山东省济宁市高考数学专题复习第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件练习新人教A版

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考情展望] 1.直接考查“若p，则q”形式的四种命题及其真假性的判定.2.以函数、方程、不等式等知识为载体，考查充分必要条件的判定方式.3.借助充要条件探索命题成立的依据．一、四种命题及其关系1．四种命题间的相互关系：2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．3．如果pD/⇒q，且qD/⇒p，则p是q的既不充分又不必要条件．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．1．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3【解析】 命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，将条件与结论进行否定．∴否命题是：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3. 【答案】 A2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4【解析】 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.【答案】 C3．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题，故选B.【答案】 B4．下列命题正确的有________． ①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件； ②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件； ③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件； ④“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的充要条件．【解析】 由于|a |＞|b |⇔a 2＞b 2，a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，故②③正确．由于a ＞bD /⇒a 2＞b 2，且a 2＞b 2D /⇒a ＞b ，故①错；当c 2＝0时，a ＞bD /⇒ac 2＞bc 2，故④错．【答案】 ②③5．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当x ＝0时，显然(2x －1)x ＝0；当(2x －1)x ＝0时，x ＝0或x ＝12，所以“(2x－1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．【答案】 B6．(2013·湖南高考)“1<x <2”是“x <2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <2}，∴A B ，即当x 0∈A 时，有x 0∈B ，反之不一定成立．因此“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件．【答案】 A考向一 [004] 四种命题的关系及真假判断(1)命题“若x 、y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．【思路点拨】 (1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意“都是”的否定是“不都是”．(2)借助命题真假的判断方式逐一辨析即可．【尝试解答】 (1)“x ＋y 是偶数”的否定为“x ＋y 不是偶数”，“x ，y 都是偶数”的否定为“x ，y 不都是偶数”．因此其逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．故选C.(2)①由log2a＞0可知a＞1，故函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数，故①错误．②正确．③的逆命题为“相似的多边形是正多边形”是假命题，故③错误．④正确．原命题与其逆否命题是等价命题．【答案】(1)C (2)②④规律方法1 1.(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．2．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．考向二 [005] 充分条件与必要条件的判定(1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2013·山东高考)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q 的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【思路点拨】(1)根据曲线y＝sin(2x＋φ)过原点时sin φ＝0以及举反例法求解．(2)借助原命题与逆否命题的等价判断．【尝试解答】(1)当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此时曲线y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线y＝sin(2x＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．(2)若綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈pD/⇒q，其逆否命题为p⇒綈q但綈qD/⇒p，∴p是綈q的充分不必要条件．【答案】(1)A (2)A规律方法2充分、必要条件的三种判断方法1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．考向三 [006] 充分条件与必要条件的应用(2014·保定模拟)设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．【思路点拨】 思路一：求綈p 及綈q ，由綈q ⇒綈p ，但綈pD /⇒綈q 建立实数a 的不等关系，解不等式便可．思路二：由先解不等式把命题p 、q 具体化，再由互为逆否命题的等价性确定p 、q 之间的关系，最后根据集合的关系列不等式求解．【尝试解答】 方法一：由2x 2－3x ＋1≤0得12≤x ≤1，即命题p ：12≤x ≤1，所以命题綈p ：x ＜12或x ＞1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0得a ≤x ≤a ＋1， 即命题q ：a ≤x ≤a ＋1. 所以命题綈q ：x ＜a 或x ＞a ＋1因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以綈q ⇒綈p ，但綈pD /⇒綈q . 如图所示：故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.方法二：由2x 2－3x ＋1≤0得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0得a ≤x ≤a ＋1，由綈p 是綈q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1x |a ≤x ≤a ＋1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，∴0≤a ≤12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12规律方法3 1.借助命题间的等价关系直接建立参数a 的不等关系，避免了繁琐转换计算，将失误降到最低.2.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.3.注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要必要不充分、充要条件，则p 是q 的必要不充分充分不必要、充要条件.对点训练 已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0，若q 是p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为________．【解析】 命题p ：－2≤x ≤10，由q 是p 的必要不充分条件知， {x |－2≤xx |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜－21＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 【答案】 [9，＋∞)易错易误之一 “条件”与“结论”颠倒黑白酿失误 ———— [1个示范例] ———— [1个防错练] ————(2014·济南模拟)下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【解析】 要求a ＞b 成立的充分不必要条件，必须满足 由选项能推出a ＞b ，而由a ＞b 推不出选项．此处在求解中，常误认为“由a ＞b 推出选项，而由选项推不出a ＞b ”而错选B.出错的原因是“分不清哪个是条件，哪个是结论”．在选项A 中，a ＞b ＋1能使a ＞b 成立，而a ＞b 时a ＞b ＋1不一定成立，故A 正确；在选项B 中a ＞b －1时a ＞b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2＞b 2时a ＞b 也不一定成立，因为a ，b 不一定均为正值，故C 错误；在选项D 中，a 3＞b 3是a ＞b 成立的充要条件，故D 也错误．【防范措施】 充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”，如“A 是B 成立的……条件”，其中A 是条件；“A 成立的……条件是B ”，其中B 是条件.设集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，则B 是A 的真子集的一个充分不必要条件是________．【解析】 A ＝{－3,2}，当B ＝∅时，B A ，此时m ＝0，当B ≠∅时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m ，则－1m ＝－3或－1m＝2，∴m ＝13或m ＝－12.故B 是A 的真子集的一个充分不必要条件是m ＝0(答案不唯一)． 【答案】 m ＝0(答案不唯一)。