攸县一中自主招生数学试及答案doc
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 42. 若\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)，求\( \theta \)的值。
A. \( \frac{\pi}{4} \)B. \( \frac{\pi}{2} \)C. \( \frac{3\pi}{4} \)D. \( \pi \)3. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为______。
6. 已知\( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。
7. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是\( a \)、\( b \)、\( c \)，求长方体的体积。
三、解答题（每题30分，共60分）9. 已知函数\( g(x) = \ln(x) + 2x - 6 \)，求\( g(x) \)的导数。
10. 一个工厂生产某种产品，每件产品的成本为\( C(x) = 50 + 20x \)，销售价格为\( P(x) = 120 - 0.5x \)，其中\( x \)表示生产数量。
求工厂的盈亏平衡点。
答案：一、选择题1. B. 1（因为\( f(x) = (x-2)^2 \)，当\( x = 2 \)时，\( f(x) \)取得最小值1）2. A. \( \frac{\pi}{4} \)（根据二倍角公式）3. A. 23（第10项为\( a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 23 \)）4. B. 50π（圆的面积公式为\( A = \pi r^2 \)）二、填空题5. -4（根据韦达定理）6. \( \frac{4}{5} \)（根据勾股定理）7. 162（第5项为\( a_5 = 2 \times 3^4 = 162 \)）8. \( abc \)（长方体体积公式）三、解答题9. \( g'(x) = \frac{1}{x} + 2 \)（对\( g(x) \)求导）10. 盈亏平衡点为\( x = 40 \)。
(2021年整理)自主招生数学试题及答案
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2017年自主招生数学试题（分值: 100分 时间：90分钟）一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的）1、若对于任意实数a ，关于x 的方程0222=+--b a ax x 都有实数根，则实数b 的取值范围是（ ）A b ≤0B b ≤21-C b ≤81- D b ≤—12、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为( ）A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶9D ．1∶163、某校吴老师组织九（1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高（如图所示)。
已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下,电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300，在C 处测得电线杆顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600角，CD=4m,则电线杆的高(AB)是（ ） A ．)344(+m B ．)434(-m C ．)326(+m D ．12m4、如图,矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动,以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点. A ．53B ．12C ．43D ．23（第2题图） （第3题图） （第4题图）5、如图，在反比例函数xy 2-=的图象上有一动点A,连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数xk y =的图 象上运动，若tan ∠CAB=2，则k 的值为( )A 。
初中自主招生试卷数学答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，不是有理数的是（）A. -3/5B. √4C. 0.618D. √(-1)答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和有限小数。
√(-1)是虚数，不属于有理数。
2. 若a=2，b=-3，则a+b的值为（）A. 5B. -1C. -5D. 0答案：C解析：a+b=2+(-3)=-1，所以选C。
3. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y=2x^2-3x+1B. y=3x+4C. y=√xD. y=x^3-2x+1答案：B解析：一次函数的形式为y=kx+b，其中k和b是常数。
只有选项B符合一次函数的定义。
4. 已知三角形ABC的三个内角分别为∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C解析：三角形内角和为180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。
5. 下列方程中，x=3是它的解的是（）A. 2x+1=7B. x^2-5x+6=0C. 3x-2=7D. x^2+2x+1=0答案：A解析：将x=3代入选项A，左边=23+1=7，右边=7，左边等于右边，所以x=3是方程2x+1=7的解。
二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知a+b=5，a-b=3，则a=（），b=（）答案：a=4，b=1解析：将两个方程相加得2a=8，解得a=4；将两个方程相减得2b=2，解得b=1。
7. 已知x^2-4x+4=0，则x的值为（）答案：x=2解析：这是一个完全平方公式，可以分解为(x-2)^2=0，解得x=2。
8. 已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，则AC的长度为（）答案：AC=8解析：根据勾股定理，AC^2=AB^2-BC^2，代入AB=10，BC=6，得AC^2=100-36=64，所以AC=8。
数学自主招生试题答案
数学自主招生试题答案一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。
若a>0，求b与c的关系。
答案：根据题意，函数f(x)在x=1处取得极小值，因此一阶导数f'(x)在x=1处为0。
首先求导数f'(x) = 2ax + b。
将x=1代入得f'(1) =2a + b = 0。
又因为x=1是唯一极值点，根据二次函数的性质，其判别式Δ = b^2 - 4ac必须小于0。
将f'(1) = 0代入得Δ = (2a)^2- 4a*c = 4a^2 - 4ac < 0。
由于a>0，可以化简得ac < 0，即b与c的关系为c < 0。
2. 已知一个等差数列的前三项分别为a-2，a，a+2，求该数列的前n项和公式。
答案：设等差数列的首项为a1，公差为d。
根据题意，有a1 = a - 2，a2 = a，a3 = a + 2。
由于是等差数列，有a2 = a1 + d，a3 = a2 + d。
将已知条件代入得a = a1 + d，a + 2 = a1 + 2d。
解这个方程组得a1 = a - d，d = 2。
所以首项a1 = a - 2，公差d = 2。
根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，代入a1和d的值，得到Sn = n/2 * (2(a - 2) + (n-1)*2) = n/2 * (2a - 4 + 2n - 2) = n/2 * (2a + 2n - 6)。
二、填空题1. 一个圆的半径为r，求该圆的面积与周长。
答案：圆的面积公式为A = πr^2，周长公式为C = 2πr。
所以该圆的面积为πr^2，周长为2πr。
2. 已知一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，请判断该三角形的形状。
答案：根据勾股定理，如果一个三角形的三边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是一个直角三角形。
湖南省浏阳一中、攸县一中2024-2025学年高三校内模拟考试自选模块试卷含解析
湖南省浏阳一中、攸县一中2024-2025学年高三校内模拟考试自选模块试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、如图所示为静止的原子核在匀强磁场中发生衰变后做匀速圆周运动的轨迹，衰变后两带电粒子a、b的半径之比为45∶1，两带电粒子a、b的动能之比为117：2，下列说法正确的是（）A．此衰变为β衰变B．大圆为β粒子的运动轨迹C．小圆为α粒子的运动轨迹D．两带电粒子a、b的周期之比为10∶132、如图所示，空间P点离地面足够高，从P点以很小的速度向右水平抛出一个小球，小球能打在竖直的墙壁上，若不断增大小球从P点向右水平抛出的初速度，则小球打在竖直墙壁上的速度大小A．一定不断增大B．一定不断减小C．可能先增大后减小D．可能先减小后增大3、如图所示，A，B质量均为m，叠放在轻质弹簧上（弹簧上端与B不连接，弹簧下端固定于地面上）保持静止，现对A施加一竖直向下、大小为F（F＞2mg）的力，将弹簧再压缩一段距离（弹簧始终处于弹性限度内）而处于静止状态，若突然撤去力F，设两物体向上运动过程中A、B间的相互作用力大小为F N，则关于F N的说法正确的是（重力加速度为g）（）A．刚撤去外力F时，B．弹簧弹力等于F时，C．两物体A、B的速度最大时，F N=2mgD．弹簧恢复原长时，F N=mg4、帆船运动中，运动员可以调节帆面与船前进方向的夹角，使船能借助风获得前进的动力．下列图中能使帆船获得前进动力的是A．B．C．D．5、手机A的号码为138****1111，手机B的号码为130****2222.当手机A拨打手机B时，能听见B发出响声并且看见B上来电显示A的号码为138****1111.若将手机A置于透明真空罩中，再用手机B拨打手机A，则A．能听见A发出响声，但看不到A上显示B的号码B．能听见A发出响声，也能看到A上显示B的号码130****2222C．既不能听见A发出响声，也看不到A上显示B的号码D．不能听见A发出响声，但能看到A上显示B的号码130****22226、两辆汽车a、b在两条平行的直道上行驶。
2024年高中自主招生素质检测数学试题及参考答案
学校姓名考场座位号2024年自主招生素质检测数学试题注意事项:1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟㊂2.全卷包括 试题卷 (4页)和 答题卡 (2页)两部分㊂3.答题一律要求用0.5m m 黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷,作图题使用2B 铅笔作答,考试不使用计算器㊂4.考试结束后,请将 试题卷 和 答题卡 一并交回㊂一㊁选择题:共10小题,每小题5分,共50分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂1.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,现拿走一个小立方体,得到几何体的主视图与左视图均没有变化,则拿走的小立方体是A .①B .②C .③D .④2.黄山景色绝美,景观奇特. 五一 假期,黄山风景区进山游客近13万人,黄山景区门票旺季190元/人,以此计算, 五一 假期黄山景区进山门票总收入用科学计数法表示为A .0.247ˑ107B .2.47ˑ107C .2.47ˑ108D .247ˑ1053.下列因式分解正确的是A .2x 2+y 2+4x y =(2x +y )2B .x 3-2x y +x y 2=x (x -y )2C .x 2-(3y -1)2=(x -1+3y )(x +1-3y )D .a x 2-a y 2+1=a (x +y )(x -y )+14.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y =a x 2-3x +3上两点,当a -x 1-x 2=2时,y 1=y 2,则该抛物线与坐标轴的交点个数为A .3个或0个B .3个或1个C .2个或0个D .2个5.若关于x 的不等式组x +2a <03x +a <15的解集中的任意x 的值,都能使不等式x -4<0成立,则实数a 的取值范围为A .a <-3B .a <-2C .a ȡ-2D .a ȡ36.如图,已知әA B C 中,A D 为øB A C 的平分线,A B =8,B C =6,A C =10,则D C 的值为A .10B .2C .5D .17.如图,B (-2,0),C (4,0),且B E 所在的直线与A C 垂直,øA C B -øB A O =45ʎ,连接O D ,若射线O D 上有一点M ,横坐标为6,则әB O M 的面积为A .3B .6C .23D .728.定义:用M a ,b ,c 表示这三个数的中位数,用M i n {a ,b ,c }表示这三个数的最小数.例如:M {-1,12,0}=0,M i n {-1,12,0}=-1.如果M {4,x 2,2x -1}=M i n {4,x 2,2x -1},则x 的值为A .2或-2B .1或12C .2或12D .1或529.如图,әA B C 中,A B =B C ,øB =120ʎ,E 为平面内一点,若A E =3,C E =2,则B E 的值可能为A .2.5B .3C .0.3D .0.510.如图,直线A B :y =13x +b 与反比例函数y =kx相交于点A (3,5),与y 轴交于点B ,将射线A B 绕点A 逆时针旋转45ʎ,交反比例函数图象于点C ,则点A ㊁B ㊁C 构成的三角形面积为A .12B .1110C .232D .554二㊁填空题:共4小题,每小题5分,共20分㊂11.某市为改善市容,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增长率为.12.若x 9+x 8+ +x 2+x +1=0,则x 的值为.13.定义:对于函数y =l g x (x >0),y 随x 的增大而增大,且l g 10=1,l g xy=l g x -l g y ,l g x y =l g x +l g y .若1a +5b =5,则l g a +l g b 的最大值为.14.已知二次函数y =2x 2+b x +c 图象的对称轴为直线x =34,且过点(3,10),若其与直线y =3交于A ㊁B 两点,与直线y =x +5交于P ㊁Q 两点,则P Q 2A B值为.三㊁解答题:共5题,共80分㊂解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤㊂15.(12分)(1)若13a +25b =1,23a +35b =3,求a 2-b 2+8b -172025;(2)先化简再求值:m +2m -m -1m -2ːm -4m 2-4m +4,其中m =2s i n 30ʎ㊃t a n 45ʎ-32t a n 30ʎ.16.(12分)请按以下要求完成尺规作图.(1)如图1,菱形A B C D 中,点P 在对角线B D 上,请作出一对以B D 所在直线为对称轴的全等三角形,使交B A 于点M ,交B C 于点N ,әP B M ɸәP B N .你有几种解法?请在下图中完成;(保留必要作图痕迹,不写作法)(2)如图2,点P 是菱形A B C D 内部一点,请作出一条过点P 的直线,交射线B A ㊁射线B C 于点M ㊁N ,且B M =B N ,聪明的你肯定有多种不同作法?请在下图中完成两种作法,并选择其中一种证明:B M =B N .(保留必要作图痕迹,不写作法)17.(15分)如图,直角三角形A B C中,以直角边A B为直径作圆交A C于点D,过点D作D MʅA B于点M,E为D M的中点,连接A E并延长交B C于点F,B F=E F.(1)求证:C F=B F;(2)求t a nøD E F;(3)若D F=2,求圆的面积.18.(19分)已知四边形A B C D,A B=4,点P在射线B C上运动,连接A P.(1)若四边形A B C D为正方形,点M在A P上,且øA D M=øA P D.请判断A M㊁A P㊁A C之间数量关系,并说明理由;(2)若四边形A B C D为菱形呢?øB=60ʎ,其他条件与(1)同,则(1)中的结论还成立吗?并说明理由;(3)若四边形A B C D为正方形,将线段A P绕点P顺时针旋转90ʎ于P Q,此时D Q的最小值为多少?A Q+D Q的最小值呢?并说明理由.19.(22分)已知抛物线y=a x2+b x+c的顶点坐标为A(1,4),与x轴交点分别为点B㊁C(点B在点C 左侧),与y轴交点为D,一次函数y=k x+4(k>0)与x轴所形成的夹角的正切值为4,方程k x+4=a x2+b x+c有两个相等的实数根.(1)求该抛物线的解析式;(2)点M是该抛物线上一动点,则在抛物线对称轴上是否存在点N,使得以A㊁B㊁M㊁N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的点N坐标及该平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;(3)若将该抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到抛物线y',点D关于x轴的对称点为D',若过点D'的直线与y'交于P㊁Q两点(点P在点Q左侧),点Q关于y轴的对称点为Q',若әP Q O与әP Q Q'面积相等,求直线P Q的解析式.2024年自主招生素质检测数学参考答案选择题:共10小题,每小题5分,满分50分㊂题号12345678910答案CBCBCABDAD填空题:共4小题,每小题5分,满分20分㊂11.20% 12.-1 13.1 14.2654.ʌ解析ɔ x 1+x 2=a -2,抛物线的对称轴x =--32a,ʑ32a =a -22⇒a 2-2a -3=0⇒(a +1)(a -3)=0⇒a 1=-1,a 2=3,ʑ①当a 1=-1时,y =-x 2-3x +3,Δ=9+12>0,与坐标轴的交点个数为3个;②当a 2=3时,y =3x 2-3x +3,Δ=9-4ˑ3ˑ3<0,与坐标轴的交点个数为1个.5.ʌ解析ɔ x <-2a ,x <15-a 3,①-2a >15-a 3,解得a <-3,ʑx <15-a 3,ȵx <4,ʑ15-a 3ɤ4,解得a ȡ3(舍去);②-2a ɤ15-a 3,解得a ȡ-3,ʑx <-2a ,ȵx <4,ʑ-2a ɤ4,解得a ȡ-2.6.ʌ解析ɔ 由角平分线定理S әA B D S әA C D =A B ㊃h A C ㊃h =45=B D D C ,ʑ45=6-D C D C ,解得D C =103.7.ʌ解析ɔ øB E O =øB A E +øA B E ,øA C B =øB A O +45ʎ,R t әB O E ʐR t әB D C ,ʑøB E O =øA C B ,ʑøA B D =45ʎ,则әA B D 为等腰直角三角形,A D =B D ,ʑR t әA E D ɸR t әB C D ,ʑA E =B C ,S әA E D =S әB C D ,ʑh 1=h 2,ʑ点D 在øA O C 的角平分线上,M (6,6),S әB O M =2ˑ62=6.8.ʌ解析ɔ 由图像知x 2=2x -1,解得x =1;或2x -1=4,解得x =52.9.ʌ解析ɔ 设B E =x ,将әA B E 绕B 点顺时针旋转120ʎ到әC B E ',C E '=A E =3,øE B E '=120ʎ,B E =B E '=x ,易得E E '=3x ,在әC E E '中,C E '-C E <E E '<C E '+C E ,即3-2<3x <2+3,解得33<x <533.10.ʌ解析ɔ 由题知,直线y =13x +b 与反比例函数y =k x相交于点A(3,5),则13ˑ3+b =5,解得b =4,k =15,法一:直线A C 与y 轴交于点M ,从M 点作直线A B 的垂线,垂足为N ,A M =(m -5)2+32,MN =(4-m )s i n θ=(4-m )310,A M =2MN ,ʑ(m -5)2+9=95(m -4)2⇒5(m -5)2+45=9(m -4)2,2m 2-11m -13=0⇒(2m -13)(m +1)=0,ʑm =132(舍)或m =-1,直线A C 的方程为y =2x -1.2x -1=15x ⇒2x 2-x -15=0⇒(2x +5)(x -3)=0,解得x 1=-52,x 2=3,ʑ点C (-52,-6),S әA B C =5ˑ(3+52)2=554.法二:易知l A B :y =13x +4,设l A C :y =k 2x +b ,由倒角公式得t a n 45ʎ=k 2-k 11+k 1k 2=k 2-131+13k 2=1,k 2-13=13k 2+1,两边平方得k 2=2或k 2=-12(舍),又l A C 过点A ,ʑl A C :y =2x -1(与y 轴交点为M ),与y =15x 联立得x C =-52,ʑS әA B C =12BM |x A -x C |=554.12.ʌ答案ɔ -1ʌ解析ɔ 若x =0,等式不成立,则x ʂ0,等式两边同乘x ,ʑx 10+x 9+x 8+ +x 2+x =0⇒x 10-1=0⇒x 10=1,解得x =ʃ1.当x =1时,等式不成立;当x =-1时,等式成立.13.ʌ解析ɔ l g a +l g b =l ga b ,即求a b 的最大值,12a +54b ȡ212a ㊃54b =258a b ,258a b ɤ5⇒a b ɤ10.14.ʌ解析ɔ 由题知,-b 4=34,解得b =-3,抛物线过点(3,10),代入数据解得c =1,抛物线y =2x 2-3x +1,当y =3时,2x 2-3x +1=3,解得x 1=-12,x 2=2,A B =52,当y =x +5时,2x 2-3x +1=x +5⇒x 2-2x -2=0⇒x 3+x 4=2,x 3x 4=-2,(x 3-x 4)2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4=12,P Q =(1+k 2)(x 3-x 4)2=26,P Q 2A B =265.15.(12分)ʌ解析ɔ (1)13a +25b =1, ①23a +35b =3, ②①+②得a +b =4,(2分) a 2-b 2+8b -17=(a +b )(a -b )+8b -17=4a -4b +8b -17=4a +4b -17=-1,(4分)a 2-b 2+8b -17 2025=-1.(6分)(2)原式=m +2m -m -1m -2㊃(m -2)2m -4=m 2-4-(m 2-m )m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -4m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -2m,(8分)m =2ˑ12-32ˑ33=12,(10分) ʑ原式=12-212=-3.(12分) 16.(12分)ʌ解析ɔ (1)提示:作P M ㊁P N 分别垂直于A B ㊁A C ,如图1;(2分)过P 点作MN 垂直于B D ,如图2;(4分)P 作E F ʊB C A B 于点E C D 于点F E M =E P M P 交B C 于点N作法二:先作B M '=B N ',交A B 于点M ',交B C 于点N ',连接M 'N ',将直线M 'N '平移过点P ,交A B 于点M ,交B C 于点N ,即MN 为所求直线,如图4;(8分)选择作法一证明:ȵE M =E P ,ʑøE M P =øE P M ,ȵE F ʊB C ,ʑøE P M =øB NM ,ʑøE M P =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)选择作法二证明:ȵB M '=B N ',ʑøB M 'N '=øB N 'M ',M 'N 'ʊMN ,ʑøB MN =øB M 'N ',øB NM =øB N 'M ',ʑøB MN =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)(作法不限,合理即可)17.ʌ解析ɔ (1)ȵD M ʊB C ,ʑәA D E ʐәA C F ,әA E M ʐәA F B ,ʑA E A F =D E C F ,A E A F =E M B F,(2分) ȵD E =E M ,ʑC F =B F ;(4分)(2)取A B 的中点O ,即为圆心,连接O F ,设圆O 的半径为r ,延长A B 交D F 延长线于G ,由(1)知,F 为R t әB C D 中斜边B C 的中点,ʑD F =B F =E F ,ʑøF D E =øD E F =øA E M ,ȵøG +øG D M =øE A M +øA E M =90ʎ,则øG =øE A M ,ʑA F =F G ,在әA F G 中,F B ʅA G ,则A B =B G =2r ,A O =r ,O G =3r ,(6分)ȵO F ʊA C ,ʑO G A O =F G D F=3,即F G =3D F ,(8分) ȵD F =B F ,ʑF G =3B F ,ʑc o s øB F G =B F F G =13,ʑt a n øD E F =t a n øE D F =t a n øB F G =B G B F=22;(10分)(3)ȵD F =B F ,ʑB F =2,由(2)知,t a n øB F G =B G B F=22,ʑB G =42,(12分)ȵB G =2r ,ʑr =22.(13分)S 圆O =πr 2=8π.(15分)18.ʌ解析ɔ (1)A C 2=2A M ㊃A P .(2分)理由如下:如图1,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D ,ʑA D 2=A M ㊃A P ,在正方形A B C D 中,A D =22A C,ʑ(22A C )2=A M ㊃A P ,ʑA C 2=2A M ㊃A P .(6分)(2)(1)中的结论不成立.(7分) 理由如下:如图2,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D,ʑA D 2=A M ㊃A P ,ȵ在菱形A B C D 中,øB =60ʎ,则B C =A B =A C =A D ,ʑA C 2=A M ㊃A P .(11分)(3)如图3,过点Q 分别作Q E ʅB C 的延长线于点E ,Q F ʅC D 于点F ,ʑQ F =C E ,设B P =m ,A P =Q P ʑR t әA B P ɸR t әP E Q ,则B P =Q E =m ,A B =P E =4,ȵC E +P C =B P +P C =4,ʑC E =B P =m ,在R t әD F Q 中,Q F =C E =m ,D F =C D -C F =4-m ,(15分) D Q 2=D F 2+Q F 2=(4-m )2+m 2=2m 2-8m +16=2(m -2)2+8,当m =2时,D Q 取得最小值,D Q m i n =22,(17分) 分析易知Q 在C D '上运动,作D 关于C D '的对称点C ',连接Q C ',则(A Q +D Q )m i n =(A Q +Q C ')m i n =A C '=42+82=45.(19分) 19.ʌ解析ɔ (1)由题可知k =4,ʑy =4x +4(2分) 2的顶点坐标为A y =a x -12即4x +4=a (x -1)2+4⇒a x 2-(2a +4)x +a =0有两个相等的实数根,ʑΔ=(2a +4)2-4a 2=0,解得a =-1,ʑ抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3;(5分)(2)设M 点坐标为(m ,-m 2+2m +3),N 点坐标为(1,n ),A (1,4),令-x 2+2x +3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以B (-1,0),C (3,0),(7分)若A B 为对角线,1-12=m +12,解得m =-1(舍去);若A M 为对角线,m +12=1-12,解得m =-1(舍去);若A N 为对角线,1+12=m -12,解得m =3;(9分) 4+n 2=0-m 2+2m +32,解得n =-4,此时M (3,0),N (1,-4),(10分)S ▱A B M N =4ˑ82=16;(12分) (3)由题可知,抛物线y '=-x 2,点D (0,3)关于x 轴的对称点D '(0,-3),直线P Q 过点D ',设直线P Q 的解析式为y P Q =k x -3,若k >0,如图1,S әP Q O =S әP Q Q ',则Q 'O ʊP Q ,则әQ 'H O ɸәQ H D ',所以O H =12O D '=32,H (0,-32),所以Q (62,-32),Q '(-62,-32),直线P Q 的解析式为y P Q =62x -3;(16分)若k <0,如图2,过点Q '作直线l ʊP Q ,取l 与y 轴交点M ,作O L ʅP Q 于点L ,MH ʅP Q 于点H ,所以O L ʊHM ,S әP Q O =S әP Q O ',所以O L =HM ,所以四边形O L MH 为平行四边形,则对角线互相平分,所以M (0,-6),同理,әD 'K Q ɸәM K Q ',所以D 'K =K M =12D 'M =32,所以K (0,-92),(20分) 因为点Q 的纵坐标为-92,所以Q (322,-92),直线P Q 的解析式为y P Q =-22x -3.(21分)综上,直线P Q 的解析式为y P Q =6x -3或y P Q =-2x -3.分)。
高中自主招生数学模拟试卷(解析版)
【解答】 解：∵ 0＜ x＜ 1， ∴取 x＝ ，
∴ ＝ 2， x2＝ ，
∴ x2＜ x＜ ，
故选： C． 【点评】 本题考查了不等式的性质，有理数的大小比较的应用，能选择适当的方法比较整式的大 小是解此题的关键．
4．（ 4 分）初三体育素质测试，某小组
编号
1
2
5 名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：
A ．4 米
B．3.8 米
C． 3.6 米
D． 3.4 米
10．（ 4 分）如图，三角形 ABC 和 DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠
B＝∠ DEF
＝ 90°，点 B，C，E，F 在同一直线上，现从点 C，E 重合的位置出发，让三角形 ABC 在直线 EF
上向右作匀速运动， 而 DEF 的位置不动， 设两个三角形重合部分的面积为 y，运动的距离为 x，下
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
那么被遮盖的两个数据依次是（
）
A ．35， 2
B．36， 4
C． 35，3
D． 36，3
5．（ 4 分）若代数式
y2+y﹣ 2＝ 0，则代数式
32
y +4 y +y+2014
的值为（
）
A ．2020
B．2025
C． 2014
D． 2015
6．（ 4 分）下列命题正确的是（
27．（ 14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 y 轴交于点 C．
y＝ax2﹣ 5ax+4 a 与 x 轴交于 A、B（ A 点在 B 点的左侧）
中考数学试卷精选合辑补充52之3自主招生考试数学试题及参考答案
AB QO xyA B CE FO第一中学自主招生考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）1. 若M ＝3x 2－8xy ＋9y 2－4x ＋6y ＋13(x ，，y 是实数)，则M 的值一定是（ ）． （A ） 零 （B ） 负数 （C ） 正数 （D ）整数2.已知sin α＜cos α，那么锐角α的取值范围是 （ ）（A ）300 ＜α＜450 （B ） 00 ＜α＜450 （C ） 450 ＜α＜600 （D ） 00 ＜α＜900 3．已知实数a 满足2008a -2009a -a ，那么a －20082值是 （ ） （A ）2009 （B ） 2008 （C ） 2007 （D ） 2006 4．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于（ ）． A .43-（B ）6- （C ）43（D ）6 5.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，)2,(n Q 是 图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为（ ）．A .13- （B ）12- （C ）－1 （D ）－26.矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，现将纸片折叠压平，使A 与C 重合， 设折痕为EF ，则重叠部分△AEF 的面积等于（ ）．A .73757375...881616B C D7．若a b ct b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ）（A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限（D ）第三、四象限8．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝26，那么AC 的长等于( ) （A ） 12（B ） 16（C ） 3（D ） 82 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9.已知012=--x x ，那么代数式123+-x x 的值是_____．10.已知z y x ,,为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，则z 的取值范围为______． 11.已知点A （1，3），B （5，－2），在x 轴上找一点P ，使│AP －BP │最大，则满足条件的点P 的坐标是____________． 12．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x ＝321x x x -…2007x ＝321x x x -…2007x ＝…＝321x x x …20072006x x -＝1，则2000x 的值是___________． 13．对于正数x ，规定f （x ）＝ x1x+， 计算f （1001）＋ f （991）＋ f （981）＋ …＋ f （13）＋ f （12）＋ f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋…＋f（98）＋f（99）＋f（100）＝__________．BA C M NPEF Q DG 14.如果关于x 的方程()012122=++++a x a x 有一个小于1的正数根，那么实数a 的 取值范围是________．15.在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是_________________．三、解答题：16. （本小题10分） 某超市去年12月份的销售额为100万元，今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元，若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同．求：（1）这个相同的百分数；（2）2月份的销售额．17．（本小题13分）如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、 N 、P 、Q ，求证：MN ＋PQ ＝2PN ．18．（本小题13分）如图，已知点P 是抛物线2114y x =+上的任意一点，记点P 到x 轴距离为1d ，点P 与点(0,2F ）的距离为2d（1）证明1d ＝2d；（2）若直线PF 交此抛物线于另一点Q (异于P 点)， 试判断以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由．19．（本小题14分）如图，已知∆ABC 中，AB ＝a ，点D 在AB 边上移动（点D 不与A 、B 重合），DE //BC ，交AC 于E ，连结CD ．设S S S S ABC DEC ∆∆==，1． （1）当D 为AB 中点时，求S S 1：的值； （2）若AD x S Sy ==，1，求y 关于x 的函数关系式 及自变量x 的取值范围； （3）是否存在点D ，使得S S 114>成立？ 若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题10分）已知42++=m m y ，若m 为整数，在使得y 为完全平方数的所有m 的值中，设m 的最大值为a ，最小值为b ，次小值为c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．） （1）求c b a 、、的值；（2）对c b a 、、22一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008？证明你的结论．答案一、选择题：CBAABDAB 二、填空题：9.2；103131≤≤-z ；11_（13，0）12. 1，或253±-；13.__9921；14. 211-<<-a15. _3＜r ≤4或r ＝2.4三、解答题：16.（1）100(x ＋1)2＝100(x ＋1)＋24 . x ＝0.2 ＝20％.（2） 2月份的销售额：100×1.22＝144万元. ．17、延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点，∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵ AB ∥CD ，∴ DNANPN MN =．∵ AD ∥CE ， ∴ DN CQ PN PQ =．∴ +PN MN =PN PQ DN AN DN CQ +＝DN CQ AN +． 又 =OQ DN 31=OG DG ，∴ OQ ＝3DN ． ∴ CQ ＝OQ －OC ＝3DN －OC ＝3DN －AD ，AN ＝AD －DN ， 于是，AN ＋CQ ＝2DN ，∴ +PN MN =PN PQ DNCQAN +＝2，即 MN ＋PQ ＝2PN ． 18．（1）证明：设点),(00y x P 是2114y x =+上的任意一点，则200104x y =+>，∴10d y =．由勾股定理得2d ＝PF =20044x y =-，∴201d y d ===．（2）解：①以PQ 为直径的圆与x 轴相切.取PQ 的中点M ，过点P 、M 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为'P 、C 、'Q ， 由（1）知，','PP PF QQ QF ==，∴''PP QQ PF QF PQ +=+=. 而MC 是梯形''PQQ P 的中位线，∴MC ＝21(PP ’＋QQ ’)＝21(PF ＋QF )＝21PQ ． ∴以PQ 为直径的圆与x 轴相切. 19、解：（1） DE BC D AB //，为的中点，21==∆∆∴AC AE AB AD ABC ADE ，∽．∴==S S AD AB ADE ∆()214S S AE EC ADE ∆11==， ∴411=S S ． （2） ∵ AD ＝x ，y SS ＝1，∴ x xa AD DB AE EC S S ADE -＝＝＝△1． BACMN P EFQDGO又∵ 222ax AB AD S S ADE ＝＝△⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴ S △ADE ＝22a x ·S ∴ S 1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 22axS ∴ 221a ax x S S +-=， 即y ＝－x a21＋x a 1自变量x 的取值范围是：0＜x ＜a ．（3）不存在点D ，使得S S 114>成立． 理由：假设存在点D ，使得S S 114>成立，那么S S y 11414>>，即． ∴－21ax 2＋a 1x ＞41，∴（a 1x －21）2＜0 ∵（a 1x －21）2≥ ∴x 不存在，即不存在点D ，使得S S 114>成立．20.（1）设224k m m =++（k 为非负整数），则有0422=-++k m m ，由m 为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出）， 即22)4(41p k =--（p 为非负整数），得,15)2)(2(=-+p k p k 显然：p k p k ->+22，所以21521k p k p +=-=⎧⎨⎩或2523k p k p +=-=⎧⎨⎩，解得7=p 或1=p ，所以12p m -±=，得：1,0,4,34321-==-==m m m m ，所以1,4,3-=-==c b a ．（2）因为222222a b a b c a b c ++=+++-，即操作前后，这三个数的平方和不变， 而2223(4)(1)2008+-+-≠．所以，对c b a 、、进行若干次操作后，不能得到2008．（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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攸县一中自主招生数学试题
总分：100分 时量：90分钟
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、某商品原价为a 元，春节促销，降价20%，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（ ）
A 、15%
B 、20%
C 、25%
D 、30%
2、在ABC Rt ∆中，=∠C 900,若AC=2BC 则sinA 的值是( )
A 、2
1
B 、2
C 、55
D 、25
3、当b=1时关于x 的方程a （3x-2）+b （2x-3）=8x-7有无数多个解，则a 等于（ ）
A 、2
B 、-2
C 、3
2
-
D 、不存在 4、如图1：在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分AFC ∆的面积为（ ）
A 、12
B 、10
C 、
5、如图2：正比例函数y=kx （k>0）与反比例函数x
y 1
=
的图象相交于A ，C 两点，过A 作轴x AB ⊥于B ，连接BC ，则AB C ∆的面积为S 为（ ） A 、S=1 B 、S=2 C 、S=3 D 、S 的值不能确定
6、若一次函数y=（m+1）x+m 的图像过第一、三、四象限，则函数y=mx 2-mx （ ） A 、有最大值
4m B 、有最小值 4m C 、有最大值-4m D 、有最小值-4
m
7、已知实数a 满足|2013-a|+2014-a =a ，那么a-20132的值是（ ） A 、2011 B 、2012 C 、2013 D 、2014
A 1
图2
图
8、若ab ≠1且有5a 2+2013a+9=0及9b 2
+2013b+5=0则
b
a
的值是（ ） A 、59 B 、95 C 、52013- D 、9
2013-
二. 填空题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
9、当x=-1时，代数式2ax 3-3bx+8的值为18，则代数式9b-6a+2的值为 10、已知x=31+，那么= 21
41212--
-++x x x
11、已知不等式3x-a 0≤的正整数解恰是1,2,3则a 的取值范围是 12、方程x 2-5|x|-6=0的各根之和为
13、若41
=+a a （0<a<1）,则=-
a
a 1
14、如图3：有一个长方体的长BC=4，宽AB=3，高BB 1=5，一只小虫由A 处出发，沿着长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度为
15、如图4，AM 为圆O 的切线，A 为切点，AM BD ⊥于点D ，BD 交圆O 于点C ，OC 平分AOB ∠，则=∠B 16、已知|ab-2|与（b-1）
2
互为相反数，则代数式
=+++•••+++++++)
2013)(2013(1)2)(2(1)1)(1(11b a b a b a ab
17、已知二次函数y=ax 2+bx+c （0≠a ）其中a ，b ，c 满足a+b+c=0,9a-3b+c=0则该二次函数图象的对称轴是
A
B
C
D
1
A 1
B 1
C 1
D 3
图4
图
三、解答题：（本大题共5小题，共49分）
18、（本小题9分）若关于x 的方程x
kx x x x x k 1
122+=
---只有一个解（相等的解算作一个），试求k 的值与方程的解。
19、（本小题9分）、已知不等式3
2537213x
x x +-
≥--，且|x-3|-|x+2|的最大值为P ，最小值为q ，试求P ，q 的值。
20、（本小题9分）设梯形ABCD 中，AB=CD=5cm ，AD=8cm ，BC=14cm ，E 为AD 上的定点，AE=4cm ，动点P 从D 点 出发，沿着梯形的周界依次经过C 、B ，最后到达A 点，设P 点走过的距离为x ，APE ∆的面积为y ；（1）、把y 表示为x 的函数；（2）、当P 点以每秒3cm 的速度运动时，求P 点出发经过几秒后，APE ∆的面积大于6cm 2
B
21、（本小题10分）如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E ，F 分别是边AD 、CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2（1）、判断BEF ∆的形状，并说明理由。
（2）、设BEF ∆的面积为S ，求S 的取值范围。
22、（本小题12分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（1,1），直线y=kx+m
的图象与该二次函数的图象交于A ，B 两点，其中A 点坐标为()4
13
,25,B 点在y
轴上，直线与x 轴的交点为F ，P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点。
（1）、求k ，m 的值，及这个二次函数的解析式；（2）、设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）、D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在点P ，使得以点P 、E 、D 为顶点的三角形与BOF ∆相似？若存在，求出P 点的坐标，若不存在，说明理由。
6图
A 5
图
攸县一中自主招生
数学试题答案
一、选择题（3分×8=24分）
9、_____32_______ 10、__2
3
-________ 11、_912<≤a ____
12、___0_______ 13、_____2-_____ 14
15、 600 16、
2015
2014
17、 x=-1
三、解答题：
18、当K=0时，有唯一解x=21 （2分）
当K 0≠时，有K=2
1，x=-2 （9分）
19、依题意解得：x 1≥ （4分） 由绝对值的意义可知：最大值P=-1，最小值q =-5 （9分）
20、（1）、当50≤≤x 时，y=x 5
8
当195≤≤x 时，y=8
当2419≤≤x 时，y=)24(5
8
x - （6分）
（2）、从出发后第秒秒到第4
27
45钟 ，满足题意。
（9分）
21、（1）、BEF ∆为等边三角形 证明略； （5分）
（2）、设BE=x ，则S=
x 4
3
，（2x 3≤≤） 34
3
3≤≤S （5分）
22、（1）、K=
21
，m=2，y=x 2-2x+2 （3分） （2）、h=-x 2+25x （02
5
<<x ） （4分）
（3）、当090=∠=∠BOF PED 时，BOF PED ∆∆~由
FO
DE
BO PE =
解得：25262<+=
x ，2
6
2-=x （舍）。
存在P 点的坐标)4610,262(++ 当090=∠=∠BOF PDE 时，过E 点作EK 垂直于抛物线的对称轴。
则
EKD PDE ∆∆~，BOF PDE ∆∆~得：存在P 点的坐标），（
4
10
8,210P +
综上知：存在P 点的坐标P （），（和4
10
8210P )4610,262(+++ （12分）。