数理统计作业和答案
数理统计学考试题及答案
数理统计学考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是描述数据集中趋势的统计量？A. 方差B. 标准差C. 平均数D. 极差答案：C2. 假设检验中，若原假设为H0：μ=μ0，备择假设为H1：μ≠μ0，则该检验属于：A. 单尾检验B. 双尾检验C. 左尾检验D. 右尾检验答案：B3. 以下哪个分布是描述二项分布的？A. 正态分布B. t分布C. F分布D. 泊松分布答案：A4. 以下哪个选项是描述数据离散程度的统计量？A. 众数B. 中位数C. 极差D. 均值答案：C5. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 偏度B. 方差C. 标准差D. 均值答案：A6. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 众数D. 标准差答案：C7. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 偏度B. 峰度C. 标准差D. 均值答案：C8. 以下哪个选项是描述数据分布形态的统计量？A. 均值B. 方差C. 偏度D. 众数答案：C9. 以下哪个选项是描述数据分布集中趋势的统计量？A. 极差B. 标准差C. 均值D. 偏度答案：C10. 以下哪个选项是描述数据分布离散程度的统计量？A. 均值B. 众数C. 方差D. 偏度答案：C二、多项选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪些统计量可以用来描述数据的集中趋势？A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：ABC2. 以下哪些统计量可以用来描述数据的离散程度？A. 极差B. 方差C. 标准差D. 均值答案：ABC3. 以下哪些统计量可以用来描述数据的分布形态？A. 偏度B. 峰度C. 均值D. 方差答案：AB4. 以下哪些分布是描述连续型随机变量的？A. 正态分布B. 泊松分布C. 二项分布D. t分布答案：AD5. 以下哪些检验是用于检验总体均值的？A. t检验B. 方差分析C. 卡方检验D. F检验答案：A三、计算题（每题10分，共50分）1. 给定一组数据：2, 4, 6, 8, 10，求其平均数和标准差。
应用数理统计作业题及参考答案（第一章）
应⽤数理统计作业题及参考答案（第⼀章）第⼀章数理统计的基本概念P261.2 设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，1X ，2X ，…，n X 为X 的⼦样，求最⼤顺序统计量()n X 与最⼩顺序统计量()1X 的分布函数与密度函数。
解：(){}{}()12nn i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤= ，，，.()()()()1n n n f x F x n F x f x -'=??=.(){}{}1121i n F x P X x P X x X x X x =≤=->>> ，，，. {}{}{}121n P X x P X x P X x =->>>{}{}{}121111n P X x P X x P X x =-?-≤??-≤??-≤()11nF x =-?-()()()()1111n f x F x n F x f x -'=??=?-.1.3 设总体X 服从正态分布()124N ，，今抽取容量为5的⼦样1X ，2X ，…，5X ，试问：（i ）⼦样的平均值X ⼤于13的概率为多少？（ii ）⼦样的极⼩值（最⼩顺序统计量）⼩于10的概率为多少？（iii ）⼦样的极⼤值（最⼤顺序统计量）⼤于15的概率为多少？解：()~124X N ，，5n =，4~125X N ??∴ ??，. （i ）{}{}()13113111 1.1210.86860.1314P X P X P φφ>=-≤=-=-=-=-=. （ii ）令{}min 12345min X X X X X X =，，，，，{}max 12345max X X X X X X =，，，，.{}{}{}min min 125101*********P X P X P X X X <=->=->>> ，，，{}{}{}5551111011101110i i i i P X P X P X ===->=-?-()12~012X Y N -=，， {}{}121012*********X X P X P P P Y ---∴<=<=<-=<-{}()111110.84130.1587P Y φ=-<=-=-=.{}[]5min 10110.158710.42150.5785P X ∴<=--≈-=.（iii ）{}{}{}{}{}55max max 1251151151151515115115i i P X P X P X X X P X P X =>=-<=-<<<=-<=-? {}5max 1510.9331910.70770.2923P X ∴>=-≈-=.1.4 试证：（i ）()()()22211nni i i i x a x x n x a ==-=-+-∑∑对任意实数a 成⽴。
数理统计习题及答案
数理统计习题及答案数理统计习题及答案数理统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科，是现代社会中不可或缺的一部分。
在学习数理统计的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以更好地理解和掌握数理统计的概念和方法。
本文将介绍一些常见的数理统计习题，并给出详细的解答。
1. 某班级有40名学生，他们的身高数据如下：160、165、170、165、168、172、178、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168、172、175、170、165、160、163、168。
请计算这组数据的平均身高、中位数和众数。
解答：首先，将这组数据按照从小到大的顺序排列：160、160、160、160、160、160、160、160、163、163、163、163、165、165、165、165、165、165、165、165、168、168、168、168、168、168、170、170、170、170、170、170、172、172、172、172、172、175、175、175、175、175、178。
平均身高 =(160+160+160+160+160+160+160+160+163+163+163+163+165+165+165+1 65+165+165+165+168+168+168+168+168+168+170+170+170+170+170+170+172+172+172+172+172+175+175+175+175+175+178)/40 = 166.7中位数 = 排列后的第20个数据 = 165众数 = 出现次数最多的数据 = 1602. 某汽车厂家生产了1000辆汽车，其中200辆为红色，300辆为蓝色，400辆为黑色。
数理统计全套标准答案
习题一、基本概念1．解：设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏ 555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ2.解：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x nx x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293 =--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯=7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.248．解：由已知条件得：(1,),1()i X Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().ni X i Y B n p p F μ==-∑9.解:1) )1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2) λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3) ()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4) 1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ 10.解：1) ()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)ni i n S n S D X X D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)ni i D X X n σ=∴-=-∑11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1) ()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)222211,2u u X u E u e du u du +∞+∞---∞-===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,162u n n⎛⎫⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解：设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-()()12()2()12P T P T p P T p pP T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF ==17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X XX N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=- 又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E X X D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N n nσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x af x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P X P X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mi i X N m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，21~(0,)m nii m XN n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故 222221111~(2)m m n i i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解：由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解：1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a X P 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P cT P cS X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,)1()()1cov(,)()1(,)1i j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=--=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1． 解： 矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= ()()11111ln ln(1)ln nnni ii i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln ni i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X X X x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln nii X n X X αα=⎛⎫ ⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解：1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤=2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3．1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑ 2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x x λλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+== 3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+== 联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni naX b X ≤≤≤≤== 4) 解：矩估计：ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解：矩法：()/0()(1)(2)x txEX e dx t edt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰X αβ=+=22220()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ==-==极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx n i n L e nx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n n L L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解： 矩法：22223222(2)x x t x EX dx dte dt X θθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆMθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏∏222ln ln43ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；1,ln ln i nx n nx i L e e L n nx λλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。
数理统计参考答案
习题一1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，其中：5115i i x x ==∑2）对总体~()X P λ其中：5115i i x x ==∑3）对总体~(,)X U a b 4）对总体~(,1) X N μ2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表：()()()(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x kF x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩L ，据此得出样本分布函数：图经验分布函数3解图 数据直方图它近似服从均值为172，方差为的正态分布，即(172,5.64)N .4 设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.解()- 5P X k P k μ⎫⎪<=<⎪⎭因k 较大，由中心极限定理(0,1)X N ： 所以：()50.95k Φ=查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=.5 从总体2~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在到之间的概率.解 ()50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于的概率.解 设两个独立的样本分别为：110,,X X K 与115,,Y Y K ，其对应的样本均值为：X 和Y . 由题意知：X 和Y 相互独立，且：3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N7 设110,,X X K 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ，使得1021()0.05i i P X C =>=∑.解 因~(0,4)i X N ，则~(0,1)2iX N ，且各样本相互独立，则有： 所以：10102211()()144iii i CP X C P X ==>=>∑∑查卡方分位数表：c/4=，则c=.8 设总体X 具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X K 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量：试确定统计量∑=ni i Y 1的分布.解 由已知条件得：~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-.因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有1~(,)nii YB n p =∑，1()X p F μ=-.9 设1,,n X X K 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES 。
数理统计习题带答案
数理统计习题带答案数理统计习题带答案数理统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、医学、社会科学等等。
通过数理统计，我们可以对数据进行整理和总结，从而得出一些有关数据的结论和推断。
下面是一些数理统计的习题及其答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 某班级有60名学生，他们的数学成绩如下：70，75，80，85，90，95，100。
请计算这些学生的平均数、中位数和众数。
答案：平均数 = (70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 95 + 100) / 7 = 85中位数 = 85众数 = 无2. 某公司的员工年龄如下：25，30，35，25，35，40，45。
请计算这些员工的平均数、中位数和众数。
答案：平均数 = (25 + 30 + 35 + 25 + 35 + 40 + 45) / 7 = 33.57中位数 = 35众数 = 25和353. 某学校的学生身高如下：160cm，165cm，170cm，175cm，180cm，185cm，190cm。
请计算这些学生的平均数、中位数和众数。
答案：平均数 = (160 + 165 + 170 + 175 + 180 + 185 + 190) / 7 = 175中位数 = 175众数 = 无4. 某地区的气温如下：10℃，15℃，20℃，25℃，30℃，35℃，40℃。
请计算这些气温的平均数、中位数和众数。
答案：平均数 = (10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40) / 7 = 25中位数 = 25众数 = 无5. 某班级的学生考试成绩如下：60，70，80，90，100。
请计算这些学生的平均数、中位数和众数。
答案：平均数 = (60 + 70 + 80 + 90 + 100) / 5 = 80中位数 = 80众数 = 无通过以上习题，我们可以看到不同数据集的平均数、中位数和众数可能会有不同的结果。
数理统计习题及答案
1一批出厂半年的人参营养丸的潮解率为8%，从中抽取20丸，求恰有一丸潮解的概率。
32816.0)1()1(,20,08.0=-====-k n kk n p p C k P n p2．设X ～N （μ，σ2），试求P{ |X-μ| ≤1.96σ}=?95.0025.0975.0)96.1()96.1()96.1()96.1()96.1()96.1()96.196.1(}96.1{=-=-Φ-Φ=--Φ--+Φ=--+=+≤≤-=≤-σμσμσμσμσμσμσμσμσμF F X P X P3．已知某药品中某成份的含量在正常情况下服从正态分布，标准差σ=0.108，现测定9个样本，其含量的均数X=4.484，试估计药品中某种成份含量的总体均数μ的置信区间（α=0.05）。
3、解：置信区间为)55456.4,41344.4(9108.096.1484.42_=⨯±=±nu x σα4．某合成车间的产品在正常情况下其收率X ～N （μ，σ2），通常收率的标准差σ=5%以内就可以认为生产是稳定的，现生产9批，得收率（%）为：73.2，78.6，75.4，75.7，74.1，76.3，72.8，74.5，76.6。
问此药的生产是否稳定？(α=0.01) 4、解：H 0：σ≤5 H 1：σ>5n=9，s=1.81873，选择统计量058489.125484.26)1(222==-=σχs n令α=0.01，查临界值表得6465.1)8(201.0=χ，0902.20)8(299.0=χ比较统计量的数值和临界值，1.<1.6465，从而不能否定原假设H 0，即总体的标准差在5%以内，生产是稳定的。
5 中药研究所，用中药青兰试验其在改变兔脑血流图所起的作用，测得数据如下： 用药前 2.0 5.0 4.0 5.0 6.0 用药后3.06.04.55.58.0试用配对比较的t 检验说明青兰对兔脑血流图的作用(α=0.05)。
（完整版）数理统计考试题及答案
（完整版）数理统计考试题及答案1、离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则11=∑=ni ip2、设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y 相互独⽴的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ?=3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2102221X X X +++=ξ,则ξ的上侧分位数025.0ξ=解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +++=ξ~)10(2χ，查表得025.0ξ=20.54、设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.4245、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=ni iXY 122)(1µσ，则EY=n解：∑=-=ni iXY 122)(1µσ~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n⼆、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2σµN X 的样本，∑=-=612)(51i i X X s ，试求)5665.2(22σ≤s P 。
解：因为),(~2σµN X ，所以有)5(~)(126122χσ∑=-i i X X ，则≤-= ≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(261226122222σσσσi ii i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P≤-∑=8325.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01) 0a x x α?+<，其他，其中α>0，求参数α的矩估计和极⼤似然估计量。
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1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ ）。
（A ）∑=-ni iXn122)(μσ是统计量 （B ）∑=ni iXn122σ是统计量（C ）∑=--ni i X n 122)(1μσ是统计量 （D ）∑=ni i X n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从（ ）。
)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ）。
)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）.)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ ）.（A ）3/X σ； （B ）414ii X=∑； （C ）σ-1X ； （D ）4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ ）.2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)B nX N μσ22211()()~()ni i C X n μχσ=-∑(~()D t n7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ ）( A ) . 12X X +( B ){}max ,15i X i ≤≤( C ) 52X p +( D )()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。
则2σ的最大似然估计量为（ ）。
（A ）∑=-n i i X n 12)(1μ （B ）()211∑=-n i i X X n （C ）∑=--n i i X n 12)(11μ（D ）()∑=--n i iX X n 1211 9、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X ⋅⋅⋅为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则服从（ ）分布.2() (,)A N μσ 2() (,)B N nσμ () ()C t n () (1)D t n -10、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。
则2σ的置信度为1α-的区间估计的枢轴量为（ ）。
(A)()212ni i X μσ=-∑ (B)()212ni i X μσ=-∑ (C)()∑=-ni iX X1221σ(D)()2120ni i X X σ=-∑11、在假设检验中，下列说法正确的是（ ）。
(A) 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误； (B) 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误； (C) 第一类错误和第二类错误同时都要犯；(D) 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。
12、对总体2~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区 间，意义是指这个区间（ ）。
(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 13、设ˆθ是未知参数θ的一个估计量，若ˆE θθ≠，则ˆθ是θ的（ ）。
(A)极大似然估计 (B) 有偏估计 (C)相合估计 (D) 矩法估计 14、设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是( ).（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 15、设总体2~(,)X N μσ，2σ未知，12,,,n X X X 为样本，2S 为修正样本方差，则检验问题：00:H μμ=，10:H μμ≠（0μ已知）的检验统计量为（ ）. （A）)0X Sμ-（B）)0X μσ- （C）)0X μσ-（D）)0X Sμ-.16、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()P λ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则=X D ．17、设321,,X X X 为来自正态总体),(~2σμN X 的样本，若321cX bX aX ++为μ的一个无偏估计，则=++c b a _____。
18、设),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 。
19、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，μ未知。
n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则对假设2020σσ=：H ；2021σσ≠：H 进行假设检验时，通常采用的统计量是____________，它服从____________分布，自由度为____________。
20、设总体)4,1(~N X ,1210, ,, X X X 为来自该总体的样本，101110i i X X ==∑,则()D X =______.21、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是 ． 22、已知0.9(8,20)2F =，则0.1(20,8)F = ．23、设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 ． 24、检验问题：()()00:H F x F x =，()()00:H F x F x ≠（()0F x 含有l 个未知参数）的皮尔逊2χ检验拒绝域为 ．25、设621,,,X X X 为来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，设26542321)()(X X X X X X Y +++++=若使随机变量CY 服从2χ分布，则常数=C ．26、设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是 （0.975 1.96μ=）.27、若线性模型为()20,,n Y X E Cov I βεεεεσ=+⎧⎨==⎩，则最小二乘估计量为 ． 28、若样本观察值1,,m x x 的频数分别为1,,m n n ，则样本平均值为 ．29、若样本观察值1,,m x x 的频数分别为1,,m n n ，则样本方差为 ．30、设f （t ）为总体X 的特征函数，()1,,n X X 为总体X 的样本，则样本均值X 的特征函数为 ．31、设X 服从自由度为n 的2χ-分布，则其数学期望和方差分别是 ． 32、设()2ii X n χ，i=1，…，k ，且相互独立。
则1ki i X =∑服从分布 ．33、设总体X 服从均匀分布[0,]U θ，从中获得容量为n 的样本1,,n X X ，其观测值为1,,n x x ，则θ的最大似然估计量为 ．34、根据样本量的大小可把假设检验分为 ． 35、设样本1,,n X X 来自正态总体()2,N μσ，μ未知，样本的无偏方差为2S ，则检验问题22220010:,:H H σσσσ≤>的检验统计量为 ．36、对试验（或观察）结果的数据作分析的一种常用的统计方法称为 ． 37、设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（20.99(16)32.0χ=）38、设总体X 的密度函数为 ()36(),0;0,.xx x p x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本，则θ的矩估计量为___________.39、设总体X 的概率密度为(),01,1,12,0,.x p x x θθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，则θ的矩估计量为___________. 40、设总体X 的分布函数为F （x ,β）=11,1,0,1.x xx β⎧->⎪⎨⎪≤⎩ 其中未知参数β>1，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本，则β的最大似然估计量___________. 41、设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得1618ii X==∑，162134i i X ==∑. 在置信度0.95下，μ的置信区间为___________.0.950.975((15) 1.7531,(15) 2.1315)t t ==42、设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是 （0.975 1.96μ=）. 43、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X 是来自总体的简单随机样本。
指出{}()212551,max ,15,2,i X X X i X p X X +≤≤+-之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？44、设总体X 服从参数为（N ，p ）的二项分布，其中（N ，p ）为未知参数，12,,,nX X X 为来自总体X 的一个样本，求（N ，p ）的矩法估计。
45、设12,,,n X X X 是取自正态总体()2,N μσ的一个样本，试问()22111nii S X X n ==--∑是2σ的相合估计吗？46、设连续型总体X 的概率密度为()()22,0,00, 0xx e x p x x θθθθ-⎧⎪>=>⎨⎪≤⎩, 12,,,n X X X 来自总体X 的一个样本，求未知参数θ的极大似然估计量ˆθ，并讨论ˆθ的无偏性。
47、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.132.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布。
若已知σ=0.01（厘米），试求总体均值μ的0.9的置信区间。
（0.95 1.65u =） 48、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布()211,Nμσ与()222,N μσ，为比较两台机床的加工精度有无显著差异。