八年级数学下册易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题(附答案)
易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题
◆类型一求长度时忽略三边关系【易错1】
1．一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为( )
A．12 B．16
C．20 D．16或20
2．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________，理由是________________________．
3．(·薛城区期末)若等腰三角形的三边长分别为x＋1，2x＋3，9，则x＝________．4．已知等腰三角形ABC中，腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边长．
◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论
5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．100° B．40°
C．40°或100° D．60°
6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．
7．(·普陀区模拟)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角度数为________．
8．有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是____________________．9．★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的度数．
◆类型三三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论
10．(·绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交BC于点D.若AD＝1
2
BC，则△ABC的顶
角度数为______________．
11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．【易错3】
◆类型四一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错4】
12．如图，点A的坐标为(2，2)，若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P有( )
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
第12题图第13题图
13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有________个．
14．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在正方形格点上，在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，简要写出步骤并标出点C的位置．
参考答案与解析
1．C 2.不正确没考虑三角形的三边关系 3.3
4．解：设腰长为xcm，分两种情况考虑：①腰长与腰长的一半是9cm时，即x＋1 2 x
＝9，解得x＝6，∴底边长为15－1
2
×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm不能
组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm时，即x＋1
2
x＝15，解得x＝10，∴底边长为9
－1
2
×10＝4(cm)，∴三角形的三边长为10cm，10cm，4cm，能组成三角形．综上所述，三
角形的腰长为10cm，底边长为4cm.
5．C 6.120°或20°
7．30°或90°解析：设最小角的度数为x，则最大角的度数为x＋45°.当最小角是顶角时，则x＋x＋45°＋x＋45°＝180°，解得x＝30°，此时三角形顶角的度数为30°.当最大角为顶角时，则x＋x＋45°＋x＝180°，解得x＝45°，此时三角形顶角的度数为90°.综上所述，等腰三角形的顶角为30°或90°.
8．40°或25°或10°解析：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD 有三种情况：①AB＝BD，则∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝100°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝40°；②AB＝AD，则∠ADB＝(180°－∠A)÷2＝50°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝130°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝25°；③AD＝BD，则∠ABD＝∠A＝80°，∴∠BDC＝∠ABD＋∠A＝160°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝10°.综上所述，∠C 的度数可以是40°或25°或10°.
9．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，则∠B ＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∴∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝∠CAD＋∠BAD ＝∠CDA＋∠BAD＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°；
(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，则∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC ＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°；
(3)如图③，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，则∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC ＝∠C，∴∠BDC＝∠A＋∠DBA＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A.∵∠A＋∠ABC＋∠C ＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°.
(4)如图④，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.设∠A＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝
∠A＝x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝180°－x
2
，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝
180°－x
2
－x.∵CD＝
BC，∴∠BDC＝∠A＋∠A BD＝2x＝∠DBC＝180°－x
2
－x，∴x＝
180°
7
，即∠A＝
180°
7
.综
上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°
7
.
10．30°或150°或90°解析：(1)当BC为腰时，∵AD⊥BC，AD＝1
2
BC，∴∠ACD
＝30°.如图①，当AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°.如图②，当AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°－30°＝150°；
(2)当BC为底时，如图③.∵AD⊥BC，AD＝1
2
BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C
＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝1
2
×180°＝90°，即顶角∠BAC＝90°.综上所述，等腰三角
形ABC的顶角度数为30°或150°或90°.
11．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图①所示，腰上的高在三角形外部．由题意得顶角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.
12．D 解析：∵点A的坐标为(2，2)，∴△OAP的边OA＝22，这条边可能是底边也可能是腰．①当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标
是(2，0)和(0，2)；②当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(22，0)，(－22，0)，(0，22)，(0，－22)；③当A 是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．综上可知满足条件的点P共有8个，故选D.
13．5 解析：如图，分别以AB为腰、底找等腰三角形，故符合条件的C点有5个．第13题图第14题图
14．解：如图，(1)当BA＝BC时，符合条件的有C
1，C
2
；
(2)当AB＝AC时，符合条件的有C
3，C
4
；
(3)当CA＝CB时，符合条件的有C
5，C
6
，C
7
，C
8
，C
9
，C
10
.综上所述，符合条件的C点
有10个．。
部编数学八年级上册专题10易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题(解析版)含答案
专题10易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题易错点一求长度时忽略三边关系易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论易错点一求长度时忽略三边关系例题：（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于____________．【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况．【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和8，当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8，4+4=8不满足三角形的三边关系；当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，三角形的周长是20．故答案为∶20．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【变式训练】1．（2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末）等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是多少（）A．13B．17C．13或17D．13或10【答案】B【分析】分①腰长为3和②腰长为7两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①当腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为3,3,7，此时337+<，不满足三角形的三边关系，舍去；②当腰长为7时，则这个等腰三角形的三边长分别为3,7,7，此时377+>，满足三角形的三边关系，所以它的周长为37717++=；综上，这个等腰三角形的周长为17，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．2．（2022·山东菏泽·八年级期末）已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义可知三边长为6，5，5，即可．【详解】根据题意可知等腰三角形的三边长为6，5，5，所以这个三角形的周长为6+5+5=16．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．3．已知实数x ，y 满足2|5|(10)0-+-=x y ，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20B ．25C ．20或25D ．以上答案均不对【答案】B【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可．【详解】解：2|5|(10)0x y -+-=Q ，|5|0x -³，2(100)y -³\x −5=0，y −10=0，解得x =5，y =10，当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10，∵5+5=10，∴不能组成三角形；当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10，能组成三角形，周长=5+10+10=25，所以，三角形的周长为25，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0，求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．当腰长是5cm 时，则三角形的三边是5cm ，5cm ，2cm ，5cm +2cm ＞5cm ，满足三角形的三边关系，三角形的周长是5+5+2=12(cm )；当腰长是2cm 时，三角形的三边是2cm ，2cm ，5cm ，2cm +2cm ＜5cm ，不满足三角形的三边关系．故答案为：12cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为21,1,32x x x -+-，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）8,8,11或者10,10,7；（2）周长为7或者10【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论．（2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案．【详解】()1设腰长为2x ,底为y ，根据题意得：①21512x x x y +=ìí+=î解得：5,7x y ==\ 三边为10,10,7②21215x x x y +=ìí+=î解得：4,11x y ==\ 三边为8,8,11故本题答案为：8,8,11或者10,10,7()2①当211x x -=+时，解2x =，此时3,3,4，能构成三角形．此时周长为10②当2132x x -=-时，解1x =，此时1,2,1不能构成三角形．③当132x x +=-，解得32x =，此时552,,22，能构成三角形，周长为＝7综上，三角形的周长为7或者10．【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题．易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论例题：（2022·山东烟台·七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于35°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________．【答案】35°或110°【分析】根据等腰三角形两底角相等，分别讨论当35°为顶角，和当35°为底角两种情况即可得出答案．【详解】解：当35°为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为35°；当35°为底角时，顶角度数为：180352110°-°´=°；故答案为：35°或110°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键．【变式训练】1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．【答案】72或36【解析】【分析】本题应分底角为72°、顶角为72°这两种情况，分别计算每种情况下等腰三角形是否存在．【详解】解∶①当72°角是顶角时，顶角为72°，②当72°角是底角时，顶角＝180°－72°×2＝36°，综上顶角为72°或36°．故答案为：72或36．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养，在计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关键．2．（2022·山东烟台·七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于35°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________．【答案】35°或110°【分析】根据等腰三角形两底角相等，分别讨论当35°为顶角，和当35°为底角两种情况即可得出答案．【详解】解：当35°为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为35°；当35°为底角时，顶角度数为：180352110°-°´=°；故答案为：35°或110°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键．3．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．【答案】25°或40°或10°【解析】【详解】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∠C=12（180°-100°）=40°，②AB=AD，此时∠ADB=12（180°-∠A）=12（180°-80°）=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∠C=12（180°-130°）=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，∠C=12（180°-160°）=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°故答案为25°或40°或10°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性质，三角形的三个角都有可能是顶角，分类讨论．易错点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）A ．20°B ．50°或70°C ．70°D ．20°或70°【答案】D【解析】【分析】首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【详解】（1）当这个三角形是锐角三角形时，如图所示：∵高与另一腰的夹角为50°，即50ABD Ð=°，∴顶角905040A Ð=°-°=°，∵A ABC CB =Ð∠，()118040702ABC ACB \Ð=Ð=°-°=°；（2）当这个三角形是钝角三角形时，如图所示：∵∠ABD =50°，BD ⊥CD ，∴∠BAD =90°-50°=40°，∵ABC C Ð=Ð，40ABC C Ð+Ð=°，∴140202ABC C Ð=Ð=´°=°；综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因此遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．【变式训练】∵∠ADE =50°，∠AED ∴∠A =40°，∴(11802B C =Ð=Ð∵∠ADE =50°，∠AED =90°，∴∠BAC =∠ADE +∠AED =140°，∴()1180140202B C =Ð=-°=а°4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．【答案】73°或17°【解析】【分析】在等腰ABC D 中，AB AC =，BD 为腰AC 上的高，56ABD Ð=°，讨论：当BD 在ABC D 内部时，如图1，先计算出34BAD Ð=°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出ACB Ð；当BD 在ABC D 外部时，如图2，先计算出34BAD Ð=°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出ACB Ð．【详解】解：在等腰ABC D 中，AB AC =，BD 为腰AC 上的高，56ABD Ð=°，当BD 在ABC D 内部时，如图1，BD Q 为高，90ADB \Ð=°，905634BAD \Ð=°-°=°，AB AC =Q ，1(18034)732ABC ACB \Ð=Ð=°-°=°；当BD 在ABC D 外部时，如图2，BD Q 为高，90ADB \Ð=°，905634BAD \Ð=°-°=°，AB AC =Q ，ABC ACB \Ð=Ð，而BAD ABC ACB Ð=Ð+Ð，1172ACB BAD \Ð=Ð=°，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为73°或17°．故答案为：73°或17°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC V 中，20B Ð=°，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC V分为两个等腰三角形，则AÐ=________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；第二种请况：BC=CD时，如图，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．6．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．【答案】40°或90°或140°【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如图，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；③如图，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．。
八年级数学等腰三角形的性质易错题总结(含答案)
八年级数学等腰三角形的性质易错题总结（含答案）一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM.则下列结论中：①AC=BD；②∠AMB=30°；③△OEM≌△OFM；④MO 平分∠BMC.正确的个数有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质等知识．根据“SAS”判断△AOC≌△BOD得到AC=BD，则可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到∠OAC=∠OBD，则根据三角形内角和得到∠AMF=∠BOF=30°，于是可对②进行判断；利用OC<OA得到∠OCA>∠OAC，则根据三角形外角性质得到推出∠OEM>∠OFM，所以△OEM与△OFM不可能全等，于是可对③进行判断；作OH⊥AC于H，OG⊥BD于G，如图，根据三角形全等的性质得到OH=OG，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可对④进行判断．【解答】解：∵∠AOB=∠COD=30°，∴∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC=BD，所以①正确；∴∠OAC=∠OBD，而∠AFM=∠BFO，∴∠AMF=∠BOF=30°，所以②正确；∵OC<OA，∴∠OCA> ∠OAC，∵∠OEM=∠OCE+30°，∠OFM=∠OBF+30°=∠OAM+30°，∴△OEM与△OFM不可能全等，所以③错误；作OH⊥AC于H，OG⊥BD于G，如图，∵△AOC≌△BOD，∴OH=OG，∴MO平分∠BMC，所以④正确．故选B．2.如图，AB=AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD=a(0°<a<180°)，则∠ACB的度数为()A. 45°B. a−45°aC. 12aD. 90°−12【答案】D【解析】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB′，∴AB=AB′，∴∠BAC=∠B′AC，∵AB=AD，∴AD=AB′，又∵AE⊥CD，∴∠CAE=12∠BAD=12α，又∵∠AEB′=∠AOB′=90°，∴四边形AOB′E中，∠EB′O=180°−12α，∴∠ACB′=∠EB′O−∠COB′=180°−12α−90°=90°−12α，∴∠ACB=∠ACB′=90°−12α，故选：D．连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B′AC，∠DAE=∠B′AE，即可得出∠CAE=12∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB=∠ACB′=90°−12∠BAD．本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB′E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.如图，等腰三角形ABC纸片的底和腰分别为m和n(m<n)，如图，作高线BD和AE，则下列错误的结论是()A. AE=√4n2−m22B. CD=m22nC. BD=√4n2−m22nD. AD=2n2−m22n【答案】C【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等有关知识，A.根据等腰三角形的性质得到CE=12m，根据勾股定理可求AE的长；B.根据勾股定理可求CD的长；C.根据三角形面积公式可求BD的长；D.根据线段的和差关系可求AD的长．【解答】解：A.CE=12m，AE=√n2−(12m)2=√4n2−m22，正确，不符合题意；B.CD=m2−(m√4n2−m22n )2=m22n，正确，不符合题意；C.BD=m×√4n2−m22÷2×2÷n=m√4n2−m22n，原来的错误，符合题意；D.AD=n−m22n =2n2−m22n，正确，不符合题意．故选C．4.在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB⋅PC的值为()A. m2B. m2+1C. m2+mD. (m+1)2【答案】A【解析】略5.已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一次函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于利用三角形的三边关系求自变量的取值范围.先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范【解答】解：由题意得，2x +y =10，所以，y =−2x +10，由三角形的三边关系得，{2x >−2x +10①x −(−2x +10)<x②， 解不等式①得，x >2.5，解不等式②的，x <5，所以，不等式组的解集是2.5<x <5，正确反映y 与x 之间函数关系的图象是D 选项图象．故选D ．6. △ABC 中，AB =AC ，AB 的中垂线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B =( )A. 70°B. 40°或70°C. 20°或70°D. 40°【答案】C【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质；分类讨论的应用是正确解答本题的关键．此题根据△ABC 中∠A 为锐角与钝角分为两种情况，当∠A 为锐角时，∠B 等于70°，当∠A 为钝角时，∠B 等于20°．【解答】解：根据△ABC 中∠A 为锐角与钝角，分为两种情况：(1)如图①，当∠A 为锐角时，∵AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠A =40°，，(2)如图②，当∠A为钝角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠DAE=40°，∴∠BAC=140°，∵AB=AC，，∴∠B的度数为70°或20°．故选C．二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发在射线AC上以2cm/s的速度运动．设运动的时间为ts.当△PAB是等腰三角形时，则t的值是__________．【答案】5或8或258【解析】【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形等知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．当AB为底时，点P在AC上，AP=2tcm，CP=(8−2t)cm.作PD垂直平分AB，垂足为点D，交AC于点P，连接BP.可得62+(8−2t)2=(2t)2，解方程即可得解．当BP1为底时，点P1在AC的延长线上，AP1=2tcm.可得2t=10，则t=5.当AP2为底时，点P2在AC的延长线上，AP2=2tcm，P2C=(2t−8)cm，即2t−8=8，可得解．解：①如图1，当AB为底时，点P在AC上，AP=2tcm，CP=(8−2t)cm．作PD垂直平分AB，垂足为点D，交AC于点P，连接BP．可得：BC=6，∵PD垂直平分AB，∴AP=BP=2tcm．在Rt△BCP中，BC2+CP2=BP2，即62+(8−2t)2=(2t)2，36+64−32t+4t2=4t2，解得：t=25．8②如图2，当BP1为底时，点P1在AC的延长线上，AP1=2tcm．∵AP1=AB，∴2t=10，解得：t=5．③如图2，当AP2为底时，点P2在AC的延长线上，AP2=2tcm，P2C=(2t−8)cm．∵P2B=AB，BC⊥P2A，∴P2C=AC(“三线合一”)，即2t−8=8，解得：t=8．所以当△PAB是等腰三角形时，t的值为5或8或25．8．故答案为5或8或2588.如图，在中，∠C=90∘,∠B=60∘，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为______．【答案】105°或150°【解析】略9.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E为垂足，连接CD，若BD=2，则AC的长是______．【答案】4√3【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理有关知识，求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°−30°−90°=60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°−30°=30°，∵BD=2，∴CD=AD=4，∴AB=4+2=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：CB=√DC2−BD2=√42−22=2√3，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√62+(2√3)2=4√3．故答案为4√3．10.点D是RtΔABC的斜边AB的中点，若∠A=25∘，则∠BCD的度数为______．【答案】65°【解析】【分析】本题考查了直角三角形的斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质可知等腰三角形ACD的两个底角的度数，然后由图形中的∠ACD+∠BCD=90°即可求得∠BCD的度数．【解答】解：连接CD，∵D是Rt△ABC斜边AB上的中点，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=25°，∵∠A=25°，∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACB−∠A=65°；故答案是：65°．11.等腰三角形的一个内角是80°，则另外两个内角的度数分别为______．【答案】50°，50°或20°、80°【解析】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；②当80°的角是底角，则顶角是20°．故答案是50°，50°或20°、80°．80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可．本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分情况进行讨论．12.如图，在ΔABC中，AB=AC=5，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，若SΔABC=10，则FE+FD=_______．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．过C作CG⊥AB，利用等腰三角形的性质和三角形的面积公式得出FD+FE=CG，进而解答即可．【解答】解：过C作，连接AF，∵S△ABF+S△ACF=S△ABC∴AB×CG2=AB×DF2+AC×FE2，∵AB=AC∴FD+FE=CG=2×105=4．故答案为4．13.等腰△ABC的腰长AB=AC=10，底边上的高AD=6，则底边BC=______．【答案】16【解析】解：在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=8．∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD=16．故答案为：16．根据勾股定理即可求出BD的长，根据等腰三角形的三线合一得BC=2BD．本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握等腰三角形的三线合一及勾股定理在直角三角形中的表达式．14.如图，长方形ABCD中，AD=8，AB=4，BQ=5，点P在AD边上运动，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为______．【答案】3或52或2【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，BC=AD=8，当△BPQ为等腰三角形时，分三种情况：①BP=BQ=5时，AP=√BP2−AB2=√52−42=3；②当PB=PQ时，作PM⊥BC于M，则点P在BQ的垂直平分线上，如图1所示：∴AP=12BQ=52；③当QP=QB=5时，作QE⊥AD于E，如图2所示：则四边形ABQE是矩形，∴AE=BQ=5，QE=AB=4，∴PE=√QP2−QE2=√52−42=3，∴AP=AE−PE=5−3=2；综上所述，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为3或52或2；故答案为：3或52或2．分三种情况：①BP=BQ=5时，由勾股定理得AP=3；②当PB=PQ时，点P在BQ的垂直平分线上，则AP=12BQ=52；③当QP=QB=5时，作QE⊥AD于E，则四边形ABQE是矩形，由勾股定理求出PE=3，得AP=AE−PE=2即可．本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，注意分情况讨论．15.如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=43°，则∠P的度数为度．【答案】94【解析】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△MAK和△KBN中，{AM=BK ∠A=∠B AK=BN，∴△MAK≌△KBN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠BKM=∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，∴∠A=∠MKN=43°，∴∠A=∠B=43°，∴∠P=180°−2×43°=94°．故答案为94．证明△MAK≌△KBN，推出∠AMK=∠BKN，由∠BKM=∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，推出∠A=∠MKN=43°，推出∠A=∠B=43°，由此即可解决问题．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）16.在△ABC中，点D在BC上，AB=AC=BD，点E在BC的延长线上，∠E=15°．(1)如图1，若∠BAC=80°，求∠DAE的度数；(2)如图2，若CE=CA，AD=2√2，求线段AC的长．【答案】解：(1)如图1，∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠B=∠ACB=1(180°−∠BAC)=50°，2∵BD=AB，(180°−∠B)=65°，∴∠BAD=∠BDA=12∵∠E=15°，∴∠DAE=∠BAD−∠E=65°−15°=50°；(2)如图，作DF⊥AC于F，，∵AC=CE，∴∠CAE=∠E=15°，∵∠ACD=∠CAE+∠E=2∠E，∴∠ACD=30°，∵AB=AC=BD，∴∠B=∠ACD=30°，∠BAC=120°，∠BAD=∠ADB=75°，∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=45°，∴∠ADF=90°−45°=45°，∴AF=DF，在Rt△AFD中，∵AD=2√2，由勾股定理得：AF2+AD2=AD2，=2，∴AF=√AD22∴DF=2，在Rt△DFC中，∵∠ACD=30°，∠DFC=90°，∴DC=4，∴FC=√DC2−DF2=√16−4=2√3，∴AC=2+2√3答：AC的长为2+2√3．【解析】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理．(1)根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理求出∠B和∠BAD，再利用三角形外角的性质即可解答；(2)作DF⊥AC于F，首先利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质求出∠ACD=30°，∠ADF=45°，然后利用勾股定理即可求出线段AC的长．17.已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA=DB=DC．(1)如图①，若点D在线段AB上，连结AC，BC.试判断△ABC的形状，并说明理由．(2)如图②，连结AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E.若AC=BC，AB=16，DC=10，求CE和AC的长．【答案】解：(1)△ABC是直角三角形，理由：∵DA=DB=DC，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；(2)∵DA=DB，∴点D在线段AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴点C在线段AB的垂直平分线上，∴CD垂直平分AB，∴∠AEC=∠AED=90°，∵AB=16，DC=10，∴AE=8，AD=CD=10，∴DE=√AD2−AE2=6，∴CE=CD−DE=4，∴AC=√AE2+CE2=√82+42=4√5．【解析】略18.如图，△ABC中，AB=AC，BG，CF分别是AC，AB边上的高线．求证：BG=CF．【答案】解：∵BG⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABC=12BG⋅AC=12CF⋅AB，又∵AB =AC ，∴BG =CF ．【解析】由三角形面积得出S △ABC =12BG ⋅AC =12CF ⋅AB ，由AB =AC ，即可得出BG =CF ．本题考查了等腰三角形的性质以及三角形面积；熟练掌握等腰三角形的性质和面积公式是解题的关键．19. 一次函数y =kx +b 的图象经过点A(0,9)，并且与直线y =53x 相交于点B ，与x 轴相交于点C ，点B 的横坐标为3．(1)求B 点的坐标和k ，b 的值；(2)在y 轴上是否存在这样的点P ，使得以点P ，B ，A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线y =kx +b 上是否存在点Q ，使△OBQ 的面积等于272？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)当x =3时，y =53x =53×3=5，即B(3,5)，把A(0,9)，B(3,5)代入y =kx +b 得到{b =93k +b =5， 解得{k =−43b =9．(2)①以A 为顶点时，P 1(0,14)，P 2(0,4)；②以B 为顶点时，P 3(0,1)；③以P 为顶点时，P 4(0,478).(3)由(1)知y=−43x+9，C(274,0)，①当Q点在B点右侧时，设Q(a,−43a+9)，则S△OBQ=12×274×(5+43a−9)=272，∴a=6，∴Q(6,1)；②当Q在点B左侧时，设Q(a,−43a+9)，则S△OBQ=12×274×(−43a+9−5)=272，∴a=0，∴Q(0,9)，综上所述，Q(6,1)或(0,9)．【解析】本题考查一次函数综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．(1)求出点B坐标，利用待定系数法即可解决问题；(2)利用勾股定理求出AB的长，分三种情形讨论求解即可；(3)分两种情形：①当Q点在B点右侧时，②当Q在点B左侧时，分别根据三角形的面积公式构建方程求解即可；【解答】解：(1)见答案；(2)①如图1，以A为顶点时，AB=AP=5，∵A(0,9)∴P1(0,14)，P2(0,4)；②如图2，以B为顶点时，BA=BP=5，过B向y轴作垂线，垂足为H，连接BP3，可证：Rt△AHB≌Rt△P3HB(HL)，则AH=P3H，∵A(0,9)，B(3,5)，∴AH=P3H=√52−32=4，∴P3(0,1)；③如图3，以P为顶点时，PA=PB，过B向y轴作垂线，垂足为H，由②可知，AH=4，设AP4=BP4=m，则P4H=4−m，在Rt△BHP4中，BH2+P4H2=BP42，即32+(4−m)2=m2，，解得m=258)，∴P4(0,478故答案为：①以A为顶点时，P1(0,14)，P2(0,4)；②以B为顶点时，P3(0,1)；③以P ).为顶点时，P4(0,478(3)见答案．20.等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．(1)如图1，当∠C=3∠BAD时，求∠C的度数；(2)如图2，EF垂直平分AB，交AC于点F，连结DF，当∠BAC=45°时，求证：DF=DC.【答案】解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD⊥BC，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠C=3∠BAD，∴设∠BAD=α，则∠C=∠B=3α，∴3α+3α+2α=180°，解得：α=22.5°，∴∠C=3α=67.5°；(2)连接BF，∵EF垂直平分AB，∴AF=BF，∵∠BAC=45°，∴∠ABF=∠BAF=45°，∴∠AFB=90°，∴∠BFC=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，BC．∴DF=CD=12【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，设∠BAD=α，则∠C=∠B=3α，根据三角形的内角和即可得到结论；(2)连接BF，根据垂直平分线的性质得到AF=BF，求得∠AFB=90°，得到∠BFC=90°，根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21.定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．(1)如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE=2，求逆等线EF的长；(2)如图2，若直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；(3)如图3，边长为6的等边三角形△AOC的边OC与X轴重合，EF是该等边三角形的逆等线．F点的坐标为(5,√3)；试求点E的坐标。
第02讲 等腰三角形中易漏解或多解的问题(拓展提升)(解析版)
思维导图核心考点聚焦1.求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错2.当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错3.求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错4.三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错1.等腰三角形的性质（1（2角的三线合一图形：1.求等腰三角形的周长，要先考虑三角形的三边是否能构成三角形考点剖析【答案】2516或52或4，则216BP BC cm ==，，，图2③如图3，当图3故答案为：9或【解析】如图，∵AB AC BD =，是AC 边上的中线，即AD CD =，∴()()15123||||cm AB AD BC CD AB BC +-+=-=-=，2121527cm AB BC AC AB BC ++=+=+=，若AB BC >，则3cm AB BC -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组:3227AB BC AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：10cm 7cm AB BC ==，，10cm 10cm 7cm 、、三边能够组成三角形；若AB BC <，则3cm BC AB -=，又∵227cm AB BC +=，联立方程组3227BC AB AB BC -=⎧⎨+=⎩,解得：8cm 11cm AB BC ==，，8cm 8cm 11cm 、、三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为10cm 10cm 7cm 、、或8cm 8cm 11cm 、、．【变式训练】1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒【答案】D【解析】如图1，三角形是锐角三角形时，∵45ACD ∠=︒，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述，顶角等于45︒或135如图，当CD 在ABC CD AB⊥ 90BAC ACD ∴∠=︒+∠AB AC= 30B C ∴∠=∠=︒故答案为60︒或30︒过关检测【答案】80︒，65︒或【解析】当C ∠是顶角时，∴180C A ∠=︒-∠-∠当C ∠是底角，A ∠是顶角时，∴180652A C ︒-∠∠==当C ∠、A ∠都是底角时，∴50C A ∠=∠=︒；综上，C ∠的度数可能是故答案为：80︒，65︒或7．在平面直角坐标系中，坐标是【答案】()3,0-或(2,0-【解析】根据题意，作图如下，∵()3,0A ，()0,4B ，∴3,4OA OB ==，在Rt AOB △中，22AB OA OB =+以AB 为腰作等腰三角形ABC ，①1BC BA =，则1ABC 是以AB 为腰作等腰三角形，∴()13,0C -；②2AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴AC 2=5，且3OA =，∴2532OC =-=，则()22,0C -；③3AB AC =，则2ABC △是以AB 为腰作等腰三角形，∴35AC =，∴33358OC OA AC =+=+=，则C 综上所述，点C 坐标是()3,0-或(-故答案为：()3,0-或()2,0-或(8,0)8．在ABC △中，110ABC ∠=︒，点腰三角形，则CDB ∠的度数是【答案】40︒或90︒或140︒【解析】如图1中，当CDB ∠如图3中，当90DBC ∠=︒，DA 40CDB A DBA ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：40︒或90︒或140︒．三、解答题9．如图，ABC △中，90C ∠=运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为(1)当1t =时，求PBC △的面积．(2)当t 为何值时，CP 把ABC △(3)当t 为何值时，BCP △为等腰三角形？【解析】（1）解：当1t =时，PBC ∴△的面积为1BC CP ⨯=故答案为：26cm ．（2）解：ABC 中，∴2AB AC BC =+∵1122AC BC ⨯=∴ 4.8CE =∴226 4.8PE =-∴27.2BP PE ==∴AP AB PB =-=∴82AC AP t +==②如果BC BP =③如果PB PC =∵PB PC =，∴12∠=∠，又∵12A ∠+∠=∠∴3A ∠=∠∴PC PA =，∴PA PB =,即P 在AB 的中点，此时()8513cm CA AP +=+=，132 6.5(t =÷=秒)；综上可知，当3t =秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，BCP 为等腰三角形．10．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），BE 是ABD △的“双等腰线”，AD 、BE 是ABC △的“三等腰线”．(1)请在图（2）中，作出ABC △的“双等腰线”，并标注相等角的度数①70B ∠=︒，35A ∠=︒②81B ∠=︒，27A ∠=︒．(2)直角三角形的______就是它的“双等腰线”(3)已知ABC △中，33C ∠=︒，AD 和DE 分别是ABC △的“三等腰线”，点D 在BC 边上，点E 在AB 边上，且AD DC =，BE DE =，请根据题意写出B ∠度数的所有可能的值______．【详解】（1）解：如图，取CD BC =，则70CDB B ∠=∠=︒，35A ∠=︒ ，703535ACD ∴∠=︒-︒=︒，ACD A ∴∠=∠，AD CD BC ∴==，ADC ∴ 和BCD △是等腰三角形；如图，作AB 的垂直平分线DE ，交AC 于D ，交AB 于E ，连接BD ，AD BD ∴=，27A ABD ∴∠=∠=︒，54CDB ∴∠=︒，81ABC ∠=︒ ，812754CBD BDC ∴∠=︒-︒=︒=∠，CD BC ∴=，ADB ∴ 和BCD △是等腰三角形；（2）直角三角形斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形，故答案为：斜边中线；（3）如图，设B x ∠=，∵33C ∠=︒，AD DC =，∴33C DAC ∠=∠=︒，180114EAD B C DAC x ∠=︒-∠-∠-∠=︒-，∴66ADB ∠=︒∵BE DE =，∴B BDE x ∠=∠=，∴2AED x ∠=，66ADE ADB BDE x ∠=∠-∠=︒-，∵AD 和DE 分别是ABC 的“三等腰线”，∴ADE V 是等腰三角形，当AD DE =时，EAD AED ∠=∠，则1142x x ︒-=，解得38B x ︒==∠；当AD AE =时，ADE AED ∠=∠，则662x x ︒-=，解得22B x ︒==∠；当AE DE =时，EAD ADE ∠=∠，则11466x x ︒-=︒-，无解；综上所述，B ∠度数的所有可能的值为38︒、22︒、66︒、57︒、48︒．故答案为：38︒、22︒．。
八年级下册数学：《1.易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题》教学设计
易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题 ◆类型一 求长度时忽略三边关系【易错1】1．一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．16或202．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________，理由是________________________．3．(2017·薛城区期末)若等腰三角形的三边长分别为x ＋1，2x ＋3，9，则x ＝________．4．已知等腰三角形ABC 中，腰AC 上的中线BD 将三角形的周长分成9cm 和15cm 两部分，求这个三角形的腰长和底边长．◆类型二 当腰或底不明求角度时没有分类讨论5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )A ．100°B ．40°C ．40°或100°D ．60°6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．7．(2017·普陀区模拟)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角度数为________．8．有一三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是____________________．9．★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的度数． ◆类型三 三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论10．(2017·绥化中考)在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 交BC 于点D.若AD ＝12BC ，则△ABC 的顶角度数为______________．11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．【易错3】 ◆类型四 一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错4】12．如图，点A 的坐标为(2，2)，若点P 在坐标轴上，且△APO 为等腰三角形，则满足条件的点P 有( )A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个第12题图 第13题图13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A ，B ，请在此点阵图中找一个阵点C ，使得以点A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C 点有________个．14．如图是6×6的正方形网格，点A ，B 均在正方形格点上，在网格中的格点上找一点C ，使△ABC 为等腰三角形，简要写出步骤并标出点C 的位置．参考答案与解析1．C 2.不正确 没考虑三角形的三边关系 3.34．解：设腰长为xcm ，分两种情况考虑：①腰长与腰长的一半是9cm 时，即x ＋12x ＝9，解得x ＝6，∴底边长为15－12×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm ，6cm ，12cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm 时，即x ＋12x ＝15，解得x ＝10，∴底边长为9－12×10＝4(cm)，∴三角形的三边长为10cm ，10cm ，4cm ，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为10cm ，底边长为4cm.5．C 6.120°或20°7．30°或90° 解析：设最小角的度数为x ，则最大角的度数为x ＋45°.当最小角是顶角时，则x ＋x ＋45°＋x ＋45°＝180°，解得x ＝30°，此时三角形顶角的度数为30°.当最大角为顶角时，则x ＋x ＋45°＋x ＝180°，解得x ＝45°，此时三角形顶角的度数为90°.综上所述，等腰三角形的顶角为30°或90°.8．40°或25°或10° 解析：由题意知△ABD 与△DBC 均为等腰三角形，对于△ABD 有三种情况：①AB ＝BD ，则∠ADB ＝∠A ＝80°，∴∠BDC ＝180°－∠ADB ＝100°，∠C ＝(180°－∠BDC)÷2＝40°；②AB ＝AD ，则∠ADB ＝(180°－∠A)÷2＝50°，∴∠BDC ＝180°－∠ADB ＝130°，∠C ＝(180°－∠BDC)÷2＝25°；③AD ＝BD ，则∠ABD ＝∠A ＝80°，∴∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝160°，∠C ＝(180°－∠BDC)÷2＝10°.综上所述，∠C 的度数可以是40°或25°或10°.9．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ，AC ＝CD ，则∠B ＝∠C ＝∠BAD ，∠CDA ＝∠CAD ，∴∠CDA ＝∠B ＋∠BAD ＝2∠B ，∴∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAD ＝∠CDA ＋∠BAD ＝3∠B.∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°，∴∠BAC ＝108°；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝BD ＝CD ，则∠B ＝∠C ＝∠DAC ＝∠DAB ，∴∠BAC ＝2∠B.∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴4∠B ＝180°，∴∠B ＝45°，∴∠BAC ＝90°；(3)如图③，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ＝BC ，则∠ABC ＝∠C ，∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C ，∴∠BDC ＝∠A ＋∠DBA ＝2∠A ，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2∠A.∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，∴5∠A ＝180°，∴∠A ＝36°.(4)如图④，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ，CD ＝BC.设∠A ＝x ，∵AD ＝BD ，∴∠DBA ＝∠A ＝x.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝180°－x 2，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝180°－x 2－x.∵CD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ＝∠DBC ＝180°－x 2－x ，∴x ＝180°7，即∠A ＝180°7.综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7. 10．30°或150°或90° 解析：(1)当BC 为腰时，∵AD ⊥BC ，AD ＝12BC ，∴∠ACD ＝30°.如图①，当AD 在△ABC 内部时，顶角∠C ＝30°.如图②，当AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB ＝180°－30°＝150°；(2)当BC 为底时，如图③.∵AD ⊥BC ，AD ＝12BC ，∴AD ＝BD ＝CD ，∴∠B ＝∠BAD ，∠C ＝∠CAD ，∴∠BAD ＋∠CAD ＝12×180°＝90°，即顶角∠BAC ＝90°.综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°.11．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图①所示，腰上的高在三角形外部．由题意得顶角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.12．D 解析：∵点A的坐标为(2，2)，∴△OAP的边OA＝22，这条边可能是底边也可能是腰．①当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标是(2，0)和(0，2)；②当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(22，0)，(－22，0)，(0，22)，(0，－22)；③当A是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．综上可知满足条件的点P共有8个，故选D.13．5 解析：如图，分别以AB为腰、底找等腰三角形，故符合条件的C点有5个．第13题图第14题图14．解：如图，(1)当BA＝BC时，符合条件的有C1，C2；(2)当AB＝AC时，符合条件的有C3，C4；(3)当CA＝CB时，符合条件的有C5，C6，C7，C8，C9，C10.综上所述，符合条件的C点有10个．。
八年级数学下册- ：等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练)(解析版)
第05讲易错易混淆集训：等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练)目录【考点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 (1)【考点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 (5)【考点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 (8)【考点四求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 (14)【考点五三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 (19)【考点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：（2023春·陕西汉中·七年级校考阶段练习）已知一个等腰三角形的三边长分别为21x -，1x +，32x -，且21x -为腰长．求这个等腰三角形的周长．【答案】这个等腰三角形的周长为10．【分析】因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰，所以要分情况讨论．【详解】解：①当211x x -=+时，解得2x =，则这个等腰三角形三条边长分别为3、3、4，能构成三角形，此时这个等腰三角形的周长为33410++=；②当2132x x -=-时，解1x =，则这个等腰三角形三条边长分别为1、2、1，不能构成三角形（舍去）．综上所述，这个等腰三角形的周长为10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．【变式训练】+<，∵7721∴不能围成腰长为7cm的等腰三角形；综上：能围成有一边长为7cm的等腰三角形．【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【考点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44︒或80︒或140︒．故答案为：44︒或80︒或140︒．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．5．（2022春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在ABC 中，20B ∠=︒，105A ∠=︒，点P 在ABC 的三边上运动，当PAC △为等腰三角形时，顶角的度数是________．【答案】105︒或55︒或70︒【分析】作出图形，然后分点P 在AB 上与BC 上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P 在AB 上时，AP AC =，顶角为105A ∠=︒，②∵20B ∠=︒，105A ∠=︒，∴1802010555C ︒︒︒︒∠=--=，如图2，点P 在BC 上时，若AC PC =，顶角为55C ∠=︒，如图3，若AC AP =，则顶角为180218025570CAP C ︒︒︒︒∠=-∠=-⨯=，综上所述，顶角为105︒或55︒或70︒．故答案为：105︒或55︒或70︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．【考点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】题的关键，用了分类讨论思想．【变式训练】∵30PCB ∠=︒，∴∠BPC =90°，即PC ∴cos AP AC BAC =⋅∠当点P 在AB 的延长线上时，∵30PCB ∠=︒，∠PBC ∴∠CPB =30°，∴12AC AB ==∵30PCB ∠=︒∴∠APC =60°，∴∠ACP =60°，∴∠APC =∠PAC 【答案】2516或52或4，，，②当AE AD m ==时：如图，则：4CE BC BE m =-=-，在Rt ACE 中，22AE AC =+解得：258m =；此时AE AB =，∵90ACB ∠=︒，∴4BC CE ==，【考点四求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】【答案】125或247或325【分析】先利用直角三角形的性质可得的取值范围为06t <≤，然后分BQP ∠得出答案．【详解】解： 在Rt ABC △中，C ∠212AB BC ∴==，=60B ∠︒，∴点P 从点A 运动到点B 所需时间为点Q 从点B 运动到点C 所需时间为BC 当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，06t ∴<≤，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当90BQP ∠=︒时，BPQ V①当04t <≤时，3AP t =，BP AB =在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =解得2447t =<，符合题设；②当46t <≤时，312BP t =-，在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =解得245t =，符合题设；综上，t 的值是165或327或245，故答案为：125或247或325．【点睛】本题考查了含30︒角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确判断出取值范围，并分情况讨论是解题关键．【变式训练】点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90BAD ∠=︒时，4090130ADC B BAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；如图2，在ABC 中，AB AC =，若=40B C ∠∠=︒，点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90ADB ∠=︒时，90ADC ∴∠=︒；如图3，在ABC 中，AB AC =，若40BAC ∠︒=，点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90ADB ∠=︒时，90ADC ∴∠=︒；如图4，在ABC 中，AB AC =，若40BAC ∠︒=，点D 在直线BC 边上，ABD △为直角三角形，且当90BAD ∠=︒时，70B ACB ∴∠=∠=︒，9020ADC B ∴∠=︒-∠=︒；故答案为：130︒、90︒或20︒【答案】60︒或18︒【分析】分情况讨论：①当求解即可．【详解】解：如图所示，当∵AD 是ABC 的角平分线，∴30BAD ∠=︒，∴Rt ADF 中，60ADF ∠=如图，当90BDF ∠=︒时，同理可得30BAD DAC ∠=∠=∵78ACB ∠=︒，∴ADB DAC ACB ∠=∠+∠=∴ADF ADB BDF ∠=∠-∠=综上所述：ADF ∠的度数为故答案为：60︒或18︒．【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得ABC ∠形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵9040BAC C ∠=︒∠=︒，∴904050ABC ∠=︒-︒=︒∵BD 平分ABC∠∴1252DBC ABC ∠=∠=︒当BDE △为直角三角形时，有以下两种情况：①当90BED ∠=︒时，如图1，∵40C ∠=︒，∴904050CDE ∠=︒-︒=︒；②当90BDE ∠=︒时，如图2，【考点五三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：（2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：可设AD DC x ==∴2AB x =．1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒∵45ACD ∠=︒，∴顶角90A ∠=︒-如图2，三角形是钝角时，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述，顶角等于45︒或135当30AB AD +=时，即230AD AD +=，10AD ∴=，24BC CD += ，24241014BC CD ∴=-=-=；综上，底边的长为22或14；故答案为：22或14．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论．5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC 中，20B ∠=︒，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC 分为两个等腰三角形，则A ∠=________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD =CD 、BC =CD 、BD =BC 三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD =CD 时，如图，∵BD =CD ，∠B =20°，∴∠B =∠DCB =20°，∴∠ADC =∠B +∠DCB =40°，（1）当DA =DC 时，∠A =∠ACD ，∵∠A +∠ACD +∠ADC =180°，∠ADC =40°，∴∠A =∠ACD =70°；（2）当DA =AC 时，即有∠ADC =∠ACD =40°，∴∠A =180°-∠ADC -∠ACD =100°；（3）当CD =CA 时，∠A =∠ADC =40°；第二种请况：BC =CD 时，如图，∵∠B =20°，BC =CD ，∴∠B =∠BDC =20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．。
第五章第4讲 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题之四大易错(4类热点题型讲练)(解析版)
第04讲易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题之四大易错(4类热点题型讲练)目录【考点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 (1)【考点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 (5)【考点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 (8)【考点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 (11)【考点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：（2024·广东东莞·一模）一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，这个等腰三角形的周长是cm．【答案】16或17/17或16【分析】考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．由等腰三角形两边长为5cm和6cm，分别从等腰三角形的腰长为5cm和6cm去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．【详解】解：若等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，+=>，∵55106∴能组成三角形，++=；∴它的周长是：55616cm若等腰三角形的腰长为6cm，底边长为5cm，+=>，∵56116∴能组成三角形，++=．∴它的周长是：66517cm∴它的周长是：16cm或17cm．故答案是：16或17【变式训练】1．（23-24七年级下·四川成都·期中）等腰三角形的两边长为4cm和8cm，这个三角形的周长为cm．【答案】20【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．等腰三角形两边的长为4cm和8cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．+=，不能构成三角形，【详解】解：①当腰是4cm，底边是8cm时，448②当底边是4cm，腰长是8cm时，能构成三角形，=++=，则其周长48820cm所以，这个三角形的周长是20cm．故答案为：20．2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）等腰三角形两边长分别为6,9，则其周长为．【答案】21或24/24或21【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握“三角形两边之和大于第三边；两条之差小于第三边”是解题的关键，根据题意分情况讨论：①当腰长为6时；②当腰长为9时；分别求得周长即可．【详解】解：由题可知：①当腰长为6时；则底边为9，++=，此时等腰三角形的周长为：66921②当腰长为9时；则底边为6，此时等腰三角形的周长为：99624++=，经检验以上两种情况都可以构成三角形，故答案为：21,24．3．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）一个等腰三角形的周长是20，若其中一条边长为8，这个等腰三角形的腰长是．的长分别是．【答案】6，6或5，7【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．由于已知长度的边没有指明是等腰三角形的底边还是腰，因此要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．【详解】解：①当等腰三角形的底长为5时，腰长()17526=-÷=；则等腰三角形的三边长为5、6、6，能构成三角形．②当等腰三角形的腰长为5时，底长17257=-⨯=；则等腰三角形的三边长为5、5、7，能构成三角形．故等腰三角形另外两边的长为6，6或5，7．故答案为：6，6或5，7．5．当三角形中一条边a 是另一条边b 的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中a 称为“特征边”，如果一个“特征三角形”为等腰三角形，它的特征边为4，那么这个特征三角形的周长为．【答案】10【分析】根据题中定义，可知其另一边为2，利用等腰三角形的定义，可知第三边为2或4，同时需要利用三角形三边关系进行验证，排除第三边为2的情况，即可求得周长．【详解】解：∵该三角形的特征边为4，∴其另一边为2，∵该三角形为等腰三角形，∴第三边长为2或4，根据三角形的三边关系可知第三边为2时，不能组成三角形，第三边为4时，符合题意，∴这个特征三角形的周长为：4+4+2=10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查的是三角形中边长的计算，易错点在于利用三角形三边关系排除不能组成三角形的情况．6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形ABC 是三倍三角形，且其中一边长为3，则ABC 的周长为．【答案】8或12【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为x ，底长为y ，分两种情况讨论：当3x =时；当3y =时．【详解】设等腰三角形的腰长为x ，底长为y ．（1）当3x =时，分两种情况：①若3x y x +=，解得6y =．则三角形的三边长为3，3，6，不符合题意．②若23x y =，解得2y =，则ABC 的三边长为3，3，2，符合题意．3328++=ABC 的周长为8．（2）当3y =时，分两种情况：①若3x y x +=，解得 1.5x =，则三角形的三边长为1.5，1.5，3，不符合题意．②若23x y =，解得 4.5x =，则ABC 的三边长为4.5，4.5，3，符合题意．4.5 4.5312++=ABC 的周长为12．综上所述，ABC 的周长为8或12．7．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为．8．（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）若等腰三角形的三边长分别为长可以是．【答案】11或13或17【分析】先根据题中已知等腰三角形的三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分三种情况进行分析求解即可．【详解】解：①当23x -是底边时，则腰长为x ，5，∴5x =，∴237x -=，即三角形三边长分别为5，5，7，根据三角形三边关系，可以构成三角形，∴等腰三角形的周长55717=++=；②当5是底边时，则腰长为x ，23x -，∴23x x =-，解得3x =，即三角形三边长分别为3，3，5，根据三角形三边关系，可以构成三角形，∴等腰三角形的周长33511=++=；③当x 是底边时，则腰长为5，23x -，∴523x =-，解得4x =，即三角形三边长分别为5，5，4，根据三角形三边关系，可以构成三角形，∴等腰三角形的周长55414=++=．综上所述，三角形的周长可以是11，14或17．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、解一元一次方程以及三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论，并用三边关系定理检验．【考点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】所以，顶角是2502080⨯︒-︒=︒；③x 与220x -︒都是底角时，220x x =-︒，解得20x =︒，所以，顶角是180202140︒-︒⨯=︒；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44︒或80︒或140︒．故答案为：44︒或80︒或140︒．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．4．如图，在ABC 中，20B ∠=︒，105A ∠=︒，点P 在ABC 的三边上运动，当PAC △为等腰三角形时，顶角的度数是________．【答案】105︒或55︒或70︒【分析】作出图形，然后分点P 在AB 上与BC 上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P 在AB 上时，AP AC =，顶角为105A ∠=︒，②∵20B ∠=︒，105A ∠=︒，∴1802010555C ︒︒︒︒∠=--=，如图2，点P 在BC 上时，若AC PC =，顶角为55C ∠=︒，如图3，若AC AP =，则顶角为180218025570CAP C ︒︒︒︒∠=-∠=-⨯=，综上所述，顶角为105︒或55︒或70︒．故答案为：105︒或55︒或70︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．【考点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在ABC 中，90B Ð=°，16cm AB =，12cm BC =，20cm AC =点Q 是ABC 边上的一个动点，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒1cm ，设出发的时间为t 秒．当点Q 在边CA 上运动时，出发秒后，BCQ △是以CQ 为腰的等腰三角形．12cm CB CQ == ，∴241CB CQ t +==(秒)；当QC QB =时，如图：QC QB = ，C CBQ ∠∠∴=，90ABC ∠=︒ ，B 作直线AC ，若ABC 是等腰三角形，则α∠=．3．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在ABC 中，12AB =，30B ∠=︒，C B ∠<∠，P 是边BC 上的动点，连接AP ．当ABP 是等腰三角形时，APC ∠=度．【考点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：可设AD DC x ==∴2AB x =．由题意得：21512x x y x +=⎧⎨+=⎩或21215x x y x +=⎧⎨+=⎩，解得：57x y =⎧⎨=⎩或411x y =⎧⎨=⎩．当57x y =⎧⎨=⎩时，即此时等腰三角形的三边为10，10，7，10710+> ，符合三角形的三边关系，∴此情况成立；当411x y =⎧⎨=⎩时，即此时等腰三角形的三边为8，8，11，8811+> ，符合三角形的三边关系，∴此情况成立．综上可知这个等腰三角形的底边长是7或11．故选：C ．【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，那么这个三角形的顶角为（）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．135︒或45︒【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，∵45ACD ∠=︒，∴顶角904545A ∠=︒-︒=︒；如图2，三角形是钝角时，∵45ACD ∠=︒，∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=︒，综上所述，顶角等于45︒或135︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．2．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角为度．【答案】50或130【分析】此题考查了等腰三角形的定义．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．【详解】解：根据题意得：AB AC =，BD AC ⊥，如图（1），40ABD ∠=︒，则50A ∠=︒，如图（2），40ABD ∠=︒，∴50BAD ∠=︒，∴18050130BAC ∠=︒-︒=︒．故这个等腰三角形的顶角是：50︒或130︒．故答案为：50或1303．（2024·四川达州·模拟预测）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36︒，则此三角形顶角度数为．【答案】54︒或126︒【分析】本题考查了等腰三角形的内容，要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．解决等腰三角形的问题时分类讨论是解决问题的关键．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB AC =，36ACD ∠=︒，CD 为高，即90ADC ∠=︒，∠+∠此时A ACDA∴∠=︒-180若三角形为钝角三角形时，如图，∠=∠+∠此时BAC D ACD综上，等腰三角形的顶角的度数为故答案为：54︒或126︒．【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；第二种请况：BC=CD时，如图，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B =20°，∠B +∠BCD +∠BDC =180°，∴∠BCD =∠BDC =80°，∴∠ADC =180°-∠BDC =100°，∵△ADC 是等腰三角形，∴有∠A =∠ACD ，∵∠A +∠ACD +∠ADC =180°，∴∠A =40°；综上所述：∠A 的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．6．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形ABC 中，高BD 与一腰所夹的锐角是40︒，则等腰三角形ABC 底角的度数为．【答案】50︒或65︒或25︒【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义，分类讨论：ABC 为锐角三角形时，①当BD 是等腰ABC 底边上的高时，②当BD 是等腰ABC 腰上的高时，当等腰ABC 为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高BD 只能是腰上的高，利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【详解】解：依题意有以下两种情况：（1）ABC 为锐角三角形时，此时又有两种情况：①当BD 是等腰ABC 底边上的高时，如图1所示：BD Q 为等腰三角形底边AC 上的高，90ADB ∴∠=︒，90ABD A ∴∠+∠=︒，∵高BD 与一腰所夹的锐角是40︒，40BAD ∴∠=︒，9050A BAD ∴∠=︒-∠=︒；②当BD 是等腰ABC 腰上的高时，如图2所示：Q 90ADB ∴∠=︒，90A ABD ∴∠+∠=︒，∵高BD 与一腰所夹的锐角是40ABD ∴∠=︒，9050A ABD ∴∠=︒-∠=︒，AB AC = ，(11802ABC C A ∴∠=∠=︒-∠Q 90ADB ∴∠=︒，90DAB ABD ∴∠+∠=︒，∵高BD 与一腰所夹的锐角是40︒，40ABD ∴∠=︒，9050DAB ABD ∴∠=︒-∠=︒，。
八年级数学下册易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题 (2)(附答案)
易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题◆类型一求长度时忽略三边关系【易错1】1．一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为( )A．12 B．16C．20 D．16或202．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________，理由是________________________．3．(·薛城区期末)若等腰三角形的三边长分别为x＋1，2x＋3，9，则x＝________．4．已知等腰三角形ABC中，腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边长．◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )A．100° B．40°C．40°或100° D．60°6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．7．(·普陀区模拟)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角度数为________．8．有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是____________________．9．★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的度数．◆类型三三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论10．(·绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交BC于点D.若AD＝12BC，则△ABC的顶角度数为______________．11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．【易错3】◆类型四一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错4】12．如图，点A的坐标为(2，2)，若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P有( )A．4个 B．6个 C．7个 D．8个第12题图第13题图13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有________个．14．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在正方形格点上，在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，简要写出步骤并标出点C的位置．参考答案与解析1．C 2.不正确没考虑三角形的三边关系 3.34．解：设腰长为xcm，分两种情况考虑：①腰长与腰长的一半是9cm时，即x＋1 2 x＝9，解得x＝6，∴底边长为15－12×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm时，即x＋12x＝15，解得x＝10，∴底边长为9－12×10＝4(cm)，∴三角形的三边长为10cm，10cm，4cm，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为10cm，底边长为4cm.5．C 6.120°或20°7．30°或90°解析：设最小角的度数为x，则最大角的度数为x＋45°.当最小角是顶角时，则x＋x＋45°＋x＋45°＝180°，解得x＝30°，此时三角形顶角的度数为30°.当最大角为顶角时，则x＋x＋45°＋x＝180°，解得x＝45°，此时三角形顶角的度数为90°.综上所述，等腰三角形的顶角为30°或90°.8．40°或25°或10°解析：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD 有三种情况：①AB＝BD，则∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝100°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝40°；②AB＝AD，则∠ADB＝(180°－∠A)÷2＝50°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝130°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝25°；③AD＝BD，则∠ABD＝∠A＝80°，∴∠BDC＝∠ABD＋∠A＝160°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝10°.综上所述，∠C 的度数可以是40°或25°或10°.9．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，则∠B ＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∴∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝∠CAD＋∠BAD ＝∠CDA＋∠BAD＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°；(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，则∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC ＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°；(3)如图③，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，则∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC ＝∠C，∴∠BDC＝∠A＋∠DBA＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A.∵∠A＋∠ABC＋∠C ＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°.(4)如图④，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.设∠A＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝x.∵AB＝AC ，∴∠ABC＝180°－x 2，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝180°－x 2－x.∵CD＝BC ，∴∠BDC＝∠A＋∠A BD ＝2x ＝∠DBC＝180°－x 2－x ，∴x＝180°7，即∠A＝180°7.综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7. 10．30°或150°或90° 解析：(1)当BC 为腰时，∵AD⊥BC，AD ＝12BC ，∴∠ACD ＝30°.如图①，当AD 在△ABC 内部时，顶角∠C＝30°.如图②，当AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB＝180°－30°＝150°；(2)当BC 为底时，如图③.∵AD⊥BC，AD ＝12BC ，∴AD＝BD ＝CD ，∴∠B＝∠BAD，∠C ＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝12×180°＝90°，即顶角∠BAC＝90°.综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°.11．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图①所示，腰上的高在三角形外部．由题意得顶角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.12．D 解析：∵点A 的坐标为(2，2)，∴△OAP 的边OA ＝22，这条边可能是底边也可能是腰．①当OA 是底边时，点P 是OA 的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标是(2，0)和(0，2)；②当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(22，0)，(－22，0)，(0，22)，(0，－22)；③当A 是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．综上可知满足条件的点P共有8个，故选D.13．5 解析：如图，分别以AB为腰、底找等腰三角形，故符合条件的C点有5个．第13题图第14题图14．解：如图，(1)当BA＝BC时，符合条件的有C1，C2；(2)当AB＝AC时，符合条件的有C3，C4；(3)当CA＝CB时，符合条件的有C5，C6，C7，C8，C9，C10.综上所述，符合条件的C点有10个．。