直线与圆的方程测试卷(含答案)

直线与圆的方程测试卷(含答案) 单元检测(七) 直线和圆的方程一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.若直线 x+ay-a=0 与直线 ax-(2a-3)y-1=0 垂直，则 a 的值为()A。

2B。

-3 或 1C。

2 或 1D。

解析：当 a=0 时，显然两直线垂直；a≠0 时，则 -1/a=2a-3，解得 a=2.故选 C。

2.集合M={(x,y)|y=1-x^2,x、y∈R}，N={(x,y)|x=1,y∈R}，则M∩N 等于()A。

{(1,0)}B。

{y|0≤y≤1}C。

{1,0}D。

1/a解析：y=1-x^2 表示单位圆的上半圆，x=1 与之有且仅有一个公共点 (1,0)。

答案：A3.菱形 ABCD 的相对顶点为 A(1,-2)，C(-2,-3)，则对角线BD 所在直线的方程是…()A。

3x+y+4=0B。

3x+y-4=0C。

3x-y+1=0D。

3x-y-1=0解析：由菱形的几何性质，知直线 BD 为线段 AC 的垂直平分线，AC 中点O(-1/2,-5/2)，斜率k=2/3，在BD 上，k=-3，代入点斜式即得所求。

答案：A4.若直线 3x+y=1 经过点M(cosα,sinα)，则……()A。

a^2+b^2≤1B。

a^2+b^2≥1C。

a^2+b^2≤1/2D。

a^2+b^2≥1/2解析：直线 3x+y=1 经过点M(cosα,sinα)，我们知道点 M在单位圆上，此问题可转化为直线 x/a+y/b=1 和圆 x^2+y^2=1有公共点，圆心坐标为 (0,0)，由点到直线的距离公式，有|a/b-cosα/sinα|=|1/b|，即a^2+b^2≤1.答案：A5.当圆 x^2+y^2+2x+ky+k^2=0 的面积最大时，圆心坐标是()A。

(0,-1)B。

(-1,0)C。

(1,-1)D。

(-1,1)解析：将圆的方程化为标准形式(x+1)^2+(y-1)^2=4-k^2/4，由于圆心坐标为 (-1,1)，故圆心到直线 y=1 的距离最大，即k=0，此时 r^2=4，面积最大。

故选 B。

答案：B6.过直线 y=x 上的一点作圆 (x-5)^2+(y-1)^2=2 的两条切线l1，l2，当直线 l1，l2 关于 y=x 对称时，它们之间的夹角为()A。

30°B。

45°C。

60°D。

90°解析：由已知，得圆心为 C(5,1)，半径为√2，设过点 P作的两条切线的切点分别为 M,N，当 CP 垂直于直线 y=x 时，l1,l2 的斜率互为相反数，即 -1/2 和 2.故夹角为 60°。

答案：C 关于y=x对称，圆心到直线y=x的距离为|CP|=|5-1|/√2=2√2，|CM|=2，因此∠CPM=30°，∠NPM=60°。

在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，若目标函数z=ax+y（a>0）取得最大值的最优解有无数个，则a的值等于1.已知直线把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x^2+y^2+2x-4y=0相切，则实数λ的值为3或13.如果直线y=kx+1与圆x^2+y^2+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组kx-y+1≥0，kx-my≤0，y≥1表示的平面区域的面积为1.两圆{x=-3+2cosβ,y=4+2sinβ}和{x=3cosθ,y=3sinθ}的位置关系是外切。

12.方程$9-x^2=k(x-3)+4$有两个不同的解时，实数$k$的取值范围是（。

）。

解析：将方程化简得$x^2-kx+(k-5)=0$，由二次方程有两个不同的解可知$\Delta=k^2-4(k-5)>0$，解得$k\in(-\infty,-3)\cup(2,\infty)$，故选$\textbf{(D)}$。

13.若$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\geq 2\\x-y+3\geq 0\\0\leq x\leq 3\end{cases}$，则$z=2x-y$的最大值为（）。

解析：作出可行域如图所示。

当直线$z=2x-y$过顶点$B(3,1)$时，$z$达到最大，代入得$z=9$，故答案为$\textbf{9}$。

14.在$y$轴上截距为$1$，且与直线$2x-3y-7=0$的夹角为$\dfrac{\pi}{4}$的直线方程是（）。

解析：设直线方程为$y=kx+1$，则直线$2x-3y-7=0$的斜率为$\dfrac{2}{3}$，从而$k=-1$或$k=5$。

故直线方程为$y=5x+1$或$y=-x+1$，化简得$5x-y+1=0$或$x+5y-5=0$，故答案为$\textbf{5x-y+1=0}$或$\textbf{x+5y-5=0}$。

15.设$A(0,3)$，$B(4,5)$，点$P$在$x$轴上，则$|PA|+|PB|$的最小值是（），此时$P$点坐标是（）。

解析：点$A$关于$x$轴的对称点为$A'(0,-3)$，则$|A'B|=|AB|=2\sqrt{2}$为所求最小值。

直线$A'B$与$x$轴的交点即为$P$点，求得$P\left(\dfrac{3}{2},0\right)$，故答案为$\textbf{2\sqrt{2}}$，$P$点坐标为$\left(\textbf{\dfrac{3}{2},0}\right)$。

16.已知圆$M:(x+\cos\theta)^2+(y-\sin\theta)^2=1$，直线$l:y=kx$，下面四个命题：①对任意实数$k$和$\theta$，直线$l$和圆$M$相切；②对任意实数$k$和$\theta$，直线$l$和圆$M$有公共点；③对任意实数$\theta$，必存在实数$k$，使得直线$l$和圆$M$相切；④对任意实数$k$，必存在实数$\theta$，使得直线$l$和圆$M$相切。

其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）。

解析：圆心$M(-\cos\theta,\sin\theta)$到直线$l:kx-y=0$的距离$d=\dfrac{|-k\cos\theta-\sin\theta|}{\sqrt{k^2+1}}=\dfrac{|k\cos\theta+\sin\theta|}{\sqrt{k^2+1}}=\left|\sin(\varphi+\theta)\right|\dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}$（其中$\tan\varphi=k$）。

当$d=r=1$时，直线$l$与圆$M$相切，即$\left|\sin(\varphi+\theta)\right|=\dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}=1$。

故$\varphi+\theta=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$，$\varphi=\dfrac{\pi}{2}-\theta+n\pi$，从而XXX因此，②和④为真命题，故答案为$\textbf{②④}$。

已知三角形ABC的三个顶点分别为A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4)，求解如下问题：1) 求AC边上的高BD所在直线的方程；2) 求BC的垂直平分线EF所在直线的方程；3) 求AB边的中线的方程。

解：1) 易知AC的斜率为-2，因此BD的斜率为1/2.又因为BD经过点B(-4,0)，所以直线BD的方程为x-2y+4=0.2) 由于BC的斜率为4/3，因此BC的垂直平分线EF的斜率为-3/4.又因为BC的中点为(-5/2,2)，所以EF所在直线的方程为y-2=-3/4(x+5/2)，即6x+8y-1=0.3) AB的中点为M(0,-3)，因此直线CM的斜率为3/4.所以AB的中线斜率为-4/3，过点M(0,-3)，因此中线的方程为7x+y+3=0(-1≤x≤0)。

已知圆C与y轴相切，圆心C在直线解：设圆心C的坐标为(3t,t)，则圆C的半径r=|3t|。

因为圆C与y轴相切，所以r=3.由此可得(3t-t^2)+2^2=3(3t)^2，解得t=±1/2.因此圆心C的坐标为(3/2,1/2)或(-3/2,-1/2)，圆C的方程为(x-3/2)^2+(y-1/2)^2=9或(x+3/2)^2+(y+1/2)^2=9.已知等边三角形ABC的边AB所在的直线方程为3x+y=0，点C的坐标为(1,3)，求边AC、BC所在的直线方程和三角形ABC的面积。

解：由题意可知，直线AC、BC与直线AB均成60°角，设它们的斜率为k，则|-(3+k)|=3，解得k=0或k=3.因此边AC、BC所在的直线方程为y=3或y=3x。

由于三角形ABC是等边三角形，所以边长为2，高为3，因此三角形ABC的面积为3.圆C经过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在P点的切线斜率为1，试求圆C的方程。

解：设圆C的方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.将点P(k,0)代入圆的方程，可得k^2+Dk+F=0.因为圆C在P点的切线斜率为1，所以圆C在点P的切线方程为y=x-k。

将点P代入圆的方程，可得2k^2+2Dk+F=0.将点Q(2,0)代入圆的方程，可得4+2D+F=0.将点R(0,1)代入圆的方程，可得D+E+F=1.解以上方程组，可得D=-3/2，E=0，F=9/2，因此圆C的方程为x^2+y^2-3x+9/2=0，圆心为(3/2,0)。

圆的方程为$x^2+y^2+x+5y-6=0$。

过点$P(2,4)$作两条互相垂直的直线$l_1$、$l_2$，若$l_1$交$x$轴于$A$点，$l_2$交$y$轴于$B$点，求线段$AB$的中点$M$的轨迹方程。

解法一：设点$M$的坐标为$(x,y)$，则$A$的坐标为$(2x,0)$，$B$的坐标为$(0,2y)$。

由于$l_1\perp l_2$，且$l_1$、$l_2$过点$P(2,4)$，因此$PA\perp PB$，$k_{PA}\cdotk_{PB}=-1$。

化简得到$k_{PB}=\frac{2-2x}{22-y}$，因此$\frac{1}{1-x}=-\frac{2-2x}{22-y}$。

整理得到$x+2y-5=0$（$x\neq 1$）。

当$x=1$时，$A$、$B$的坐标分别为$(2,0)$、$(0,4)$，因此线段$AB$的中点坐标是$(1,2)$，它满足方程$x+2y-5=0$。

综上所述，点$M$的轨迹方程是$x+2y-5=0$。

解法二：设$M$的坐标为$(x,y)$，则$A$、$B$两点的坐标分别是$(2x,0)$、$(0,2y)$，连结$PM$。