人教版高中数学必修五《二次函数与一元二次方程》
例题 5.方程 a(x+1)(x-3)=k（a＞0）的根为 x1 和 x2, 且 x1＜-1,x2＞3,求 k 的取值范围
例题 6.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 y 轴交于点 C， 与 x 轴交于点 A(x1， 0)、 B(x2，0)(x 1<x2)，顶点 M 的纵坐标为－4，若 x1、x2 是方程 x2－2(m－1)x＋m2 2 －7＝0 的两个根，且 x2 1＋x2＝10. (1)求 A、B 两点的坐标； (2)求抛物线的关系式及点 C 的坐标； (3)在抛物线上是否存在点 P，使△ABP 的面积等于四边形 ACMB 面积的 2 倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标 ；若不存在，请说明理由．
相关交点可以相互转化。
例题 1.如图所示， 你能直观看出哪些方程的 根？
是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4、3、0)的 根．以及方程－x2＋2x＋3＝4x的一个根
例题 2.函数 y＝(m+5)x +2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方， 则
2
m 的取值范围是
。
例题 3. 1.抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的公共点是(－1，0)、(3，0)，求 抛物线的对称轴是
二次函数与一元二次方程
回顾：一次函数与一元一次方程的关系
1.一元一次方程kx+b=0（k≠0）的根是 一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴的交点
2. 反之，一次函数y=kx+b（≠0）与 x轴的交点是一元一次方程kx+b=0 （≠0）的根
3. 方程k1x+b1=k2x+b2（k1、k2≠0） 的根可以理解为一次函数y=k1x+b1 （k1≠0)与一次函数y=k2x+b2 （k2≠0） 的交点.反之也成立。
归纳：二次函数与一元二次方程的关系如下： 1、函数 y =ax + bx+ c（a≠0） ，当函数值为某一确定的值 m 时，求 自变量的值可以看作解方程 ax + bx+c=m 也可以看作直线 y=m 与函数 y =ax
2 2 2
+ bx+ c（a≠0）交点的横坐标。
2、一元二次方程的根与二次函数
课堂小结: 1． 二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系，当 y 为某一确定值 m 时，相应的自变量 x 的值就是方程 ax2＋bx＋c＝m 的根． 2．若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点为(x0，0)，则 x0 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根． 3．有下列对应关系： 4.函数与方程的转化关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象与 x 轴的位置关系 有两个公共点 无公共点
（2）二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一 个公共点，有两个公共点． 这对应着一元二 次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的三种情况：
阅读交流
问题 1: 我们已经知道,竖直上抛物体的高度 h(m)与 运动时间 t(s)的关系可以近似地用公式 H=-5t2+v0t+h0 表示,其中 h0(m)是抛出时的高度, v0(m/s)是 抛出时的速度. 现一个小球 从地面以 40 m/s 的速度竖直向上抛起. (1) h 与 t 的关系是什么? (2) 小球的飞行高度能否达到 76 m？ 如能，需要多少飞 行时间？ (3) 小球从飞出到落地要用多少时间？
[来源 :]
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠ 0) 的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
b2－ 4ac 的值 b2－4ac>0 b2－4ac＝0 b2－4ac<0
[来源:学§科§网 Z§ X§ X§K]
只有一个公共点
2.已知抛物线 y=ax -2ax+c 与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴正半轴交于点 C，且 A(－1，0)，则一元二 次方程 ax -2ax+c=0 的解是
2 2
。
例题 4.画出函数 y＝ x2－2x－ 3 的图象， 根据图象回答： (1)方程 x2－2x－3＝0 的解是什 么？ (2)x 取什么值时，函数值大于 0？x 取什么值时，函数 值小于 0?
结论：一元一次方程的根与相应 一次函数的交点可以相互转化。
二次函数与一元二次方程的根有什么样的 关系呢？ 请同学们阅读课本第51至52页
阅读交流
（1）如果抛物线 y =ax2 + bx + c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0， 那么当 x = x0 时，函数值是 ( ) x = x0
《二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）》教学设计◆教学目标1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学抽象素养；2．能用二次函数的观点，看一元二次方程和一元二次不等式，并能求解二次方程和二次不等式问题，感悟数学知识的整体性和关联性，提升逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养．◆教学重难点◆教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，并会借助二次函数求解一元二次不等式，体会函数思想、化归思想及数形结合的思想．教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系．◆课前准备GEOGEBRA、PPT课件．◆教学过程一、情境引入★资源名称：【情景演示】二次函数与一元二次方程、不等式★使用说明：本资源类比一次函数与一元一次方程、不等式的联系，提出对二次函数与一元二次方程、不等式之间联系的思考，引发学生以类比的视角来学习函数、方程、不等式之间的关系．注：此图片为视频截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m ，围成的矩形区域的面积要大于20 m 2，则这个矩形的边长为多少米？师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来． 预设的答案：1．因为学生已经学习过基本不等式，所以部分学生会令矩形的一边长为x ，另一边为y ，可以得到⎩⎨⎧>=+.20,12xy y x 此时还需要消元从而转化为一元二次不等式求解．2．部分学生用一个未知数x 即可表示问题中的不等式20)-12>x x （，但学生容易忘记自变量x 的取值范围．追问：不等式20)-12>x x （即020122<+-x x ，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？师生活动：学生可以回答这个问题．之后学生阅读课本获得定义，或者教师给出一元二次不等式的定义，一元二次不等式的一般形式：0022<++>++c bx ax c bx ax 或，并且强调二次项的系数a ≠0．设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义．二、探究新知1．探究一元二次不等式的解法问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下：设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫．★资源名称： 【数学探究】二次函数与一元二次方程、不等式的关系★使用说明：本资源动态展示了二次函数的零点与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系，使用时可通过滑动条改变二次函数中的系数，直观观察三者之间的关系．注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数20122+-=x x y 为例．师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考．追问1：教师用信息技术画出函数20122+-=x x y 的图象，图象与x 轴有两个交点，并在函数图象上任取一点P （x ，y ）．当点P 在抛物线上移动时，请你观察：随着点P 的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？师生活动：学生观察思考后回答．预设的答案：当点P 移动到x 轴上时，它的纵坐标等于0（即0=y ）；当点P 移动到x 轴上方时，它的纵坐标大于0（即0>y ）；当点P 移动到x 轴下方时，它的纵坐标小于0（即0<y ）．追问2：当点P 的纵坐标y =0时、y ＞0时、y ＜0时所对应的横坐标x 的取值范围分别是什么？师生活动：学生独立获得答案．师生活动：学生思考并对上述方法进行了归纳、概括，获得求解一般一元二次不等式的解法．预设的答案：求解一元二次不等式的关键是利用二次函数的图象与x 轴的相关位置确定不等式对应的x 的取值范围，而确定x 的取值范围需要先求出相应一元二次方程的根．这种关系体现在下表中．Δ＞0Δ＝0Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2}{x |x ≠－b2a}Rax 2＋bx ＋c ＜0(a＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅设计意图：通过问题引导学生从具体的“三个二次”的关系，归纳、概括、获得一般的一元二次不等式的解法．在这个过程中培养学生数学抽象概括的能力，以及从具体到抽象，从特殊到一般的研究问题的基本方法．并体会数形结合和函数思想的应用．3．应用举例例1 求下列不等式的解集：（1）0652>+-x x （2）01692>+-x x （3）03-2-2>+x x追问：求解不等式的依据是什么？步骤是什么？第（3）题与（1）（2）题有何异同？能否转化为（1）（2）题．师生活动：学生独立完成后展示交流，师生总结求解思路．对于二次项系数是负数（即0<a )的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解．预设的答案：（1）解：对于方程0652=+-x x ，因为∆＞0， 所以它有两个实数根，解得3,221==x x ，画出二次函数652+-=x x y 的图象（图2.3-2）结合图象得不等式0652>+-x x 的解集为}{3,2><x x x 或．（2）解：对于方程01692=+-x x ，因为∆=0，所以它有两个相等的实数根，解得3121==x x ，画出二次函数169y 2+-=x x 的图象（图2.3-3），结合图象得不等式01692>+-x x 的解集为}31|{≠x x ．（3）解：不等式可化为032-2<+x x ，因为∆=-8＜0，所以方程032-2=+x x 无实数根，画出二次函数32y 2+-=x x 的图象（图2.3-4），结合图象得不等式032-2<+x x 的解集为∅．因此原不等式的解集为∅．追问：通过这三道题的学习，请你试着总结一下：解一元二次不等式的一般步骤是什么？师生活动：学生总结，教师完善．预设的答案：步骤是：（1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求相应方程的实数根；（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．设计意图：这三道例题对应的三个二次函数的图象分别与x 轴有两个交点、有一个交点和没有交点，再次巩固了利用二次函数解二次不等式的方法．并要注重代数问题的求解程序的提炼总结，以便学生有序地思考，规范地求解，提升学生的数学运算素养．注重数形结合思想方法的应用，培养学生思维的严谨性．例 2 已知一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为{}53-><x x x ，或，则02<+-c bx ax 的解集为________．追问：如何利用“三个二次”的关系求解？能大致画出不等式对应的函数的草图吗？ 师生活动：学生先独立思考，画出函数的草图，从而可以确定a 0<．并利用方程的根与函数零点的关系，及韦达定理求出a ，b ，c 之间的关系（而不是具体的值），再化简求值．预设的答案：解：根据题意可知a 0<．图2-3-5令)0(02≠=++a c bx ax ．由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=,53,53-ac ab解得⎩⎨⎧-=-=.15,2a c a b 代入所求不等式得01522<-+a ax ax ．①又∵0<a ，∴①化为01522>-+x x ． 对于方程015-22=+x x ，因为∆＞0，所以它有两个实数根，解得3,-521==x x ，画出二次函数15-22x x y +=的图象（图2-3-5），结合图象得不等式15-22>+x x 的解集为}{53-<>x x x ，或．设计意图：进一步理解三个“二次”之间的关系，在较复杂的情境中应用新知识，提高学生分析问题的能力．三、归纳小结，布置作业★资源名称： 【知识点解析】二次函数与一元二次方程、不等式★使用说明：本资源为二次函数与一元二次方程、不等式的知识讲解视频，主要以二次函数为视角讨论了三个“二次”之间的关系，让学生明确二次函数的零点、一元二次方程的根和一元二次不等式的解集之间的统一性．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题4：这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式。
《二次函数与一元二次方程的联系》课件 (同课异构)2022年精品课件
典例精析
例1 求以下各数的立方根:
〔1〕－27；〔2〕1285；〔3〕3
3； 8
〔4〕0.216；〔5〕－5.
解 : (1) 33 27，
27的立方根是 3， 即3 27 3.
(2)
2 5
3
8， 125
8 的立方根是 2，
125
5
即 3 8 2. 125 5
〔3〕 3 3； 8
(3)
置的水平距离是3m.
〔3〕铅球离地面的高度能否到达3m？为什么？
〔3〕由抛物线的表达式得
3 - x2 6 x 8 10 10 5
即 x26x140 因为 = （ -6 ） 2-4 1 1 4 0 ， 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能到达3m.
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
3
(-2，0)
(
5 3
，0.)
y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标
4.假设一元二次方程x2m xn 无 实0根，那么抛物线
yx2图m象x 位n于〔 〕
A
A.x轴上方
B.第一、二、三象限
C.x轴下方
D.第二、三、四象限
5.二次函数
yx26x的图8象，利用图象答复以
下问题：
〔1〕方程 x26x80的解是什么？
9
将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－
1 9
(7－4)2
＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一
定能投中；
(2)此时，假设对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽 拦截，乙的最大摸高为米，那么他能否获得成功？
(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3. 因为＞3，所以盖帽能获得成功．
222二次函数与一元二次方程说课稿
《22.2二次函数与一元二次方程》说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的教学内容.它既是一次函数与一元一次方程关系的延续.又为高中数学求一元二次不等式的解集以及三个“二次”的关系进一步探讨奠定基础.2、重难点的确点重点：从数和形两个角度理解二次函数与一元二次方程的关系；掌握二次函数与一元二次方程的互相转化问题.难点：灵活运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题；利用函数的图象求一元二次方程的近似解.二、目标分析知识与技能：掌握二次函数与一元二次方程的联系.数学思考：运用类比、猜想的数学方法解决实际问题.解决问题：经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，认识到事物的互相联系与转化.情感态度：让学生在合作探究中培养学生合作学习的良好意识和团结协作的精神.三、学情分析已形成的：1、能理解二次函数的性质、图象，有一定看图识图能力，并能画一次函数、二次函数的草图.2、能熟练求解一元一次方程与一元二次方程的根.有待形成、提升的：1、由特殊到一般的归纳总结能力.2、理解二次函数与一元二次方程的联系和研究时互相转化的数学思想及数形结合思想.3、用函数的观点解决问题的应用意识.四、教法学法分析1、教法分析在本节课中我采用情景教学法，观察发现法和探讨法为主，多媒体演示为辅的教学方法进行教学.以学生活动为主线，引导学生在观察、操作、合作、交流等具体过程中突破本节课的难点，在学习活动中，尽量让每一位学生积极参与，最终让他们学会学习.2、学法分析通过观察发现、合作交流、归纳总结完成本节课的教学.五、教学过程(一)复习引入活动1:问题1：一次函数与一元一次方程有怎样的联系？师生活动：老师引导，学生回答，最后分别从数与形这两个角度得出一次函数与一元一次方程的关系.问题2：类比猜想一下二次函数与一元二次方程的联系？师生活动：老师展示问题，学生回答.得出当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时，则得到了一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)；若把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的常量0变为变量y，则得到二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).设计的意图：在学生已有的数学基础上，采用类比的学习方法，探索新知.（二）探究新知活动2：问题：如图，以40m／s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h= 20t-5t2问：(1)小球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间?(2)小球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?（3）球的飞行高度能否达到20.5 m？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？师生活动：第（1）问师生共同分析，先用代数的方法解答，然后引导学生用图象法对此问进行解释和分析.第（2）问由学生分析并展示过程，同时让学生用图象演示为什只有一个时间小球的飞行高度达到20m？接着老师又引导学生从二次函数的性质（即二次函数的最大值）来说明为什么只有一个时间？剩下的学生独立完成，学生代表分析并展示过程.设计的意图：让学生用数与形这两种不同的方法解决实际问题.活动3：小组合作问题：根据刚才例题的讲解，类比一次函数与一元一次方程的联系，现在以小组为单位对二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系进行讨论，并请代表展示结果.二次函数的图象与x轴交点横坐标与一元二次方程根的关系：（1）“数”：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的函数值y=0时相应的自变量的值即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根；（2）“形”：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根.设计的意图：通过学生合作交流，得出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系，同时培养学生合作学习的能力.活动4：观察发现（1）观察二次函数①y=x2+x-2，②y=x2-6x+9，③y=x2-x+1的图象，回答下列问题：函数与x轴的交点的个数是：①个②个③个.函数与x轴交点的横坐标为：①②③ .（2）已知一元二次方程①x2+x-2=0，②x2-6x+9=0,③x2-x+1=0，则一元二次方程根的情况：①Δ 0,有根②Δ 0,有根，③Δ 0,有根.一元二次方程的解是：①，② ,③ .思考：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况有怎样的联系？师生活动：老师展示问题，学生观察填空.通过观察（1）与（2）的结果，对思考问题进行合作讨论.设计意图：通过学生讨论、观察，得出判别式和二次函数与x轴交点个数的情况的关系.并让学生掌握特殊到一般的学习方法.（三）归纳新知二次函数与一元二次方程的关系：师生活动：通过以上环节的探究，教师指导学生思考归纳，并展示结果。
人教版二次函数与一元二次方程PPT演示课件
一元二次方程与二次函数 川流不息的人群热闹地挤在小小的骑廊下，或单独一人，或三三两两。有的低头私语，有的莞尔窃笑，没有大声的喧哗和吵闹，似乎谁都不愿破坏平和的气氛。放眼长长的一条街道，逛街的人都好象在做服装秀，尤其是那些披红戴绿穿着入时的少男少女，是中山路上最亮丽的风景。 有什么关系？
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑 廊下， 或单独 一人， 或三三 两两。 有的低 头私语 ，有的 莞尔窃 笑，没 有大声 的喧哗 和吵闹 ，似乎 谁都不 愿破坏 平和的 气氛。 放眼长 长的一 条街道 ，逛街 的人都 好象在 做服装 秀，尤 其是那 些披红 戴绿穿 着入时 的少男 少女， 是中山 路上最 亮丽的 风景。
飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑 廊下， 或单独 一人， 或三三 两两。 有的低 头私语 ，有的 莞尔窃 笑，没 有大声 的喧哗 和吵闹 ，似乎 谁都不 愿破坏 平和的 气氛。 放眼长 长的一 条街道 ，逛街 的人都 好象在 做服装 秀，尤 其是那 些披红 戴绿穿 着入时 的少男 少女， 是中山 路上最 亮丽的 风景。
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
川流不息的人群热闹地挤在小小的骑 廊下， 或单独 一人， 或三三 两两。 有的低 头私语 ，有的 莞尔窃 笑，没 有大声 的喧哗 和吵闹 ，似乎 谁都不 愿破坏 平和的 气氛。 放眼长 长的一 条街道 ，逛街 的人都 好象在 做服装 秀，尤 其是那 些披红 戴绿穿 着入时 的少男 少女， 是中山 路上最 亮丽的 风景。
高中数学人教A版必修5第三章二次函数与一元二次方程的关系课件
17 、欲望以提升热忱，毅力以磨平高山。 13、光阴似箭，日月如梭，转眼间已经十二年了。这十二年里，我们都在成长着，心灵上，身体上，精神上，而爱，是这成长的养料。 18 、生活里，人们往往在笑话别人的时候特别起劲，幸灾乐祸的无所顾虑;却忽略了自己身上也有可笑之处，忽略了给他人带来的伤害。其实 ，人生舞台上人人都有可笑之处。
求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不 同的交点,
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0
有两个不等的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
高考数学高中复习2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》知识点讲解PPT课件
类题通法 解分式不等式的基本方法就是利用符号法则，将分式不等式转化 为两个整式不等式组或转化为与其同解的整式不等式(组).
二、易错易混 3．当 x∈{x|1<x<2}时，不等式 x2＋mx＋4<0 恒成立，则实数 m 的 取值范围是( ) A．{m|－5≤m≤－4} B．{m|m≤－4} C．{m|m≤－5} D．{m|m<－5}
答案：C 解析：令 y＝x2＋mx＋4，由题意知 x＝1 与 x＝2 时，y 的值恒小 于等于 0，即 1＋m＋4≤0 且 4＋2m＋4≤0，所以 m≤－5 且 m≤－4. 所以 m≤－5.故选 C.
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4a0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
有 两 个 _不__相__等___ 有 两 个相__等__ 的 实
答案：{x|x<2 或 x≥5} 解析：移项得xx－＋21－2≤0，整理得xx－ －52≥0， 不等式等价于(x－5)(x－2)≥0 且 x－2≠0， 解得 x<2 或 x≥5， 故原不等式的解集是{x|x<2 或 x≥5}．
(2)不等式x2＋x＋x＋2 1>1 的解集为________．
答案：{x|－1<x<1} 解析：∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0 ∴原不等式化为 x＋2>x2＋x＋1 即 x2－1<0，解得－1<x<1 故原不等式的解集为{x|－1<x<1}.
答案：C 解析：M＝{x|4x2－4x－15>0}＝{x|x>52或 x<－32} N＝{x|x2－5x－6>0}＝{x|x>6 或 x<－1} ∴M∩N＝{x|x>6 或 x<－32}．
人教版数学《二次函数与一元二次方程》精美课件1
A.-4.1
B.-4.2 C.-4.3
D.-4.4
[提示:由y=x2+2x-k的图象及性质,得x<-1时,y随x的增 大而减小.当x=-4.4时,y=0.56,当x=-4.3时,y=-0.11, ∴x2+2x-k=0的一个近似根满足-4.4<x<-4.3, ∵|-0.11|=0.11<|0.56|=0.56,∴x2+2x-k=0的一个近似根 是x≈-4.3.]
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解 答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根; (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集; (3)当0<x<1时,求y的取值范围. 解:(1)由图象可知方程ax2+bx+c=0的
两个根为x1=-5,x2=1. (2)不等式ax2+bx+c>0的解集为-5<x<1. (3)由图象可知当0<x<1时,0<y<5.
例5 对于抛物线y=x2-4x+3. (1)它与x轴交点的坐标为 (1,0),(3,0) ,
与y轴交点的坐标为 (0,3) , 顶点坐标为 (2,-1) ; (2)在所给的平面直角坐标系(如图22 - 47所示)中画出此抛物线; (3)结合图象回答问题:当1<x<4时,y的取值范围是 -1<y<3 .
人教版数学《二次函数与一元二次方 程》精 美课件1
利用函数图象求不等式的解集
考查角度1 利用图象求自变量的取值范围
例4 阅读材料,解答问题：利用图象法解一元二次不等式x2+2x-3<0.
二次函数与一元二次方程、不等式_课件
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
《二次函数与一元二次方程》参考PPT课件
有两个不相 等的实数根
b2 – 4ac > 0
只有一个交点 有两个相等的 实数根
b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0 16
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐
标是＿＿(＿-2＿，＿0)＿(＿5/＿3，. 0)
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8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
20.5 m
6
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
7
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图
象与x轴交点情况是（ C ）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
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3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.