广东省六校联盟2020届高三第三次联考 数学(理)试题(含答案)
3. 设 a R ， b 0 ，则 3a b 是 a log3 b 的( )
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7
1
4. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 30 ，既吹东风又下雨的概率为 10 .则在吹
东风的条件下下雨的概率为( )
3 A. 11
3 B. 7
7 C. 11
1 D. 10
5. 设等差数列的前 n 项和为 Sn (n N ) ，当首项和公差 d 变化时，若是定值，则下列各项中为定值
的是( )
·1·
A. S15
B. S16
C. S17
D. S18
A
(
6) .
设的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c 若，， 3 ，则 B
2
5
A. 6
B. 3
C. 6 或 6
D.
4
x2 7率.为已，知过椭F圆2 的C直：线a2l
y2 b2
交C
1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，离
于 A、B 两点，若的周长为，则 C 的方程为
心 (
)
x2 y2 1 A. 3 2
x2 y2 1 B. 3
x2 y2 1 C. 12 8
绝密★启用前
2020 届六校联盟高三第三次联考
理科数学
本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. zi i
1. 满足 z ( i 为虚数单位的复数 z =( )
·4·
民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了 更好的制定 2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入单位：千元同一组数据用该组数据区间的中 点值表示；
x2 y2 1 D. 12 4
8.
已知向量
a
cos
,
sin
，
b
1,
2
，若
a
与
b
的夹角为
6
，则 |
a
b
| =(
)
A. 2
B. 3
C. 2
sin x
f (x)=
9. 函数
2ex 的图象的大致形状是( )
D. 1
A.
B.
C.
D.
10.
x2 已知双曲线 a2
y2 b2
1( a
0, b 0 )的左，右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 A 在双曲线上，且
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
f (x) a sin 2x 1 sin 3x
x
13. 已知函数
3
（ a 为常数）在 3 处取得极值，则 a 值为______.
14.
若 x2020
a1 a0 a1(x 1) a2 (x 1)2 a2020 (x 1)2020 ，则 3
a2 32
a2020 32020
=______．
f (x)= ax b (c 0)
(d ,a)
f (x)= 2 2x
15. 若函数
cx d
，其图象的对称中心为 c c ，现已知
2x 1 ，数列
{an} 的通项公式为 an
f ( n )(n N )
2020
，则此数列前 2020 项的和为______．
由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布，其中近似为年平均收入， 近似为样本方差，经计算得：，利用该正态分布，求：
23 16. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，以顶点 A 为球心， 3 为半径作一个球，则球面与
正方体的表面相交所得到的曲线的长等于______．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
·3·
17. （本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 2sin(x ) cos x ．
3
(1)若
0
x
2
，求函数
f
(x) 的值域；
f (A)= 3
(2)设的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A 为锐角且
2 ，， c 3，求
的值．
18. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，
3 ．
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)过点 M 作直线 l ' l 交抛物线 C 于 P ， Q 两点，记 OAB ， OPQ 的面积分别为 S1 ， S2 11
，证明： S12 S22 为定值.
20. （本小题满分 12 分）
十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人
如图，在堑堵 ABC A1B1C1 中， AB BC ， AA1 AB ，堑堵的顶点 C1 到直线 A1C 的距离为 m ，
m C1 到平面 A1BC 的距离为 n ，则 n 的取值范围是
(1, 2 3 ) A. 3
( 2,2 3) B. 2 3
( 2 3 ,3) C. 3
( 2 3 , 2) D. 3
11i A. 2 2
11i B. 2 2
11i C. 2 2
11i D. 2 2
A y | y x2 1 , B x | y lg x 2x2
2. 已知集合
，则
1 [0, ) A. 2
B.
( , 0) ∪[
1 2
,+ )
1 (0, ) C. 2
D.
( , 0]
[ 1 ,+) ∪2
AF2 x 轴，若的内切圆半径为，则其离心率为( )
·2·
A. 3
B. 2
C. 3 1
D. 2 3
11.
设函数
f
x sin x ，若
f(
6
)
f ( 7 6
)
f
(
3
) ，则 的最小正值是(
)
A. 1
6 B. 5
C. 2
D. 6
12. 在我国古代数学名著九章算术中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵
DAB 90 ,AD∥BC，侧面 PAB，是等边三角形，，，E 是线段 AB
的中点． 1)求证：； 2)求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值．
19. （本小题满分 12 分）
已知 O 为坐标原点，过点 M 1, 0 的直线 l
与抛物线 C
：
y2
2 px( p
0)
交于
A，
B
两点，且 OAOB
六校联盟2020届高三数学下学期第三次联考试题文含解析
∴实数a的取值范围是（1，2］．
故答案为 ．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题,每位考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
综上所述，双曲线 的离心率为2或 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
12. 已知求 的表面积为 , 在球面上，且线段 的长为 ，记 的中点为 ，若 与平面 的所成角为 ，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A. B. C。 D。
，在 中，
由 ，得 ，
由勾股定理得: ,
因为 到 三点的距离相等,
所以三棱锥 外接球的球心 在射线 上，
设四面体 外接球半径为 ，在 中， ，
由勾股定理可得： ，
即 ，解得 ，
故所求球体积 ，
故选D．
【点睛】本题考查球的有关计算、考查空间几何体的结构特征、考查逻辑推理、考查学生空间想象能力、逻辑思维能力,是中档题．
A. 2B。 C. 或2D. 或2
【答案】D
【解析】
【分析】
对A，B的位置分两种情况讨论，先求出 的坐标，再根据 得到 的方程,化简即得双曲线 的离心率。
【详解】当点 在 轴上方， 在 轴下方时,如图，
设 ，则 的右焦点且斜率为 的直线 ，
而渐近线的方程是 ，
由 得 ，
由 得 ,
,
，
可得 ,
，
。
同理，当点 在 轴下方时，如图，计算得 .
所以, 即为所求切线方程.
2024届广东省高三第三次六校联考数学试题及答案
东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （ ）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,22. 若复数z 满足()34i 1z -=，则z =（ ）A. 1B.15C.17 D.1253. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a a b ⊥- ，则a 与b夹角为（ ）A.π3B.π2C.2π3D.5π64. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（ ）A. 12-B.12C. 45-D.455. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（ ）的A.B.C.D.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ）A. 1,1,1B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上投影向量为2a10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（ ）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位.的11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ）A. 存在点P ，使得11//C P AB B. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45三、填空题：本题共45分，共20分.13. 关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x +=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.的（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-..东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （ ）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为{}0,1,2A =，{}2,0,1B =-，所以{}0,1A B = .故选：A2. 若复数z 满足()34i 1z -=（ ）A. 1 B.15C.17D.125【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.【详解】由()()()134i 34i 3434i 1i 34i 34i 34i 252525z z ++-=⇒====+-+⋅-，所以15z ==.故选：B.3. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则a 与b的夹角为（ ）A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析】分析可得()0a a b ⋅-= ，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos ,a b的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出a 与b的夹角.【详解】因为非零向量a 、b满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则()2222cos ,2cos ,0a a b a a b a a b a b a a a b ⋅-=-⋅=-⋅=-=，所以，1cos ,2a b = ，又因为0,πa b ≤≤ ，故π,3a b = .因此，a 与b 的夹角为π3.故选：A.4. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（ ）A. 12-B.12C. 45-D.45【答案】C 【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=，解得tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.5. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线l 与曲线()y f x =相切，求出2π,a k k Z =-∈，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．【详解】设函数()sin 2f x x =和直线:2l y x a =+的切点坐标为()00,x y ，则()0000'2cos 22sin 22f x x x x a ⎧==⎨=+⎩，可得2π,a k k Z =-∈，所以0a =时，直线l 与曲线()y f x =相切；直线l 与曲线()y f x =相切不能推出0a =．因此“0a =”是“直线l 与曲线()y f x =相切”的必要不充分条件．故选：B ．6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数,a b 满足21a b +=，则221211111(2)()1(2)()a b a b a b a b a b a b+++=+++=+++2444b a a b =++≥+=+2b a a b =，即1a ==-时取等号，所以当1,1a b ==时，22121a b a b +++取得最小值4+.故选：D7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（ ）A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，证明出GH ⊥平面SAB ，计算出三棱锥C SAB -、G SEF -的体积，可得出EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-，即可得解.【详解】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，因为AC AB ⊥，AC SA ⊥，AB AS A ⋂=，AB 、AS ⊂平面SAB ，所以，AC ⊥平面SAB ，因为//GH AC ，则GH ⊥平面SAB ，且34GH SG AC SC ==，则34GH AC ==因为E 、F 分别为SA 、BS 的中点，则(21111442SEF ABS S S ==⨯⨯=△△，所以，11133G SEF SEF V S GH -=⋅=⨯=△(3111332C SABSAB V S AC -=⋅=⨯⨯=△，因此，EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-==故选：C.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ）A. 1,1,1 B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6【答案】B 【解析】【分析】根据新定义进行验证即可得．【详解】选项A 中，1233a a a ++=，和不可能为4，A 不是4-连续可表数列；选项B 中，112231231,2,3,4a a a a a a a a =+=+=++=，B 是4-连续可表数列；选项C 中，没有连续项的和为2，C 不是4-连续可表数列；选项D 中，没有连续项的和为1，D 不是4-连续可表数列．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A. 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r ，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a【答案】CD 【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A 选项；利用向量垂直的表示可判断B 选项；利用三角形重心的向量性质可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，已知9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(),8b k = ，若//a b r r ，则298362k =⨯=，解得6k =±，A 错；对于B 选项，若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则()0a c b c c a b ⋅-⋅=⋅-= ，所以，a b = 或()c a b ⊥-，B 错；对于C 选项，若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=，C 对；对于D 选项，若向量()1,1a =- ，()2,3b =，则向量b 在向量a上的投影向量为21cos ,2a a b a a b b a b b a a a a b a a⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅，D 对.故选：CD.10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（ ）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位【答案】BCD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为22si 1()s cos co n f x x x x =+-cos 2111sin2π222224x x x x x ⎫+⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x，故A 错误；函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，所以图象C 相邻两条对称轴的距离为π2，故B 正确；因为πππ20884f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以图象C 关于π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到y x =，故D 正确；故选：BCD11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给函数的定义求解C ，根据对数运算求解A ，根据三角函数的周期性以及单调性求解BD.【详解】对于A,由()()121f x f x +=可得121212ln ln 1ln 1e x x x x x x +=⇒=⇒=，所以21ex x =，故A 正确，对于B ，取1π2x =，则由()()121f x f x +=以及()sin f x x =可得22sin 0π,Z x x k k =⇒=∈,故这与存在唯一2x D ∈矛盾，故B 错误，对于C ，由于函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，故()()12111f x f x -+-=，因此对于对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()12111f x f x -+-=，故()1f x -是“Ⅰ型函数”，C 正确，对于D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得12sin sin 1m x m x +++=，所以21sin 12sin x m x =--，由于[]11ππ,,sin 1,122x x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣∈⎦，所以[]21sin 12sin 2,22,x m x m m =--∈--，由于sin y x =在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦单调递增，的所以21m -≥-且221m -≤，故12m =，D 正确，故选：ACD12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ）A. 存在点P ，使得11//C P ABB. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解A ，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B ，根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C ，建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性质即可求解D.【详解】由于111BC C D BD BDC ===∴ 为等边三角形，且其外接圆的半径为12r ==，由于1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又11,,,AC BD AC AA A AC AA ⊥⋂=⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，故1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ⊥,因此11,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面1BDC ，故1AC ⊥平面1BDC ，因此三棱锥1P BC D -为正三棱锥，设外接球半径为R ，球心到平面1BDC 的距离为h ，则R =0h =时，R r ==B 正确，取11,,ABCD AD 的中点为,M Q ,N ,连接,,NM MQ NQ ,当P 是1AC 的中点，也是QM 的中点，则该截面为与平面1BC D 平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为NM==,所以截面面积为16sin602⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，C正确，对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,1,0,1,0,1D C A()111,0,0C B DA==,设()()111,1,1,,A P a A C a a a a==--=--，(01a≤≤),()()()1111,,0,1,0,1,B P A P A B a a a a a a=-=---=---,所以点P到直线11B C的距离为d====，由于01a≤≤，所以d⎤=⎥⎦，由于45⎤∈⎥⎦,故D正确，由于()()1,1,,1,,1B P a a a P a a a=---∴--，()10,1,1C,则()11,1,C P a a a=---,()()()111,0,0,1,1,1,0,1,1A B AB=,若()10,1,1AB=与()11,1,C P a a a=---共线，则10a-=，1a=，此时()10,0,1C P=-，此时()10,1,1AB=与()10,0,1C P=-不共线，故11,C P AB不平行故A错误，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 关于x 不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.【答案】43-##113-【解析】【分析】分析可知，3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，利用韦达定理可得出a b +的值.【详解】因为关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a<0，且3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，由韦达定理可得31a b a +-+=-，231a -⨯=，解得23a =-，所以，423a b a +==-.故答案为：43-.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.【答案】9【解析】【分析】根据10109a S S =-求出10a ，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，所以()10991010921212a S S =-=---=，所以92102log log 29a ==.故答案为：9的15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(0,1)【解析】【分析】方程变形为()0f x =或()f x a =，其中()0f x =可解得两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象得它们有4个交点时的参数范围．【详解】2()()0f x af x -=，则()0f x =或()f x a =，2100x x -=⇒=，2(2)02x x -=⇒=，即()0f x =有两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象可知，当01a <<时满足题意，故答案为：(0,1)．16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.【答案】816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】π|sin |2A ϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据||AD =222π28(1243A sin ϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ，即可求出()f x ，再由三角函数的性质求解．【详解】由题意可得：||||OB OC =，2πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，2,0B πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(0,sin )C A ，πsin 1,22A D ϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，AD = ，222πsin 281243A ϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把πsin A ϕω=+代入上式可得：2ππ(2240ωω-⨯-=，0ω>.解得π6ω=，π6ω∴=，πsin()03ϕ∴+=，π||2ϕ≤，解得π3ϕ=-.πsin 263⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，所以函数16ππ()sin()363f x x =-，[]1,6x ∈时，πππ2π,6363x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin(,1632x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，16ππ816()sin(),36333f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）证明见解析，2n S n = （2）n T =【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可得出数列{}n S 的通项公式；（2）利用n S 与n a 的关系可求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法可求得n T .【小问1详解】解：对任意的n *∈N ，()211n n nS n S n n +=+++，则()()()21111111n n n n nS n S S S n nn n n n n n ++-++-===+++，所以，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且其首项为111S =，公差为1，所以，11nS n n n=+-=，故2n S n =.【小问2详解】解：当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11a =也满足21n a n =-，故对任意的n *∈N ，21n a n =-.所以，()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故111111111111232352212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.【答案】（1）2π3A = （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出2AD AB AC =+，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本不等式可得出关于a a 的最大值.【小问1详解】解：因为A 、()0,πC ∈，则sin 0C >，由正弦定理可得()2cos sin sin cos sin cos sin sin A C B A A B A B C -=+=+=，所以，1cos 2A =-，故2π3A =.【小问2详解】解：因为D 为BC 中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以，2AD AB AC =+，所以，22222222π422cos 163AD AC AB AC AB b c bc b c bc =++⋅=++=+-= ，由余弦定理可得222222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=++，所以，222162a b c ++=，2216bc a =-，的由基本不等式可得222b c bc +≥，即2216162a a +≥-，解得0a <≤，当且仅当2216b cb c bc =⎧⎨+-=⎩时，即当4b c ==时，等号成立，故a的最大值为19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x ++=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.【答案】（1）()2122f x x x =-- （2）[)(]2,10,1--⋃【解析】【分析】（1）()()20f x ax bx c a =++≠，根据()()25152f x f x x x ++=---可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）求出函数()g x 的定义域，利用导数分析函数()g x 的单调性，由()()22g x x g +≥可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得实数x 的取值范围.【小问1详解】解：设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c++=+++++++()225222252ax a b x a b c x x =+++++=---，所以，21225522a a b a b c ⎧⎪=-⎪+=-⎨⎪⎪++=-⎩，解得1220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，故()2122f x x x =--.【小问2详解】解：函数()()2l ln 1n 22x x x x g x x x f x +-==-的定义域为()0,∞+，且()ln 12ln 1g x x x x x '=+--=--，令()ln 1h x x x =--，其中0x >，则()111x h x x x-'=-=，由()0h x '>可得01x <<，由()0h x '<可得1x >，所以，函数()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故对任意的0x >，()()()10g x h x h '=≤=，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由()()22g x x g +≥可得202x x <+≤，解得21x -≤<-或01x <≤，因此，不等式()()22g x x g +≥的解集为[)(]2,10,1--⋃.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1319【解析】【分析】（1）证明出AD ⊥平面BCD ，可得出AD BC ⊥，利用中位线的性质可得出//EF BC ，即证得结论成立；（2）分析可知，二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角C DF E --所成角的余弦值.【小问1详解】证明：翻折前，AD BC ⊥，则AD CD ⊥，AD BD ⊥，翻折后，则有AD CD ⊥，AD BD ⊥，因为BD CD D ⋂=，BD 、CD ⊂平面BCD ，所以，AD ⊥平面BCD ，因为BC ⊂平面BCD ，所以，AD BC ⊥，在四棱锥A BCD -中，因为点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点，则//EF BC ，因此，AD EF ⊥.【小问2详解】解：因为AD CD ⊥，AD BD ⊥，则二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，即tan 2BDC ∠=，因AD ⊥平面BCD ，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为60ABD ∠=o ，AD BD ⊥，AD =2tan 60AD BD ===，又因为CD =()0,A 、()2,0,0B 、()1,0,2C 、()0,0,0D、12E ⎛⎫⎪⎝⎭、()F ，设平面CDF 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,2DC =，()DF = ，则1111200m DC x z m DF x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，可得(2,m =- ，设平面DEF 的法向量为()222,,x n y z = ，1,0,12EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则22220102n DF x n EF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =，可得(n =- ，为所以，13cos ,19m n m n m n ⋅===⋅，由图可知，二面角C DF E --的平面角为锐角，故二面角C DF E --的余弦值为1319.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈.【答案】（1）2144nn n b =+（2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）运算可得2224nn n b b -=⋅，结合等比数列的定义即可得证；（3）放缩得2222(21)(21)422n n n n n n b b -+<-⋅，进而可得112k k n n k ==-∑<∑，结合错位相减法即可得证.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2231464a a q q =⋅==，则4q =，所以1444n n n a -=⋅=，又221144n n n n n b a a =+=+.【小问2详解】所以22242211442444n n n n n n nb b ⎛⎫⎛⎫-=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以220nn b b -≠，且211222224424n n n nn n b b b b +++-⋅==-⋅，所以数列{}22n n b b -是首项为8，公比为4的等比数列；【小问3详解】由题意知，()()2222222121(21)(21)414242222n n nn n n n n n n n b b -+-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-<==，所以112k k n n k==-∑<∑，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n nT =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以4n T =所以1112422k k n n n k n ==--+⎫∑<∑=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为k n =∑相减法即可得证.22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-.【答案】22. ()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.23. 证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性；（3）利用切割线放缩证明.【小问1详解】()()ln f x x t x =-,()n 1l 1ln t x f x t x x x ⎛'⎫-⎝=-+=-- ⎪⎭,()100e t f x x ->⇔<<',()10e t x f x -<⇔>',()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.【小问2详解】()()1ln f x x x =-,()ln f x x '=-,()()1ln f x x x =-在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减.()11f =()e 0f =，()()00000211ln lim lim 1ln lim lim lim 011x x x x x x x f x x x x x x +++++→→→→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭=--⎝-==⎭，因()10f x x'⎤⎦=-<⎡⎣'，所以函数()f x 在区间()0,e 上为上凸函数，函数()f x 在区间(]0,e 的图象如图所示.不妨设12x x <，则1201e x x <<<<.连接()1,1A 和点()e,0的直线l 2的方程为：()1e 1ey x =--,当y a =时，()41e e x a =-+,由图可知24x x >,所以要证明121(2e)e e x x a +>-+-，只需证明411(2e)e ex x a +>-+-，即只需证明1411(2e)e e ex a x a >-+--=-，连接OA 的直线1l 的方程为y x =,设函数()f x 的图象的与OA 平行的切线是直线3l ，为()1ln 1e x f x x '-===⇒，11121ln e e e e f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭=，直线3l 的方程为21e e y x -=-,即1ey x =+，令y a =,得直线y a =与直线3l 的交点横坐标为1ea -,由图可知，11ex a >-，故要证不等式成立.。
广东省六校联盟2020届高三第三次联考 数学(理)试题(含答案)
绝密★启用前2020届六校联盟高三第三次联考理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 满足z +(i 为虚数单位的复数z =( )A .1122i + B . 1122i - C . 1122i -+ D . 1122i -- 2. 已知集合{}(){}22|1,|lg 2y y x B x y x x A ==-==-，则A . 1[0,)2B . (,0)-∞∪1[,+)2∞C . 1(0,)2D . (,0] -∞∪1[,+)2∞3. 设a R ∈，0b >，则3a b >是3log a b >的( )A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为730，既吹东风又下雨的概率为110.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A .311 B . 37C .711D .1105. 设等差数列的前n 项和为()n S n N *∈，当首项和公差d 变化时，若是定值，则下列各项中为定值的是( )A . 15SB . 16SC . 17SD . 18S6. 设的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 若，，3A π=，则B =( )A .6πB .23π C .6π或56π D .4π7. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若的周长为，则C 的方程为( )A . 22132x y +=B . 2213x y +=C . 221128x y +=D . 221124x y +=8. 已知向量()cos ,sin a θθ=r ，()1,2b =r ，若a r 与b r 的夹角为6π，则||a b -r r =( )A . 2B . 3C . 2D . 19. 函数sin ()=2xxf x e的图象的大致形状是( ) A . B .C .D .10. 已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左，右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，且2AF x⊥轴，若的内切圆半径为，则其离心率为( )A 3B . 2C . 31D . 2311. 设函数()()sin f x x ωϕ=+，若7()()()663f f f πππ==-，则ω的最小正值是( ) A . 1 B .65C . 2D . 6 12. 在我国古代数学名著九章算术中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB BC =，1AA AB >，堑堵的顶点1C 到直线1A C 的距离为m ，1C到平面1A BC 的距离为n ，则mn的取值范围是 A . 23(1,) B . 223(,)2 C . 23(,3) D . 23(,2)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数1()sin 2sin 33f x a x x =-（a 为常数）在3x π=处取得极值，则a 值为______.14. 若2020220200122020(1)(1)(1)xa a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-，则20201222020333a a a ++⋅⋅⋅+=______． 15. 若函数()=(0)axb f xc cxd +≠+，其图象的对称中心为(,)d a c c -，现已知22()=21xf x x --，数列{}n a 的通项公式为()()2020n na f n N *=∈，则此数列前2020项的和为______． 16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A 为球心，23为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）已知函数 ． (1)若 ，求函数()f x 的值域；(2)设的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角且3()=f A ，，3c =，求的值．18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=o ,AD ∥BC ，侧面PAB ，是等边三角形，，，E 是线段AB的中点．()2sin()cos 3f x x x π=+02x π≤≤1)求证：；2)求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．19. （本小题满分12分）已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB u u u r u u u r⋅=-．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，证明：221211S S +为定值.20. （本小题满分12分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入单位：千元同一组数据用该组数据区间的中点值表示；由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得：，利用该正态分布，求：()i 在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？()ii 为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式，若2(,)X N μσ~，则；21. （本小题满分12分）已知函数1)1()(-+=tx x f 的定义域为()+∞,1-，其中实数t 满足10≠≠t t 且.直线:l )(x g y =是)(x f 的图像在0=x 处的切线.(1)求l 的方程)(x g y =；(2)若)()(x g x f ≥恒成立，试确定t 的取值范围； (3)若()1,0,21∈a a ，求证：12212121aaaaa a a a +≥+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．若曲线1C 方程中的参数是，且1C 与2C 有且只有一个公共点，求1C 的普通方程；已知点()0,1A ，若曲线1C 方程中的参数是t ，，且1C 与2C 相交于P ，Q 两个不同点，求11||||AP AQ +的最大值．23. [选修4 ― 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()|1|||()f x x x a a N *=--+∈，恒成立． (1)求a 的值； (2)若正数x ，y 满足12a x y +=，证明：1122x y xy ++≥。
广东省实验中学2020届高三上学期第三次阶段考试数学(理)试题 Word版含答案
- 1 - 广东实验中学2020届高三级第三次阶段考试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分 分，考试用时 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{},06|2<--=x x x A 集合{}1log |2<=x x B ，则=B A （ ） A ．)3,2(- B ．)3,(-∞ C ．)2,2(- D ．)2,0(2．己知i 是虚数单位，复数z 满足i zz =-1，则z 的模是( ) A ．1B ．21C ．22D ．2 3．若,2ln =a 215=b ，xdx c cos 2120⎰=π，则c b a ,,的大小关系( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b << 4．若12cos sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x π，则=x 2cos （ ） A ．98- B ．97- C ．97 D ．1-5．)2,(--∞∈m 是方程165222=--+-m m y m x 表示的图形为双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．点p 是ABC ∆所在平面上一点，若AC AB AP 5352+=,则ABP ∆与ACP ∆的面积之比是( )A ．53B ．25C ．23D ．32。
广东省汕头市2020届高三上学期第三次联考数学(理)试题Word版含解析
广东省汕头市2020届高三上学期第三次联考数学（理）试题一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）1.已知集合则A. [－1，4)B. [0，5)C. [1，4]D. [－4，－1) [4，5)【答案】B【解析】由题意得，故.选B。
2.已知为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用复数模的运算化简复数的分子，再利用复数除法运算来化简，最后取的共轭复数得到结果. 【详解】，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查复数除法的运算以及共轭复数的概念，属于基础题.3.已知向量＝(1，m)，＝(3，－2)，且(＋)⊥，则m＝A. －8B. －6C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得到答案.【详解】因为，所以，又由，所以，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的垂直的坐标运算，其中熟记向量的坐标运算和向量的垂直关系的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是增函数C. 是奇函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是减函数【答案】A【解析】所以是奇函数，且在上是增函数，选A.5.设实数满足则的最小值为（）A. －5B. －4C. －3D. －1【答案】A【解析】【分析】画出线性区域，平移直线，由此求得的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为.【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值的问题.画出可行域后，平移直线到可行域边界的位置，由此求得最大值或者最小值.属于基础题.6.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：广告费销售额由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为万元时的销售额约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，将点代入，解得，即，当时，，故选D.7.给出下列命题，其中错误命题的个数为( )（1）直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；（2）直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线、不垂直，则过的任何平面与都不垂直；（4）若直线和共面，直线和共面，则和共面A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】分别利用空间点线面位置关系的公理和定理，对四个命题逐一判断其是否为错误命题，由此得出正确的选项.【详解】对于（1）,若直线在平面内，这时直线和平面不平行，但是平面内有直线和是平行的，故（1）错误.对于（2）, 若直线在平面内，这时直线和平面不垂直，但是平面内有直线和是垂直的，故（2）错误.对于（3），根据线面垂直的定义可知，（3）是正确的.对于（4），有可能是异面直线，故（4）错误.终上所述，有个命题是错误命题，故选C.【点睛】本小题考查空间点线面的位置关系.主要解题的思路是对每个命题，举出反例，由此判断命题是否正确.属于基础题.8.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；不满足进行循环的条件，故输出结果为4，故选C.9.已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的图象与性质求出和，写出函数的解析式，再求的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，，，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象，图象关于轴对称，，即，又，，令，解得，，得的图象关于点对称，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.10.已知数列满足，则A. 0B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用题目所给的递推公式，求得的值，归纳得到数列是周期为的周期数列，由此得出选项.【详解】依题意，，，……，依次类推，是以为周期的周期数列.故.故选B.【点睛】本小题主要考查递推数列求数列每一项的值，考查周期数列的判断.根据递推公式，由的值，求出后面几项的值，找到规律，即周期性，由此得到选项，属于基础题.11.已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则△内切圆的半径为A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，根据椭圆的定义可知的周长为，面积为，解得，故选D.12.已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】问题转化为对都成立，令，利用导数求得的单调性及最大值，由此求得的取值范围.【详解】由得，对任意，都成立，故，即对都成立.构造函数，其中.，故当时，即单调递增，最大值为，故.【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题.由于题目有两个变量，一个是有范围，另一个是有范围，最终求的是的范围.所以分成两个步骤来走，先根据的范围，消去后，再利用导数，结合的取值范围，最终来求解的取值范围.属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.的展开式中的常数项是__________．【答案】【解析】分析：利用展开式中的常数项为，项的系数为，从而可得结果.详解：的展开式通项为，展开式中的常数项为，项的系数为，的展开式中的常数项是，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.在中，，，. 若，，且，则的值为______________.【答案】【解析】,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.15.如图，在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为__________．【答案】【解析】分析：采用分割法对三角形进行分割，利用余弦定理求得可判断三角形与的形状，由三角形的面积公式可得结果.详解：连接，在中，，利用余弦定理得：，解得，则是直角三角形，，过点作，则，，则，，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为________________【答案】【解析】【分析】由三视图可知该几何体为四棱锥，画出直观图后，找到球心的位置，计算出半径，由此求得球的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画出直观图如下图所示，其中为侧面等边三角形的中心，为底面正方形的中心，在中，,故外接球的半径为，故外接球的表面积为.【点睛】本小题主要考查三视图的识别，考查几何体外接球的表面积与体积的求法.外接球的球心的找法，先找到一个面的外心，球心在这个外心的正上方，然后再找另一个面的外心，球心也同样再这个外心的正上方，由此得到球心的位置，再解三角形得到外接圆的半径，从而求得外接球的表面积或者体积.三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17.的内角为的对边分别为，已知．（1）求的最大值；（2）若，当的面积最大时，的周长；【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，在根据三角形内角关系利用诱导公式化简得，解得B,代入化简得，根据三角函数同角关系转化为二次函数，最后根据对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法，(2)先根据余弦定理得，再根据基本不等式求最大值，此时的面积取最大，根据最大值等号取法确定值，即得三角形周长.试题解析：（1）由得：，，即，，；由，令，原式，当且仅当时，上式的最大值为．（2），即，当且仅当等号成立；，周长．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前项和为．（1）求的值；（2）求数列的通项公式．【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）利用等比数列的通项和等差中项得到关于公比的方程；（2）利用求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求和．详解：（1）由是的等差中项得，所以，解得.由，得，因为，所以.（2）设，数列前n项和为.由解得.由（1）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.点睛：（1）数列的通项与前项和公式的关系是一个分段函数，一定要注意验证是否满足；（2）错位相减法是常见的求和方法，其适用于求的前项和，其中的等差数列，是等比数列．19.如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且.（1）求证：平面；（2）如果是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由所以．又因为底面平面；（2）如图以为原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和．试题解析：（1）连结，因为在中，，所以，所以．因为，所以．又因为底面，所以，因为，所以平面（2）如图以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则．因为是棱的中点，所以．所以，设为平面的法向量，所以，即，令，则，所以平面的法向量因为是在棱上一点，所以设．设直线与平面所成角为，因为平面的法向量，所以．解得，即，所以考点：1、线面垂直；2、线面角.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取名考生，记成绩不超过．．．分的考生人数为，求.（精确到）附：①，；②，则，；③.【答案】（1）分；（2）634人；（3）0.499【解析】【分析】（1）根据加权平均数公式计算；（2）根据正态分布的对称性计算P（z≥84.81），再估计人数；（3）根据二项分布的概率公式计算P（ξ≤3）．【详解】（1）由题意知：∴，∴名考生的竞赛平均成绩为分.（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人. （3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，∴.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.21.设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对恒成立，求实数的取值范围；（3）求整数的值，使函数在区间上有零点．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）求得，得到，即可利用点斜式方程求解切线的方程；（2）由，对恒成立，转化为，设，求得，即可利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解的取值范围；（3）令得，可判定得的零点在上，利用导数得到在上递增，即可利用零点的判定定理，得到结论．试题解析：（1），∴，∴所求切线方程为，即（2）∵，对恒成立，∴，设，令，得，令得，∴在上递减，在上递增，∴，∴（3）令得，当时，，∴的零点在上，令得或，∴在上递增，又在上递减，∴方程仅有一解，且，∵，∴由零点存在的条件可得，∴考点：导数的综合应用问题．【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数的几何意义求解曲线上某点的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值（最值）、以及不等式的恒成立问题等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的综合性，属于中档试题．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）曲线的极坐标方程为：；（2）6.【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程，再根据化为极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线的极坐标方程得，再根据求的值．试题解析：解:（1）将方程消去参数得，∴曲线的普通方程为，将代入上式可得，∴曲线的极坐标方程为：． -（2）设两点的极坐标方程分别为,由消去得，根据题意可得是方程的两根，∴，∴．23.已知函数.（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值；（2）若函数，求函数的值域.【答案】（1）实数的最小值为；（2）函数的值域为.【解析】试题分析：（1）h（x）-|x-2|≤n对任意的x＞0恒成立，等价于对任意的x＞0，由此能求出实数n的最小值（2）推导出，由此能求出数的值域．试题解析：（1）对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，等价于对任意的因为，当且仅当时取等号，所以，得.所以实数的最小值为.（2）因为，所以，当时，，当时，.综上，.所以函数的值域为.点睛：本题考查不等式恒成立，考查函数的值域的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．。
2020年广东省第三次高考模拟考试理科数学试题与答案
2020年广东省第三次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则AB =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,12. 复数z 满足(1)|1|z +=+，则z 等于（ ）A ．1B ．1C ．12D 12i -3. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A.B.C. D. 24. 在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（ ）A.B. C. D.5. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A. 15B. 16C. 18D. 216. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种7. 若1x 是方程4xxe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18. 已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.10. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.11．已知函数a x ax e ex f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则( )A.)(a f <)(b f <)(c fB.)(b f <)(c f <)(a fC.)(a f <)(c f <)(b fD.)(c f <)(b f <)(a f12．已知函数1,)21(1,2542{)(≤>-+-=x x x x x x f ，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围为（ ）A．1,64⎡⎢⎣ B．1,64⎡⎢⎣C ．][1,2ln2,64⎛-∞-⋃ ⎝ D ．][1,2ln2,64e ⎛-∞-⋃ ⎝ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省六校联盟高三数学第三次联考试题 理
数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式V Sh =，锥体的体积公式13V Sh =.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置） 1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,4,3,5U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A.{}2,3B.{}1,4C.{}5D.{}62. 已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B.p q ∨C.p q ∧D.()()p q ⌝∧⌝ 3. 已知向量()()()5,2,4,3,,a b c x y ==--=，若320a b c -+=，则c =（ ）A.()23,12--B.()23,12C.()7,0D.()7,0-4. 下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）A.xxy e e -=+B.y =C.tan y x =D.1ln1xy x+=- 5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A.263 B.83π+ C.143π D.73π 6. 已知等差数列{}n a 中，10,0a d >>，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，44b a =，前n 项和为n T ，则（ ） A.44S T >B.44S T <C.44S T =D.44S T ≤7. 已知直线()1:2110l ax a y +++=，()()2:110l a x a y ++-=,若12l l ⊥，则a =（ ）A.2或12 B.13或1- C.13D.1- 8. 已知函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数M ，使对任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数： ①()2,xf x x R -=∈ ②()()ln ,0,f x x x =∈+∞③()()()2,,00,1xf x x x =∈-∞+∞+； ④()()sin ,0,f x x x x =∈+∞为有界函数的是（ ）A.②④B.②③④C.①③D.①③④二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9. 函数()ln f x x x =在点()(),e f e 处的切线方程为___________________.U AB主视图 侧视图俯视图10. 在ABC ∆中，45,75,2A B c =︒=︒=，则此三角形的最短边的长度是________. 11. 已知递增的等差数列{}n a 满足21252,6a a a ==+，则n a =___________.12. 已知圆2220x y x +-=上的点到直线:2l y kx =-的最近距离为1，则k =______. 13. 如图，为了测量两座山峰上两点P 、Q 之间的距离，选择山坡上一段长度为P,Q 两点在同一平面内的路段AB 的 两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是90PAB ∠=︒,60PAQ PBA PBQ ∠=∠=∠=︒,可求得P 、Q 两点间的距离为 米.14. 已知(){}:,23p M x y x x ∈+-+；()(){}()222:,10q M x y x y r r ∈-+<>如果p 是q 的充分但不必要条件，则r 的取值范围是_ .三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15.（本小题满分12分）已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π. （1）求ω的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值. 16．（本小题满分12分）寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划12的同学从事项目①，14的同学从事项目②，最后14的同学从事项目③；乙组计划15的同学从事项目①，另15的同学从事项目②，最后35的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于20人，从事项目②的总人数不得多于10人，从事项目③的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？17.（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t =<<，连接A 1B,A 1C,A 1D.（1）当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B-A 1C-D 的值；（2）线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由.18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，1141,13n n a a a +==-+ ，数列{}n b 满足()*1,1n n b n N a =∈+. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：222121117n b b b +++<. 19.（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆O 的方程为222x y r +=()0r >，两点()()4,0,0,4A B ， 动点P 满足(),01AP AB λλ=≤≤. （1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）若对于轨迹C 上的任意一点P ，总存在过点P 的直线l 交圆O 于M,N 两点，且点M 是线段PN 的中点，求r 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x a ax =++. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若()1,0a ∈-，函数()()g x a f x '=的图像上存在12,P P 两点，其横坐标满足1216x x <<<，C 1A BC D A 1B 1D 1g x的图像在此两点处的切线互相垂直，求a的取值范围. 且()六校联盟第三次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：CBAD DABC二、填空题：9.20x y e --=；； 11.2n 12.0或者43-； 13.900；14. r >)r ∈+∞或者直接)+∞均可三、解答题：15. 解：⑴ ()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+ …………3分26T ππω==，所以13ω=. ………………………………………………6分 ()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以8cos 17α= ………………………………………………………………7分()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+= ⎪⎝⎭所以3sin 5β= …………………………………………………………………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====，10分 所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. …………………………12分16.解：设甲组x 名同学，乙组y 名同学，根据题意有：……………………1分1120251110451318450,0x y x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎪⎨⎪+≤⎪⎪⎪≥≥⎩ 整理得： 52200542005123600,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 可行域如图： 参加活动的总人数z x y =+，变形为y x z =-+，当经过可行域内的点，斜率为1-的直线在y 轴上Ox y 54200x y += 52200x y += 512360x y += y x =- A （24，20） ………7分，约束条件和图像各3分，不化简不扣分截距最大时，目标函数z x y =+取得最大值. 由可行域图像可知，直线y x z =-+经过54200x y +=和512360x y +=的交点A 时，在y 轴上截距最大. ……………8分解方程组54200512360x y x y +=⎧⎨+=⎩得：24,20x y == ……………………………………10分所以max 242044z x y =+=+= …………………………………………………11分答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.………12分 17.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭……2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边 形ABCD 为正方形 ……4分作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ……………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以1A BC ∆与1A DC ∆全等，故DM⊥1BMD ∠即为所求二面角的平面角 ……6分因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以1A BC ∆为直角三角形又11AB AC =113A B BC BM AC ⨯===，同理可得，3DM =在∆BMD 中，根据余弦定理有：6621cos 2BMD +-∠==- ………………8分 因为()0,180BMD ∠∈︒︒，所以120BMD ∠=︒即此时二面角B-A 1C-D 的值是120︒. ……………………………………………………9分 ⑵ 若线段A 1C 上存在一点P ，使得 A 1C ⊥平面BPD ，则A 1C ⊥BD ………………10分 又A 1A ⊥平面ABCD,所以A 1A ⊥BD ，所以BD ⊥平面A 1AC所以BD ⊥AC ……………………………………………………………………12分 底面四边形ABCD 为正方形，即只有ABCD 为正方形时，线段A 1C 上存在点P 满足要求，否则不存在由⑴知，所求点P 即为BM ⊥A 1C 的垂足M此时，21113A B A P AC ===……………………………………………………14分 法二：根据题意可知，AA 1, AB,AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：⑴长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭………………………2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 …………………………………3分AB C DA 1B 1C 1DM所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形…………………4分 则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC =-=， 设平面A 1BC 的法向量(),,m x y z =，则0x z y -=⎧⎨=⎩取1x z ==，得：()1,0,1m = ………………6分 同理可得平面A 1CD 的法向量()0,1,1n = ……7分 所以，1cos ,2m n m n m n⋅==⋅ ………………8分 又二面角B-A 1C-D 为钝角，故值是120︒.…………9分 （也可以通过证明B 1A ⊥平面A 1BC 写出平面A 1BC 的法向量）⑵ 根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B t C t t D t --，若线段A 1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1P t t λλλ--()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP AC BD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩…………………………11分 解得：21,3t λ== …………………………………………………………13分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A 1C 上1:2:1A P PC =处. ………………………………………………………14分18.解：⑴ 12241233nn n n a a a a +++=-=++ …………………………………………2分 ()()11123111112221122n n n n n n n n a a b b a a a a +++++====+=+++++ …………………6分又112b =，所以数列{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列，2n nb = …………8分（也可以求出12341234,,,2222b b b b ====，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下：① 当1n =时，112b =符合通项公式2n nb =； ② 假设当n k =时猜想成立，即112k k kb a ==+，21k a k =- 那么当1n k =+时12111123113k k k a k k a a k k +----===++-+，1111111211k k k b k a k+++===-+++即1n k =+时猜想也能成立综合①②可知，对任意的*n N ∈都有2n n b =. ⑵ 当1n =时，左边=21147b =<不等式成立；……………………………………9分 当2n =时，左边=2212114157b b +=+=<不等式成立； …………………………10分当3n ≥时，()2214411411n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭ 左边=22212111111111414()23341n b b b n n+++<++-+-++-- 11454()772n n=+-=-<不等式成立 …………………………………………………………………………14分19.解：⑴ 设(),P x y ，因为(),01AP AB λλ=≤≤，所以444x y λλ-=-⎧⎨=⎩消去λ并注意到01λ≤≤可得动点P 的轨迹C 即为线段AB ，方程为：()40,04x y x +-=≤≤ ……5分，不写出x 的范围扣1分⑵ 设()()()00,,,4,04N x y P t t t -≤≤，则004(,)22x t y tM ++- 方程组22200222004()()22x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨++-+=⎪⎩即2220022200()(4)4x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩有解 ……7分 法一：将方程组两式相减得：()()22200224430tx t y t t r +-++--= ………8分原方程组有解等价于点()0,0到直线()()222:224430l tx t y t t r +-++--=的距离小于或等于r r ≤ (9)分整理得：()()()22222221683444t t rt t r +--≤+-即()()22222816281690t t rtt r -+--+-≤也就是，22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+的图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168tt -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤……………………………………………………13分 特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P没有合乎要求的直线，故r ≠r的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分法二：上述方程组有解即以()0,0为圆心，r 为半径的圆与以(),4t t --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，故对于任意的04t ≤≤都有3r r ≤≤成立 (9)分整理得：22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤……………………………………………………13分 特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故r ≠r 的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分20.解：⑴函数()()ln f x x a ax =++的定义域为(),a -+∞，()1f x a x a'=++ ……1分当0a >时，原函数在区间(),a -+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值； 当0a =时，原函数在区间()0,+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；……2分 当0a <时，令()10f x a x a '=+=+得：1x a a=-- ………………………………3分当1(,)x a a a∈---时，()0f x '>，原函数单调递增；当1(,)x a a∈--+∞时，()0f x '<，原函数单调递减 …………………………………………………………………………………4分所以()f x 的极大值为()21ln 1f a a a a ⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭………………………………5分⑵ 由⑴知，当()1,0a ∈-时()()221,(,)11,(,)a a x a a x a ag x a f x a a a x a a x a x aa ⎧+∈---⎪⎪+'==+=⎨+⎪--∈--+∞⎪+⎩ (6)分函数图像上存在符合要求的两点，必须12116x a x a<<--<<，得：13a -<<-+ ………………………………………………………………………8分当1(,)x a a a∈---时，()2a g x a x a =++，函数在点1P 处的切线斜率为()121a k x a =-+； 当1(,)x a a ∈--+∞时，()2ag x a x a=--+，函数在点2P 处的切线斜率为()222ak x a =+；………………………………………………………………10分 函数图像在两点处切线互相垂直即为：()()22121aax a x a ⋅=++，即()()22212x a x a a ++= ………………………………11分因为121016a x a x a a a<+<+<-<+<+，故上式即为()()12x a x a a ++=- …12分 所以()()1116a a a a aa⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-+>-⎪⎩，解得：122a -<<综合得：所求a 的取值范围是1(1,)2a ∈-. ………………………………14分。
广东省广州市广东实验中学2019-2020学年高三第三次阶段考试理科数学试题(解析版)
广东实验中学2020届高三级第三次阶段考试数 学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（ ）A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,2【答案】A 【解析】 【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<,解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即AB =()2,3-,故选:A.【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2.己知i 是虚数单位，复数z 满足1zi z=-，则z 的模是( ) A. 1B.12C.2【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出． 【详解】1zz=-i ， ∴z ＝i -zi ， ∴z 1(1)11222i i i i i ===++-， ∴|z|2==， 故选：C ．【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3.若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可.【详解】12,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.4.若2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ）A. 89-B. 79-C.79D. -1【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3x =所以22cos 212sin 1799x x =-=-= 故选C【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.5.(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 分析】方程表示双曲线，可得()()()5320m m m --+<，解得m 范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论．【详解】由方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线， 可得()()2560m m m ---<，即()()()5320m m m --+<即2m <-，或35m <<， ∴ (,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.点P 是ABC △所在平面上一点，若2355AP AB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ） 【A.35B.52C.32D.23【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解.【详解】解：因为点P 是ABC △所在平面上一点，又2355AP AB AC =+， 所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ， 则点P 在线段BC 上，且32=BP PC , 又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠, 又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠， 所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APC S ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选C.【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题.7.已知()121sin 221x xf x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221xxf x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭， 则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，则 ()4421(08221f x πππ-=-<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <， 故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题.8.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A. 24 B. 16 C. 8 D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解． 【详解】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况；（2）将这个整体与英语全排列，有222A =中顺序，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个， 安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224⨯=种， 所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，故选B ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．9.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A. 3(0,]5B. 13[,]25C. 13[,]24D. 15[,)22【答案】B【解析】 【分析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果.【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， 所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈ 故选B点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.10.设变量y 满足约束条件342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝|x －3y |的最大值为( )A. 8B. 4C. 2D.5【答案】A 【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，【则对于目标函数z=|x ﹣3y |，平移直线y=13x 可知， 当直线经过点A （﹣2，2）时，z=|x ﹣3y |取得最大值， 代值计算可得z max =|﹣2﹣3×2|=8． 故选A ．11.AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ）A. B. 2C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin |||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=3222|||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选A【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.12.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A. ⎫⎪⎪⎝⎭B. 15⎛ ⎝⎭C. 1,52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 2⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】要求出离心率的取值范围，得列出不等关系，解出e 的取值范围；首先满足QF 1⊥QP ，点Q 在椭圆的内部，故点Q 轨迹在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部，圆半径c ＜椭圆短半轴b ，由a 2﹣c 2＝b 2，可解得e 的一个范围；其次由sin ∠F 1QF 2，可求得cos ∠F 1QF 2．在△PF 1F 2中，而|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|+|PF 2|＝2a 是定值，由基本不等式可得PF 1|•|PF 2|122()2PF PF +≤；由余弦定理得4c2＝|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1QF 2，结合不等关系即可解出e 的取值范围．【详解】解：∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ；∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e 2∵sin ∠F 1PQ 513=，∴cos ∠F 1PQ 1213=； 设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝n ，而|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|+|PF 2|＝m +n ＝2a ， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 4c 22212213m n mn =+-⋅． ∴4c 2＝（m +n ）2﹣2mn ﹣2mn •1213； 即4c 2＝4a 25013-mn ；∴mn ()222625a c =-； 由基本不等式得：mn 2()2m n +≤=a 2， 当且仅当m ＝n 时取等号；由题意知：QF 1⊥QP ，∴m ≠n ，∴mn 2()2m n +=＜a 2， ∴()222625a c -＜a 2∴a 2＜26c 2；故2126e ＞，∴e综上可得：26e 2． 故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的性质、圆的性质，余弦定理、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.14.()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） 【答案】40- 【解析】试题分析：()422x x --()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C x x -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理.15.己知函数sin ()xx af x e-=有极值，则实数a 的取值范围为_____________【答案】( 【解析】 【分析】求出函数的导函数，则cos sin ()xx x af x e -+'=有可变零点，求三角函数的值域得到结果.【详解】由sin ()x x a f x e -=可得：cos sin ()xx x af x e -+'=，∵函数sin ()xx af x e-=有极值， ∴cos sin ()xx x af x e-+'=有可变零点，∴cos sin 0x x a -+=，即sin cos 4a x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，∴(a ∈故答案为：( 【点睛】本题考查函数存在极值条件，考查三角函数的值域问题，考查转化思想，属于中档题.16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是_______．【解析】 【分析】过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当4πα=时，AB．【详解】解：过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ， 设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，则有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，在△AEC 中，由余弦定理得：222516402AE cos cos cos πααα⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α， 在Rt △AEB ′中，由勾股定理得：AB '2＝AE 2+B ′E 2＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α+16sin 2α＝41﹣20sin2α， ∴当4πα=时，AB的【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-= (Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数列{}n c 是等比数列．【答案】（1）1,32n n n a n b -==⋅；（2）证明见解析．【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >2375d q q q d +=+-=由题意得……………………………………………………………2分2375d q q q d +=+-=解得………………………………………………………5分(Ⅱ)由知两式相减：………………………………8分…………………………………………………………………10分当时，，适合上式即是等比数列…………………………18.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）θ最小值为60°【解析】【分析】（1）在梯形ABCD 中，利用勾股定理，得到AD ⊥BD ，再结合面面垂直的判定，证得DE ⊥平面ABCD ，即可证得AD ⊥平面BFED ；（2）以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB 与平面ADE 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，∴AB ＝2. ∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos 60°＝3. ∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD ＝BD ， DE ⊂平面BFED ，DE ⊥DB ，∴DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AD ，又DE ∩BD ＝D ，∴AD ⊥平面BFED .（1）由(1)知，直线AD ，BD ，ED 两两垂直，故以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令EP ＝λ(0≤λ，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (00)，P (0，λ，1)， 所以AB ＝(－10)，BP ＝(0，λ1)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，由1100n AB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z λ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，取y ＝1，则n 1＝1λ)．因为n 2＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量，所以cos θ＝1212n n n n ⋅＝214+. 因为0≤λλ时，cos θ有最大值12，所以θ的最小值为60°.【点睛】本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()12,0F -，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N . （1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）经过两定点()12,0P ，()22,0P -. 【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．由点(2,B 在椭圆C 上，得22421a b +=，进而解出,a b 得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=联立，解得,E F 的坐标（用k 表示），设出AE ，AF 的方程，解出,M N 的坐标，圆方程用k 表示，最后可求得MN 为直径的圆经过两定点.试题解析：（Ⅰ） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．因为点(2,B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． 由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（Ⅱ）因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,{184y kx x y =+=消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以MN ==设MN 的中点为P ，则点P的坐标为0,P ⎛ ⎝⎭．则以MN为直径的圆的方程为22x y k ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2， 即224x y y k++=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -． 考点：1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义.20.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布())2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布()2N μσ，，则()0.6827P μσξμσ-<+≈…，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈…，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈….（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出反面遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第1(1)9n n 剟格的概率为P 试证明{}1n n P P --是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值．【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）证明见解析，期望值为201212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，约2万元.【解析】 【分析】 0000(1)利用每组中点值乘以其频率,再求和即可得到平均值； (2)由(1)可知300μ=，利用0.95450.6827(250400)0.95452P X -<≤≈-求解即可；(3)根据题意可知：得出移到第n 格两种方式①遥控车先到第2n -格，又掷出反面；②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，由此得到211122n n n P P P --=+，利用定义证明其为等比数列，结合累加法得出n P 的表达式，由此得到19P ，20P ，根据题意得出参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 万元，3X =或0，分别求出3X =或0的概率，然后求出期望即可.【详解】（1）0.002502050.004502550.00950305x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.004503550.00150405300+⨯⨯+⨯⨯=（千米）（2）因为X 服从正态分布2(300,50)N所以0.95450.6827(250400)0.95450.81862P X -<≤≈-=（3）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12,即112P =．遥控车移到第n （219n 剟）格的情况是下列两种，而且也只有两种． ①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P - ②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P - 所以211122n n n P P P --=+，1121()2n n n n P P P P ---∴-=--∴当119n 剟时，数列1{}n n P P --是公比为12-的等比数列 2312132111111,(),(),()2222nn n P P P P P P P -∴-=--=--=-⋅⋅⋅-=- 以上各式相加，得2311111()()()()2222nn P -=-+-+-+⋅⋅⋅+-=11()1()32n ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦1211()32n n P +⎡⎤∴=--⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,19n =⋅⋅⋅）， ∴获胜的概率2019211()32P ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦失败的概率1920181111232P P ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦（） ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 万元，3X =或0∴X 的期望2019202111131()01()21()32322EX ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅-+⋅+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为201212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，约2万元.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求平均数、正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，考查面较广，属于难题. 21.已知函数sin ()()cos sin xf xg x x x x x==⋅-，.（1）判断函数()g x 在区间(0)3π，上零点的个数； （2）函数()f x 在区间(0)+∞，上的极值点从小到大分别为1234nx x x x x ，，，，，证明：（Ⅰ）()()120f x f x +<；（Ⅱ）对一切()()()()*1230n n N f x f x f x f x ∈++++<，成立.【答案】（1）两个零点；（2）（I ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】(1)对()g x 求导，利用导数得出函数()g x 的单调性，结合零点存在性定理即可得出零点的个数； (2) （Ⅰ）对函数()f x 求导，由(1)得出12x x ，的范围，进而得到21x x π>+，利用诱导公式即可得出()()120f x f x +<; （Ⅱ）由（Ⅰ）得出22n ππ+>221n n x x π->+>2n π，结合cos y x =的单调性确定221221()()cos cos 0n n n n f x f x x x --+=+<，且221()0,()0n n f x f x -><，对n 为偶数和奇数进行分类讨论，即可得出对一切()()()()*1230n n N f x f x f x f x ∈++++<，成立.【详解】（1）()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=- 当(]0x π∈，时，sin 0()0x g x '>∴<，()g x 在0π（，）上单调递减，()(0)0g x g <=，()g x ∴在(]0π，上无零点 当(],2x ππ∈时，sin 0()0x g x '<∴>，()g x 2ππ（，）上单调递增，()0,(2)20,g g ππππ=-<=>()g x ∴在(]2ππ，上有唯一零点当(]2,3x ππ∈时，sin 0()0x g x '>∴<，()2,3)g x ππ在（上单调递减(2)0,(3)0g g ππ><，(]()2,3g x ππ∴在上有唯一零点综上，函数()g x 在区间()03π，上有两个零点． （2）cos sin ()2x x x f x x-'=（I ）由（1）知()f x 在(]0x π∈，无极值点；在(],2x ππ∈有极小值点，即为1x ； 在(]2,3x ππ∈有极大值点，即为2x ，同理可得，在(]3,4ππ有极小值点3x ， 在(],(1)n n ππ+有极值点n x .由cos sin 0n n n x x x -=得tan n n x x =21211tan tan tan(),x x x x x π>∴>=+35()0,()10,(2)0,()022g g g g ππππ<=-<>< 1235(,),(2,)22x x ππππ∴∈∈，215,(2,)2x x πππ+∈，由函数tan y x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 得21x x π>+，12121212sin sin ()()cos cos x x f x f x x x x x ∴+=+=+， 由cos y x =在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减得211cos cos()cos x x x π<+=-∴12()()0f x f x +<；（Ⅱ）同理212((21),2),(2,2)22n n x n n x n n πππππ-∈--∈+，22n ππ+ >221n n x x π->+>2n π由cos y x =在2,2()2n n n N πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递减得221cos cos n n x x -<-221221()()cos cos 0n n n n f x f x x x --∴+=+<，且221()0,()0n n f x f x -><当n 为偶数时，从1()f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，即[][][]12341()(()()()()0n n f x f x f x f x f x f x -++++⋅⋅⋅++<），结论成立；当n 为奇数时，从1()f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即[][][]123421()()()()()()()0n n n f x f x f x f x f x f x f x --++++⋅⋅⋅+++<，结论也成立．综上，对一切n N +∈，123()()()()0n f x f x f x f x +++⋅⋅⋅+<成立.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数性质的应用、零点存在性定理、余弦函数的单调性，考查面较广，属于难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，[)0,2θ∈π. （1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标.【答案】(1) 22(2)1x y -+=(2) 6π⎫⎪⎭【解析】【详解】（1）将222{cos x y xρρθ=+=代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=. （2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或7,06πθρ=>， 将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=将76θπ=代入1C得ρ=12,C C 公共点极坐标为6π⎫⎪⎭．23.设()f x x 1x 1=-++ . (1)求()f x x 2≤+ 的解集;(2)若不等式()a 12a 1f x a +--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围.【答案】(1) []0,2(233)22x x ≤-≥或. 【解析】 试题分析：(1)分情况讨论去绝对值求解即可；(2)整理,再结合绝对值三角不等式可得121111112123a a aa a a a+--=+--≤++-=，再解不等式113x x -++≥即可. 试题解析：(1)由()f x x 2≤+有201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩解得0x 2≤≤,∴所求解集为[]0,2.(2a 12a 1)a+--=111112123a a a a+--≤++-=, 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时取等号.由不等式()a 12a 1f x a+--≥对任意实数a 0≠恒成立,可得x 1x 13-++≥,解得33x x 22≤-≥或.。
六校联盟2020届高三数学下学期第三次联考试题理含解析
设 (x，y,z）为平面PDE的一个法向量.
由 ,令x＝1，可得 （1，﹣2，0）
设PC与平面PDE所成的角为θ，得
所以PC与平面PDE所成角的正弦值为 .
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有利用线面垂直证明线线垂直，利用空间向量求线面角的正弦值,属于中档题目。
A. B. 2C. D。
【答案】A
【解析】
∵由 ，∴ 内切圆半径为 ，∴离心率 ,故选A
11.设函数f(x）＝sin（ωx+φ)，若f( )＝f（ ）＝﹣f( ），则ω的最小正值是（ ）
A。 1B。 C。 2D。 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数值的关系，求出函数的一条对称轴和一个对称中心，结合对称轴和对称中心与周期之间的关系进行求解即可.
【详解】由正弦定理得 ，
∴ ．
又 ，
∴ 为锐角，
∴ ．
故选B．
【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论,解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边(角）对大角（边）”进行求解，属于基础题．
7.已知椭圆C： 的左右焦点为F1,F2离心率为 ,过F2的直线l交C与A，B两点，若△AF1B的周长为 ，则C的方程为( ）
故选：B．
【点睛】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键．
5。设等差数列 的前n项和为Sn ，当首项a1和公差d变化时，若a1+ a8+ a15是定值，则下列各项中为定值的是（ ）
A. S15B. S16C. S17D。 S18
【答案】A
【解析】
【分析】
【2020年数学高考】广东省六校(珠海一中,中山纪念中学等)2020届高三下学期第三次联考 数学(理).doc
绝密★启用前2020届广东省六校第三次联考理科数学满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{(,)|,M x y x y =为实数，且222}x y +=，{(,)|,N x y x y =为实数，且2}x y +=， 则MN 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=A ．63B ．45C ．36D ．273．若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A ．[)3,+∞B ．[]8,3-C ．(],9-∞D ．[]8,9- 4．函数1ln sin 1ln xy x x-=⋅+的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．5．设函数 ())f x ϕ=+，其中常数ϕ满足0πϕ-<<．若函数()()()g x f x f x '=+（其中()f x ' 是函数()f x 的导数）是偶函数，则ϕ等于A ．3π-B ．56π- C ．6π-D ．23π- 6．执行右面的程序框图，如果输入的a ，b ，k 分别为1，2输出的158M =，那么，判断框中应填入的条件为 A ．n k < B ．n k ≥ C ．1n k <+ D ．1n k ≤+7．已知02012(1i)(2i)(2i)(2i)n n b b b -+=-++-++-++又数列{}n a 满足：当1n =时， 12a =-；当2n ≥，n a 为22(2i)b -+的虚部．若数列2{}na - 的前n 项和为n S ，则2018S =A ．20172018 B ．20182017 C ．40352018 D ．403320178．如图，在同一个平面内，三个单位向量OA ，OB ，OC 满足条件：OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 与的夹角为45°．若OC mOA nOB =+（,m n R ∈），则m n +的值为 A ．3 B C ． D ．29．四面体ABC S -中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，x ，则x 的取值范围是A ．)41,2(B ．)9,3(C ．)41,3(D ．)9,2(10．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有 A ．42种 B ．36种 C ．72种 D ．46种11．已知点F 为双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>的右焦点，直线(0)y kx k =>与E 交于M ，N 两点，若MF NF ⊥，设MNF β∠=，且[,]126ππβ∈，则该双曲线的离心率的取值范围是A． B．1] C． D．1]12．已知()()2211,,y x B y x A 、是函数x x x f ln )(=与2)(xkx g =图象的两个不同的交点，则()21x x f +的取值范围是 A ．2ln ,2e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e e e 1,2ln 2 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2ln 2e e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则311[(2)]f x dx x -+=⎰__ ________． 14．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+， 则函数13ax b y ++=恒过定点___ __．15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 ．16．若函数()f x 的图象上存在不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中1122,,,x y x y 使得1212x x y y +0，则称函数()f x 是“柯西函数”． 给出下列函数：①()ln (03)f x x x =<<； ②1()(0)f x x x x=+>；其中是“柯西函数”的为 （填上所有．．正确答案的序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分. 17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足2*2n n T S n n N =-∈，．（Ⅰ）求123,,a a a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．18.（12分）某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理．（Ⅰ）若小店一天购进16份，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：份，N n ∈)的函数解析式；（Ⅱ）小店记录了100天这种食品的日需求量(单位：份)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i ）小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望；（ii ）以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，1AB BC ==，120BAD ∠=，PB PC ==2PA =，E ，F 分别是AD ，PD 的中点．（Ⅰ）证明：平面EFC ⊥平面PBC ；PF（Ⅱ）求二面角A BC P --的余弦值．20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，点(2,1)P -满足121PA PA ⋅=． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M 、N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线 QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.（12分）已知函数2()(1)e 2xa f x x x =--，其中a ∈R ． （Ⅰ）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数a ，使得对任意12,(0,)x x ∈∈+∞R ，不等式12122()()2f x x f x x x +-->-恒成立．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数，0)απ≤<，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()44ππθϕϕ=-<<，4πθϕ=+，4πθϕ=-分别与曲线C 交于A B C 、、三点(不包括极点O )．（Ⅰ）求证：OB OC OA +=； （Ⅱ）当12πϕ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值． 23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()222f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若不等式()2≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围．2020届广东省六校第三次联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．二填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．；14．；15．；16．①④说明：本参考答案给出一种解法的评分标准，其它解法可参照本评分标准相应评分.三、解答题：共70分．17.（12分）解：（Ⅰ）∵，，∴. ……………1分∵，∴. …………………………………………………2分∵，∴. ……………………………………………4分（Ⅱ）∵…①，…②，∴①-②得，，∵，……………………6分∴…③，……………………………………………………8分…④，③-④得，，. ……………………………………………………………………10分∵，∴是首项3公比的等比数列，，故. ……………………………………………………………………12分18.（12分）解：（Ⅰ）当日需求量时，利润，…………………………1分当日需求量时，利润，…………………………2分所以关于的函数解析式为．……………………3分（Ⅱ）（i）可能的取值为62，71，80，………………………………………………4分并且，，．的分布列为：……………………………………………………7分的数学期望为元．……………………8分（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为的数学期望为元．………11分由以上的计算结果可以看出，，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进17份．………………………………12分19.（12分）解法一：（Ⅰ）取中点，连，∵，∴，∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴平面，∴. ………………………3分∵分别是的中点，∴∥，∥，∴，，∵，∴平面，…………………5分∵平面，∴平面平面. …………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴是二面角的平面角. …………………………………………………7分, ，，……………………………………………9分在中，根据余弦定理得，, ………11分∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵∥，∴. ………………………………………………………………………………1分分别以，的方向为轴、轴的正方向，为坐标原点，如图建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………2分则，，，，，设，∵，，解得，，，∴可得，………………………………………………………………4分∵是的中点，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设是平面的法向量，则，∴，…………………………8分令，则，………………………………………………………9分又是平面的法向量，…………………………………………………10分∴，………………………………………………………11分∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分注：直接设点，或者说平面，，酌情扣分.20.（12分）解：（Ⅰ）依题意，、，，∴，………………………………………………2分由，，得，∵，∴，，………………………………………………………………4分故椭圆的方程为．……………………………………………………5分（Ⅱ）假设存在满足条件的点. 当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. …………………………………………………6分因此直线的斜率存在，设：，由，消得，…………………………………………7分设、，则，，∵，………10分∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．…………12分21.（12分）解：（Ⅰ）由于．…………………………………………1分假设函数的图象与轴相切于点，则有，即．………………………………………………3分显然，代入方程中得，．…………5分∵，∴无解．故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．……6分（Ⅱ）依题意，恒成立．……………………………7分设，则上式等价于，要使对任意恒成立，即使在上单调递增，∴在上恒成立．…………………………………………8分则，，∴在上恒成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．…………10分设，则，当时，，当时，，∴，即．那么，当时，，；当时，，．∴恒成立．因此，的最大整数值为3．……………………………………………………12分22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解：（Ⅰ）证明：依题意，，………………………………………………1分，，…………………………………………3分则．…………5分（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，…………6分化直角坐标为，. ………………………………………………7分经过点的直线方程为，…………………………………………8分又直线经过点，倾斜角为，故，. ………………………10分23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）解：（Ⅰ）∵，∴，……………………………………………1分①当时，得，，∴；…………2分②当时，得，，∴；…………3分③当时，得，，∴. …………4分综上所述，实数的取值范围是．……………………………………5分（Ⅱ）∵，根据绝对值的几何意义知，当时，的值最小，……………………………………………………………………7分∴，即，……………………………………………………8分解得或．∴实数的取值范围是. …………10分。