1[,)2+∞；14．1−或16；15．15，15−；16．1(0,]2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）因为α终边上一点()12P ,，所以tan 2yxα==， ……2分 且sin 2cos tan 24sin cos tan 1αααααα++==−−． ……………5分（2）已知角α终边上一点()12P ,，则r |OP|=== ………6分所以siny r α===， ……………………………………………7分cosx r α===， ………………………………………………………8分11π9πcos sin sin cos 225αααα⎛⎫⎛⎫−++=−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………10分18．解：（1）若1a =，则{}(1)(1)0(,1)(1,)A x x x =−+>=−∞−+∞，解不等式21log 1x −<≤，得122x <≤，1(,2]2B =， 所以(1,2]AB =； ……………………………………4分（2）显然1(,2]2B =， 若选①AB B =，则B A ⊆，当1a ≥−时，集合(,1)(,)A a =−∞−+∞，要使B A ⊆，则需12a ≤，所以112a −<≤； ……………………………7分 当1a <−时，集合(,)(1,)A a =−∞−+∞，此时B A ⊆ …………………10分所以若选①，则实数a 的取值范围为12a ≤； ……………………………12分 若选②AB =∅，当1a ≥−时，集合(,1)(,)A a =−∞−+∞，要使AB =∅，则需2a ≥，所以2a ≥； ……………………………7分当1a <−时，集合(,)(1,)A a =−∞−+∞，此时B A ⊆，A B B =≠∅…………………10分所以若选②，则实数a 的取值范围为2a ≥； ……………………………12分 若选③()B A ⊆R，1(,2]2B =，当1a >−时，集合(,1)(,)A a =−∞−+∞，[1,]A a =−R，要使()B A ⊆R，则需2a ≥，所以2a ≥； ……………………………6分当1a =−时，集合(,1)(1,)A =−∞−−+∞，此时(){1}A =−R ，不满足题意；……………………………8分当1a <−时，集合(,)(1,)A a =−∞−+∞，此时[,1]A a =−R，()BA =R∅…………………………10分所以若选③，则实数a 的取值范围为2a ≥； …………………………12分 19．解：（1）由题意知，若π[0,]2x ∈，则ππ7π2666x ≤+≤， 所以π1sin(2)[,1]62x +∈−， ……………………………………2分又因为0a >，所以3102a b a b +=⎧⎪⎨−+=⎪⎩，得21a b =⎧⎨=⎩； …………………………4分所以π()2sin(2)16g x x =++； …………………………6分 （2）因为(0,π)x ∈，所以ππ13π2666x <+<， ………………………8分 正弦函数sin y x =在区间π13π(,)66上的单调递增区间为ππ(,]62和3π13π[,)26，………………………10分此时即πππ2662x <+≤或3ππ13π2266x ≤+<， 得π06x <≤或2ππ3x ≤<， 所以()g x 在(0,π)上的递增区间为(0,)6π和[,)32ππ ………………………12分 另解：当πππ2π22π,262k x k k −≤+≤+∈Z ， 得到ππππ,36k x k k −≤≤+∈Z …………………………7分 当0k =时，ππ36x −≤≤； …………………………8分 当1k =时，2π7,36x π≤≤ …………………………9分 所以()g x 在(0,π)上的递增区间为(0,)6π和[,)32ππ ……………………12分 20．解：（1）由题意得：()()1530f x M x x =−，()()2155330,0250153025,251x x x f x xx x x ⎧⨯+−≤≤⎪=⎨⨯−+<≤⎪+⎩27530225,027503025,251x x x x x x x ⎧−+≤≤⎪=⎨−+<≤⎪+⎩（每段解析式正确2分）…4分（2）由（1）中()27530225,02,7503025,2 5.1x x x f x x x x x⎧−+≤≤⎪=⎨−+<≤⎪+⎩得()2175222,02,5()=25805301,2 5.1x x f x x x x ⎧⎛⎫−+≤≤⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎡⎤⎪−++<≤⎢⎥⎪+⎣⎦⎩………………………6分（i ）当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==； ………………………8分 （ii ）当25x <≤时，()()258053011f x x x ⎡⎤=−++⎢⎥+⎣⎦80530505≤−⨯= ………11分 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465505<，所以当4x =时，()max 505f x =，所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元…………12分 21．解：（1）设1212x x <≤， 则221211221212()()(1)(1)()[()1]f x f x ax x ax x x x a x x −=−+−−+=−+−，…………………………3分因为12x x <，得120x x −<； 因为1211,22x x <≤，得121x x +<， 且01a <≤，得12()1a x x a +<≤，即12()10a x x +−<； 所以12()()0f x f x −<成立，即12()()f x f x <；函数()f x 在区间1(,]2−∞上单调递减； …………………………6分（2）当0a <时，二次函数的对称轴为12x a =，且102a<， 函数()21f x ax x =−+在区间[1,4]上单调递减， 此时min ()(4)1632f x f a ==−=−，得116a =，不符合题意；…………7分 当108a <≤时，二次函数的对称轴为12x a =，且142a ≥，函数()21f x ax x =−+在区间[1,4]上单调递减， 此时min ()(4)1632f x f a ==−=−，得116a =，符合题意；……………8分 当1182a <≤时，二次函数的对称轴为12x a =，且1142a ≤<， 函数()21f x ax x =−+的最小值为min 41()24a f x a−==−， 得112a =，不符合题意； ……………9分 当12a >时，二次函数的对称轴为12x a =，且1012a <<，函数在区间[1,4]上单调递增，()min ()12f x f a ===−，不符合题意； …………………………10分所以当函数()f x 在区间[1,4]上的最小值为2−时，实数116a =．………12分 另解：若函数()f x 在区间[1,4]上的最小值为2−，即不等式212ax x −+≥−在区间[1,4]上恰好成立（能取到等号）， 等价于不等式2113()a xx≥−+在区间[1,4]上恰好成立， …………………8分 构造函数2()3g t t t =−+（11[,1]4t x =∈）不等式成立只需要a 等于函数2()3g t t t =−+在区间1[,1]4上的最大值； 显然函数2()3g t t t =−+在区间1[,1]4上的最大值为11()416g =， …………10分 所以实数116a =． …………………………………………………………12分 22．解：（1）()()()g x f f x =，若203x ≤<，则1333x <−≤，所以()3()log 33g x x =−， ()()33()log 331log 1g x x x x x x =⇒−=⇒+−=，因为函数()3()log 11h x x x =−−−在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭是单调递增的，(0)10h =−<，3331111log 11log 21log 02222h ⎛⎫⎛⎫=−−−=+−=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()h x 在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭内存在唯一零点；……………………………………2分 若213x ≤≤，则0331x ≤−≤，所以()()333396g x x x =−−=−， ()96g x x x x =⇒−=，解得34x =；…………………………………3分 若13x <≤，则30log 1x <≤，所以3()33log g x x =−，3()33log g x x x x =⇒−=；3()3log 3x x x ϕ=+−在(]1,3是单调递增的，(3)30ϕ=>，33445143log log 6403333ϕ⎛⎫=−=−< ⎪⎝⎭，所以3()3log 3x x x ϕ=+−在(]1,3内有唯一零点； ……………………5分 综上所述，()g x 有3个不动点．……………………………………………6分 （2）由（1）可知，当20,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()()()3()log 33g x f f x x ==−，若“20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，()()33()1log 1log g x x x k −>+++”是真命题 就是20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使不等式()()33()1log 1log g x x x k −>+++成立 等价于20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，()331log log 1xk x x−>++成立， 即20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，不等式组110xk x x x k −⎧>+⎪+⎨⎪+>⎩成立，()()21120x k x x k ⎧+++−<⎪⎨+>⎪⎩，解得1122k k x x k ⎧−−+⎪−+<<−+⎨⎪>−⎩，…………………………8分 因为20,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，保证0x k +>，所以23k >−因为10k ⎛−−−=> ⎝⎭，()21022k k k −−+−+−−=>，所以12k k x −+−<<−+……………………………………………10分所以10223k k ⎧−−+>⎪⎪⎨⎪−<⎪⎩，解得：213k −<<．所以实数k 的取值范围是2,13⎛⎫−⎪⎝⎭……………………………………………12分解法2：由（1）可知，当20,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ()()()3()log 33g x f f x x ==−， 若“20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭， ()()33()1log 1log g x x x k −>+++”是真命题 就是20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使不等式()()33()1log 1log g x x x k −>+++成立 等价于20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，()331log log 1xk x x−>++成立， 等价于20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使11xk x x−>++成立， 且0x k +>也成立………………………………………8分12(1)11x k x x k x x −>+⇒−+>++， 设()211y x x =−++， 20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使11x k x x −>++成立 只要max y k >即可，函数2(1)1y x x =−++在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 所以max 1y =，所以1k <， ……………………………………………10分20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使0x k +>在区间20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭成立，只需要()max 0x k +>即可，即22033k k +>⇒>− 所以实数k 的取值范围是2,13⎛⎫−⎪⎝⎭……………………………………………12分 解法3：由（1）可知，当20,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ()()()3()log 33g x f f x x ==− 若“20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭， ()()33()1log 1log g x x x k −>+++”是真命题就是20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使不等式()()33()1log 1log g x x x k −>+++成立 等价于20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，()331log log 1xk x x−>++成立， 它的否定是：20,3x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭，()331log log 1x k x x −≤++恒成立， 或20,3x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭，0x k +≤，（原．不等式不存在．．．．．．）注意：命题否定的意义 即()331log log 1x k x x −≤++在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， 或者0x k +≤在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，……………………………………………8分 若()331log log 1x k x x −≤++在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立 则()2110x k x x k ⎧−+≤⎪+⎨⎪+>⎩在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，设2(1)1y x x =−++，只需要max y k ≤且()min 0x k +>即可，所以1k ≥， ……………………………………………10分 若0x k +≤在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，则23k ≤−， 所以，1k ≥或23k ≤−， …………………………………………11分 所以当213k −<<时， 所以20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使不等式()()33()1log 1log g x x x k −>+++成立 实数k 的取值范围是2,13⎛⎫−⎪⎝⎭…………………………………12分。