北京市海淀区2013届高三上学期期末考试理科数学试题

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北京市海淀区12—13上学期高三数学(文)期末考试试卷

北京市海淀区2012—2013学年度第一学期期末试卷高三数学（文） 2013．1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数21i-化简的结果为 A ．1+i B ．-1+i C ．1-i D ．-1-i2．向量a ＝(1，1)，b ＝(2，t )，若a ⊥b ，则实数t 的值为A ．-2B ．-1C ．1D ．23．在等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则23ABP ABC S S ≤△△的概率是 A ．13B ．23C ．23D ．564．点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的n ，S 的值分别为 A ．n ＝4，S ＝30 B ．n ＝4，S ＝45 C ．n ＝5，S ＝30 D ．n ＝5，S ＝456．已知点A （-1，0），B （cos α，sin α），且||AB =AB 的方程为A ．y =y =B ．y x =或y x =C ．y ＝x +1或y ＝-x -1D．y =y =7．已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则下面结论中正确的是A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的值域是[-1，1]C ．()f x 是偶函数D ．()f x的值域是[2-8．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC1B1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是A．[1,2B．[]42C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．tan 225°的值为________．10．双曲线22133x y -=的渐近线方程为________；离心率为________． 11．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且268a a a +=，则65S S =______． 12．不等式组0,31x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩，表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx -1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围是________．13．三棱锥D －ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为______．14．定义,0,,0.a b a b a b a a b b ⨯⨯≥⎧⎪⊕=⎨⨯<⎪⎩设函数()ln f x x x =⊕，则1(2)()2f f +=________；若{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，123()()()f a f a f a +++…781()()f a f a a ++=，则1a =________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+，△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a ＝7，b ＝5，求c 的值．16．（本小题满分13分）某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100输汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，数据统计如下表：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A 型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．17．（本小题满分14分）如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，且E 是BC的中点．（Ⅰ）求证：A 1B ∥平面AEC 1；（Ⅱ）求证：B 1C ⊥平面AEC 1．18．（本小题满分13分）已知函数211()22f x x =-与函数()ln g x a x =在点（1，0）处有公共的切线，设()()()(0)F x f x mg x m =-≠．（Ⅰ）当a 的值；（Ⅱ）求()F x 在[1，e ]上的最小值．19．（本小题满分14分）已知椭圆M :2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为F （-1，0），左右顶点分别为A ，B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1-S 2|的最大值．20．（本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为（0，+∞），若()f x y x=在（0，+∞）上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”．（Ⅰ）已知2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 是“一阶比增函数”，求证：1x ∀，2(0,)x ∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+；（Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解．北京市海淀区2012—2013学年度第一学期期末试卷高三数学（文）参考答案及评分标准 2013．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为21()cos cos 2f x x x x =-+12cos 22x x =- πsin(2)6x =- ………………6分又π()sin(2)16f A A =-=，(0,)A π∈， ………………7分所以ππ7π2(,)666A -∈-，262A ππ-=，3A π= ………………9分（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得到2π492525cos3c c =+-⨯，所以25240c c --=……………11分解得c ＝-3（舍）或c ＝8 ……………13分所以c ＝816．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为3A 333A,B 10313==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和这辆汽车是A 类型车的概率为313………………7分（Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为3343051567754.6250A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==………………9分50辆B 类型车出租的天数的平均数为310410515610754.850B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==………………11分答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大，应该购买B 型车 ………………13分答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分17．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO因为ACC 1A 1为正方形，所以O 为A 1C 中点又E 为CB 中点，所以EO 为△A 1BC 的中位线，所以EO ∥A 1B ………………3分又EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1所以A 1B ∥平面AEC 1 ………………6分（Ⅱ）因为AB ＝AC ，又E 为CB 中点，所以AE ⊥BC ………………8分又因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，又AE ⊂底面ABC ，所以AE ⊥BB 1，又因为BB 1∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，又B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以AE ⊥B 1C ………………10分在矩形BCC 1B 1中，111tan tan CB C EC C ∠=∠= 所以∠CB 1C 1＝∠EC 1C ，所以∠CB 1C 1+∠EC 1B ＝90°，即B 1C ⊥EC 1 ……………12分又AE ∩EC 1＝E ，所以B 1C ⊥平面BCC 1B 1……………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(1)(1)0f g ==，所以（1，0）在函数()f x ，()g x 的图象上又()f x x '=，()ag x x'=，所以(1)1f '=，(1)g a '= 所以a ＝1………………3分（Ⅱ）因为211()ln 22F x x m x =--，其定义域为{|0}x x > 2()m x mF x x x x-'=-=………………5分当m ＜0时，2()0m x mF x x x x-'=-=>，所以()F x 在(0，+∞)上单调递增，所以()F x 在[1，e ]上最小值为(1)0F =………………7分当m ＞0时，令2()0m x mF x x x x-'=-==，得到120,0x x >= (舍)1≤时，即01m <≤时，()0F x '>对(1，e )恒成立，所以()F x 在[1，e ]上单调递增，其最小值为(1)0F = …………9分e ≥时，即2m e ≥时，()0F x '<对(1，e )成立，所以()F x 在[1，e ]上单调递减，其最小值为211()22F e e m =-- ………………11分当1e <<，即21m e <<时，()0F x '<对(1成立，()0F x '>对)e 成立所以()F x 在(1单调递减，在)e 上单调递增其最小值为1111ln 22222mF m m m m =--=--……13分综上，当1m ≤时，()F x 在[1，e ]上的最小值为(1)0F =当21m e <<时，()F x 在[1，e ]上的最小值为11ln 222mF m m =-- 当2m e ≥时，()F x 在[1，e ]上的最小值为211()22F e e m =--.19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为F (-1，0)为椭圆的焦点，所以c ＝1，又23b =，所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y ＝x +1，和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y ，得到27880x x +-=………………5分所以△＝288，1287x x +=，1287x x =所以1224|||7CD x x =-=……………7分（Ⅲ）当直线l 无斜率时，直线方程为x ＝-1，此时3(1,)2D -，3(1,)2C --，△ABD ，△ABC 面积相等，12||0S S -=………………8分当直线l 斜率存在（显然k ≠0）时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设11(,)C x y ，22(,)D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然△＞0，方程有根，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+………………10分此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k =++=+ ………………12分因为k ≠0，上式1234||||k k =≤==+，（2k =±时等号成立）所以12||S S -………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题2()f x ax axy ax a x x+===+在(0,)+∞是增函数，由一次函数性质知当a ＞0时，y ＝ax+a 在(0,)+∞上是增函数，所以a ＞0………………3分（Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x在(0,)+∞上是增函数，又12,(0,)x x ∀∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+ 所以112112()()f x f x x x x x +<+，212212()()f x f x x x x x +<+ ………………5分所以112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+所以11221212121212()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++<+=+++所以1212()()()f x f x f x x +<+ ………………8分（Ⅲ）设0()0f x =，其中00x >，因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，00()()0f x f x x x >= 法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =由（Ⅱ）知(2)2f t m >，同理(4)2(2)4f t f t m >>，(8)2(4)8f t f t m >>所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013n n f t m >>，所以()2013f x >一定有解 ………………13分法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t k t = 因为当x ＞t 时，()()f x f t k x t >=，所以()f x kx >对x ＞t 成立只要2013x k>，则有()2013f x kx >>，所以()2013f x >一定有解……………13分。

北京市海淀区高三数学上学期期末考试试题理北师大版

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（理）试题2013.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4 D.3π,(1,0)4- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-C.13- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72B8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答) 12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x +-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.DABC左视图16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长；（Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）EC 1B 1A 1CBA已知函数e ().1axf x x =- （I ）当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准 2013．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为21()cos cos 2222x x x f x +-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+ ………………6分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），()Z k ∈ 所以令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ ………………8分 (Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =………………10分由正弦定理sin sin B Ab a=把1a b ==代入，得到1s i n 2B =………………12分又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =………………13分16.（本小题满分13分）解：（I ）这辆汽车是A 型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.63020=+这辆汽车是A 型车的概率为0.6 (3)分（II ）设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分520102030141001001001001001009125=⋅+⋅+⋅=该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125………………9分设Y 为B 型车出租的天数，则Y 的分布列为()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02=3.62E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.48………………12分一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于B 型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加合理 . ………………13分17.（本小题满分14分）(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点，又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B………………2分又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC………………4分（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--，因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ⋅=，解得1m =，所以1AM = ………………8分（Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==，设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则有10AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1,y =-则1,1x z ==，所以可以取(1,1,1)n =-， ………………10分因为AC ⊥平面1A B B A 1,取平面1ABB A 1的法向量为(0,2,0)AC = ………………11分所以c o||A CAC A C ⋅<>………………13分平面1AEC 与平面1A B B A 1所成锐二面角的余弦值为………………14分 18. （本小题满分13分）解：当1a =时，e ()1axf x x =-，2e (2)'()(1)x x f x x -=- ………………2分又(0)1f =-，'(0)2f =-，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =-- ………………4分（II ）2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=-当0a =时，21'()0(1)f x x -=<-又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以()f x 的单调递减区间为(,1-∞+∞ ………………6分当 0a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+= ………………7分当0a >时，11a x a+=>，所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a+，单调递增区间为1(,)a a++∞ ………………10分当0a <时，11a x a+=< 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞，单调递减区间为1(,1)a a+，(1,)+∞ ………………13分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =，得1p =所以抛物线方程为22y x=，焦点坐标为1(,0)2………………3分（Ⅱ）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率设直线l 方程为(2)y k x =-与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240ky y k --=则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+=………………6分直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分同理可得：22242N y y y -=+………………10分又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-，所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++44(44)444(44)k k--+=+-++0= ………………13分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………14分法二：设直线l 方程为2x my =+与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --=则由韦达定理得：12124,2y y y y m=-+=………………6分直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分同理可得：22242N y y y -=+………………10分又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-， 12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++4(424)44(424)m m --+=+-++=………………12分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………13分20. （本小题满分14分）解：（I ）因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞是增函数，所以0h ≤ ………………1分而2()()2f x h h x x h x x ==--在(0,)+∞不是增函数，而2'()1hh x x =+ 当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h < 综上，得h <………………4分(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++ 所以()()4=f a f a b c a a b c a b c++<++++，所以4()af a d a b c=<++，同理可证4()b f b d a b c =<++，4()cf c t a b c=<++三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d t a b c++++=+<=++所以2d t +-<………………6分因为,d d a b <所以()0,b a d ab-< 而0a b <<，所以0d < 所以(d d +-………………8分(Ⅲ) 因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >，记020()0f x m x => 因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数. 所以当0x x >时，022()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx > 所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >> 这与()f x k< 对(0,)x ∈+∞成立矛盾 ………………11分()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立所以()f x ∀∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解假设存在20x >，使得2()0f x =，则因为()f x 是二阶增函数，即2()f x x 是增函数一定存在320x x >>，322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾所以()0f x =在(0,)+∞上无解综上，我们得到()f x ∀∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立所以存在常数0M ≥，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x-=在(0,)+∞上是增函数，所以()f x ∈ψ，而任取常数0k <，总可以找到一个00x >，使得0x x >时，有()f x k >所以M的最小值为0 ………………13分。

北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：概率(含答案)

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：概率一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模理科）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（）A ．14 B ．34C ．3π24π+ D ．π24π- 2 ．（2013届东城区一模理科）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（）A ．316B ．14C ．34D ．1163 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）A ．221B ．463C ．121 D ．2634 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（）A ．13B ．12C ．23D ．565 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤，表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是（）A ．413B ．513C ．825D ．925二、填空题6 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知随机变量X 的分布列如下，则EX 的值等于7 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 .三、解答题8 ．（2013届北京大兴区一模理科）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。

【数学】北京市海淀区2013届高三一模(理)

2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科1）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.23．（5分）（2013•海淀区一模）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值（）4．（5分）（2013•海淀区一模）不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则5．（5分）（2013•甘肃三模）若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为（）﹣6．（5分）（2013•海淀区一模）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有7．（5分）（2013•海淀区一模）抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）B C D8．（5分）（2013•海淀区一模）设l1，l2，l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：①∃A i∈l i（i=1，2，3），使得△A1A2A3是直角三角形；②①∃A i∈l i（i=1，2，3），使得△A1A2A3是等边三角形；③三条直线上存在四点A i（i=1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•海淀区一模）在复平面上，若复数a+bi（a，b∈R）对应的点恰好在实轴上，则b=．10．（5分）（2013•海淀区一模）等差数列{a n}中，a3+a4=9，a2a5=18，则a1a6=．11．（5分）（2013•海淀区一模）如图，AP⊙O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C．若∠ACB=90°，BC=3，CP=4，则弦DB的长为．12．（5分）（2013•海淀区一模）在△ABC中，若a=4，b=2，cosA=﹣，则c=，sinC=．13．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=sin x，任取t∈R，定义集合：A t={y|y=f（x），点P（t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|≤}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则（1）函数h（t）的最大值是；（2）函数h（t）的单调递增区间为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）（2013•海淀区一模）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分．（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望．17．（14分）（2013•海淀区一模）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．18．（13分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；（II）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．19．（14分）（2013•海淀区一模）已知圆M：（x﹣）2+y2=r2=r2（r＞0）．若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．（I）求椭圆C的方程；（II）若存在直线l：y=kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值范围．20．（13分）（2013•海淀区一模）设A（x A，y A），B=（x B，y B）为平面直角坐标系上的两点，其中x A，y A，x B，y B∈Z．令△x=x B﹣x A，△y=y B﹣y A，若|△x|+|△Y|=3，且|△x|•|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．已知0（x0，y0）（x0y0∈Z）为平面上一个定点，平面上点列{P i}满足：P i=i（P i﹣1），且点P i的坐标为（x i y i），其中i=1，2，3，…n．（Ⅰ）请问：点p0的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（Ⅱ）求证：若P0与P n重合，n一定为偶数；（Ⅲ）若p0（1，0），且y n=100，记T=，求T的最大值．。

2013年高考解答题魔鬼训练三《立体几何》

2013年高考解答题魔鬼训练三《立体几何》1．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1AO ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.1A B COA 1B 12．如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．A D OC PBE3. 在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠= ，1AB AD PD ===，2CD =. （Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45.ACDEP4.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且060,ABC ∠=2PB PD AB ===，PA PC =，AC 与BD 相交于点O . （Ⅰ）求证：⊥PO 底面ABCD ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若M 是PB 上的一点，且PB CM ⊥，求PMMB的值．APDCOB-中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，5．如图，在四棱锥S ABCDAC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点.（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；--的大小为45︒时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由.（Ⅲ）当二面角E BD C6.如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠= ,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC折起，使BD =B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ；（Ⅱ）求二面角A BD O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N点的位置，使得CN =你的结论.M7．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，,E F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A DC B--．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角E DF C--的余弦值；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP DE⊥？证明你的结论．ABC DEFAB CDEF8．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN;（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求MEMN的值.9．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD ；（Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为 60，求CPCM的值.B10．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．11．（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，PA PD =，E F ,为AD PC , 的中点．（Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为45︒，求PE 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．DFECBAP12．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（Ⅰ）求此几何体的体积V 的大小;（Ⅱ）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；（Ⅲ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得AQ BQ ，若存在，求出DQ 的长，不存在说明理由.侧视图俯视图正视图13．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图所示，正方形DD AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22==AD AB ,点E 为AB 的中点。

2013年北京高三(期末)数学(理)分类汇编系列一解析版4.平面向量

【答案】2;
【解析】 .
将直角三角形放入直角坐标系中，则 ,设，则，令，则，做直线，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，但此时最小，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最大。即的最下值为，最大值为，即。的取值范围是。
11．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则．
【另解】 , ,两式相乘得 ,因为 , 均为正整数,于是 ,所以 ,所以 ,而 ,所以或 ,于是 ,选D.
二、填空题
7．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）在中，为中点，若，，则的最小值是.
8．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知向量，， .若向量与向量共线，则实数 _____．
A．，1B．1， C．-1， D．，1
【答案】D
【解析】因为，所以。。则。，即。，即，所以，选D.
4．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）向量 ,若 ,则实数的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，即，解得，选A.
5．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）为平行四边形的一条对角线，（）
【解析分类汇编系列一：北京2013高三期末】：4平面向量
一、选择题
1．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）△ 外接圆的半径为，圆心为，且，，则等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，所以，即时的中点，所以为外接圆的直径, 。则，因为，所以为正三角形，所以，且，所以，选C.

北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（文）试题2013。

1本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为A.1i +B.1i -+C. 1i -D.1i -- 【答案】A【KS5U 解析】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i ++===+--+，选A.2. 向量(1,1),(2,)t ==a b ，若⊥a b , 则实数t 的值为A 。

2-B 。

1- C. 1 D 。

2【答案】A【KS5U 解析】由⊥a b 得0=a b 即120t ⨯+=，解得2t =-,选A. 3. 在等边ABC∆的边BC上任取一点P ，则23ABP ABC S S ∆∆≤的概率是A 。

13B 。

12C 。

23D 。

56【答案】C【KS5U 解析】当23ABPABC SS ∆∆=时,有121232AB PD AB CO =⨯，即23PD CO =，则有23BP BC =，要使23ABP ABC S S ∆∆≤，则点P 在线段BP 上，所以根据几何概型可知23ABP ABCS S ∆∆≤的概率是23BP BC=，选C 。

4。

点P 是抛物线24yx=上一点,P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为A ．2 B. 3 C. 4 D 。

5【答案】B【KS5U 解析】抛物线的准线为1x =-，根据抛物线的对应可知，P 到该抛物线焦点的距离等于P 到该准线的距离，即(1)4x --=,所以3x =，即点P 的横坐标为3,选B 。

5.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出开始 10n S ==， S p <是输入p结束输出n ，SnS S 3+=否1n n =+的,n S 的值分别为 A. 4,30n S == B 。

2013北京海淀区高三一模数学(理)

2013北京海淀区高三一模数学（理科）2013.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则AB =A.{3,4,5}B.{4,5,6}C.{|36}x x <≤D.{|36}x x ≤< 2.在极坐标系中, 曲线4cos ρθ=围成的图形面积为Ａ.π B.4 Ｃ.4π Ｄ.163.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 值为5，则输出的y 值为Ａ.2- B. 1- C. 12D.24.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为Ａ.2- B. 1- C. 0 D.1 5. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 A.12-B.12C.1-D. 1 6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种7. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是 A.128. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论： ①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是A. ①B.①②C. ①③D. ②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上，若复数+ i a b （,a b ∈R ）对应的点恰好在实轴上，则b =_______. 10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = 11.如图，AP 与O 切于点A ，交弦DB 的延长线于点P ，过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=︒，3,4BC CP ==，则弦DB 的长为_______.12.在ABC ∆中，若4,2,a b ==1cos 4A =-，则_____,sin ____.c C == 13.已知函数22, 0,()3, 0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.14.已知函数π()sin2f x x =，任取t ∈R ，定义集合： {|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x满足||PQ ≤.设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则（1）函数()h t 的最大值是_____；（2）函数()h t 的单调递增区间为________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()2cos )f x x x =--.D CBPA O（Ⅰ）求π()4f 的值和()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠=，点N 在线段PB上，且PN = （Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ;（Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值. (I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知圆M ：222(x y r +=（0r >）.若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为圆M （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围.20.（本小题满分13分）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.2013北京海淀区高三一模数学（理）参考答案及评分标准2013．4说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-9．0 10．14 11.24512．3,1613．491a <≤ 14．2,(21,2), Z k k k -∈22(12sin 2)x x =-+-………………2分2= 12sin 2x x -+cos22x x =+………………4分π= 2sin(2)6x + (6)分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==7分所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω==………………9分（II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=-………………11分当π6x =时，函数取得最大值π()26f =………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，所以该考场有100.2540÷=人………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ===222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分 17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =5分在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=，所以3DM =:3:1BM MD =………………6分在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BNNP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分（Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以(4,0,0),(0,0,4)B C D Pyx由（Ⅱ）可知，(4,3DB =-为平面PAC 的法向量………………10分4)PC =-，(4,0,4)PB =-设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z =则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n =………………12分设二面角A PC B --的大小为θ，则7cos n DB n DBθ⋅==⋅ 所以二面角A PC B --余弦值为7………………14分 18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x'=++………………2分因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值(1)120f a b '=++=………………3分当1a =时，3b =-，2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =-………………11分当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增所以最大值1可能在1x =或e x =处取得而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾………………12分ABG H 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或2a =-. ………………13分 1９.（本小题满分14分）解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =2c a =，所以1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y +=………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k=-+………………6分所以AB ==7分点M，0）到直线l的距离d =则GH =9分显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，所以要使AG BH =，只要AB GH =所以222228(1)24()121k k r k k+=-++ 22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++………………11分当0k =时，r =12分当0k ≠时，242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++ 又显然24212(1)2132r k k =+>++,<r ≤<14分20.解：（Ⅰ）因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点0P 的相关点有8个………………2分又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-= 所以这些可能值对应的点在以0P4分（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=， 1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------两式相加得1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*）因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n 一定为偶数………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++=. 当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++. 若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1.相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-=综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2,100n nnT n nn n n⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.………………13分。

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31：几何证明(.

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31:几何证明一、选择题1 .(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题如图,PC 与圆O 相切于点C ,直线PO 交圆O 于,A B 两点,弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中,错误..的结论是( A .BEC ∆∽DEA ∆ B .ACE ACP ∠=∠C .2DE OE EP =⋅D .2PC PA AB =⋅2 .(顺义区2013届高三第一次统练数学理科如图,AC AB ,分别与圆O 相切于点ADE C B ,,是⊙O 的割线,连接CE BE BD CD ,,,.则(A .DE AD AB ⋅=2B .CE AC DE CD ⋅=⋅ C .CE BD CD BE ⋅=⋅ D .CD BD AE AD ⋅=⋅3 .(2012北京理5.如图.90=∠ACB ,AB CD ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E .则(A .DB AD CB CE ⋅=⋅ B .AB AD CB CE ⋅=⋅C .2CD AB AD =⋅ D .2CD CB CE =⋅4 .(北京市石景山区2013届高三一模数学理试题如图,直线AM 与圆相切于点M , ABC 与ADE 是圆的两条割线,且AD BD ⊥,连接EC MD ,.则下面结论中,错误..的结论是 ( A .90=∠ECAB .DBA DMA CEM ∠+∠=∠C .AE AD AM ⋅=2D .BC AB AE AD ⋅=⋅5 .(北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理试题如图,已知AB 是⊙O 的一条弦,点P 为AB 上一点, PC OP ⊥,PC 交⊙O 于C ,若4AP =, 2PB =,则PC 的长是(A .3B.C .2D6 .(2011年高考(北京理如图,,,AD AE BC 分别于圆O 切于点,,D E F ,延长AF 与圆O 交于点G ,给出下列三个结论:①AD AE AB BC CA +=++;②AF AG AD AE ⋅=⋅; ③AFB ∆∽ADG ∆,其中正确的结论的序号是 ( A .①② B .②③ C .①③ D .①②③BABCOP7 .(2013北京房山二模数学理科试题及答案如图,,,,A B C D 是⊙O 上的四个点,过点B 的切线与DC 的延长线交于点E .若110BCD ︒∠=,则DBE ∠= (A .75︒B .70︒C .60︒D .55︒二、填空题D C B PAO9. (2013北京丰台二模数学理科试题及答案如图,已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D ,若4=AD ,3=BD ,4=OC ,则CD 的长为______.19.(海淀区北师特学校13届高三第四次月考理如图,BC 是半径为2的圆O 的直径,点P 在BC 的延长线上,PA 是圆O 的切线,点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点,则ABP ∠= ;PB PC ⋅= .14. (2013北京朝阳二模数学理科如图,PC 切圆O 于点C ,割线PAB 经过圆心O ,,4=PC 8=PB ,则=∠COP tan _______,△OBC 的面积是_________.F26.(2013届北京丰台区一模理科如图,已知直线PD 切⊙O 于点D ,直线PO 交⊙O 于点F E ,.若21PF PD =+=,则⊙O的半径为 ;EFD ∠= .27.(2013北京高考数学(理如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线, PB 与圆O相交于D.若3=PA ,916PD DB =::,则PD =_________;AB =___________.(20题图等22. (2013北京昌平二模数学理科圆O 于点A ,AC 为圆北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31:几何证明参考答案一、选择题 1. 【答案】D解:由切割线定理可知2PC PA PB =⋅,所以D 错误,所以选D.2. 答案C 由切线长定理知2AB AD AE =⋅,所以A 错误.选C.3. 【解析】在ACB ∆中,∠ACB=90º,CD ⊥AB 于点D,所以DB AD CD ∙=2,由切割线定理的CB CE CD ∙=2,所以CE ·CB=AD ·DB.【答案】A 4. D 5. B6. 【答案】A【命题立意】本题考查了平面几何问题,圆以及圆的切线问题的研究,通过圆的切线所具有的性质反映出平面几何中的转化思想以及三角形的相似关系.【解析】因为,,AD AE BC 都是圆的切线,所以B D B E=,CE CF =,所以A B B C C A A++=+++,所以①正确;因为,,AD AE BC 都是圆的切线,所以AD AE =,由切割线定理得2AF AG AD AD AE ⋅==⋅,所以②正确; 由切线定理知ACD BDF BFD ∠=∠=∠,ABF BDF BFD ∠=∠+∠,所以③错误,选择A. 7. B二、填空题8. 2459. 2; 11. 【答案】5【解析】取BD 的中点,连结OM ,则O M B D ⊥,因为8BD =,所以4,549DM MB AM ===+=,所以22290819OM AO AM =-=-=,所以半径5OB ====,即5OC =。

北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：立体几何(含答案)

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面βα,，直线nm,，下列命题中不．正确的是（）A．若α⊥m，β⊥m，则α∥βB．若m∥n，α⊥m，则α⊥nC．若m∥α，n=βα ，则m∥nD．若α⊥m，β⊂m，则βα⊥．2 ．（2013届北京海滨一模理科）设123,,l l l为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①i iA l∃∈(1,2,3)i=，使得123A A A∆是直角三角形；②i iA l∃∈(1,2,3)i=，使得123A A A∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)iA i=，使得四面体1234A A A A为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2B．22C．3D．324 ．（2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．6B．12（7题图）轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分6 ．（2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A．B．8C．D．837 ．（2013届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A．21B．13C．65D．18 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A．B．C．D．9 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）平面α∥平面β的一个充分条件是（）A．存在一条直线a aααβ，∥，∥B．存在一条直线a a aαβ⊂，，∥C．存在两条平行直线a b a b a bαββα⊂⊂，，，，∥，∥D．存在两条异面直线a b a b a bαββα⊂⊂，，，，∥，∥10．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1（）A．43πB．2πC．83πD．103π正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图主视图左视图俯视图11．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．B．C．D．12．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）A．16+B．12+C．8+D．4+13．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）如图，正（主）视图侧（左）视图俯视图直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A B．C．1 D．214．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A．10+B．10+．14+D．14+15．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A B C．34D．116．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是（）A ．124 B ．112C ．16D ．1217．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ18．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A ．38B ．4C ．2D ．3419．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（）A．C．6+二、填空题20．（2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.21．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．22．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.23．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<），记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）. 三、解答题24．（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：A 1B //平面ADC 1；（Ⅱ）若AB=BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．25．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值..26．（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠= ，点N 在线段PB 上，且PN =（Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．ABCD P -的底面27．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为 60，求CPCM的值.28．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．29．（2013届东城区一模理科）如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，AB AC AE ==2=，12ED AB =， P 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：//DP 平面EAB ；（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．30．（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，PA PD =，E F ,为AD PC,的中点．（Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为45︒，求PE 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．31．（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12AD BC =，60ABC ∠= ，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90 ，得到梯形ABC D ''（如图）．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABC '；（Ⅱ）求证：//C N '平面AD D '；（Ⅲ）求二面角A C N C '--的余弦值．DFECBAPADD 'C '32．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）(本小题满分13分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥；（2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．33．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（Ⅰ）求此几何体的体积V 的大小;（Ⅱ）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；（Ⅲ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得 AQ ⊥BQ ，若存在，求出DQ 的长，不存在说明理由.侧视图俯视图正视图F G P D CB A34．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=，E 是AB的中点， MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM中，2AD =，7AM =．（Ⅰ）求证：AC ⊥BN ；（Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ；（Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.学）如35．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数图所示，正方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22==AD AB ,点E 为AB 的中点。

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2013.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

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