2015-2016南京信息工程大学期末试卷--概率统计

南京信息工程大学期末试卷（理科）2015－ 2016学年 第 一 学期 概率统计 课程试卷( B 卷)本试卷共 2 页；考试时间 120 分钟；出卷人 统计系 ；出卷时间 2016 年 1 月学院 专业 班 学号 姓名一、填空题（15分，每题3分）1、设相互独立的事件,A B 满足条件：()()P A P B =，且已知7()16P AB =，则()_______P A =。

142、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(0)p p >，则此人射击4次恰好有2次命中目标的概率为_________。

226(1)p p -3、设随机变量2~(4,3)X N ，则二次方程240y y X ++=无实根的概率为_______。

124、设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则(max{,}1)_________P X Y ≤=。

195、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则2()_________E XY =。

32μμσ+二、选择题（15分，每题3分）1、设A 和B 为两个随机事件，且0()1,()0,()()P A P B P B A P B <<>=，则必有（ C ）。

A. ()()P A B P A B =B. ()()P A B P A B ≠C. ()()()P AB P A P B =D. ()()()P AB P A P B ≠ 2、设~(0,1)U N ，则下列错误的是( B )。

A ．(1)(1)P U >-=Φ B. (||1)2(1)P U >=ΦC. (11)2(1)1P U -<<=Φ-D. (1)(1)1(1)P U P U <-=>=-Φ3、从总体X 中抽取样本容量为16n =的样本，若总体的标准差()10.52X σ=，则总体X 的标准差()X σ为（ A ）。

A. ()42.08X σ=B. ()10.52X σ=C. () 2.63X σ=D. ()168.32X σ=4、设随机变量221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，且12(1)(1)P X P Y μμ-<>-<，则必有( A )。

A. 12σσ<B. 12σσ>C. 12μμ<D. 12μμ> 5、设总体2~(,0.6)X N μ，19,,x x 为样本，其样本均值为x ，则总体均值μ的90%的置信区间是( D )。

A. 0.900.4x Z ±B. 0.950.4x Z ±C. 0.900.2x Z ±D. 0.950.2x Z ± 三（10分）某流水生产线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。

设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X 。

1）试写出X 的分布律； 2）求X 的数学期望()E X 。

解：1）记1q p =-，则X 的分布律为1(),1,2,i P X i q p i -=== ……………….. 4分2）X 的数学期望111()()i i i E X iP X i iqp ∞∞-=====∑∑ ……………….. 3分11()()1i i q p q p q q ∞=''===-∑ ……………….. 3分四（15分）设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-0,00,)1(1)(x x e x x F x， 求：（1）X 的概率密度； （2）(31)P X X <>； （3）2Y X =+的概率密度。

解：1）X 的概率密度为：,0()()0,x xe x f x F x -⎧>'==⎨⎩其他……………….. 3分2）1(1)1(1)1(1)2P X P X F e ->=-≤=-= ……………….. 3分 故(13)(31)(1)P X P X X P X <<<>=>1321(3)(1)24121(1)2F F e e e F e------===-- ……………….. 3分 3）2Y X =+的分布函数()()(2)(2)(2)Y X F y P Y y P X y P X y F y =≤=+≤=≤-=-故Y 的概率密度(2)(2),2()()(2)(2)0,y Y Y X X y e y f y F y F y f y --⎧->''==-=-=⎨⎩其他……….. 6分五（10分）设二维随机变量()Y X ,的概率密度为：()1,01,02,0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他（1）求()Y X ,的边缘概率密度()()y f x f Y X ,； （2）求(1)P X Y +<。

解：1）()()20,012,01,0,0,xX dy x x x f x f x y dy ∞-∞⎧<<<<⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他……………….. 3分 ()()12,021,02,20,0,y Y y dx y y f y f x y dx ∞-∞⎧⎧<<⎪-<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 ……………….. 3分2）2131021(1)(,)3yy x y P X Y f x y dxdy dxdy -+<+<===⎰⎰⎰⎰。

……………….. 4分六（10分）设12,,,n X X X 是来自标准正态总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，记,1,2,,i i Y X X i n =-=。

求（1）11Y X X =-的方差1()D Y ； （2）11(,)n Cov Y X X +。

解：1）12111()()()nX X X D Y D X X D X n+++=-=-12212222(1)()(1)()()()(1)(1)1nn n X X X D nn D X D X D X nn n n n n ----=-+++=-+--== ……………….. 5分 2）12111(1)(,)(,)nn n n X X X Cov Y X X Cov X X n----+=+121111((1),)1[((1),)(,)]12[(1)1]n n n n Cov n X X X X X n Cov n X X Cov X X n n n n n=----+=-+--=--= ……………….. 5分七（15）设总体X 的概率密度为()36(),00,xx x f x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本。

试求（1）θ的矩估计量ˆθ； （2）总体X 的方差()D X ； （3）ˆθ的期望ˆ()E θ和方差ˆ()D θ。

解：1）236()()()2x E X xf x dx x dx θθθθ∞-∞==-=⎰⎰……………….. 2分令2X θ=，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ……………….. 3分 2）由于3222366()()()20x E X x f x dx x dx θθθθ∞-∞==-=⎰⎰……………….. 3分 222226()()[()]()20220D XE X E X θθθ=-=-= ……………….. 2分3）ˆ()(2)2()2()E E X E X E X θθ==== ……………….. 2分 24ˆ()(2)4()()5D D X D X D X n nθθ==== ……………….. 3分 八（10分）假设某学校在校同学身高服从正态分布2(,)N μσ，其中μ未知。

现从该校随机抽取25名同学测量身高，算得身高数据的平均值170cm ，标准差为12cm 。

试通过检验说明，在显著性水平0.05α=下，能否认为该校同学身高的方差2100σ=。

注：()()()()22220.0250.0250.050.950.9751.96,2439.364,2436.415,2413.848,2412.4Z χχχχ=====解：22220010:100,:100H H σσσσ==≠= ……………….. 2分若原假设为真，则2220(1)~(1)n S n χσ-- ……………….. 2分于是 22222210022(1)(1)((1)(1))n S n S P n n ααχχασσ-⎧⎫⎧⎫--≤-≥-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因此，拒绝域为222102(1)(1)n S n αχσ-⎧⎫-≤-⎨⎬⎩⎭或22202(1)(1)n S n αχσ⎧⎫-≥-⎨⎬⎩⎭……………….. 3分 已知2220.0250.975025,0.05,12,(251)39.364,(251)12.4,100n S αχχσ===-=-==计算得22(1)2414434.56100n Sσ-⨯==由于2222122(1)(1)12.4(1)39.364n Sn nααχχσ---=<<-=故接受原假设，即可以认为该校同学身高的方差2100σ=。

……………….. 3分。