数值分析 追赶法 matlab编程
matlab追赶法解常微分方程
研究领域：数学、计算机科学文章标题：深入探讨matlab追赶法解常微分方程在数学和计算机科学领域中，常微分方程是一个重要且广泛应用的课题。
而matlab追赶法作为常微分方程的求解方法，在实际应用中具有重要意义。
本文将以深度和广度兼具的方式，对matlab追赶法解常微分方程这一主题展开全面评估，并撰写一篇有价值的文章，同时结合个人观点和理解，为读者提供深刻的思考。
一、matlab追赶法解常微分方程简介1.1 matlab追赶法基本原理matlab追赶法，又称托马斯算法，是一种用于求解三对角线性方程组的方法。
在常微分方程的数值解法中，常常会遇到需要求解三对角线性方程组的情况，而matlab追赶法正是针对这一问题而提出的高效算法。
1.2 追赶法在常微分方程求解中的应用常微分方程在实际问题中有着广泛的应用，而求解常微分方程的过程中往往需要用到追赶法。
追赶法不仅可以提高计算效率，还可以有效地解决数值稳定性和精度的问题，因此在工程和科学计算中得到了广泛的应用。
二、深入探讨matlab追赶法解常微分方程2.1 算法实现及优化matlab追赶法的实现涉及到矩阵运算、追赶过程和追赶系数的求解等关键步骤。
如何针对不同类型的方程组进行算法优化，是一个需要深入探讨的问题。
通过优化算法，可以提高追赶法的计算效率和数值稳定性，使其在常微分方程求解中发挥更大的作用。
2.2 算法的数值分析通过数值分析，可以更加深入地了解matlab追赶法在解常微分方程过程中的数值特性。
包括收敛性、稳定性、误差分析等方面，这些都是影响算法性能和应用效果的重要因素，需要进行深入的研究和分析。
三、对matlab追赶法解常微分方程的个人观点和理解3.1 算法的优势与局限性matlab追赶法作为一种高效的求解算法，具有较好的稳定性和精度，特别适合于大规模的常微分方程求解。
但在某些特定问题上，追赶法的适用性和效率仍然存在局限性，需要进行合理的选择和应用。
#数值分析Matlab作业
数值分析编程作业2012年12月第二章14.考虑梯形电阻电路的设计，电路如下：电路中的各个电流{i1,i2,…,i8}须满足下列线性方程组：121232343454565676787822/252025202520252025202520250i i V R i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=-+-=-+-=-+-=-+-=-+-=-+=这是一个三对角方程组。
设V=220V ，R=27Ω，运用追赶法，求各段电路的电流量。
Matlab 程序如下：function chase () %追赶法求梯形电路中各段的电流量 a=input('请输入下主对角线向量a='); b=input('请输入主对角线向量b='); c=input('请输入上主对角线向量c='); d=input('请输入右端向量d='); n=input('请输入系数矩阵维数n='); u(1)=b(1); for i=2:nl(i)=a(i)/u(i-1); u(i)=b(i)-c(i-1)*l(i); endy(1)=d(1); for i=2:ny(i)=d(i)-l(i)*y(i-1); endx(n)=y(n)/u(n); i=n-1; while i>0x(i)=(y(i)-c(i)*x(i+1))/u(i); i=i-1;end x输入如下: >> chase请输入下主对角线向量a=[0,-2,-2,-2,-2,-2,-2,-2]; 请输入主对角线向量b=[2,5,5,5,5,5,5,5];请输入上主对角线向量c=[-2,-2,-2,-2,-2,-2,-2,0]; 请输入方程组右端向量d=[220/27,0,0,0,0,0,0,0]; 请输入系数矩阵阶数n=8 运行结果如下：x = 8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.0477第三章14.试分别用(1)Jacobi 迭代法；(2)Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组1234510123412191232721735143231211743511512x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 迭代初始向量(0)(0,0,0,0,0)T x =。
数值分析算法在matlab中的实现
数值分析matlab实现高斯消元法：function[RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1); endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endendX列主元消去法：function[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endendXJacobi迭代法：例1用jacobi迭代法求解代数线性代数方程组,保留四位有效数字(err＝1e-4)其中A=[8-11;2 10-1;11-5];b=[1;4;3]。
追赶法求解三对角线性方程组
追赶法求解三对角线性方程组一 实验目的利用编程方法实现追赶法求解三对角线性方程组。
二 实验内容1、 学习和理解追赶法求解三对角线性方程组的原理及方法；2、 利用MATLAB 编程实现追赶法；3、 举例进行求解，并对结果进行分。
三 实验原理设n 元线性方程组Ax=d 的系数矩阵A 为非奇异的三对角矩阵11222=(1)(n 1)()()a c b a c A a n c b n a n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦………… 这种方程组称为三对角线性方程组。
显然，A 是上下半宽带都是1的带状矩阵。
设A 的前n-1个顺序主子式都不为零，根据定理2.5的推论，A 有唯一的Crout 分解，并且是保留带宽的。
其中L 是下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵。
利用矩阵相乘法，可以1112212(1)1u(n 1)()()1l u m l u A LU l n m n l n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⨯⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………得到：由上列各式可以得到L 和U 。
引入中间量y ，令y Ux =，则有：已知L 和d ，可求得y 。
则可得到y 的求解表达式：11/12,3,,()(1)*y()=()[()(1)]/y d l i nm i y i li i di y i di m i y i li==-+=--…1111111/1(2)(1)(1)u (1)(11)/(1)(1)(1)l a l u c u c l mi bi i n a i m i i l i i n ci li ui ui ci li l i a i b i ui=*===≤≤+=+++≤≤-=•=+=+-+Ax LUx Ly d Ly d ====1112222(1)(n 1)(n 1)()()(n)(n)l y d m l y d l n y d m n l n y d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……………由y Ux =得：111112221u(n 1)(n 1)(n 1)1(n)(n)u x y u x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 可得到X 的求解表达式：()()1,2,,1()()u()(1)x n y n i n n x i y i i x i ==--=-+…从而得到Ax=d 的解x 。
matlab追赶法解101阶三对角方程组
在探讨MATLAB追赶法解101阶三对角方程组之前，我们首先需要了解什么是追赶法和什么是三对角方程组。
追赶法又称托马斯算法，是一种用于求解带状矩阵（即只有主对角线和两条相邻的对角线上有非零元素的矩阵）的线性方程组的方法。
而三对角矩阵就是只有主对角线和两条相邻的对角线上有非零元素的矩阵。
在实际应用中，求解带状矩阵的线性方程组是非常常见的，特别是在数值计算和科学工程领域。
现在，让我们深入探讨MATLAB追赶法解101阶三对角方程组的方法和具体步骤。
一、MATLAB追赶法解101阶三对角方程组1. 概念介绍101阶三对角方程组是一个非常大的线性方程组，通常使用传统的高斯消元法来求解会耗费大量的时间和计算资源。
而MATLAB追赶法通过利用三对角矩阵的特殊性质，可以有效地简化计算过程，并且节省大量的内存和计算资源。
2. 追赶法步骤（1）将原方程组化为追赶法所需的形式；（2）利用追赶法求解三对角线性方程组。
二、追赶法求解101阶三对角方程组的实现过程1. 将原方程组化为追赶法所需的形式对于101阶三对角方程组，我们首先需要将其化为追赶法所需的形式。
这个过程涉及到选取合适的追赶元和追赶子以及对原方程组的变形，将其化为追赶法能够直接处理的形式。
2. 利用追赶法求解线性方程组一旦将原方程组化为追赶法所需的形式，我们就可以利用追赶法对其进行求解。
追赶法的核心是通过追赶子的迭代计算，逐步求得线性方程组的解。
在MATLAB中，可以使用内置的追赶法求解函数，也可以编写自定义的追赶法算法来实现对101阶三对角方程组的求解。
三、个人观点和理解在实际工程和科学计算中，追赶法是一种非常有效的求解带状矩阵线性方程组的方法。
对于大规模的三对角方程组，特别是高阶的情况，传统的直接求解方法往往会遇到内存和计算资源的限制，而追赶法能够通过精巧的迭代计算，在保证解的精度的显著提高计算效率。
在MATLAB中，通过调用内置的追赶法函数，可以快速地求解大规模的三对角方程组，极大地方便了工程实践中的数值计算工作。
追赶法求解三对角线性方程组
追赶法求解三对角线性方程组一 实验目的利用编程方法实现追赶法求解三对角线性方程组。
二 实验内容1、 学习和理解追赶法求解三对角线性方程组的原理及方法；2、 利用MATLAB 编程实现追赶法；3、 举例进行求解，并对结果进行分。
三 实验原理设n 元线性方程组Ax=d 的系数矩阵A 为非奇异的三对角矩阵11222=(1)(n 1)()()a c b a c A a n c b n a n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦………… 这种方程组称为三对角线性方程组。
显然，A 是上下半宽带都是1的带状矩阵。
设A 的前n-1个顺序主子式都不为零，根据定理2.5的推论，A 有唯一的Crout 分解，并且是保留带宽的。
其中L 是下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵。
利用矩阵相乘法，可以1112212(1)1u(n 1)()()1l u m l u A LU l n m n l n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⨯⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………得到：由上列各式可以得到L 和U 。
引入中间量y ，令yUx =，则有：已知L 和d ，可求得y 。
则可得到y 的求解表达式：11/12,3,,()(1)*y()=()[()(1)]/y d l i nm i y i li i di y i di m i y i li==-+=--…1111111/1(2)(1)(1)u (1)(11)/(1)(1)(1)l a l u c u c l mi bi i n a i m i i l i i n ci li ui ui ci li l i a i b i ui=*===≤≤+=+++≤≤-=•=+=+-+Ax LUx Ly d Ly d ====1112222(1)(n 1)(n 1)()()(n)(n)l y d m l y d l n y d m n l n y d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……………由y Ux =得：111112221u(n 1)(n 1)(n 1)1(n)(n)u x y u x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 可得到X 的求解表达式：()()1,2,,1()()u()(1)x n y n i n n x i y i i x i ==--=-+… 从而得到Ax=d 的解x 。
数值分析作业-matlab上机作业
数值分析———Matlab上机作业学院：班级：老师：姓名：学号：第二章解线性方程组的直接解法第14题【解】1、编写一个追赶法的函数输入a，b，c，d输出结果x，均为数组形式function x=Zhuiganfa(a,b,c,d)%首先说明：追赶法是适用于三对角矩阵的线性方程组求解的方法，并不适用于其他类型矩阵。
%定义三对角矩阵A的各组成单元。
方程为Ax=d%b为A的对角线元素(1~n)，a为-1对角线元素(2~n)，c为+1对角线元素(1~n-1)。
% A=[2 -1 0 0% -1 3 -2 0% 0 -2 4 -3% 0 0 -3 5]% a=[-1 -2 -3];c=[-1 -2 -3];b=[2 3 4 5];d=[6 1 -2 1];n=length(b);u(1)=b(1);y(1)=d(1);for i=2:nl(i)=a(i-1)/u(i-1);%先求l(i)u(i)=b(i)-c(i-1)*l(i);%再求u(i)%A=LU,Ax=LUx=d,y=Ux,%Ly=d,由于L是下三角矩阵，对角线均为1，所以可求y(i)y(i)=d(i)-l(i)*y(i-1);endx(n)=y(n)/u(n);for i=(n-1):-1:1%Ux=y,由于U是上三角矩阵，所以可求x(i)x(i)=(y(i)-c(i)*x(i+1))/u(i);end2、输入已知参数>>a=[2 2 2 2 2 2 2];>>b=[2 5 5 5 5 5 5 5];>>c=[2 2 2 2 2 2 2];>>d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];3、按定义格式调用函数>>x=zhuiganfa(a,b,c,d)4、输出结果x=[8.147775166909105 -4.073701092835030 2.036477565178471 -1.017492820111148 0.507254485099400 -0.250643392637350 0.119353996493976 -0.047741598597591]第15题【解】1、编写一个程序生成题目条件生成线性方程组A x=b 的系数矩阵A 和右端项量b ，分别定义矩阵A 、B 、a 、b 分别表示系数矩阵，其中1(10.1;,1,2,...,)j ij i i a x x i i j n -==+=或1(,1,2,...,)1ij a i j n i j ==+-分别构成A 、B 对应右端项量分别a 、b 。
数值分析的MATLAB程序
列主元法function lianzhuyuan(A,b)n=input('请输入n:') %选择阶数A=zeros(n,n); %系数矩阵Ab=zeros(n,1); %矩阵bX=zeros(n,1); %解Xfor i=1:nfor j=1:nA(i,j)=(1/(i+j-1)); %生成hilbert矩阵Aendb(i,1)=sum(A(i,:)); %生成矩阵bendfor i=1:n-1j=i;top=max(abs(A(i:n,j))); %列主元k=j;while abs(A(k,j))~=top %列主元所在行k=k+1;endfor z=1:n %交换主元所在行a1=A(i,z);A(i,z)=A(k,z);A(k,z)=a1;enda2=b(i,1);b(i,1)=b(k,1);b(k,1)=a2;for s=i+1:n %消去算法开始m=A(s,j)/A(i,j); %化简为上三角矩阵A(s,j)=0;for p=i+1:nA(s,p)=A(s,p)-m*A(i,p);endb(s,1)=b(s,1)-m*b(i,1);endendX(n,1)=b(n,1)/A(n,n); %回代开始for i=n-1:-1:1s=0; %初始化sfor j=i+1:ns=s+A(i,j)*X(j,1);endX(i,1)=(b(i,1)-s)/A(i,i);endX欧拉法clcclear% 欧拉法p=10; %贝塔的取值T=10; %t取值的上限y1=1; %y1的初值r1=1; %y2的初值%输入步长h的值h=input('欧拉法please input number(h=1 0.5 0.25 0.125 0.0625):h=') ; if h>1 or h<0breakendS1=0:T/h;S2=0:T/h;S3=0:T/h;S4=0:T/h;i=1;% 迭代过程for t=0:h:TY=(exp(-t));R=(1/(p-1))*exp(-t)+((p-2)/(p-1))*exp(-p*t);y=y1+h*(-y1);y1=y;r=r1+h*(y1-p*r1);r1=r;S1(i)=Y;S2(i)=R;S3(i)=y;S4(i)=r;i=i+1;endt=[0:h:T];% 红线为解析解，'x'为数值解plot(t,S1,'r',t,S3,'x')改进欧拉法clcclearp=10; %贝塔的取值T=10; %t取值的上限y1=1; %y1的初值r1=1; %y2的初值%输入步长h的值h=input('改进欧拉法please input number(h=1 0.5 0.25 0.125 0.0625):h=') ; if h>1 or h<0breakendS1=0:T/h;S2=0:T/h;S3=0:T/h;S4=0:T/h;i=1;% 迭代过程for t=0:h:TY=(exp(-t));R=(1/(p-1))*exp(-t)+((p-2)/(p-1))*exp(-p*t);k1=-y1;l1=y1-p*r1;k2=-(y1+h*k1);l2=y1+h*k1-p*(r1+h*l1);y=y1+h*(k1+k2)/2;r=r1+h*(k1+k2)/2;r1=r;y1=y;S1(i)=Y;S2(i)=R;S3(i)=y;S4(i)=r;i=i+1;endt=[0:h:T];% 红线为解析解，'x'为数值解plot(t,S1,'r',t,S3,'x')高斯-赛德尔function gaosisaideern=input('n='); %阶数tol=input('tol='); %迭代精度A=zeros(n,n);b=zeros(n,1); %生成b向量for i=1:n %给Hilbert矩阵和b向量赋值for j=1:nA(i,j)=(1/(i+j-1));endb(i,1)=sum(A(i,:));endy=zeros(n,1); %迭代解x1=zeros(n,1); %准确解for i=1:ny(i,1)=0; %迭代解赋初值x1(i,1)=1; %生成准确解endk=0;while norm(y-x1)>=tol %精度控制(采用自动步数控制) k=k+1;for i=1:n %迭代开始a1=0;a2=0;for j=1:i-1a1=a1+A(i,j)*y(j,1);endfor j=i+1:na2=a2+A(i,j)*y(j,1);endy(i,1)=(b(i,1)-a1-a2)/A(i,i);endenddisp('迭代步数k')kdisp(y) %显示yend最速下降法function gaosisaideern=input('阶数n='); %阶数tol=input('迭代精度tol='); %迭代精度eps=input('最速下降法eps=');A=zeros(n,n);b=zeros(n,1); %生成b向量for i=1:n %给Hilbert矩阵和b向量赋值for j=1:nA(i,j)=(1/(i+j-1));endb(i,1)=sum(A(i,:));endy=zeros(n,1); %迭代解x1=zeros(n,1); %准确解t=zeros(n,1);r=zeros(n,1);for i=1:ny(i,1)=0; %迭代解赋初值x1(i,1)=1; %生成准确解endr=b-A*y;while norm(r)>=eps; %先进行最速下降法求得进行赛德尔迭代的初始解yt=(r'*r)/(r'*A*r);s1=t*r;y=y+s1;r=b-A*y;endk=0;while norm(y-x1)>=tol %精度控制(采用自动步数控制)k=k+1;for i=1:n %迭代开始a1=0;a2=0;for j=1:i-1a1=a1+A(i,j)*y(j,1);endfor j=i+1:na2=a2+A(i,j)*y(j,1);endy(i,1)=(b(i,1)-a1-a2)/A(i,i);endenddisp('迭代步数k')disp(k)disp(y) %显示y四阶龙格-库塔法clcclearp=10; %贝塔的取值T=10; %t取值的上限y1=1; %y1的初值r1=1; %y2的初值%输入步长h的值h=input('四阶龙格please input number(h=1 0.5 0.25 0.125 0.0625):h=') ; if h>1 or h<0breakendS1=0:T/h;S2=0:T/h;S3=0:T/h;S4=0:T/h;i=1;% 迭代过程for t=0:h:TY=(exp(-t));R=(1/(p-1))*exp(-t)+((p-2)/(p-1))*exp(-p*t);k1=-y1;l1=y1-p*r1;k2=-(y1+h*k1/2);l2=y1+h*k1/2-p*(r1+h*l1/2);k3=-(y1+h*k2/2);l3=y1+h*k2/2-p*(r1+h*l2/2);k4=-(y1+h*k3);l4=y1+h*k3-p*(r1+h*l3);y=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;r=r1+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;r1=r;y1=y;S1(i)=Y;S2(i)=R;S3(i)=y;S4(i)=r;i=i+1;endt=[0:h:T];% 红线为解析解，'x'为数值解plot(t,S1,'r',t,S3,'x')。