山东省淄博市高一上学期期中数学试卷(理科)
山东省淄博市高一上学期期中数学试卷
山东省淄博市高一上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·台州期中) 满足｛1，2，3｝∪B＝｛1，2，3，4｝的集合的个数是（）A . 16B . 8C . 4D . 32. （2分）函数的定义域是（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·山东模拟) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高一下·河北开学考) f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x ，则当x＜0时，f（x）=（）A . ﹣（）xB . （）xC . ﹣2xD . 2x5. （2分） (2016高一上·大名期中) 幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在x∈（0，+∞）时为减函数，则m=（）A . ﹣1B . 2C . 0或1D . ﹣1或26. （2分） (2017高一上·长春期末) 已知函数f（x）= 的值域为R，则实数a的范围是（）A . [﹣1，1]B . （﹣1，1]C . （﹣1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）7. （2分） (2016高一上·太原期中) 已知函数f（x）= ，则f（﹣4）的值是（）A . ﹣2B . ﹣1C . 0D . 18. （2分） (2016高一上·南昌期中) 下列四个图象中，是函数图象的是（）A . （1）B . （1）（3）（4）C . （1）（2）（3）D . （3）（4）9. （2分） (2016高一上·天水期中) 若log2a＜0，（）b＞1，则（）A . a＞1，b＞0B . a＞1，b＜0C . 0＜a＜1，b＞0D . 0＜a＜1，b＜010. （2分）函数由确定，则方程的实数解有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个11. （2分）(2019·南昌模拟) 若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高三上·衡阳月考) 若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设集合A={x|﹣4＜x＜2}，B={x|x＜1}，则如图中阴影部分表示的集合为________．14. （1分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却后，物体的温度是，那么的值约等于________．（保留三位有效数字，参考数据：取，取）15. （1分） (2016高一上·黑龙江期中) 设函数f（x）= ，则f（f（3））=________．16. （1分） (2016高二上·扬州开学考) 已知f（x），g（x）均为R上的奇函数且f（x）＞0解集为（4，10），g（x）＞0解集为（2，5），则f（x）•g（x）＞0的解集为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分）用列举法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）不大于的非负奇数集；（3）．18. （5分） (2016高一上·鼓楼期中) 已知集合A={x|﹣1≤x≤10}，集合B={x|2x﹣6≥0}．求∁R（A∪B）；已知C={x|a＜x＜a+1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．19. （15分）已知函数f（x）=lg（mx﹣2x）（0＜m＜1）．（1）当m= 时，求f（x）的定义域；（2）试判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并给出证明；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，求m的取值范围．20. （10分） (2018高一上·漳平月考) 设函数是奇函数.（1）求常数的值.（2）若 ,试判断函数的单调性,并用定义加以证明.21. （10分）(2016·绍兴模拟) 已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），（1）当a=1，b=2，若|f（x）|﹣2=0有且只有两个不同的实根，求实数c的取值范围；（2）设方程f（x）=x的两个实根为x1，x2，且满足0＜t＜x1，x2﹣x1＞，试判断f（t）与x1的大小，并给出理由．22. （10分）已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＜0．（1）解不等式f（x+ ）＜f（1﹣x）；（2）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R ，集合M ＝{x |﹣1＜x ≤3}，则∁R M ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜3} B ．{x |x ≤﹣1或x ＞3}C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}D ．{x |x ≤﹣1或x ≥3}2．函数f （x ）=√4−x 2x−1的定义域为（ ）A ．[﹣2，2]B ．（﹣2，3）C ．[﹣2，1）∪（1，2]D ．（﹣2，1）∪（1，2）3．已知函数f （x ）={f(x −1)，x ＞−2x 2+2x −3，x ≤−2，则f （f （1））＝（ ）A ．5B ．0C ．﹣3D ．﹣44．不等式﹣3x 2+7x ﹣2＜0的解集为（ ） A ．{x|13＜x ＜2} B ．{x|x ＜13或x ＞2} C ．{x|−12＜x ＜−13}D ．{x |x ＞2}5．已知函数是f （x ）定义在R 上的偶函数，则“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．给出下列命题：①若a ＜b ，c ＜0，则c a≤cb；②若ac ﹣3＞bc ﹣3，则a ＞b ；③若a ＞b 且k ∈N +，则a k ＞b k；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac−a＞b c−b．其中真命题的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）的解析式为（ ） A ．﹣x 2﹣2x B ．﹣x 2+2x C ．x 2+2xD ．以上都不对8．已知函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1(a +3)x −1，x ＜1，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣3）B ．（﹣∞，﹣3）C ．[﹣4，0）D ．（﹣4，0）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．下列各组函数是同一函数的有（ ）A ．f(x)=x 3x 与g （x ）＝x 2B ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2C ．f （x ）＝x 0与g （x ）＝1D ．f(x)=√1+x ×√1−x 与g(x)=√1−x 210．下列说法中正确的有（ ）A ．命题p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＜0，则命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0B ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件C ．命题“∀x ∈Z ，x 2＞0”的是真命题D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件 11．下列选项中正确的是（ ） A ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y≥8B ．当x ≥2时，不等式x +4x+1的最小值为3C ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立D ．存在实数a ，使得不等式a +1a≤2成立 12．已知函数f(x)=xx+1，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠﹣1} B ．f （x ）的值域为RC ．f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增D ．f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(12)+f(13)+⋯+f(12023)的值为40452三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，则 （∁R A ）∩B ＝ ．若A ⊆C ，则a 的取值范围是 ．14．若不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ．15．已知函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增，则m 的取值范围是 ． 16．已知函数f （x ）在R 上为奇函数，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （﹣3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}．（1）当m ＝3时，求（∁R A ）∪B ； （2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ﹣12≤0}，B ＝{x |x 2﹣2x +1﹣m 2≤0，m ＞0}． （1）求集合A ，B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的 ______条件，判断实数m 是否存在？ 19．（12分）已知关于x 的不等式2ax 2+ax ＞2x +1（a ∈R ）． （1）若不等式的解集为{x|−12＜x ＜−13}，求a 的值； （2）解关于x 的不等式．20．（12分）2023年，8月29日，华为Mate 60Pro 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产x （千部）手机，需另投入成本R （x ）万元，且R(x)={10x 2+100x ，0＜x ＜50701x +10000x−9450，x ≥50由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润w （x ）（万元）关于年产量x （千部）的表达式； （2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 21．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m﹣1在（0，+∞）上单调递增．（1）求f （x ）的值域； （2）若∀x ＞0，f(x)x 2≥2−a 2x，求a 的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=ax−b1+x 2是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0）．2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合M＝{x|﹣1＜x≤3}，则∁R M＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x≤﹣1或x＞3}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|x≤﹣1或x≥3}解：因为全集U＝R，集合M＝{x|﹣1＜x≤3}，所以∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞3}．故选：B．2．函数f（x）=√4−x2x−1的定义域为（）A．[﹣2，2]B．（﹣2，3）C．[﹣2，1）∪（1，2]D．（﹣2，1）∪（1，2）解：要使函数有意义，须满足{4−x 2≥0x−1≠0，解得﹣2≤x≤2，且x≠1，故函数f（x）的定义域为[﹣2，1）∪（1，2]，故选：C．3．已知函数f（x）={f(x−1)，x＞−2x2+2x−3，x≤−2，则f（f（1））＝（）A．5B．0C．﹣3D．﹣4解：∵函数f（x）={f(x−1)，x＞−2 x2+2x−3，x≤−2，∴f（1）＝f（0）＝f（﹣1）＝f（﹣2）＝﹣3，∴f（f（1））＝f（﹣3）＝0．故选：B．4．不等式﹣3x2+7x﹣2＜0的解集为（）A．{x|13＜x＜2}B．{x|x＜13或x＞2}C．{x|−12＜x＜−13}D．{x|x＞2}解：由﹣3x2+7x﹣2＜0，得3x2﹣7x+2＞0，即（3x﹣1）（x﹣2）＞0，解得x＜13或x＞2，所以该不等式的解集为{x|x＜13或x＞2}．故选：B．5．已知函数是f （x ）定义在R 上的偶函数，则“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为f （x ）是偶函数，所以f （﹣4）＝f （4）．由f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数，则f （﹣2）＜f （﹣4），即f （﹣2）＜f （4）； 反之，对于函数f(x)={x ，x ＞21|x|，−2≤x ≤2，且x ≠0−x ，x ＜−2，显然，f （x ）是偶函数，且f(−2)=12＜f （4）＝4，但是f （x ）不是（﹣∞，0）上的减函数． 故“f （x ）是（﹣∞，0）上的减函数”是“f （﹣2）＜f （4）”的充分不必要条件． 故选：A ．6．给出下列命题：①若a ＜b ，c ＜0，则c a ≤cb；②若ac ﹣3＞bc ﹣3，则a ＞b ；③若a ＞b 且k ∈N +，则a k ＞b k ；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac−a＞b c−b．其中真命题的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：①中，因为a ＜b ，c ＜0，因为a ，b 的符号不定，所以1a，1b的大小关系不定， 所以ca，cb 的大小关系不定，所以①错；②中，ac ﹣3＞bc ﹣3，若c ＜0，则a ＜b ，所以②错；③中，若a ＞b 且k ∈N +，例如：a ＝﹣2，b ＝﹣3，k ＝2，此时a k ＜b k ，所以③错； ④中，若c ＞a ＞b ＞0，则0＜c ﹣a ＜c ﹣b ，1c−a＞1c−b＞0，又a ＞b ＞0，所以ac−a＞b c−b，所以④正确．所以只有1个命题正确． 故选：A ．7．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）的解析式为（ ） A ．﹣x 2﹣2x B ．﹣x 2+2x C ．x 2+2xD ．以上都不对解：根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0，函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣[（﹣x ）2﹣2（﹣x ）]＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ．8．已知函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1(a +3)x −1，x ＜1，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，﹣3）B ．（﹣∞，﹣3）C ．[﹣4，0）D ．（﹣4，0）解：根据题意，任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则f （x ）在R 上为减函数，又由函数f(x)={ax 2−2x −a ，x ≥1(a +3)x −1，x ＜1，则有{ a ＜01a ≤1a +3＜0a −2−a ≤a +3−1，解可得﹣4≤a ＜﹣3，即a 的取值范围为[﹣4，﹣3）． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．下列各组函数是同一函数的有（ ） A ．f(x)=x 3x与g （x ）＝x 2 B ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2C ．f （x ）＝x 0与g （x ）＝1D ．f(x)=√1+x ×√1−x 与g(x)=√1−x 2解：对于A ，f(x)=x 3x的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）＝x 2的定义域为R ，故错误；对于B ，f （x ）＝|x |的定义域为R ，g(x)=√x 2=|x|的定义域为R ，故正确； 对于C ，f （x ）＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）＝1的定义域为R ，故错误； 对于D ，f(x)=√1+x ×√1−x =√1−x 2定义域为[﹣1，1]， g(x)=√1−x 2定义域为[﹣1，1]，故正确． 故选：BD ．10．下列说法中正确的有（ ）A ．命题p ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＜0，则命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0B ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件C ．命题“∀x ∈Z ，x 2＞0”的是真命题D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件 解：对于A ，命题p 的否定是∀x ∈R ，x 2+2x +2≥0，故A 正确；对于B ，|x |＞|y |不能推出x ＞y ，例如|﹣2|＞|1|，但﹣2＜1；x ＞y 也不能推出|x |＞|y |，例如2＞﹣3，而|2|所以“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的既不充分也不必要条件，故B 错误； 对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，故C 错误；对于D ，关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根⇔{4−4m ＞0m ＜0⇔⇔m ＜0，所以“m ＜0”是“关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有一正一负根”的充要条件，故D 正确． 故选：AD ．11．下列选项中正确的是（ ） A ．若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x +1y≥8B ．当x ≥2时，不等式x +4x+1的最小值为3C ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立D ．存在实数a ，使得不等式a +1a≤2成立 解：对于A ，若正实数x ，y 满足x +2y ＝1，则2x+1y =(2x+1y)⋅(x +2y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x⋅x y=8，当且仅当4y x=xy，即x =12，y =14时等号成立，故A 正确；对于B ，x ≥2时，x +1≥3，则有x +4x+1=x +1+4x+1−1≥2√(x +1)⋅4x+1−1=3， 当且仅当x +1=4x+1时，即x ＝1时等号成立，所以不等式x +4x+1的最小值不为3，故B 错误； 对于C ，不等式a +b ≥2√ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，比如取a ＝﹣1，b ＝﹣1时，不等式不成立，故C 错误；对于D ，取a ＝﹣1，不等式显然成立，故D 正确． 故选：AD ．12．已知函数f(x)=xx+1，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠﹣1} B ．f （x ）的值域为RC ．f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增D ．f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(12)+f(13)+⋯+f(12023)的值为40452解：对于A ，由x +1≠0，得函数f(x)=x 的定义域为{x |x ≠﹣1}，A 正确；对于B ，由f(x)=x x+1=1−1x+1，得f （x ）≠1，即f （x ）的值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），B 错误； 对于C ，f （x ）在区间（﹣1，+∞）上单调递增，C 正确；对于D ，f(x)+f(1x )=x x+1+1x 1x +1=x x+1+1x+1=1，又f(1)=12，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)+f(12)+f(13)+⋯+f(12023)=40452，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，则 （∁R A ）∩B ＝ {2＜x ＜3或7≤x ＜10} ．若A ⊆C ，则a 的取值范围是 a ≥7 ．解：∵A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }， ∴∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，∴（∁R A ）∩B ＝{2＜x ＜3或7≤x ＜10}， ∵A ⊆C ，∴a 的范围是a ≥7，故答案为：{2＜x ＜3或7≤x ＜10}；a ≥714．若不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 （﹣16，0] ． 解：不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立， 当a ＝0时，﹣2＜0恒成立；当a ≠0时，要使不等式2ax 2+ax ﹣2＜0对一切实数x 都成立，则{2a ＜0Δ=a 2+16a ＜0，解得﹣16＜a ＜0，综上所述，实数a 的取值范围是（﹣16，0]． 故答案为：（﹣16，0]．15．已知函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增，则m 的取值范围是 （﹣∞，﹣3] ．解：函数f （x ）＝﹣x 2﹣（m ﹣1）x ﹣2在（﹣∞，2]上单调递增， 则有−(m−1)2≥2，解得m ≤﹣3，则m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]． 故答案为：（﹣∞，﹣3]．16．已知函数f （x ）在R 上为奇函数，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （﹣3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为 （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） ．解：因为函数f （x ）是R 上的奇函数，所以f （3）＝﹣f （﹣3）＝0， 又因为f （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以当0＜x ＜3时，f （x ）＜f （3）＝0，当x ＞3时，f （x ）＞f （3）＝0， 注意到函数f （x ）是R 上的奇函数，所以当x ＜﹣3时，有﹣x ＞3，﹣f （x ）＝f （﹣x ）＞f （3）＝0，此时f （x ）＜0， 当﹣3＜x ＜0时，有0＜﹣x ＜3，﹣f （x ）＝f （﹣x ）＜f （3）＝0，此时f （x ）＞0， x ，f （x ），xf （x ）的符号随x 的变化情况如下表所示：由上表可知不等式xf （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}． （1）当m ＝3时，求（∁R A ）∪B ； （2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝3时，可得集合A ＝{x |﹣2＜x ＜5}，B ＝{x |4≤x ≤5}， ∴∁R A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥5}， ∴（∁R A ）∪B ＝{x |x ≤﹣2或x ≥4}； （2）由A ∪B ＝A ，可得B ⊆A ，①当B ＝∅时，可得m +1＞2m ﹣1，解得m ＜2；②当B ≠∅时，则满足{m +1≤2m −1m +1＞−22m −1＜5，解得2≤m ＜3，综上实数m 的取值范围是（﹣∞，3）．18．（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ﹣12≤0}，B ＝{x |x 2﹣2x +1﹣m 2≤0，m ＞0}． （1）求集合A ，B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 成立的 ______条件，判断实数m 是否存在？解：（1）由x 2﹣4x ﹣12≤0得﹣2≤x ≤6，故集合A ＝{x |﹣2≤x ≤6}， 由x 2﹣2x +1﹣m 2＝0得x 1＝1﹣m ，x 2＝1+m ， 因为m ＞0，故集合B ＝{x |1﹣m ≤x ≤1+m }； （2）若选择条件①，即x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，集合A 是集合B 的真子集， 则有{1−m ≤−21+m ≥6，解得m ≥5，所以，实数m 的取值范围是[5，+∞）．若选择条件②，即x ∈A 是x ∈B 成立的必要不充分条件，集合B 是集合A 的真子集， 则有{1−m ≥−21+m ≤6，解得0＜m ≤3，所以，实数m 的取值范围是（0，3]．若选择条件③，即x ∈A 是x ∈B 成立的充要条件，则集合A 等于集合B ， 则有{1−m =−21+m =6，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数m19．（12分）已知关于x 的不等式2ax 2+ax ＞2x +1（a ∈R ）． （1）若不等式的解集为{x|−12＜x ＜−13}，求a 的值； （2）解关于x 的不等式．解：（1）不等式2ax 2+ax ＞2x +1可化为2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＞0， 由题意知−12和−13是方程2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＝0的两个根， 所以−12a=（−12）×（−13），解得a ＝﹣3．（2）不等式2ax 2+（a ﹣2）x ﹣1＞0可化为（2x +1）（ax ﹣1）＞0． ①当a ＝0时，原不等式可化为2x +1＜0，解得x ＜−12．②当a ＞0时，原不等式可化为(2x +1)(x −1a)＞0，解得x ＞1a或x ＜−12． ③当a ＜0时，原不等式化为(2x +1)(x −1a )＜0． 若1a ＜−12，则﹣2＜a ＜0，解得1a＜x ＜−12，当1a =−12，即﹣2＝a ，解得无解，当1a＞−12，即a ＜﹣2，解得−12＜x ＜1a ，综上，a ＝0时，不等式的解集为{x|x ＜−12}；a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞1a 或x ＜−12}；﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x|1a ＜x ＜−12}；a ＝﹣2时，不等式的解集为∅；a ＜﹣2时，不等式的解集为{x|−12＜x ＜1a }．20．（12分）2023年，8月29日，华为Mate 60Pro 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产x （千部）手机，需另投入成本R （x ）万元，且R(x)={10x 2+100x ，0＜x ＜50701x +10000x −9450，x ≥50由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润w （x ）（万元）关于年产量x （千部）的表达式；（2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）当0＜x ＜50时，w （x ）＝700x ﹣（10x 2+100x ）﹣300＝﹣10x 2+600x ﹣300，当x ≥50时，w(x)=700x −(701x +10000x −9450)−300=−(x +10000x)+9150， ∴w(x)={−10x 2+600x −300，0＜x ＜50−(x +10000x )+9150，x ≥50； （2）若0＜x ＜50，w （x ）＝﹣10（x ﹣30）2+8700，当x ＝30时，w （x ）max ＝8700万元，若x ≥50，w(x)=−(x +10000x )+9150≤9150−2√x ⋅10000x =8950， 当且仅当x =10000x时，即x ＝100时，w （x ）max ＝8950万元， 因为8950＞8700，∴2020年年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元．21．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m﹣1在（0，+∞）上单调递增． （1）求f （x ）的值域；（2）若∀x ＞0，f(x)x 2≥2−a 2x ，求a 的取值范围．解：（1）因为f （x ）＝（m ﹣1）2•x 2m ﹣1为幂函数，所以（m ﹣1）2＝1，即m ＝0或m ＝2，当m ＝0时，f （x ）＝x ﹣1在（0，+∞）上单调递减，不符合题意，当m ＝2时，f （x ）＝x 3在（0，+∞）上单调递增，符合题意，故函数的值域为R ；（2）若∀x ＞0，f(x)x 2≥2−a 2x ，则x ≥2−a 2x ， 即a ≥4x ﹣2x 2在x ＞0时恒成立，故a ≥（4x ﹣2x 2）max ，根据二次函数的性质可知，当x ＝1时，4x ﹣2x 2取得最大值2，故a ≥2，所以a 的取值范围为{a |a ≥2}．22．（12分）已知函数f(x)=ax−b 1+x 2是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）＝﹣1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0）．解：（1）函数f(x)=ax−b 1+x 2是定义在[﹣1，1]上的奇函数， f （﹣x ）＝﹣f （x ）；−ax−b 1+x 2=−ax−b 1+x 2，解得b ＝0， ∴f(x)=ax 1+x 2，而f （1）＝﹣1，解得a ＝﹣2， ∴f(x)=−2x 1+x 2，x ∈[﹣1，1]． （2）函数f(x)=−2x 1+x 2在[﹣1，1]上为减函数； 证明如下：任意x 1，x 2∈[﹣1，1]且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=−2x 11+x 12−−2x 21+x 22=−2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22) 因为x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，又因为x 1，x 2∈[﹣1，1]，所以1﹣x 1x 2＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x 1）＞f （x 2）在[﹣1，1]上为减函数．（3）由题意，f （t ﹣1）+f （t 2）＞f （0），又f （0）＝0，所以f （t ﹣1）+f （t 2）＞0， 即解不等式f （t 2）＞﹣f （t ﹣1），所以f （t 2）＞f （1﹣t ），所以{−1≤t 2≤1−1≤t −1≤1t 2＜1−t，解得0≤t ＜√5−12，所以该不等式的解集为[0，√5−12）．。
山东省淄博市淄博十一中、淄博一中2025届高三上学期期中学习质量检测数学试题
但是当 x > 0 时， x + y ³ x + 0 = x > 0 一定成立，即 x > 0 能推出 x + y > 0 ，
所以“ x + y > 0 ”是“ x > 0 ”的必要不充分条件，错误；
对于
D，已知
a,
b
Î
R
，当
a
=
b
=
0
时，满足
a
-
3b
=
0
，但是不满足
a b
=
3
，
反之，当
a b
=
3
时，则
有一个零点，分类讨论，结合二次函数的性质，以及利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】解：由函数
f
(x)
=
ìï- x 2 í
+
1 2
x, x
<
0 ，若
y
=
f
( x) - kx
有且只有 3 个零点，
ïîln ( x +1), x ³ 0
当 x = 0 时，可得 f (0) = ln1 = 0 ，可得 x = 0 是 y = f ( x) - kx 的一个零点，
(1)若 y
=
f
(
x
)
+
32 9
x在x
= 1 处取得极值，求 k
的值；
(2)讨论函数 f ( x) 的单调性.
16．V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 2a + b = 2ccosB ．
(1)求角 C ； (2)若角 C 的平分线 CD 交 AB 于点 D, AD = 3 13, DB = 13 ，求 CD 的长．
山东省淄博市高一上学期期中数学试卷
山东省淄博市高一上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·张家口期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·茂名期末) 方程组的解集为（）A . {x=2，y=1}B .C . {2，1}D . {（2，1）}3. （2分） (2019高一上·淮南月考) 若a>1，则函数y=ax与y=（1–a）x2的图象可能是下列四个选项中的（）A .B .C .D .4. （2分）已知偶函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且满足，则不等式的解集是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·沈阳模拟) 已知函数（a∈R），若函数y=|f（x）|﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A . a≥﹣2B . a＞2C . 0＜a＜1D . 1≤a＜26. （2分） (2016高一上·上杭期中) 设函数f（x）= ，f（﹣2）+f（log210）=（）A . 11B . 8C . 5D . 27. （2分） (2019高一上·青冈期中) 函数，的值域是（）A .B .C .D .8. （2分）已知f是从集合A到集合B的一个映射，f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y}，则B中元素（3，1）在A中的对应元素为（）A . （1，3）B . （1，1）C . （3，1）D . （，）9. （2分） (2018高一上·湘东月考) 已知函数，函数．若函数恰好有2个不同的零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·深圳月考) 已知函数的一根对称轴为，则函数图象恒过定点（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·大新模拟) 设函数f（x）= ，若a=f（20.3），b=f（log0.32），c=f （log32），则a、b、c的大小关系是（）A . b＞c＞aB . b＞a＞cC . a＞c＞bD . a＞b＞c12. （2分） (2018高一上·长安月考) 函数y=f(x)在上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则（）A . f(1)<f(2.5)<f(3.5)B . f(3.5)<f(1)<f(2.5)C . f(3.5)<f(2.5)<f(1)D . f(2.5)<f(1)<f(3.5)二、填空题. (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·民乐期中) 函数的定义域为________．14. （1分） (2018高一上·新泰月考) 已知函数是定义在R上的奇函数，当时f(x)= -2x，则f(x)在R上的解析式为________15. （1分） (2018高二下·北京期末) 已知函数 f (x) = ，，若对任意，存在，使得³ ，则实数 m 的取值范围为________16. （1分） (2016高一上·江阴期中) 若关于x的方程log |x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高一上·龙岩月考) 若集合，．（1）若，全集，试求．（2）若，求实数m的取值范围．18. （15分） (2020高三上·怀宁月考) 定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，.（1）求在上的解析式；（2）判断在上的单调性，并给予证明；（3）当为何值时，关于方程在上有实数解？19. （10分） (2016高一上·杭州期中) 计算：（1）（2）已知x+x﹣1=3，求的值．20. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知，设．（1）求的解析式并求出它的周期．（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．21. （15分） (2016高一上·阳东期中) 已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）求f（1）+f（﹣3）的值；（3）求f（a+1）的值（其中a＞﹣4且a≠1）．22. （5分）(2018·新疆模拟) 已知，函数 .（I）当为何值时，取得最大值？证明你的结论；（II）设在上是单调函数，求的取值范围；（III）设，当时，恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题. (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、答案：略第11 页共11 页。
山东省淄博市高一上学期数学期中考试试卷
山东省淄博市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）集合，，则集合为（）A .B .C .D .2. （1分）若函数，则（）A .B . 3C .D . 43. （1分）下列函数中，与函数y=x+1是同一个函数的是（）A . y=B . y=+1C . y=+1D . y=+14. （1分） (2017高二下·沈阳期末) 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .5. （1分）下列角中与终边相同的角是（）A .B .C .D .6. （1分）给定函数①，②，③，④，其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④7. （1分） (2019高一上·台州期中) 若函数，，则函数的值域（）A . ［4，5］B . ［4，］C . ［，5］D . ［1，3］8. （1分） (2016高一上·大名期中) 若函数y=loga（2﹣ax）在x∈[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （0，2）D . （1，+∞）9. （1分）幂函数y=（m2﹣2m﹣2）•xm﹣2 ，当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为（）A . m=3B . m=﹣1或m=3C .D . m=﹣110. （1分） (2016高一下·定州开学考) 设函数f（x）的定义域为R，f（x）= ，且对任意的x∈R都有f（x+1）=﹣，若在区间[﹣5，1]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有5个不同零点，则实数m 的取值范围是（）A . [﹣，﹣）B . （﹣，﹣ ]C . （﹣，0]D . （﹣，﹣ ]11. （1分）已知等差数列中，为其前n项和，若，则当取到最小值时n的值为（）A . 5B . 7C . 8D . 7或812. （1分） (2016高二下·汕头期末) 已知f（x）=x5﹣ax3+bx+2，且f（﹣5）=3，则f（5）+f（﹣5）的值为（）A . 0B . 4C . 6D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·镇海期中) 函数的定义域是________，值域是________．14. （1分）已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（， 2），则k+α=________15. （1分） (2016高一上·南城期中) 函数y= （x2﹣3x）的单调递减区间是________．16. （1分）(2020·重庆模拟) 已知函数 ,若的值域为，则实数a的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共15分)17. （2分）(2019高一上·仁寿期中) 已知集合或，，（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.18. （3分）已知函数f（x）=x2+2ax+2．（1）若函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），求函数在x∈[﹣5，5]的最大值和最小值；（2）若函数f（x）有两个正的零点，求a的取值范围；（3）求f（x）在x∈[﹣5，5]的最小值．19. （3分） (2018高一下·吉林期中) 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数，其图象如图所示.（1）求函数在的表达式；（2）求方程解的集合；（3）求不等式的解集.20. （2分）某市在“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点c处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．（1）设A，C两处的距离为x，试将y表示为x的函数；（2）若a=1时，y在x=6处取最小值，试求b的值．21. （2分） (2019高一上·闵行月考) 如图，在边长为6的正方形中，弧的圆心为，过弧上的点作弧的切线，与、分别相交于点、，的延长线交边于点 .（1）设，，求与之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当时，求的长.22. （3分） (2016高一上·嘉兴期末) 已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共15分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
山东省淄博市淄川一中高三数学上学期期中试卷 理(含解
2015-2016学年山东省淄博市淄川一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=lgx，x∈M}，则M∩N为( )A．（1，+∞）B．（1，2）C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的定义域为( )A．（1，3] B．（﹣∞，3] C．（0，3] D．（1，3）4．设，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．已知矩形ABCD中，，BC=1，则=( )A．1 B．﹣1 C．D．6．已知则tanβ=( )A．B．C．D．7．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A．e2B．2e2C．4e2D．8．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=4x，则f（5.5）=( )A．32 B．C．64 D．1610．设函数f（x）=e x+x﹣2的零点为x1，函数g（x）=lnx+x2﹣3的零点为x2，则( ) A．g（x1）＜0，f（x2）＞0 B．g（x1）＞0，f（x2）＜0 C．g（x1）＞0，f（x2）＞0 D．g（x1）＜0，f（x2）＜0二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在答题卡题中横线上. 11．在等差数列{a n}中，已知a2+a9=7，则3a5+a7=__________．12．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是__________．13．若函数f（x）=，则f（2）的值为__________．14．a，b，c分别是△ABC的三边，a=4，b=5，c=6，则△ABC的面积是__________．15．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__________．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=45，S6=60．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）若数列{a n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*）且b1=3，求的前n项和T n．20．（13分）已知一工厂生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元．设该工厂一年内生产这种产品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为p（x）万元，且（Ⅰ）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）21．（14分）设函数，其中a∈R．（Ⅰ）a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性；（Ⅲ）当时，证明对∀x∈（0，2），都有f（x）＜0．2015-2016学年山东省淄博市淄川一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=lgx，x∈M}，则M∩N为( )A．（1，+∞）B．（1，2）C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用指数函数的性质，求出集合M，对数函数的值域求出集合N，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={y|y=2x，x＞0}={y|＞1}，N={y|y=lgx，x∈M}={y|y＞0}，所以M∩N={y|y＞1}．故选A．【点评】本题考查集合的交集的求法，求出函数的值域是解题的关键．2．（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】运用充分必要条件定义判断求解．【解答】解：∵a∈R，当a2＞a时，即a＞1或a＜0，a＞1不一定成立当a＞1时，a2＞a成立，∴充分必要条件定义可判断：“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件定义，很容易判断．3．函数的定义域为( )A．（1，3] B．（﹣∞，3] C．（0，3] D．（1，3）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到0＜x﹣1≤2，解出即可．【解答】解：由1﹣log2（x﹣1）≥0，即log2（x﹣1）≤1，解得0＜x﹣1≤2，即1＜x≤3，所以函数的定义域为（1，3]．故选：A．【点评】本题考查了函数的定义域、对数函数的图象与性质，是一道基础题．4．设，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较；不等式比较大小．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断出abc的范围即可得到答案．【解答】解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故选A．【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．5．已知矩形ABCD中，，BC=1，则=( )A．1 B．﹣1 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】法一、以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，得到点的坐标，进一步求得向量的坐标得答案；法二、以为基底，把用基底表示，则可求．【解答】解：法一、如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），，，D（0，1），∴，，则．故选：A．法二、记，，则，，，∴=．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，解答此类问题常用两种方法，即建系法或利用平面向量基本定理解决，建系法有时能使复杂的问题简单化，是中档题．6．已知则tanβ=( )A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】把所求的角β变为α﹣（α﹣β），然后利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]=．故选C．【点评】此题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时注意角度的变换．7．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A．e2B．2e2C．4e2D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；作图题；导数的综合应用．【分析】由题意作图，求导y′=，从而写出切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；从而求面积．【解答】解：如图，y′=；故y′|x=4=e2；故切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）；当x=0时，y=﹣e2，当y=0时，x=2；故切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×e2=e2；故选A．【点评】本题考查了导数的求法及曲线切线的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．8．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】把化为，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象．【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选 C．【点评】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键．9．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=4x，则f（5.5）=( )A．32 B．C．64 D．16【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（5.5）=2f（4.5）=22f（3.5）=…=25f（0.5），代值计算可得．【解答】解：由f（x+1）=2f（x）知，f（5.5）=2f（4.5）=22f（3.5）=…=25f（0.5）=25•40.5=64．故选：C．【点评】本题考查函数求值，涉及指数的运算，属基础题．10．设函数f（x）=e x+x﹣2的零点为x1，函数g（x）=lnx+x2﹣3的零点为x2，则( ) A．g（x1）＜0，f（x2）＞0 B．g（x1）＞0，f（x2）＜0 C．g（x1）＞0，f（x2）＞0 D．g（x1）＜0，f（x2）＜0【考点】函数零点的判定定理．【专题】综合题；综合法；函数的性质及应用．【分析】由零点存在性定理知x1∈（0，1）；x2∈（1，2），再利用单调性，即可得出结论．【解答】解：因为函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，且f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，由零点存在性定理知x1∈（0，1）；因为函数g（x）=lnx+x2﹣3在（0，+∞）上单调递增，g（1）=﹣2＜0，g（2）=ln2+1＞0，由零点存在性定理知x2∈（1，2）．因为函数g（x）=lnx+x2﹣3在（0，+∞）上单调递增，且x1∈（0，1），所以g（x1）＜g（1）＜0；因为函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，且x2∈（1，2），所以f（x2）＞f（1）＞0．故选A．【点评】本题考查函数的零点存在性定理，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在答题卡题中横线上. 11．在等差数列{a n}中，已知a2+a9=7，则3a5+a7=14．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；整体思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求得2a1+9d=7，把3a5+a7转化为含有2a1+d的形式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a9=7，得a1+d+a1+8d=7，即2a1+9d=7，∴3a5+a7=3（a1+4d）+a1+6d=2（2a1+9d）=2×7=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的通项公式，体现了整体运算思想方法，是基础题．12．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】综合题；数形结合法；导数的综合应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得．【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积．故答案为：．【点评】考点幂函数的图象、定积分，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定积分是关键．13．若函数f（x）=，则f（2）的值为3．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=f（2+2）=f（4）=f（6）=6﹣3=3．故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．a，b，c分别是△ABC的三边，a=4，b=5，c=6，则△ABC的面积是．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围，利用同角三角函数关系式可求sinA 的值，结合三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵，∵A∈（0，π），∴，∴△ABC的面积．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理、三角形的面积公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．15．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．【考点】函数的零点．【专题】作图题．【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．【解答】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）【点评】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，结合辅助角公式进行化简，即可求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）根据三角函数的图象变换，进行化简求解即可．【解答】解：（Ⅰ）==，由，k∈Z，得，k∈Z，所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z．（Ⅱ）将的图象向左平移个单位，得到=，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到．∵x∈[﹣π，0]，∴．∴，∴．∴函数y=g（x）在[﹣π，0]上的值域为．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可得最小值和周期；（Ⅱ）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0结合角的范围可得C=，再由向量共线和正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得ab的方程，解方程组可得．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为T=π（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，∴sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=，∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0，∴由正弦定理可得==，即b=2a，①∵c=3，∴由余弦定理可得9=a2+b2﹣2abcos，②联立①②解方程组可得【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和余弦定理，属中档题．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的通项公式，可得方程组，求得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）运用对数的运算性质，化简b n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式即可得到．【解答】解法一：（Ⅰ）由即，消q3得，解得a1=1或a1=8，∴或，∵{a n}是递增数列，∴，∴；（Ⅱ），，2T n=0•21+1•22+2•23+…+（n﹣2）•2n﹣1+（n﹣1）•2n，∴相减可得，==（2﹣n）•2n﹣2，∴．解法二：（Ⅰ）因为{a n}是等比数列，a2a3=8，所以a1a4=8．又∵a1+a4=9，∴a1，a4是方程x2﹣9x+8=0的两根，∴或．∵{a n}是递增数列，∴．∴，∴q=2．∴．（Ⅱ）下同解法一．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用方程的思想，考查数列的求和方法：错位相减求和，考查运算能力，属于中档题．19．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=45，S6=60．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）若数列{a n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*）且b1=3，求的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想．【分析】（1）直接利用S5=45，S6=60得出关于首项和公差的两个等式，解方程即可求出首项和公差，进而求出其通项公式；（2）先利用叠加法求出数列{b n}的通项公式，再对数列{}的通项进行裂项，采用裂项相消法求和即可．【解答】解：（1）由S5=45，S6=60⇒⇒，∴a n=a1+（n﹣1）d=5+2（n﹣1）=2n+3（Ⅱ）∵b n+1﹣b n=a n∴b2﹣b1=a1b3﹣b2=a2b4﹣b3=a3…b n﹣b n﹣1=a n﹣1叠加∴b n=（n+3）（n﹣1）+3=n2+2n∴∴==．【点评】本题主要考查等差数列求和公式的应用以及叠加法和裂项相消求和法的应用，考查方程思想在解决数列问题中的应用以及计算能力．20．（13分）已知一工厂生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元．设该工厂一年内生产这种产品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为p（x）万元，且（Ⅰ）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由年利润=年销售收入﹣年总成本，结合p（x），即可得到所求f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论0＜x≤10时，由导数判断单调性，可得最大值；再讨论x＞10时，运用基本不等式求得最大值，进而得到所求f（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由，则f（x）=x[p（x）﹣27]﹣100=；（Ⅱ）当0＜x≤10时，f'（x）=81﹣x2，令f′（x）=0得x=9∈（0，10]（x=﹣9舍去），且当x∈（0，9）时，f′（x）＞0；当x∈（9，10）时，f′（x）＜0．所以当x=9时，f（x）max=f（9）=386．当x＞10时，==380，当且仅当即∈（10，+∞）时取等号．所以当x＞10时，f（x）max=380．因为386＞380，所以当x=9时，f（x）max=386．答：年产量为9千件时，该工厂在这种产品的生产中所获得的年利润最大．【点评】本题考查函数模型和数学思想的运用，考查分段函数的解析式和最值的求法，注意运用单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21．（14分）设函数，其中a∈R．（Ⅰ）a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性；（Ⅲ）当时，证明对∀x∈（0，2），都有f（x）＜0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；（Ⅱ）求出导数，求得极值点1，2a﹣1，讨论①当2a﹣1≤0，②当0＜2a﹣1＜1，③当2a ﹣1=1，④当2a﹣1＞1，求得单调区间，即可得到结论；（Ⅲ）讨论①当时，②当a=1时，③当a＞1时，运用函数的单调性可得（0，2）的最大值小于0，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，，，∴f'（1）=0．又，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0得x=1或x=2a﹣1，①当2a﹣1≤0即时，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．②当0＜2a﹣1＜1即时当x∈（0，2a﹣1）时f'（x）＞0；当x∈（2a﹣1，1）时f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0．③当2a﹣1=1即a=1时．④当2a﹣1＞1即a＞1时，当x∈（0，1）时f'（x）＞0；当x∈（1，2a﹣1）时f'（x）＜0；当x∈（2a﹣1，+∞）时f'（x）＞0．综上所述：当时，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；当时，f（x）的增区间为（0，2a﹣1）和（1，+∞）；减区间为（2a﹣1，1）；当a=1时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞1时，f（x）的增区间为（0，1）和（2a﹣1，+∞），减区间为（1，2a﹣1）．（Ⅲ）证明：①当时，由（Ⅱ）知：f（x）在（0，2a﹣1）上单调递增，在（2a﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，所以f（x）≤max{f（2a﹣1），f（2）}．f（2）=2﹣4a+（2a﹣1）ln2=（2a﹣1）（ln2﹣2）＜0．f（2a﹣1）==，记，，，又∵，∴g'（a）＞0．∴g（a）在上单调递增．∴当时，即成立．又∵，∴2a﹣1＞0．所以f（2a﹣1）＜0．∴当时，x∈（0，2）时f（x）＜0．②当a=1时，f（x）在（0，2）上单调递增，∴f（x）＜f（2）=ln2﹣2＜0．③当a＞1时，由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2a﹣1）上单调递减，在（2a﹣1，+∞）上单调递增．故f（x）在（0，2）上只有一个极大值f（1），所以当x∈（0，2）时，f（x）≤max{f（1），f（2）}．，f（2）=2﹣4a+（2a﹣1）ln2=（2a﹣1）（ln2﹣2）＜0，∴当a＞1时，x∈（0，2）时f（x）＜0．综①②③知：当时，对∀x∈（0，2），都有f（x）＜0．【点评】本题考查导数的几何意义、用导数研究函数的单调性、恒成立问题、分类讨论的思想方法．属于中档题．。
2019-2020学年山东省淄博市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省淄博市第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题(Q J A) 1•已知全集U 0,1,2,3,4 ，且集合B 1,2,4 ，集合A 2,3，则BI( )A . 1,4 B. 1 C. 4 D.【答案】A【解析】先求出e u A,再由交集的定义求解即可【详解】由题，可得e u A 0,1,4，则B (e u A) 1,4故选：A【点睛】本题考查补集、交集的定义，考查列举法表示集合，属于基础题2.下列各命题中，真命题是( )2 2A.x R,1 x 0B. x N,x 13 2C. x Z, x 1 D . x Q,x 2【答案】C【解析】分别对选项中的等式或不等式求解，依次判断是否正确即可【详解】对于选项A, 1 x20,即x 1或x 1,故A不正确；对于选项B,当x 0时，x20 1,故B不正确；对于选项D, X <2为无理数，故D不正确；对于选项C,当x 0时，x30 1,故C为真命题,故选：C【点睛】本题考查不等式的求解，考查命题真假的判断，考查全称量词、存在性量词的应用23.若不等式x ax b 0(a, b R)的解集为x |2 x 5，则a,b的值为A . a 7,b 10B . a 7,b10C . a 7,b10D . a 7,b 10【答案】 A【解析】由题，可得x2和x 5为方程x 2ax b 0的根，根据方程的根与系数的关系建立等式即可求解 【详解】4. 'k 0”是一次函数y kx b （k,b 是常数）是增函数”的（ ）A •充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 根据一次函数的性质可知当 k 0时,y kx b 是增函数，即可作出判断 【详解】是增函数”的充要条件, 故选：C 【点睛】本题考查一次函数的单调性，考查充要条件的判断【答案】C 【解析】分别化简集合可得 A x|0x3,B x|x 1或x 1 ,阴影部分为由题可得x 2和x 5为方程X 2 ax b 0的根,所以由韦达定理可得x.( x 22 5 a a 7X x 2 2 5 b '即 b 10故选：A 【点睛】 本题考查由不等式的解求参数问题，考查转换思想，考查方程的根与系数的关系当k0时，一次函数y kx b 是增函数,故k 0”是一次函数y kx b （k,b 是常数）5.若集合 A x|x 2 3x 0 , B {x|x 2A . x|x 0C . {x|1 x 3} 1}，则图中阴影部分表示的集合为（）B. {x|0 x 1}{x|0 x 1 x 3}Al B,由交集定义解出即可【详解】由题，可得A x|0 x 3 ,B x |x 1 或x 1 ,由图可得阴影部分为A B x|1 x 3故选：C【点睛】本题考查图示法表示集合的关系，考查交集的定义，考查解不等式，考查运算能力6 •若不等式x2 ax 1, 0对一切x R恒成立，则实数a的取值范围为（）A . {a | 2剟a 2} B. {a |a, 2或a…2}C.a| 2 a 2 D . {a |a 2 或a 2}【答案】A【解析】由题可分析，0,解出a范围即可【详解】由题，若不等式x2ax1 0对一切x R恒成立,则a24 1 1 a24 0,即2 a 2,故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查转换思想，考查解不等式7 •如果函数2y x (1 a)x 2在区间(,4］］上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A. a 9B. a —3C. a 5 D .a —7 【答案】A【解析】因为二次函数开口向上，对称轴为a 1x ，所以其减区间为2 （，2 ］，又函数在（,4］上是减函数，故（，4］(鳥1］，所以4 a212 2 ，解得a 9,故选A.8.设集合A {x| 1, x 3}，集合B {x |0 x, 2}，则“a A”是“aB ”的（A .充分不必要条件B •必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题可得B A ,进而可判断‘a A ”与a B ”的关系 【详解】由题可得，B A ,则a A ”是‘a B ”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】9 •下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（） 3A . y X 1B . y xC . y x x【答案】C【解析】因为选项A 是非奇非偶函数，不选，选项 B ，是奇函数，但是减函数，选项 C 中，是奇函数，并且是增函数，选项 D ，是奇函数，不是增函数，故选C.10 .已知 a 20.4, b 30.2 ,c50.2，则（)A . a b cB . ba cC .bc aD . cab【答案】 B【解析】 先将a 20.4 改写为a 40.2,再利用函数 y0 2X 的单调性判断即可【详解】由题，a 0.4 2 2 2 0.2 0.240 2，对于函数y x 可知在0， 单调递增，因为3 4 5,则 30.240' 50' ，即 b a c故选：B【点睛】本题考查利用幕函数单调性比较大小 ，考查指数幕的性质速为v ,则（）A . a v - abB . b v 、ab【答案】B本题考查集合之间的关系，考查必要不充分条件的判断11•小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为 a 和b a b ，其全程的平均时2 2abv --------- = -------【解析】可知 1 1 a b ,利用不等式的性质和均值不等式即可得到结果a b故选：B 【点睛】B . 3【答案】B【解析】试题分析:'.' 当且仅x-2x-2Vx-2当 ---'时，等号成立；所以■二?,故选B.X-2【考点】基本不等式二、填空题13 •若命题“ x R ，x 2 3ax 9 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ______________ 【答案】 2 a 2【解析】 先求出当命题为真命题时 a 的范围，其补集即为命题为假命题时 a 的范围 【详解】2 2ab由题1 1 a b ,a b11 1 1 111由于 ab 0,所以，即-,所以 1 1ab ab bb一 —a b222v— b1 1 1 12 ,即b va b b bb1 1 1,故 b b因为a b 0，所以a b一 2ab2ab，v=r^2ab 2. ab本题考查考查不等关系 ，不等式的性质，考查均值不等式 12 •若 f(X )C （x 2）在X n处取得最小值，则【详解】【答案】3或52 2 2由题，当命题“ x R,x 3ax 9 0 ”为真命题时, 3a 4 9 9a 36 0, 即a 2或a 2, 则当命题“ x R, x 2 3ax 9 0 ”为假命题时，2 a 2故答案为： 2 a 2【点睛】本题考查由命题的真假求参数范围问题，考查转换思想，考查运算能力114 .函数y—2的定义域为 ____________ . J i x 2【详解】故答案为： i,i【点睛】本题考查具体函数求定义域，属于基础题【答案】【详解】【点睛】第6页共ii 页【答案】 i,i【解析】 函数若有意义需满足i x 20,求解即可由题，ix 2 0,即i x i,故定义域为i,ii5.若 a 0,b0 且满足-a则2a b 的最小值为【解析】2a2a b,2b a3 22由题，则 2a2a 2a当且仅当2a b，即a伸寸,等号成立，2a b 的最小值为3 2 2本题考查 “i 的代换法求最值问题 ，考查均值不等式的应用，考查运算能力i6 •已知函数f(X )x 2 i(x2x(x 0)，若0)x io ,则 x2a b 2b a解析】 由分段函数求值问题，分段讨论x0x 2 1或x 0 ，求解即可得解10 2x 10详解】 因为 f x 10，所以 x0x 21 x010 或 2x 10 ，解得 x5，故答案为： 3或 5. 【点睛】 本题考查了分段函数，属基础题 三、解答题 17 .已知集合A {x 10^x 4}，集合B {x|mm} ，且 A B A ，求实数 m 的取值范围 【答案】m …1 解析】 由 A B A 可得 B A , 分别讨论 B的情况 ,得到不等关系 ,求解即可 详解】 A ,时 ,则 m m ，即m0时, 11 0 ,解得 1 4 0,综上可知 ,m 1. 点睛】 本题考查由并集结果求参数 ,当BA , 需讨论集合B 是否为空集 ,是易错点 ,考查分类讨论思想 2 18.已知集合 A x|x 22 0 ，集合 Bx|x 2ax a 3 0 ，若AI BB ，求实数 a 的取值集合. 答案】 {a| 2, a 6} 解析】 先用列举法表示 A 2,1 ,由 AI B A ,分别讨论 B 与B 的情况即可 详解】由题,A 2,1 ,Al B得B A,时，a20,即a2 4a 12 0,时，由B2,1, 2,14(a 3) 2a a 3 00,即2,a 6,解集,舍去;4(a 3)1 a a 3°,即2,a B { 2,1},a24(a 3)a 1 ，即6 , aa 2,x 6a 1 ，解集，舍去;综上可知，实数a的取值集合为｛a |6}.【点睛】本题考查由交集结果求参数，当B A ,需讨论集合B是否为空集，是易错点，考查分类讨论思想19 .已知函数y x在定义域1,1上是奇函数，又是减函数，若1 a20，求实数a的范围.【答案】0, a 1【解析】先求得f a的定义域再由y f x是奇函数可得a2,由单调性即可得到a的范围【详解】由题意得解得02,即064答:当长方体纸盒的底面是边长为4 m 的正方形时，用纸最少为64 m 2.由 f 1 a 2 f 1 a 0, 得 f 1 a f 1 a 2 , •/函数y f x 是奇函数，2 2••• f 1 a fa 1 ,2二 f 1 a f a 1 ,又•••函数y f x 在定义域 1,1上是减函数二 1 a a 2 1,即 a 2 a 2 0,解得2 a 1,,0a 丘/旦c.由得,0 a 12 a 1【点睛】20 •要制作一个体积为 32m 3，高为2m 的长方体纸盒，怎样设计用纸最少? 【答案】当长方体纸盒的底面是边长为 4 m 的正方形时，用纸最少为 64 m 2 【解析】由题可得长方体纸盒的底面积为 16m 2,设长方体纸盒的底面一边长为16一边长为 m ，则长方体纸盒的全面积为x利用均值不等式求解即可 【详解】设长方体纸盒的底面一边长为xm ,则另一边长为^m ,x长方体纸盒的全面积为0,16 c 8,当且仅当xx 164时,y 的最小值为x由题意得，长方体纸盒的底面积为 16m 2,则由题意得y 2(2x3216) 4(xx兰)32(x 0)x本题考查抽象函数奇偶性的应用,考查抽象函数的定义域，考查单调性的应用x m ,则另32(x 0), y 2(2x 32 16)4(x 鸟x xx 16 ,即x 4时，等号成立x •••当【点睛】 本题考查均值不等式求最值，考查空间几何体的体积与表面积，考查运算能力221.已知二次函数 f x x 2ax a 1在区间0,1上有最小值 2，求实数a 的值.【答案】a 1或a 2【解析】先得到对称轴是x a ,讨论对称轴与区间 0,1的位置关系，进而求得a 的值【详解】2二次函数f X x 2ax a 1图像的对称轴是 x a ,•- f x i f(1)1 2a a 1 2,解得a 2 ； 2 2当 0 a 1 时,f x min f a a 2a a 12, 即a 2 a 1 0,解得a 1±-5不合题意,舍去;2综上可得,a 1或a 2【点睛】本题考查二次函数由最值求参数问题 ，考查分类讨论思想一、 222 .已知函数f (x) x . x(1) 求它的定义域和值域；(2) 用单调性的定义证明：f (x)在(0, .. 2)上单调递减•【答案】(1) {x|x 0},(已 2-、2] U [2-、2,+ ) ; (2)证明见解析【解析】(1)由分母不为0求定义域，由均值不等式求值域；(2)设 0< N < X 2 < & ,判断f X 1f X 2即可【详解】 2 当 x 0时,x 2 2, x解得在区间 0,1上单调递增，x min在区间 0,1上单调递减，2当且仅当x 即x 、2时等号成立，x2当x 0时,x 0, x ••2 2,x即x 2 2 .2x2当且仅当x ，即x 、2时等号成立；x•••函数f x的值域是（卩2、、2] U[2、,2,+ ）（2）证明：设0 < 为< x2 < . 2 ,占 2 2 x1x2NX 2则f x1 f x? x1x2—x X2 x1x2 T 0< 为< x2 < . 2•-为x20,0 X1X2 2•- x,x2 2 0•- f X1 f X2 0,即f 为 f X2• f x在（0,、. 2）上单调递减.【点睛】本题考查函数的定义域和值域，考查定义法证明函数单调性(1)解：函数的定义域是{x|x 0},。
2023-2024学年山东省淄博实验中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博实验中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分1．已知集合P ＝{x ||x ﹣1|≤1}，Q ＝{x |x 2﹣3x +2≤0}，则P ∩（∁R Q ）＝（ ） A ．{x |0≤x ≤1} B ．{x |0≤x ＜1} C ．{x |0＜x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1}2．命题“∀a ∈R ，a +1a≥2”的否定是（ ） A ．∀a ∈R ，a +1a ＜2 B ．∃a ∈R ，a +1a ＜2C ．∀a ∈R ，a +1a≤2 D ．∃a ∈R ，a +1a≤2 3．已知函数f （x ﹣1）＝3x ﹣2，且f （a ）＝1，则实数a 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．已知a ∈R ，则“1a＜1”是“a ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于实数a ，b 下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则1a＜1bB ．若a ＞b ，则ab 2＞b 3C ．若a 2＞b 2，则a ＞bD ．若a ＞|b |，则a 2＞b 26．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣m ﹣1）x m﹣1是定义域上的奇函数，则m ＝（ ） A ．13B ．−13C ．23D ．−237．若不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为（ ） A ．{x |x ＜−√3或 x ＞√3} B ．{x |﹣3＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜3}D ．{x |x ＜﹣3或 x ＞1}8．函数f （x ）定义域为R ，对任意的x 1≠x 2∈R 都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），则称函数y ＝f （x ）为“H 函数”，已知函数g(x)=2023x −2023−x +log 2023(√x 2+1+x)是“H 函数”，则关于x 的不等式g （2x +1）+g （x +2）＞0的解集为（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，﹣1）二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分9．已知10α＝5，10β＝4，则下列式子的值为整数的是（ ）A ．10α2 B ．10β2C ．10α﹣βD ．10α+β210．下列运算中正确的是（ ） A ．2log 510+log 50.25＝2 B ．log 427×log 258×log 95=89C ．log 449+log 23=1D ．e ln 2+ln 3＝611．下列说法正确的是（ ）A ．若x ，y ＞0，x +y ＝2，则2x +2y 的最大值为4B ．1x +1y=1，则x +y 的最小值是4C ．当0＜x ＜1，x （3﹣3x ）取得最大值34D ．y =x 2+5√x 2+4的最小值为5212．下列命题正确的是（ ）A ．若函数f （1﹣x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ﹣1）的定义域为[0，1]B ．f(x)=(12)−3x2+2的最小值为14C ．f(x)=x−2x+2的图象关于（﹣2，1）成中心对称D ．f(x)=log 2(x 2−4x −5)的递减区间是（﹣∞，2） 三、填空题：共4小题，每题5分，共20分13．已知f(x)={log 2(x +1)，x ＞12f(x +4)+1，x ≤12，则f （3）＝ ．14．已知函数f(x)={(2a −1)x −3a +1，x ≤1log a x −13，x ＞1，且对于∀x 1≠x 2，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是 ． 15．若f(x)=a+1e x +1−1为奇函数，则g （x ）＝ln [（x ﹣3）（x ﹣a ）]的单调递减区间是 ． 16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f （x ）＝ ． ①定义域为R ，值域为[﹣1，+∞） ②y ＝f （x ）在定义域内是偶函数 ③y ＝f （x ）有3个零点 四、解答题：共6大题，共70分17．（10分）已知集合A ={x|x−1x+1＜0}，B ={x|2m −1≤x ≤m +1}．（1）当m ＝﹣1时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）设函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1．（1）若命题：∃x ∈R ，f （x ）＞0是假命题，求m 的取值范围；（2）若存在x ∈（﹣4，0），f （x ）≥（m +1）x 2+3成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y ＝kx +b （k ＞0）；②y ＝k •1.2x +b （k ＞0）；③y =klog 2(x15+2)+n(k ＞0)． （1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；（3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）．20．（12分）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本C （x ）万元，已知C (x)={ax 2+49x ，0＜x ≤5051x +144002x+1−870，50＜x ≤100，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润＝销售额﹣成本）为L （x ）万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元．(√2≈1.41)（1）年利润L （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 21．（12分）已知函数f(x)=log a 1−mxx−1是奇函数（a ＞0且a ≠1）． （1）求m 的值．（2）判断f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性．（3）当a =12时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞(12)x +b 恒成立，求b 的取值范围． 22．（12分）已知f （x ）＝log 3（m x +1）﹣x （m ＞0，且m ≠1）是偶函数． （1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式12⋅3f(x)−3[(√3)x +(√3)−x ]+a ≤0在R 上有解，求实数a 的最大整数值．2023-2024学年山东省淄博实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分1．已知集合P＝{x||x﹣1|≤1}，Q＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则P∩（∁R Q）＝（）A．{x|0≤x≤1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}解：因为P＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|﹣1≤x﹣1≤1}＝{x|0≤x≤2}，Q＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，所以∁R Q＝{x|x＜1或x＞2}，所以P∩（∁R Q）{x|0≤x＜1}．故选：B．2．命题“∀a∈R，a+1a≥2”的否定是（）A．∀a∈R，a+1a＜2B．∃a∈R，a+1a＜2C．∀a∈R，a+1a≤2D．∃a∈R，a+1a≤2解：命题“∀a∈R，a+1a≥2”为全称量词命题，所以命题“∀a∈R，a+1a≥2”的否定是：∃a∈R，a+1a＜2．故选：B．3．已知函数f（x﹣1）＝3x﹣2，且f（a）＝1，则实数a等于（）A．0B．1C．2D．3解：因为函数f（x﹣1）＝3x﹣2＝3（x﹣1）+1，可得f（x）＝3x+1，又因为f（a）＝1，所以3a+1＝1，解得a＝0．故选：A．4．已知a∈R，则“1a＜1”是“a＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当1a ＜1时，1a−1=1−aa＜0，即a（a﹣1）＞0，解得a＜0或a＞1，故不充分；当a＞1时，1a −1=1−aa＜0，即1a＜1，故必要．即“1a＜1”是“a＞1”的必要不充分条件．故选：B ．5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于实数a ，b 下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则1a＜1bB ．若a ＞b ，则ab 2＞b 3C ．若a 2＞b 2，则a ＞bD ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2解：A ：若a ＝1＞b ＝﹣1，此时1a＞1b，与题意不相符，故A 错误； B ：若a ＞0，b ＝0，则ab 2＝b 3，与题意不相符，故B 错误；C ：若a ＝﹣3，b ＝2，则a 2＞b 2，但是a ＜b ，与题意不相符，故C 错误；D ：若a ＞|b |，两边平方，则a 2＞b 2，与题意相符，故D 正确． 故选：D ．6．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣m ﹣1）x m﹣1是定义域上的奇函数，则m ＝（ ） A ．13B ．−13C ．23D ．−23解：因为函数f （x ）为幂函数，可得3m 2﹣m ﹣1＝1，解得m =−23或m ＝1， 当m =−23时，可得f(x)=x −53，此时函数为奇函数，符合题意； 当m ＝1时，可得f （x ）＝x 0，此时函数为偶函数，不符合题意，舍去， 所以m =−23． 故选：D ．7．若不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为（ ） A ．{x |x ＜−√3或 x ＞√3} B ．{x |﹣3＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜3}D ．{x |x ＜﹣3或 x ＞1}解：∵不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}， ∴﹣2和1是方程ax 2+bx +c ＝0，且a ＜0， ∴﹣2+1=−b a ，﹣2=ca ，∴a ＝b ，c ＝﹣2a ， ∴ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0，等价于ax 2+2ax ﹣3a ＜0，∵a ＜0，∴ax 2+2ax ﹣3a ＜0等价于x 2+2x ﹣3＞0，解得x ＜﹣3或x ＞1， ∴不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为{x |x ＜﹣3或x ＞1}． 故选：D ．8．函数f（x）定义域为R，对任意的x1≠x2∈R都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y ＝f（x）为“H函数”，已知函数g(x)=2023x−2023−x+log2023(√x2+1+x)是“H函数”，则关于x的不等式g（2x+1）+g（x+2）＞0的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）解：对任意的x1≠x2∈R都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），合并同类项得（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即“H函数”是在R上单调递增的函数．由已知g（x）是“H函数”，所以g（x）为R上的递增函数．又函数g(x)=2023x−2023−x+log2023(√x2+1+x)的定义域为R，g(−x)=2023−x−2023−(−x)+log2023[√(−x)2+1+(−x)]=2023−x−2023x+log√2√2√x2+1+x=2023−x−2023x+log2023(√x2+1+x)−1=−[2023x−2023−x+log2023(√x2+1+x)]=−g(x)，所以g（x）为奇函数．因为g（2x+1）+g（x+2）＞0，即g（2x+1）＞﹣g（x+2），即g（2x+1）＞g（﹣x﹣2），所以2x+1＞﹣x﹣2，即x＞﹣1．关于x的不等式g（2x+1）+g（x+2）＞0的解集为（﹣1，+∞）．故选：A．二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分9．已知10α＝5，10β＝4，则下列式子的值为整数的是（）A．10α2B．10β2C．10α﹣βD．10α+β2解：因为10α＝5，10β＝4，所以10α2=(10α)12=√5，10β2=(10β)12=412=2，10α−β=10α10β=54，10α+β2=10α×10β2=10，所以值为整数的式子是10β2和10α+β2．故选：BD．10．下列运算中正确的是（）A．2log510+log50.25＝2B．log427×log258×log95=89C．log449+log23=1D．e ln2+ln3＝6解：对于选项A：2log510+log50.25=log5(102×0.25)=log552=2，故选项A正确；对于选项B ：log 427×log 258×log 95=lg33lg22×lg23lg52×lg5lg32=3×32×2×2=98，故选项B 错误； 对于选项C ：log 449+log 23=log 22(23)2+log 23=22log 223+log 23=log 2(23×3)=log 22=1，故选项C 正确；对于选项D ：e ln 2+ln 3＝e ln 6＝6，所以选项D 正确． 故选：ACD ．11．下列说法正确的是（ ）A ．若x ，y ＞0，x +y ＝2，则2x +2y 的最大值为4B ．1x +1y=1，则x +y 的最小值是4C ．当0＜x ＜1，x （3﹣3x ）取得最大值34D ．y =2√x 2+4的最小值为52解：由2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y =2√22=4， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以A 错误； 若x =−1，b =12，满足1x+1y=1，可得x +y =−12，所以B 不正确；当0＜x ＜1，可得x(3−3x)=3x(1−x)≤3⋅(x+1−x 2)2=34， 当且仅当x ＝1﹣x 时，即x =12，等号成立，所以C 正确； 由y =x 2+5√x 2+4=√x 2+41√x 2+4≥2，当且仅当√x 2+4=1√x 2+4取等号，即x 2+4＝1，显然该方程无实根，对勾函数最小值取√x 2+4=2，代入可得最小为52，所以D 正确． 故选：CD ．12．下列命题正确的是（ ）A ．若函数f （1﹣x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ﹣1）的定义域为[0，1]B ．f(x)=(12)−3x2+2的最小值为14C ．f(x)=x−2x+2的图象关于（﹣2，1）成中心对称D ．f(x)=log 2(x 2−4x −5)的递减区间是（﹣∞，2） 解：根据题意，依次分析选项：对于A ：函数f （1﹣x ）的定义域为[0，2]，所以1﹣x ∈[﹣1，1]，令2x ﹣1∈[﹣1，1]，解得x ∈[0，1]，所以函数f （2x ﹣1）的定义域为[0，1]，A 正确； 对于B ：令t ＝﹣3x 2+2≤2，则y =(12)t ，因为t ≤2，且y =(12)t 在定义域内递减， 所以(12)t ≥(12)2=14，所以y =(12)−3x2+2的最小值为14，所以B 正确；对于C ：因为y =x−2x+2=1−4x+2，所以y =x−2x+2可看成反比例函数y =−4x 向左平移2个单位长度， 再向上平移1个单位长度得到的，因为y =−4x的对称中心为（0，0）， 所以y =x−2x+2的对称中心为（﹣2，1），所以C 正确；对于D ：由x 2﹣4x ﹣5＞0，得x ＜﹣1或x ＞5，所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）， 令t ＝x 2﹣4x ﹣5，则y ＝log 2t ，因为t ＝x 2﹣4x ﹣5在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（5，+∞）上单调递增， 且y ＝log 2t 在（0，+∞）上单调递增，所以f(x)=log 2(x 2−4x −5)在（﹣∞，﹣1）上递减，在（5，+∞）上递增，所以D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：共4小题，每题5分，共20分13．已知f(x)={log 2(x +1)，x ＞12f(x +4)+1，x ≤12，则f （3）＝ 7 ．解：由函数f(x)={log 2(x +1)，x ＞12f(x +4)+1，x ≤12，可得f(3)=f(7)+1=f(11)+2=f(15)+3=log 216+3=log 224+3=7． 故答案为：7．14．已知函数f(x)={(2a −1)x −3a +1，x ≤1log a x −13，x ＞1，且对于∀x 1≠x 2，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则实数a 的取值范围是 (0，13] ． 解：因为对于∀x 1≠x 2，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，所以f （x ）在R 上单调递减， 所以{ a −1＜00＜a ＜1(2a −1)−3a +1≥log a 1−13，解得0＜a ≤13，即实数a的取值范围为(0，13 ]．故答案为：(0，13 ]．15．若f(x)=a+1e x+1−1为奇函数，则g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣a）]的单调递减区间是（﹣∞，1）．解：由f(x)=a+1e x+1−1，x∈R为奇函数，则f(0)=a+12−1=0，解得a＝1，当a＝1时，f(x)=2e x+1−1=1−e xe x+1，则f(−x)=1−e−xe−x+1=e x−11+e x=−f(x)，满足题意．当a＝1时，g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣1）]，由（x﹣3）（x﹣1）＞0解得x＜1或x＞3，令t＝（x﹣3）（x﹣1），当x＜1时，t＝（x﹣3）（x﹣1）单调递减，y＝lnt单调递增，则g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣2）]单调递减；当x＞3时，t＝（x﹣3）（x﹣1）单调递增，y＝lnt单调递增，则g（x）＝ln[（x﹣3）（x﹣1）]单调递增；则g（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f（x）＝x2﹣2|x|（答案不唯一）．①定义域为R，值域为[﹣1，+∞）②y＝f（x）在定义域内是偶函数③y＝f（x）有3个零点解：根据题意，取函数f（x）＝x2﹣2|x|，可得函数f（x）＝x2﹣2|x|＝（|x|﹣1）2﹣1的定义域为R，值域为[﹣1，+∞），故①符合；因为f（﹣x）＝x2﹣2|x|＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故②符合；令f（x）＝x2﹣2|x|＝0，解得x＝0或x＝±2，所以y＝f（x）的图象与x轴有三个零点，所以③符合；综上，所以函数f（x）＝x2﹣2|x|符合题意．故答案为：x2﹣2|x|．四、解答题：共6大题，共70分17．（10分）已知集合A={x|x−1x+1＜0}，B={x|2m−1≤x≤m+1}．（1）当m＝﹣1时，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．解：（1）由题意，A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |﹣3≤x ≤0}， 所以A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤0}； （2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，①B ＝∅，∴m +1＜2m ﹣1，解得m ＞2， ②B ≠∅，∴{m +1≥2m −1m +1＜12m −1＞−1，无解，综上，m ∈（2，+∞）．18．（12分）设函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1．（1）若命题：∃x ∈R ，f （x ）＞0是假命题，求m 的取值范围；（2）若存在x ∈（﹣4，0），f （x ）≥（m +1）x 2+3成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）若命题：∃x ∈R ，f （x ）＞0是假命题，则∀x ∈R ，f （x ）≤0是真命题， 即mx 2﹣mx ﹣1≤0在R 上恒成立， 当m ＝0时，﹣1＜0，符合题意； 当m ≠0时，需满足{m ＜0Δ=m 2+4m ≤0，解得﹣4≤m ＜0；综上所述，m 的取值范围为[﹣4，0]．（2）若存在x ∈（﹣4，0），f （x ）≥（m +1）x 2+3成立，即存在x ∈（﹣4，0）使得m ≥−x −4x成立，故只需m ≥(−x −4x)min ，x ∈（﹣4，0）， 因为x ∈（﹣4，0），所以﹣x ∈（0，4），则−x −4x =(−x)+4−x ≥2√(−x)⋅4−x =4， 当且仅当−x =4−x ，即x ＝﹣2时取等号， 所以m 的范围为{m |m ≥4}．19．（12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y ＝kx +b （k ＞0）；②y ＝k •1.2x +b （k ＞0）；③y =klog 2(x 15+2)+n(k ＞0)．（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；（3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）．解：（1）对于模型①，y ＝kx +b ，不满足同时过（0，0），（30，3），（90，6）三个点，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误，对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③， （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点（0，0），（30，3）， 则{klog 22+n =0klog 2(3015+2)+n =3，解得k ＝3，n ＝﹣3， 故所求函数为y =3log 2(x15+2)−3，经检验，点（90，6）符合上式， 综上所述，函数的解析式为y =3log 2(x15+2)−3． （3）∵学校要求每天的分数不少于4.5分， ∴3log 2(x15+2)−3≥4.5，即log 2(x 15+2)≥2.5， ∴x 15+2≥22.5=4×20.5=4√2，∴x ≥60√2−30≈55， ∴每天至少运动55分钟．20．（12分）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本C （x ）万元，已知C (x)={ax 2+49x ，0＜x ≤5051x +144002x+1−870，50＜x ≤100，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润＝销售额﹣成本）为L （x ）万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元．(√2≈1.41)（1）年利润L （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 解：（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为1600a +49×40+250万元，利润为50×40﹣（1600a +49×40+250）＝190，解得a =−14，则L （x ）={14x 2+x −250，0＜x ≤50−x −144002x+1+620，50＜x ≤100． （2）当x ∈（0，50]，y =−14x 2+x −250，对称轴为x ＝﹣2＜0，则函数在（0，50]上单调递增，故当x ＝50时，y max ＝425， 当x ∈（50，100]时，y =−x −144002x+1+620=−(x +144002x+1)+620=620.5−(2x+12+144002x+1)≤620.5−120√2≈451.3， 当且仅当2x+12=144002x+1，即x =60√2−12≈84.1时取等号， 因为425＜451.3，所以当年产量为84.1时，所获年利润最大，最大年利润是451.3． 21．（12分）已知函数f(x)=log a1−mxx−1是奇函数（a ＞0且a ≠1）． （1）求m 的值．（2）判断f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性．（3）当a =12时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞(12)x +b 恒成立，求b 的取值范围． 解：（1）f(x)=log a1−mxx−1是奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）在其定义域内恒成立，即log a ，1+mx −x−1=−log a1−mx x−1，∴1﹣m 2x 2＝1﹣x 2恒成立，∴m ＝﹣1或m ＝1（舍去），即m ＝﹣1． （2）由（1）得f(x)=log a 1+xx−1(a ＞0，a ≠1)， 令μ=x+1x−1=1+2x−1，则μ在（1，+∞）上为减函数， ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数； 当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞(12)x +b 恒成立， 则f(x)−(12)x ＞b 在[3，4]上恒成立， 令g(x)=f(x)−(12)x ，由（2）知，g （x ）在[3，4]上是单调递增函数， 所以b ＜g(x)min =g(3)=−98，即b 的取值范围是(−∞，−98)．22．（12分）已知f （x ）＝log 3（m x +1）﹣x （m ＞0，且m ≠1）是偶函数． （1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式12⋅3f(x)−3[(√3)x +(√3)−x ]+a ≤0在R 上有解，求实数a 的最大整数值．解：（1）函数f （x ）定义域为R ，由函数为偶函数，有f （x ）＝f （﹣x ）， 即log 3(m x +1)−x =log 3(m −x +1)+x ， 则有log 3(m x +1)−log 3(1m x+1)=2x ， 即log 3m x =xlog 3m =2x ，得log 3m ＝2，所以m ＝9． （2）由（1）可知，f(x)=log 3(9x +1)−x ， 则3f(x)=3log 3(9x −1)−x=3log 3(9x+1)3x=9x+13x =3x +3﹣x =[(√3)x +(√3)−x ]2−2，设g （x ）=12⋅3f(x)−3[(√3)x +(√3)−x ]+a =12[(√3)x +(√3)−x ]2−1−3[(√3)x +(√3)−x ]+a ， 依题意有g （x ）min ≤0，由基本不等式(√3)x +(√3)−x ≥2√(√3)x ⋅(√3)−x =2， 当且仅当(√3)x =(√3)−x ，即x ＝0时等号成立，令(√3)x +(√3)−x =t 则ℎ(t)=12t 2−3t +a −1(t ≥2)，有h （t ）min ≤0， 由二次函数的性质可知h （t ）在[2，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增， ℎ(t)min =ℎ(3)=92−9+a −1=a −112， 则有a −112≤0得a ≤112， 所以实数a 的最大整数值为5．。
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山东省淄博市高一上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·山东模拟) 已知全集（）
A . {3}
B . {0，3，5}
C . {3，5}
D . {0，3}
2. （2分）如果集合,那么（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）(2017·杭州模拟) 已知函数f（x）= ，则函数g（x）=f（f（x））﹣2在区间（﹣1，3]上的零点个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
4. （2分） (2016高一下·桃江开学考) 已知a=log32，b=log2 ，c=20.5 ，则a，b，c的大小关系为（）
A . a＜b＜c
B . b＜a＜c
C . c＜b＜a
D . c＜a＜b
5. （2分） (2017高三下·上高开学考) 若y=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函数，则f（﹣1），f（﹣），f（）
的大小关系为（）
A . f（）＞f（﹣）＞f（﹣1）
B . f（）＜f（﹣）＜f（﹣1）
C . f（﹣）＜f（）＜f（﹣1）
D . f（﹣1）＜f（）＜f（﹣）
6. （2分）若幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上是增函数，则（）
A . a＞0
B . a＜0
C . a=0
D . 不能确定
7. （2分） (2017高三上·山西开学考) 已知集合A={x|x=4n+1，n∈Z}B={x|x=4n﹣3，n∈z}，C={x|x=8n+1，n∈z}，则A，B，C的关系是（）
A . C是B的真子集、B是A的真子集
B . A是B的真子集、B是C的真子集
C . C是A的真子集、A=B
D . A=B=C
8. （2分）设，则（）
A . a<b<c
B . c<b<a
C . c<a<b
D . b<a<c
9. （2分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）
A . （﹣，+∞）
B . （﹣， 1）
C . （﹣，）
D . （﹣∞，﹣）
10. （2分）已知等比数列满足，且，则当时，
（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2016高一上·遵义期中) 已知函数若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（）
A . （0，1]
B . （0，1）
C . [0，1）
D . [0，1]
12. （2分）已知函数，若a,b,c互不相等，且，则abc的取值范围是（）
A . （1，10）
B . （5，6）
C . （10，12）
D . （20，24）
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2015高一下·南通开学考) 已知函数f（x）=sin（x+θ）+ cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为________．
14. （1分） (2017高一上·大庆月考) 已知是定义在R上的奇函数，且当 .若对任意的，恒成立，则的取值范围是________
15. （1分） (2016高二上·河北开学考) 函数y=log （3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
16. （1分）若关于x的方程x2﹣2ax+2+a=0有两个不相等的实根，方程一根大于1，另一根小于1，则 a的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （10分） (2016高一上·阳东期中) 计算题
（1）已知集合A={x|3＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求A∪B，A∩B，∁RA
（2）计算下列各式
①
②（2a b ）（﹣6a b ）÷（﹣3a b ）
18. （5分）问K为何值时，|3x﹣1|=k无解？有一解？有两解？
19. （5分）已知奇函数f（x）= 的定义域为R，其中g（x）为指数函数且过点（2，9）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义证明．
20. （10分） (2016高一上·温州期中) 已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），
（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上不单调，求实数a的取值范围；
（2）记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2．
21. （15分） (2017高一上·山东期中) 已知函数 = 且为自然对数的底数为奇函数
（1）求的值;
（2）判断的单调性并证明.
（3）是否存在实数 ,使不等式对一切都成立,若存在,求出若不存在,请说明理由.
22. （10分）函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）= ﹣1．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）求函数f（x）的解析式．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
19-1、20-1、
20-2、21-1、
21-2、
21-3、22-1、22-2、。