关岭县综合性高级中学期中考试高二理科数学试卷和答题卡
关岭县综合性高级中学数学检测试卷和答题卡
关岭县综合性高级中学数学检测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。
1.已知集合2{|10}A x x =-=，则下列式子表示正确的有( ) ① 1A ∈ ②{1}A -∈ ③A φ∈ ④{1,1}A -⊆A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若ααcos ,sin 是关于x 的方程03242=++m x x 的两根，则m 的值为( )A ．21B ．41-C ．41D ．21-3.已知△ABC 为等边三角形,AB=2,设点P,Q 满足AC AQ AB AP )1(λλ-==，,λ∈R.若23-=⋅CP BQ ,则λ=( )A. B.C.D.4.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( )A. f(x)=|x|B. f(x)=x-|x|C. f(x)=x+1D. f(x)=-x5.若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()6.要得到函数)34sin(π-=x y 的图象,只需将函数y=sin4x 的图象( )A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位7. 根据表格中的数据，可以断定方程02=--x e x的一个根所在的区间是( )x－10 1 2 3 xe 0.37 1 2.72 7.3920.09 2+x 12345A ．)0,1(-B ．)1,0(C ．)2,1(D ．)3,2(8．设M为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则+++等于( )A.B.2C.3D.49.函数f(x)= +的定义域为( )A.[-2,0)∪(0,2]B.(-1,0)∪(0,2]C.[-2,2]D.(-1,2] 10.当0<x≤时,4x <log a x,则a 的取值范围是( ) A.B.C.(1,) D.(,2)11.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.,k ∈ZB.,k ∈ZC.,k ∈ZD.,k ∈Z.12.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升) 加油时的累计里程(千米)2015年5月1日 12 35 000 2015年5月15日4835 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
高二级第一学期期中考试理科数学试卷含参考答案
18．（本小题满分 12 分） 如图，设 ABCD 是空间四边形， AB＝AD ，CB＝ CD， E、F、G、G 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
( Ⅰ ) 求证： EFGH 是平行四边形； （Ⅱ）求证： BD ⊥ AC .
3
19．（本小题满分 12 分）如图，已知 ABCD A1 B1C1 D1 是正方体 .
（Ⅱ）求点 C 到平面 BDC1 的距离 .
5
参考答案与评分标准
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 D
B
C
A
C
D
B
A
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13． 50
14
． 60 0
15
． 17
9
10
11 12
D
A
C
B
16 ． 3 7
三、解答题（共 6 小题，共 70 分）
②若
，
，I
m ， n ，则 m n ；
③若 m ，
， m // n ，则 n // ；
④若 n // ， n // ， I
m ，那么 m // n ．
其中正确命题个数是（
）Байду номын сангаас
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13 ．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于
.
B. 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
高二数学上学期期中试题理 12(共9页)
二中2021-2021学年度高二年级第一(d ìy ī)学期期中考试数学试卷高二数学〔理科〕1. 本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
全卷满分是150分，考试时间是是120分钟。
2. 答第一卷时，每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第二卷时，必须使用的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹明晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域答题，超出．．书写之答案无效．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上．．．．答题无效．．．．。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.假设，那么下面不等式中成立的一个是〔 〕 A ． B. C. D.2. 等比数列的前三项依次为，，，那么〔 〕A ．B ．C ．D ． ，且，那么的解集是〔 〕A ． BCD4．数列{x n }满足，那么x n 等于〔 〕A．B． C．D．5．在△ABC 中，假设(jiǎshè)a、b、c成等比数例，且c = 2a，那么cos B等于〔〕A．B． C．D．6. 正实数满足，那么的最小值为〔〕A、12B、8C、6D、47．在△ABC中，假设，那么△ABC是A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形8.在中，，那么A为〔〕A．9．假如的解集为，那么对于函数应有 ( )A. B.C. D.10.为等比数列的前项和，，假设数列也是等比数列，那么n S等于〔〕A. B. C. D.11．设是等差数列，是其前n项的和，且，，那么以下结论错误的选项是〔〕A．B．与是n S的最大值 C． D．12.函数满足：那么应满足〔〕A． B.C． D.二、填空题〔本大题一一共(yīgòng)4小题，一共20分〕13.假设变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，那么m+2n=_________.14.在钝角△ABC中，a=2,b=4,那么最大边c的取值范围是____________ 15．假设两个等差数列的前n项和分别为，假设对于任意的都有，那么_________.16．定义“是等积数列且，公积为10，那么这个数列前41项和的值是_____________.三解答题〔一共6小题，一共计70分〕17. 〔本小题满分是10分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos C〔a cos B+b cos A〕=c．〔Ⅰ〕求C角；〔Ⅱ〕假设c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18.〔本小题满分是12分〕数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．求数列的通项公式；记，求数列的前n项和．19〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕如图，在△ABC中，AB=2，cos B=，点D在线段BC上．〔1〕假设∠ADC=π，求AD的长；〔2〕假设BD=2DC，△ADC的面积为，求的值20. 〔本小题满分是12分〕f〔x〕=ax2+x-a，a∈R．〔1〕假设a=1，解不等式f〔x〕≥1；〔2〕假设不等式f〔x〕＞-2x2-3x+1-2a对一实在数x恒成立，务实数a的取值范围；21．〔本小题满分是12分〕数列：①观察规律，归纳并计算数列{}a n的通项公式，它是个什么数列？S。
贵州省高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
贵州省高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·河南期中) 已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）A . 3cmB . 26cmC . 24cmD . 65cm2. （2分）求过点A（2，1）和两直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点的直线方程是（）A . 2x+y﹣5=0B . 5x﹣7y﹣3=0C . x﹣3y+5=0D . 7x﹣2y﹣4=03. （2分）抛物线(a≠0)的准线方程是（）A . x= -B . x=C . x= -D . x=4. （2分）已知直线l1与直线l2：3x+4y﹣6=0平行且与圆：x2+y2+2y=0相切，则直线l1的方程是（）A . 3x+4y﹣1=0B . 3x+4y+1=0或3x+4y﹣9=0C . 3x+4y+9=0D . 3x+4y﹣1=0或3x+4y+9=05. （2分）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A . 8B . 12C . 16D . 206. （2分）已知且，则a=（）A . -6或-2B . -6C . 2或-6D . -27. （2分） (2016高二上·屯溪期中) 若直线ax+by+1=0（a、b＞0）过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则 +的最小值为（）A . 8B . 12C . 16D . 208. （2分）若直线和⊙O∶相离,则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A . 至多一个B . 2个C . 1个D . 0个9. （2分）(2017·内江模拟) 已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）点有顶点A，O为坐标原点，以A为圆心与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°且 =2 ，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A . 5B . 10C . 20D .11. （2分）(2017·石家庄模拟) 过点A（0，1）作直线，与双曲线有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（）A . 0B . 2C . 4D . 无数12. （2分） (2016高二上·吉林期中) 若椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为，则 =（）A . 3B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是________14. （1分）(2017·宁德模拟) 已知直线l：kx﹣y+k﹣ =0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=4 ，则|CD|=________．15. （1分）(2019·南平模拟) 已知点在离心率为的椭圆上，则该椭圆的内接八边形面积的最大值为________．16. （1分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为________三、计算题 (共6题；共65分)17. （10分）已知直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0）．（1）若l1∥l2，求m的值；（2）若l1⊥l2，求m的值．18. （10分） (2018高一上·兰州期末) 已知△ABC的顶点B（-1，-3），边AB上的高CE所在直线的方程为，BC边上中线AD所在的直线方程为．（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．19. （10分）(2018·江苏) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为 .（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线与椭圆C交于A、B两点.若的面积为，求直线的方程.20. （5分） (2018高二上·西城期末) 已知椭圆的一个焦点为，离心率为 . 点为圆上任意一点，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.21. （10分） (2017高三下·漳州开学考) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB 为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．22. （20分）(2016·湖南模拟) 已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）求；（3）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．（4）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、答案：略5-1、6-1、答案：略7-1、8-1、答案：略9-1、10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、计算题 (共6题；共65分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略22-3、答案：略22-4、答案：略。
高二年级期中考试数学试卷(理科)(及答案)
高二年级期中考试数学试卷（理科）(及答案)考试时间：120分钟共150分第I 卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知过点A （－2，m ）和B （－8,4）的直线与直线01-2y x 平行，则m 的值为（）A. 0B. －8C. 2D. 102. 圆4)2(22yx 与圆91)()2(22y x的位置关系为（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离3. 关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（）A. 若M b M a //,//，则b a //B. 若a b M a ,//，则Mb C. 若,,a M bM 且,la lb ，则l MD. 若N a M a//,，则MN 4. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A.122B. 144C.12D.1425. 若直线10x y 与圆22()2xa y有公共点，则实数a 的取值范围是（）A.3,1B.1,3 C.3,1 D. ),1[]3,(6. 如图，在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（）A. BC//平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面ABCD. 平面PAE ⊥平面ABC7. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于A.46 B.410 C.22 D.238. 如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（）A. 点H 是△A 1BD 的垂心B. AH 垂直平面CB 1D 1C. AH 的延长线经过点C 1D. 直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
关岭自治县综合性高级中学2019-2020学年度第一学期高一贯通班上学期期中测试试卷
关岭自治县综合性高级中学2019——2020学年度第一学期期中考试高一贯通班数学试卷试卷总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：苏勇 审题人：潘串本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答案卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）1.给出四个结论：①｛1，2，3，1｝是由4个元素组成的集合； ②集合｛1｝表示仅由一个“1”组成的集合； ③｛2，4，6｝与｛6，4，2｝是两个不同的集合； ④集合｛大于3的无理数｝是一个有限集. 其中正确的是( )A.只有③④B.只有②③④C.只有①②D.只有② 2.下列命题中的真命题共有( ) ①x =2是022=--x x 的充分条件 ②x≠2是022≠--x x 的必要条件 ③y x =是x=y 的必要条件④x =1且y =2是0)2(12=-+-y x 的充要条件A.1个B.2个C.3个D.4个3. A =｛0，3｝，B=｛0，3，4｝，C=｛1，2，3｝则=A C B )(( ) A.｛0，1，2，3，4｝ B.φ C.｛0，3｝ D.｛0｝4.不等式-2x<10的解集是（ ）A.[－2，5]B.(5，＋∞)C.（－∞，－2）∪（5，＋∞）D.（-5，＋∞） 5．设集合M =｛-2，0，2｝，N =｛0｝，则( )A.φ=NB.M N ∈C.M N ⊂D.N M ⊂ 6.设、、均为实数，且＜，下列结论正确的是( )A.＜B.＜ C.－＜－ D.＜7.设集合{}{},52,41<≤=≤<=x x N x x M 则=B A ( ) A.{}51<<x x B.{}42≤≤x x C.{}42<<x x D.{}4,3,2 8.下列不等式中，解集是空集的是( )A.x 2-3x –4＞0B.x 2-3x+4≥0C.x 2-3x+4＜0D.x 2-4x+4≥0 9.一元二次方程x 2–mx+4=0有实数解的条件是m ∈（ ） A.（－４，４） B.［－４，４］C.（－∞，－４）∪（４，＋∞）D.（－∞，－４］∪［４，＋∞） 10．设a ＞＞0且＞＞0，则下列结论不正确的是( )A.＋＞＋B.－＞－C.－＞－D.＞11.236x =的充分必要条件是( )A ．x=6或x=-6B ．x=6且x=-6C ．x=-6D ．x=612.设{}{}共有则满足条件的集合M M ,4,3,2,12,1⊆⊂( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13.｛m ，n ｝的真子集是_____________14.{}{},13),(,3),(=+==-=y x y x B y x y x A 那么=B A _____________； 15.042=-x 是x +2=0的_________条件.16.已知集合A=[2，4]，集合B=(-3，3]，则A ∩B=________，A ∪B=____________.三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17、（10分）已知集合A={}4,3,2，B={}5,4,3,2,1，求A ∩B ，A ∪B ，C B A .18.（12分）已知集合{}{}04,17,,A x x B x x A B A B =<<=<<求.19.（12分） 比较大小：2x 2－7x ＋2与x 2－5x.20. （12分）指出下列各组命题中，条件p 是结论q 的什么条件. （1）22:0:0;p xy q x y =+=，（2）p:角A 与角B 是对顶角，q ：角A 与角B 相等.（3）2:1:-230;p x q x x =-=，21.（12分）当x 为何值时，代数式53x -的值与代数式272x -的值之差不小于2?22.（12分）解不等式组3(2)121152x x x x -->⎧⎪-+⎨≥⎪⎩。
云南省2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案
高二数学期中考试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至选择性必修第一册第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x =≤，{}10B x x =->，则A B = （）A.[)2,1-B.(]1,2 C.[)0,1 D.(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】解不等式求得集合,A B ，根据交集定义可得结果.【详解】由24x ≤得：22x -≤≤，即[]2,2A =-；由10x ->得：1x <，即(),1B =-∞，[)2,1A B ∴=- .故选：A.2.复数()()1i 3i --在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法运算化简复数，由复数几何意义可得结果.【详解】()()21i 3i 34i i 24i --=-+=- ，()()1i 3i ∴--在复平面内对应的点为()2,4-，位于第四象限.故选：D.3.直线0x y +=的倾斜角为（）A.π3B.π4C.3π4D.π2【答案】C 【解析】【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程可得斜率，再由斜率的定义计算倾斜角即可.【详解】由0x y ++=得y x =-，所以直线的斜率1k =-，即tan 1k α==-，又[)0,πα∈，所以倾斜角3π4α=.故选：C.4.已知命题p ：x ∃∈R ，210x x -+≤，命题q ：0x ∀≥，e sin x x ≥，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B 【解析】【分析】先判断出命题p ，q 的真假，再结合命题的否定的概念可得结论．【详解】对于p 而言，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，故p 是假命题，p ⌝是真命题.对于q 而言，0x ∀≥，e 1sin x x ≥≥，故q 是真命题，q ⌝是假命题.综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.5.已知圆22:(3)1A x y +-=与圆B 关于直线y x =对称，则圆B 的方程为（）A.221x y +=B.22(3)(3)1x y -+-=C.22(3)1x y ++=D.22(3)1x y -+=【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得圆心A 关于直线y x =的对称点，即可得到结果.【详解】由题意可得，圆A 的圆心坐标为()0,3，圆A 和圆B 的半径均为1，设圆心()0,3A 关于直线y x =的对称点为(),B a b ，则311322baa b-⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得3ab=⎧⎨=⎩，所以圆B的标准方程为22(3)1x y-+=.故选：D6.）A. B.36π C.9π D.27π【答案】B【解析】【分析】根据正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，即可求解.．设外接球的半径为R，则()(2223R=⨯，所以3R=，故外接球的体积为34π36π3R=．故选：B.7.已知函数()()131,2log1,2ax xf x x x+<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，在R上单调递减，则a的取值范围是（）A.(],0-∞ B.(]0,1C.(],1-∞- D.[)1,0-【答案】D【解析】【分析】分段函数单调递减，函数在个区间上递减，且左边函数在右端点值大于右边函数的左端点值，建立不等式组，求得范围.【详解】因为()f x在R上单调递减，所以1321log3aa<⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得10a-≤<，则a的取值范围是[)1,0-.故选：D8.已知O为坐标原点，点A在圆()()22221x y-+-=上运动，则线段OA的中点P的轨迹方程为（）A.()()22111x y-+-= B.()()22112x y-+-=C.()()221112x y -+-=D.()()221114x y -+-=【答案】D 【解析】【分析】分别设出,A P 两点坐标，再由中点坐标公式得出两坐标之间的关系，将圆方程等式替换成点P 的坐标可得结果.【详解】设()00,A x y ，(),P x y ，则02x x =，02yy =，即02x x =，02y y =①.因为点A 在圆()()22221x y -+-=上运动，所以满足()()2200221x y -+-=②.把①代入②，得()()2222221x y -+-=，即()()221114x y -+-=.故线段OA 的中点P 的轨迹方程为()()221114x y -+-=.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知()1,8,11A ，()2,6,9B ，()3,4,10C ，()1,8,14D ，则（）A.3AB = B.直线AB 的一个方向向量为1,1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.,,,A B C D 四点共面D.点C 到直线AB【答案】ACD 【解析】【分析】用空间点的距离公式求得向量的模长，直线上两点的得到向量即为直线的一个方向向量；向量共线即可判断点共面；直线上一点和直线外的点组成的向量的模长即该向量在直线上的投影与该点到直线的距离满足勾股定理，由此算出点到直线的距离.【详解】3AB =，A 正确；()1,2,2AB =--，B 错误；由题意得()2,4,4CD =- ，则2CD AB =-，所以,,,A B C D 四点共面，C 正确；()2,4,1AC =-- ，AC == ，AC ⋅ 28212AB =++=，则点C 到直线AB 的距离为=，D 正确.故选：ACD.10.已知函数()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.点π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心B.()f x 的单调递增区间为π5ππ,π2424k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC.()f x 在6ππ,12⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域为⎡-⎣D.将()f x 的图象先向右平移π24个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则()cos8g x x =【答案】AC 【解析】【分析】已知函数=Lin B +的解析式，根据函数图像及其形式即可得到ABC 选项的判断，D 选项由函数的变换诱导公式即可判断.【详解】因为πππ2sin 4012123f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，A 正确；令πππ2π42π232k x k -+≤-≤+（k ∈Z ），则ππ5ππ242242k k x -+≤≤+（k ∈Z ），故()f x 的单调递增区间为ππ5ππ,242242k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），B 错误；因为ππ,126x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，所以π2ππ4,333x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，故()f x 在ππ,126⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域为⎡-⎣，C 正确；将()f x 的图象先向右平移π24个单位长度，可得函数πππ2sin 42sin 4cos 4632y x x x⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得()cos8g x x =-的图象，D 错误.故选：AC11.已知圆1C ：()()2224x a y ++-=与圆2C ：()()2224x y a -+-=，则下列结论正确的是（）A.若圆1C 与圆2C 外切，则2a =或2-B.当1a =时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为3y x =C.若圆1C 与圆2C 关于点()1,3-对称，则4a =-D.当0a =时，对任意的R λ∈，曲线W ：()()2211440x y x y λλλ+++--=恒过圆1C 与圆2C 的交点【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，根据两圆外切得圆心距等于半径之和，即可列式求解；对于B ，两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程；对于C ，由两圆关于点()1,3-对称得两圆心关于点()1,3-对称，根据中点坐标公式，即可求解；对于D ，根据过两圆交点的圆系方程即可判断.【详解】圆1C 的圆心为(),2a -，半径12r =，圆2C 的圆心为()2,a ，半径22r =．若圆1C 与圆2C 外切，4=，解得2a =或2-，A 正确．当1a =时，圆1C ：()()22124x y ++-=，圆2C ：()()22214x y -+-=，将两圆的方程作差可得圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为3y x =，B 正确．若圆1C 与圆2C 关于点()1,3-对称，则212,232,a a -+=-⨯⎧⎨+=⨯⎩解得4a =，C 错误．当0a =时，圆1C ：2240x y y +-=，圆2C ：2240x x y -+=，则()()()2222221144440x y x y x y y x x yλλλλ+++--=+-+-+=，所以对任意的R λ∈，曲线W恒过圆1C 与圆2C 的交点，D 正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为__________.【答案】310##0.3【解析】【分析】根据题意写出样本空间，结合古典概型的概率公式计算即可.【详解】根据题意知样本空间()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5=，所以()Ω10n =，事件A 为这2个数的乘积为奇数，所以()()(){}1,3,1,5,3,5A =，则()3n A =，所以()()()3Ω10n A P A n ==，故答案为：310.13.已知点()0,1,1A ，()3,1,2B -，()1,4,1C --，()3,6,D x ，若A ，B ，C ，D 四点共面，则x =__________.【答案】3-【解析】【分析】根据共面向量基本定理可设AD m = AB nAC +，求解即可.【详解】由题可知()3,2,1AB =- ，()1,3,2AC =-- ，()3,5,1AD x =-，因为A ，B ，C ，D 四点共面，所以AD m = AB nAC +（m ，n ∈R ），()()()()3,5,13,2,11,3,23,23,2x m n m n m n m n -=-+--=--+-，即3323521m n m n m n x -=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩，解得2m =，3n =，所以3x =-.故答案为：3-.14.如图，在四棱台体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，122AB AA ==114A B =，P 为线段1C D 的中点，直线1D P 与平面11AB D 所成角的大小为__________.【答案】π2【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出直线1D P 的方向向量和平面11AB D 的法向量，利用线面角的向量计算公式求解即可.【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0，()12,0,2B ，()10,2,2D ，()12,2,2C ，()0,4,0D ，()1,3,1P ，()11,1,1D P =-，()12,0,2AB = ，()10,2,2AD = ，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =，则11220220n AB x z n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，则平面11AB D 的一个法向量()1,1,1n =- ，所以1D P n ∥，即直线1D P ⊥平面11AB D ，故直线1D P 与平面11AB D 所成角的大小为π2.故答案为：π2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()2,0A ，()4,2B ，()1,3C .（1）求过点C 且与直线AB 平行的直线的方程；（2）求BC 边上的高所在直线的方程.【答案】（1）20x y -+=（2）360x y --=【解析】【分析】（1）求得直线AB 的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；（2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果.【小问1详解】由()2,0A ，()4,2B 可知20142AB k -==-，故所求直线的方程为31y x -=-，即20x y -+=.【小问2详解】易知231413BC k -==--，则所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为()32y x =-，即360x y --=.16.某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h ），并根据统计数据分为[)1,1.5，[)1.5,2，[)2,2.5，[)2.5,3，[)3,3.5，[]3.5,4六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在[]1,4内），得到的频率分布直方图如图所示.（1）求出图中m 的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；（2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在[)2.5,3，[]3.5,4这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率.【答案】（1）0.5m =，2.4h （2）13.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得，再利用中位数的计算公式直接计算；（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算人数，再根据古典概型公式计算即可.【小问1详解】由()0.20.420.30.10.51m ++++⨯=，解得0.5m =.因为()()0.20.40.50.3,0.20.40.50.50.55+⨯=++⨯=，所以中位数在[)2,2.5内，设中位数为x ，则()0.320.50.5x +-⨯=，得 2.4x =，即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h.【小问2详解】由题知，平均每天运动时长在[)2.5,3，[]3.5,4内的频率分别为0.5，0.1，则应从平均每天运动时长在[)2.5,3，[]3.5,4内的居民中分别抽出5人，1人.记[)2.5,3时间段内的5人分别为a ，b ，c ，d ，e ，记[]3.5,4时间段内的1人为M ，则从这6人中选出2人的基本事件有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a M ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b M ，(),c d ，(),c e ，(),c M ，(),d e ，(),d M ，(),e M 共15个，2人来自不同分组的基本事件(),a M ，(),b M ，(),c M ，(),d M ，(),e M ，共5个，所以这2人来自不同分组的概率为51153=.17.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos 2A A -=.（1）求角A ；（2）若3a =，求ABC V 的面积的最大值【答案】（1）2π3（2）4.【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式可得πsin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可求得A 的值；（2）利用余弦定理和重要不等式可求最值.【小问1详解】cos 2A A -=，可得31sin cos 122A A -=，即πsin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ62A -=，解得2π3A =.【小问2详解】由余弦定理可得222222cos 9a b c bc A b c bc =+-=++=，因为222b c bc +≥，所以39bc ≤，则3bc ≤，所以ABC V 的面积13sin 24S bc A bc ==334≤，当且仅当b c ==.故ABC ∆的面积的最大值为334.18.已知直线():1l y k x =+，圆22:4440C x y x y +--+=.（1）若直线l 与圆C 相切，求k 的值；（2）记圆C 的圆心为C ，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，ABC V 为等边三角形，求k 的值.【答案】（1）0k =或125k =.（2）66k ±=【解析】【分析】（1）先将圆方程化为标准方程求出圆心和半径，再根据点到直线距离公式列出关于k 的方程求解.（2）当ABC V 为等边三角形时，根据等边三角形的性质可知圆心到直线的距离与半径的关系，同样根据点到直线距离公式列出关于k 的方程求解.【小问1详解】由圆C 的方程224440x y x y +--+=可知圆心(2,2)C ，半径2r =.直线:(1)l y k x =+，即0kx y k -+=.因为直线l 与圆C 相切，则2=.解得0k =或125k =.【小问2详解】因为ABC V 为等边三角形，所以圆心C 到直线l 的距离222d r ==⨯=.同样根据点到直线距离公式=.化简得261210k k -+=.解得66k ±=.19.如图，在几何体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA FC ∥，22EA FC ==.（1）求异面直线EB 与DF 所成角的余弦值（2）证明：平面EBD ⊥平面BDF .（3）若M 是几何体ABCDEF 内的一个动点，且()()12AM t AB AD t AE =++- （102t ≤≤），点N 满足()CN CF CB CD CF λμλμ++=++ ，2MN =，求AM AN ⋅ 的最小值.【答案】（1）1010（2）证明见解析（3）2-【解析】【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线线角的空间向量计算公式求解即可；（2）取BD 的中点O ，连接OE ，OF ，先利用勾股定理的逆定理证明OE OF ⊥，OE DB ⊥，从而得OE ⊥平面BDF ，进而可证得平面EBD ⊥平面BDF ；（3）根据题意可得M 在线段OE 上，N 在平面BDF 上，结合数量积的定义可得AM AN ⋅ ()2AO AO OM ON =+⋅+ ，进而求得最值.【小问1详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.()0,2,0D ，()2,2,1F ，()0,0,2E ，()2,0,0B ，则()2,0,1DF = ，()2,0,2EB =- ，cos,10DF EBDF EBDF EB⋅==，故异面直线EB与DF所成角的余弦值为10.【小问2详解】取BD的中点O，连接OE，OF，则()1,1,0O，所以()1,1,2OE=--，()1,1,1OF=，()2,2,1EF=-，()0,2,2ED=-，所以OE OE==OF OF==，3EF EF==，则222OE OF EF+=，所以OE OF⊥.ED ED==EB EB==，则ED EB=，又O为DB中点，所以OE DB⊥，OF DB O=，所以OE⊥平面BDF.因为OE⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面BDF.【小问3详解】因为()()()12212AM t AB AD t AE t AO t AE=++-=+-（12t≤≤），所以M在线段OE上.因为()CN CF CB CD CFλμλμ++=++，所以FN FB FDλμ=+，故N在平面BDF上.()()AM AN AO OM AO ON⋅=+⋅+()()22AO AO OM ON OM ON AO AO OM ON=+⋅++⋅=+⋅+；设G为MN的中点，所以()()22AM AN AO OM AO ON AO OG⋅=+⋅+=+⋅，因为2MN=，所以1OG=，故AO OG ⋅≥ ，所以AM AN ⋅ 的最小值为2-.。
高二数学(理)期中联考试题及答案
高二期中联考 数学（理） 试 题本试题卷共2页， 共22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时请按要求用笔．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷(60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 命题“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）A ．若1x ≠，则11x x ≠≠-或B ．若1x =，则11x x ==-或C ．若1x ≠，则11x x ≠≠-且D ．若1x =，则11x x ≠≠-且 2． 已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ，估算这些考生中数学成绩落在(75,80]内的人数为（ ） （附：2~(,)Z N μσ，则()0.6826,(22)0.9544P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）A ．4560B ．13590C ． 27180D ． 311740 3．对任意的实数x ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则“1x y -<”是“[][]x y =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．292)x展开式中含1x的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 5．CPI 是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月—7月的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018 年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2 月与2018年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（ ） A ．2018年1月—7月CPI 有涨有跌B ．2018年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳C ．2018年1月—7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大D ．2018年1月—7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI 有涨有跌6． 已知双曲线22221x y a b -=-的离心率为135，则它的渐近线为（ ）A ．513y x =±B ．135y x =±C ．125y x =±D ．512y x =± 7． 为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P ，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为n ，若圆环的半径为1，则比值P 的近似值为（ ）A ．325n N π B ．32n N π C ．8nNπ D ．532nNπ8．注：2K 的观测值()()()()()()()n ad bc a b a c k n a b c d a c b d a c b d a b c d-==--++++++++. 对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（ ）A ．45,15a c ==B ．40,20a c ==C ． 35,25a c ==D ．30,30a c ==9．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1A C 的长为( )A B ．D10．已知点A (1,2)在抛物线2:2C y px =，过焦点F C 相交于,P Q两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则三角形MFN 的面积MFN S ∆=（ ）A ．83 B ．163C ．11．用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱ABC DEF -的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（ ） A ．840 B ．1200 C ． 1800 D ．192012．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点M 的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题： ①曲线形状为椭圆；②点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为32其中正确命题的序号为 （ ）A ．①②④B ．①②③④C ．①②③D ．①④第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．总体由编号为01,02,,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为___________．14．已知向量(1,2,1)a =-，(2,2,0)b =-，则a 在b 方向上的投影为________．15．右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x y +的值为___________．16．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，过A作直线(1)250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，则MA MB +的最小值为___________． 三、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知命题P :实数p 使得二项分布ξ～(5,)B p 满足(3)(4)P P ξξ=>=成立；命题Q ：实数p 使得方程22132x y p p+=-表示焦点在x 轴上的椭圆．若P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，求实数p 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3，求b 的值．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，82=a ，前10项和10185S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若从数列{}n a 中依次取出第 ，，，，，n 2842项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前n 项和n A .20．（本小题满分12分）某农科所发现，一种作物的年收获量s （单位：kg ）与它“相近”作物的株数n 具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（Ⅰ）根据研究发现，该作物的年收获量s 可能和它“相近”作物的株数n 有以下两种回归方程：2;s bn a s bn a =+=+①②，利用统计知识，结合相关系数r 比较使用哪种回归方程更合适；（Ⅱ）农科所在如右图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（．．．．．．Ⅰ．）中选择的回归方程计算所得数据为依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 参考公式：线性回归方程为y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，相关系数()()niix x y y r --=∑；2.65≈，61()()664iii w w s s =--=-∑43≈，其中2i i w n =.21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥底面ABCD ，且P 在底面正投影点在线段AC 上，122BC CD AC ===，3ACB ACDπ∠=∠=. （Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）若AP =AP 与BC A BP C --的余弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，过点1F 的直线l 交椭圆于A B 、两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若l 的斜率为1，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为34-，求椭圆M 的方程； （Ⅱ）连结AO 并延长，交椭圆于点C ，若椭圆的长半轴长a 是大于1的给定常数，求ABC ∆的面积的最大值()S a ．高二联考数学试题（理科）参考答案及评分标准二、填空题13. 01 14. 15. 10 16.3 三、解答题17. 对于命题P ：由(3)(4)P P ξξ=>=知，3324455(1)(1)C p p C p p ->-且(0,1)p ∈，得2(0,)3p ∈. ……2分对于命题Q ：由3(2)032p p p p->⎧⎨>-⎩得1(,2)2p ∈. ……4分P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，则,P Q 一真一假， ……5分若P 真Q 假，则2(0,)3p ∈且1(,][2,)2p ∈-∞+∞，得1(0,]2p ∈. ……7分若Q 真P 假，则1(,2)2p ∈且2(,0][,)3p ∈-∞+∞，得2[,2)3p ∈. ……9分综上可知，满足条件的实数p 的取值范围是1(0,]22[,2)3. ……10分18.（Ⅰ）由22212b ac -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos2sin 22sin cos B C C C -==，由sin 0C ¹解得tan 2C =； ……6分（Ⅱ）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin 5C =，cos 5C =，又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴sin B =，由正弦定理得c =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴bc =，故3b =. ……12分19．（Ⅰ）由题意得，解得，所以．……6分 （Ⅱ），……8分则==……12分20.（Ⅰ）1(123567)46n =+++++= 16s =(60+55+53+46+45+41)50= ………1分 61()()(3)10(2)5(1)31(4)2(5)3(9)84iii n n s s =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑622222221()(3)(2)(1)12328ii n n =-=-+-+-+++=∑622222221()1053(4)(5)(9)256ii s s =-=+++-+-+-=∑………3分17.950.9937588r ∴==-≈-=-，2830.96586r ==-≈- ………5分知12r r >，回归方程①更合适，（Ⅱ）由（Ⅰ）84328b -==-，则503462a s bn =-=+⨯= 故所求的线性回归方程为362s n =-+ ………7分结合图形可知当2,3,4n =时，与之相对应56,53,50s = ………8分41(56)(2)164P s P n =====，81(53)(3)162P s P n =====41(50)(4)164P s P n =====……10分∴()56535053424E s =⨯+⨯+⨯=（kg ） ………12分21.（Ⅰ）如图，连接BD 交AC 于O ∵BC CD =，AC 平分BCD ∠∴AC BD ⊥. ………2分∵平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC 底面=ABCD AC , ∴BD ⊥平面PAC ∵AP ⊂平面PAC ∴AP BD ⊥. ………4分 （Ⅱ）作PE AC ⊥于E ，则PE ⊥底面ABCD ∴PE BD ⊥ ………5分以O 为坐标原点，,,OB OC EP 的方向分别为,,x y z 轴 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -cos13OC CD π==，而4AC = 则3AO AC OC =-=又sin3OD CD π==故(0,3,0)A -，B ，(0,1,0)C ，(D ………6分设(0,,)(0)P y z z > 由5AP =22(3)5y z ++= ①而(0,3,)AP y z =+ (BC =-由cos ,AP BC <>=5= ② 由①②可知及P 投影位置可知1,1y z =-= ∴(0,1,1)P - ………8分∴(3,3,0)AB =，(1,1)BP =-，(BC =设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z =由1100n AB n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩即11111300y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取11y =-得1(3,1,2)n =- ………10分 同理可得BCP 的一个法向量为2(3,3,6)n = ………11分∴121212cos ,42243n n n n n n <>=== 故钝二面角A BP C --的余弦值为4-………12分22.（Ⅰ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=-. 由此可得2122121221()1()b x x y y a y y x x +-=-=-+-； ………2分因为1202x x x +=，1202y y y +=，0034y x =-，所以2234b a = ………3分 又由左焦点为(1,0)-，故221a b -=，因此224,3a b ==.所以M 的方程为22143x y += ………5分 （Ⅱ）因为椭圆M 的半焦距1c =，所以221a b -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =-，由方程组222211x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得:2222222()2(1)0a b m y b my b a +-+-=,2122222,b m y y a b m ∴+=+22412222222(1)b a b y y a b m a b m --==++,且0∆>恒成立，………7分 连结OB ，由OA OC =知2ABCAOBS S=，112ABCSOF y y ∴=⋅-=， ………9分t =，则222222222222221(1),1(1)1ABC ab t ab t ab m t t S a b t b t b t t=-≥∴===+-++， ①若11b ≥，即1a <≤，则212b t b t+≥=，当且仅当1t b =，即m =时，max ()()ABC S a S ∆==； ……… 10分②若101b <<，即a >21()f t b t t=+，则1t ≥时，()f t 在[1,)+∞上单调递增，所以22min [()](1)1f t f b a ==+=，当且仅当1t =，即0m =时，2max 2(1)()()ABC a S a S a∆-==；综上可知：2()2(1),a S a a a a ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩ (12)分。
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2016-2017学年度第二学期关岭县综合性高级中学期中考试高二理科数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是（ ） A .tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使B .tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 C .tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使D .tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 2．若抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．x 2＝28y C ．y 2＝－28x D ．y 2＝28x3. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ） ）A ．2B .3C .4D .54．下列说法正确的是（ ）A .当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极大值B .当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极小值C .当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极值D .当0()f x 为()f x 的极值时，0()0f x '= 5．函数x x y cos =的导函数是（ ）Ａ．x sin Ｂ．x x x sin cos + Ｃ．x x x sin cos - Ｄ．x x sin cos +6．方程241y x -=所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分7．如果1N 的力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm （在弹性限度内）所耗费的功为（ ）Ａ．0.18J Ｂ．0.26J Ｃ．0.12J Ｄ．0.28J8．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……的第50项（ ）Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．119．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++ ”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ）Ａ．增加了一项12(1)k + Ｂ．增加了两项11212(1)k k +++ Ｃ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + Ｄ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k + 10. 三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →²CD →等于()A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 311．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是（ ）(1)sin y x =;(2) s y co x =; (3)4x π=-;(4) 4x π=A .2B .22C .0D .2212．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A .x 216＋y 212＝1 B .x 212＋y 216＝1 C .x 216＋y 24＝1 D .x 24＋y 216＝1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数y = 3x －12x +16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是_____14．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6，则点P 的横坐标x ＝________.15、物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为12-=t v （v 的单位是s m /，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为t v 81+=，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动。
则它们相遇时，A 物体的运动路程为：16．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为边长是1的正方形，P A ＝2，则AB 与PC的夹角的余弦值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．(12分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18.（12分）求证：52276+>+19.(12分)已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在x =±1时取得极值且f （1）= -1。
试求常数a 、b 、c 的值并求极值。
20．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．21．（12分）用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．22.（14分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ， P A =AD =2，BD =22. （1）求证：BD ⊥平面P AC ；（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小； （3）求点C 到平面P BD 的距离.PDBCA参考答案一、单项选择题 1-5.CDDDC 6-10.BACCA 11-12.A D 二、填空题 13.32,0 14．5 15、72m16．66二、解答题（本大题共6小题，共70分）17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围． 解：由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ， 所以m －1<0，m <1；因为f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎨⎧m <1，m ≥2，m 无解．当p 假q 真时应有⎩⎨⎧m ≥1，m <2，1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2.19.(10分)已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在x=±1时取得极值且f （1）= -1。
试求常数a 、b 、c 的值并求极值。
12分解：)(/x f =3a 2x +2bx+c ，.…………3分∵)(x f 在x=±1时取得极值∴x=±1是)(/x f =0即3a 2x +2bx+c=0的两根………6分 ∴⎩⎨⎧=+-=++)2(023)1(023c b a c b a ∵f （1）= -1 ∴ a+b+c=-1（3）由（1），（2），（3）得a=21， b=0，c=23-………9分 ∴)(x f = 213x 23-x ，∴)(/x f =23（x –1）（x+1） 当x<-1或x>1时，)(/x f >0，当-1<x<1时，)(/x f <0 ∴)(x f 在（-∞，-1）及（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）是减函数………11分∴当x= -1时函数取得极大值f （-1）=1当x=1时函数取得极小值f （1）= -1………12分20．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝22，a 2＝2b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎨⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－4³3³(m 2－2)>0，m 2<3，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m 3，即M ⎝⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3.又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3与m 2<3矛盾．∴实数m 不存在． 21．（12分）用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解：设该容器底面矩形的短边长为x cm ，则另一边长为(0.5)x +m ，此容器的高为14.8(0.5) 3.224y x x x =--+=-， 于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V x x x x x x x =+-=-++，其中0 1.6x <<，即2()6 4.4 1.60V x x x '=-++=，得11x =，2415x =-（舍去），因为，()V x '在(01.6)，内只有一个极值点，且(01)x ∈，时，()0V x '>，函数()V x 递增； (11.6)x ∈，时，()0V x '<，函数()V x 递减；所以，当1x =时，函数()V x 有最大值3(1)1(10.5)(3.221) 1.8m V =⨯+⨯-⨯=， 即当高为1.2m 时，长方体容器的空积最大，最大容积为31.8m ． 22.（14分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，BD=22. （1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小； （3）求点C 到平面PBD 的距离. 解：方法一：证：⑴在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22， ∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又∵PA ∩AC = A ∴BD ⊥平面PAC . 解：（2）由PA ⊥面ABCD ，知AD 为PD 在平面ABCD 的射影，又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥PD ，知∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角. 又∵PA =AD ，∴∠PDA=450 . （3）∵PA =AB =AD =2，∴PB =PD =BD =22 ，设C 到面PBD 的距离为d ，由PBD C BCD P V V --=，有d S PA S PBD BCD ∙∙=∙∙∆∆3131， 即d ∙∙∙=⨯⨯⨯∙0260sin )22(21312222131，得332=d P DB C A yz D P A方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系， 则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.略（2）由（1）得)0,0,2(),2,2,0(-=-=CD PD . 设平面PCD 的法向量为),,(1z y x n =，则0,011=∙=∙CD n PD n ，即⎩⎨⎧=++-=-+00020220x z y ，∴⎩⎨⎧==z y x 0故平面PCD 的法向量可取为)1,1,0(1=n ∵PA ⊥平面ABCD ，∴)01,0(=AP 为平面ABCD 的法向量. 设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得22cos 11=∙∙=APn AP n θ . （3）由（Ⅰ）得)2,2,0(),2,0,2(-=-=PD PB ，设平面PBD 的法向量为),,(2z y x n =， 则0,022=∙=∙PD n PB n ，即⎩⎨⎧=-+=-+02200202z y z x ，∴x =y =z ，故可取为)1,1,1(2=n . 11分∵)2,2,2(-=PC ，∴C 到面PBD 的距离为33222=∙=n PC n d2016——2017学年度第二学期 关岭县综合性高级中学期中考试高二理科数学答题卡姓 名 ________________________ 准考证号考生禁填： 缺考考生由监考员填涂右边的缺考标记．填 涂样 例 注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码；2．选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。