应用光学 第二章

2-1
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时间周期性： T ,ν ,ω 空间周期性： λ, 1 , k = 2π
λλ
ν =v/λ
单色光波在不同介质中空间周期不同：
λ = λ0 / n
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一般坐标系下的波函数 可假设新坐标轴z’与波矢量k同方向， 波函数可写成：
E = Acos(kz'−ωt)
z’与原坐标系的关系如下：
I ∝ A2 = E~ ⋅ E~*
共轭波的意义： E~*
E~ = Aexp(ikx sinγ )
E~*
E~* = Aexp(−ikx sinγ )
E~
= Aexp[ikx sin(−γ )]
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x
α
γ
o
z
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光波的复振幅分布的空间频率
空间频率：在空间呈正弦或余弦分布的物理量在某个 方向上单位长度内重复的次数
• 平面波沿传播方向的复振幅分布
E~(x, y, z) = Aexp[ik(x cosα + y cos β + z cosγ )]
假设沿z方向传播
E~(z) = Aexp(i 2π z)
λ
空间周期 λ
空间频率 1/ λ
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• 平面波波矢量k平行于xz平面
假设：平面波cosβ＝0
λ
[2π (z − vt)] = const — —等相面或波面， λ
其中最前面的波面称为波前.
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cos[2π (z − vt)]
传播速度 v的含义
λ
在时刻t＝0，位相函数＝
cos
2π λ
z,
Z＝0处，平面波处于波峰位置，
在另一时刻t，位相函数＝cos[
2π λ
线偏振
在光的传播方向上,各点的光矢量在确定的平面 内，这种光称为平面偏振光。也由于在垂直于传 播方向的平面内，平面偏振的光矢量端点的轨迹 为一直线，又称为线偏振光。
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2-1A
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圆偏振光和椭圆偏振光
传播方向相同、振动方向相互垂直、相位差恒 定的两平面偏振光叠加（或组合）可合成光矢 量有规则变化的圆偏振光和椭圆偏振光。
∇2B −
1 v2
∂2B ∂t 2
=
0.......... .(1 − 9)
其中 v = 1 εμ
方程解的形式有多种：平面波、球面波、柱 面波，以及各种简谐波的叠加
E、B边界条件、初始条件——确定方程的解
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什么是平面电磁波？
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z' = k0 ⋅ r
E = Acos(k ⋅ r − ωt)
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E = Acos(k ⋅ r − ωt)
平面波的波面： k ⋅ r = const E = Acos[k(x cosα + y cos β + z cosγ ) − ωt]
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波动方程的平面波解
平面电磁波：电场或磁场在与传播方向正交的平面上各点具有相同值的波。
假设：平面波沿z方向传播
∂E / ∂x = ∂E / ∂y = 0 E和B仅与z、t相关，与x、y无关 → ∂B / ∂x = ∂B / ∂y = 0
∂2E ∂z 2
−
1 v2
∂2E ∂t 2
=
0
∂2B ∂z 2
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例题. 振幅为A，波长为2/3×10－3 mm的单色平面波的波矢 量的方向余弦为cosα＝2/3，cosβ＝1/3, cosγ＝2/3，试求 它在xy平面上（z＝0）的复振幅分布及空间频率。
例题2. 振动方向相同的两列波长为500nm的单色平面波照射 在xy平面上，它们的振幅为A，传播方向与xz平面平行，与 z轴夹角分别为30o和－30o。试求xy平面上的合复振幅分布 及空间频率。
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2-1A (2.4.4, 6.1) 光的偏振(2.3, 7.1)
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光波是横波（TEM波），其光矢量的振 动方向与光波传播方向垂直。在垂直传播 方向的平面内，电场强度矢量还可能存在 各种不同的振动方向，称之为光的偏振。 不同的偏振态的光波具有不同的性质。我 们将光振动方向相对光传播方向不对称的 性质称为光波的偏振特性。 波的偏振性是横波区别于纵波的一个最明 显的标志。
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复数形式的波函数
* 表示方法： E = Re[ Aexp i(k ⋅ r −wenku.baidu.comωt)]
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E = Aexp[i(k ⋅ r − ωt)]
再强调： E的值是实数部分， 采用复数形式的波函数完全是运算上的简化。
另外： 光强度I∝A2
A2 = E ⋅ E*
dx λ
dy λ
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E~(x) = A' exp[i2π (ux + vy)]
不同（u，v）——不同复振幅周期分布——不同传播方向平面波
任何在xy平面的复振幅的分布都能分解成这种基本周期分布 即复杂的复振幅分布包含有许多空间频率成分
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(z
−
vt)],
Z＝vt处，平面波处于波峰位置。
引入——波矢量k 方向：等相面的法线方向 大小(波数)：k＝2π/λ
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波的频率： ν = v / λ, 角频率： ω = 2πν = 2πv / λ 周期： T = 1/ν
E
=
2π Acos[ λ
(z
−
vt)]
⎜⎜⎝⎛
假设：平面波波矢量k平行于xz平面。
x
x
考察：z＝0平面的复振幅分步。
波矢量k平行于xz平面——k的方向 余弦cosα，0，cosγ
o
z
E~ = Aexp(ik ⋅ r) = Aexp(ikx cosα )
o
y
等位相点的轨迹为：x＝const的直线
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光强度也可以由复振幅表示：
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第二章：光波与介质的基本性质
杨振宇
¾ 平面电磁波； ¾ 光的偏振； ¾ 球面波和柱面波； ¾ 光的吸收、色散、散射； ¾ 平面波的叠加； ¾ 平面波的反射与折射。
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2-1 平面电磁波(1.2)
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波动方程
∇2E
−
1 v2
∂2E ∂t 2
=
0.......... .(1 − 8)
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根据光波在垂直于传播方向的平面 内，光矢量振动方向相对光传播方 向是否具有对称性，可将光波分为 非偏振光和偏振光。具有不对称性 的偏振光又根据光波的偏振度分为 完全偏振光和部分偏振光。
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2-1A
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1. 偏振度
表征光的偏振程度。偏振度定义为在部分偏振光的总 强度中偏振光所占的比例，即
−
1 v2
∂2B ∂t 2
=
0
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∂2E ∂z 2
−
1 v2
∂2E ∂t 2
=
0
通过自变量变换法
E = F (z − vt ) + Φ (z + vt )
∂2B − 1 ∂2B = 0 ∂z 2 v2 ∂t 2
B = F ' (z − vt )+ Φ ' (z + vt )
圆偏振光和椭圆偏振光：光矢量端点的轨迹为一圆或椭圆，
即光矢量不断旋转，其大小、方向随时间有规律的变化。
Ey
Ey
Ex
Ex
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3. 非偏振(自然光) P＝0
由普通光源发出的光波都不是单一的平面偏振光， 而是许多光波的总和：它们具有一切可能的振动方 向，在各个振动方向上振幅在观察时间内的平均值 相等，初相位完全无关，这种光称为非偏振光，或 称自然光。
组合，即:
E = iEx + jEy
其中：
Ex = Eox cos(kz − ωt + ϕx )
Ey = Eoy cos(kz − ωt + ϕ y )
表示传播方向相同、振动方向相互垂直、 有固定相位差的两束线偏振光。
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消去kz-ωt项，得：
⎜⎜⎝⎛
Ex Eox
（1）k⊥E，k⊥B(横波性) ∇ ⋅ E = 0 = ik ⋅ E, ∇ ⋅ B = 0 = ik ⋅ B
（2）E⊥B ∇ × E = ik × E = - ∂B ∂t = iωB E k × E = ωB
B
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k0
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（3）E和B同位相 k0是实常矢量，B、E是谐振矢量 B = εμk0 × E
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4. 部分偏振
0<P<1
在垂直于光传播方向的平面上，含有各种振动方向的光矢 量，但光振动在某一方向更显著。 部分偏振光是自然光和完全偏振光的叠加。
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2-1A
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5.椭圆方程
沿z方向传播的偏振光可表示为沿x、y方向振动的两个独立场分量的线性
E = Acos(kz − ωt) E = Acos[2π ( z − t )]
λT
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E = Acos(kz − ωt) E = Acos[2π ( z − t )]
λT
单色平面波：时间周期性、空间周期性
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t 是单色波吗？
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例题3. 两列振动方向相同波长相同单色平面波照射在xoy平 面上，它们的振幅分别为A1和A2，传播方向的方向余弦分 别为（ cosα1，cosβ1, cosγ1 ）和（ cosα2，cosβ2, cosγ2 ），试求xoy平面上的光强分布及空间频率。
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平面电磁波的性质
光矢量： E 是我们研究的重点
取余弦函数为特解：
E = Acos[2π (z − vt)] λ
B
=
A'
cos[
2π λ
(z
−
vt)]
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E
=
2π Acos[
(z
−
vt)]
λ
B
=
A'
cos[
2π λ
(z
−
vt)]
平面简谐波
平面简谐波的波函数 平面单色光波的波函数
式中：A、A'— —电场、磁场的振幅， λ — —简谐波的波长， [2π (z − vt)] — —波的相位.
xλ
α
在z＝z0平面的复振幅：
E~( x )
=
A exp(i
2π λ
z0 cosγ )
⋅ exp(i 2π x cosα ) λ
dx = λ / cosα
u = 1 = cosα dx λ
k z0 z
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x dx y
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• 平面波方向余弦为cosα，cosβ， cosγ的情况
⎟⎟⎠⎞2
+
⎜⎜⎝⎛
Ey Eoy
⎟⎞2 ⎟⎠
−
2⎜⎜⎝⎛
Ex Eox
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
Ey Eoy
⎟⎟⎠⎞ cosϕ
=
sin 2
ϕ
其中：
ϕ =ϕy −ϕx
一般情况下表示的几何图形是椭圆，特殊情况下表示线或 圆,分别表示椭圆偏振光,线偏振光或圆偏振光。
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6. ϕ和E0x／E0y 决定偏振态
E = 1 =v B εμ
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¾ 例题：一均匀平面波在空气中沿z方向 传播，其电场强度为： E = xˆEx = xˆ × 5×10−4 cos(k0 z − 2 ×1014πt + π / 4)
(V / m)
求：1. H的表达式； 2. k0值。
作业：2.1, 2.2, 2.5
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平面简谐波的复振幅
E = Aexp[i(k ⋅ r − ωt)]
E = Aexp(ik ⋅ r) exp(−iωt)
空间位相因子 时间位相因子
复振幅： E~ = Aexp(ik ⋅ r)
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讨论：平面简谐波在某一平面上的复振幅分布
P = IP = IM − Im I总 IM + Im
非偏振光，P＝0 完全偏振光，P＝1 部分偏振光，0＜P＜1
式中，IM 和Im分别为相位不相关相互正交的两个特 殊方向上所对应的最大光强和最小光强。
注意: 后一等式对圆偏振光和椭圆偏振光不适用
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2. 完全偏振光 P＝1
在z＝z0平面的复振幅：
E~( x )
=
A exp(i
2π λ
z0 cosγ )
⋅ exp[i
2π λ
(x cosα
+
y
cos
β
)]
y
x
α
θy
kz
β θx
x cosα + y cos β = const
x
dx y dy
dx = λ / cosα, d y = λ / cos β
u = 1 = cosα , v = 1 = cos β