b6由递推公式求数列通项中的数学思想
由递推关系求数列的通项公式的几种策略
递推关系是一个数列的一种形式，它描述的是每一项的值是上一项的值的函数。
当一
个数列的递推关系被给出时，一般情况下，我们可以使用几种策略来求该数列的通项公式。
首先，我们可以使用“递推法”来求数列的通项公式。
也就是说，根据给定的递推关系，我们可以从第一项开始，一步步推导出后续项，最终求出该数列的通项公式。
这种方法适
用于简单的递推关系，但是当递推关系变得复杂时，这种方法就不适用了。
其次，我们可以使用“变量替换法”来求数列的通项公式。
这种方法是先把递推关系式
中的变量替换成一个新的变量，比如$x$，然后将递推关系式化为一个多项式，最后求出
该多项式的通项公式。
这种方法适用于复杂的递推关系，但是它可能在求解过程中出现不可解的情况。
最后，我们可以使用“数学归纳法”来求数列的通项公式。
这种方法是从第一项开始，
通过数学归纳法，逐步证明每一项与前面项满足递推关系，最终求出数列的通项公式。
这
种方法适用于简单的递推关系，但是当递推关系变得复杂时，这种方法也可能不适用。
总之，当一个数列的递推关系被给出时，我们可以使用“递推法”、“变量替换法”和“数
学归纳法”等几种策略来求该数列的通项公式。
然而，这几种策略并不总是适用，我们还
需要根据实际情况选择合适的策略。
数列递推公式求通项公式的方法
数列递推公式求通项公式的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
而数列递推公式是指通过前一项或几项的数值，推导出数列中后一项的数值的公式。
而求解数列通项公式，即通过已知的数列的部分项求得数列的通项公式的方法，可以分为以下几种：1.列表法：通过列出数列的前几项进行观察和总结，找到数列的规律，从而推导出数列的通项公式。
这种方法常用于找出简单数列的通项公式，如等差数列和等比数列。
2.递推法：利用数列递推的性质，通过对数列进行递推推导出通项公式。
递推法常用于复杂的数列，需要将数列的前几项与后几项进行比较，找到规律并推导出通项公式。
3.数学归纳法：数学归纳法是一种利用已知的数学命题，在该命题的基础上证明该命题对任意自然数（或整数）都成立的方法。
对于数列来说，可以利用已知的数列部分项的性质，通过数学归纳法证明该数列的通项公式的正确性。
4.差分法：差分法是一种通过对数列进行差分操作，将数列变为新的数列，新数列有可能是个数列递推公式/规律更简单的数列。
然后，根据新数列的通项公式，再通过反差分操作推导出原数列的通项公式。
差分法常用于较为复杂的数列，特别适合于数列中的递推关系较为难以发现的情况。
5.比率法：比率法是一种通过比较数列的相邻项之间的比率或比值的变化规律，推导出数列的通项公式的方法。
比率法常用于等比数列或存在比率规律的数列。
需要注意的是，求解数列通项公式并不是一种机械性的计算过程，而是需要灵活运用数学知识、观察和总结数列的规律，并进行推理和证明的过程。
在实际应用中，也可能需要结合上述多种方法进行综合分析来求解数列的通项公式。
数列的递推公式与通项公式知识点总结
数列的递推公式与通项公式知识点总结数列是数学中常见的概念，它指的是按照一定规律排列的一系列数字。
而数列的递推公式与通项公式是研究数列的重要工具。
本文将对数列的递推公式与通项公式进行知识点总结，并探讨其应用。
一、数列的递推公式数列的递推公式，又称为递归公式，是一种用前一项或前几项表示后一项的规律。
递推公式能够方便地求解数列中任意一项的值，同时也能够帮助我们寻找数列的规律。
1.1 等差数列的递推公式等差数列是最简单且常见的一种数列，它的每一项与前一项之差都是一个常数d，称为公差。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式可以表示为：an = an-1 + d，其中n为项数，n>1。
例如，首项为3，公差为2的等差数列的递推公式为：an = an-1 + 2。
1.2 等比数列的递推公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都是一个常数q，称为公比。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的递推公式可以表示为：an = an-1 * q，其中n为项数，n>1。
例如，首项为2，公比为3的等比数列的递推公式为：an = an-1 * 3。
二、数列的通项公式数列的通项公式是一种用项数n表示第n项的公式。
通项公式能够直接求解数列中任意一项的值，不需要通过递推公式逐项计算。
通项公式的推导需要对数列的规律进行观察和总结。
2.1 等差数列的通项公式对于等差数列，它的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1) * d，其中n为项数。
例如，首项为3，公差为2的等差数列的通项公式为：an = 3 + (n-1) * 2。
2.2 等比数列的通项公式对于等比数列，它的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中n为项数。
例如，首项为2，公比为3的等比数列的通项公式为：an = 2 * 3^(n-1)。
三、递推公式与通项公式的应用递推公式和通项公式在数列相关问题中有广泛的应用，它们能够帮助我们求解数列中任意一项的值，推导数列的规律以及解决实际问题。
由数列的递推公式求通项公式课件
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
利用递推关系式求数列的通项公式(有答案绝对好精品)
利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1,3,7,15,31,………2、2,6,12,20,30,………3、21212,1,,,,3253………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0……… ◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.②已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。
◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
也可以猜想出规律，然后正面证明。
例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列*),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…（1） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。
（2） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。
数列的通项公式与递推公式
数列的通项公式与递推公式数列是数学中的重要概念，在各个领域中都有广泛的应用。
数列由一系列有序的数字组成，可以通过通项公式和递推公式来进行描述和计算。
本文将着重介绍数列的通项公式和递推公式，并探讨它们在数学中的应用。
一、数列的概念和表示方法数列是按照一定顺序排列的一系列数字的集合。
数列中的每个数字称为数列的项，数列的第一个数字称为首项，数列的最后一个数字称为末项。
数列可以用一般项表示为{a₁，a₂，a₃，…}，其中a₁表示数列的首项，a₂表示数列的第二项，以此类推。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个整数n，可以直接求得数列的第n项的公式。
数列的通项公式的形式可以根据数列的性质来确定。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中后一项与前一项之差都相等的数列。
如果等差为d，首项为a₁，则等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中后一项与前一项之比都相等的数列。
如果公比为q，首项为a₁，则等比数列的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为an = (φ^n - (1-φ)^n) / √5，其中φ=(1+√5)/2。
三、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前面的项来求解下一项的公式。
递推公式可以帮助我们从已知的项推导出其他的项。
1.等差数列的递推公式对于等差数列an，其递推公式为an = an-1 + d，其中an-1表示数列的前一项，d为等差。
2.等比数列的递推公式对于等比数列an，其递推公式为an = an-1 * q，其中an-1表示数列的前一项，q为公比。
3.斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中an-1和an-2分别表示数列的前两项。
四、数列的应用数列的通项公式和递推公式在数学中有着广泛的应用。
关于巧用数学思想妙解数列问题
关于巧用数学思想妙解数列问题数列是数学中非常重要的概念，数学中的数列问题也是如此，数学思想在解决数列问题中扮演着重要的角色。
这篇文章将主要讨论数学思想在解决数列问题中的妙用。
一、巧用数学公式数学公式在解决数列问题中是不可缺少的。
我们可以应用数学公式计算数列的通项公式，推导递推公式等等。
例如，对于一些等差数列，可以利用公式“通项公式=首项+（项数-1）×公差”来计算通项公式。
例如：对于等差数列{1，3，5，7，9…}，我们可以先找到公差d是2，而首项为1。
使用公式，通项公式 = 1 + (n-1)×2。
其中n是项数。
这样我们就可以计算出通项公式是2n-1。
又例如，对于一些等比数列，可以利用公式“通项公式=首项×公比的（项数-1）”来计算通项公式。
例如：对于等比数列{2，6，18，54…}，我们可以先找到公比r是3，而首项为2。
使用公式，通项公式= 2 × 3^(n-1) 。
其中n是项数。
这样我们可以计算出通项公式是2×3^(n-1)。
二、逆向思维当我们遇到一个数列问题时，可以采用逆向思维（倒练思维）的方法来得到答案。
特别是在数列中，当我们有固定的项数时，推导问题通常较为困难。
因此，在这种情况下倒着推导往往会更加容易，例如以下两个问题。
例1：有一个等差数列，前5项和为15，前10项和为55，求这个数列的公差和首项值。
我们通常可以想到使用代数运算来解决这个问题。
但也可以逆向推导，从后往前找到答案。
因为前5项和为15，相当于中间一项的数等于3，而前10项和为55，相当于中间一项的数等于6。
因此，公差就是3，而首项就是-7。
例2：在以下数列中，找到第21项的值：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...我们可以尝试使用代数公式来解决这个问题，但其实我们可以倒着推，从第21项开始向前推导。
我们知道第20项是13，因此我们可以得出第19项是8；第18项是5；第17项是3；第16项是2；第15项是1；第14项是1；第13项是0。
数列的递推公式与通项公式的关系
数列的递推公式与通项公式的关系随着数学学科的日益深入和发展，数列递推公式及通项公式的研究也成为了数学学术研究的重要内容。
数列作为一种独特的数学对象，其递推公式和通项公式的研究不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以引领我们更深入地探究数学奥秘。
本文便从数列递推公式与通项公式的关系入手，探讨这两类公式之间的联系和联系背后的数学原理。
一. 数列递推公式的定义和作用数列递推公式，简单来说就是通过已知的数列中前n项的值来推导出数列中第n+1项的值的公式。
数列递推公式的定义可以用下述的数列来阐述：$a_1=1, a_2=2$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ 可以得到：$a_3=a_2+a_1=3,a_4=a_3+a_2=5,a_5=a_4+a_3=8......$由此可见，数列递推公式是通过前n项数据计算出数列中第n+1项数据的算法。
而在实际应用中，数列递推公式有着广泛的应用。
例如在自然科学、金融管理、统计学等多个领域都有着重要的地位。
例如Fibonacci数列，卡特兰数列都是具有重要的数学意义的递推数列，它们在自然界和金融市场上也有着重要的应用。
二. 数列通项公式的定义和作用到了数列的通项公式部分，通项公式是根据前n项数据，导出数列中第n项数据的公式、表达式。
用经典的等差数列来讲解，$a_n=a_1+(n-1)d$ （n为项数，$a_1$ 为首项，d为公差）从递推公式到通项公式的计算，通常可以利用数学归纳法来推导。
通项公式具有简明利于计算的特点，而且通项公式也可以应用到更广泛的领域之中。
例如生态学、计算机科学等等领域中，通项公式都扮演者重要的角色。
三. 数列递推公式与通项公式的关系数列递推公式和通项公式，其实是一种递进关系。
对于一个递推公式来说，通项公式就是其实际存在的根据。
通项公式是在递推公式的基础上发展而来的。
在实际的运用中，我们通常使用通项公式的方式来计算数列中的各个项的数值。
在此，我们可以举一个简单的例子来说明两者的关系。
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2004
一．引入问题： 已知数列 {a n} 满足 a1=1, 且 an+1 = 3an +1, 求 an。
1
2
3
n-1
分析一： 归纳法。 由递推公式， 可求出 a2=4，a3=13，a4=40。则 a2-a 1=3=3 ，a3-a 2=9=3 ，a4-a 3=27=3 。由此猜测： an-a n-1 =3
f(n) 不
同而已，依照上法，可以轻松求解。
（ 4）运用类比推理的思想方法，把例 3 与例 1 的形式进行比较后可看出类似之处，从而在方法上类同。
五．引入问题——基本题型的归纳
q
q
对递推式为 an+1=pan+q（p、q 为常数）时，可构造新数列 a + n+1
=p(a n+
) 。其证明的简略过程如下： 由 an+1=pan +q，
（可用数学归纳法证明）
，所以
an-1 -a
=3n-2
n-2
，
an-2
-a
=3n-3
n-3
,,
，
a4-a 3=33 ， a3-a 2=32， a2-a 1=31，把上式子累加，得，
an-a 1 =31+32+33+,,
+3n-1 =，得
3n
an=
1。
2
分析二：构造法。由
an+1 = 3an +1，得
1
。显然，可把等和数列理解为 an+1+an=d 形式，即摆动数列。
2
例 3. 已知数列 {a n} 中， a1=1，对任意自然数 n 都有 an)
分析：由已知， an an 1
2
， an 1 an 2
2 ，,, ，
n(n 1)
(n 1)n
a3 a2
版权所有 仅供参考
本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！ ！
本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！ ！
由递推公式求数列通项中的数学思想
成都市玉林中学 周先华 递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。在近几年高考题目中均有此类题，特别是 年全国及各省市地方命题中以较大分值出现；而且数列是初等数学与高等数学的衔接点之一。另一个面，数学思想方法 的考查在高考中逐年加大了它的份量。学习数学的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创 造的本领，而这种能力，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养上。因此，研究由递 推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。
二．基本概念：
递推公式：如果已知数列的首项（或前几项） ，而且数列的任一项 an 与它的前一项（或前几项）之间的关系可用公
式的形式，这个公式叫递推公式。
三．题型 1
例 1. 已知数列 {a n} 满足 a1=1, 而且 an+1=an+1，求 an。
例 2. 已知 {a n} 满足 a1=1, 且 a = n+1 3an ，求 an。
分析：例 1 中，由已知条件得 an+1-a n=1，即 {a n} 为等差数列；例 2 中，得 an 1 =3，即 {a n} 为等比数列。 an
点评：（ 1）例 1 由引入问题中 3 变为 1 ；例 2 由引入问题中的 1 变为 0；
（ 2）递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d,q 为常数）时，可直接转化为等差数列或等比数列从而求解。
2 ，累加，得
34
23
1
1
1
1
an-a 1 =2
...
n(n 1) ( n 1)n (n 2)(n 1)
23
=2 1 1 。 2 n1
点评：（1）例 3 由例 1 中的常数项 1 变为 f(n) 而得来；
（ 2）递推式为 an+1=an+f(n) ，只要 f(1)+f(2)+ ,, +f(n-1) 是可求的，可用累加法求出。
p1
p1
q
令 an+1+x =p(a n+x) ，化简，得 an+1=pan+px-x ，因此 px-x=q ，即 x=
。得证。
p1
例 4：已知数列 {a n} 中， a1=1， an 1
an ，求 an。 an 3
分析：把两边取倒数，可得
1
1
1
3
1 。令 bn
，则 bn+1=3bn+1，即引入问题，按上法可求解。
an+1 +
1
=3（ an+
），即数列
1
{a n+
} 为一个公比为
3 的等比数列，则
2
2
2
1
an+ =(1+
1 ) · 3n-1 =
3n
1。
2
2
2
分析三：迭代法。 an=3an-1 +1=3(3a n-2 +1)+1=3 2an-2 +3 1+1=, =3n-1 a1+3n-2
1+3n-3
1 +,
+3
c
②若 d， c ≠ 0, 且 bc≠ ad，令 an= b n+t(t 为待定系数 ) 转化为情形①。 例 5. 设数列 {a n} ：a1=1, 且 4an+1-a nan+1+2an=9。求通项 an.
3n
1+1=
1
2
点评：（ 1）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律
的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；
（ 2）分析二中构造出新数列，由新数列求出
an 的通项；
（ 3）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。
本文将由此例题展开，对它进行各种变形，力求归纳出由递推公式求通项公式的方法。
an 1
an
an
点评：（ 1）转换问题，化成基本型后求解（运用反思维定势定势方法中的转移思维方法）
（ 2）对分式型递推数列可归纳如下：设
a1=a， an 1
can
d (a
0)
aan b
①若 d=0，则上式变形为 1
b1 a
1
b
a
，令 bn
, 则 bn 1
bn
, 即基本型。
an 1 c an c
an
c
（ 3）今年安徽题中也有这样一题：已知数列
{a n} 中 a1=1，且 a2k=a2k-1 +(-1) k，a2k+1=a2k+3k，其中 k=1,2,3 ,, （ 1）求
a3，a5（ 2）求数列 {a n} 的通项公式。这是一个 an+1=an+f(n) 型的函数，只不过偶数项减奇数项与奇数项减偶数项的
（ 3）今年北京考题中有这样一题：定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常
数，那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做此数列的公和； 已知数列 {a n} 满足 a1=2，公和为 5，那么 a18的值为
；1知识改变命运 提升自我这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 四．题型 2