高二(下)期中数学试卷(理科)(含答案)

合集下载

陕西省高二下学期期中联考数学(理)试题(解析版)

一、单选题1．已知是虚数单位，复数的虚部为（） i 51i +A ．-1 B ．0 C ．1 D ．i 【答案】C【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.【详解】由，虚部为1，故选项C 正确. 54111i 1i 1i 1i ++=+=+=+故选：C.2．（）()1023d x x +=⎰A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】应用微积分基本定理求定积分即可.【详解】．()()112023d 34x x x x+=+=⎰故选：C3．如果函数在区间上的平均变化率为,则 ()f x ax b =+[1,2]3=a A ． B ． C ． D ．3-232-【答案】C【详解】根据平均变化率的定义，可知 ()()2321a b a b y a x +-+===-A A 故选C 4．函数的导数为（） ()sin cos f x x x =+A ． B ． C ．D ．0cos sin x x +cos sin x x -sin x -【答案】C【分析】利用基本初等函数及函数和的导数公式可求函数的导数. ()f x 【详解】∵ ，， (sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-∴ ， ()cos sin f x x x '=-故选：C. 5．函数的单调递减区间为（） 21ln 2y x x =-A ．（-1，1） B ．（0，1） C ．[1，+∞） D ．[0，+∞]【答案】B【分析】利用导数求函数单调区间.【详解】函数的定义域为， 21ln 2y x x =-()0+∞，， 211x y x x x-'=-=令，解得，令，解得， 210x x->1x >210x x -<01x <<则的单调递减区间为，单调递增区间为，21ln 2y x x =-()0,1()1,+∞故选：.B 6．已知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋x ＋1没有极值，则实数a 的取值范围是（）13A ．[0，1]B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0，2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞) 【答案】C【分析】求导得，再解不等式即得解. 2211()()f x x a x '=+-+22140[()]≤a --【详解】由得， 321113()()f x x a x x =+-++2211()()f x x a x '=+-+根据题意得，解得． 22140[()]≤a --02a ≤≤故选：C7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆14的离心率为 ( ) A ．B ． 1312C ． D ．2334【答案】B【详解】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到:1x yl c b +=0bx cy bc +-=⇒l 24b =，故选B. 12c e a ⇒==【解析】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到，利用方程思想和:1x yl c b +=0bx cy bc +-=⇒l 2142b c e a =⇒==是本题的关键节点.24b=8．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭12e =24y x =-圆方程为A ．B ．C ．D ．22143x y +=22186x y +=2212x y +=2214x y +=【答案】A【详解】试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所24y x =-以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选22143x y +=A ．【解析】1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．9．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺的双曲线C ：上支的2221(0)y x a a -=>一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则与P 到C 的一条渐近线的距离之PF 和的最小值为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值．4||PF PQ PF PQ +=++'【详解】依题意，双曲线，2221y x a-=则，解得，21514a +=2a =所以双曲线方程为，2214y x -=则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图， (0,F (F '12x y =±根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即， 1:2l x y =2y x =又点P 为双曲线上支上的动点，则， 24PF a PF PF '+=+'=过点P 作，垂足为Q ，过点作，垂足为M ， PQ l ⊥F 'F M l '⊥则，444415PF PQ PF PQ F M +=++≥+'+'==所以与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为． PF 5故选：C ．10．函数的极值点为（）()232ln 5f x x x =-+A ．8B ．C ．1D 6ln 3+【答案】D【分析】求出定义域为，然后求导数，从而根据二次函数的图象即可判断导数()f x ()0,∞+()f x '符号，进而可得出的极值点．()f x 【详解】依题意可得函数定义域为，()f x ()0,∞+则， ()()223126x f x x x x-'=-=令，解得()0f x '=x =x =则当时，，此时单调递减；x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x当时，，此时单调递增，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x ¢>()f x所以是的极值点，且为极小值点． x =()f x 故选：D ．11．已知函数，下列说法正确的是（） ln ()xf x x=A ．在处的切线方程为B ．的单调递减区间为 ()f x 1x =1y x =+()f x (e,)+∞C ．的极小值为D ．方程有两个不同的解()f x 1e()1f x =-【答案】B【分析】求出函数的定义域及导数，再逐项求解判断作答. ()f x 【详解】函数的定义域为，求导得，ln ()xf x x=(0,)+∞21ln ()x f x x -'=对于A ，，而，因此图象在处的切线方程为，A 错误； (1)1f '=(1)0f =()f x 1x =1y x =-对于B ，当时，，单调递增，当时，，单调递减，(0,e)x ∈()0f x '>()f x (e,)x ∈+∞()0f x '<()f x B 正确；对于C ，由选项B 知，当时，取得极大值，C 错误；e x =()f x 1e对于D ，因为函数在上单调递增，且，()f x (0,e)e 1,(1)1)e0(f f =-<-=即方程在上有唯一解，而当时，恒有成立，即该方程在上无()1f x =-(0,1)1x >()0f x >(1,)+∞解，所以方程只有一个解，D 错误. ()1f x =-故选：B12．过点作曲线切线有且只有两条，则b 的取值范围为（） ()0,b e x y =A ． B ． ()0,1(),1-∞C ． D ．(],1-∞(]0,1【答案】A【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数()00,P x y ()00e 1xb x =-()()1exg x x =-分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b 的取值范围．()()1e xg x x =-()00e 1x b x =-【详解】设切点为， ()00,P x y 由，则，e x y =e x y '=所以过的切线方程为，即，()00,P x y ()000e e x x y x x -=-()000e 1e xx y x x =+-故有且仅有两根，()00e 1xb x =-设，则，()()1e xg x x =-()e xx g x '=-当时，，此时单调递增； 0x <()0g x '>()g x 当，，此时单调递减，0x >()0g x '<()g x 又当时，，，，0x <()0g x >()001e g ==()10g =所以的图象如下：()g x故有且仅有两根，则b 的取值范围为．()00e 1xb x =-()0,1故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解．二、填空题13．抛物线的准线方程为______. 24y x =【答案】 116y =-【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是【解析】抛物线方程14．已知函数，则函数在处的切线方程是____________．()e xf x -=()f x 1x =【答案】e 20x y +-=【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．【详解】由，则，()e x f x -=()e xf x -'=-所以，，()11ef =()e 11f '=-所以函数在处的切线方程为，即()f x 1x =()1e1e 1y x -=--e 20x y +-=故答案为：．e 20x y +-=15．求过点且与圆相切的直线方程为______. 3(4,)P -()()22139x y -+-=【答案】x ＝4或3x +4y ＝0【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y +3＝k （x －4），即kx －y －4k －3＝0，，解得k ＝，此时直线方程为3x +4y ＝0，34-当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4此时圆心到直线x ＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意. (1,3)故答案为：x ＝4或3x +4y ＝0.16．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双()2222:10,0x y C a b a b-=>>l C a b -l 曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴下方），且，则的离心率C M N N x 2ON OM =C 为____________.【分析】作出图形，可求得，利用角平分线的性质可求得，结合勾股定理可求得FM b =FN ，进一步可求得，利用勾股定理可得出的值，结合双曲线的离心率公式可求得双曲线OM ON 22b a 的离心率的值.C 【详解】如下图所示：因为直线的斜率为，由图可知，直线的斜率为，l ab -OM b a因为，所以，，1a bb a-⋅=-OM l ⊥易知直线的方程为，即， OM b y x a =0bx ay -=b =因为直线、关于轴对称，则， OM ON x MOF NOF ∠=∠由角平分线的性质可得，所以，， 12MOFNOF MFOM S S NF ON ===△△22FN FM b ==，所以，，a =22ON OM a ==由勾股定理可得，即，整理可得，222OMMN ON +=()()22232a b a +=2213b a =所以，双曲线的离心率为C c e a =====三、解答题17．已知直线与圆. 20x y m -+=225x y +=(1)若直线和圆无公共点，求m 的取值范围；(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m 的值. 【答案】(1) (,5)(5,)-∞-⋃+∞(2) m =【分析】（1）由直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系可解出范围；（2）直线与圆相交，两交点与圆心构成等腰直角三角形，得出边长与圆心到直线距离的关系，列出等式出结果.【详解】（1）由已知，得圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离(0,0)O r =20x y m -+=d ==∵直线与圆无公共点，或， d r ∴>5m >5m <-故m 的取值范围为(,5)(5,)-∞-⋃+∞（2）若直线和圆交于两点，两点，如图所示，A B两条半径、互相垂直，几何关系可知为等腰直角三角形，设到直线的距离为，OA OB AOB A O dd ∴==m =18．求下列函数的极值：（1）；()3126f x x x =-++（2）． ()2221xf x x =-+【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）极小值为，极大值为． 10-223-1-【分析】（1）求出函数导数，再求出导函数零点，列表即可求解；（2）根据导数的求导法则求出函数导数，可得导函数零点，列出变化时，，的变化x ()f x '()f x 情况即可.【详解】（1）．令，解得，．()()()2312322f x x x x '=-+=-+-()0f x '=12x =-22x =当变化时，，的变化情况如下表： x ()f x '()f xx(),2-∞-2-()2,2- 2()2,∞+()f x '-0+0-()f x 单调递减 10-单调递增 22 单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为2x =-()f x ()210f -=-2x =()f x ．()222f =（2）．令，解得，．()()()()()()22222221421111x x x x f x xx+-+-'==++()0f x '=11x =-21x =当变化时，，的变化情况如下表： x ()f x '()f xx(),1-∞-1-()1,1- 1()1,+∞()f x '-0+0-()f x 单调递减 3-单调递增 1-单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为=1x -()f x ()13f -=-1x =()f x ．()11f =-19．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.1111ABCD A B C D -(1)求证：；1BD AC ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值. 1BD 1ACD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明；1AC BD ⊥（2）计算平面的法向量，根据与法向量的夹角与与平面所成角互余求解. 1ACD 1CC 1CC 1ACD 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z间直角坐标系，则，，()()2,0,0,0,2,0A C ()()10,0,4,2,2,0D B ，()()12,2,0,2,2,4AC BD =-=-- ，即.114400,AC BD AC BD ⋅=-+=∴⊥ 1AC BD⊥（2）由（1）得，()()12,2,0,2,0,4AC AD =-=- 设平面的一个法向量为，1ACD (),,n x y z =r 则取则 1220240n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，2,x =()2,2,1n =()12,2,4BD =-- 设直线与平面所成角为，则： 1BD 1ACDθsin =cos ,n θ 所以直线与平面1BD 1ACD 20．已知椭圆倍，且右焦点为. 2222:1(0)x y C a b a b+=>>()1,0F (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线与椭圆C 交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线:l y kx m =+M N (2,0)Q MQ NQ 的斜率互为相反数，求证:直线过定点.l【答案】(1) 2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据长短轴关系得，再利用及关系即可得到椭圆方程；a =1c =,,abc （2）设，，联立直线与椭圆方程得，得到韦达()11,M x y ()22,N x y ()222214220k x kmx m +++-=定理式，根据，化简得，将韦达定理式代入化简即可0MQ NQ k k +=()()12122240kx x m k x x m +-+-=得到，则可得到定点坐标.m k =-【详解】（1）由椭圆．Ca =所以．)222b c =+又，所以，解得．所以()1,0F )221b =+1b =a =所以椭圆的标准方程为． C 2212x y +=（2）联立，得， 2212y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214220k x kmx m +++-=设，，可得，， ()11,M x y ()22,N x y 122421km x x k -+=+21222221m x x k -=+由题知，即， 0MQ NQ k k +=()()()()121212121212122240222222kx x m k x x m y y kx m kx m x x x x x x +-+-+++=+==------即，()()12122240kx x m k x x m +-+-=即， ()22222422402121m km k m k m k k --⋅+-⋅-=++化简得，解得， 244021k m k --=+m k =-∴直线的方程为，故直线恒过定点.l ()1y k x =-l ()1,0【点睛】关键点睛：设，，联立直线与椭圆方程得()11,M x y ()22,N x y ，则得到韦达定理式，根据，则，展()222214220k x kmx m +++-=0MQ NQ k k +=1212022y y x x +=--开化简得，再将韦达定理式代入，则可得到定点坐标. ()()12122240kx x m k x x m +-+-=m k =-21．已知函数在处有极值.2()ln f x ax b x =+1x =12（1）求a ，b 的值；（2）判断函数的单调性并求出单调区间.()y f x =【答案】（1）（2）单调减区间是，单调增区间是. 112a b ==-，()01，()1+∞，【分析】（1）根据函数解析式先求得导函数，根据极值及极值点即可得关于a ，b 的方程组，即可求得a ，b 的值.（2）将a ，b 的代入解析式并求得定义域，求得极值点，根据极值点左右两侧导函数的符号即可判断函数的单调性.【详解】（1）函数，2()ln f x ax b x =+. ()2b f x ax x'=+ 又在处有极值，()f x 1x =12∴，即， 1(1)2(1)0f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'120a ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得. 112a b ==-，（2）由（1）可知，其定义域是， 21()ln 2f x x x =-()0+∞，且. 1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=令，解得，（舍），()0f x '=1x ==1x -由，得；()0f x '<01x <<由，得.()0f x '>1x >所以函数的单调减区间是，单调增区间是. ()y f x =()01，()1+∞，【点睛】本题考查了利用导函数的极值点与极值求参数，利用导函数判断函数的单调性，属于基础题.22．已知函数．()e ax f x x =-(1)讨论函数的单调性； ()f x (2)证明：． ()1ln 1+-≥x ax f x 【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）求导，分、与讨论求解单调性即可；0a =0a >a<0（2）可转化为，令，即证明.设()1ln 1+-≥x ax f x ()1ln e 10eax ax x x -+≥e ax t x =()1ln 100t t t -+≥>，利用导数求的最小值即可证明. ()()1ln 10g t t t t=-+>()g t 【详解】（1），()()e e e 1ax ax ax f x ax ax '=--=-+①当时，，在上单调递减；0a =()f x x =-R ②当时，令，得， 0a >()0f x '=1x a=-当时，；当时，. 1x a <-()0f x ¢>1x a>-()0f x '<③当时，令，得， a<0()0f x '=1x a=-当时，；当时，. 1x a <-()0f x '<1x a>-()0f x ¢>综上所述，当时，在上单调递减；0a =()f x R 当时，在上单调递增，在上单调递减； 0a >()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，在上单调递减，在上单调递增. a<0()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）,即为，即， ()1ln 1+-≥x ax f x 1ln 1e ax x ax x +-≥-()1ln e 10e ax axx x -+≥令，可得，即证明. e ax t x =0t >()1ln 100t t t-+≥>设，则， ()()1ln 10g t t t t =-+>()22111t g t t t t-'=-=当时，，函数单调递减；()0,1t ∈()0g t '<()g t 当时，，函数单调递增.()1,t ∈+∞()0g t '>()g t 所以，即. ()()1ln1110g t g ≥=-+=()1ln 100t t t-+≥>所以. ()1ln 1+-≥x ax f x 【点睛】结论点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

2021年高二(下)期中数学试卷(理科)含解析

2021年高二（下）期中数学试卷（理科）含解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的）．1．（5分）（xx春•泰安校级期中）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，则实数a的值为（）A． 1 B． 2 C． 1或2 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用纯虚数的定义可得a2﹣3a+2=0，且 a﹣2≠0，由此求得a的值．解答：解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，∴a2﹣3a+2=0，且 a﹣2≠0，求得a=1，故选：A．点评：本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．2．（5分）（xx•山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243 B．252 C．261 D．279考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．3．（5分）（xx秋•武汉校级期末）正弦函数是奇函数，f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，因此f（x）=sin（x2+1）是奇函数，以上推理（）A．小前提不正确B．大前提不正确C．结论正确D．全不正确考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可．解答：解：大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提：f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：f（x）=sin（x2+1）是奇函数，因为该函数为偶函数，故错误．故选A点评：本题考查演绎推理的基本方法，属基础题．4．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．专题：压轴题．分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．解答：解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．点评：考查函数的单调性问题．5．（5分）证明1++…+（n∈N*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（）A．1项B．k﹣1项C．k项D．2k项考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：首先分析题目证明不等式1++…+，假设n=k时成立，求当n=k+1时，左端增加的项数．故可以分别把n=k+1，n=k代入不等式左边，使它们相减即可求出项数．解答：解：当n=k时不等式为：成立当n=k+1时不等式左边为则左边增加2k+1﹣2k=2k项．故选D．点评：此题主要考查用数学归纳法证明不等式的问题，属于概念性问题，计算量小，属于基础题目．6．（5分）（xx春•泰安校级期中）下列命题中①复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d②任何复数都不能比较大小③若=，则||=||④若||=||，则=或=﹣．错误的命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：复数相等的充要条件；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的性质解答本题．解答：解：对于①，复数a+bi与c+di相等即a+bi=b+di，所以充要条件是a=c且b=d；正确；对于②，任何复数都不能比较大小是错误的；如实数是可以比较大小的；故错误；对于③，若=，则||=||是正确的；对于④，若|z1|=|z2|，只能说明两个复数的模相等，故z1=z2或z1=错误．故选B点评：本题考查了复数相等、模相等等基础知识；熟记概念是关键．7．（5分）（xx春•梁子湖区校级期末）函数f（x）=xlnx的大致图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：作图题．分析：由已知函数f（x）=xlnx的解析式，我们可以分析出函数的零点个数及在区间（0，1）上的图象位置，利用排除法可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=xlnx只有1一个零点∴可以排除CD答案又∵当x∈（0，1）时lnx＜0，∴f（x）=xlnx＜0，其图象在x轴下方∴可以排除B答案故选A点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质，是解答此类问题的关键．8．（5分）（xx春•禅城区期末）下列计算错误的是（）A．sinxdx=0B．dx=C．cosxdx=2cosxdxD．sin2xdx=0考点：定积分．专题：计算题．分析：利用微积分基本定理求出各选项的值，判断出D错．解答：解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0因为y=cosx为偶函数所以=π故选D点评：本题考查利用微积分基本定理或定积分的几何意义求定积分值．9．（5分）（xx春•泰安校级期中）已知函数，且f（x0）=0，若a∈（1，x0），b∈（x0，+∞），则（）A．f（a）＜0，f（b）＜0 B．f（a）＞0，f（b）＞0 C．f（a）＞0，f（b）＜0 D．f （a）＜0，f（b）＞0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：问题转化为两个函数的图象的交点问题，通过图象读出即可．解答：解：令f（x）=0，得：lnx=，画出函数y=lnx和函数y=的图象，如图示：，若a∈（1，x0），b∈（x0，+∞），则f（a）＜0，f（b）＞0，故选：D．点评：本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，是一道基础题．10．（5分）（xx春•泰安校级期中）观察下列的规律：，，…则第93个是（）A．B．C．D．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数进行分组，找出每一组的规律即可得到结论．解答：解：分组：（），（，），（），（），…，则第n组为（，，…，），即每个组中有n个数，则前n组共有1+2+3+…+n=，当n=13时，=，则第93个数在第14组，为第2个数为，故选：B．点评：本题主要考查数列项的表示，根据条件进行分组是解决本题的关键．二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2011•姜堰市校级模拟）设函数，其中，则导数f′（1）的取值范围是[，2]．考点：正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先对函数进行求导，然后将x=1代入，再由两角和与差的公式进行化简，根据θ的范围和正弦函数的性质可求得最后答案．解答：解：∵，∴f'（x）=sinθx2+cosθx∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）∵，∴θ+∈[，]∴sin（θ+）∈[，1]∴f′（1）∈[，2]故答案为：[，2]．点评：本题主要考查函数的求导运算和两角和与差的正弦公式的应用．考查基础知识的简单综合．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和基础题的练习．12．（5分）（xx春•泰安校级期中）已知在等差数列{a n}中，，则在等比数列{b n}中，类似的结论为．考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：在等差数列中，等差数列的性质m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，那么对应的在等比数列中对应的性质是若m+n=p+q，则b m b n=b p b q．解答：解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：．故答案为：．点评：本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比．13．（5分）（xx春•泰安校级期中）定义运算=ad﹣bc，若复数x=，y=，则y=﹣5．考点：复数的基本概念；复数求模；二阶矩阵．专题：探究型．分析：先化简x=，求出x，然后按定义运算=ad﹣bc，代入x，化简求解即可．解答：解：x=y==4xi﹣4﹣（3+3i﹣xi+x）=5xi﹣7﹣3i﹣x=﹣5故答案为：﹣5点评：本题考查复数的基本概念，复数求模等知识，是创新题，中档题．14．（5分）（xx•衡南县二模）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x﹣1．考点：导数的几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：先根据f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．解答：解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（2﹣x）=2f（x）﹣（2﹣x）2+8（2﹣x）﹣8．∴f（2﹣x）=2f（x）﹣x2+4x﹣4+16﹣8x﹣8．将f（2﹣x）代入f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8得f（x）=4f（x）﹣2x2﹣8x+8﹣x2+8x﹣8．∴f（x）=x2，f'（x）=2x∴y=f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为y′=2．∴函数y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．答案y=2x﹣1点评：本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率．15．（5分）（xx春•宁波校级期末）设a i∈R+，x i∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…a n2=1，x12+x22+…x n2=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是③⑤．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．考点：分析法和综合法；反证法．专题：证明题．分析：由题设中的条件对各个结论进行判断，其中①②可用同一方法判断，③⑤两结论分别与①②两结论对立，由①②的正误可判断③⑤的正误，④中包含①，且与⑤矛盾，易判断解答：解：由题意a i∈R+，x i∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…a n2=1，x12+x22+…x n2=1，对于的值中，若①成立，则分母都小于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+…a n2大于1，这与已知矛盾，故①不对；若②成立，则分母都大于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+…a n2小于1，这与已知矛盾，故②不对；由于③与①两结论互否，故③对④不可能成立，的值中有多于一个的比值大于1是可以的，故不对⑤与②两结论互否，故正确综上③⑤两结论正确故答案为③⑤点评：本题考查分析法与综合法，解题的关键是理解分析法与综合法的逻辑内含，结合题设条件对题设中所给的结论作出判断三．解答题（共75分）16．（12分）（xx春•泰安校级期中）计算：（1）求的导数．（2）=．考点：定积分；导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：（1）根据求导公式和法则求出已知函数的导数即可．（2）根据定积分的计算方法计算即可，解答：解（1）：∵（2）：原式==（x3﹣4x）|+（4x﹣x3）|=．故答案为：．点评：本题考查了求导公式和法则和定积分的计算，是基础题．17．（12分）（xx•上海）已知z是复数，z+2i，均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设出复数的代数形式，整理出代数形式的结果，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．解答：解：设复数z=m+ni（m，n∈R），由题意得z+2i=m+ni+2i=m+（n+2）i∈R，∴n+2=0，即n=﹣2．又∵，∴2n+m=0，即m=﹣2n=4．∴z=4﹣2i．∵（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，横标和纵标都大于0，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．点评：本题考查复数的加减乘除运算及复数的代数形式和几何意义，本题解题的关键是整理出所给的复数的代数形式的标准形式，本题是一个中档题目．18．（12分）（xx春•泰安校级期中）在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a，p b，p c，且相应各边上的高分别为h a，h b，h c，则有=1．请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：类比结论：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a，p b，p c，p d，且相应各面上的高分别为h a，h b，h c，h d．则有+++=1，由三棱锥的体积公式可证明．解答：解：类比结论：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a，p b，p c，p d，且相应各面上的高分别为h a，h b，h c，h d．则有+++=1．证明：==，同理有=，=，=，又V P﹣BCD+V P﹣CDA+V P﹣BDA+V P﹣ABC=V A﹣BCD，∴+++==1．点评：本题考查类比推理，谁三棱锥的体积公式，属中档题．19．（12分）（2011春•无极县校级期末）已知函数f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；数形结合．分析：（1）先根据对数函数的定义求出f（x）的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内，利用x的值讨论f′（x）的正负即可得到f（x）的单调区间；（2）根据第一问函数的增减性得到函数的极大值为f（1）和极小值为f（3），然后算出x→﹣1+时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞；据此画出函数y=f（x）的草图，由图可知，y=b与函数f（x）的图象各有一个交点，即满足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范围．解答：解：（1）f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）令f'（x）=0，得x=1，x=3．f'（x）和f（x）随x的变化情况如下：x （﹣1，1）1 （1，3）3 （3，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值增f（x）的增区间是（﹣1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）．（2）由（1）知，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．∴f（x）极大=f（1）=16ln2﹣9，f（x）极小=f（3）=32ln2﹣21．又x→﹣1+时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞；可据此画出函数y=f（x）的草图（如图），由图可知，当直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点时，当且仅当f（3）＜b＜f（1），故b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，是一道综合题．20．（13分）（xx秋•曲沃县校级期末）已知函数f（x）=x﹣．（1）讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题；分类讨论．分析：（1）求f（x）的定义域和导数fˊ（x）=，设g（x）=x2﹣ax+2，因为在函数式中含字母系数，需要根据△的符号进行分类讨论，分别在函数的定义域内解不式g（x）＞0和g（x）＜0确定的f（x）单调区间；（2）由条件确定f'（x）≤0，再转化为x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，由二次函数的图象列出不等式求解，避免了分类讨论．解答：解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=1+﹣=设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8，①当△=a2﹣8＜0，即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数；②当△=a2﹣8=0，即a=2时，仅对x=有f′（x）=0，对其余的x＞0，都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．③当△=a2﹣8＞0，即a＞2时，g（x）=x2﹣ax+2=0有两个不同的实根，，由f′（x）＞0得，0＜x＜或x＞，由f'（x）＜0得，＜x＜，此时f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）是上单调递减，（2）解：f′（x）=1+﹣=，依题意f'（x）≤0（等零的点是孤立的），即x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，令g（x）=x2﹣ax+2，则有，解得a≥3，故实数a的取值范围为[3，+∞）．点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、解不等式以及二次函数的图象应用等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力，以及分类讨论的思想方法．精品文档21．（14分）（xx•辽宁）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．考点：等差数列与等比数列的综合；数列递推式；数学归纳法．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据等差中项和等比中项的性质求得a n和b n的关系式，分别求得a2，a3，a4及b2，b3，b4，推测出它们的通项公式．先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出a k和b k的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可．（2）先n=1时，不等式成立，进而看n≥2时利用（1）中的{a n}，{b n}的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设．解答：解：（1）由条件得2b n=a n+a n+1，a n+12=b n b n+1由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．猜测a n=n（n+1），b n=（n+1）2．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即a k=k（k+1），b k=（k+1）2，那么当n=k+1时，a k+1=2b k﹣a k=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），b k+1==（k+2）2．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知a n=n（n+1），b n=（n+1）2对一切正整数都成立．（2）证明：．n≥2时，由（1）知a n+b n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．故==综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．28252 6E5C 湜33887 845F 葟t36566 8ED6 軖33610 834A 荊40308 9D74 鵴22532 5804 堄35312 89F0 觰• 0 28976 7130 焰38799 978F 鞏实用文档。

高二理科数学下册期中检测试卷及答案

～第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项：1．本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。

本次考试时间为120分钟，满分160分。

考试结束后，只需将答题纸交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3．作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 .7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是：（１）零；（２）纯虚数；（３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２）（１）求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２）设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（１）求年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数（精确到小数点后两位）；（２）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３）若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.2019－2019学年度第二学期期中考试高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）…18题：（本题16分）…19题：（本题16分）20题：（本题16分）高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分（Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； …………8分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． …………14分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分 19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， …………4分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分 ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分 (Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分 20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分第11页共11页设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω，…………8分则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4，故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。

新人教版高二(下)期中数学试卷(理科)含解析

新人教版高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的）1．（5分）已知复数z =11+i ，则z ﹣i 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（） A ．7B ．64C ．12D ．813．（5分）用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应假设（） A ．x ≠y ≠0B ．x ＝y ≠0C ．x ≠0且y ≠0D ．x ≠0或 y ≠04．（5分）f （x ）＝e x lnx ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为（） A ．1B ．eC ．2eD ．05．（5分）设函数f （x ）可导，则lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x 等于（）A ．﹣f '（1）B ．3f '（1）C ．−13f ′(1)D ．13f ′(1)6．（5分）曲线y ＝e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（） A ．e 2B ．2e 2C ．4e 2D ．e 227．（5分）已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，则f ′（2）＝（） A ．32B ．1C ．﹣1D ．−328．（5分）设函数f(x)=x 3−12x 2−2x +5，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，则实数m 的取值范围为（） A ．（7，+∞）B ．（8，+∞）C ．[7，+∞）D ．（9，+∞）9．（5分）中华文化博大精深．我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多，比如“二八年华”指女子16岁．乾隆曾出上联“花甲重逢，外加三七岁月”，纪晓岚对下联“古稀双庆，更多一度春秋”，暗指一位老人的年龄．根据类比思想和文化常识，这位老人的年龄为（）A ．71岁B ．81岁C ．131岁D ．141岁10．（5分）函数f(x)=12x −sinx 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数是（） A ．74B ．121C ．﹣74D ．﹣12112．（5分）对于定义域为R 的函数f （x ），若满足①f （0）＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′（x ）＞0；③当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f （x 1）＜f （x 2），则称f （x ）为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1（x ）＝﹣x 3+32x 2；f 2（x ）＝e x ﹣x ﹣1；f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，f 4（x ）={x(12x −1+12)，x ≠00，x =0，则其中是“偏对称函数”的函数个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a ＝． 14．（5分）函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为．15．（5分）（√2−x ）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，则（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2的值为．16．（5分）设f （x ）是定义在R 上的可导函数，且满足f （x ）+xf ′（x ）＞0．则不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1）的解集为．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）已知复数z 满足|z |＝3+3i ﹣z ，求(1+3i)⋅(3+4i)z的值．18．（12分）有3名男生4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．（1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边；（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起；（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻． 19．（12分）已知a ＞0，用分析法证明：√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2． 20．（12分）若函数f （x ）＝ax 3﹣bx +4，当x ＝2时，函数f （x ）有极值−43．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程f （x ）＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=an 1+a n．（1）计算a 2，a 3，a 4；（2）猜测a n 的表达式，并用数学归纳法证明．22．（12分）设函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）（e ＝2.71828…是自然对数的底数）．（1）判断f （x ）的单调性；（2）当f （x ）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a 的取值范围．答案一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的） 1．解：∵z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=12−12i ， ∴z ﹣i =12−32i ．∴z ﹣i 在复平面内对应的点为（12，−32），在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D ．2．解：∵选定一件上衣时，有不同颜色的裤子3条， ∴有3种不同的穿衣方案，∴共有3×4＝12种不同的搭配方法，故选：C ．3．解：用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应先假设x ≠0或 y ≠0．故选：D ．4．解：∵f （x ）＝e x lnx ， ∴f ′(x)=e x lnx +e xx ， ∴f ′（1）＝e ．故选：B ． 5．解：由lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13lim △x→0f(1+△x)−f(1)△x =−13f ′（1）， ∴lim△x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13f ′（1），故选：C ．6．解：依题意得y ′＝e x ，因此曲线y ＝e x 在点A （2，e 2）处的切线的斜率等于e 2，相应的切线方程是y ﹣e 2＝e 2（x ﹣2），当x ＝0时，y ＝﹣e 2，即y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S =12×e 2×1=e 22．故选：D ．7．解：∵函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，（x ＞0） ∴f ′（x ）＝2f ′（1）+1x，把x ＝1代入f ′（x ）可得f ′（1）＝2f ′（1）+1，解得f ′（1）＝﹣1，∴f ′（2）＝2f ′（1）+12=−2+12=−32．故选：D ．8．解：∵f （x ）＜m 恒成立，即f （x ）的最大值＜m 恒成立， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2，当x ∈[﹣1，−23]时，f （x ）为增函数，当x ∈[−23，1]时，f （x ）为减函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）为增函数， ∴f （x ）的极大值为f （−23）＝52227，又f （2）＝7，且f （2）＞f （−23），所以f （x ）的最大值为7．所以m 的取值范围为（7，+∞）．故选：A ．9．解：由花甲指60岁，外加三七岁月指60+21＝81岁， “古稀双庆，更多一度春秋”，“古稀”指70岁，即这位老人的年龄为70×2+1＝141岁，故选：D ．10．解：∵函数f(x)=12x −sinx ，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，图象关于原点对称，∴排除A ．f '（x ）=12−cosx ，由f '（x ）=12−cosx =0，得cos x =12，∴函数的极值点由无穷多个，排除B ，D ，故选：C ．11．解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数C 53(−1)3+C 63(−1)3+C 73(−1)3+C 83(−1)3＝﹣10+（﹣20）+（﹣35）+（﹣56）＝﹣121 故选：D ．12．解：经验证，f 1（x ），f 2（x ），f 3（x ），f 4（x ）都满足条件①；xf ′（x ）＞0⇔{x ＞0f ′(x)＞0，或{x ＜0f ′(x)＜0，即条件②等价于函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．f 1′（x ）＝﹣3x 2+3x ，xf 1′（x ）＝﹣3x 3+3x 2＝﹣3x 2（x ﹣1），当x ＞1时，xf 1′（x ）＜0，故f 1（x ）不满足条件②，不是“偏对称函数”；f 2′（x ）＝e x ﹣1，xf 2′（x ）＝x （e x ﹣1），满足条件②．由f 2（x ）的单调性知当x 1≠x 2，设x 1＜0＜x 2．﹣x 2＜0，f 2（x 1）﹣f 2（x 2）＝f 2（﹣x 2）﹣f 2（x 2）＝﹣e x 2+e ﹣x 2+2x 2．令F （x ）＝﹣e x +e ﹣x +2x ，x ＞0，F ′（x ）＝﹣e x ﹣e ﹣x +2≤﹣2√e x ⋅e −x +2＝0，当且仅当e x ＝e ﹣x 即x ＝0时，“＝”成立，所以F （x ）在[0，+∞）上是减函数，所以F （x 2）＜F （0）＝0，所以f 2（x ）是“偏对称函数”．由函数f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，满足条件①②，当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时，设F （x ）＝ln （x +1）﹣2x ，x ＞0．则F ′（x ）=1x+1−2＜0，F （x ）在（0，+∞）上是减函数，可得F （x ）＜F （0）＝0，故f 3（x ）也满足条件③，所以f 3（x ）是“偏对称函数”；而容易验证f 4（x ）是偶函数，可知f 4（x ）在区间（﹣∞，0）递减和（0，+∞）递增，故f 4（x ）满足条件①②，但|x 1|＝|x 2|时，都有f 4（x 1）＝f 4（x 2），不满足条件③，则f 4（x ）不是“偏对称函数”．故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．解：曲线y ＝（ax +1）e x ，可得y ′＝ae x +（ax +1）e x ，曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a +1＝﹣2，解得a ＝﹣3．故答案为：﹣3．14．解：由题意，﹣1≤x ＜0时，图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12，0≤x ≤1时，f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫ 10e x dx =e x |01=e ﹣1，∴函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为12+e ﹣1＝e −12，故答案为：e −12．15．解：∵（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2＝（a 0+a 2+a 4+…+a 10+a 1+a 3+a 5+…+a 9）[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]，∴令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）+（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2−1）10，令x ＝﹣1，则a 0﹣a 1+a 2﹣…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2+1）10，∴两式相乘得：[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2]＝（√2+1）10•（√2−1）10＝[（√2）2﹣1]10＝110＝1．∴（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2＝1．故答案为：1．16．解：∵f （x ）+xf ′（x ）＞0，∴（ x •f （x ））′＞0，故函数y ＝x •f （x ）在R 上是增函数． ∴由不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1），可得 √x +1•f （√x +1）＞√x +1•√x −1•f （√x 2−1 ），即 √x +1•f （√x +1）＞√x 2−1•f （√x 2−1 ），∴√x +1＞√x 2−1，即{x +1≥0x ≥1，或x ≤−1x +1＞x 2−1，解得 1≤x ＜2，故答案为：{x |1≤x ＜2}．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．解：设z ＝x +yi ， ∵|z |＝3+3i ﹣z ，∴√x 2+y 2=3−x +(3−y)i ， ∴{√x 2+y 2=3−x3−y =0⇒{x =0y =3∴z =3i ，∴(1+3i)⋅(3+4i)z=(1+3i)⋅(3+4i)3i=133+3i ．18．解：（1）根据题意，先排最左边，除甲外有A 61种排法，剩下的6人全排列A 66，则符合条件的排法一共有A 61⋅A 66=4320种；（2）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A 44种顺序，再把4名女生作为一个整体和其他人全排列，有A 44种顺序，则有A 44⋅A 44=576种排法；（3）根据题意，先排好女生，有A 44种顺序，排好后，有5个空位，将3名男生安排在3个空位中，有A 53种排法，则有A 44⋅A 53=1440种排法．19．证明：要证√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2．只要证√a 2+1a2+2≥a +1a +√2 ∵a ＞0，∴两边均大于零，因此只需证（√a 2+12+2）2≥（a +1a +√2）2，只需证√a 2+1a 2≥√22（a +1a ），只需证a 2+1a 2≥12（a 2+1a2+2）即证a 2+12≥2，它显然成立． ∴原不等式成立．20．解：（1）f ′（x ）＝3ax 2﹣b由题意知{f ′(2)=12a −b =0f(2)=8a −2b +4=−43，解得{a =13b =4，∴所求的解析式为f （x ）=13x 3﹣4x +4；（2）由（1）可得f ′（x ）＝x 2﹣4＝（x ﹣2）（x +2）令f ′（x ）＝0，得x ＝2或x ＝﹣2， ∴因此，当x ＝﹣2时，f （x ）有极大值283，当x ＝2时，f （x ）有极小值−43；（3）由（2）知，得到当x ＜﹣2或x ＞2时，f （x ）为增函数；当﹣2＜x ＜2时，f （x ）为减函数，∴函数f （x ）=13x 3﹣4x +4的图象大致如图．由图可知：−43＜k ＜283．21．（1）解：由a n+1=a n1+a n 及a1＝1，得a2=a11+a1=12，进而a3=a21+a2=13，a4=a31+a3=14．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：猜想a n=1n，再用数学归纳法证明之．当n＝1时，a1=11=1，而已知a1＝1，所以n＝1时，猜想正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）假设当n＝k时，猜想正确，即a k=1k，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则n＝k+1时，a k+1=a k1+a k =1k1+1k=1k+1．所以当n＝k+1时，猜想也成立．综上所述可知，对一切n∈N，猜想a n=1n都正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=1x−a=1−axx，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f'（x）＝0，得到x=1a，当x∈(0，1a)时，f'（x）＞0，f（x）在(0，1a)上单调递增，当x∈(1a，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）在(1a，+∞)上单调递减，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在(0，1a)上单调递增，在(1a，+∞)上单调递减．（2）由f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即lnx﹣ax＜0在（0，+∞）上恒成立，常规法分离参数得到a＞lnx x在（0，+∞）上恒成立，令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnxx2，当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上单调递减，故x＝e时，g(x)max=g(e)=1e，故a＞1e。

高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)

高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框中，应填入（） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列；（2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=，又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分（2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以，所以13,22AO PA PO PA ==，因为3PA AB =，所以36BO PA =．如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系，设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分（2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=，整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+，所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠，所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('，记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x，知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ，即01)('000=+-=ax ex f x ，于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减；当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。

2021-2022年高二下学期期中数学试卷(理科) 含解析(I)

2021-2022年高二下学期期中数学试卷（理科）含解析(I)一、选择题（每个题目只有一个正确答案，共12小题，每小题5分，共60分）1．复数i﹣=（）A．﹣2i B．C．0 D．2i2．”x＞5”是”x2＞25”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为（）A．C B．25C．52D．A∈R，使得，则¬p为（）4．已知命题p：∃xA．对∀x∈R，都有e x≥0 B．对∀x∈R，都有e x＞0∈R，使得e x≥0 D．对∀x∈R，都有e x＜0C．∃x5．用数学归纳法证明“”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A．B．C．D．6．已知a为实数，函数f（x）=（x2+）（x+a），若函数f（x）的图象上有与x 轴平行的切线，则a的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知=2， =3， =4，…， =6，…，（a，b均为实数），则可推测a，b的值分别为（）A．6，35 B．6，17 C．5，24 D．5，358．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为（）A．32 B．C．64 D．9．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．4010．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．312．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（）A．（，5）B．（，5）C．（，25）D．（5，25）二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．若随机变量ξ～B（16，），若变量η=5ξ﹣1，则Dη=．14．由抛物线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积是．15．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的志愿者分配方案．（用数字作答）16．已知定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，且f （0）=0则下列命题正确的是．（写出所有正确命题的序号）①f（x）有极大值，没有极小值；②设曲线f（x）上存在不同两点A，B处的切线斜率均为k，则k的取值范围是；③对任意x1，x2∈（2，+∞），都有恒成立；④当a≠b时，方程f（a）=f（b）有且仅有两对不同的实数解（a，b）满足e a，e b均为整数．三、解答题（共6个小题，其中22题10分，其余每小题12分，共70分.）17．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）≥x﹣1．18．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量1 1.52天数102515频率0.2a b（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，CD=，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，且PM=3MC．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥底面ABCD；（Ⅱ）求二面角M﹣BQ﹣C的大小．20．已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若2xlnx≤2mx2﹣1在[1，e]恒成立，求m的取值范围．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，点P为椭圆C上任意一点，且△PF1F2面积最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A、B两点（点A在第一象限），M、N 是椭圆上位于直线l两侧的动点，若∠MAB=∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．22．已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a∈（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证e＞n!（n≥2，n∈N）xx重庆七中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每个题目只有一个正确答案，共12小题，每小题5分，共60分）1．复数i﹣=（）A．﹣2i B．C．0 D．2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：i﹣=，故选：D．2．”x＞5”是”x2＞25”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】因为“x2＞25”可以求出x的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；【解答】解：∵“x2＞25”可得x＞5或x＜﹣5，∴“x＞5”⇒“x2＞25”，∴“x＞5”是“x2＞25”的充分不必要条件，故选：A3．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为（）A．C B．25C．52D．A【考点】计数原理的应用．【分析】直接利用分步乘法计数原理得答案．【解答】解：不妨设5名同学分别是A，B，C，D，E，对于A同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去2种，同样对于B，C，D，E都是2种，由分步乘法计数原理可得，第二天可能出现的不同情况的种数为2×2×2×2×2=25（种）．故选：B．∈R，使得，则¬p为（）4．已知命题p：∃xA．对∀x∈R，都有e x≥0 B．对∀x∈R，都有e x＞0∈R，使得e x≥0 D．对∀x∈R，都有e x＜0C．∃x【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．∈R，使得是特称命题，【解答】解：∵命题p：∃x∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：对∀x∈R，都有e x≥0．故选：A．5．用数学归纳法证明“”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A．B．C．D．【考点】数学归纳法．【分析】当n=k+1时，右边=，由此可得结论．【解答】解：由所证明的等式，当n=k+1时，右边==故选D．6．已知a为实数，函数f（x）=（x2+）（x+a），若函数f（x）的图象上有与x 轴平行的切线，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则f'（x）=0有实数解，从而可求a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3+ax+x+a，∴f′（x）=3x2+2ax+，∵函数f（x）的图象上存在与x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解，∴△=4a2﹣4×3×≥0，∴a2≥，解得a≤﹣或a，因此，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞），故选D．7．已知=2， =3， =4，…， =6，…，（a，b均为实数），则可推测a，b的值分别为（）A．6，35 B．6，17 C．5，24 D．5，35【考点】归纳推理．【分析】根据题意，分析所给的等式，可归纳出等式=n•，（n≥2且n是正整数），将n=6代入可得答案．【解答】解：根据题意，分析所给的等式可得： =n•（n≥2且n是正整数）当n=6时，a=6，b=62﹣1=35；故选：A．8．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为（）A．32 B．C．64 D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，进而根据基本不等式可得xy的最大值．【解答】解：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，则x2+y2=128≥2xy，∴xy≤64，即xy的最大值为64，故选：C9．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项．【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5故其常数项为﹣22×C53+23C52=40．故选：D．10．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即 P（A/B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P（A/B）=，运算求得结果．【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即 P（A/B）．又P（AB）=P（A）=，P（B）=，由公式P（A/B）====，故选A．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．12．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（）A．（，5）B．（，5）C．（，25）D．（5，25）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3x2+2bx+c，∵函数f（x）在x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，∴f′（x）=3x2+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，即，在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图，（b+）2+（c﹣3）2表示点A（﹣，3）与可行域内的点连线的距离的平方，点A（﹣，3）到直线3+2b+c=0的距离为=，由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为（﹣4.5，6），与点A（﹣，3）的距离为5，∴（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（5，25），故选：D．二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．若随机变量ξ～B（16，），若变量η=5ξ﹣1，则Dη=100 ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】随机变量ξ～B（16，），可得Dξ．由变量η=5ξ﹣1，可得Dη=25Dξ，即可得出．【解答】解：随机变量ξ～B（16，），Dξ=16×=4，变量η=5ξ﹣1，则Dη=25Dξ=25×4=100．故答案为：100．14．由抛物线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积是．【考点】定积分．【分析】求出抛物线和直线的交点，利用积分的几何意义求区域面积即可．【解答】解：由，解得或，∴根据积分的几何意义可知所求面积为===．故答案为：．15．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有21 种不同的志愿者分配方案．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32=6种方法，若甲不参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32=6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33=6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6=21种．16．已知定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，且f （0）=0则下列命题正确的是①②③④．（写出所有正确命题的序号）①f（x）有极大值，没有极小值；②设曲线f（x）上存在不同两点A，B处的切线斜率均为k，则k的取值范围是；③对任意x1，x2∈（2，+∞），都有恒成立；④当a≠b时，方程f（a）=f（b）有且仅有两对不同的实数解（a，b）满足e a，e b均为整数．【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值．【分析】由已知中函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，可得f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①∵f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，∴f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，∴函数f（x）的极大值是f（1），没有极小值；故①正确；②∵k=f′（x）=（1﹣x）e﹣x，∴f″（x）=e﹣x（x﹣2），令f″（x）＞0，解得：x＞2，令f″（x）＜0，解得：x＜2，∴f′（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f′（x）最小值=f′（x）极小值=f′（2）=﹣，而x→∞时，f′（x）→0，∴k的取值范围是；故②正确；③结合①②函数f（x）在（2，+∞）上是凹函数，∴恒成立，故③正确；④当a≠b时，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b，则a∈（0，1），则e a∈（1，e），又有e a为整数．故e a=e b=2，同理a＞b时，也存在一对实数（a，b）使e a=e b=2，故有两对不同的实数解（a，b）满足e a，e b均为整数．故④正确；故答案为：①②③④三、解答题（共6个小题，其中22题10分，其余每小题12分，共70分.）17．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）≥x﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设切线的斜率为k，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程．（Ⅱ）要证：f（x）≥x﹣1，需证明：g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可【解答】（Ⅰ）解：设切线的斜率为k，f′（x）=lnx+1，k=f′（1）=ln1+1=1因为f（1）=1•ln1=0，切点为（1，0）．切线方程为y﹣0=1•（x﹣1），化简得：y=x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：要证：f（x）≥x﹣1只需证明：g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，g′（x）=lnx+1﹣1=lnx当x∈（0，1）时f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增；=g（1）=1•ln1﹣1+1=0g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）当x=1时g（x）min恒成立所以f（x）≥x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量1 1.52天数102515频率0.2a b若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）先求得销售量为1.5吨的概率p=0.5，然后利用二项分布求得其概率．（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ），，依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5，设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，则Y～B（5，0.5），∴．（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，则：P（X=4）=0.22=0.04，P（X=5）=2×0.2×0.5=0.2，P（X=6）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，P（X=7）=2×0.3×0.5=0.3，P（X=8）=0.32=0.09，∴X的分布列为：X的数学期望E（X）=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2，CD=，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，且PM=3MC．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥底面ABCD；（Ⅱ）求二面角M﹣BQ﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结BQ，易得PQ⊥AD，利用勾股定理可得PQ⊥BQ，通过面面垂直的判定定理即得结论；（Ⅱ）以Q为原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴建立坐标系如图，通过题意可得Q（0，0，0），B（0，，0），M（﹣，，），则所求二面角即为平面MBQ的一个法向量与平面BCQ的一个法向量的夹角，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：连结BQ，∵四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD=2BC，Q为AD的中点，∴四边形ABDQ为平行四边形，又∵CD=，∴QB=，∵△PAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，∴PQ⊥AD，PQ=，在△PQB中，QB=，PB=，有PQ2+BQ2=PB2，∴PQ⊥BQ，∵AD∩BQ=Q，AD、BQ⊂平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD，又∵PQ⊂平面PAD，∴平面PAD⊥底面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知能以Q为原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴建立坐标系如图，则Q（0，0，0），B（0，，0），∵BC=1，CD=，Q是AD的中点，∴PQ===，QC===2，∴PC===，又∵PM=3MC，∴M（﹣，，），∴=（0，，0），=（﹣，，），设平面MBQ的一个法向量为=（x，y，z），由，即，令z=，得=（1，0，），又=（0，0，1）为平面BCQ的一个法向量，∴==，∴二面角M﹣BQ﹣C为．20．已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若2xlnx≤2mx2﹣1在[1，e]恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求导函数，对参数a进行讨论，即可确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）先分离参数，构造函数，确定函数的最大值，即可求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得当a＜0时，x∈（0，﹣a），f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（﹣a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．当a≥0时，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．…（Ⅱ）2xlnx≤2mx2﹣1，得到令函数，求导数，可得a=﹣1时，，x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）≥f（1）=1，即，∴≤0∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）≤0，g（x）单调递减，∴函数在[1，e]上的最大值为∴在[1，e]上，若恒成立，则．…21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，点P为椭圆C上任意一点，且△PF1F2面积最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A、B两点（点A在第一象限），M、N 是椭圆上位于直线l两侧的动点，若∠MAB=∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据条件便可得到关于a，b的方程组：，可解出a，b，从而可得出椭圆的方程为；（2）根据条件可得A的坐标为，可设直线MN的方程为y=kx+m，联立椭圆的方程便可得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，可设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理便可得到，而根据条件可得到k AM +k AN =0，这样便可得出关于k ，m 的式子，并可整理成（2k ﹣1）（2m+2k ﹣3）=0，从而得出直线MN 的斜率为定值．【解答】解：（1）椭圆的离心率为；即； ∴①；△PF 1F 2面积的最大值为，即； ∴（a 2﹣b 2）b 2=3②； ①②联立解得a 2=4，b 2=3； ∴椭圆C 的方程为；（2），设直线MN 的方程为：y=kx+m ，联立椭圆方程可得：（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0；设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则：；由∠MAB=∠NAB 知，k AM +k AN =0； ∴；即；∴=；化简得，（2k﹣1）（2m+2k﹣3）=0；∴为定值．22．已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a∈（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证e＞n!（n≥2，n∈N）【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x）﹣，定义域解得x＞﹣2，f′（x）=﹣=，即有（﹣2，2）递减，（2，+∞）递增，故f（x）的极小值为f（2）=ln2﹣1，没有极大值．（2）f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0），x＞﹣，f′（x）=﹣=由于＜a＜1，则a（1﹣a）∈（0，），﹣＜﹣ax2﹣4（1﹣a）=0，解得x=±，f（x1）+f（x2）=ln[1+2]+ln[1﹣2]﹣﹣即f（x1）+f（x2）=ln[（1﹣2a）2]+ =ln[（1﹣2a）2]+﹣2设t=2a﹣1，当＜a＜1，0＜t＜1，则设f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+﹣2，当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，g′（t）=﹣=＜0g（t）在0＜t＜1上递减，g（t）＞g（1）=0，即f（x1）+f（x2）＞f（0）=0恒成立，综上述f（x1）+f（x2）＞f（0）；（3）证明：当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，即有1＞ln2，2＞ln3，3＞ln4，…，n﹣1＞lnn，即有1+2+3+…+（n﹣1）＞ln2+ln3+ln4+…+lnn=ln（2×3×4×…×n）=ln（n!），则＞ln（n!），故e＞n!（n≥2，n∈N）．xx1月15日29518 734E 獎l25584 63F0 揰22097 5651 噑28263 6E67 湧\J3 36216 8D78 赸/w31304 7A48 穈S35045 88E5 裥。

2021年高二下学期期中统一考试数学(理)试题含答案

2021年高二下学期期中统一考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的． 1．复数z 满足z ＝2－i1－i，则z 等于( ) A ．1＋3i B ．3－i C.32－12iD.12＋32i 2.函数的单调减区间是（）A ．(0，2) B. (0，3) C. (0，1) D. (0，5)3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且BC 边经过椭圆的另外一个焦点，则△ABC 的周长是（）A ． B. C. D. 4. 变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.Z ＝yx，则Z 的最小值为（）A ．225B ．25 C ．1D ．5.在中，，那么A ＝（）A ． B. C. 或 D.6.函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如下图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A. ⎣⎡⎦⎤－32，12∪[1,2)B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83C. ⎝⎛⎦⎤－32，－1∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎦⎤83，3D. ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)7.“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.下图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，……，第（670）个图案中的基础图形个数有( ) A 、xx B 、xx C 、xx D 、2011二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9. 抛物线的焦点坐标是_ _ _10. 命题：，则11. 若平面α，β的法向量分别为＝(－1,2,4)，＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为 12.13. 已知等比数列．．．．的公比q=2，其前4项和，则等于__ __ 14.已知，则函数的最大值是。

北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)

高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（）A ．1B ．3C 1D ．12. 若方程22125x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（） A ．(,2)-∞- B ．(2,5)- C ．[)(,2)5,-∞-+∞ D ．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率为（）A ．5B ．54 4. 设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（） A.2211216x y += B.2211612x y += C.2214864x y += D.2216448x y += 5. x y =与2x y =围成的封闭图形的面积为（） A. 31 B. 41 C. 61 D. 21 6．函数32()32f x ax x =++，若4)1(=-'f ，则a 的值等于（）A ．193B ．163C ．133D ．1037. 曲线123+-=x x y 在点（1,0）处的切线方程为（） A.1-=x y B.1+-=x y C. 22-=x y D. 22+-=x y8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.8 9. dx x ⎰421等于（）A.2ln 2-B. 2ln 2C. 2ln -D. 2ln 10. 设)(x f '是函数f (x )的导函数，=y )(x f '的图象如左下图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（ )（=y)(xf'的图象） A B C D 11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A．9 B. 6 C. 4 D. 3二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线xxy43-=在点(1,3)-处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=xxxy的单调递增区间是_________________________ 15．设点P是双曲线x2－23y=1上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使|PA|+21|PF|有最小值时，则点P的坐标是．16. 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622=+yx所截得的线段的中点，则直线l的方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bxaxxf+=，当1x=时，有极大值3；（1）求,a b的值；（2）求函数)(xf的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+yx有相同的焦点，与双曲线1222=-yx有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆，过它的左焦点1F作倾斜角为4π的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．20. 已知a为实数，()()2()4f x x x a=--。

高二下学期期中考试数学(理)答案

答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}={x|x≥1或x≤-1}，∴∁R B={x|-1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）={x|0＜x＜1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：∵（2a+i）（1+i）=（2a-1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a-1=0，即a=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）===，故选：B．由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）===，得解．本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4.【答案】A【解析】解：函数f（-x）=-xcos（-x）-（-x）3=-xcosx+x3=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）=cos-（）3=-（）3＜0，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2=3a1+a3，变形可得4a1q=3a1+a1q2，即q2-4q+3=0，解得q=1或3；又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，则q=3，a1=1，则a n=3n-1，则有a4=33=27；故选：B．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2=3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2-4q+3=0，解得q，又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n=4代入计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A=1，•=-，∴ω=2．再利用五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．为了得到g（x）=sin（ωx+）=sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）得解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由程序框图可得：m=2a-3，当i的值为1时，m=2（2a-3）-3=4a-9，当i的值为2时，m=2（4a-9）-3=8a-21，当i的值为3时，m=2（8a-21）-3=16a-45，当i的值为4时，m=2（16a-45）-3=32a-93，此时不满足循环条件，输出m=32a-93=67，解得：a=5．故选：C．模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S=2π×12+π×12+π×2+2×2=4+5π．该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.【答案】C【解析】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.【答案】B【解析】解：由f（x）=2x-1+2x+3=0得2x-1=-2x-3，即2x=-4x-6，作出函数y=2x与y=-4x-6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足-2＜x1＜-1，由g（x）=x-x-1=0得x-1=x，作出y=x-1和y=x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2作出h（x）=（）x和y=，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选：B．利用函数与方程的关系，分别转化为y=2x与y=-4x-6的图象，y=x-1和y=x的图象，h（x）=（）x和y=的图象，利用数形结合研究x1，x2，x3的范围即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|=|F1F2|=2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|=|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1E|=b=|MF1|①又|MF1|=|MF2|+2a=2c+2a ②，c2=a2+b2③由①②③可得c2-a2=（）2，即为4（c-a）=c+a，即3c=5a，b===a，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|=|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=2，是单位向量，且与夹角为60°，∴•（-）=-•=4-2×1×=3，故答案为：3．依题意，利用平面向量的数量积即可求得•（-）的值．本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14.【答案】80【解析】解：（2x-）5的展开式中，通项公式T r+1=（2x）5-r=（-1）r25-r，令5-r=2，解得r=2．∴x2的系数=23=80．故答案为：80．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】（x-2）2+（y-√3）2=4【解析】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|=|PA|，F（1，0），准线l的方程为：x=-1；设F在l上的射影为F′，又PA⊥l，依题意，∠AFF′=60°，|FF′|=2，∴|AF′|=2，PA∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2=4x0，∴x0=3，∴|PF|=|PA|=x0-（-1）=3-（-1）=4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x-2）2+（y-）2=4故答案为：（x-2）2+（y-）2=4．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|PA|．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.【答案】200201【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1=1，所以：a n=1+2（n-1）=2n-1，所以：b n=（-1）n-1=，所以：，==，故答案为：首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（Ⅰ）∵∠BAD=60°，∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得：DCsin∠DAC =ACsin∠ADC，∴sin∠ADC=ACDC sin∠DAC=√32，∴∠ADC=120°，或60°，又∠BAD=60°，∴∠ADC=120°（Ⅱ）∵BD=2DC，∴BC=3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2=AB2+AC2，可得：9DC2=6+3DC2，∴DC=1，BD=2，AC=√3，令∠ADB=θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cosθ，在△ADC中，AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos（π-θ），可得：{3=AD2+1+2ADcosθ6=AD2+4−4ADcosθ，∴解得：AD2=2，可得：AD=√2.【解析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC=30°，在△ADC 中，由正弦定理可得sin ∠ADC=，即可解得∠ADC=120°．（Ⅱ）由已知在△ABC 中，由勾股定理可得DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理，即可解得AD 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）∵平面四边形ABCD ，AB ⊥BD ，AB =BC =CD =2，BD =2√2，面ABD ⊥面BCD ，AB ⊥BD ，面ABD ∩平面BCD =BD ，∴AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥CD ，又AC 2=AB 2+BC 2=8，AD 2=AB 2+BD 2=12，AD 2=AC 2+CD 2=12，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∵AC ∩AB =A ，∴CD ⊥平面ABC ．解：（2）AB ⊥面BCD ，如图以B 为原点，在平面BCD中，过B 作BD 的垂线为x 轴，以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），A （0，0，2），C （√2，√2，0），D （0，2√2，0），∵E 是AD 的中点，∴E （0，√2，1），∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√2，√2，0），BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，√2，1），令平面BCE 的一个法向量为n⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√2y =0n⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +z =0，取x =1，得n ⃗ =（1，-1，√2）， ∵CD ⊥面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√2，√2，0），∴cos ＜n ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， ∴二面角E -BC =A 的大小为45°．【解析】（1）推导出AB ⊥面BCD ，从而AB ⊥CD ，再求出AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，在平面BCD 中，过B 作BD 的垂线为x 轴，以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BC=A 的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X=100）=2+16=0.2，90=0.4，P（X=300）=3690=0.4，P（X=500）=25+7+490∴X的分布列为：E（X）=100×0.2+300×0.4+500×0.4=340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，∴E（Y）=2n×0.4+（900-n）×0.4+（300-n）×0.2=420+0.2n，此时，n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，∴E（Y）=2n×（0.4+0.4）+（300-n）×0.2=60+1.4n，此时，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n=340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340=488不是最大值，n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n 满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n ，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n ，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n ，求出E （Y ）=420+0.2n ，当n=500时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n ，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n ，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n ，E （Y ）=60+1.4n ，n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n=500时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得{12c ×1=√34a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=3，故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1，证明（Ⅱ）：设直线AP 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为-k ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线PA 的方程为y +1=k （x -2），即y =kx +1-2k联立{y =kx +1−2k x 26+y 23=1，得（1+2k 2）x 2+4（k -2k 2）x +8k 2-8k -4=0．∴2x 1=8k 2−8k−41+2k 2，即x 1=4k 2−4k−21+2k 2设直线PB 的方程为y +1=-k （x -2），同理求得x 2=4k 2+4k−21+2k 2∴x 2-x 1=-8k 1+2k 2∴y 1-y 2=k （x 1+x 2）+2-4k =8k 1+2k 2，∴直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=1，易知l 与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB 与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.【答案】解：（1）∵f(x)=12x2−2x+mlnx+2，(x＞0)，∴f′(x)=x−2+mx =x2−2x+mx，令g（x）=x2-2x+m，∵m＜1，∴△=4-4m＞0，令f’（x）=0则x=1±√1−m，当1−√1−m≤0，即m≤0时，令f’（x）＜0则x∈(0，1+√1−m)；令f’（x）＞0则x∈(1+√1−m，+∞)．此时函数在(0，1+√1−m)上单调递减；在(1+√1−m，+∞)上单调递增．当1−√1−m＞0，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则x∈(1−√1−m，1+√1−m)；令f’（x）＞0则x∈(0，1−√1−m)∪(1+√1−m，+∞)，此时函数在(1−√1−m，1+√1−m)上单调递减；在(0，1−√1−m)和(1+√1−m，+∞)上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且x1=1−√1−m∈(0，1)，x2=1+√1−m∈(1，2)，又x1，x2是x2-2x+m=0的两个根，则x1+x2=2，m=2x1−x12，∴f(x1)x2=12x12−2x1+2+(2x1−x12)lnx12−x1=12(2−x1)+x1lnx1，令ℎ(t)=12(2−t)+tlnt，t∈(0，1)，则ℎ′(t)=lnt+12，令h’（t）＜0，则t∈(0√e )，令h’（t）＞0，则t∈(√e1)，所以h（t）在(0e )上单调递减；在(e1)上单调递增．∴ℎ(t)≥ℎ(√e )=1−√e，∵ℎ(1)=12；t→0，ℎ(t)→1，∴h（t）＜1，得证．【解析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.【答案】解：（Ⅰ）当θ0=3π4时，联立{θ=3π4ρ=4cosθ得A（-2√2，3π4）；同理得B（2√6，3π4），由极径的几何意义有|AB|=2√6-（-2√2）=2√6+2√2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1=4cosθ，ρ2=4√3sinθ，P为AB的中点，∴ρ=ρ1+ρ22=2cosθ+2√3sinθ，即ρ2=2ρcosθ+2√3sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-2x-2√3y=0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，√3）．【解析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）={3x −2，x ≥3x +4，−12＜x ＜32−3x ，x ≤−12，其图象为（2）关于x 的不等式f （x ）≥|x -m |的解集包含[4，5]，即|2x +1|+|x -3|≥|x -m |在x ∈[4，5]上恒成立，∴|x -m |≤3x -2，即2-3x ≤m -x ≤3x -2，∴2-2x ≤m ≤4x -2，x ∈[4，5]上恒成立，∴-6≤m ≤14，故m ∈[-6，14]．【解析】（1）f （x ）=，画图即可，（2）关于x 的不等式f （x ）≥|x -m|的解集包含[4，5]，可得|x-m|≤3x -2在x ∈[4，5]上恒成立，解得即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是一道常规题．。

2021-2022年高二下学期期中考数学(理)试题含答案

2021-2022年高二下学期期中考数学（理）试题含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z=的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．利用数学归纳法证明“11113212224(,)n n Nn n n++>≥∍++”的过程中，由“n=k”变到“n=k＋1”时，不等式左边的变化是 ( ) A.增加 B.增加和C.增加，并减少D.增加和，并减少3．若个人报名参加项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A． B． C． D．4．若，则等于（）A．－2 B．－4 C．2 D．05．的展开式中，的系数等于，则等于（）A． B． C． D．6．3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（）A. 5040种B. 840种 C . 720种 D. 432种7．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A． B． C． D．8．已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是A．2 B．4 C．2或4 D．1或29．从中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则＝（）A． B． C． D．10．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名.并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．20种 B．22 种C．24种D．36种11．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（）A． B． C．2 D．12．设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题. （每小题5分，共20分）13．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|= ．14．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法.15.．的展开式中含的项的系数是_______．16．已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是．三、解答题：17. （本题满分10分）已知函数，其中为常数．（1）当时，求的极值；（2）若是区间内的单调函数，求实数的取值范围．18. （本题满分12分）求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积19.（本题满分12分）已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍；（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.20.（本题满分12分）9．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A,B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（2）任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？（3）任意依次抽取该种零件4个,设ξ表示其中合格品的个数,求Eξ与Dξ.21．（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.22. （本题满分12分）已知函数．（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，求证：．1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．D7．A 8．C 9．B 10．C 11. A 12．C 13. 14. 150 15. 128 16.17. （1）当时，212x x1(2x1)(x1)f(x)2x1(x0)x x x--+-'=--==>所以在区间内单调递减，在内单调递增于是有极小值，无极大值（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解即或解得实数的取值范围是18. 由，得交点为，由定积分的几何意义得，曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．19.（1）由已知得：，（2）通项，展开式中系数最大的项是第3项（r=2）：（3）由（2）得：，即所以展开式中所有的有理项为：（1）设、两项技术指标达标的概率分别为、由题意得：1212125(1)(1)12111(1)(1)12P P P P P P ⎧⋅-+-⋅=⎪⎪⎨⎪--⋅-=⎪⎩ 解得：或， ∴.即，一个零件经过检测为合格品的概率为1/2（2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为554555111312216C C ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）依题意知～B(4,1/2)，，21.（1）设事件为“两手所取的球不同色”，则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P . （2）依题意，的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ，，所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E .22.（1）由条件得ln 1x a x a x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩在上恒成立．设，则．当时，；当时，，所以，．要使恒成立，必须．另一方面，当时，，要使恒成立，必须．所以，满足条件的的取值范围是．（2）当时，不等式等价于112212222ln ()1x x x x x x ->-．令，设，则，在上单调递增，，所以，原不等式成立．28296 6E88 溈21430 53B6 厶40629 9EB5 麵i27319 6AB7 檷32230 7DE6 緦h 38759 9767 靧/38397 95FD 闽21876 5574 啴23747 5CC3 峃=。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高二年级数学期中理科卷班级：_____________ 姓名：_____________ 分数：_______________ 一、选择题（每小题5分，共50分）：1、1．函数()2()2f x x =的导数是（） A ． ()2f x x '= B ． x x f 4)(=' C ． x x f 8)(=' D ．x x f 16)(='2、因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是（） A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3、下面几种推理过程是演绎推理的是（） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 4、用数学归纳法证明等式：()()+∈=-++++N n n n 212531 的过程中，第二步假设kn =时等式成立，则当1+=k n 时应得到（）()2.13521A k k +++++= ()()2.135211B k k +++++=+ ()()2.135212C k k +++++=+ ()()2.135213D k k +++++=+5、函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（）A. 1,−1B. 1, −17C. 3, −17D. 9, −19 6、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数( )A 13(,)x xB 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x7、设,a b R ∈，若1a bii+-为实数，则 ( ) A.0b a +≠ B.0b a -≠ C.0b a += D. 0b a -=8、设函数[]0)()(,,12)(3<∈+--=n f m f n m x x x x f 且则方程[]n m x f ,0)(在=上（） A.至少有三个实数根 B. 至少有两个实数根C. 有且只有一个实数根D 无实数根 9、已知函数(]0)(,3,0)()()(≠∈=x g x x g x f x h ，，对任意(])()()()(,3,0x g x f x g x f x '>'∈恒成立，则（） A.函数h(x)有最大值也有最小值 B. 函数h(x)只有最小值C ．函数h(x)只有最大值 D. 函数h(x)没有最大值也没有最小值10、一个作直线运动的物体，它的速度v (米/秒)与时间t （秒）满足3(0)v t t =≥　，如果它在a 秒内的平均速度与２秒时的瞬时速度相等，则a 等于（）A ．B ．4 D ．二、填空题（每小题5分，共25分）：11、设O 是原点，向量,OA OB 对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA对应的复数是_______12、已知曲线2x y =上一点P 处的切线与直线210x y -+=平行，则点P 的坐标为_______ 13、120(23)x x dx -=⎰_______14、已知函数()x x x f ln =，则)(e f '=___ _____. 15、下列命题中，错误命题的序号是____________．①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④z 是虚数的一个充要条件是z ＋z ∈R ；⑤若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数；⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z ＝z ；⑦在复数集内，－1的平方根是±i ；⑧z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0. 三、解答题（共75分）：16、(1) 已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围. (2) 已知函数f x x x ()=-+33，R x ∈;求f x ()的单调递增区间. （12分）17、（12分）设f (x )=2(0)ax bx c a ++≠，f ′(x )＝2x ＋2. 且方程f (x )＝0有两个相等的实根.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；18、若a 、b 、c 均为实数且22,22,12222+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。

求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.（12分）19、（12分）数列{}n a 中，321-=a ，其前n 项和n s 满足211+-=-n n s s )2(≥n ， (1)计算4321,,,s s s s ；(2)猜想n s 的表达式并用数学归纳法证明。

20、（13分）设函数3()f x mx x =-的图象上以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4.（1）求,m n 的值；（2）是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1996[1,3]f x k x ≤-∈对于恒成立？若存在，求出最小的正整数k ，若不存在，请说明理由.21、（14分）设函数x a ax x x f )1(2131)(23+--=①当a=1时，求函数)(x f 的极值;②若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32上是递增函数，求实数a 的取值范围； ③当0<a<2时，[]3164,1)(上的最大值为在x f ，求)(x f 在该区间上的最小值。

答案：1C 2A 3A 4B 5C 6B 7C 8C 9B 10D 8.减函数，C10解：∵速度v （米/秒）与时间t （秒）满足v=3t （t ≥0）， ∴位移S （米）与时间t （秒）满足S=414t +k （t ≥0），由于t=0时，S=0，故k=0∴S=414t （t ≥0），故它在a 秒内的平均速度431144aa a ==，它在2秒时的瞬时速度v=8故3184a =解得a =。

故选D11. 55i - 12.（1,1）13.0 14.215. [答案] ①②③④⑤⑧[解析] ①错误，两个复数如果都是实数，则可比较大小；②错误，当z 1，z 2，z 3不全是实数时不成立，如z 1＝i ，z 2＝1＋i ，z 3＝1时满足条件，但z 1≠z 3；③错误，当x ＝－1时，虚部也为零，是实数；④错误，此条件是必要非充分条件；⑤错误，当a ＝b ＝0时，是实数；⑥是正确的；⑦是正确的；⑧错误，如z 1＝i ，z 2＝1满足i 2＋12＝0，但z 1≠0，z 2≠0.16.(1) a <-3或a >6;(2) （-1，1）17. 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，又已知f ′(x )＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等的实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1..。

6分(2)依题意，所求面积＝⎠⎛0－1(x 2＋2x ＋1)dx ＝(13x 3＋x 2＋x )|0－1＝13.。

12分 18.解：假设a,b,c 均不大于0. 即0122≤+-y x 0222≤+-z y 0222≤+-x z …………………4分由不等式的可加性得：0222212222≤+-++-++-x z z y y x ……………8分即()()()02111222≤+-+-+-z y x ………………………10分显然不成立，所以原命题为真。

………………………12分 19.345,,456=-=-=-234解：（1）S S S . …… 4分 k k+1*1(2)21n k S =,2112S 12322n 11n N 2k n n k k k k S k k k n n +++++=-=-=-+++++=++∈+n n 猜测S =-下面用数学归纳法证明：（Ⅰ）n=1时显然成立（Ⅱ）假设＝时成立，即-那么当n=k+1时-即时命题成立综合（Ⅰ）（Ⅱ）S =-对一切成立20. 解 (1) 2π()3 1.(1)tan 14f x mx f ''=-== …… 2分所以311m -=， 2,3m = …… 4分从而由21(1)1,33f n n =-==-得故21,33m n ==- …… 6分(2)2()21f x x '=-, 当[1,3]x ∈时, ()0f x '>恒成立, 所以[1,3]x ∈时()f x 为增函数, …… 8分 ∴[]max ()(3)15f x f == …… 10分由()1996f x k ≤-有151996k ≤-, 所以2011k ≥. …… 12分故存在2011k = …… 13分21.解：因为x a ax x x f )1(2131)(23+--=所以)1()(2+--='a ax x x f …………………………………………1分 ① 因为a=1，所以x x x x f 22131)(23--=所以2)(2--='x x x f …………………………………………2分令0)(='x f 得，2,121=-=x x …………………………………………3分列表如下：当x=-1时取得极大值，为6；当x=2时取得极小值，为310-…………………………………………5分② 因为)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32上是递增函数，所以0)(≥'x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32上恒成立，…………………………………………6分即0)1(2≥+--a ax x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32上恒成立。

1)1(2-≤+x x a解得31-≤a …………………………………………8分(注：两根-1和a+1，需a+1<2/3；或者211x a x -≤+，求导知右边为增函数，其最小值为13-)③令0)(='x f 得，1,121+=-=a x x由上表知当x=1或4时)(x f 有可能取最大值，………………………………9分令316)1(=f 解得a=-4不符合题意舍。