北京四中---高中数学高考综合复习专题二十六 立体几何——平行与垂直
高中数学高考综合复习专题二十六立体几何——平行与垂直
二、高考考点
1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的内容.
2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.
3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.
三、知识要点
（一）空间直线
1、空间两条直线的位置关系
（1）相交直线——有且仅有一个公共点；
（2）平行直线——在同一个平面内，没有公共点；
（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.
2、平行直线
（1）公理4（平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示：设a,b,c为直线，
（2）空间等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等.
3、异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
（2）有关概念：
（ⅰ）设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线ａ＇，ｂ＇，并使ａ＇//a，ｂ＇//b,则把ａ＇和ｂ＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.
认知：设为异面直线a，b所成的角，则.
（ⅱ）和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公垂线.
（ⅲ）两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线的距离.
（二）空间直线与平面
直线与平面的位置关系：
（1）直线在平面内——直线与平面有无数个公共点；
（2）直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点；
（3）直线和平面平行——直线与平面没有公共点.
其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.
1、直线与平面平行
（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.
（2）判定
判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
认知：应用此定理证题的三个环节：指出.
（3）性质
性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
2、直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l和平面内的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面互相垂直，记作l⊥.
（2）判定：
判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
符号表示：.
（3）性质
性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
符号表示：
（4）概念
（ⅰ）点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
（ⅱ）直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.
（三）空间两个平面
1、两个平面的位置关系
（1）定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.
（2）两个平面的位置关系
（ⅰ）两个平面平行——没有公共点；
（ⅱ）两个平面相交——有一条公共直线.
2、两个平面平行
（1）判定
判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
判定定理2：（线面垂直性质定理）：垂直于同一条直线的两个平面平行.
（2）性质
性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
性质定理2（定义的推论）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.
3、有关概念
（1）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.
（2）两个平行平面的公垂线段都相等.
（3）公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.
4、认知：
两平面平行的判定定理的特征：线面平行面面平行，或线线平行面面平行；
两平面平行的性质定理的特征：面面平行线面平行，或面面平行线线平行.
它们恰是平行范畴中同一事物的相互依存和相互贯通的正反两个方面.
四、经典例题
例1、在正方体中，E、F、G、H分别为棱BC、、、的中点，求证：
（1）；
（2）
分析：直面线面平行或面面平行的证明，一般是运用相应的判定定理.为此，需要在有关平面内寻找相关直线的平行线.寻找平行线的平面几何方法主要有：
（ⅰ）构造平行四边形；
（ⅱ）构造三角形中位线或三角形中的成比例线段；
（ⅲ）构造梯形
注意到已知某些棱的中点，想到找取相关线段的中点，配合原来线段的中点构造上述平面图形.
对于（1）适合条件的三角形难以构造，故首选构造平行四边形；
对于（2），则由不同图形的构造引出不同的证法.
证明：
（1）连接，并设，则分别为两底面的中心. 取OB中点为M，
则由EM为△BOC的中位线得①
②
注意到为正方形
∴
∴四边形为矩形
∴③
∴由①②③得
∴四边形为平行四边形
∴
又
∴
（2）证明（构造平行四边形）：取中点为N，连接，
则由为平行四边形，
∴④
又连结知
四边形为平行四边形
∴⑤
∴由④⑤得
注意到
∴⑥
同理可得⑦
于是由⑥⑦得。
例2、已知平面
分析：已知直线与平面平行，必然要利用线面平行的性质或定义，一般是利用线面平行性质定理.为此，已知直线，需要经过直线n作平面，进而推出n//a.本题证明由此展开.
证明：
在平面
（线面平行性质定理）①
②
∴（线面平行判定定理）
又平面
（线面平行性质定理）③
于是由①③得n//m（公理4）
点评：立体几何的作图，必须是出手有理有据，已知直线，除极个别情形外，一般要利用线面平行性质定理，因此，需要经过直线a作平面进而推出a//b，切不可直接在内作b//a，为大家提供“零分证法”的反例.
例3、在正三棱柱中，E是AC中点，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若.
分析：注意到正三棱柱的特性
（1）利用上述特性构造三角形，构造平行四边形或构造面面平行，不同的构造产生出不同的证法；
（2）注意到正三棱柱的侧面与底面垂直，又这里BE⊥AC，问题易证.
（3）注意到，的垂线易作，故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面角.
解：
（1）证法一（构造三角形中位线）：
连结B1C，设的对角线交点.
又连结EM，则EM为的中位线，
又
.
证法二（构造平行四边形）：
在平面内延长并与的延长线交于点G，连结BG，则GA＝
∴
∴四边形GAB1B为平行四边形
∴AB1//GB
又
∴
证法三（构造平行平面）取A1C1中点为E1，连结B1E1，，AE1.
∵四边形为矩形
∴
∴为平行四边形
∴EC1//AE1
∴①∵△ABC为正三角形，E为AC中点，
∴BE⊥AC
又正三棱柱底面ABC⊥侧面
∴BE⊥平面
同理要证，
∴
∴②于是由①②得，③注意到
∴
（2）从略.
（3）在平面内作
∵
∴
∴FN是CN在上的射影，
∴（三垂线定理）
∴
∴
∴
点评：对于（1），三种证法各有千秋.证法一中连结CB1，设出后，△ACB1的中位线便呼之欲出了；证法二注意到C1E的延长线必与A1A的延长线相交，大胆“出格”，用正三棱柱之外的线段GB沟通AB1与平面BEC1的联系；证法三则审时度势，主动“升格”，先证相关的两平面平行，而后利用面面平行定义的推论推出.这里的三种证法为证明线面平行的主要策略.
例4、已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.
（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.
分析：
（1）注意到AF与SC在同一个平面内，证明AF⊥SC首选三垂线定理逆定理.为此，从已知的线面垂直切入，从寻找它们所在平面SAC的垂线突破.
（2）仿（1），从寻找平面SAD的垂线切入或突破.
证明：
（1）
∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥AB
∵SA⊥平面ABCD，AB为SB在平面AC上的射影
∴BC⊥SB
∴BC⊥平面SAB
∴BC⊥AE
即AE⊥BC
又AE⊥SB
∴AE⊥平面SBC
∴EF是AF在平面SBC上的射影
∴由SC⊥EF得SC⊥AF，即AF⊥SC
（2）由（1）知SC⊥平面AEF，又AG平面AEF
∴SC⊥AG，即AG⊥SC①
由题设得CD⊥AD，CD⊥SA
∴CD⊥平面SAD
∴CD⊥AG，即AG⊥CD②
于是由①②得AG⊥平面SCD
∴AG⊥SD
点评：立体几何中垂直问题的证明，通常是从线线垂直切入，向线面垂直或面面垂直延伸.
（1）的证明两用三垂线定理或其逆定理，
（2）的证明则运用了线面垂直的定义与判定定理，它们共同展示了证明垂直问题的基本策略.
例5、已知P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC.
分析：循着证明线面垂直问题的基本思路，从已知的线面垂直切入，去构造有关直线的垂面.
证明：连结AO并延长交BC边于D，连结PD.
∵O为△ABC的垂心
∴BC⊥AD
∵PA⊥平面ABC
∴PA⊥BC
又∵AD∩PA=A
∴BC⊥平面PAD
∴BC⊥PD
又∵Q为△PBC的垂心，
∴Q∈PD，又O∈AD
∴OQ平面PAD
∴OQ⊥BC①
再连结BO并延长交AC于H，连结BQ并延长交PC于R，
则AC⊥BH，PC⊥BR.连结HR.
∵PA⊥平面ABC
∴平面PAC⊥平面ABC
且平面PAC∩平面ABC＝AC
∴由BH⊥AC得BH⊥平面PAC
∴BH⊥PC即PC⊥BH
注意到PC⊥BR
∴PC⊥平面BHR
而OQ平面BHR
∴PC⊥OQ②
于是由①②得OQ⊥平面PBC
点评：证明过程的前部，以BC的垂直关系为关系，以推出BC⊥OQ为第一目标；证明过程的中部，以BH的垂直关系为主线，推出BH⊥PC后利用垂直关系的相互性转移；证明过程的后部，则以PC的垂直关系为主线，以推出PC⊥OQ宣告结束.证明线面之间的垂直关系或平行关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.
例6、在立体图形P-ABC中，已知PA=PB，CB⊥平面PAB，M为PC的中点，N在棱AB上，试问，当点N在棱AB的什么位置上时有MN⊥AB？
分析：对于在限定的垂直关系下确定点或直线的位置问题，一般思路是“先构造后定位”为此，首先需要立足于已知垂面，从已知的线线垂直或线面垂直入手，去寻找有关平面的新的垂线.
解：作PB中点H，连接HM
∵M为PC的中点
∴HM∥BC
∵CB⊥平面PAB
∴MH⊥平面PAB，
在平面PAB内，过点H作HN⊥AB于N，连接MN
则AB⊥MN（三垂线定理）
又取AB中点D，连结PD
∵PA＝PB，
∴PD⊥AB
∴HN//PD
∴N为DB中点.
∴当点N为棱AB上靠近点B的四等分点时，有MN⊥AB.
点评：欲确定垂直于棱AB的线段MN，首先从已知条件入手，导出经过点M的平面PAB（或ABC）的垂线，于是这一平面内垂直于AB的直线易作，解题的局面由此打开.寻找有关平面的垂线，也成为证明或求解垂直问题的突破口.
五、高考真题
（一）选择题
1、（2005浙江卷）设为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且，有如下的两个命题：
①若；②若
那么（）
A、①是真命题，②是假命题；
B、①是假命题，②是真命题；
C、①②都是真命题；
D、①②都是假命题.
分析：这里.
对于①，若，则l，m可能平行，也可能异面；
对于②，若则可能垂直，也可能不垂直.
故应选D.
2、（2005辽宁卷）已知m,n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①
②
③
④若m,n是异面直线，
其中真命题是（）
A、①和②
B、①和③
C、③和④
D、①和④
分析：
由面面平行判定定理知①为真命题；
注意到垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，②为假命题；
③显然为假命题；
④由于m,n为异面直线，故可在内确立两条相交直线与平行，因而为真命题.
故应选D.
3、（2005天津卷）设为平面，m,n,l为直线，则m⊥的一个充分条件是（）
分析：
对于选项A，由于这里的直线m不一定在内，故不一定有m⊥；
对于选项B，它与m⊥构成的命题是：若两个平面都和第三个平面垂直，则其中一个平面与第三个平面的交线垂直于另一个平面，此命题为假；
对于选项C，它与m⊥构成的命题是：若两个平面都和第三个平面垂直，且直线m垂直于其中一个平面，则m 也垂直于另一个平面，此命题亦为假命题；
排除法可知应选D.选项D与m⊥构成的命题是：若直线m与两个平行平面中的一个平面垂直，那么它和另一个平面也垂直，这显然为真命题.
4、（2005重庆卷）对于不重合的两个平面，给定下列条件：
①存在平面，使得都垂直于；
②存在平面，使得都平行于；
③内有不共线三点到的距离相等；
④存在异面直线l,m，使得；
其中可以判定平行的条件有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
分析：
对于①，垂直于同一平面的两个平面可能相交；
对于②，由面面平行的传递性可以判定；
对于③，当相交时，内仍可存在不共线三点到的距离等等；
对于④，在m上取定点P，经过点P在l与点P确定的平面内作l＇//l，则ｌ＇与m可确定平面.由于
于是可知，本题应选B.
（二）填空题
1、（2005山东卷）已知m,n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若
②若
③若
④m,n是两条异面直线，若
上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）
分析：
①显然为假命题；
对于②，内的直线m,n不一定相交，故②亦为假命题；
对于③，由题设知∴③为真命题；
对于④，由前面选择题第4题知此为真命题.
因此，答案为③、④.
2、（2005全国卷）在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则
①四边形一定是平行四边形；
②四边形有可能是正方形；
③四边形在底面ABCD的投影一定是正方形；
④平面有可能垂直于平面
以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）
分析：注意到正方体的特性，由面面平行性质定理和，故四边形为平行四边形，①正确；在这里，当时，平行四边形即为矩形，且不可能为正方形，②不正确；③正确；而当平面与底面ABCD（或）重合时有平面，故④正确.于是可知答案为①，③，④.
（三）解答题
1、（2005湖南卷）如图1，已知ABCD是上下底面边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图2.
（1）证明：；
（2）求二面角的大小.
分析：循着解决平面图形折叠问题的基本思路：
（1）认知平面图形中有关线段的长度与联系；
（2）了解折叠前后有关线段的长度或联系的＂变＂与＂不变＂；
（3）利用＂不变＂的量与＂不变＂的关系解题.
在这里，由图1知，.至此（1）易证；
对于（2），由（1）知，，故，于是可利用三垂线定理构造所求二面角的平面角.
解：
（1）证明：由题设知
∴∠AOB是所成的直二面角的平面角，即，
∴
∴OC是AC在平面上的射影①
又由题设得
从而②
∴根据三垂线定理由①②得，.
（2）解：由（1）知，，
∴
设，在平面AOC内过点E作EF⊥AC于F，
连结（三垂线定理）
由题设知，
∴
∴
又
∴
即所求二面角的大小为.
点评：利用原来平面图形折叠后“不变的量”与线段间不变的垂直或平行关系，推出立体图形中，是证明（1）以及解答（2）的基础与关键.由此可见，这类问题中认知平面图形的重要.
2、（2005广东卷）在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，
AC=8，PB＝.F是线段PB上一点，，点E在线段
AB上，且EF⊥PB.
（1）证明：PB⊥平面CEF；
（2）求：二面角B-CE－F的大小.
分析：
（1）要证PB⊥平面CEF，只要证PB垂直于CE或CF.这一设想的实现与否，要看对有关三角形的特性的认知与把握.在这里，，故易得BC⊥平面PAC，BC⊥AC等.注意到，，便得PB⊥CF，于是问题获证.
（2）由（1）知CE⊥PB，从而CE⊥平面PAB，CE⊥AB，CE⊥EF，故∠BEF为所求二面角的平面角.至此，解题的难点得以突破.
解：（1）证明：
∵PA2+AC2=36+64=100=PC2
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，
同理可证：△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，
△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。
故PA⊥平面ABC
而
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，
故AB⊥CE
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，
∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。
tan∠FEB=cot∠PBA=
二面角B—CE—F的大小为arctan
点评：条件求值或证明中的已知数据经常具有双重作用，一是明确给出可用于计算或推理的量值，二是从中隐含有关各量之间的特殊联系.对于本题，揭露并认知有关线段的垂直关系，乃是解题取胜的关键环节.
3、（2005福建卷）如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，
AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的大小；
（3）求点D到平面ACE的距离.
分析：
（1）注意到BF⊥平面ACE，故AE⊥BF.又AE⊥CB明显，问题易证.
（2）注意到四边形ABCD为正方形，故想到连结BD交AC于G，若取AC中点为G，连结BG，则AC⊥BG.再连结GF，只要证GF⊥AC，便得出∠BGF为所求二面角的平面角.
（3）注意到平面ACE经过线段BD的中点，故B、D两点到平面ACE的距离相等.据此，在直接画出并求解这一距离有困难时，可转而去求点B到平面ACE的距离，或运用体积法求这一距离.
解法一：
（1）
平面ACE.
∵二面角D—AB—E为直二面角，且，
平面ABE，
（2）连结BD交AC于G，连结FG，
∵正方形ABCD边长为2，
∴BG⊥AC，BG=，
平面ACE，
由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.
是二面角B—AC—E的平面角.
由（Ⅰ）AE⊥平面BCE，
∴AE⊥EB，
又，
∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.
又直角
，
∴二面角B—AC—E等于
（3）
方法一：
过点E作交AB于点O.，OE=1.
∵二面角D—AB—E为直二面角，
∴EO⊥平面ABCD
设D到平面ACE的距离为h，
平面BCE，
∴点D到平面ACE的距离为
方法二：
∵G为BD中点，
∴D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离. ∵BF⊥平面ACE
∴BF即为点B到平面ACE的距离.
又由（2）知，
∴所求点D到平面ACE的距离为.
解法二：
（1）同解法一.
（2）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过
O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE，
，
在的中点，
设平面AEC的一个法向量为，
则即
解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，
∴cos<,>=
∴二面角B—AC—E的大小为
（3）∵AD//z轴，AD=2，
∴，
∴点D到平面ACE的距离
点评：直面点到平面的距离，当垂线段难以作出或者难以求出时，要注意适时转化或变通。这里（3）的解法，便给出了变通与转化的范例.
4、（2005江西卷）如图，在长方体中，，
AB＝2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：；
（2）当E为AB中点时，求点E到平面的距离；
（3）AE等于何值时，二面角的大小为.
分析：
（1）注意到这里的不管在什么位置，它在侧面的射影总是，要证，只要证，问题易证.
（2）注意到面积易求，想到运用“体积法”.
（3）注意到，故考虑运用三垂线定理构造二面角的平面角.
解法一：
（1）证明：
∵在长方体中，，
∴四边形为正方形
∴
∵，
为在侧面上的射影.
∴（三垂线定理）
即.
（2）设点E到平面的距离为h
由题设知在中，
(完整版)高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解
高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解 一、选择题 1．已知a n ＝ 1 n ＋1＋n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，已计算得S 1＝2－1，S 2＝3－1， S 3＝1，由此可猜想S n ＝( ) A.n －1 B.n ＋1－1 C.n ＋1－2 D.n ＋2－2 [答案] B 2．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1 2k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1等于( ) A ．S k ＋1 2(k ＋1) B ．S k ＋12k ＋1－1 k ＋1 C ．S k ＋12k ＋1－1 2k ＋2 D ．S k ＋12k ＋1＋1 2k ＋2 [答案] C [解析] S k ＋1＝ 1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1 k ＋1 ＋ 1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－1 2k ＋2 . 3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立. 2°假设n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即k 2＋k [解析]没用归纳假设． 4．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …… 则在表中数字2010出现在() A．第44行第75列 B．第45行第75列 C．第44行第74列 D．第45行第74列 [答案] D [解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行． 又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D. 5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是() A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 [答案] D [解析]对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误． 对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误． 对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D. 6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形() 目录 一、集合与常用逻辑 二、函数概念与性质 三、基本初等函数 四、函数图像与方程 五、导数及其应用 六、三角函数 七、数 列 八、不等式 九、复数与推理证明 十、算法初步 十一、平面向量 十二、立体几何 十三、直线与圆 十四、圆锥曲线 十五、计数原理 十六、概率与统计 十七、随机变量的概率分布 一、集合与常用逻辑 1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集：}{A x U x x A C U ?∈=且 3．集合关系 空集A ?φ 子集B A ?:任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题 原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ?则q ? 逆否命题：若q ?则p ? 原命题?逆否命题 否命题?逆命题 5．充分必要条件 p 是q 的充分条件：q P ? p 是q 的必要条件：q P ? p 是q 的充要条件：p ?q 6．复合命题的真值 ①q 真（假）?“q ?”假（真） ②p 、q 同真?“p ∧q ”真 ③p 、q 都假?“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 M, p(x ）否定为: M, )(X p ? M, p(x ）否定为: M, )(X p ? 二、函数概念与性质 1．奇偶性 f(x)偶函数?()()f x f x -=?f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数?()()f x f x -=-?f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性?定义域关于原点对称 ②f(x)奇函数,在x=0有定义?f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性 f(x)增函数：x 1＜x 2?f(x 1)＜f(x 2) 或x 1＞x 2?f(x 1) ＞f(x 2) 或 0) ()(2 121>--x x x f x f f(x)减函数：？ 注：①判断单调性必须考虑定义域 ②f(x)单调性判断 定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性 T 是()f x 周期?()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T ） 4．二次函数 解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2 +k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2) 对称轴：a b x 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 1.如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是( ) A.4 B.4 C.9 D.18 2.数列{a n}的通项为a n=2n-1，n∈N*，其前n项和为S n，则使S n＞48成立的n的最小值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 3.若不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx-2＞0的解集相同，则a、b的值为( ) A.a=-8 b=-10 B.a=-4 b=-9 C.a=-1 b=9 D.a=-1 b=2 4.△ABC中，若c=2a cosB，则△ABC的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 5.在首项为21，公比为的等比数列中，最接近1的项是( ) A.第三项 B.第四项 C.第五项 D.第六项 6.在等比数列中，，则等于( ) A. B. C.或 D.-或- 7.△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=bx，则A的度数等于( ) A.120° B.60° C.150° D.30° 8.数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n-2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A.a21a22 B.a22a23 C.a23a24 D.a24a25 9.某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为( ) A.1.14 B.1.15 C.10×(1.16-1) D.11×(1.15-1) 10.已知钝角△ABC的最长边为2，其余两边的长为a、b，则集合P={(x,y)|x=a,y=b}所表示的平面图形面积等于( ) A.2 B.π-2 C.4 D.4π-2 11.在R上定义运算，若不等式对任意实数x成立，则( ) A.-1＜a＜1 B.0＜a＜2 C.-＜a＜ D.-＜a＜ 12.设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案写在横线上) 13.在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=____. 14.设变量x、y满足约束条件，则z=2x-3y的最大值为____. 15.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这 样的题目：把100个面包分给五人，使每人成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少1份的个数是____. 16.设，则数列{b n}的通项公式为____. 三、解答题(本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分)△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且 . (1)求∠B的大小； (2)若a=4，S=5，求b的值. 高中数学高考总复习充分必要条件习题及详解 一、选择题 1．(文)已知a、b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 [答案] D [解析]a2>b2不能推出a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b不能推出a2>b2，例：1>－2，但12<(－2)2，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件． (理)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析]由|x－1|<2得－2 高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 2001年某省普通高校对口升学 考试数学模拟试题（三） 一、选择题（本大题共15小题；每小题5分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U = ｛0，1，2，3｝，集合M =｛0，1，2｝N =｛0，2，3｝，则U M N U e（ ） A ．空集 B ．｛1｝ C ．｛0，1，2｝ D ．｛2，3｝ 2．设x ，y 为实数，则x 2 = y 2的充分必要条件是（ ） A ．x = y B ．x = –y C ．x 3 = y 3 D ．| x | = | y | 3．点P (0, 1)在函数y = x 2 + ax + a 的图像上，则该函数图像的对称轴方程为（ ） A ．x = 1 B ．12x = C ．x = –1 D ．12 x =- 4．不等式x 2 + 1>2x 的解集是（ ） A ．｛x |x 1，x ∈R ｝ B ．｛x |x >1，x ∈R ｝ C ．｛x |x –1，x ∈R ｝ D ．｛x |x 0，x ∈R ｝ 5．点(2, 1)关于直线y = x 的对称点的坐标为（ ） A ．(–1, 2) B ．(1, 2) C ．(–1, –2) D ．(1, –2) 6．在等比数列｛a n ｝中，a 3a 4 = 5，则a 1a 2a 5a 6 =（ ） A ．25 B ．10 C ．–25 D ．–10 7．8个学生分成两个人数相等的小组，不同分法的种数是（ ） A ．70 B ．35 C ．280 D ．140 8．1tan151tan15+?=-? （ ） A ．3- B 3 C 3 D ．3 9．函数31()31 x x f x -=+（ ） A ．是偶函数 B ．是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，也不是偶函数 10．掷三枚硬币，恰有一枚硬币国徽朝上的概率是（ ） A ．14 B ．13 C ．38 D ．34 11．通过点(–3, 1)且与直线3x – y – 3 = 0垂直的直线方程是（ ） A ．x + 3y = 0 B ．3x + y = 0 C ．x – 3y + 6 = 0 D ．3x – y – 6 = 0 12．已知抛物线方程为y 2 = 8x ，则它的焦点到准线的距离是（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．6 13．函数y = x 2 – x 和y = x – x 2的图像关于（ ） A ．坐标原点对称 B ．x 轴对称 [全国通用]高中数学高考知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-?????? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335305555015392522∈-- 数学试卷 一、选择题 （1）设集合{}A=246，，，{}B=123，，，则A B= ……………………………………（ ） （A ）{}4 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,4,6 （D ）{}1,2,3 （2）函数y cos 3 x =的最小正周期是 ……………………………………（ ） （A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）3 π （3）021log 4()=3 - ……………………………………（ ） （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）1 ） （4）设甲：1, :sin 62 x x π==乙，则 ……………………………………（ ） （A ）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B ）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D ）甲是乙的充分必要条件。 （5）二次函数222y x x =++图像的对称轴方程为 ……………………………………（ ） （A ）1x =- （B ）0x = （C ）1x = （D ）2x = （6）设1sin =2 α，α为第二象限角，则cos =α ……………………………………（ ） . （A ）32- （B ）22- （C ）12 （D ）32 （7）下列函数中，函数值恒大于零的是 ……………………………………（ ） （A ）2y x = （B ）2x y = （C ）2log y x = （D ）cos y x = （8）曲线21y x =+与直线y kx =只有一个公共点，则k= ………………………（ ） （A ）2或2 （B ）0或4 （C ）1或1 （D ）3或7 （9）函数lg 3-y x x =+的定义域是 ……………………………………（ ） （A ）（0，∞） （B ）（3，∞） （C ）(0，3] （D ）（∞，3] （10）不等式23x -≤的解集是 ……………………………………（ ） 【 （A ）{}51x x x ≤-≥或 （B ）{}51x x -≤≤ （C ）{}15x x x ≤-≥或 （D ）{}15x x -≤≤ （11）若1a >，则 ……………………………………（ ） （A ）12 log 0a < （B ）2log 0a < （C ）10a -< （D ）210a -< （12）某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有…（ ） ——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学高考总复习充分必要条件习题及详解及 参考答案 ______年______月______日 ____________________部门 (附参考答案) 一、选择题 1．(文)已知a、b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 [答案] D [解析] a2>b2不能推出a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b不能推出a2>b2，例：1>－2，但12<(－2)2，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件． (理)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 由|x－1|<2得－2 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 [答案] A [解析] 当x＝4时，|a|＝＝5 当|a|＝＝5时，解得x＝±4. 所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件． 3．(文)已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝3x＋2上”是“{an}为等差数列”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 点Pn(n，an)在直线y＝3x＋2上，即有an＝3n＋2，则能推出{an}是等差数列；但反过来，{an}是等差数列，an＝3n＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A. (理)(20xx·××市)等比数列{an}中，“a1 高中数学高考总复习复 数习题及详解 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题 1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i 2－3i ＝( ) A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A [解析] 3＋2i 2－3i ＝ (3＋2i)(2＋3i) (2－3i)(2＋3i) ＝ 6＋9i＋4i－6 13 ＝i. 2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案] C [解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－2 2 ＝2，y＝ 5＋3 2 ＝ 4， ∴点C对应的复数为2＋4i，故选C. 3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是( ) A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 [答案] C [解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C. [点评] 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点． 4．(文)已知复数z＝ 1 1＋i ，则z－·i在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B [解析] z＝1－i 2 ，z－＝ 1 2 ＋ i 2 ，z－·i＝－ 1 2 ＋ 1 2 i.实数－ 1 2 ，虚部 1 2 ，对应点 ? ? ? ? ? － 1 2 ， 1 2 在 第二象限，故选B. (理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1 z ( ) A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数 C．是实数 D．只能是零 [答案] C [解析] 解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋i sinθ. 则z2＋1 z ＝ cos2θ＋i sin2θ＋1 cosθ＋i sinθ ＝ 2cos2θ＋2i sinθcosθ cosθ＋i sinθ ＝2cosθ为实数． 解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)， ∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1， ∴z2＋1 z ＝z＋ 1 z ＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R. 5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数 ．．．．是( ) 高中数学高考知识点总结 一．集合与函数 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； ③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1 =∈∈?=-()b a [][] ∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()，) 3. 如何用定义证明函数的单调性？ () 如：求的单调区间y x x =-+log 12 22 （设，由则u x x u x =-+><<2 2002 ()且，，如图：log 12 2 11u u x ↓=--+ 当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]log 0112 当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)log 1212 ∴……） [)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x ax a >=-+∞013() 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令f x x a x a x a '()=-=+?? ???-?? ? ? ?≥333302 则或x a x a ≤- ≥33 由已知在，上为增函数，则，即f x a a ()[)13 13+∞≤≤ ∴a 的最大值为3） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-?? 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=?? 4. 函数f (x )具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ 如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=+-+= 22 21 （∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000 即·，∴）a a a 22 21 0100 +-+== 高三(职高)数学试题（三） （时间：120分钟 总分：150分） 一、 单项选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共45分。） 1. 设全集U ={x │4≤x ≤10,x ∈N}，A={4,6,8,10}，则C u A =（ ）。 A {5} B {5,7} C {5,7,9} D {7,9} 2. “a>0且b>0”是“a 2b>0”的（ ）条件。 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充分且必要 D 以上答案都不对 3. 如果f (x)=ax 2+bx+c （a ≠0）是偶函数，那么g (x)=ax 3+bx 2－cx 是（ ）。 A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既是奇函数又是偶函数 4. 设函数f (x)=lo g a x(a>0且a ≠1)，f (4)=2，则f (8)等于（ ）。 A 2 B 12 C 3 D 13 5. sin80°－ 3 cos80°－2sin20°的值为（ ）。 A 0 B 1 C －sin20° D 4sin20° 6. 已知向量a 的坐标为（1,x ），向量b 的坐标为（－8,－1），且a b + 与a b - 互相垂直，则（ ）。 A x=－8 B x=8 C x=±8 D x 不存在 7. 等比数列的前4项和是 203 ，公比q=1 3-，则a 1等于（ ）。 A －9 B 3 C 13 D 9 8. 已知2 1 2 3 ()() 3 2 y x -=，则y 的最大值是（ ）。 A －2 B －1 C 0 D 1 9. 直线l 1：x+ay+6=0与l 2：(a －2)x+3y+a=0平行，则a 的值为（ ）。 A －1或3 B 1或3 C －3 D －1 10. 抛物线y 2=－4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标为（ ）。 A 2 B 4 C 3 D －2 11. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，则A 1C 1与B 1C 所成的角为（ ）。 A 45° B 60° C 30° D 90° 12. 现有5套经济适用房分配给4户居民(一户居民只能拥有一套经济适用房)，则所有的分法种数为（ ）。 A 5！ B 20 C 45 D 54 13. 在△ABC 中，若a=2,b= 2 ,c= 3 +1,则△ABC 是（ ）。 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 无法确定 14. 如图是函数y=2sin(x ω?+)在一个周期内的图像 (其中ω>0,?<2 π )，则ω、?正确的是（ ）。 A ω=2，?=6 π B ω=2，?=3 π C ω =1，?=6 π D ω =1，?=3 π 15. 某乐队有11名乐师，其中男乐师7人，现该乐队要选出一名指挥，则选出的指挥为女乐师的概率为（ ）。 A 711 B 14 C 47 D 411 6 π - 5 6 π o 2 －2 x y 高中文科数学高考复习辅导3 一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内． 1.幂函数)(x f y =的图像经过点1(,4)2，则1()3 f 的值为 （ ） A.1 B.4 C.9 D.16 2．若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“{0,1,2}A B = ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 3．在ABC ?中，若20AB BC AB ?+= ，则ABC ?是（ ） .A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 无法确定 4．下列四个函数中，既是(0,)2 π上的增函数，又是以π为周期的偶函数是（ ） A 、y =c os2x B 、y =|sin2x | C 、y =|c os x | D 、y =|sin x | 5．函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间为（ ） .(0,1).(1,0).(2,1).(1,2)A B C D --- 6. 函数y =x +cos x 的大致图象是 （ ） 7．定义在[2,2]-的函数满足()()f x f x -=-，且在[0,2]上是增函数，若 (1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．122m <≤ B ．13m -≤≤ C ．112m -≤< D ．12 m > 8．=)(x f ???>≤≤)1(log )10sin 2010 x x x x （π若a ,b,c 互不相等，且f(a)=f(b )=f(c),则a +b+c 的取值范围是（ ） A (1,2010) B (1,2011) C (2,2011) D [2,2011] 9. 在Rt ABC ?中，090,C ∠=且A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、，若 a b cx =+，则实数x 的取值范围是（ ） A ．?? B ． C ． D ． 二、填空题：将正确答案填在题后横线上． 10．已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ，(,7)c k = ，若()a c - ∥b ，则k = 。 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈-- 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334Y Y 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--21 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥--- 2013-2014年度第二学期高三第一次模拟 数学试卷 总分：100分 考试时间：90分钟 命题人：XXX 一、单项选择题。（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1.设集合{|03,},M x x x N =≤<∈则M 的真子集个数为 （ ） A.3 B.6 C.7 D.8 2. 448log 3log 12log 4-+等于 （ ） A.1 3 - B.1 C. 1 2 D.5 3 - 3.若f (x )是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数,且f （lg x ）>f (1),则x 的取值范围是（ ） A. ( 110，1) B. (0，1 10) (1，+∞) C. (1 10 ，10) D. (0，1) (10，+∞) 4.已知5343sin ,(,),cos ,(,2),13252 ππ ααπββπ=-∈=∈则αβ+是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 5.已知过点A （1，a ），和B （2，4）的直线与直线x-y+1=0垂直，则a 的值为（ ） A.1 5 B.1 3 C.3 D.5 6.对于直线m 和平面α、β，其中m 在α内，“//αβ”是“//m β”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若椭圆2221(1)x y a a +=>的离心率2 2e =，则该椭圆的方程为 （ ） A.2 2 21x y += B.2 2 21x y += C.22 12x y += D.2214 x y += 8.设f （x ）是定义在(,)-∞+∞内的奇函数，且是减函数。若0a b +>，则（ ） 班级 考号 姓名 …………………………………….装…………订…………线………………………………………………………. 高中数学高考总复习命题量词逻辑连接词习题及详解 一、选择题 1．(2010·广东惠州一中)如果命题“綈(p ∨q )”是真命题，则正确的是( ) A ．p 、q 均为真命题 B ．p 、q 中至少有一个为真命题 C ．p 、q 均为假命题 D ．p 、q 中至多有一个为真命题 [答案] C [解析] ∵命题“綈(p ∨q )”为真命题， ∴命题“p ∨q ”为假命题， ∴命题p 和命题q 都为假命题． 2．(2010·胶州三中)命题：“若x 2<1，则－1 高中数学总复习题总结 第一章 集合与函数概念 一、选择题 1．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝? ?? ???1＝2－3－| ),(x y y x ， P ＝{(x ，y )| y ≠x ＋1}，那么C U (M ∪P )等于( )． A ．? B ．{(2，3)} C ．(2，3) D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1} 2．若A ＝{a ，b }，B ?A ，则集合B 中元素的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或1或2 3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 4．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )． A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5. 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )． A ．b ∈(－∞，0) B ．b ∈(0，1) C ．b ∈(1，2) D ．b ∈(2，＋∞) 6．设函数f (x )＝? ??00 ＋＋2 x c x c bx x ，，≤， 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的 方程f (x )＝x 的解的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设集合A ＝{x | 0≤x ≤6}，B ＝{y | 0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应法则f 不是映 (第5题) ＞ 射的是( )． A ．f :x →y ＝ 21x B ．f :x →y ＝3 1 x C ．f :x →y ＝ 4 1x D ．f :x →y ＝ 6 1x 8．有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( )． A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减 10．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 二、填空题 11．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是． 12．若集合A ＝{x | x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝___，b ＝___． 13．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元． 14．已知f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝；f (x －2)＝． 15．y ＝(2a －1)x ＋5是减函数，求a 的取值范围．高考数学知识点集锦高中数学
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