沙漏模型(1)
几何第25讲_沙漏模型(学生版)A4
相似三角形模型，就是形状相同，大小不同的三角形．沙漏模型是特殊的相似三角形． 1．AD AE DE AFAB AC BC AG===（对应线段之比等于相似比） 2．22::ADEABCS SAF AG =（面积比等于相似比的平方）重难点：寻找平行线，进而找到沙漏模型，利用沙漏模型解决线段比例关系或图形的面积比例关系．题模一：简单沙漏模型例1.1.1如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，AB :DC =3:2，则DO :OB =__________．例1.1.2如图所示，AC 与BD 平行，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知2AO =，4OB =，3OC =，则△OBD 的面积是△AOC 面积的__________倍．例1.1.3如图，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点O ，AD 长12厘米，BC 长20厘米，BO 比OD 长4厘米，那么BD 长__________厘米．几何第25讲_沙漏模型F GACBDE沙漏模型 A BCDOA DOB C题模二：梯形沙漏例1.2.1如图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?例1.2.2梯形ABCD的面积是100，上底和下底的比是2:3，那么三角形ABO的面积是多少？A BOD C例1.2.3如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC、BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是____________平方厘米．题模三：构造沙漏例1.3.1如图所示，已知长方形ABCD中，△FDC的面积为4，△FDE的面积为2，则阴影四边形AEFB的面积为多少？例1.3.2如图，已知平行四边形ABCD 的面积为72，E 点是BC 上靠近B 点的三等分点，则图中阴影部分的面积为____________．例1.3.3如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块．已知其中3块面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为__________平方厘米．例 1.3.4如图所示，图中的两个正方形的边长分别是6和4，那么阴影部分的面积是__________．例1.3.5如图所示，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的三等分点．△AOD 的面积为_________．FA BDC E42ABCODEABC DEFO258?A HG FE D CB例1.3.6如图，平行四边形ABCD 的面积是12，13DE AD =，AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是__________．例 1.3.7已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是___________平方厘米．例1.3.8如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？例1.3.9如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．例1.3.10如图，正方形ABCD 和正方形CGEF ，AG 交CF 于点H ，且CF =3CH ，△CHG 的面积是6，求正方形ABCD 的面积．OEAB C DH G FEDCBAAOEDC B随练1.1如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，AB :DC =2:1，则DO :OB =____________．随练1.2如图所示，AB 与CD 平行．已知:3:4AB CD =，6AO =，那么OC =__________．随练1.3如图，梯形ABCD 中，:2:5AB CD =．已知△COD 的面积是5，那么梯形的面积是多少？随练1.4如图，22S =，34S =，则梯形的面积为________．随练1.5如图所示，正方形ABCD 的面积是1，M 是AB 边的中点，则图中阴影部分的面积为__________．S 4S 3S 2S 1ABCDOA ODC BAODC B随练1.6如图所示，梯形ABCD 的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是_________．随练1.7如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？作业1如图，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知4AO =，3CO =，5AC =，15BD =．求△BOD 的面积．作业2如图，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点O ，AD 长9厘米，BC 长15厘米，BO 比OD 长4厘米，那么BD 长__________厘米．A HG FED C BAODCB ADB CO作业3如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，DO 长4厘米，OB 长10厘米，AO 长15厘米，那么OC 长__________厘米．作业4如图，梯形ABCD 中，DC 平行AB ，且AB :DC =2:1，请问图中4块小三角形的面积比，即S 1:S 2:S 3:S 4是__________．作业5梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，则三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比为________．作业6如图，在梯形ABCD 中，三角形BCO 的面积是18平方厘米，三角形OCD 的面积是12平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是__________平方厘米．作业7图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，则阴影部分的面积为作业8下图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米．OAB CD A BCDOABCDO S 1 S 2S 3S 4ADB CO作业9如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．作业10如图所示，图中的两个正方形的边长分别是8和4，那么阴影部分的面积是__________．HFE CDG BA。
【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第五讲 沙漏模型 通用版(含答案)
沙漏模型及平行线分线段成比例定理
一、沙漏模型
两条线段相交且有一组边平行的图形称为沙漏模型（平行相似），如图所示：
A
性质1
. （通过三角形相似可证）
性质2
.
性质3
. 证明：过点D 作CA 的平行线交BA 的延长线于点G ，过点O 作AB 的平行线交DG 于点H ，如图所示：
四边形DGAC 是平行四边形
，
二、平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段成比例.
如图所示，直线AC、FD被AF、BE、CD
所截，则
证明：连接AE、BF、CE、BD，如图所示：
练习题
1. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，面积为72，点E、F分别为边AB、BC的中点，
求图中阴影部分的面积？
B
2. 如图所示，四边形ABCD为正方形且面积为1
，点E、F分别为AB、BD的中点, ，
求阴影部分面积？
E
3. 如图所示，正方形ABCD的面积为120，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF 的面积是多少？
E
参考答案1. 【解答】48
【解析】由沙漏模型可得M、N是
AC的三等分点，
2. 【解答】
【解析】过点F作FH⊥BC垂足为H，过点G作GI⊥BC垂足为I，如图所示：
E
由沙漏模型可得
，
又
，
，
.
3. 【解答】14
【解析】延长CE 交DA 的延长线于点M ，如图所示：。
几何第25讲_沙漏模型(学生版)A4
相似三角形模型，就是形状相同，大小不同的三角形．沙漏模型是特殊的相似三角形． 1．AD AE DE AFAB AC BC AG===（对应线段之比等于相似比）2．22::ADEABCS SAF AG =（面积比等于相似比的平方）重难点：寻找平行线，进而找到沙漏模型，利用沙漏模型解决线段比例关系或图形的面积比例关系．几何第25讲_沙漏模型F GACBDE沙漏模型题模一：简单沙漏模型例1.1.1如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，AB :DC =3:2，则DO :OB =__________．例1.1.2如图所示，AC 与BD 平行，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知2AO =，4OB =，3OC =，则△OBD 的面积是△AOC 面积的__________倍．例1.1.3如图，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点O ，AD 长12厘米，BC 长20厘米，BO 比OD 长4厘米，那么BD 长__________厘米．题模二：梯形沙漏例1.2.1如图，梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米，下底BC 长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米．则梯形ABCD 的面积为多少平方厘米?例1.2.2梯形ABCD 的面积是100，上底和下底的比是2:3，那么三角形ABO 的面积是多少？A BCDOADB CO例1.2.3如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC 、BD 交于O ，已知△AOB 与△BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是____________平方厘米．题模三：构造沙漏例1.3.1如图所示，已知长方形ABCD 中，△FDC 的面积为4，△FDE 的面积为2，则阴影四边形AEFB 的面积为多少？例1.3.2如图，已知平行四边形ABCD 的面积为72，E 点是BC 上靠近B 点的三等分点，则图中阴影部分的面积为____________．例1.3.3如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块．已知其中3块面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为__________平方厘米．OABDC FA BDC E42ABCODE例 1.3.4如图所示，图中的两个正方形的边长分别是6和4，那么阴影部分的面积是__________．例 1.3.5如图所示，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的三等分点．△AOD 的面积为_________．例1.3.6如图，平行四边形ABCD 的面积是12，13DE AD =，AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是__________．例1.3.7已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是___________平方厘米．OEAB C DABC DEFO258?A HG FE D CB AOEDC B例1.3.8如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？例 1.3.9如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．例1.3.10如图，正方形ABCD 和正方形CGEF ，AG 交CF 于点H ，且CF =3CH ，△CHG 的面积是6，求正方形ABCD 的面积．随练1.1如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，AB :DC =2:1，则DO :OB =____________．随练1.2如图所示，AB 与CD 平行．已知:3:4AB CD =，6AO =，那么OC =__________．H G FEDCBAABCDO随练1.3如图，梯形ABCD中，:2:5AB CD=．已知△COD的面积是5，那么梯形的面积是多少？随练1.4如图，22S=，34S=，则梯形的面积为________．随练1.5如图所示，正方形ABCD的面积是1，M是AB边的中点，则图中阴影部分的面积为__________．随练1.6如图所示，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是_________．随练1.7如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？S4S3S2S1AOD CBAOD CB作业1如图，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知4AO =，3CO =，5AC =，15BD =．求△BOD 的面积．作业2如图，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点O ，AD 长9厘米，BC 长15厘米，BO 比OD 长4厘米，那么BD 长__________厘米．作业3如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，DO 长4厘米，OB 长10厘米，AO 长15厘米，那么OC 长__________厘米．A HG FED C BAODCB ADB COA BCDO作业4如图，梯形ABCD 中，DC 平行AB ，且AB :DC =2:1，请问图中4块小三角形的面积比，即S 1:S 2:S 3:S 4是__________．作业5梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，则三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比为________．作业6如图，在梯形ABCD 中，三角形BCO 的面积是18平方厘米，三角形OCD 的面积是12平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是__________平方厘米．作业7图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，则阴影部分的面积为____________．作业8下图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米．O ABCD ABCDO S 1 S 2S 3S 4ADB CO作业9如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．作业10如图所示，图中的两个正方形的边长分别是8和4，那么阴影部分的面积是__________．HFE CDG BA。
金字塔模型与沙漏模型
金字塔模型与沙漏模型①ADAB=AEAC=DEBC=AFAG② S△ADE:S△ABC =AF2:AG2所谓的相似三角形,就就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变她们都相似),与相似三角形相关,常用的性质及定理如下: (1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;(2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方;(3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线长等于她所对应的底边长的一半。
相似三角形对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如果三边分别对应A,B,C与a,b,c:那么:A/a=B/b=C/c,即三边边长对应比例相同。
判定方法定义对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
预备定理平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。
(这就是相似三角形判定的定理,就是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)1判定定理常用的判定定理有以下6条:判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
(简叙为:两角对应相等,两个三角形相似。
)(AA) 判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。
)(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。
(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。
)(SSS)判定定理4:两个三角形三边对应平行,则个两三角形相似。
(简叙为:三边对应平行,两个三角形相似。
)判定定理5:如果一个直角三角形的斜边与一条直角边与另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
(简叙为:斜边与直角边对应成比例,两个直角三角形相似。
)(HL)判定定理6:如果两个三角形全等,那么这两个三角形相似(相似比为1:1)(简叙为:全等三角形相似)。
小学数学奥数专题 沙漏模型 PPT+课后作业 带答案
4
8 18
练习5
如图：在三角形ABC中，MN平行于BC，AM＝2厘米，BM＝3厘米，三角形MNP的面积是 4平方厘米，求三角形BPC的面积。
MN:BC= AM:AB= 2:（2+3）=2:5 S△MNP:S△BPC=4:25 △BPC的面积：4÷4×25=25（平方厘米）
小学几何模型之 沙漏模型
课前引入：相似三角形
（1）认识相似三角形 形状相同，大小相似（三个角对应相等）
∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F
△ABC和△DEF相似
（2）相似三角形的对应线段（对应高，对应边）的比等于相似比
相似比 AB AC BC AM DE DF EF DN
M
N
沙漏模型
如图：三角形AOB和三角形COD组成沙漏模型。 判定方法：①一组平行线，②一组交叉线。
2
2
3
QN:AB=NC:BC=3:（3+2）=3:5
QN的长度：（1+2）÷5×3=59（cm）
FQ的长度：2－ 59= 15（cm）
阴影部分的面积：
1 3
×
1 5
÷
2
=
310（cm2）
总结：金字塔模型中对应边比相同
练习4
如图：正方形BDEF和直角三角形ABC重叠在一起，已知AF:FB＝1:3，BD:DC＝3:4，AC 与EF、ED分别交于点G、H。求三角形EGH与正方形BDEF的面积比。
总结：金字塔模型中三角形面积比等于对应边平方的比
练习3
如图：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行。已知AD＝3厘米，DF＝2厘米，FB＝1 厘米，求三角形ADE、三角形AFG和三角形ABC之间的面积比。
沙漏模型的公式及定理推导
沙漏模型的公式及定理推导沙漏模型，或称为沙漏问题，是数学上的一个经典问题，它涉及到时间的问题以及两个容器之间物质的运动。
本文将从基本公式开始，逐步推导出沙漏模型的定理。
首先，我们定义一个沙漏模型，它由两个等高、相连的圆锥形容器构成。
这两个圆锥形容器的上底和下底的圆面积分别为A1和A2，两底的半径分别为r1和r2，容器的高度为h。
现在，我们考虑在这两个容器之间运动的物质。
假设容器中有一固定量的物质，我们用V表示它的体积。
由于沙漏两底的扁平性，在任意时刻，容器中的物质会形成一个沙漏形状，即物质在两个容器之间形成的界面是一个水平的面积为A的圆环。
这个圆环的半径我们用r表示。
那么，根据圆锥容器的几何关系，我们可以得到以下公式：V=A1*h1+A2*h2其中h1和h2分别表示物质在两个容器中的高度。
根据沙漏的形状，我们可以通过几何关系得到r和h之间的关系：h=h1+h2r1/h1=r/h=r2/h2将r1/h1和r2/h2两个式子分别代入第一个式子得：V=A1*h1+A2*(h-h1)V=A1*h1+A2*(h-r1*h1/r2)进一步化简得到：V=(A2*r1/r2-A2)*h1+A2*h为了推导出沙漏模型的定理，我们需要引入一个前提，即V和A是已知量。
通过观察发现，在V和A不变的情况下，h1和h2之间存在一个最大最小关系。
也就是说，当我们改变h1时，h2会相应地发生变化，而他们的乘积h1*h2是一个常数。
这个常数我们用K来表示。
由此，我们可以得到以下公式：K=h1*h2接下来，我们来证明K的常数性质。
将h2的值代入到K的公式中得：K=h1*(h-h1)对K求导：dK / dh1 = 1 * (h - 2h1)要使得K为常数，即dK / dh1 = 0，我们得到h1的取值：h1=h/2这说明当沙漏呈现对称形状时，容器中的物质分布是处于均衡状态的。
因此，根据以上推导，我们得出沙漏模型的定理：在一个呈沙漏形状的容器中，当物质量V和沙漏截面面积A都是已知量时，物质在容器中的分布会处于一个均衡状态。
沙漏模型的公式及定理推导
沙漏模型原理及公式:
1.沙漏由两个白色的座子和三根透明的柱子搭成,中间是两个水滴形状的透明玻璃罩组成的葫芦。
它的玻璃罩里有许多紫色的沙粒,这些沙粒能通过小孔,从一个玻璃罩流向另一个玻璃罩。
1、沙漏模型公式有两个:
AD/AB=AE/AC=DE/BC=AF/AG;
S△ADE:S△ABC=AF^
2、AG^2。
沙漏如图：
模型特点：
①两条平行线段，端点连线相交于点O，形成上下两个三角形；
②同一直线上两条边的长度比都等于平行两条边的长度比；
③两个三角形的面积比，等于平行两条边的长度平方比。
我们可以把沙漏模型和蝴蝶模型一起记，梯形两条对角线相交，形成上下左右四个三角形。
左右两个三角形面积相等（蝴蝶模型），上下两个三角形的面积比等于梯
形两条平行边的长度平方比。
沙漏模型公式及蝴蝶定理的公式：
如沙漏原理就是说沙漏定理即八字定理，有两个相似三角形组成，△ABC和△XYZ，面积分别为S1和S2，
S1:S2=AB·BC:XY·YZ。
沙漏定理和蝴蝶定理大都是运用于梯形对角线分成四个三角形，沙漏定理通常可以算出上面的三角形与下面三角形的面积比，蝴蝶定理可以算出四个三角形的面积之比。
六年级春第17讲 金字塔、沙漏模型(一) (教师版)
金字塔、沙漏模型（一）知识纵横例 1如图，DE 平行于 BC，且 AD=2 , AB=5 , AE=4 ，求 AC 的长为多少？【答案】10。
【解析】如图，DE 平行于BC ，且AD=3, BD=5, AE=4，求AC 的长为多少？【答案】2103。
【解析】如图，DE 平行于BC ，且AD=2, AB=5 , 三角形ADE 的面积为8，那么三角形ABC 的面积为多少？试一试 1例 2【答案】50。
【解析】如图，在△ABC 中，DE，FG，BC互相平行，且AD=DF=FB ，求 S△ADE :SDFGE:SFBCG的面积比。
【答案】1:3:5。
【解析】试一试 2例 3如下图，已知在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=10 ，BE=4，那么FC的长度是多少？【答案】7.5。
【解析】试一试 3如下图，边长为8 厘米和12 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积。
【答案】45平方厘米。
【解析】如图，已知三角形ABC的面积为1平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点。
求三角形OBC的面积。
【答案】13。
【解析】例 4试一试 4如图，已知DE//BC，AB=5cm ，AD=2cm ，三角形BOC的面积为25cm²，求三角形DOE和三角形COE的面积。
【答案】4、10。
【解析】小练习1、如图，DE平行于BC，且AD=4 ,AB=7,AE=6，求AC的长为多少？【答案】10.5。
【解析】2、如图，DE 平行于 BC，且 AD=5 , AB=11 , 三角形ADE的面积为50 ，那么三角形ABC的面积为多少？【答案】242。
【解析】3、如下图，已知在平行四边形ABCD中，AB=20，AD=15 ，BE=4，那么FC的长度是多少？【答案】12。
【解析】4、如图，已知三角形ABC中，DE平行BC ，若AD:DB=2:3，且梯形DBCE的面积比三角形ADE的面积大8.5平方厘米，求三角形ABC的面积。
第九讲 六年级奥数——沙漏模型(教师版)
第九讲六年级奥数——沙漏模型（教师版）一、知识储备沙漏模型和金字塔模型又称相似模型，这两个模型都是在相似三角形内。
（1）相似三角形就是三角分别相等，形状相同，大小不同的三角形。
（2）相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，且等于他们的相似比。
相似三角形面积的相似比等于他们相似比的平方。
如图，一组平行线AB与CD，与一组相交线AD与BC。
当相交线的焦点O在平行线中间时，构成沙漏模型。
当交点在两条平行线的同一侧时，构成金字塔模型。
沙漏模型金字塔模型AB∶CD＝AO∶OD＝BO∶OCS△AOB∶S△COD=AB2∶CD2蝴蝶模型根据沙漏模型可得，如果AD=a，BC=b，则S1∶S2∶S4∶S3＝a2∶ab∶ab∶b2二、例题讲解1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=16厘米，AD=10厘米，BE=4厘米，那么FC的长度是多少？82、直角三角形ABC 中，AB 平行于DE ，AB=4厘米，BC=6厘米。
又知BE:EC=1：3，求三角形CDE 的面积。
6.753、如图，ABC ∆ 中，DE ，FG ，BC 互相平行，FB DF AD ==， 则FGCB DEGF ADE S S S 四边形四边形::∆=? 1:3:54、如图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中三角形EOF 和三角形GHO 的面积。
16.2EGF A D CB5、如图，DE 平行BC ，若3:2:=DB AD ，那么ECB ADE S S ∆∆:=？ 4:156、如图，梯形ABCD 的面积是36平方厘米，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？ 167、如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知△AOB 与△BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 1443525OABCDAEDCB8、如图，梯形ABCD 中，△AOB 、△COD 的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积。
金字塔模型与沙漏模型
金字塔模型与沙漏模型①ADAB=AEAC=DEBC=AFAG②S△ADE：S△ABC =AF2：AG2所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似)，与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：(1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；(2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方；(3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。
相似三角形对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如果三边分别对应A,B,C和a，b，c：那么：A/a=B/b=C/c，即三边边长对应比例相同。
判定方法定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
预备定理平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）1判定定理常用的判定定理有以下6条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）（SSS）判定定理4：两个三角形三边对应平行，则个两三角形相似。
（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
）判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）（HL）判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
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一、 沙漏模型
1、 2、
3、
二、 梯形中的沙漏模型
1、连结沙漏模型的上下两个顶点，你发现了什么？
2、如果在组成的图形中AB:CD ＝2:3，那么我们能计算
出哪些数量关系呢？
练习：如图所示，在梯形ABCD 中，AB:CD ＝3:4，那么
你能标出梯形各部分的面积比吗？
如果梯形的面积是98，那么你能求出梯形各部分的
面积吗？
三、 例题讲解
例1、如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？ 例2、如图所示，平行四边形ABCD 的面积是90，已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积。
CD
AB ∥。