高等数学微积分不定积分(专题)
大一高数知识点总结不定积分
大一高数知识点总结不定积分在大一的高等数学课程中，不定积分是一个非常重要的知识点。
不定积分是求导的逆运算，它可以用于求函数的原函数，也可以用于计算一些定积分。
下面将对大一高数中的不定积分进行系统总结。
1. 不定积分的定义和基本性质不定积分是求导的逆运算，它用符号∫表示。
对于函数f(x)，它的不定积分记作∫ f(x) dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
不定积分有以下基本性质：- 线性性质：∫ (af(x) + bg(x)) dx = a∫ f(x) dx + b∫ g(x) dx，其中a和b是常数。
- 基本积分表：例如∫ x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。
- 第一积分基本定理：设函数F(x)是f(x)在区间[a, b]上的一个原函数，则∫ (from a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)。
2. 基本的不定积分法在计算不定积分时，可以利用一些基本的不定积分法来简化计算。
这些方法包括：- 常数乘积法则：∫ a*f(x) dx = a*∫ f(x) dx，其中a为常数。
- 和差法则：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx。
- 分部积分法：∫ f(x)g(x) dx = F(x)g(x) - ∫ F'(x)g(x) dx。
其中，分部积分法是计算不定积分最常用的方法，它将一个复杂的积分分解为两个简单的积分。
3. 常见的不定积分公式在计算不定积分时，需要熟记一些常见的不定积分公式：- 幂函数：∫ x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
- 指数函数：∫ e^x dx = e^x + C。
- 三角函数：∫ sin(x) dx = -cos(x) + C，∫ cos(x) dx = sin(x) + C。
- 对数函数：∫ 1/x dx = ln|x| + C，∫ a^x dx = (1/ln(a)) a^x + C，其中a为常数，且a不等于1。
高数之不定积分
有理函数的不定积分可以通过有理函数的分解来进行求解。对于形如 (f(x) = frac{P(x)}{Q(x)}) 的有理 函数，其中 (P(x)) 和 (Q(x)) 是多项式，可以将 (f(x)) 分解为多项式和简单分式的和，然后分别对各项 进行积分，最后求得整个函数的不定积分。
03
不定积分的运算技巧
不定积分表的使用
查阅公式
不定积分表包含了大量常见函数的积分公式， 方便学生快速查阅。
简化计算
使用不定积分表可以简化复杂的积分计算过 程，提高解题效率。
避免错误
对于初学者来说，不定积分表可以避免在记 忆和推导过程中出现错误。
注意事项
使用不定积分表时需要注意公式的适用范围 和条件，以及公式的推导和证明。
求解反常积分
反常积分（无穷积分）也可以通 过不定积分来求解，通过不定积 分得到原函数，再根据反常积分 的定义进行计算。
求解函数的零点
对于某些函数，通过不定积分可 以找到函数的零点，或者在求解 过程中作为中间步骤。
在物理问题中的应用
解决动力学问题
01
在经典力学中，不定积分常用于解决与速度、加速度和力相关
03
求解高阶微分方程
不定积分可以用来求解一阶常微 分方程，通过不定积分得到原函 数，再代入初值条件求解。
对于高阶微分方程，不定积分可 以用来求解部分特解，或者在求 解过程中作为中间步骤。
在函数求值中的应用
计算定积分
不定积分是计算定积分的基础， 通过不定积分得到原函数，再根 据定积分的定义计算定积分。
高数之不定积分
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的运算技巧 • 不定积分的应用 • 常见不定积分公式与表格
高等数学100题不定积分及答案
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 63、 cos 2x cos 3xdx =
1 10
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 64、 tan x sec xdx = sec x + c
∫ 65、
tan2 x sec xdx =
1 2
sec
x
tan
x
−
1 2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+c
∫ 66、
tan x sec2 xdx =
x)2
+
c
∫ 78、
x
−
1
arctan + x2
x
dx
=
1 2
ln(1
+
x
2
)
3
−
2 3
(arctan
x)
2
+c
∫ 79、 arcsin x dx = (arc sin x )2 + c
x(1− x)
∫ 80、
1
dx = − 1 + c
(arcsin x)2 1− x2
arcsin x
∫ 81、 ex dx = ln(1+ ex ) + c
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x
微积分--不定积分
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第四节 几种特殊类型函数的积分
设Pm(x)和Qn(x)分别是m次和n次实系数多项式,则
形如
Pm ( x ) Qn ( x )
的函数称为有理函数.当m<n时,称为真分式,否则称 为假分式.
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最简真分式(其中A、B为常数)：
(1) A xa A ( x a)
2 k
( a为常数); ( k 1为整数，a为常数); ( p, q为常数, 且p 4q 0)
2
1 x 1
2
x 1是
1 x 1
2
在(1,)内的一个原函数 .
返回
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一个函数具有原函数时,它的原函数 不止一个 .
定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连 续,则在区间I上存在可导函数F(x),使对任意x∈I,都有 F(x)=f(x)．
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则在区间 I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任 意常数)的形式 . 证 (1)已知F(x)是f(x)的一个原函数,故F(x)=f(x)． 又[F(x)+C]= F(x)= f(x),
x a x a
2 2
1
ln | sec t tan t | C , ln | | C
a x a | C
2 2
ln | x
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例21 解
求
dx x 2x 3
2
.
x
dx
2
2x 3
( x 1)
1 2
1
2
( 2)
2
第四章 不定积分
三角代换x a sint
高等数学（XJD）
双曲代换x a sh t
5. 有理函数的积分
P ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n 1 x a n Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm a0 0 b 0 0
dF ( x ) F ( x ) C
[k
1
f ( x ) k 2 g( x )]dx k1 f ( x )dx k 2 g( x )dx
高等数学（XJD）
3. 积分方法 1)直接积分法 利用不定积分表、积分性质以及定积分5个公式求积分 2)换元法积分法
f (u)du
1 t 1 1 1 ln C ( )dt 3 t 1 t 1 2(ln 3 ln 2) t 1 2 ln 2 1 3x 2x ln x C. x 2(ln 3 ln 2) 3 2
1
高等数学（XJD）
e x (1 sin x ) dx. 例2 求 1 cos x
7. 简单无理函数的积分
8. 典型例题
高等数学（XJD）
1. 不定积分的定义
f ( x )dx F ( x ) C
2. 不定积分的性质
（连续函数一定有原函数）
d dx
f ( x )dx f ( x )
d [ f ( x )dx] f ( x )dx
F ( x )dx F ( x ) C
f ( x) f ( x) d[ ] f ( x ) f ( x )
1 f ( x) 2 [ ] C. 2 f ( x )
高等数学（XJD）
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答不定积分100道例题及解答1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。
对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =x^3/3。
对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。
对于常数项1，则积分结果是x。
将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。
2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。
对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。
3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -cos(x)。
对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。
4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。
因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。
5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。
对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。
6. 问题：计算不定积分∫(e^2x + x^3) dx解答：对于e^2x，应用指数函数的基本积分法则得到(1/2)e^2x。
高数不定积分题目及答案
高数不定积分题目及答案
高数不定积分是高等数学中的重要概念，也是数学基础知识的重要组成部分。
无论学习过
程如何，有了不定积分的概念，我们就能够理解其他数学技术，更好地应用它们。
高数不
定积分题目需要考生理解高等数学中重要知识点，如不定积分的定义、它的概念、等变量
求积公式、有理函数和多项式积分等，同时，将这些知识和技术结合在一起，解决实际问题。
以下是高数不定积分的若干例题及答案：
（1）求解：∫1/（x+2)^2dx
答案：-1/(x+2)+c，其中c为任意常数。
（2）求解：∫1/（x^2-1)dx
答案：1/（2x）+1/2ln|x+1|-1/2ln|x-1|+c，其中c为任意常数。
（3）求解：∫x/(x^2+1)dx
答案：1/2ln|x^2+1|+c，其中c为任意常数。
高数不定积分的概念，对于学习高等数学相关知识，有着重要的意义，除了上述的例题外，不定积分的操作还包括了微积分中的定理，如黎曼和符号定积分、牛顿积分定理以及欧拉积分定理，并且还有许多技巧，这些不仅可以降低学习难度，而且也增强对数学概念的理解能力。
也就是说，想要学习高等数学，具备一定的不定积分基础知识是不可缺少的。
在数学学习中，除了学习高数不定积分的基本概念、方法和应用，考生还需要加强自己的
推导能力，从而能够在给出的积分问题上利用有效的方法来解决问题。
只有在精研和实践中，才能取得良好的效果，这样才能更好地掌握数学中重要的概念和技巧。
不定积分高等数学
f ( x)dx F ( x) C
任意常数
积分变量 被积表达式 被积函数
积分号
说明:原函数和不定积分的联系 1. 不定积分是由无限多个原函数组成的集合；
2. 不定积分＝原函数＋C（任意常数）
F ( x) f ( x)
f (x)dx F (x) C
3.已知 f (ln x) x 求 f (x).
4.已知
f (ln x) x 求 f (x).
4、基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数)
(7) sin xdx cos x C
(2)
x dx
x 1
1
C
( 1) (8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C
(3)
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(18)
a2
1
x2
dx
1 a
arctan
x a
C
(14) tan xdx ln cos x C
(19)
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
(15) cot xdx ln sin x C
(20)
例5. 求 解: 原式 =
1 x x2 x (1 x2 )
dx
.
x (1 x2 x(1 x2 )
)
dx
1
1 x2
dx
1 x
dx
arctan x ln x C .
例6. 求 解: 原式 =
1
x4 x2
dx
.
(
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cos
3
x
cos
2 xdx
1 2
(cos
x
cos
5
x)dx
1 sin x 1 sin 5x C.
2
10
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例13 求 csc xdx.
解（一）
csc
xdx
1 sin
x
dx
2
sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0
F ( x) G( x) C （ C 为任意常数）
2020/3/10
不定积分 冯国臣
不定积分的定义： ——不定积分就是原函数族
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分 冯国臣
例6 求积分 解
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例7 求积分 解
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例8
求积分
1
1 cos
2
x
dx.
解
1
1 cos
2x
dx
1
1 2 cos 2
x
dx 1
1 2
1 cos2
x
dx
1 2
tan
x
C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
2020/3/10
不定积分 冯国臣
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
xdx
cot
x
C;
2020/3/10
不定积分 冯国臣
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
2020/3/10
不定积分 冯国臣
在一般情况下：
设
则
如果
（可微）
2020/3/10
由此可得换元法定理
不定积分 冯国臣
定理1
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
2020/3/10
不定积分 冯国臣
二、基本积分表
实例
x1 x
的原函数,
2020/3/10
不定积分 冯国臣
f [ (t)] f ( x). 说明F ( x)为 f ( x)的原函数,
f ( x)dx F( x) C [( x)] C,
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t ( x)
微分与积分
——微分是导数的变型运算 ——积分是 微分的 逆 运 算
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x)
或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
化为 观察重点不同，所得结论不同.
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例1 求 解（一）
解（二） 解（三）
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例2 求 解
一般地
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例3
求
x(1
1 2ln
dx. x)
解
x(1
1 2ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例6
求
x
2
1 8x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
1
( x 4)2
dx 9
1 32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 42
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
2020/3/10
不定积分 冯国臣
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
(15) cosh xdx sinh x C;
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例4 求积分 解
根据积分公式（2）
2020/3/10
不定积分 冯国臣
三、不定积分的性质
证
等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例5 求积分 解
2020/3/10
或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数.
ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
2020/3/10
不定积分 冯国臣
原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例14 设 解令
求 f (x).
2020/3/10
不定积分 冯国臣
例15 求 解
2020/3/10
不定积分 冯国臣
问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令
2020/3/10
（应用“凑微分”即可求出结果）
不定积分 冯国臣
定理2 则有换元公式
证设 为 令 则
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
类似地可推出 sec xdx ln(sec x tan x) C.
简言之：连续函数必然有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
2020/3/10
不定积分 冯国臣
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数 则 F ( x) G( x) C （ C 为任意常数）