高考总复习数学理科 (北师大)--第四章第1节--(附解析及答案)

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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第四章 4.4

2kπ](k∈Z)上递减
基础知识题型分类
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
思想方法练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾理清教材
π x＝2＋2kπ(k∈Z)
最值时，ymax＝1；
x＝ 2kπ(k∈Z) 时，ymax＝1；时，ymin＝－1 偶函数奇函数 kπ ( ，0)(k∈Z) 2
最大、最小值．
解
π π π ∵3＋4x＋6－4x＝， 2
π π π π π ∴cos4x－6＝cos6－4x＝cos2－3＋4x＝sin3＋4x.
π ∴y＝2sin4x＋3，周期
(2)y＝|tan x|.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二三角函数的单调性、周期性
思维启迪解析思维升华
π y＝－sin2x－3 再求，
【例 2】写出下列函数的单调区间及周期：
π (1)y＝sin－2x＋3 ；
(1)化为
sin x± cos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)．
基础知识题型分类思想方法练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)函数 y＝lg(sin x)＋ π ≤3＋2kπ，k∈Z} ． ________________ 1 x|2kπ<x cos x－的定义域为{ ________ 2 ( )
图像
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾理清教材
定义域
R [－1,1]

2019大一轮高考总复习文数北师大版讲义：选修4-4 第01

海口市高三上学期语文第一次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共1题；共6分)1. （6分） (2019高三上·遂宁开学考) 阅读下面的文字，完成下面小题。

模糊性是诗歌语言最突出的特点。

这种语言具有两重性，即在本质上是明确的，在表象上是模糊的；在内容上是确指的，在形式上是灵活的。

因而能构成诗歌作品丰富多彩的审美意象，吸引鉴赏者去咀嚼、去品味。

鉴赏者尽可以根据自己的生活___________和审美__________去揣度那一个个谜底，填充那一道道艺术留白，__________获得对诗歌作品的审美享受。

如果不能发现诗歌文本的艺术留白，不能填充这些留白。

那么阅读诗歌便___________。

从这个意义上讲，（）这就使得诗歌语言和表达的意义之间形成了不少的“空白”点，只有通过鉴赏去增补这些空白，才能在诗歌语言与其象征意义的沟通之间架起桥梁，深刻领会作品的寓意。

（1）依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A . 体验经验从而味同嚼蜡B . 经验体会从而食不甘味C . 体会经历因此味同嚼蜡D . 经历体验因此食不甘味（2）依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A . 体验经验从而味同嚼蜡B . 经验体会从而食不甘味C . 体会经历因此味同嚼蜡D . 经历体验因此食不甘味（3）下列在文中括号内补写的语句，最恰当的一项是（）A . 诗歌是一种通过有限的词汇、有限的组合规则来表现诗歌作者自己无限的心灵世界的超级语言复合体。

B . 诗歌语言是一种超级复合体，诗歌作者总是通过有限的词汇、有限的组合规则去表现自己无限的心灵世界。

C . 诗歌作者总是通过有限的词汇、有限的组合规则去表现自己无限的心灵世界，所以诗歌语言是一种超级复合体。

D . 诗歌作者自己无限的心灵世界总是通过有限的词汇、有限的组合规则来表现的，所以诗歌语言是一种超级复合体。

2020高考理数(北师大版)总复习选修4-4 第1节坐标系

题自
识
主
全
通关
因为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2，
验效果
所以 ρ2－2

2ρcos

θcosπ4＋sin
θsinπ4＝2，
课
堂题
即 ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝2.
型全
所以圆 O2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
突
课后限时集训
全
验
通关
则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为________．
效果
(1,1) [由 ρsin2θ＝cos θ⇒ρ2sin2θ＝ρcos θ⇒y2＝x，又由 ρsin θ＝1⇒y＝1，
课堂题型
联立yy2＝＝1x， ⇒xy＝＝11， . 故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1)．]
破
返首页
课
真
前
题
知
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
自
识
主
全通
得经过两圆交点的直线方程为 x＋y＝1.
验效
关
果
化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1，
课堂
即
ρsinθ＋π4＝
2 2.
题
型
全
突
课后限时集训
破
返首页
课
极坐标方程的应用(例题对讲)
真
前
题
知
自
识全
选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系
课
真
前
题
知
自
识
[考纲传真] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下主

(江西版)2013年高考数学总复习第四章4.4三角函数的图像与性质理北师大版(含详解)

三、解答题
10．解： f ( x) ＝ sin 2 x＋
3(2cos 2x－ 1) ＋ 1＝ sin 2 x＋
3cos 2 x＋ 1＝ 2sin
2x＋
π 3
＋ 1.
(1) 函数 f ( x) 的最小正周期为
T＝
2π 2
＝
π
.
π
π
π
(2) 由 2kπ － 2 ≤２x＋ 3 ≤２kπ ＋ 2 ，
5π
π
y＝ 2sin
3x
π 6
≤
x
≤5π6
和函数
y＝ 2 的图像，如
4π
图，根据图像的对称性，所求的面积即为图中所示阴影部分的面积，为
3.
-3-
5．A
解析：
∵y＝ 2sin(
ω x＋ θ) 为偶函数，
0＜ θ＜ π ，∴
θ＝
π 2
.
∵图像与直线 y＝ 2 的两个交点的横坐标为 ∴2π ＝ π ，ω ＝ 2. 故选 A.
8．已知函数 y＝ sin ω x( ω ＞ 0) 在一个周期内的图像如图所示，要得到函数
y＝ sin
1π
x＋ 2 12
的图像，则需将函数
y＝ sin ω x 的图像向 __________平移 __________ 个单位长度．
-1-
9．水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为
h，梯形面积为 S，为了使渠道的渗水
2cos 2x≠ f ( x) ，故③不正确．故
选 B. 二、填空题
7．(1,3)
3sin x， x∈[0 ， π ] ，解析： f ( x) ＝sin x＋2|sin x| ＝
－sin x， x∈ π ，2π ].

2019年高三数学(理科)一轮复习(教师用)北师大版选修4-4第1节坐标系Word版含解析

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系[考纲传真] (教师用书独具)1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(对应学生用书第198页)[基础知识填充]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标与极坐标系的概念图1在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值． 3．极坐标与直角坐标的互化4.5.(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b (0＜θ＜π)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]3．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．1 [由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外．又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为______．522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得 2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，∴y －x ＝1.由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)．∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.] 5．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.(对应学生用书第199页)在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换 φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1. ∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎨⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′， ∴y ＝x 即为所求直线l ′的方程．[跟踪训练] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程.【导学号：79140385】[解]由⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①。

高考理科数学(北师大版)一轮复习课件选修4-4第1讲坐标系

极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接代入直角坐标方程并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形技巧．
选修4－4 坐标系与参数方程
第1讲坐标系
数学
01
基础知识自主回顾
02
核心考点深度剖析
03
高效演练分层突破
一、知识梳理 1．坐标系 (1)伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λ·μx·（y（λ>μ0>）0），的作用下，
点 P(x，y)对应到点(λx，μy)，称 φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
2．求双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ：x2′y＝′3＝x，y 变换后所得曲线 C′的焦点坐标．解：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，
由x2′y＝′3＝x，y，得xy＝＝2x3y′，′，代入曲线 C：x2－6y42 ＝1，得x9′2－y1′62＝1，即曲线 C′的方程为x92－1y62 ＝1，因此曲线 C′的焦点 F1(－5，0)，F2(5，0)．
【解】 (1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 得 C2 的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知 C2 是圆心为 A(－1，0)，半径为 2 的圆．由题设知，C1 是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试(答案解析)(2)

一、选择题1．点P的直角坐标为(，那么它的极坐标可表示为（） A ．52,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．51,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 2．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（）A ．1'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．1BC ．2D．4．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=5．极坐标系内曲线2cos ρθ=上的动点P 与定点(1,)2Q π的最近距离等于（）A1B1C ．1D6．在极坐标系中有如下三个结论:①点P 在曲线C 上,则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程;②tan θ=1(ρ≥0)与θπ(ρ4=≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是( ) A ．①③B ．①C ．②③D ．③7．在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按124x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（） A ．4cos sin 4ρθρθ-= B ．cos 16sin 4ρθρθ-= C ．cos 4sin 4ρθρθ-=D ．cos 8sin 4ρθρθ-=8．在极坐标系中，点到直线的距离是（）．A ．B ．C ．D ．9．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝110．在极坐标系中，过点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线的方程是（） A ．cos 3ρθ=B ．sin 3ρθ=C ．3cos ρθ=D ．3sin ρθ11．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为 A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y +-= C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1y x +-=12．将曲线22(1sin )2ρθ+=化为直角坐标方程为A ．2212y x +=B ．2212x y +=C ．2221x y +=D ．2221x y +=二、填空题13．已知点A 的直角坐标是(3-，则点A 的极坐标是______．()0,02ρθπ>≤< 14．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 的极坐标为22,4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的直角坐标方程为：22(1)1y x +-=. （1）求曲线C 和直线AB 的极坐标方程；（2）过点O 的射线l 交曲线C 于M 点，交直线AB 于N 点，若||||4OM ON ⋅=，求射线l 所在直线的直角坐标方程. 15．若直线l 的极坐标方程为ρcos ()324πθ-=C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．16．极坐标方程(cos sin )10ρθθ+-=化为直角坐标方程是_______17．将对数函数3log y x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线方程为______________．18．在极坐标系中，已知两点(2,)3P π和(23,)6Q 5π，则PQ 的中点M 的极坐标为_________．19．已知点P 的直角坐标按伸缩变换'2'3x xy y=⎧⎪⎨=⎪⎩变换为点'(6,3)P -，限定0,02ρθπ>≤<时，点P 的极坐标为_____________．20．点M的直角坐标为()1-，则点M 的极坐标是__________．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：2214yx +=，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心极坐标为(3,)π，半径为1的圆. （1）求曲线1C 的参数方程和2C 的直角坐标方程；（2）设M ，N 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求MN 的取值范围. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩ (α为参数)；以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2)若把曲线1C12，得到曲线3C ，求曲线3C 的方程；(3)设P 为曲线3C 上的动点，求点P 到曲线2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标. 23．在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线21:4cos 30C ρρθ-+=，曲线2:cos()4C ρπθ=+.（I ）求曲线1C 及2C 的直角坐标方程；（II ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上的点的距离最大值.24．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的直角坐标方程为22(4)16x y +-=.（1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB . 25．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为π02θαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，将直线1l 绕极点O 逆时针旋转π3个单位得到直线2l ．（1）求C 和2l 的极坐标方程；(2)设直线1l 和曲线C 交于,O A 两点，直线2l 和曲线C 交于,O B 两点，求OA OB +的最大值．26．已知曲线C 在平面直角坐标系xOy下的参数方程为1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭OT ：()03πθρ=>与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求OA OB ⋅的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据直角坐标化极坐标的方法求解即可. 【详解】设它的极坐标为(,)ρθ222(4,2ρρ=+==tan 1θ==- θ在第二象限，且[)0,2θπ∈34πθ∴=则它的极坐标可表示为32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于中档题.2．A【分析】首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测(包含答案解析)(2)

一、选择题1．点P 对应的复数为33i -+，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（） A ．332,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．532,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．2±B ．(2,2)-C ．[1,1)-D ．[1,1)-或23．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称4．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（） A ．2B ．3C ．1D ．55．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（） A ．34B ．25C ．23D ．136．()04πθρ=≥表示的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一条射线D ．圆7．在极坐标系中，点到直线的距离是（）．A ．B ．C ．D ．8．已知点P 的直角坐标(2,23)--，则它的一个极坐标为（）A ．(4，3π) B ．(4，43π) C ．(-4，6π) D ．(4，76π) 9．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－3π)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为（）A ．3(1,)3B ．23(,)36πC ．2333π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．2323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，10．直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（）． A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离11．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ2=的交点为A,B ，则AB =（）A ．4B ．22C ．2D ．112．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =二、填空题13．已知圆M 的极坐标方程为242cos()604πρρθ--+=，则ρ的最大值为______.14．将曲线C 按伸缩变换'2'3x x y y=⎧⎨=⎩变换后所得曲线方程为22''1x y +=，则曲线C 的方程为________.15．在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos 3sin )6ρθθ+=的距离为_________．16．在极坐标系中，O 是极点，设点(1,)6A π，(2,)2B π，则OAB ∆的面积是__________．17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则线段AB 的长为__．19．将曲线221x y +=按伸缩变换公式'2'3x xy y =⎧⎨=⎩变换后得到曲线C ，则曲线C 上的点(,)P m n 到直线:260l x y +-=的距离最小值为_____________.20．过点P (2，4π)并且与极轴垂直的直线的方程是___________________________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos26ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1,6A πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭，23,B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB +的值．23．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：222x ax y -+=0(a >0)，曲线2C 的参数方程为cos {1sin x y αα==+(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程; (2)已知极坐标方程为θ=6π的直线与曲线1C ，2C 分别相交于P ，Q 两点（均异于原点O ），若|PQ|=1，求实数a 的值； 24．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为 sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点O 为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;（2）设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到曲线2C 上的距离的最小值. 25．在极坐标系下，已知圆C ：2cos 2sin =+和直线:40l x y -+= （1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．26．在直角坐标系中，圆1C ：221x y +=经过伸缩变换32x xy y''=⎧⎨=⎩，后得到曲线2C 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=()1求曲线2C 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；()2在2C 上求一点M ，使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标．详解：点P 对应的复数为33i -+，则点P 的直角坐标为()3,3-，点P 到原点的距离r =，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于34π，故点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P 的极角是解题的难点．2．D解析：D 【解析】【分析】先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解.【详解】因为曲线1C 的极坐标方程为2sin ,42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即222(sin cos )222a ρθθ+= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：221x y +=，由于0θπ，故0y ≥如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122O l d a -==∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2 故选：D 【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.3．A解析：A 【分析】由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系.【详解】解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.故选：A. 【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.4．B解析：B 【解析】【分析】根据题意，由AB 的坐标分析可得|OA |＝1，|OB |＝2，且∠AOB 2333πππ=-=，由余弦定理计算可得答案【详解】在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3），则|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB 2πππ333=-=，则|AB|2＝2OA +2OB ﹣2|OA||OB|cos ∠AOB ＝1+4﹣2×1×2×cos π3=3，则|AB|= 故选：B ．【点睛】本题考查极坐标的应用，涉及余弦定理的应用，属于基础题．5．C解析：C 【解析】分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=，设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.详解：∵曲线C 的方程为22162x y +=，即2236x y +=，∴曲线C 的极坐标方程为()221+2sin 6ρθ=设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，联立()221+2sin 6ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，根据极坐标的几何意义可得22222212cos 111112sin 663OA OBπθθρρ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+=+1+1cos 21cos 23sin 23666ππθθθ⎛⎫⎛⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即可得其最大值为23，故选C. 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．6．C解析：C【解析】【分析】利用极坐标方差化为直角坐标方程即可得出．【详解】()04πθρ=≥表表示的图形是一条射线：y=x （x≥0）．故选C ．【点睛】本题考查了射线的极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．C解析：C 【解析】点到直线分别化为直角坐标系下的坐标与方程：，直线点到直线的距离，点到直线的距离是，故选C.8．B解析：B 【解析】22(2)(23)4ρ=-+-=，23tan 32θ-==-，3(,)2πθπ∈，所以43πθ=，即极坐标为4(4,)3π．故选B ． 9．B解析：B 【分析】先求出曲线C 的平面直角坐标系的方程，求出M N 、中点在平面直角坐标系的坐标，然后再求出其极坐标【详解】由cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得：13cos sin 122ρθρθ+= ∴曲线C 的直角坐标方程为13122x y +=，即320x -=故点M N 、在平面直角坐标系的坐标为()23200⎛ ⎝⎭，，， ∴点P 坐标为313⎛ ⎝⎭，则极坐标为6P π⎫⎪⎪⎝⎭，故选B 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系与极坐标之间的转化，只要掌握转化方法然后就可以计算出答案，较为基础．10．C解析：C 【解析】分析：直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，求出圆心到直线距离，与半径比较即可得结论. 详解：直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 4sin ρθρθ+= ,422x y +=,0y x +-=，圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭可化成2cos sin ρθθ=+,22((4x y -+-=，圆心到直线的距离2d r ===，所以圆与直线相切．故选C ．点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可以把极坐标与直角坐标互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 11．C解析：C 【解析】联立极坐标方程：π14sin ρθρ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得：110ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩222ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，利用勾股定理可得2AB ==.故选C.12．C解析：C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．二、填空题13．【分析】先将原极坐标方程中的三角式利用和角公式化开后再化成直角坐标方程再利用直角坐标方程进行求解到原点的距离最大值即可【详解】将原极坐标方程化为：化成直角坐标方程为：它表示圆心在半径为的圆圆上的点到解析：【分析】先将原极坐标方程中的三角式利用和角公式化开后再化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解到原点的距离最大值即可．【详解】将原极坐标方程2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭化为：24+0cos sin ρρθθ-+=（）6 ，化成直角坐标方程为：2244+60x y x y +--= ，它表示圆心在22（，）的圆，圆上的点到原点的最远距离是=故答案为【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，属基础题.14．【解析】【分析】设曲线上任意一点为与之对应的曲线上的点为将变换公式代入曲线的方程化简即可求解【详解】由题意设曲线上任意一点为与之对应的曲线上的点为将代入曲线方程整理得故答案为：【点睛】本题主要考查了解析：22491x y +=【解析】【分析】设曲线C 上任意一点为(,)x y 与之对应的曲线22''1x y +=上的点为(',')x y ，将变换公式，代入曲线的方程，化简即可求解．【详解】由题意，设曲线C 上任意一点为(,)x y ，与之对应的曲线22''1x y +=上的点为(',')x y ，将'2'3x xy y=⎧⎨=⎩,代入曲线方程22''1x y +=，整理得22491x y +=，故答案为：22491x y +=．【点睛】本题主要考查了伸缩变换公式的应用，其中解答中理解变换的公式，代入准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．1【解析】由极坐标与直角坐标的互化关系可得点直线由点到直线的距离公式可得应填答案解析：1 【解析】由极坐标与直角坐标的互化关系cos ,sin x y ρθρθ==可得点P ，直线60x +-=，由点到直线的距离公式可得1d ==，应填答案1． 16．【解析】分析：由题意结合三角形面积公式整理计算即可求得三角形的面积详解：的面积点睛：本题主要考查三角形面积公式的应用极坐标的几何意义等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：2【解析】分析：由题意结合三角形面积公式整理计算即可求得三角形的面积.详解：OAB 的面积11sin 1223222OABSOA OB π=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 点睛：本题主要考查三角形面积公式的应用，极坐标的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化简即可；解析：1【分析】根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，1101a a a =∴=±>∴=+，，【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.18．8【解析】分析：先根据加减消元法得直线的普通方程再根据将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程联立方程组解得交点坐标最后根据两点间距离公式求结果详解：由得或因此点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程只要解析：【解析】分析：先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组解得交点坐标，最后根据两点间距离公式求结果.详解：12322x tx y y t ⎧=-⎪⎪∴+=⎨⎪=+⎪⎩2222sin 4cos sin 4cos 4y x ρθθρθρθ=∴=∴= ，由234x y y x +=⎧⎨=⎩ 得12x y =⎧⎨=⎩或96x y =⎧⎨=-⎩，因此AB =点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.19．【解析】伸缩变换即：则伸缩变换之后曲线设曲线上点的坐标为：结合点到直线距离公式有：结合三角函数的性质可得当时距离取得最小值【解析】伸缩变换即：'2'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则伸缩变换之后曲线22:149x y C +=，设曲线上点的坐标为：()2cos 3sin P θθ,，结合点到直线距离公式有：d ==，结合三角函数的性质可得，当()sin 1θϕ+=时，距离取得最小值min d =20．【解析】设是直线上任意一点如图由于所以应填答案解析：cos ρθ=【解析】设(,)M ρθ是直线上任意一点，如图，由于2OH ==，所以cosOH ρθ==cos ρθ= 三、解答题21．（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）2+. 【分析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C 1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MONSOM ON sin π==2sin （23πθ+）△MON 面积的最大值．【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y -+-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos26432MON S OM ONπππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．（1）4cos ρθ=；（2）23【分析】（1）将1C 首先化为普通方程，再化为极坐标方程，代入点6P π⎛⎫⎪⎝⎭可求得2r ，整理可得所求的极坐标方程；（2）将,A B 代入2C 方程，从而将2212,ρρ代入2222121111OAOBρρ+=+整理可得结果. 【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程得：()2222x y r -+=由cos x ρθ=，siny ρθ=得1C 的极坐标方程为：224cos 40r ρρθ-+-=将点6P π⎛⎫⎪⎝⎭代入1C 中得：212406r π-+-=，解得：24r =代入1C 的极坐标方程整理可得：4cos ρθ=1C ∴的极坐标方程为：4cos ρθ=（2）将点1,6A πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，23,B πρα⎛⎫+⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程得： 212cos 263πρα⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，222222cos 22cos 2633ππραρα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2222122cos 22cos 2111123363OA OBππααρρ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+=+== 【点睛】本题考查极坐标方程的求解、极坐标中ρ的几何意义的应用，关键是根据几何意义将所求的2211OAOB+变为221211ρρ+，从而使问题得以求解.23．(1)2cos ,2sin a ρθρθ== (2)2 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用极径求出参数的值．【详解】（1）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 2﹣2ax+y 2=0（a ＞0），转换为极坐标方程为：ρ2=2aρcosθ，即：ρ=2acosθ．曲线C 2的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x 2+（y ﹣1）2=1，转换为极坐标方程为：ρ=2cosθ．（2）已知极坐标方程为θ=的直线与曲线C 1，C 2分别相交于P ，Q 两点，由，得到：P （），Q （），由于：|PQ|=2﹣1，所以：，解得：a=2．【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．24．(1) 221,2x y +=6x y +=.(2) 6322. 【解析】试题分析：（1）1C 消参数即可得普通方程，2C 利用极坐标化为直角坐标公式化为普通方程；（2）根据点到直线距离公式及三角函数有界性可求出最小值. 试题（1）由曲线1:x C y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线1C 的普通方程为：2212x y +=，由曲线2:sin 4C πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭)sin cos 2ρθθ⨯+= 化为：6x y +=.（2）椭圆上的点),sin Pαα到直线O 的距离为d ==tan ϕ=所以当()sin 1αϕ+=时，P 的最小值为.25．（1）()()22112x y -+-=，cos sin 40ρθρθ-+=；（2. 【分析】（1）根据圆C ：2cos 2sin =+，直线:40l x y -+=，利用222,cos ,sin x y x y =+==求解.（2）先求得圆心到到直线l 的距离，再利用圆C 上的点到直线l 的最短距离为d r -求解. 【详解】（1）因为圆C ：2cos 2sin =+，所以22cos 2sin =+ρρθρθ，所以2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=.因为直线:40l x y -+=，所以cos sin 40ρθρθ-+=.（2）因为圆心到到直线l 的距离为d ==．所以求圆C 上的点到直线l 的最短距离d r -= 【点睛】本题主要考查极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.26．（1）22194x y += 2100x y +-=；（2【分析】（1）由'3'2x x y y =⎧⎨=⎩后得到曲线C 2，可得：1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆C 1：x 2+y 2=1，化简可得曲线C 2的直角坐标方程，将直线l 的极坐标方程为cosθ+2sinθ=10ρ化为：ρcosθ+2ρsinθ=10，进而可得直线l 的直角坐标方程.（2）将直线x+2y ﹣10=0平移与C 2相切时，则第一象限内的切点M 满足条件，联立方程求出M 点的坐标，进而可得答案. 【详解】（1）因为32x xy y''=⎧⎨=⎩后得到曲线2C ， 1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，代入圆1C ：221x y +=得：'2'2194x y +=，故曲线2C 的直角坐标方程为22194x y +=；直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=．即210cos sin ρθρθ+=，即2100x y +-=.()2将直线2100x y +-=平移与2C 相切时，则第一象限内的切点M 满足条件，设过M 的直线为20x y C ++=，则由2220194x y C x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：222599360424x Cx C ++-=，由229259()4360244C C ⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭得：52C =±，故95x =，或95x =-，(舍去)，则85y =，即M 点的坐标为98,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点M 到直线l 的距离d ==【点睛】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图所示，某人P 去草场打靶，猎物R 被放在了两个固定物E 、F 之间，满足4EF =，1RF =,此人在移动过程中，始终保持到E ，F 两点的距离和不小于6，当他离猎物最近时开枪命中猎物，则此时他离猎物的距离为（）A ．2B 15C ．1D 2102．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 经过伸缩变换123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．极坐标方程2cos22cos 1ρθρθ-=表示的曲线是（） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线4．在极坐标系中，已知两点6,6A π⎛⎫⎪⎝⎭，26,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，则A ，B 中点的极坐标为（） A ．56,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．533,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．532,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．523,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知三个不同的点,,E F G 在圆22(1)9x y -+=上运动，且GE GF ⊥，若点Q 的坐标为()4,4，则QE QF QG ++的取值范围是（） A ．[23,32]B ．[]1,6C ．[]2,9D ．[]12,186．若点P 的直角坐标为(1,3-，则它的极坐标可以是（） A ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭7．将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（）A ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩B ．32x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩8．在球坐标系中，点3,,46P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点33,,46Q ππ⎛⎫⎪⎝⎭之间的距离为（） A ．2B ．22C ．32D ．3229．在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3）两点，则|AB|＝（） A ．2B ．3C ．1D ．510．极坐标方程24sin 52θρ=表示的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线11．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（）A ．32x xy y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩12．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ2=的交点为A,B ，则AB =（）A ．4B ．22C ．2D ．1二、填空题13．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为:cos 424l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程21cos 222sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（θ为参数）.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为________.14．直线θα=与cos()1ρθα-=的位置关系是________． 15．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________16．已知直线l 的参数方程为{4x ty t==+ （为参数），圆的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，则圆上的点到直线l 的最大距离为_____________.17．已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB =_______.18．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离为______．19．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A ，B 分别在曲线C 1：3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．20．ABC ∆的底边110,,2BC A B =∠=∠以B 点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的轨迹的极坐标方程为__________________三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(()22319x y ++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线():R 6OP πθρ=∈与圆C 交于点,M N ，求线段MN 的长.22．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换2{14x xy y''== 后，曲线C 变为曲线224116x y ''+=，求曲线C 的标准方程及参数方程. 23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为727x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中α为参数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；（2）若射线θ=6π（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|． 24．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； (2)若射线(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .25．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，曲线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）求1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若2C 与1C 的交于P 点，2C 与3C 交于A 、B 两点，求PAB ∆的面积. 26．在极坐标系中，直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ，求以点C 为圆心且半径为1的圆的极坐标方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】当6PE PF +=时，点P 在以,E F为焦点的椭圆上，故设()3cos P θθ ，利用两点距离公式求解最小值即可．【详解】由题意，以,E F 中点为原点建立直角坐标系，则()()2,0,2,0E F -，由4EF =，1RF =，得()1,0R ，因为6PE PF +≥，当6PE PF +=时，点P 在以,E F 为焦点的椭圆上，所以2222,3,5c a b a c ===-=，则椭圆方程为22195x y +=，化为参数方程为3cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，所以()3cos P θθ到R 的距离为d ==当3cos 4θ=时，min 152d =. 故选：B.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．2．C解析：C 【分析】将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进行123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩的伸缩变换后即可解.【详解】解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+，可得：223412x y +=，即22143x y +=，曲线C 经过伸缩变换123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得23x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=，∴伸缩变换得到的曲线是圆．故选：C ．【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.其中将12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩转化为2x xy =⎧=''⎪为解题关键. 3．D解析：D 【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论；【详解】解：极坐标方程2cos22cos 1ρθρθ-=可化为：()222cos sin 2cos 1ρθθρθ--=，2221x y x ∴--=，即22(1)2x y --=，它表示中心在()1,0的双曲线． ∴极坐标方程2cos22cos 1ρθρθ-=表示的曲线是双曲线．故选：D ．【点睛】本题研究极坐标问题，我们的解法是将极坐标方程化为直角坐标方程，再进行研究，属于中档题．4．C解析：C 【分析】根据题意得出OM ，MOx ∠的值，即可得出其中点的极坐标. 【详解】如下图所示，取AB 的中点为M ，连接OM2362AOB BOx AOx πππ∠=∠-∠=-=，且AO BO = AOB ∆为等腰直角三角形AB ∴==，2ABOM ==4AOM π∴∠=54612MOx MOA AOx πππ∴∠=∠+∠=+=即A ，B中点的极坐标为512M π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题主要考查了极坐标的应用，属于中档题.5．D解析：D 【分析】利用数形结合，采用建系的方法，根据向量的坐标表示以及运算，结合辅助角公式，可得结果. 【详解】如图：由GE GF ⊥，可知EF 为直径可设()()13cos ,3sin ,13cos ,3sin E F ϕϕϕϕ+--，()13cos ,3sin G θθ+所以()33cos ,3sin 4QE ϕϕ=-+-，()33cos ,3sin 4QF ϕϕ=---- ()3cos 3,3sin 4QG θθ=--则()3cos 9,3sin 12QE QF QG θθ++=-- 所以()()223cos 93sin 12QE QF QG θθ++=-+-化简可得()23454cos 72sin QE QF QG θθ++=-+即3234tan 4QE QF QG ϕ++==所以当()sin 1θϕ+=时，min12QE QF QG++= 当()sin 1θϕ+=-时，max18QE QF QG++=所以||QE QF QG ++的取值范围为[]12,18 故选：D 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，对这种几何问题，常会采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.6．A解析：A 【分析】设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则2ρ==，tan 1θ== 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.7．A解析：A 【解析】【分析】设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x ay y b ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，代入直线1x y -=的方程，变换后的方程与直线326x y -=的一致性，即可求解．【详解】由题意，设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x ay y b ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩代入直线1x y -=的方程，可得111x y a b''-=，要使得直线111x y a b''-=和直线326x y -=的方程一致，则112a =且113b =，解得2,3a b ==，所以伸缩变换的公式为23x xy y ''=⎧⎨=⎩，故选A ．【点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．C解析：C 【解析】【分析】先化,P Q 两点的球坐标化为直角坐标，再利用两点间距离公式求解【详解】将,P Q两点的球坐标化为直角坐标，得,442442P Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以||PQ ==故选：C 【点睛】本题考查球坐标与直角坐标的转化，考查距离公式，是基础题9．B解析：B 【解析】【分析】根据题意，由AB 的坐标分析可得|OA |＝1，|OB |＝2，且∠AOB 2333πππ=-=，由余弦定理计算可得答案【详解】在极坐标系中，已知A （1，π3），B （2，2π3），则|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB 2πππ333=-=，则|AB|2＝2OA +2OB ﹣2|OA||OB|cos ∠AOB ＝1+4﹣2×1×2×cos π3=3，则|AB|= 故选：B ．【点睛】本题考查极坐标的应用，涉及余弦定理的应用，属于基础题．10．D解析：D 【分析】分析：本题先用半角公式进行降次化简，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，将方程化成直角坐标方程，根据方程判断曲线的形状，可得结论. 详解：极坐标方程24sin52θρ=，1cos 452θρ-∴⨯=，22cos 5ρρθ∴-=， cos x x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩25x ∴=， 22554y x ∴=+，极坐标方程为24sin52θρ=曲线为抛物线，故选D.点睛：本题考查的是极坐标与直角坐标的关系，三角函数的半角公式，属于中档题. 利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．11．A解析：A 【解析】分析：由题意假设处伸缩变换，然后利用待定系数法确定系数即可.详解：设伸缩变换为：()'0,0'x xy yλλμμ=⎧>>⎨=⎩，则直线236x y +=经过伸缩变换之前的方程为：236x y λμ+=，即：132x y λμ+=，据此可得：3121λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则：32λμ=⎧⎨=⎩，则对应的伸缩变换为：32x x y y ''=⎧⎨=⎩. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查伸缩变换及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．C解析：C 【解析】联立极坐标方程：π14sin ρθρ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得：110ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩222ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，利用勾股定理可得2AB ==.故选C.二、填空题13．【分析】把参数方程设极坐标化为直角坐标方程求出弦心距则即为所求得到答案【详解】直线的极坐标方程为即为化为直角坐标方程把曲线的参数方程（为参数）可得普通方程表示以为圆心半径为的圆则圆心到直线的距离为所解析：【分析】把参数方程，设极坐标化为直角坐标方程，求出弦心距d ，则d r -即为所求，得到答案．【详解】直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos sin 22ρθρθ+= 化为直角坐标方程80x y +-=，把曲线C 的参数方程122sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），可得普通方程221(1)(2)2x y-+-=，表示以(1,2)为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线的距离为d ==，所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为22d r -=-= 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用圆的性质求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．垂直【解析】【分析】由极坐标与直角坐标的互化公式求得两直线的直角坐标方程和为再根据两直线的位置关系即可求解得到答案【详解】由题意直线直角坐标方程为即又由直线可得即直线的直角坐标方程为两直线满足所以两解析：垂直【解析】【分析】由极坐标与直角坐标的互化公式，求得两直线的直角坐标方程sin cos 0x y αα⋅-⋅=和为cos sin 1x y αα⋅+⋅=，再根据两直线的位置关系，即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线θα=直角坐标方程为tan y x α=⋅，即sin cos 0x y αα⋅-⋅=，又由直线cos()1ρθα-=，可得cos cos sin sin 1ρθαρθα+=，即直线的直角坐标方程为cos sin 1x y αα⋅+⋅=，两直线满足sin cos cos sin 0αααα-=，所以两直线互相垂直．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角的互化，以及两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及两直线位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．【解析】【分析】根据得结果【详解】因为点C 的极坐标是所以点C 的直角坐标为【点睛】本题考查极坐标化直角坐标属于基础题解析：【解析】【分析】根据cos ,sin x y ρθρθ==得结果. 【详解】因为点C 的极坐标是2,4π⎛⎫⎪⎝⎭,所以ππ2cos2sin 44x y ==C 的直角坐标为.【点睛】本题考查极坐标化直角坐标. 属于基础题.16．【解析】直线的普通方程为即由得即圆的直角坐标方程即圆心为圆心到直线的距离为所以所求最大距离为解析：32【解析】直线l 的普通方程为4y x =+，即40x y -+=，由22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭得2sin 2cos ρθθ=+，即22sin 2cos ρρθρθ=+，圆C 的直角坐标方程2222x y y x +=+，即()()22112x y -+-=，圆心为()1,1C ，圆心C 到直线l 的距离为114222d -+==，所以所求最大距离为22232d r +=+=．17．【解析】试题分析：由题意可知：直线和曲线的普通方程为和所以圆心到直线的距离所以考点：圆的性质解析：2【解析】试题分析：由题意可知：直线l 和曲线Γ的普通方程为和，所以圆心到直线的距离，所以. 考点：圆的性质.18．【解析】试题分析：根据所给的直线的极坐标方程转化成直线的一般式方程根据点到直线的距离写出距离的表示式得到结果由题可得直线ρ（cosθ+sinθ）=2的一般方程为x+y-2=0∴点（10）到直线的距离 2【解析】试题分析：根据所给的直线的极坐标方程，转化成直线的一般式方程，根据点到直线的距离，写出距离的表示式，得到结果．由题可得直线ρ（cosθ+sinθ）=2的一般方程为x+y-2=0∴点（1，0）到直线的距离是12222-＝考点：直线的参数方程、点到线的距离公式19．1【解析】消掉参数θ得到曲线C1的普通方程为(x －3)2＋y2＝1表示以(30)为圆心以1为半径的圆；C2表示的是单位圆所以|AB|的最小值为3－1－1＝1解析：1 【解析】消掉参数θ，得到曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2表示的是单位圆，所以|AB |的最小值为3－1－1＝1.20．【解析】如图令A(ρθ)显然△ABC 内∠B=θ∠A= |BC|=10|AB|=ρ于是由正弦定理得A 点轨迹的极坐标方程为解析：20cos +10ρθ=【解析】如图,令A(ρ,θ).显然△ABC 内,∠B=θ,∠A=2θ,|BC|=10,|AB|=ρ. 于是由正弦定理10322sinsin ρθπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,得A 点轨迹的极坐标方程为20cos +10ρθ=三、解答题21．（1）223cos 2sin 50ρρθρθ-+-=；（2）.【解析】试题分析：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标方程6πθ=代入，得到2250ρρ--=，所以1226MN ρρ=-=试题（1）(()22319x y ++=可化为2223250x y x y +-+-=，故其极坐标方程为223cos 2sin 50ρρθρθ-+-=. （2）将6πθ=代入223cos 2sin 50ρρθρθ-+-=，得2250ρρ--=， ∴122ρρ+=，125ρρ=-，∴12MN ρρ=-=()21212426ρρρρ+-=22．x 2＋y 2＝4，2cos 2sin {x y θθ== （θ 为参数）【解析】【分析】先根据变换，结合转移法确定曲线C 的标准方程，再根据三角函数平方关系得参数方程. 【详解】设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由214x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩且M ′(x ′，y ′)在曲线216x '＋4y ′2＝1上，得2416x ＋2416y＝1，∴x 2＋y 2＝4. 因此曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，2cos {2sin x y θθ== （θ 为参数）【点睛】本题考查根据转移法求动点轨迹，考查基本分析求解能力.属基础题. 23．（1）()2227x y +-=；ρ=2cosθ．（2）33- 【分析】（1）先根据平方关系消参数得曲线C 1的普通方程，再根据x=ρcosθ，y=ρsinθ得曲线C 2的极坐标方程；（2）先求曲线C 1极坐标方程，再令θ=6π，解得A ，B 两点对应的极径，最后根据|AB|=|ρ1﹣ρ2|求结果. 【详解】（1）∵曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C 1的普通方程为x 2+（y ﹣2）2=7． ∵曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x ﹣1）2+y 2=1，得到曲线C 2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，化简，得ρ=2cosθ．（2）依题意设A （），B （），∵曲线C 1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，将（ρ＞0）代入曲线C 1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C 2的极坐标方程，得，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．【点睛】(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.24．(1)2213x y +=；2cos ρθ=.(2)AB = 【分析】（1）由sin 2α+cos 2α=1，能求出曲线C 1的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C 2的极坐标方程；（2）依题意设A （1,6πρ），B （2,6πρ），将06πθρ=>（）代入曲线C 1的极坐标方程，求出ρ1=3，将6πθ=（ρ＞0）代入曲线C 2的极坐标方程求出2ρ此能求出|AB|．【详解】（1）由x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得2213x y +=.所以曲线1C 的普通方程为2213x y +=.把cos ,sin x y ρθρθ==，代入()2211x y -+=，得到()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得到曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）依题意可设12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ,曲线1C 的极坐标方程为2222sin 3ρρθ+=.将()06πθρ=>代入1C 的极坐标方程得22132ρρ+=，解得1ρ将()06πθρ=>代入2C 的极坐标方程得2ρ所以12AB ρρ=-=25．（1）1C ：4y =；2C ：()()22124x y -+-=（2）2【分析】（1）由曲线1C 的极坐标方程能求出曲线1C 的普通方程，由曲线2C 的极坐标方程能求出曲线2C 的普通方程.（2）由曲线3C 的极坐标方程求出曲线3C 的普通方程，联立1C 与2C 得2210x x -+=，解得点P 坐标（1，4），从而点P 到3C 的距离2d =设()11,A ρθ，(),B ρθ22.将4πθ=代入2C ，得210ρ-+=，求出12AB ρρ=-，由此能求出PAB △的面积.【详解】解：（1）∵曲线1C 的极坐标方程为sin 4ρθ=， ∴根据题意，曲线1C 的普通方程为4y =.∵曲线2C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，∴曲线2C 的普通方程为222410x y x y +--+=，即()()22124x y -+-=；（2）∵曲线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，∴曲线3C 的普通方程为y x =，联立1C 与()()2224:114y C x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，得2210x x -+=，解得1x =， ∴点P 的坐标()1,4，点P 到3C的距离2d ==. 设()11,A ρθ，(),B ρθ22将4πθ=代入2C，得210ρ-+=，则12ρρ+=121ρρ=，12AB ρρ=-==∴112222PAB S AB d ∆===. 【点睛】本小题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.26．24cos 30ρρθ-+=【分析】由极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线的方程为2x y -=，求得()2,0C ，得出圆的直角坐标方程，进而求得圆的极坐标方程，得到答案. 【详解】由题意，直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即cos sin 22ρθρθ-= 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得直线的方程为2x y -=，令0y =，可得()2,0C ，所以以点C 为圆心且半径为1的圆的方程为22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=，所以所求圆的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的极坐标方程的求解，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。

新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试(有答案解析)

一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（） A ．1(,)23π-B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π3．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（） A ．12ρ=B ．1cos 2ρθ=C ．12cos ρθ=-D ．2cos ρθ=-4．如图所示，极坐标方程sin (0)a a ρθ=>所表示的曲线是（）A ．B ．C ．D ．5．在平面直角坐标系中，抛物线23x y =-经过伸缩变换1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后得到的曲线方程是（） A ．2''4y x =- B ．2''4x y =- C ．2'9'4y x =-D ．2'9'4x y =-6．以π-2,4⎛⎫⎪⎝⎭2 ） A ．ρ=-(sin θ+cosθ) B ．ρ=sin θ+cosθ C ．ρ=-2(sin θ+cosθ)D ．ρ=2(sin θ+cosθ)7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{?1x cos y sin αα==+（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（）． A ．0B ．1C ．2D ．38．在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按124x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（） A ．4cos sin 4ρθρθ-= B ．cos 16sin 4ρθρθ-= C ．cos 4sin 4ρθρθ-=D ．cos 8sin 4ρθρθ-=9．在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C 的方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。

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第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式
(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负
角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝l
r
(弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
1°＝π
180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
180π°
弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式
S ＝12lr ＝1
2
|α|r 2
3.任意角的三角函数 (1)定义：三角函数
正弦余弦正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那
么
y 叫作α的正弦，记作sin α
x 叫作α的余弦，记
作cos α
y x
叫作α的正切，
记作tan α
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的
起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作角α的正弦线，余弦线和正切线.
[微点提醒]
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.若α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π2，则tan α>α>sin α.
3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
4.象限角的集合
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( )。