2020高考文数总复习 课后限时集训 35 归纳与类比

课后限时集训(三十五)归纳与类比(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确的个数为()A．1B．2C．3D．4B[类比结论正确的有①②.]2．如图，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是()A．12B．48C．60D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]3．(2019·郑州调研)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为() A．42B．65C．143D．169 B[由题意得凸n边形的对角线C2n－n，当n＝13时，C213－13＝65.所以选B．]4．某次数学考试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四人谈论成绩情况．甲说：“我们四个人的分数都不一样，但我和乙的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和．”乙说：“丙、丁两人中一人分数比我高，一人分数比我低．”丙说：“我的分数不是最高的．”丁说：“我的分数不是最低的．”则四人中成绩最高的是()A．甲B．乙C．丙D．丁D[∵乙说：“丙、丁两人中一人分数比我高，一人分数比我低”，丙说：“我的分数不是最高的”，∴成绩最高的只能是甲或丁中的一个人．∵甲和乙两人的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和，丙、丁两人中一人分数比乙高，一人分数比乙低，∴丁的成绩比甲的成绩高，∴四人中成绩最高的是丁．故选D．]5．(2019·潍坊模拟)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的() A．己亥年B．戊戌年C．庚子年D．辛丑年C[由题意知2014年是甲午年，则2015年到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．]二、填空题6．若P0(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2＋y0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P(x0，y0)在双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．x0x a2－y0yb2＝1[类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x2a2－y2b2＝1的切点弦方程为x0x a2－y0yb2＝1.]7．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为________．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.]8．(2019·银川模拟)周末，某高校一学生宿舍甲、乙、丙、丁四位同学正在做四件不同事情：看书、写信、听音乐、玩游戏．下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信；④丙不在看书，也不在写信．已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是：________.看书[由于这些判断都是正确的，那么由①可知甲在听音乐或玩游戏；由②可知乙在看书或玩游戏；由④可知丙在听音乐或玩游戏；那么甲与丙一个在听音乐一个在玩游戏，由此可知乙肯定在看书．]三、解答题9．给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．[解]表4为它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．10．如图，平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有S△P ABS△PCD＝P A·PBPC·PD(其中S△P AB，S△PCD分别为△P AB，△PCD的面积)；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，求V P-ABEV P-CDF的值(其中V P-ABE，V P-CDF分别为四面体P-ABE，P-CDF的体积)．[解] 设PM 与平面PDF 所成的角为α，则A 到平面PDF 的距离h 1＝P A sin α，C 到平面PDF 的距离h 2＝PC sin α，∴V P -ABE ＝V A -PBE ＝13S △PBE ·h 1， V P -CDF ＝V C -PDF ＝13S △PDF ·h 2， ∴V P -ABE V P -CDF ＝13S △PBE ·h 113S △PDF ·h 2＝13PB ·PE ·P A sin α13PD ·PF ·PC sin α ＝P A ·PB ·PE PC ·PD ·PF .B 组 能力提升1．(2018·重庆二模)为培养学生分组合作能力，现将某班分成A ，B ，C 三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在A 组中的那位的成绩比丙低，在B 组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是 ( )A ．甲、丙、乙B ．乙、甲、丙C ．乙、丙、甲D ．丙、乙、甲C [在B 组中的那位的成绩与甲不一样，说明甲不在B 组，在B 组中的那位的成绩比乙低，说明乙不在B 组，所以丙在B 组，且乙的成绩高于丙，在A 组中的那位的成绩比丙低，说明甲在A 组，且甲的成绩低于丙，所以甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲，故选C.]2．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB→⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B ．5－12 C.5－1 D ．5＋1A [设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2，得e ＝5＋12.] 3．(2018·广州一模)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，用图1的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角”．现将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1＝1，S 2＝2，S 3＝2，S 4＝4，…，则S 126＝________.图1 图264 [题图2中的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，有1个1，第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依此类推，第n 次全行的数都为1的是第2n －1行，有2n －1个1.第1行，1个1，第2行，2个1，第3行，2个1，第4行，4个1；第1行1的个数是第2行1的个数的12，第2行与第3行1的个数相同，第3行1的个数是第4行1的个数的12；第5行，2个1，第6行，4个1，第7行，4个1，第8行，8个1；第5行1的个数是第6行1的个数的12，第6行与第7行1的个数相同，第7行1的个数是第8行1的个数的12.根据以上规律，当n ＝8时，第28－1行有128个1，即S 128＝128，第127行有64个1，即S 127＝64，第126行有64个1，即S 126＝64.]4．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫42 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019. [解] (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172 019＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 019＝2， …，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＝2. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫42 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 019＝12×2×2 018＝2 018.。