2021-2022年高二数学下学期第四周周练试题
2021-2022学年北京市第二中学高二下学期数学期末练习试题(解析版)
2021-2022学年北京市第二中学高二下学期数学期末练习试题一、单选题1．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【分析】由双曲线与椭圆共焦点可得双曲线的2c =，双曲线离心率2ce a==，得1a =，3b =，即可求出双曲线的方程.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点由椭圆22184x y +=可得284=4c =-2c ∴=双曲线离心率2ce a==， 2221413a b c a ∴==-=-=，∴双曲线的方程为：2213y x -=故选：C【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线焦点以及双曲线离心率的表示方法，属于基础题. 2．函数 ()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在区间()3,1-上单调递增； ④()y f x =在0x =处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④【答案】C【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥， ∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故③正确；则3-是函数()y f x =的极小值点，故①正确； 在()3,1-上单调递增，∴1-不是函数()y f x =的最小值点，故②不正确；函数()y f x =在0x =处的导数大于0， ∴切线的斜率大于零，故④不正确．故选：C ．3．已知x y ≠，数列x ，1a ，2a ，y 与x ，1b ，2b ，3b ，y 都是等差数列，则2121a ab b --的值是（ ） A ．43B ．34C ．54D ．45【答案】A【分析】根据等差数列的通项公式，分别表示出()213y x a a =+-，()214y x b b =+-，整理即可得答案.【详解】数列x ，1a ，2a ，y 和x ，1b ，2b ，3b ，y 各自都成等差数列，()213y x a a ∴=+-，()214y x b b =+-，()()212134a a b b ∴-=-，212143a ab b -∴=-． 故选:A ．4．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A ．2B ．3C ．115D ．3716【答案】A【详解】直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线．由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F(1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝4065-+＝2．5．若直线2y x b =+是曲线2lnx y a =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是 A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】D【分析】求出函数y ＝2alnx 的导数，设切点为（m ，n ），由条件得到22am=，2m+b ＝2alnm ，即有b ＝2alna ﹣2a （a ＞0），再对b 求导，求出单调区间，极值即为最值，即可得到实数b 的最小值．【详解】y ＝2alnx 的导数为2ay x'=，由于直线y ＝2x+b 是曲线y ＝2alnx 的切线，设切点为（m ，n ），则22am=， ∴m ＝a ，又2m+b ＝2alnm ，∴b ＝2alna ﹣2a （a ＞0），b '＝2（lna+1）﹣2＝2lna ， 当a ＞1时，b '＞0，函数b 递增，当0＜a ＜1时，b '＜0，函数b 递减， ∴a ＝1为极小值点，也为最小值点，∴b 的最小值为2ln1﹣2＝﹣2． 故选D ．【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，属于基础题．6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若3PF FQ =，则点P 到准线l 的距离为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】求出焦点F 的坐标，过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ，由OF PN ∥可得||||1||||4OF FQ PN QP ==，求出||PN ，结合抛物线的定义，即可得解． 【详解】解：由抛物线2:4C y x =，可知(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ， 因为OF PN ∥，所以||||1||||4OF FQ PN QP ==， 所以||4||4PN FO ==，所以点P 到准线l 的距离为415+=． 故选：C ．7．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有 A ．141种 B ．140种 C ．51种 D ．50种【答案】A【详解】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463C C C C C C C +++=141种．故选A ．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．8．若曲线()e x mf x x=+在(,0)-∞上存在垂直y 轴的切线，则实数m 取值范围为 A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(,4]-∞D ．(0,4]【答案】B【详解】试题分析：()2'e 0xmf x x=-= 在(,0)-∞上有解2e x m x ⇒=在(,0)-∞上有解，设()()()22e '2e (0)x xg x x g x x x x =⇒=+< ，令'()02g x x =⇒=- ，当2x <- 时，'()0g x > ，当20x -<< 时，()()()24'002e g x g x g m <⇒<≤-=⇒∈240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选B.【解析】函数的导数及其应用.【方法点晴】本题考查函数的导数及其应用，考查了转化化归思想、分类讨论思想和函数与方程思想，计算量比较大，属于较难题型.解题时首先将命题转化为2e x m x =在(,0)-∞上有解，再设()2e x g x x =，然后利用导数工具求得()()2402e g x g m <≤-=⇒∈240,e ⎛⎤⎥⎝⎦，解此类题型时，应注意积累命题转化技巧，即培养转化化归思想.9．已知1F ､2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，双曲线C 的右支上一点Q 满足1||OQ OF =，直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点，且P 恰好为线段1F Q 的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =±D ．y =±【答案】C【分析】根据给定条件导出12QF QF ⊥，再利用双曲线定义结合勾股定理计算作答. 【详解】依题意，令12||||||OQ OF OF c ===，则有12QF QF ⊥，令2||2QF t =，由双曲线定义得1||22QF a t =+，而点P 是QF 1中点且在双曲线左支上，则12||||,||3PQ PF a t PF a t ==+=+，在2Rt PQF 中，22222||||||PQ QF PF +=，即222()(2)(3)a t t a t ++=+，解得2t a =，则2||4QF a =，1||6QF a =，在12Rt FQF 中，2221212||||||QF QF F F +=，即22236164a a c +=，2213c a =，于是得2212b a =，ba=所以双曲线C 的渐近线方程为y =±. 故选：C10．设{}2n a n +为等比数列，且11a =，20a =，现有如下四个命题：①123,,a a a 成等差数列； ②5a 不是质数；③{}2n a n +的前n 项和为122n +-；④数列{}n a 存在相同的项. 其中所有真命题的序号是 A ．①④ B ．①②③ C ．①③ D ．①③④【答案】D【分析】首先根据{}2n a n +为等比数列，且11a =，20a =，得到22n n a n =-，再依次判断即可得到答案.【详解】设等比数列{}2n a n +的公比为q ，则2202211q +==+，所以22nn a n +=， 对①，因为22n n a n =-，所以31a =-，则1322a a a +=，所以123,,a a a 成等差数列，故①为真命题.对②，525257a =-=，而7为质数，所以5a 是质数，故②为假命题.对③，{}2n a n +的前n 项和为()212121222222nn n +--==+++-，故③为真命题.对④，因为20a =，424240a =-=，故④为真命题.故选：D 二、填空题11．数列{}n a 中，13.n n a a +=前99项的和9952S =，则36999a a a a ++++=___________.【答案】36【分析】易得数列{}n a 是等比数列，数列36999,,,,a a a a 是等比数列，根据等比数列的前n 项和公式求得1a ，再根据等比数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：因为13n n a a +=，9952S =，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列， 所以数列36999,,,,a a a a 是以3a 为首项，33为公比的等比数列又()99199135213a S -==-，所以()99113104a -=-，是以()()()333993136999313913910436132626a a a a a a ⎡⎤--⨯-⎢⎥⎣⎦++++====---. 故答案为：36. 三、双空题12．已知()727012712x a a x a x a x -=++++，则0a =_________，127a a a +++=______________.【答案】 1 2-【分析】令0x =即可求0a 的值，令1x =结合0a 的值，即可求127a a a +++的值.【详解】令0x =可得：()70120a -⨯=，所以01a =， 令1x =可得：()07712121a a a a -⨯=++++，即27111a a a ++++=-，所以1272a a a +++=-，故答案为：1；2-.13．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =________，n S 的最大值为________． 【答案】 4 42【分析】根据等差数列的前n 项和公式，可求得38a =，从而可求得数列的公差，得到数列的通项公式和前n 项和公式，可求得所需求的值. 【详解】∵数列{}n a 是等差数列，∵540S =，∴()1535524022a a a ⨯+⨯==，38a ∴=， 又210a ∴=，2d ∴=-，2(2)10(2)(2)142n a a n d n n ∴=+-⨯=+-⨯-=-， 514254a ∴=-⨯=，()122(12142)(262)13169(13)13()22224n n n a a n n n n S n n n n n ++--====-=-+=--+, ∴当6n =或7时，n S 有最大值42.故答案为：（1）4；（2）42.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，和根据二次函数的求得前n 项和的最大值，运用是需注意数列的项数应是自然数，属于基础题.14．如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.【答案】3331-【解析】根据直角三角形的性质求得12PF F ∠，由此求得k ，结合椭圆的定义求得离心率.【详解】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ⊥. 在12Rt PF F 中，212PF OF OF c ===， 所以21212PF F F =，所以126PF F π∠=，所以直线l 的斜率63tan 3πk ==.2211223PF F P F F c =-=，根据椭圆的定义可知1212222312331F F c c c e a a PF PF c c ======-+++. 故答案为：33；31-【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.15．已知函数()()1ln 0f x ax x a x=+>.（1）当1a =时，()f x 的极小值为______；（2）若()f x ax ≥，在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______. 【答案】 1 20,e ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，判断导函数的正负，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可； （2）问题转化为21(1ln )a x x -≤在(0,)+∞恒成立，e x ≥时显然成立，0e x <<时，问题转化为min 21[](1ln )a x x ≤-，只需求出2()(1ln )g x x x =-的最大值即可，求出函数()g x 的最大值，从而求出a 的范围即可．【详解】（1）1a =时，1()ln f x x x x=+，(0)x >，21()ln 1f x x x '=+-，令23112()ln 1,()0g x x g x x x x'=+-=+>， 故()'f x 在(0,)+∞递增，而()01f '=，故(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增， 故()f x 极小值(1)1f ==；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立， 即21(1ln )a x x -≤在(0,)+∞恒成立， ①1ln 0x -≤即e x ≥时，0a >，(1ln )0x -≤，210x >， 故21(1ln )a x x -≤在(0,)+∞恒成立， ②1ln 0x ->即0e x <<时，问题转化为21(1ln )a x x ≤-在(0,)+∞恒成立， 即min 21[](1ln )a x x ≤-，只需求出2()(1ln )g x x x =-的最大值即可，(0e)x <<，()(12ln )g x x x '=-，令()0g x '>，解得：0x <<()0g x '<e x <<，故()g x 在递增，在e)递减，故max e ()2g x g ==，故12e e 2a ≤=， 综上，(0a ∈，2]e, 故答案为：1， 2(0,]e．四、解答题16．在①212log log 1n n a a +=+，②12n n n a a +=+，③22112n n n n a a a a ++-=（0na >）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，已知{}n n b a -为等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且12a =，12b =，314b =，__________，是否存在正整数k ，使得2021k S >？若存在，求k 的最小值：若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；存在；k 的最小值为10．【分析】选①：得212log log 1n n a a +-=，所以2{log }n a 等差数列，即可求得n a 通项公式，再求得{}n b ，然后求和n S ，最后由不等式估算k 的最小值；选②：用累加法求得n a 通项公式，下同选①；选③：由22112n n n n a a a a ++-=整理得()()1120n n n n a a a a ++-+=，即可求得n a 通项公式，下同选①．【详解】选①：由21log log 1n n a a +=+得212log log 1n n a a +-=，所以2{log }n a 是首项为21log 1a =，公差为1的等差数列， 所以()2log 111n a n n =+-⨯=，故2n n a =． 又12b =，314b =，12a =，38a =， 所以110b a -=，336b a -=， 所以等差数列{}n n b a -的公差3311()()331b a b a d ---==-所以()()11131n n b a b a n d n -=-+-=-，所以()231nn b n =+-，2123133(2222)3(123)3222nn n n n S n n +-=+++++++++-=-+．由2021n S >得10n ≥，即存在正整数k ，使得2021k S >．且k 的最小值为10． 选②：由12nn n a a +=+得1212a a -=，3222a a -=， 3432a a ，…，()1122n n n a a n ---=≥，相加得1123112(12)22222212n n n n a a ----=++++==--，又12a =，所以()22nn a n =≥，显然12a =也满足()22nn a n =≥，故2n n a =．下同选①． 选③：由22112n n n n a a a a ++-=整理得()()1120n n n n a a a a ++-+=，又0n a >，所以12n n a a +=，即12n na a +=， 所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =． 下同选①．【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．17．某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,A B C D E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：而等比例转换法是通过公式计算：2211Y Y T TY Y T T --=-- 其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y ，2Y 时，等级分分别为1T 、2T假设小南的化学考试成绩信息如下表：设小南转换后的等级成绩为T ，根据公式得：847585756971TT --=--，所以76.677T =≈（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表：（1）从化学成绩获得A 等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A 等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 【答案】（1）1235P =（2）见解析 【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；（2）列出随机变量ξ的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．【详解】（1）设化学成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ，等级成绩为y ，由转换公式得：951008586x y x y --=--，即：()148514330861010x x y --=+=， 所以143309610x -≥，得：92.1x ≥， 显然原始成绩满足92.1x ≥的同学有3人，获得A 等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122151235C C P C ==. （2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得A 等级的考生有15人，0531251524(0)91C C P C ξ===，1431251545(1)91C C P C ξ=== 2331251520(2)91C C P C ξ===，323125152(3)91C C P C ξ=== 则分布列为ξ 01 2 3 P2491 4591 2091291则期望为：45202231919191E ξ=+⋅+⋅= 【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．18．如图，抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点()2,1P 、()11,A x y 、()22,B x y 均在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)若APB ∠的平分线垂直于y 轴，证明直线AB 的斜率为定值. 【答案】(1)24x y = (2)证明见解析【分析】（1）根据题意设抛物线的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线的方程，求出a 的值，即可得出抛物线的方程；（2）分析可知直线AP 的斜率存在且不为零，利用斜率公式求出AP k 、BP k 的值，由已知可得0AP BP k k +=，求出12x x +的值，再利用斜率公式可求得AB k 的值.【详解】(1)解：根据题意设抛物线的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线方程可得4a =，所以，抛物线的方程为24x y =.(2)证明：由题意可知直线AP 、BP 的倾斜角互补，若AP x ⊥轴，此时直线AP 与抛物线24x y =只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线AP 的斜率存在，若直线AP y ⊥轴，则A 、B 重合，不合乎题意， 所以，直线AP 的斜率不为零，2111111124224APx y x k x x --+===--，同理224BP x k +=， 由已知12404AP BP x x k k +++==，可得124x x +=-， 因此，221212121212414ABx x y y x x kx x x x --+====---. 故直线AB 的斜率为定值1-.19．已知函数()(1)ln 1.f x x x x =---(1)求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)证明：函数()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且12 1.x x = 【答案】(1)10x y ++= (2)见解析【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，再根据导数得符号求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得证，注意可先假设α是函数的一个零点，再证明10f α⎛⎫= ⎪⎝⎭.【详解】(1)解：由函数()(1)ln 1f x x x x =---， 得()0,x ∈+∞，12f ，()11ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-， 则()11f '=-，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x +=--， 即10x y ++=；(2)解：()1ln f x x x '=-，()0,x ∈+∞，因为函数1ln ,y x y x ==-在()0,x ∈+∞上递增，所以函数1ln y x x=-在()0,x ∈+∞上递增，又()()1ln 41110,2ln 2022f f -''=-<=-=>， 所以存在唯一的实数()01,2x ∈，使得()00f x '=， 当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增， 故()()0120f x f <=-<，又()22e e 30f =->，所以函数()f x 在()0,x +∞上存在唯一的零点α， 则()(1)ln 10f αααα=---=， 由01x α<<，得011x α<<，又()1ln 11111()(1)ln 10f αααααααα---=---==， 所以函数()f x 在()00,x 上存在唯一的零点1α，即函数()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且12 1.x x = 20．已知函数()(1)e 1xf x x =-+，2()(R).2ax g x a =∈(1)若1a =，求函数()g x 在点(3,(3))g 处的切线方程； (2)当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)6290x y --= (2)[)2,+∞【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；（2）令()()()()(]21e 1,,12x ax h x g x f x x x =-=---∈-∞，要使当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立，只要当(,1]x ∈-∞时，()0f x '≥恒成立即可，从a 的角度分类讨论求出函数的单调区间及最值，从而可得出答案.【详解】(1)解：若1a =，2()2x g x =，则()932g =，则()g x x '=，故(3)3g '=，所以函数()g x 在点(3,(3))g 处的切线方程为()9332y x -=-， 即6290x y --=；(2)解：令()()()()(]21e 1,,12x ax h x g x f x x x =-=---∈-∞，则()()()e e 1e x x xh x ax x x a '⎡⎤=-+-=-⎣⎦， 当0a ≤时，有e 0x a -<，当0x <时，()0h x '>，当01x <≤时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),0∞-上递增，在(]0,1上递减， 所以()()max 00h x h ==， 所以当0a ≤时，()0h x ≤恒成立， 所以0a ≤不符合题意；当0a >时，令()0h x '=，则0x =或ln a ， ①若e a ≥，则ln 1a ≥，当0x <时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),0∞-上递减，在()0,1上递增， 所以()()00h x h ≥=，所以当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立， 所以e a ≥符合题意；②若1e a <<时，则0ln 1a <<，当0x <或ln 1a x <<时，()0h x '<，当0ln x a <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),0∞-和()ln ,1a 上递减，在()0,ln a 上递增， 因为()0h x ≥恒成立，所以()()00011021eh a h a ⎧=≥⎪⎪=-≥⎨⎪<<⎪⎩，解得2e a ≤<；③若1a =，则ln 0a =， 则()0h x '≤，所以函数()h x 在(],1-∞上递减， 又()00h =，所以当10x ≥>时，()0h x <， 所以1a =不符合题意； ④若01a <<时，则ln 0a <，当ln x a <或01x <<时，()0h x '<，当ln 0a x <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),ln a -∞和()0,1上递减，在()ln ,0a 上递增， 又()00h =，所以当10x ≥>时，()0h x <， 所以01a <<不符题意，综上所述，a 的取值范围是[)2,+∞.【点睛】本题考查了导数的几何意义和利用导数求含参函数的单调区间及最值，考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想及数据分析能力.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F ，A为C 的上顶点，且12AF F △的周长为4+ (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：()0y kx m m =+≠与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，当k 为何值，22OM ON +恒为定值，并求此时MON △面积的最大值．【答案】(1)2214x y +=(2)12k =±，MON △面积的最大值为1【分析】（1）由椭圆的定义可知12AF F △的周长为224a c +=+求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得()()()2222222641641241m k k OM ON k -+++=++，若22OM ON +恒为定值，则与2m 无关，即可求得k 值；将k代回可得MN ，设点O 到直线l 的距离d ，则12MON S d MN =⨯⨯△，利用均值不等式即可求解.【详解】(1)设椭圆C 的半焦距为c ．因为12AF F △的周长为4+所以224a c +=+① 因为椭圆Cc a =②由①②解得2a =，c =则1b ．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消元得()222418440k x kmx m +++-=， 当()()2222Δ64164110k m k m =-+->，即22410k m -+>时，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， 则22222212121144x x OM ON x x +=+-++-()()2222221222324624622441k m m k x x k -++=++=++()()()22222641641241m k k k -++=++， 当22OM ON +为定值时，即与2m 无关，故2410k -=，得12k =±， 此时MN ==又点O 到直线l的距离d =所以2212122MONm m S d MN m +-=⨯⨯==△，当且仅当m =1m =±时，等号成立， 经检验，此时Δ0>成立， 所以MON △面积的最大值为1．。
【Ks5u名校】四川省成都市第七中学2021届高三3月第四周周练数学试题 扫描版含答案
成都七中高2021届高三下练习一．选择题1.已知集合{}-2A x x =≥，集合{}24B x x =≤，则集合()RB A ⋂=（ ）A.()2∞，+B.[)2∞，+C.()()2-∞⋃∞，-2，+D.(][)22-∞⋃∞，-，+2. 设a b R ∈，，i 是虚数学单位，则 “0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于A ．12 B.18 C.22 D.444. 已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且)2(+x f 为偶函数．若1)1(=f ，则=+)9()8(f f ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．15. 已知,αβ是平面，,m n 是直线，则下列命题不正确的是（ ）A ．若,,m n m α⊥∥则n α⊥ B ．若,,m m αβ⊥⊥则αβ∥ C ．若m m αβ⊥，，∥则αβ⊥ D ．若m n ααβ⋂=，∥，则m n ∥ 6. 将标号为123456，，，，，的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标为12，的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（ ）A ．12种B ．16种C ．18种D ．36种7．ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin (3sin )cos C A A B =+”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件8.已知函数21()(,g x a x x e e=-≤≤e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21[1,2]e+B ．2[1,2]e -C ．221[2,2]e e+- D ．2[2,)e -+∞二．填空题11. 已知a b ，均为单位向量，且它们的夹角为60，那么a b -= 12 设二项式53x x的开放式中常数项为A ，则A ＝三．解答题16.某中学在高二班级开设高校先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别接受分层抽样的方法抽取5人进行考核. （Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核的第一轮是答辩，挨次由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式打算. 设甲、乙两位同学间隔的人数为X ，X的分布列为求数学期望EX ；（Ⅲ）考核的其次轮是笔试：5位同学的笔试成果分别为115，122，105， 111，109；结合第一轮的答辩状况，他们的考核成果分别为125，132，115， 121，119. 这5位同学笔试成果与考核成果的方差分别记为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小. （只需写出结论）X 3 2 1 0Pab310 2517.18.已知ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是,,a b c ，且222222bc b c a =+-. (1) 求sin A 的值；（2）若1a =，102sin sin B c +=，求b 的值.19.已知数列{}n a 中，11a =，二次函数21122()()n n n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为12x = （1）试证明{}2nn a ⋅是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，试求使得3n S <成立的n 值，并说明理由.20.已知椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率33e =，椭圆E 的右顶点与上顶点之间的距离为5. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过定点34(,)P -且斜率为K 的直线交椭圆E 于不同的两点,M N ,线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足||||||||PM MH PN HN =,证明：点H 恒在一条直线上，并求出点H 所在的直线方程。
2021-2022年高二下学期周测数学试题 含答案
2021年高二下学期周测数学试题含答案班级：________ 姓名：___________ 得分：__________一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合，，则______．2．“若a＞b，则”的逆否命题为．3．若函数在处取得极值，则的值为 .4．设命题实数满足，其中；命题实数满足，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为________．5．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________．6．函数的单调递增区间为，值域为．7．已知函数在处的切线与直线平行，则的值为________．8．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则＝________；9．设函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，则满足不等式的取值范围是________．10．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是．11．已知点在曲线（是自然对数的底数）上，点在曲线上，则的最小值为 . 12．若函数在内满足：对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为．13．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是____________．14．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数是上的“平均值函数”．②若是上的“平均值函数”，则它的均值点．③若函数是上的“平均值函数”，则实数的取值范围是．④若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．已知：全集，函数的定义域为集合，集合．（1）求；（2）若，求实数的范围．16．已知，命题：，命题：．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，求实数的取值范围；（3）若命题“”为真命题，且命题“”为假命题，求实数的取值范围．17．设函数．（1）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的极值；（2）当时，若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．18．已知函数在定义域上为增函数，且满足，(1)求的值；(2)解不等式．19．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）函数在上的最大值与最小值的差为，求的表达式．20．（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，令．求在上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数对恒成立，求实数的取值范围．参考答案1． 2．若，则 3．0 4．5． 6．， 7． 8．9． 10． 11．12．． 13． 14．①③④15．(1)；（2）．16．（1）（2）（3）17．（1）极小值是，极大值是；（2）．18．（1），；（2）．19．（Ⅰ）单调递增区间为；（Ⅱ）21715,0,421()64,1,246, 1.t t th t t tt t⎧++<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩．20．（Ⅰ）单调递增区间是（0,2），单调递减区间是；（Ⅱ），；（Ⅲ）．。
2021-2022年高二下学期数学周练试题(理科3.13) 含答案
2021年高二下学期数学周练试题（理科3.13）含答案一．选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为 ( )A.15B.25C.35D.452．位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.783．已知函数，为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数在上零点的个数小于5或大于6的概率为（）A. B. C. D.4．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x(cm)160165170175180体重y(kg)6366707274) A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg5．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．B．C．对任意正数，D．对任意正数，6．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D.7. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 8．在某大学校园内通过随机询问100 名性别不同的大学生是否爱打篮球,得到如下的列表:由算得参照右上附表，得到的正确结论( ) A.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“是否爱打篮球与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“是否爱打篮球与性别无关” C.有97.5%以上的把握认为“是否爱打篮球与性别有关” D.有97.5%以上的把握认为“是否爱打篮球与性别无关”9．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ， 。
2021-2022年高二数学下学期第三周周练试题
2021-2022年高二数学下学期第三周周练试题一、单项选择题1、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为,离心率等于,则C 的方程是（ ）A. B. C. D.2、已知是椭圆的两个焦点，是过的弦，则的周长是( )A. B. C. D.3、已知是椭圆的半焦距，则的取值范围为（ ）A. B.C. D.二、填空题4、已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.5、直线与椭圆相交于两点，则三、解答题6、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为，短半轴的长为2，过点斜率为1的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）求弦的长．7、设椭圆的左焦点为，离心率为，椭圆与轴与左焦点与点的距离为．（1）求椭圆方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，当面积为时，求．8、设分别是椭圆C:的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且,求.参考答案一、单项选择1、【答案】D 【解析】由题意可知22211,232c c a b a c a ==∴=∴=-=，所以椭圆方程为 考点：椭圆方程及性质2、【答案】B 【解析】由椭圆方程可知的周长为()()1212224AF AF BF BF a a a +++=+= 考点：椭圆定义3、【答案】D【解析】椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边分别为，斜边为，由直角三角形的个直角边之和大于斜边得：，∴， 又∵2)(22)2222222=+≤++=+a c b a bc c b a c b （，∴，故选D. 考点：椭圆的简单性质、基本不等式.【方法点晴】本题综合考查了椭圆的简单性质和基本不等式知识，属于中档题.三个变量满足勾股关系，还满足两边之和大于第三边是处理好本题的关键，同时重要不等式实现了结构的转化.本题也可以通过三角换元来处理.二、填空题4、【答案】3【解析】在椭圆中，点P 在椭圆上，为椭圆的焦点三角形，由.可知由焦点三角形面积公式可知考点：椭圆性质5、【答案】【解析】把代入椭圆化简可得，∴，由弦长公式可得()212123AB x x x =-=+= 考点：直线与椭圆方程相交的弦长问题三、解答题6、【答案】（1）；（2）．试题分析：（1）由椭圆的焦距为，短半轴的长为，求得的值，进而得到的值，即可得到椭圆的方程；（2）设，把直线的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式，即可求解弦的长．试题解析：（1）；（2）设，，∴， ∴1212092154x x x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩，∴．考点：椭圆的方程；弦长公式．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及弦长的问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的弦长公式的应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用方程的根与系数的关系是解答的关键，属于中档试题．【解析】7、【答案】（1）；（2）.试题分析：（1）依题意有，由此解得，椭圆方程为；（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求出弦长关于斜率的表达式，利用点到直线的距离公式求得三角形的高，然后利用三角形面积建立方程，求得斜率的值，代入的表达式，从而求得弦长.试题解析：（1）由题意可得，又，解得，所以椭圆方程为．．．（2）根据题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，设由方程组22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去得关于的方程，由直线与椭圆相交于两点，则有，即()22264241216240k k k -+=->，得：，由根与系数的关系得122122812612k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，故2121AB x x k =+=又因为原点到直线的距离，故的面积21162k S AB d ===， 由，得，此时．考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查韦达定理和弦长公式.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【解析】8、【答案】（1）；（2）试题分析：（1）要求椭圆离心率，关键是把直线的斜率用表示，由已知可求出点坐标为，从而，由此可得；（2）首先由截距为2，可得，依照（1）再利用，求得点坐标（，代入椭圆方程可得第二个等式，结合可解得．试题解析：（1）由题知：点和点M的坐标分别为即即解得.（2）由题知：？，过点N作NK垂直于x轴于K点，则∽,1121211 4NK F K NFMF F F MF∴===,点N的坐标为（，又点N在椭圆上，？，联立？？解得.考点：椭圆的几何性质与综合应用．【名题点睛】本题考查椭圆的几何性质，解法比较特殊，第（1）小题求离心率，是求出点坐标，代入椭圆标准方程得到的等式变形求得，而第（2）小题同样是利用几何方法求得点坐标，代入标准方程，象这种直接求点坐标代入方程的问题不多见，解题时一定要注意，虽然解析几何中设而不求的方法用得比较多，但基本方法要忘记，特别是用几何法协助解题更不要忘记．【解析】~F35211 898B 見29938 74F2 瓲 t26812 68BC 梼34403 8663 虣39314 9992 馒26366 66FE 曾240292 9D64 鵤30915 78C3 磃。
2021-2022年高二期末模拟试卷(四)(数学)
2021年高二期末模拟试卷（四）（数学）一、填空题（每题5分，共70分）1．已知函数在处的导数为，若为函数的极大值，则必有= .2．频率分布直方图是直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的与的比值 . 3．过抛物线焦点为F作直线L交抛物线于A、B两点，则4．函数的最大值为 .5．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，至少有1名女生当选的概率为 .6．双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 .7．在等腰三角形ABC中，过直角顶点C在内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM < AC 的概率为 .8.已知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦AB，若△的周长为16，椭圆的离心率为，则椭圆的方程为9．国家机关用监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现了30 min长的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率为 .10．椭圆上点P到右焦点距离为3.6，则点P到左准线距离为 . 11．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为.12．已知命题P：若，则，命题Q：若，则。
若P为真且Q的否命题为真，则“”是“的”条件13．已知曲线C：，则曲线C在点P（2，a）处的切线方程为14. 右面程序运行后输出的结果为_________________________.二、解答题（共90分）15．已知命题P：方程有两个不等的负实根。
命题Q：方程无实根。
若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求实数m的取值范围.16．已知长、宽分别为16，10的矩形纸板，在其四个角处分别截去相同的小正方形做出一个无盖的盒子，求盒子的最大容积。
17．一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为及格。
新教材2021_2022学年高二数学下学期暑假巩固练习7随机变量及其分布二
2021-2022学年高二数学下学期暑假巩固练习7 随机变量及其分布（二）一、单选题．1．某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为,X Y ，已知,X Y 均服从正态分布，()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值B ．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C ．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D ．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）A ．12164320C C CB ．21164320C C C C ．21316416320C C C C +D ．343201C C -3．已知随机变量X ，Y 满足8X Y +=，若()10,0.6X B ，则()E Y ，()D Y 分别为（ ）A ．6，24．B ．6，56．C ．2，24．D ．2，56．4．已知两个正态密度函数()()()222,1,2x i i i x x i μσϕ--=∈=R 的图象如图所示，则（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ>，12σσ<C ．12μμ<，12σσ>D ．12μμ>，12σσ>5．在()*n n ∈N 次独立重复试验中，每次试验的结果只有A ，B ，C 三种，且A ，B ，C 三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件A ，B 发生的概率均为25，则事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为（ ） A ．5：5：4B ．4：4：3C ．3：3：2D ．2：2：16．考察下列两个问题：①已知随机变量(),XB n p ，且()4E X =，()2D X =，记()1P X a ==；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记()|P A B b =，则（ ）A ．311,22a b ==B ．4211,22a b ==C ．511,22a b ==D ．6211,22a b ==7．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的正品数的数学期望值是（ ） A ．Mn N⋅B ．N MnN- C ．()1M n N-⋅D ．()1N Mn N--⋅8．设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是05．， 则()01P ξ<<≈（ ） 附：若()2,N ξμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈．A ．01587．B ．01359．C ．02718．D ．03413．二、多选题．9．下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A ．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数XB ．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数XC ．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数XD ．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X10．一个口袋内有12个大小、形状完全相同的小球，其中有n 个红球，若有放回地从口袋中连续取四次（每次只取一个小球），恰好两次取到红球的概率大于827，则n 的值可能为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．811．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中1次的概率为8081，则下列结论正确的是（ ） A ．该射手第一次射击命中的概率为13 B ．该射手第二次射击命中的概率为23C ．该射手4次射击中恰好命中1次的概率为881 D ．该射手4次射击中至多命中1次的概率为1912．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()()0P a P a P a a ξξξ<=<+>-> B ．()()()210P a P a a ξξ<=<-> C ．()()()120P a P a a ξξ<=-<> D ．()()()10P a P a a ξξ<=-≥>三、填空题．13．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()()31P P ξξ>=<，则μ=______．14．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取()*k k ∈N 包食品，并测量其质量（单位：g ）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布()2,N μσ．假设生产状态正常，记ξ表示每天抽取的k 包食品中其质量在(3,3)μσμσ-+之外的包数，若ξ的数学期望()0.05E ξ>，则k 的最小值为________．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈．15．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图所示的为一幅唐朝的投壶图，假设甲､乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲､乙每次投壶投中的概率分别为11,23，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则乙最后获胜的概率为_________．四、解答题．16．网上购物已经成为一种重要的消费方式．某网络公司通过随机问卷调查，得到不同年龄段的网民在网上购物的情况，并从参与的调查者中随机抽取了150人．经统计得到如下表格：若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年，把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人，把年龄大于或等于65岁的视为老年人，将频率视为概率．（1）在青少年、中年人、老年人中，哪个群体网上购物的概率最大？（2）现从某市青少年网民（人数众多）中随机抽取4人，设其中网上购物的人数为X，求X的分布列及期望．17．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．（1）求甲恰有2个题目答对的概率； （2）求乙答对的题目数X 的分布列；（3）试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．18．口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器．独奏口琴有三种，分为半音阶口琴(有按键)、复音口琴、十孔口琴(又名布鲁斯口琴、蓝调口琴)．“口琴者联盟”团队为了解口琴爱好者的练琴情况，提高口琴爱好者的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广泛调查．“口琴者联盟”团队随机调查了200名口琴爱好者每周的练琴时间x (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间x 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s （同一组的数据用该组区间中点值代表），据此，估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数；（2）从样本中练琴时间在[0.5,1.5)和[5.5,6.5)内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取4人进行培训，设Y 表示抽取的4人中练琴时间在[5.5,6.5)内的人数，求Y 的分布列和数学期望．参考数据：样本方差21.78s =43≈，()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，330.997()3P X μσμσ-<≤+=．参考答案一、单选题． 1．【答案】C【解析】由随机变量,X Y 均服从正态分布，()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ， 结合正态概率密度函数的图象，可得12μμ=，12σσ<，即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值， 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性， 故选C ． 2．【答案】D【解析】全部都是二等品的概率为34320C C ，故至少有1个是一等品的概率为343201C C -，故选D ． 3．【答案】C 【解析】∵()10,0.6XB ，∴()100.66E X =⨯=，()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=． ∵8X Y +=，∴8Y X =-，∴()()()882E Y E X E X =-=-=，()()()8 2.4D Y D X D X =-==， 故选C ． 4．【答案】A【解析】正态曲线关于直线x μ=对称，且在x μ=由题图易得12μμ<，因为()1x ϕ的图象更“瘦高”，()2x ϕ的图象更“矮胖”，则12σσ<， 故选A ． 5．【答案】C【解析】根据,,A B C 事件的互斥性可得：每一次试验中，事件C 发生的概率为15， 设事件A ，B ，C 发生的次数分别为随机变量,,X Y Z ，则有：2~,5X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2~,5Y B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1~,5Z B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则事件A ，B ，C 发生次数的方差分别为625n ，625n ，425n ， 故事件A ，B ，C 发生次数的方差之比为3:3:2，故选C ． 6．【答案】C 【解析】问题①，由()()()412E X np D X np p ==⎧⎪⎨=-=⎪⎩，解得1,82p n ==，则()171885118112222a P X C ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．问题②，根据题意，事件B 的可能情况有()123212n B C =⨯=种， 事件AB 发生的可能情况为()33n AB A =种，所以，()()()331231|22n AB A b P A B n B C ====⨯．故选C ． 7．【答案】B【解析】由题意，有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品， 则抽到正品数X 服从超几何分布，所以抽到的正品数的数学期望值是()N MD X n N-=⋅，故选B ． 8．【答案】B【解析】若函数()22f x x x ξ=+-没有零点，∴二次方程220x x ξ+-=无实根，∴()440∆ξ=-⨯-<，∴1ξ<-．又∵()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是05．，∴()10.5P ξ<-=．由正态曲线的对称性知1μ=-， ∴()1,1N ξ-，∴1μ=-，1σ=，∴2μσ-=-，0μσ+=，23μσ-=-，21μσ+=， ∴()200.6827P ξ-<<≈，()310.9545P ξ-<<≈，∴()()()10131202P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦()10.95450.68270.13592≈⨯-=， 故选B ．二、多选题． 9．【答案】CD【解析】AB 是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB 不符题意；CD 符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X 表示抽取n 件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布， 故选CD ． 10．【答案】ABC【解析】设每次取到红球的概率为()01p p <<，由题意得()22248C 127p p ->，即()219p p ->，解得1233p <<， 因为12np =，所以()124,8n p =∈，所以5n =或6或7， 故选ABC ． 11．【答案】BCD【解析】设该射手命中的概率为p ，则至少命中1次的概率为()4801181p --=，解得23p =， 则该射手每一次射击命中的概率都为23，故A 错误，B 正确； 该射手4次射击中恰好命中1次的概率为3142133C ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭881=，故C 正确；该射手4次射击中至多命中1次的概率为41813819⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故D 正确，故选BCD ． 12．【答案】BD【解析】因为()()P a P a a ξξ<=-<<，所以A 不正确； 因为()()P a P a a ξξ<=-<<()()()()()()()1P a P a P a P a P a P a ξξξξξξ=<-<-=<->=<--<()21P a ξ=<-，所以B 正确，C 不正确；因为()()1P a P a ξξ<+≥=，所以()()()10P a P a a ξξ<=-≥>，所以D 正确，故选BD ．三、填空题． 13．【答案】2【解析】因为随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ， 所以正态密度函数图象关于x μ=对称， 因为()()31P P ξξ>=<，所以3122μ+==， 故答案为2． 14．【答案】19【解析】依题意(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈，所以在(3,3)μσμσ-+之外的概率10.99730.0027P =-=， 则(),0.0027B k ξ，则()0.0027E k ξ=，因为()0.05E ξ>，所以0.00270.05k >，解得50018.5227k >≈， 因为*k ∈N ，所以k 的最小值为19， 故答案为19． 15．【答案】1754【解析】若乙只投中1次，则甲投中0次时乙获胜，其概率为12231111(1)(1)3329C ⋅-⋅-=；若乙只投中2次，则甲投中0次或1次时乙获胜，其概率为22213211111()(1)[(1)]33222C C ⋅--+⨯16=； 若乙投中3次，则乙必获胜，其概率为311()327=，综上所述：乙最后获胜的概率为1115117962716254++==，故答案为1754．四、解答题．16．【答案】（1）青少年网上购物的概率最大；（2）分布列见解析，期望为3．【解析】（1）由题表中的数据知，青少年网上购物的概率为12334531545604+==+， 中年人网上购物的概率为35153534530883=++++，老年人网上购物的概率为27， 因为35324837>>，所以青少年网上购物的概率最大．（2）由题意及（1）知，X 可能取值为0，1，2，3，4，34,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()404110C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1314311231C 4425664P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22243154272C 44256128P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3134********C 4425664P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4443814C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．故X 的分布列为()434E X =⨯=．17．【答案】（1）216625；（2）见解析；（3）甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数．【解析】（1）∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是35，∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率22243221655625P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）由题意知乙答对的题目数X 的可能取值为2，3，4，()2228410282221015C C P X C ====，()13284101128321015C C P X C ====，()4841070142103C P X C ====，X 的分布列为：（3）∵乙平均答对的题目数8116234151535EX =⨯+⨯+⨯=， 甲答对题目34,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，甲平均答对的题目数312455EY =⨯=． EX EY >，∴甲平均答对的题目数小于乙平均答对的题目数．18．【答案】（1）6827人；（2）分布列见解析，3．【解析】（1）这200名口琴爱好者每周的练琴时间的平均时间10.0320.130.240.3550.1960.0970.044x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，由于样本方差2 1.78s =，所以，结合题意知4μ=，2 1.78σ=，∴~(4,1.78)X N ，43σ=≈， 48433-=小时160=分钟，416433+=小时320=分钟， 44(44)0.682733P X -<≤+=，100000.68276827⨯=， 可以估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数约为6827人．（2）由频率分布直方图可知，练琴时间在[0.5,1.5)，[5.5,6.5)内的口琴爱好者人数比例为0.03:0.091:3=， 用分层抽样的方法抽取8人，则练琴时间在[0.5,1.5)内的有2人，练琴时间在[5.5,6.5)内的有6人． ∴Y 的所有可能取值为2，3，4，则2262483(2)14C C P Y C ===，3162484(3)7C C P Y C ===，()4062483414C C P Y C ===， ∴Y 的分布列为：故()234314714E Y =⨯+⨯+⨯=．。
2021-2022学年第二学期高二数学期中复习周练6含答案与解析
2021-2022学年第二学期高二数学期中复习周练6一．选择题（共8小题） 1．可表示为（ ） A.B.C.D.2．()52x x +的展开式中，4x 的系数是（ ）A. 40B. 50C. 80D. 1003. 与椭圆229436x y +=有相同的焦点，且短半轴长为25的椭圆方程是（ ）A.2212520x y += B.2212520y x += C.2214520y x += D.2218580y x +=4. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A.7种 B.12种C.43种D.34种5．今天是星期四，经过1008天后是星期（ ） A. 三 B. 四C. 五D. 六6． ，则（a 0+a 2+a 4）2﹣（a 1+a 3）2的值为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．1287．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则P （A |B ）＝（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2xf x xe f x '=+，若()1f e =，则函数()()4g x f x =-的零点个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3二．多选题（共4小题）9．已知空间向量(1,,2)a λ=--，(2,1,1)b =-，若a 与b 的夹角为120°，则λ的值为（ ）A.17B.-17C.-1D.110．对于,N m n *∈关于下列排列组合数，结论正确的是（ ） A. C C mn mn n-= B. 11C C C m m m n nn -+=+ C. A C A m m mn n m = D. 11A (1)A m m n n m ++=+11．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A.2q =B.数列{}2n S +是等比数列C.8510S =D.数列{}lg n a 是公差为2的等差数列12．现有4个小球和4个盒子，下面结论正确的是（ ）A. 有4个不同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B. 4个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C. 4个不同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D. 编号为1，2，3，4的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不同的放法共有9种 三．填空题（共4小题）13．若212828x x C C +=，则x 的值为________；14.从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若120BF BF ⋅=，且123sin 5F AF ∠=，则该双曲线的离心率为___________．16．已知21()xf x xe e e=++，()221x x a g x =---+，若存在1x R ∈，()21,x ∈-+∞，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________. 四．解答题（共6小题）17．10件不同厂生产的同类产品：（列式并算出结果）（1）在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？（2）若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？18．已知的展开式中所有的二项式系数和为128．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的常数项．19．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且4640a a +=，516a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若2021n T m <-对一切n *∈N 成立，求最小正整数m .20. 如图，三棱锥P －ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ＝PB ，∠APB ＝∠ACB ＝90°，点E ，F 分别是AB ，PB 的中点，点G 是△BCE 的重心． (1)求证：平面EFG ∥平面P AC ；(2)若AB ＝2BC ，求二面角B －EF －G 的余弦值．21．椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>Q ().(1)求椭圆E 的方程；(2)1F ，2F 分别为椭圆E 的左､右焦点，动点A ，B 在椭圆上（不含长轴端点），且关于y 轴对称，P 为椭圆上异于A ，B 的动点，直线P A 与PB 分别交y 轴于M ，N 两点,直线1MF 与2NF 的交点为R ，求QR 的最小值.22．已知函数f (x )＝e x －cos x －x ．(1)讨论函数f (x )在(－π，π2)上极值点的个数；(2)当x ∈[0，π]时，()()1ln sin 32+-≥'x m x x f ，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求实数m 的取值范围．盐城市亭湖高级中学2021－2022学年高二数学周练6参 考 答 案一．选择题（共8小题） 1．可表示为（） A.B.C.D.【答案】B 2.(52x x +的展开式中，4x 的系数是（ ）A. 40B. 50C. 80D. 100【答案】C 【解析】【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】根据二项式的展开式的通项公式()555215522rrrr r rr T C x x C x---+==，即2r时，4x 的系数为2525210880C -=⨯=故选：C.3. 与椭圆229436x y +=有相同的焦点，且短半轴长为25 ）A.2212520x y += B.2212520y x += C.2214520y x += D.2218580y x +=【答案】B4. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A.7种B.12种C.43种D.34种【答案】D5．今天是星期四，经过1008天后是星期（ ） A. 三 B. 四 C. 五 D. 六【答案】C 【解析】【分析】求出二项式定理的通项公式，得到除以7余数是1，然后利用周期性进行计算即可．【详解】解：一个星期的周期是7，则1001001221001001221001001001001001001001008(17)17771(777)C C C C C C =+=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅， 即1008除以7余数是1，即今天是星期四，经过1008天后是星期五， 故选：C ． 6． ，则（a 0+a 2+a 4）2﹣（a 1+a 3）2的值为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128解：∵，则令x ＝1，可得 a 0+a 1+a 2+a 3+a 4＝，再令x ＝﹣1，可得 a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4＝，两式相乘，可得（a 0+a 2+a 4）2﹣（a 1+a 3）2＝•＝（﹣2）4＝16，故选：A ．7．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则P （A |B ）＝（ ） A ．B ．C ．D ．解：甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”， 则P （B ）＝＝，P （AB ）＝＝，∴P （A |B ）＝＝＝．故选：D ．8．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2xf x xe f x '=+，若()1f e =，则函数()()4g x f x =-的零点个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【8题答案】 【答案】B 【解析】【分析】由()()2xf x xe f x '=+，构造函数()xf x e ，根据()1f e =，求得()2xf x x e =，进而得到()24xg x x e =-，利用导数法求解.【详解】因为()()2xf x xe f x '=+，所以()()2xf x f x xe '-=，则()()()2x xf x f x f x x e e ''-⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()2xf x x ce =+，即()()2x f x x c e =+， 因为()1f e =，所以()()11f c e e =+=，解得0c ，所以()2xf x x e =，则()24xg x x e =-，所以()()2xg x e x x '=+，当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<， 所以当2x =-时，函数()g x 取得极大值()2410e --<，当0x =时，函数()g x 取得极小值40-<， 又当x →+∞时，()g x →+∞，所以函数()()4g x f x =-的零点个数为1， 故选：B二．多选题（共4小题）9．已知空间向量(1,,2)a λ=--，(2,1,1)b =-，若a 与b 的夹角为120°，则λ的值为（ ）A.17B.-17C.-1D.1【答案】AC10．对于,N m n *∈关于下列排列组合数，结论正确的是（） A. C C mn mn n-=B. 11C C C m m m n nn -+=+C. A C A m m mn n m = D. 11A (1)A m mn n m ++=+【答案】ABC 【解析】【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答. 【详解】对于A ，由组合数的性质知，C C m n mn n -=成立，A 正确；对于B ，1!!!(1)!C C (1)!(1)!!()!!(1)!!(1)!m m n n n n m n n m n m n m m n m m n m m n m -⋅-+⋅+=+=+--+--+-+1(1)!C !(1)!m n n m n m ++==-+，B 正确；对于C ，因A C A m nm m nm=，因此A C A m m m n n m =成立，C 正确；对于D ，因11(1)!()!1()A (!1!)A m n m n n n m n n m m n +++-=⋅=+≠+-，即11A (1)A m m n n m ++=+不成立，D 不正确. 故选：ABC11．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A.2q =B.数列{}2n S +是等比数列C.8510S =D.数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC12．现有4个小球和4个盒子，下面结论正确的是（ ）A. 有4个不同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B. 4个相同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C. 4个不同的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D. 编号为1，2，3，4的小球，放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不同的放法共有9种 【答案】BCD 【解析】【分析】由分步乘法计数原理可判断A 的正误；由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B 的正误；由分步乘法、排列、组合知识可判断C 的正误；利用列举法可判断D 的正误.【详解】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中（允许有空盒），每个小球有4种放法，共有44256=种不同的放法，A 错误；对于B ，将4个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，且恰有两个空盒， 则一个盒子放3个小球、另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，此时，共有224418A C +=种不同的放法，B 正确；对于C ，将4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，且恰有一个空盒，则两个盒子各放1个小球，另一个盒子放2个小球，此时，共有2344144C A =种放法，C 正确；对于D ，将编号为1、2、3、4的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法为：()2,1,4,3、()2,3,4,1、()2,4,1,3、()3,1,4,2、()3,4,1,2、()3,4,2,1、()4,1,2,3、()4,3,2,1、()4,3,1,2，共9种，D 正确.故答案为：BCD.三．填空题（共4小题）13．若212828x x C C +=，则x 的值为________；【答案】9 【解析】【分析】直接利用组合数的性质列方程求解即可【详解】解：因为212828x x C C +=，所以21x x =+或2128x x ++=，解得1x =-（舍去）或9x =，14.从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________； 【答案】12【解析】【分析】设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”，则P （A ）35=，P （AB ）3235410=⨯=，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【详解】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张， 设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”， 则P （A ）35=，P （AB ）3235410=⨯=， 则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P （A|B ）()()3P AB 1103P A 25===． 15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若120BF BF ⋅=，且123sin 5F AF ∠=，则该双曲线的离心率为___________．【分析】设1AF m =，由题意可得134,||55BF m AB m ==，结合双曲线定义可得5m a =，再利用勾股定理可得结果.【详解】设1AF m =，因为120BF BF ⋅=，且124cos 5F AF ∠=，所以134,||55BF m AB m ==，由双曲线的定义得2232,25BF m a AF m a =-=-，因为22||AF BF AB +=，所以342255m a m a m -+-=，解得5m a =，所以在12BF F △中，2221212BF BF F F +=，即22294a a c +=，解得e16．已知21()xf x xe e e=++，()221x x a g x =---+，若存在1x R ∈，()21,x ∈-+∞，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】2(,)e +∞ 【解析】【分析】求出()2f x e >和()g x a <，存在12,(1+)x R x ∈∈-∞，，使得12()()f x g x ≤成立，只需2e a <即可. 【详解】21()xf x xe e e=++，'()(1)x x x f x e xe e x =+=+ 当(,1),'()0x f x ∈-∞-<，()f x 单调递减，当(1+),'()0x f x ∈-∞>，，()f x 单调递增， 所以()()21f x f e >-=2()(1)g x x a =-++，当(1,),()x g x a ∈-+∞<存在12,(1+)x R x ∈∈-∞，，使得12()()f x g x ≤成立，只需2e a <即可 所以a 的取值范围为：2(,)e +∞故答案为：2(,)e +∞ 四．解答题（共6小题）17．10件不同厂生产的同类产品：（列式并算出结果）（1）在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？（2）若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？【答案】（1）1680；（2）50400． 【解析】【分析】（1）就是从8件产品中选4件进行排列；（2）分两步，第一步将2件金奖产品放在六个位置中的两个位置全排列，第2步，在剩下的8件产品中选4个，放在其余4个位置全排列，再根据分步乘法原理计算．【详解】（1）10件不同产品，有2件商品不能参加评选，从中选出4件进行排列，方法数为481680A =；（2）第一步，两件金奖产品放到6个位置中的两个位置中，方法数为26A ， 第二步，其余8件产品中选4件放在剩下的4个位置中排列，方法数为48A ，所以总方法数为246830168050400A A =⨯=．18．已知的展开式中所有的二项式系数和为128．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的常数项．解：（1）∵的展开式中所有的二项式系数和为2n ＝128，∴n ＝7， 故展开式的通项公式为 T r +1＝•27﹣r •（﹣1）r •x 14﹣3r ，故第r +1项的二项式系数为，故当r ＝3 或r ＝4时，二项式系数最大， 故展开式中二项式系数最大的项为 T 4＝﹣•24•x 5＝﹣560x 5，T 5＝•23•x 2＝280x 2．（2）＝（2x +）•＝ （2x +）（•27•x 14﹣•26•x 11+•25•x 8﹣•24•x 5+•23•x 2﹣•22•x ﹣1+•2•x ﹣4﹣•x ﹣7 ）的展开式中的常数项为2×（﹣•22）+•23＝﹣168+280＝112．19．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且4640a a +=，516a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若2021n T m <-对一切n *∈N 成立，求最小正整数m . 【答案】(1)12n n a(2)2022 【解析】【分析】（1）由已知解方程2402560x x -+=，得48a =，632a =，由此能求出数列{}n a 的通项公式． （2）由已知条件利用等比数列的前n 项和公式先求出n S ，从而得到1112121n nn b +=---，由此利用裂项求和法能求出数列{}n b 的前n 项和．由111121n n T +=-<-，得到20211m -，由此能求出最小正整数m ． (1)数列{}n a 是递增的等比数列，且4640a a +=，516a =，∴4646246540256a a a a a a a +=⎧⎪<⎨⎪==⎩， 4a ∴，6a 是方程2402560x x -+=的两个根，解方程2402560x x -+=， 得48a =，632a =，∴541628a qa ， 314188a a q ===， ∴1111122n n n n a a q ---==⨯=．(2)由（1）得：1(1)1221112n nn n a q S q --===---， 1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b S S ++++===--⋅---，∴数列{}n b 的前n 项和： 11111111133********n n n T +=-+-+-+⋯+---11121n +=--1<，且2021n T m <-对一切*n N ∈成立，12021≥-m ，解得2022≥m ，∴最小正整数m 为2022．20. 如图，三棱锥P －ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ＝PB ，∠APB ＝∠ACB ＝90°，点E ，F 分别是AB ，PB 的中点，点G 是△BCE 的重心． (1)求证：平面EFG ∥平面P AC ；(2)若AB ＝2BC ，求二面角B －EF －G 的余弦值．21．椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>2Q ()22,2.(1)求椭圆E 的方程；(2)1F ，2F 分别为椭圆E 的左､右焦点，动点A ，B 在椭圆上（不含长轴端点），且关于y 轴对称，P 为椭圆上异于A ，B 的动点，直线P A 与PB 分别交y 轴于M ，N 两点,直线1MF 与2NF 的交点为R ，求QR 的最小值. 【答案】(1)221168x y +=(2)见解析 【分析】（1）依题意可得2a c =且b c =，再根据椭圆过点()2,2，即可求出c ，从而得解； （2）设()11,A x y ，()22,P x y ，()11,B x y -，即可得到AP 、BP 的方程，表示出M 、N 的坐标，从而得到1MF 、2NF ，两式相乘整理即可得到交点方程； (1)解：由22c a =得2a c ，由222c a b =-，所以b c =， 把点()22,2代入方程得228412c c+=，所以28c =，所以椭圆E 的方程为221168x y +=. (2)解：设()11,A x y ，()22,P x y ，()11,B x y -， 由AP 方程：()211121y y y y x x x x --=--，得2112210,x y x y M x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，由BP 方程：()211121y y y y x x x x --=++，得2112210,x y x y N x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， ∴1MF 的方程为y x +，①2NF的方程为y x -，②由①②相乘得()()2222222112222188x y x y y x x x -=---，③ 由A ，P 在椭圆上可得221182x y =-，222282x y =-，代入③式可得：()228y x =--，即直线1MF 与2NF 的交点R 在定圆228x y +=上. ∴QR 的最小值为22-32. 22．已知函数f (x )＝e x －cos x －x ．(1)讨论函数f (x )在(－π，π2)上极值点的个数；(2)当x ∈[0，π]时，()()1ln sin 32+-≥'x m x x f ，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求实数m 的取值范围．。
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2021-2022年高二数学下学期第四周周练试题
一、选择题：
1、已知椭圆的两个焦点是，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）
A. B. C. D.
2、“” 是“方程表示椭圆”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3、已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则为（）A． B．1 C．2 D．4
二、填空题：
4、椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的值为___________．
5、如图，椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，若，则椭圆的心
率 .
三、解答题：
6、已知中心在坐标原点的椭圆，经过点，且以点为其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；（2）是（1）中所求椭圆上的动点，求中点的轨迹方程.
7、设命题p ：方程表示双曲线；命题q ：x 0∈R，x 02+2mx 0+2﹣m=0
(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；
(3)求使“p∨q”为假命题的实数m 的取值范围．
8、已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率,虚轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证：直线过定点,并求出定点的坐标.
参考答案
一、单项选择1、【答案】A 2、【答案】A 3、【答案】B
二、填空题4、【答案】或 5、【答案】
三、解答题6、【答案】(1)（2）
试题分析：(1)由椭圆定义可得到的值，由焦点坐标可得到值，由可求得值，从而得到椭圆方程；（2）设，由中点得到两坐标的关系，将P 代入椭圆方程可求得Q 的轨迹方程 试题解析：(1)依题意，可设椭圆的方程为， 且可知左焦点为，从而有22358c a AF AF =⎧⎨'=+=+=⎩
，解得， 又，所以，故椭圆的方程为．
（2）设
000
0222222
x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
考点：椭圆方程及动点轨迹方程
7、【答案】（1）；（2）；（3）．
试题分析：（1）双曲线的标准方程是或，因此一般方程表示双曲线的条件是，由此结论
可得当方程表示双曲线时的取值范围；（2）命题q 为真命题时，说明方程x 02+2mx 0+2﹣m=0有实解，由可得结论；（3）当“p∨q”为假命题时，p ，q 都是假命题． 试题解析：（Ⅰ）当命题p 为真命题时，方程表示双曲线，
∴（1﹣2m ）（m+2）＜0，解得m ＜﹣2，或m ＞，
∴实数m 的取值范围是{m|m ＜﹣2，或m ＞}；
（Ⅱ）当命题q 为真命题时，方程x 02+2mx 0+2﹣m=0有解，
∴△=4m 2﹣4（2﹣m ）≥0，解得m≤﹣2，或m≥1；
∴实数m 的取值范围是{m|m≤﹣2，或m≥1}；
（Ⅲ）当“p∨q”为假命题时，p ，q 都是假命题， ∴12221
m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪-<<⎩，解得﹣2＜m≤；∴m 的取值范围为（﹣2，]．
考点：命题真假的应用，复合命题的真假．
8、【答案】（1）（2）
试题分析：（1）求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题意列出两个独立条件：，解方程组得（2）以为直径的圆过双曲线的左顶点,等价于,根据向量数量积得()121212240y y x x x x ++++=，结合直线方程得
()121212()()240kx m kx m x x x x ++++++=，利用直线方程与双曲线方程联立方程组，消y 得()()222148410k x mkx m ---+=，再利用韦达定理代入等式整理得，因此或.逐一代入得当时,的方程为,直线过定点.
试题解析：（1）设双曲线的标准方程为,由已知得又,解得,所以双曲线的标准方程为.
（2）设,联立2214
y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()()222148410k x mkx m ---+=,有()()()2222122212264161410801441014m k k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=+-+>⎪⎪+=<⎨-⎪⎪-+⎪=>-⎩
,()()()22
22
121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-,以为直径的圆过双曲线的左顶点,,即
()()22212121212222
12414161,240,4022141414m y y m k mk y y x x x x x x k k k -+-=-∴++++=∴+++=++---,,解得或.当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验符合已知条件,所以直线过定点,定点坐标为.
考点：双曲线标准方程，直线过定点
【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.39309 998D 馍39394 99E2 駢 myy33589 8335 茵25468 637C 捼29124 71C4 燄•31272 7A28 稨B34482 86B2 蚲523404 5B6C 孬。