第四章 静态电磁场边值问题的解法
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第四章 静态场边值问题的解法
nπ nπ Fn ' sin( x) sh( y ) a a n 1
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π 由边界条件（4） y a ,0 xa 100 sin x代入通解得 a
πx nπ 100 sin Fn ' sh(nπ) sin x a n1 a
比较系数 当n 1 时， 当n 1 时，
1 2
U0 O y d
0
x
d yd 2 d 0 y 2
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由y=0,y=d时，2=0可知 由 x , 通解
n g ( y) A1 sin( y) d n
x
U0 n Cn sin( d y ) d y n1 由x=0边界条件， C sin( n y ) U U 0 y 1 n d 0 n d
F1 ' shπ 100
100 F1 ' shπ
Fn ' 0
100 π π ( x, y ) sin( x)sh y sh a a
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若金属槽盖电位 ＝U 0 ，再求槽内电位分布
nπ nπ 通解 （x, y ) Fn sin （ x)sh( y ) a a n 1 傅立叶级数 当 y a 时， ＝U 0
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例： 解：
试求长直接地金属槽内电位的分布。
边值问题（D 域内） (1)
x 0 , 0 y a 0
xa , 0 y a
0
(2)
(3)
接地金属槽的截面
y 0 , 0 x a 0
π y a ,0 xa 100 sin x a
设n=2m,
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π 由边界条件（4） y a ,0 xa 100 sin x代入通解得 a
πx nπ 100 sin Fn ' sh(nπ) sin x a n1 a
比较系数 当n 1 时， 当n 1 时，
1 2
U0 O y d
0
x
d yd 2 d 0 y 2
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由y=0,y=d时，2=0可知 由 x , 通解
n g ( y) A1 sin( y) d n
x
U0 n Cn sin( d y ) d y n1 由x=0边界条件， C sin( n y ) U U 0 y 1 n d 0 n d
F1 ' shπ 100
100 F1 ' shπ
Fn ' 0
100 π π ( x, y ) sin( x)sh y sh a a
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若金属槽盖电位 ＝U 0 ，再求槽内电位分布
nπ nπ 通解 （x, y ) Fn sin （ x)sh( y ) a a n 1 傅立叶级数 当 y a 时， ＝U 0
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例： 解：
试求长直接地金属槽内电位的分布。
边值问题（D 域内） (1)
x 0 , 0 y a 0
xa , 0 y a
0
(2)
(3)
接地金属槽的截面
y 0 , 0 x a 0
π y a ,0 xa 100 sin x a
设n=2m,
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
第四章边值问题解法
第四章静态场边值解法第四章、静态场边值解法§4.1 静态场边值问题•唯一性定理4.2 镜像法与电轴法 §镜像法与电轴法43电轴法 §4.3 电轴法4.1.1 泊松方程与拉普拉斯方程4.1.1∇•泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。
图1.4.1 三个不同媒质区域的静电场4.1.2 唯一性定理1.称之为静电场的唯一性拉斯方程),定理的解是唯一的(TheoremUniquness 明证明：2. 唯一性定理的重要意义•例1.4.1图1.4.7 平板电容器外加电源U微分方程∇∇第为什么说第二类边界条件第一类边界条件与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条件是等价的？已知场域边界上各点电位值合，即图1.4.2 边值问题框图的法向导数)(s f 1S =ϕ)(s f n 2S=∂∂ϕ)()(s f n 3S=∂∂+ϕβϕ积分法解析法分离变量法镜像法、电轴法计算法微分方程法保角变换法••••有限差分法边值问题究方法数值法有限元法边界元法研究方法实验法实测法矩量法模拟电荷法••••模拟法数学模拟法物理模拟法作图法定性定量••••图1.4.3 边值问题研究方法框图4.2.1镜像法1.平面导体的镜像边值问题：（除q 所在点外的区域）=ϕ∇20（导板及无穷远处）（S 为包围q 的闭合面）∫=⋅=ϕsqd 0S D 上半场域边值问题：2=ϕ∇（除q 所在点外的区域）0r4q r 4q 00=πε−πε=ϕ（导板及无穷远处）S 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布虚设电荷的图1.7.1 平面导体的镜像（S 为包围q 的闭合面）∫=⋅sqd S D 镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。
例1.7.1（方向指向地面）+=E E E +2122/图172点电荷⎦⎣0x h )(图1.7.2 点电荷在地面引起的感应电荷的分布q2. 设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法
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根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
0
1 2
d 22 dy2
Kn2
1
2
d 22
dy2
Kn2
0
Kn2 0
Kn2 0
(6 )
(7 )
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 (x)2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
X'' Y'' Z'' 0 XYZ
X ''1X 0 Y ''2Y 0
•有 二 个 独 立 的 本 征 值 。 边 界条件可分解为：
Z ''3Z 0 1 2 3 0
X(0)=X(a)=0 Y(0)=Y(b)=0
•利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。
X ' '1 X 0
X (0) X (a) 0
• 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；
• 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； • 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。
直角坐标系中的拉普拉斯方程 :
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
Y ' '2Y 0
Y (0) Y (b) 0
•是待定常数，要解出使方程有非零解的值和此 非零解X(x)。
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
0
1 2
d 22 dy2
Kn2
1
2
d 22
dy2
Kn2
0
Kn2 0
Kn2 0
(6 )
(7 )
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 (x)2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
X'' Y'' Z'' 0 XYZ
X ''1X 0 Y ''2Y 0
•有 二 个 独 立 的 本 征 值 。 边 界条件可分解为：
Z ''3Z 0 1 2 3 0
X(0)=X(a)=0 Y(0)=Y(b)=0
•利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。
X ' '1 X 0
X (0) X (a) 0
• 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；
• 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； • 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。
直角坐标系中的拉普拉斯方程 :
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
Y ' '2Y 0
Y (0) Y (b) 0
•是待定常数，要解出使方程有非零解的值和此 非零解X(x)。
静态场边值问题的解法.ppt
R
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
静态场中的边值问题
方程（4-47）的通解为
(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
该式的系数由问题的边界条件确定。
勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
(
)
0
（4-27）
f
r (r)
r
r
f (r) r
2
0
1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
如果所讨论的空间包含从0→2，因为 必须是单值 的，即，
（4-30） （4-31）
1.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) C0 ln r D0
2.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) Cnr n Dnr n
（4-32）
圆柱坐标中二维场的的通解
由于
(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
(2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
(3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）
(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
该式的系数由问题的边界条件确定。
勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
(
)
0
（4-27）
f
r (r)
r
r
f (r) r
2
0
1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
如果所讨论的空间包含从0→2，因为 必须是单值 的，即，
（4-30） （4-31）
1.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) C0 ln r D0
2.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) Cnr n Dnr n
（4-32）
圆柱坐标中二维场的的通解
由于
(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
(2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
(3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）
静态电磁场边值问题
2 2
49
确定分离变量： 边界y = 0：x = 0与x = a处电位均为零，即沿x方向为周 期性边界条件，因此kx为实数，ky为虚数 kx = k
k y = jk
50
常微分方程的解：
X (x ) = a1 cos kx + a2 sin kx Y ( y ) = b1chky + b2 shky
34
等效电荷密度：
′ = ε1 ε 2 ρ ρ ε1 + ε 2
″ = ε 2 ε1 ρ ρ ε1 + ε 2
由ρ、ρ'、ρ"直接求解电场与电位
35
分离变量法
概述
分离变量法是求解数学物理方程最广泛的解析方 法之一； 分离变量法将待求的多变量函数表示为若干单变 量函数的乘积，从而将求解偏微分方程转化为求 解常微分方程； 应用分离变量法时，通常将边界面与某一坐标面 相重合，或分段重合，使坐标变量成为单变量函 数的自变量
52
由边界条件(1)、(2)可得a1 = 0，b1 = 0
(x, y ) = a2b2 sin kxshky = A sin kxshky
由边界条件(3)
(a, y ) = A sin kashky = 0
sin ka = 0
k= mπ a m = 1,2,
53
电位：
mπ (x, y ) = A sin a mπ x sh y a m = 1,2,
28
镜像法（介质二）：
q的位置再放置点电荷q″； 移去分界面； 同一介质（介质二）； q与q"共同产生电场与电位 q"的值待定 q+q" h r3
ε2 ε2
29
求解：
49
确定分离变量： 边界y = 0：x = 0与x = a处电位均为零，即沿x方向为周 期性边界条件，因此kx为实数，ky为虚数 kx = k
k y = jk
50
常微分方程的解：
X (x ) = a1 cos kx + a2 sin kx Y ( y ) = b1chky + b2 shky
34
等效电荷密度：
′ = ε1 ε 2 ρ ρ ε1 + ε 2
″ = ε 2 ε1 ρ ρ ε1 + ε 2
由ρ、ρ'、ρ"直接求解电场与电位
35
分离变量法
概述
分离变量法是求解数学物理方程最广泛的解析方 法之一； 分离变量法将待求的多变量函数表示为若干单变 量函数的乘积，从而将求解偏微分方程转化为求 解常微分方程； 应用分离变量法时，通常将边界面与某一坐标面 相重合，或分段重合，使坐标变量成为单变量函 数的自变量
52
由边界条件(1)、(2)可得a1 = 0，b1 = 0
(x, y ) = a2b2 sin kxshky = A sin kxshky
由边界条件(3)
(a, y ) = A sin kashky = 0
sin ka = 0
k= mπ a m = 1,2,
53
电位：
mπ (x, y ) = A sin a mπ x sh y a m = 1,2,
28
镜像法（介质二）：
q的位置再放置点电荷q″； 移去分界面； 同一介质（介质二）； q与q"共同产生电场与电位 q"的值待定 q+q" h r3
ε2 ε2
29
求解：
第4章 静态场边致问题的解法_20091203
根据给定边界条件对边值问题分类：
第一类边值问题： 已知电位函数在全部边界面上的分布值
S f
n f
S
狄里赫利问题（Dirichlet）
第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法向导数值 诺埃曼问题 （Neumann）
第三类边值问题：已知一部分边界面上的电位函数值,和另一 部分边界面上电位函数的法向导数．
2 0
φ(0, y) = 0 φ(a, y) = 0 φ(x, 0) = 0 φ(x, b) = U(x)
b b
0( x) U
0
0 0
0 x
0 U
0 0
a a
x
由于在X方向上有重复零点（x＝0和a点），因此电位函 数为三角函数，即：kx 2 0 且 k y 2 0 通解： f ( x) A1 sin kx x A2 cos kx x 待定常数： ① 当 x0 时 (0, y) f (0) g ( y) 0
(2)
kx j x 其中 x为实数
d2 f 2 k x f ( x) 0 dx2
通解： 或者
f ( x) Aekx x A2ekx x 1
(3)
双曲函数
f ( x) A1sh x x A2ch x x
同理可以求得 g ( y ) 和 h( z )
利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。
x n x n b u0 sin Dn sin s h a n1 a a
b s h a U0 x b ( x, y ) sin s h b a a s h a
第4章静态电磁场边值问题的解法精品PPT课件
圆心坐标 (x0,y0)(K K 2 2 1 1b,0) 圆半径 RK 2b 2 1 K
当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。且每个圆的
半径R，圆心位置 x 0 和电轴位置b 之间满足
R 2 b 2 (K 2 b 2 1 K )2 b 2 (K K 2 2 1 1 b )2 x 0 2
将两根线电荷看成两根电轴，并用来求解平行双导 线系统的方法，称为电轴法。
1. 静电场
2
0
/
E1t
D1n
E 2t D2n
0
s
1 2
1
1
n
2
2
n
0s
2. 恒流电场
2 0
E1t E 2t
J
1n
J 2n
1 1
2 1
n
2
2
n
3. 恒流磁场
➢ 标量磁位
2m 0
H 1t B1n
H 2t B2n
m1 m2
1
m1
n
2
m2
n
➢ 矢量磁位
2
A
0
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位 函数的解。
一. 直角坐标系中的分离变量法
直角坐标系中的拉普拉斯方程：
22x2 y22 2z2 0
设其解为： (x ,y ,z ) X (x ) Y (y )Z (z )
只要虚设电荷和求解区域内实际电荷的共同作用产 生的电场能满足给定的边界条件，则根据唯一性定理， 这种代替是正确有效的。一般虚设电荷处于镜像位置， 故称镜像法。
一.无限大导体平面的镜像法
0 （导板及无穷远处）
P4qr4qr0
（导板及无穷远处）
空间任一点Q点电位为：
第四章静态场边值问题的解法精品PPT课件
nx
a
sinh
ny
a
U
sinh b
sin
x
a
sinh
y
a
a
16
当然也可以用三角函数的正交归一性进行处理，
第四章 静态场边值问题的解法
直角坐标中的分离变量法 镜像法 有限差分法
1
第三章我们已经知道，在边界条件已知的情况下（三类边
界条件：,,与 拉普拉斯方程 2＝0 有唯一解。
n n
求解边值问题，有两大类：一类是解析法，可以得到精确 解，其中分离变量法是最基本的解法； 另一类是数值法，如时域有限差
分法（FDTD），有限元（FEM），矩量法（MOM）等只 能得到近似解，但随着计算技术的进步，该方法优势十分 明显，因为其简单方便。
右边s
in
my在 b
b 0
d
y上积分＝ b 0 n1
Cn
sinhnasin
b
nbysin
my
b
dy
＝0bCn
sinhnasin2
b
nyd
b
y
b
0 Cn
sinhna1c
b
os2ny
b 2
dy
b 2Cn
sinhna
b
从而
b 2
C
n
sinh
na
b
2U 0b
n 2
sin
n
2
Cn
n
b
考虑到在 x 方向是有限区域，且0,y0
取
Xn
si
nhn
b
x，这是因为
选f A1sinh(xx)A2coshx(x)
当x0, f A10A2121A2 0
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Qபைடு நூலகம்
1 2 Q 1 2 2 1 Q 1 2
Q Q
线电荷情况类似。 5 其它情况下的镜像法：1）两圆柱或一圆柱一平面。2）球。3）多层介质。 6 镜像法的其它应用：1）地网与小尺寸手机天线。2）复镜像方大纲教授、杨建军硕博。
1
§4.4 分离变量法 1 前面讲了一个自变量情况下如何求解泊松方程或拉普拉斯方程， 数学上就是常微分方程求 解问题。如果有两个或两个以上的自变量，该如何求解泊松方程或拉普拉斯方程。这在数学 上就是偏微分方程的求解问题。 一种方法是把两个或几个自变量分开后分别单独求解， 然后 再组合出总的解。这就是分离变量法。数学上就是把偏微分方程转换为常微分方程求解。 2 学习方法是由具体例子归纳一般步骤和规律。 3 两个自变量、直角坐标系例子（教科书 105 页例 4.4.1） 4 几点解释：1）各个坐标（自变量）函数之间关系由 k 决定，必须满足
2
2
lim r 有限值
r
§4.1 静态电磁场的方程与边界条件（参考教科书 90 页的列表） §4.2 静态电磁场的唯一性定理（略） §4.3 镜像法 1 镜像法的实质：用镜像电荷（或源）代替边界，使边界上的未知函数（电位/电场/磁位/ 磁场）值，或其法向导数值保持不变，即边界条件不变。也可以理解为电力线或磁力线在求 解的区域保持不变。 2 所以镜像源一定在求解区域的外边。源附近场强无限大，不可能是真实解，故镜像源一定 不能在求解区域里。 3 无限大导电平面：1）点电荷。2）线电荷。3）线天线：水平，抵消成偶极子。垂直：加 强一倍。 4 无限大介质平面：两个区域对应着两个镜像，每个区域的镜像电荷在区域外(参考教科书 101 页图 4.3.13)：
第四章 静态电磁场边值问题的解法
1 前面我们求解电场或磁场问题大都采用直接积分或用高斯定律、 安培定律。 这些方法不是 一般的方法，使用时受限制较多，如必须先知道源的分布、或要有对称性等等。一般的方法 是求解电位或磁位的泊松方程、拉普拉斯方程（微分方程） 。到硕士生学习阶段，还要学习 积分方程，这也是一般方法。 2 为什么要计算电磁场，它的作用。1）软件的价格，2）测井 3）成像 4）集成电路设计 5） 电磁兼容，上海 Intel，6）电机设计 3 用微分方程求解一个电磁场问题， 必须知道方程本身以及边界条件， 两者构成一个定解问 题（边值问题） 。一个电磁场边值问题的解是唯一的（即§4.2 静态电磁场的唯一性定理， 后面不再讲） 4 根据边界条件形式的不同，边值问题可以分为三类： 1） 第一类边值问题（狄里赫利问题）给定未知函数在边界上的函数值。 2） 第二类边值问题（诺伊曼问题）给定未知函数在边界上的法向导数值。 3） 第三类边值问题（混合问题）在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的函数值， 在其它边界上给定未知函数在这部分边界上的法向导数值；或者给定边界上未知函数 与其法向导数值的线性组合。 5 如果求解区域里有多种媒质， 边界条件还必须包括前面学过的电场和磁场的不同媒质边界 上的边界条件。 6 如果求解区域伸展到无穷远，必须包括无穷远条件。对电位或磁位，有
2 k x2 k y k z2 0
2）傅立叶级数的意义：级数的每一项都是一个可能存在的解（某个其它问题的解） 。但在这 个具体情况下，这些解的叠加才是这个问题的解。 5 一般步骤：1）分离变量，得到形式上的一般解， 2）根据边界条件的类型，选择特定形式的一般解，即决定每个自变量（坐标）对应的 k i 的 正负、每个自变量对应的解是三角函数、双曲函数、指数函数（衰减函数） ： 选择三角函数； 坐标对应的边界条件是非周期性或 坐标对应的边界条件周期性或两边相等， 两边不相等，选择双曲函数；若坐标对应的是无限区域，选择指数函数。 4） 根据边界条件确定积分常数。有时可能需要傅立叶级数。 6 其它坐标系情况： 坐标系不同只是一般解的形式不同 （如圆柱坐标系径向坐标对应的一般 解是贝塞尔（Bessel）函数） ，其它都一样。 7 分离变量法适用条件：1）边界面与坐标面平行，2）对应的坐标系可分离变量，目前只有 11 种坐标系可分离变量。椭圆柱、双曲柱等等。