2014-2015学年河南省豫北名校联考高一(上)数学期末试卷 及解析

2014-2015学年河南省豫北名校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）全集U={1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6}，M={1，﹣2，3，﹣4}，则∁U M （）A．{1，3}B．{5，﹣6}C．{1，5}D．{﹣4，5}2．（5.00分）一个几何体的三视图中的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图均是大小形状完全相同的图形，那么这个几何体可能是（）A．球B．圆柱C．三棱柱D．圆锥3．（5.00分）函数y=1﹣2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）4．（5.00分）已知直线l⊥平面α，P∈α，那么过点P且垂直于l的直线（）A．只有一条，在平面α内B．只有一条，且不在平面α内C．有无数条，且都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内5．（5.00分）若直线x+ay﹣1=0和直线（a+1）x+3y=0垂直，则a等于（）A．B．﹣ C．D．﹣6．（5.00分）已知函数f（x）=5x，若f（a+b）=3，则f（a）•f（b）等于（）A．3 B．4 C．5 D．257．（5.00分）设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m8．（5.00分）函数f（x）=2x﹣的零点在区间（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）9．（5.00分）斜率为l且原点到直线距离为的直线方程为（）A．x+y+2=0或x+y﹣2=0 B．x+y+=0或x+y﹣=0C．x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0 D．x﹣y+=0或x﹣y﹣=010．（5.00分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有三个点到直线4x﹣3y=2的距离等于l，则半径r等于（）A．3 B．4 C．5 D．611．（5.00分）已知函数f（x）=是定义域上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2） D．[]12．（5.00分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则（m﹣1）•（n﹣1）等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于．14．（5.00分）已知点A（﹣2，2），B（﹣1，﹣1），若直线y=kx﹣2k+1与线段AB有公共点，则k的取值范围是．15．（5.00分）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m2．16．（5.00分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD 的中点，点M在线段PC上，PM=tPC，PA∥平面MQB，则实数t=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）若直线l经过P（1，﹣3），它与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．18．（12.00分）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE（2）求证：D1E⊥A1D；（3）求点B到平面A1DE的距离．19．（12.00分）设函数f（x）=的图象经过点（﹣）．（1）求实数a；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并写出f（）的值．20．（12.00分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱相等，AA1⊥底面ABC，E是AA1的中点．（Ⅰ）求证：BE⊥CB1；（Ⅱ）在AB上找一点P，使P﹣CBE的体积等于C﹣ABE体积的．21．（12.00分）已知函数f（x）=|log2x﹣m|log2x+2log2x﹣3（m∈R）．（1）若m=1，求函数f（x）在区间[]的值域；（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，求m的取值范围．22．（12.00分）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线l：3x﹣4y+1=0被圆M截得的弦长为2，且圆心M在直线l的上方．（1）求圆M的方程；（2）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣4≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值及对应的t值．2014-2015学年河南省豫北名校联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）全集U={1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6}，M={1，﹣2，3，﹣4}，则∁U M （）A．{1，3}B．{5，﹣6}C．{1，5}D．{﹣4，5}【解答】解：∵全集U={1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6}，M={1，﹣2，3，﹣4}，则∁U M={5，﹣6}．故选：B．2．（5.00分）一个几何体的三视图中的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图均是大小形状完全相同的图形，那么这个几何体可能是（）A．球B．圆柱C．三棱柱D．圆锥【解答】解：球的三视图，都是圆，满足几何体的三视图中的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图均是大小形状完全相同的图形，所以A正确；圆柱的三视图中正（主）视图、侧（左）视图、相同，俯视图是圆，不满足题意，B不正确．三棱柱的三视图，可能三个视图都不相同，不满足题意，C不正确；圆锥的三视图中正（主）视图、侧（左）视图、相同，俯视图是圆，不满足题意，D不正确．故选：A．3．（5.00分）函数y=1﹣2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：∵x≤0，∴0＜2x≤1，∴0≤1﹣2x＜1，故选：D．4．（5.00分）已知直线l⊥平面α，P∈α，那么过点P且垂直于l的直线（）A．只有一条，在平面α内B．只有一条，且不在平面α内C．有无数条，且都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内【解答】解：∵直线l⊥平面α，∴直线l垂直平面α内的所有直线，则过点P且垂直于l的直线有无数条，且都在平面α内，故选：C．5．（5.00分）若直线x+ay﹣1=0和直线（a+1）x+3y=0垂直，则a等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：当a=0或﹣1时，不满足两条直线垂直，舍去；当a≠0或﹣1时，两条直线的斜率分别为：，．∵两条直线垂直，∴=﹣1，解得a=﹣．故选：D．6．（5.00分）已知函数f（x）=5x，若f（a+b）=3，则f（a）•f（b）等于（）A．3 B．4 C．5 D．25【解答】解：因为f（x）=5x，若f（a+b）=3，所以5a+b=3，则f（a）•f（b）=5a•5b=5a+b=3；故选：A．7．（5.00分）设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m【解答】解：对于A，根据线面垂直的判定，当m，n相交时，结论成立，故A 不正确；对于B，m⊂α，n⊥α，则n⊥m，∵l⊥n，∴可以选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能，如图所示，故B不正确；对于C，由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n，故C正确；对于D，l⊥m，l⊥n，则n、m平行、相交、异面均有可能，故D不正确故选：C．8．（5.00分）函数f（x）=2x﹣的零点在区间（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：当x＜0时，f（x）=＞0，且当x→0+时，f（x）＜0，f（1）=2﹣1＞0；且函数f（x）=在（0，+∞）上连续，故f（x）=所在区间为（0，1）．故选：B．9．（5.00分）斜率为l且原点到直线距离为的直线方程为（）A．x+y+2=0或x+y﹣2=0 B．x+y+=0或x+y﹣=0C．x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0 D．x﹣y+=0或x﹣y﹣=0【解答】解：因为直线的斜率是1，故设直线的方程为：x﹣y+b=0，原点到直线的距离：=，解得：b=±2，故选：C．10．（5.00分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有三个点到直线4x﹣3y=2的距离等于l，则半径r等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有三个点到直线4x﹣3y=2的距离等于l，则圆心（3，﹣5）到直线的距离等于半径r﹣1，即=r﹣1，求得r=6，故选：D．11．（5.00分）已知函数f（x）=是定义域上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2） D．[]【解答】解：若函数f（x）定义域上的单调减函数，则满足，即，即，故选：D．12．（5.00分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则（m﹣1）•（n﹣1）等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：圆心为（1，1），半径为1，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则圆心到直线的距离d=，平方得（m+n）2=（m+1）2+（n+1）2，即2mn=2m+2n+2，mn=m+n+1则（m﹣1）•（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=m+n+1﹣（m+n）+1=2，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于4．【解答】解：过点A作AC⊥弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点．由x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．知圆心A为（3，1），r=5．由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC==．在直角三角形ABC中，AB=5，AC=，根据勾股定理可得BC===2，则弦长BD=2BC=4．故答案为：414．（5.00分）已知点A（﹣2，2），B（﹣1，﹣1），若直线y=kx﹣2k+1与线段AB有公共点，则k的取值范围是[] ．【解答】解：由y=kx﹣2k+1，得y=k（x﹣2）+1，∴直线y=kx﹣2k+1过定点P（2，1），又A（﹣2，2），B（﹣1，﹣1），如图，∴，．∴满足直线y=kx﹣2k+1与线段AB有公共点的k的取值范围是[]．故答案为：[]．15．（5.00分）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为2m2．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个组合体，该几何体的体积V=2×13=2．故答案为：2．16．（5.00分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD 的中点，点M在线段PC上，PM=tPC，PA∥平面MQB，则实数t=．【解答】解：连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，如图则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，则AN=a，AC=a．∵PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN∴PA∥MN∴PM：PC=AN：AC即PM=PC，t=；故答案为：三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）若直线l经过P（1，﹣3），它与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．【解答】解：∵直线l经过P（1，﹣3），它与两坐标轴围成等腰直角三角形，∴可设直线方程为或x+y=b，把点P（1，﹣3）代入可得：，1﹣3=b，解得a=4或b=﹣2．因此直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x﹣2．18．（12.00分）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE（2）求证：D1E⊥A1D；（3）求点B到平面A1DE的距离．【解答】（1）证明：∵正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点，设O为AD1的中点，则由三角形的中位线性质可得OE∥BD1．由于OE⊂平面A1DE，BD1不在平面A1DE内，故BD1∥平面A1DE．（2）证明：由题意可得D1A 是D1E在平面AA1D1D内的射影，由正方形的性质可得D1A⊥A1D，由三垂线定理可得D1E⊥A1D．（3）设点B到平面A1DE的距离为h，由于线段AB和平面A1DE交于点E，且E 为AB的中点，故A、B两点到平面A1DE的距离相等，即求点A到平面A1DE的距离h．由于==，==，∵=，∴=，即=，解得h=．19．（12.00分）设函数f（x）=的图象经过点（﹣）．（1）求实数a；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并写出f（）的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=的图象经过点（﹣）．∴，解得a=3；（2）由得﹣1＜x＜1，即函数定义域为（﹣1，1），则f（﹣x）=log a=log a（）﹣1=﹣=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，则f（）=﹣f（﹣）=1．20．（12.00分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱相等，AA1⊥底面ABC，E是AA1的中点．（Ⅰ）求证：BE⊥CB1；（Ⅱ）在AB上找一点P，使P﹣CBE的体积等于C﹣ABE体积的．【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点H，连结CH，HB1，∵△ABC是等边三角形，∴CH⊥BE，∵四边形AA1B1B是正方形，且E，H分别是AA1，AB的中点，∴BE⊥B1H，∵BE∩B1H=D，∴BE⊥平面CHB1，∵CB1⊂平面CHB1，∴BE⊥CB1．=V A﹣CBE，（Ⅱ）解：∵V C﹣ABE∴==，其中d1，d2分别是点P，A到BE的距离，∵=，∴根据相似三角形的关系得=，∴BP=，∴点P在有向线段BA的三分之一处．21．（12.00分）已知函数f（x）=|log2x﹣m|log2x+2log2x﹣3（m∈R）．（1）若m=1，求函数f（x）在区间[]的值域；（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，求m的取值范围．【解答】解：（1）设log2x=t，当x∈[]时，t∈[﹣2，2]；当m=1时，f（x）=g（t）=t|t﹣1|+2t﹣3=；∴g（t）在[1，2]上单调递增，在[﹣2，1]上也单调递增，且g（2）=3，g（﹣2）=﹣13，∴f（x）的值域为[﹣13，3]；（2）f（x）=g（t）=t|t﹣m|+2t﹣3==，∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴，即；解得m∈[﹣2，2]．22．（12.00分）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线l：3x﹣4y+1=0被圆M截得的弦长为2，且圆心M在直线l的上方．（1）求圆M的方程；（2）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣4≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值及对应的t值．【解答】解：（1）设圆心M（a，0），由已知，得M到l：3x﹣4y+1=0的距离为=1，∴=1，又∵M在l的上方，∴3a+1＜0，∴﹣3a﹣1=5，∴a=﹣2，故圆的方程为（x+2）2+y2=4；（2）设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则直线AC的方程为y=k1x+t，直线BC的方程为y=k2x+t+6．联立得C点的横坐标为，∵|AB|=t+6﹣t=6，∴S=||×6=||由于圆M与AC相切，所以=2，∴k1=同理，k2=，∴k1﹣k2=﹣（1+），∵﹣4≤t≤﹣2，∴﹣9≤t2+6t≤﹣8，∴﹣8≤t2+6t+1≤﹣4，∴|k1﹣k2|≤，∴S max=24．此时t2+6t=﹣8，t=﹣2或﹣4．。