2019届长宁嘉定区高三二模数学版(附解析)(最新整理)
………………8 分
（2）因为 A1D / / B1C ，
所以 BA1D 就是异面直线 A1B 与 B1C 所成角，
由 A1D DB A1B
2
知，
BA1D
3
所以异面直线 A1B 与 B1C 所成角为 3
……………………2 分 ……………………………4 分
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
3x 5 （1）解释 H (0) 的实际意义，并求 f (x) 的表达式； （2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用 f (x) 最小？并计算与不建隔热层比较，业主
节省多少钱？
20.
已知椭圆 :
x2 4
y2 3
1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,
过 F2 的直线 l 与椭圆 交于
P 、 Q 两点.
a1
a2 2
3 ，解得
4；
当
4 时， a3
a2
a1 ， b3
a1
a3 2
3 ，无解.
此时 an 2n 4n ， a1 2 ， a2 4 ， a3 4 ， a4 0 ，
………………2 分
当 n 4 时， an1 an 2n 4 0 ，
所以当 n
4 时an 递增， bn
a3
an 2
，得
x2
1
2 3
x1
1
，
y2
2 3
y1 ，
①
………………3 分
点 M 线段 AF2 上，所以 x2 , y2 满足方程为 y2 3 x2 1 ………………4 分
将①式代入，得 y1 3 x1 2 ，
………………5 分
代入椭圆方程，得 5x12 6x1 12 0 ，
因为
x1
0
，所以
x1
6 5
.
………………6 分
（3）设 P x1, y1 ， Q x3, y3 ， N n, 0 ，直线 l 的方程为 y k x 1 .
则点 R 的坐标为 x1, y1 ，直线 QR
的方程为
y
y3 x3
y1 x1
x
x3
y3 ，
n
x3
y3 x3 x1
y3 y1
x3 y1 x1 y3 y3 y1
A 、 B 两点，点 A 在点 M 与点 B 之间，过点 M 作直线 AC 的平行线交直线 BC 于点 P ，则
点 P 的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
16.
cos A 对于△ ABC ，若存在△ A1B1C1 ，满足 sin A1
cos B sin B1
M n mn 2
.
（1）若 an 2n 3n ，写出 b1 、 b2 、 b3 、 b4 的值；
（2）设 an 2n n ，若 b3 3 ，求 的值，及 n 4 时数列{bn} 的前 n 项和 Sn ；
（3）求证：“数列{an} 是等差数列”的充要条件是“数列{bn} 是等差数列”.
2x1x3 x1 x3
x1 x3 2
…………3 分
将直线方程代入椭圆方程得：
3 4k2
x2
8k 2 x
4k 2
12
0
，则
x1
x3
8k 2 3 4k 2
，
x1x3
4k 2 3
12 4k 2
，
2(4k 2 12) 8k 2
所以 n
3 4k 2 3 4k 2
8k 2 3 4k 2
y x 1
3
3
2
7. 设函数 f (x) x a （其中 a 为常数）的反函数为 f 1(x) ，若函数 f 1(x) 的图像经过
点 (0,1) ，则方程 f 1(x) 2 解为________
8. 学校从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 人到虹桥枢纽参加为期一天的春运志愿者服务
活动，则选出的 2 人中至少有 1 名女同学的概率为________（结果用数值表示）
3x 5 当 800 6x 10 ，即 x 5 时取等号
3x 5
…………………3 分
所以当隔热层厚度为 5cm 时总费用最小 70 万元.
…………………5 分
如果不建隔热层，20 年业主将付能源费 20 8 160 万元，
所以业主节省 90 万元.
…………………7 分
20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
解：（1） H 0 8 表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年 8 万元．……2 分
设隔热层建造厚度为 x 毫米，则
f (x) 20 40 6x 800 6x 0 x 10
3x 5
3x 5
………………………7 分
（2） f x ( 800 6x 10) 10 2 600 10 70
9.
x 1 t cos
已知直线
y
t
sin
（ t 为参数）与抛物线 y2
4x 相交于
A 、 B 两点，若线段 AB
中
点的坐标为 (m, 2) ，则线段 AB 的长为________
10.
在△ ABC 中，已知 CD
2DB ， P 为线段 AD 上的一点，且满足 CP
mCA
4 CB ，
根据上述信息，下列结论中正确的是（ ）
A. 2015 年第三季度环比有所提高
B. 2016 年第一季度同比有所提高
C. 2017 年第三季度同比有所提高
D. 2018 年第一季度环比有所提高
15. 已知圆 (x 2)2 y2 9 的圆心为 C ，过点 M (2,0) 且与 x 轴不重合的直线 l 交圆 C 于
解：（1）因为 0 ，且 sin
2
，
2
2
所以 cos 1 sin
2
，
2
所以 f 2 ( 2 2 ) 1 1
2 2 2 22
………………3 分 ………………6 分
（2） f x sin x cos x cos2 x 1
2
1 sin 2x 1 cos 2x
2
2
2 sin(2x )
参考答案
一. 填空题 1. {3,4}
5. 3
9. 8
2. 5 6. 2
4
10.
3
3. 3
7. x 1 11. 2n 1
4. 21
7
8.
10 12. [0,3]
二. 选择题
13. A
14. C
15. C
16. B
三. 解答题
17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分）
2
4
，
………………5 分
SQF1N
1 4 1
2
y3
3 3 2
所以
QF2
N
面积的最大值为
3
3 2
.
………………6 分
21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）
解：（1）因为 an 2n 3n ，所以 a1 1 ， a2 2 ， a3 1 ， a4 4 .
的重要指标，下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折
线图
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二季度
与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015 年第
二季度与 2015 年第一季度相比较.
解：（1）因为 ABCD A1B1C1D1 是正四棱柱，
所以底面 ABCD 为正方形， A1A 平面 ABCD ，
………………1 分
所以
A1BA
就是
A1B
与底面
ABCD
所成角，即
A1BA
4
.
………………3 分
进而得 A1A 1 ，
………………4 分
VA1 BCD
1 3
A1 A SBCD
1 6
所以 b1
1， b2
3 2
， b3
3 2
， b4
1.
………………4 分
（2） a1 2 ， a2 4 2 ， a3 8 3 .
当
2 时， a1
a2
a3 ， b3
a1
a3 2
3 ，无解；
当2
3 时， a2
a1
a3 ， b3
a2
a3 2
3 ，无解；
当3
4 时， a2
a3
a1 ， b3
cos C sin C1
1，则称△ ABC 为“V
类三角形”，“V 类三角形”一定满足（ ）
A. 有一个内角为 30°
B. 有一个内角为 45°
C. 有一个内角为 60°
D. 有一个内角为 75°
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
17.
已知正四棱柱
ABCD
24Biblioteka 所以 f x 的最小正周期为
………………1 分 ………………3 分 ………………5 分
当0
x
时，
2x
5
，
24
44
再由
2x
5
得，
x
，
2
44 8
2
函数 f x 在0, 上的递减区间为[ , ]
82
2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
2019届上海市长宁区、嘉定区高三下学期教学质量检测(二模)数学试题(解析版)
2019届上海市长宁区、嘉定区高三下学期教学质量检测（二模）数学试题一、单选题1．“2x =”是“1x ≥”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：当x ＝2时，满足x ≥1，当x ＝3时，满足x ≥1但x ＝2不成立，即“x ＝2”是“x ≥1”的充分不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 2．参数方程22342x t y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数，且03t ≤≤）所表示的曲线是（ ） A ．直线B ．圆弧C ．线段D ．双曲线的一支【答案】C【解析】根据题意，由参数方程中t 的范围分析可得x 、y 的范围，结合参数方程消去参数可得x ﹣3y ＝10，结合x 、y 的范围分析可得答案．【详解】 解：根据题意，参数方程22342x t y t ⎧=+⎨=-⎩，若0≤t ≤3， 则有：4≤x ≤31，﹣2≤y ≤7，又由参数方程22342x t y t ⎧=+⎨=-⎩，则y +213=（x ﹣4），即x ﹣3y ＝10， 又由4≤x ≤31，﹣2≤y ≤7，则参数方程表示的是线段；故选C ．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意消参时t 的取值范围．3．点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM ∆的面积y 的函数()y f x =的图象的形状大致是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于题中三角形在三段线段上对应面积的表达式有区别，故应分01x ≤≤，12x <≤，2 2.5x <≤三段进行讨论，表示出对应的APM ∆的面积与自变量x 的关系式，再结合图形判断即可【详解】①当点P 在AB 上时，如图：()1110122y x x x =⨯⨯=≤≤. ②当点P 在BC 上时，如图：∵1PB x =-，2PC x =-，∴ADM ABP PCM ABCD y S S S S ∆∆∆=---正方形()()1111111222222x x =-⨯---⨯⨯-1344x =-+，∴()131244y x x =-+<≤. ③当点P 在CM 上时，如图，∵ 2.5MP x =-，∴()()1152.52 2.5224y x x x =-=-+<≤. 综上①②③，得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定y 与x 的图形．只有A 的图象是三个一次函数，且在第二段上y 随x 的增大而减小， 故选：A ．【点睛】本题考查分段函数在几何图形中的应用，将图形关系转化成函数关系，结合几何关系表示出三角形面积是解题关键，属于中档题4．在计算机语言中，有一种函数()y INT x =叫做取整函数(也叫高斯函数)，它表示y 等于不超过x 的最大整数，如()0.90INT =， ()3.143INT =，已知2107n n a INT ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，111,10n n n b a b a a -==-（*n N ∈，且2n ≥），则2018b =( ) A ．2B ．5C ．7D ．8 【答案】D【解析】分析：根据题意得到数列{}n b 项，通过观察可得数列的周期性，然后根据周期性求值即可．详解：∵2107n n a INT ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，111,10n n n b a b a a -==-（*n N ∈，且2n ≥）， ∴11222,28,?281028a b a b ====-⨯=， 同理可得3456785,7,1,4,2,8,b b b b b b ======∴6n n b b +=，即数列{}n b 的周期为6．∴20183366228b b b ⨯+===．故选D ．点睛：本题考查数列周期性的判定和应用，考查学生的应用意识和解决问题的能力，解题的关键是通过给出的新定义结合列举得到数列{}n b 的周期，然后再利用周期求值．二、填空题5．已知集合{}{}1,2,,2,4A m B ==，若{}1,2,3,4A B =，则实数m =____________．【答案】3【解析】利用并集概念直接求参数即可.【详解】 ∵集合{}{}1,2,,2,4A m B ==，且{}1,2,3,4A B =，∴3m =，故答案为3【点睛】本题考查并集概念及运算，属于基础题. 6．1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的第3项为常数项，则正整数n =____________． 【答案】4【解析】写出二项展开式的通项，结合已知可得r ＝2时，x 的指数为0，则答案可求．【详解】 解：211()r n r r r n r r n n T C x C x x--+=⋅⋅=⋅． ∵展开式中的第3项为常数项，∴n ﹣4＝0，得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．已知复数z 满足243z i =+（i 为虚数单位），则z =____________．【解析】直接把等式两边求模，然后开方即可求得|z |．【详解】解：由z 2＝3+4i ，得|z 2|＝|z |2=5，∴|z |=【点睛】本题考查了复数代数形式的乘方运算，考查了复数模的概念，是基础题．8．已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为____________．【答案】24y x =【解析】根据已知条件利用抛物线的定义，即可写出动点P 的轨迹方程．【详解】解：∵动点P （x ，y ）到定点（1，0）的距离等于P 到定直线x ＝﹣1的距离，满足抛物线的定义，∴p ＝2，所以y 2＝4x所以动点P 的轨迹方程为：y 2＝4x ．故答案为y 2＝4x ． 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了抛物线的定义的应用，是基本知识的考查． 9．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则2lim n n nS a →∞=__________． 【答案】14【解析】根据等差数列的定义求出数列的通项公式和前n 项和公式，利用极限的定义进行求解即可．【详解】等差数列的通项公式a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，前n 项和公式S n ＝n ()12n n -+⨯2＝n +n 2﹣n ＝n 2， 则222221(21)4414n n n n nS n n lim lim lim a n n n →∞→∞→∞===--+， 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查数列极限的求解，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式是解决本题的关键．10．设变量满足约束条件1{40340x x y x y ≥+-≤-+≤，则目标函数3z x y =-的最大值为 . 【答案】【解析】试题分析：作出平面区域如图，易知目标函数3z x y =-在A 处取得最大值，又由得，故A(2，2)，目标函数3z x y =-的最大值为【考点】线性规划11．将圆心角为23π，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的体积等于_________.【答案】3【解析】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，223,33l l ππ=⨯∴=，又223,1,3rr ππ=⨯∴=∴圆锥的高是h ==∴圆锥的表面积是24S rrl πππ=+=，圆锥的体积是22111333V r h ππ==⨯⨯⨯=，故答案为3. 12．三棱锥P ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱PB 的长为____________．【答案】【解析】由主视图知CP⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CP长及△ABC中边AC的高，利用勾股定理即可求出棱BP的长．【详解】解：由主视图知CP⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由左视图知CP＝4，BE＝在Rt△BCE中，BC==4，在Rt△BCP中，BP==．故答案为【点睛】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．13．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．【答案】7 16【解析】基本事件总数n＝4×4＝16，利用列举法求出顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有7种，由此能求出顾客抽奖中三等奖的概率．【详解】解：规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，基本事件总数n＝4×4＝16，顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），共7种， ∴顾客抽奖中三等奖的概率为p 716=． 故答案为716． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】根据对数函数的真数大于0ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg ax ）的定义域为R ，ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ； 令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题． 15．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，120A ∠=︒，12AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为___________ 【答案】12【解析】由1()2AM AB AC =+平方得：2221(1)4AM AB AC =+-，再由AB AC ⋅uu u r uuu r 可得||||1AB AC ⋅=，进而利用基本不等式可得最小值.【详解】 由1()2AM AB AC =+平方得：2222211(2)(1)44AB A AM AB AC AB AC C =++=+-⋅. 又11||||cos120||||22AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=-⋅=-，所以||||1AB AC ⋅=. 所以222221111(2)(1)(2||||1)4444AB AC AM AB AC AB AC AB AC ⋅=++=+-≥⋅-=.当且仅当||||1AB AC ==时，AM 取最小值12. 故答案为：12. 【点睛】 本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算，考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.16．若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 ．【答案】24S <≤【解析】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222x y S S -=⋅⋅，又22(22)022222x y x yS +<⋅⋅≤=。
2019学年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)
年开始，每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的
50%．现用 an （ n N* ）表示 A 型车床在
第 n 年创造的价值．
（1）求数列 { an} （ n N * ）的通项公式 an ；
（2）记 Sn 为数列 { an} 的前 n 项和， Tn Sn ．企业经过成本核算，若 Tn 100 万元，则继
且 m 1 ，2 ，…，n ）时， f ( x) fm ( x) ．试研究关于 x 的方程 f ( x) kn x（ 0 ≤ x ≤ n ， n N* ）的实数解的个数（这里的 kn 是（ 2）中的 kn ），并证明你的结论．
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2019 学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试 数学试卷（理科）
n 续使用 A 型车床，否则更换 A 型车床．试问该企业须在第几年年初更换 A 型车床？
（已知：若正数数列 { bn } 是单调递减数列，则数列
b1 b2 n
bn 也是单调递减
数列）．
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22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分．
定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 4 分．
[解 ]（ 1）解法一：设 BC 的中点 D ，联结 AD ， PD ，易知在等腰三角形 PBC 、 ABC 中，
PD BC ， AD BC ，故 PDA 为二面角 P BC A 的平面角．
1 11．
3 14． (4,6)
12． 14
二 、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答
精品解析：【区级联考】上海市嘉定(长宁)区2019届高三第二次质量调研(二模)数学试题(解析版)
嘉定（长宁）区高2019届三第二次质量调研（二模）数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.已知复数满足（是虚数单位），则__________．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由i＝3+4i，得，∴|z|＝||．故答案为：5．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为，可直接写出线性方程组为即把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．4.在的二项展开式中，常数项的值为______________．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．6.已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.设函数(其中为常数)的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为__________．【答案】【分析】求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a＝1．∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．故答案为：x＝1．【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．8.学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为____________(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知直线（为参数）与抛物线相交于两点，若线段中点的坐标为，线段的长为__________．【解析】【分析】化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，设A（，），B（，），线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，线段AB的长：•8．故答案为：8．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．10.在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA•CB＝8．∴∴．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．11.已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为第项及以后所有项和为，若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，__________．【答案】【解析】【分析】设数列{}的前n项和为T n，则S（n）＝T m﹣T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝n n2，则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，故填：﹣2n﹣1．【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于都有，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．设g（x），若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）∈[，]．故g（x）∈[，]．①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知,则“”是“”的．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14..产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的年至年第季度我国工业产能利用率的折线图（％）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如二季度与年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )A. 年第三季度环比有所提高B. 年第一季度同比有所提高C.年第三季度同比有所提高D.年第一季度环比有所提高【答案】C 【解析】 【分析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A 错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B 错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C 正确； 2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．15.已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆两点，点在点与点之间。
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—解析几何及答案
2019年上海各区高三二模汇编——解析几何专题一、 填空题 1、（宝山2）圆22266x y x y +-+=的半径r =__________【答案】4【解析】写出圆的标准方程：22222266(1)(3)4xy x y x y +-+=⇒-++=2、 （宝山3）过点()2,4A -，且开口向左的抛物线的标准方程是___________【答案】28yx =-【解析】设抛物线为22,0ypx p =->，代入点()2,4A -，则28y x =-3、 （宝山6）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1P ，若(),Qxy 为平面区域221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OP OQ 的取值范围是_____________ 【答案】[]3,5【解析】数形结合，画出平面区域，则()()2,1,2OP OQ x y x y ==+，令2x y z +=则即求z 的取值范围，2y x z =-+，线性规划得到分别在点()1,1和()2,1P 取到最值，为[]3,5 4、（崇明5）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点（0,2），则该椭圆的标准方程为_________.【答案】14522=+y x【解析】由题意可知，1=c ，2=b ，则522=+=c b a ，所以，椭圆方程为14522=+y x5、 （崇明7）已知直线:1l 01)4()3=+-+-y a x a （与:2l 032-)32=+-y x a （平行，则=a _____. 【答案】3或5【解析】当两直线中一条斜率为0，另一条斜率不存在时，轻易可知3=a ；当两条直线斜率都存在时，两直线方向向量或法向量平行，以法向量为例，)4,3(a a --与)2,62(--a 为共线向量，计算可得5=a6、 （奉贤4）参数方程2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）表示的普通方程为【答案】()1222=+-y x【解析】由圆的参数方程可知()1222=+-y x .7、（奉贤6）若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为【答案】2-【解析】由线性规划，画图可知，直线过点()2-4，时，取到最小值2-. 8、（奉贤8）双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2π，则双曲线的标准 方程为【答案】1212122=-y x【解析】设双曲线的标准方程，为12222=-by a x 。
上海市嘉定区高考数学二模试卷Word版含解析
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应地址直接填写结果．．函数 y=2sin 2（ 2x ）﹣ 1 的最小正周期是 ． 1 2．设 i 为虚数单位，复数 ，则 | z| =．3．设 f ﹣ 1（ x ）为 的反函数，则 f ﹣ 1（1） =．4．=．5．若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若= ，则=．7．直线 （t 为参数）与曲线 （ θ为参数）的公共点的个数是．8．已知双曲线 C 1 与双曲线 C 2 的焦点重合， C 1 的方程为 ，若 C 2 的一条渐近线的倾斜角是 C 1 的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则 C 2 的方程为．9．若，则满足 f （x ）＞ 0 的 x 的取值范围是．10．某企业有甲、 乙两个研发小组， 他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品 B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则 最少有一种新产品研发成功的概率为 ．．设等差数列 n } 的各项都是正数，前 n 项和为 S n ，公差为 d ．若数列 11 { a 也是公差为 d 的等差数列，则 { a n } 的通项公式为 a n =．12．设 x ∈R ，用[ x] 表示不高出 x 的最大整数（如 [ 2.32] =2，[ ﹣ 4.76] =﹣5），对于给定的n ∈ N * ，定义C=，其中 x ∈[ 1， +∞），则当时，函数 f （ x ） =C的值域是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应地址，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若 x=12﹣3x 2=0”的逆否命题是（），则 x+A．若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0B．若 x2﹣3x+2=0，则 x=1C．若 x2﹣ 3x+2=0，则 x≠1 D．若 x2﹣ 3x+2≠ 0，则 x≠1．如图，在正方体1 1 1 1 中，M、E是AB的三均分点，G、N是14ABCD ﹣A B C DCD 的三均分点， F、H 分别是 BC、 MN 的中点，则四棱锥 A 1﹣ EFGH 的左视图是（）A．B．C．D．15．已知△ ABC 是边长为 4 的等边三角形， D、P 是△ ABC 内部两点，且满足，，则△ ADP的面积为（）A． B ．C．D．16．已知 f（ x）是偶函数，且 f（ x）在 [ 0， +∞）上是增函数，若 f （ax+1）≤ f （ x﹣ 2）在上恒建立，则实数 a 的取值范围是（）A．﹣2，1]B．﹣2，0C．﹣1，1D．﹣1，0[[][][]三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题必定在答题纸的相应地址写出必要的步骤．17．在△ ABC 中，内角 A ， B， C 的对边分别为a，b，c，已知 a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ．（Ⅰ）求△ ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin（ 2A﹣ B）．18．如图，在长方体 ABCD ﹣A 1B1C1D1中，AB=8 ，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体获取一个矩形EFGH，且 A1E=D1F=2，AH=DG=5 ．（1）求截面 EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线 AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，两个焦点为F1（﹣ 1，0）和 F2（1，0）．圆 O 的方程为 x2+y2=a2．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过 F1且斜率为 k（k＞0）的动直线 l 与椭圆 C 交于 A 、B 两点，与圆 O 交于P、Q 两点（点 A 、P 在 x 轴上方），当 | AF2| ， | BF2| ，| AB | 成等差数列时，求弦 PQ 的长．20．若是函数 y=f（ x）的定义域为 R，且存在实常数 a，使得关于定义域内任意x，都有 f （x+a）=f（﹣ x）建立，则称此函数 f（ x）拥有“P（ a）性质”．（ 1）判断函数 y=cosx 可否拥有“P（a）性质”，若拥有“P（a）性质”，求出所有 a 的值的会集；若不拥有“P（a）性质”，请说明原由；（ 2）已知函数 y=f （x）拥有“P（0）性质”，且当 x≤0 时， f （x ）=（x+m）2，求函数 y=f（ x）在区间 [ 0，1] 上的值域；（ 3）已知函数y=g（x ）既拥有“P（0）性质”，又拥有“P（ 2）性质”，且当﹣ 1≤x≤ 1 时，g（x ）=| x| ，若函数 y=g（x）的图象与直线 y=px 有 2017 个公共点，求实数 p 的值．21．给定数列 { a n } ，若满足 a1=a（a＞ 0 且 a≠1），关于任意的n，m∈N*，都有a n+m=a n?a m，则称数列 { a n} 为指数数列．（ 1）已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为，，试判断{ a n}，{ b n} 可否是指数数列（需说明原由）；（ 2）若数列 { a n} 满足： a1=2， a2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n，证明： { a n} 是指数数列；（ 3）若数列 { a n} 是指数数列，（t∈N*），证明：数列{ a n}中任意三项都不能够构成等差数列．2017 年上海市嘉定区高考数学二模试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应地址直接填写结果．．函数y=2sin 2（ 2x）﹣ 1 的最小正周期是．1【考点】 H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，2【解答】解：函数 y=2sin （2x）﹣ 1，∴最小正周期 T=．故答案为2．设 i 为虚数单位，复数，则| z| =1．【考点】 A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法规、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣ i，则 | z| =1．故答案为： 1．．设f ﹣1（ x）为的反函数，则 f﹣1（1） = 1 ．3【考点】 4R：反函数．【分析】依照反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数 f﹣1（ x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得： x=1，∴ f ﹣ 1（x ）=1．故答案为 1．4．= 3 ．【考点】 8J ：数列的极限．【分析】 经过分子分母同除 3n +1，利用数列极限的运算法规求解即可．【解答】 解：= = =3．故答案为： 3．5．若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是30° ．【考点】 MI ：直线与平面所成的角．【分析】 依照圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，尔后求解母线与轴所成角即可．【解答】 解：设圆锥的底面半径为 R ，母线长为 l ，则：2其底面积： S底面积 =πR，其侧面积： S 侧面积 = 2π Rl= π，Rl∵圆锥的侧面积是其底面积的2 倍，∴ l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角 θ有，cos θ== ，∴ θ=60，°母线与轴所成角的大小是：30°．故答案为： 30°．6．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，若=，则=．【考点】 85：等差数列的前 n 项和．【分析】=，可得 3（ a14d）=5（ a12d），化为： a1=d．再利用等差数列的++求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴ 3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是1．【考点】 QK：圆的参数方程； QJ：直线的参数方程．【分析】依照题意，将直线的参数方程变形为一般方程，再将曲线的参数方程变形为一般方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3， 5），半径 r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有 1 个公共点，即可得答案．【解答】解：依照题意，直线的参数方程为，则其一般方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其一般方程为（x﹣3）2+（ y﹣ 5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径 r=，圆心到直线 x+y﹣6=0 的距离 d== =r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2 与直线x+y﹣6=0 相切，有1 个公共点；故答案为： 1．8．已知双曲线C1与双曲线 C2的焦点重合， C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则C2的方程为．【考点】 KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，尔后求解即可．【解答】解：双曲线 C1与双曲线 C2的焦点重合， C1的方程为，焦点坐标（± 2， 0）．双曲线 C1的一条渐近线为： y=，倾斜角为30°，C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，可得 C2的渐近线y=．可得， c=2，解得 a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】 7E：其他不等式的解法．【分析】由已知获取关于x 的不等式，化为根式不等式，尔后化为整式不等式解之．【解答】解：由 f（x ）＞0 获取即，因此，解得x＞1；故x 的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（ 1， +∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则最少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】 C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对峙事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设最少有一种新产品研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对峙事件，则事件 B 为一种新产品都没有成功，由于甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则 P（B）=（1﹣）（1﹣）= ，再依照对峙事件的概率之间的公式可得 P（A ）=1﹣P（B）= ，故最少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．n}的各项都是正数，前n项和为S n，公差为d．若数列11．设等差数列 { a也是公差为 d 的等差数列，则 { a n} 的通项公式为 a n=．【考点】 84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得： S n=na1d．a n＞0.=+（n﹣1）d，化简 n+≠1时可得： a1 2 2d﹣d．分别令 n=2，3，解出即可得出．=（n﹣1）d +【解答】解：由题意可得：S n1d． a n＞0．=na +n 1n﹣1）2 22（n﹣1） d．=+（ n﹣ 1） d，可得： S =a +（ d +∴na1+d=a1+（ n﹣ 1）2d2+2（n﹣1）d．22d dn≠1 时可得： a1=（ n﹣ 1）d +﹣．分别令 n=2，3，可得： a122d﹣d，a12 2d﹣ d．=d +=2d +解得a1，d= ．=∴ a n=+（﹣）．n 1 =故答案为：．12．设 x ∈R，用x表示不高出 x 的最大整数（如[=2，﹣ 4.76 =﹣5），对[]][]于给定的 n∈ N*，定义 C =，其中 x ∈1，∞），则当[+时，函数 f（ x） =C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类谈论，依照定义化简C x n，求出 C x10 的表达式，再利用函数的单调性求出 C x10 的值域．【解答】解：当 x∈ [ ， 2）时， [ x] =1，∴ f （x）=C= ，当 x∈[，2）时， f （x）是减函数，∴ f（ x）∈（ 5，）；当 x∈[ 2， 3）时， [ x] =2，∴ f （x） =C=，当 x∈[ 2， 3）时， f （x）是减函数，∴ f（x）∈（ 15， 45] ；∴当时，函数 f （x）=C的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应地址，将代表正确选项的小方格涂黑．．命题“若x=1，则 x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（）13A．若 x ≠ ，则x2﹣3x+2≠0 B．若 x2﹣3x+2=0，则 x=1 1C．若 x2﹣ 3x+2=0，则 x≠1 D．若 x2﹣ 3x+2≠ 0，则 x≠1【考点】 25：四种命题间的逆否关系．【分析】依照逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x2﹣3x 2+≠0，则 x≠1应选： D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B1C1D1中， M 、E 是 AB 的三均分点， G、N 是CD 的三均分点， F、H 分别是 BC、 MN 的中点，则四棱锥 A 1﹣ EFGH 的左视图是（）A．B．C．D．【考点】 L7：简单空间图形的三视图．【分析】确定 5 个极点在面 DCC1D1上的投影，即可得出结论．【解答】解： A1在面 DCC1D1上的投影为点 D1，E 在面 DCC1D1的投影为点 G，F 在面 DCC1D1上的投影为点 C， H 在面 DCC1D1上的投影为点 N，因此侧视图为选项 C 的图形．应选 C15．已知△ ABC是边长为 4 的等边三角形，D、P 是△ ABC内部两点，且满足，，则△ ADP的面积为（）A． B ．C．D．【考点】 9V：向量在几何中的应用．【分析】以 A 为原点，以 BC 的垂直均分线为y 轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得 B，C 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△ APD的面积公式即可得出．【解答】解：以 A 为原点，以 BC 的垂直均分线为y 轴，建立直角坐标系．∵等边三角形△的边长为4，∴B（﹣ 2，﹣2），C（2，﹣2），由足=[（﹣ 2，﹣2）（2，﹣2）=（ 0，﹣），+]=（0，﹣）+ （4，0）=（，﹣），∴△ ADP 的面积为 S= ||?| |=×× = ，应选： A．16．已知 f（ x）是偶函数，且f（ x）在 [ 0， +∞）上是增函数，若 f （ax+1）≤ f （ x﹣ 2）在上恒建立，则实数 a 的取值范围是（）A．[ ﹣2，1]B．[ ﹣2，0]C．[ ﹣1，1]D．[ ﹣1，0]【考点】 3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由于偶函数在对称区间上单调性相反，依照已知中f（x）是偶函数，且f（x ）在（ 0， +∞）上是增函数，易得f（ x）在（﹣∞， 0）上为减函数，又由若时，不等式 f（ax 1）≤f（ x﹣ 2）恒建立，结合函数恒建立的条+件，求出时 f （x﹣2）的最小值，进而能够构造一个关于 a 的不等式，解不等式即可获取实数 a 的取值范围．【解答】解：∵ f（ x）是偶函数，且 f （x）在（ 0， +∞）上是增函数，∴ f（x ）在（﹣∞， 0）上为减函数，当时， x﹣2∈[ ﹣，﹣1]，故 f（ x﹣ 2）≥ f（﹣ 1）=f（1），若时，不等式 f （ax+1）≤ f （x﹣2）恒建立，则当时， | ax+1| ≤ 1 恒建立，∴﹣ 1≤ax+1≤ 1，∴≤a≤0，∴﹣ 2≤a≤ 0，应选 B．三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题必定在答题纸的相应地址写出必要的步骤．17．在△ ABC 中，内角 A ， B， C 的对边分别为a，b，c，已知 a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ．（Ⅰ）求△ ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin（ 2A﹣ B）．【考点】 GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求 a，b 的值，由余弦定理可求 cosB，进而可求 sinB，即可由三角形面积公式求解．（II）由余弦定理可得 cosA，进而可求 sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求 sin（ 2A﹣ B）的值．解法二：（I）由已知及正弦定理可求 a，b 的值，又 c=4，可知△ ABC 为等腰三角形，作 BD ⊥AC 于 D，可求 BD==，即可求三角形面积．（II）由余弦定理可得 cosB，即可求 sinB，由（ I）知 A=C ? 2A ﹣ B=π﹣ 2B．进而 sin（ 2A﹣ B）=sin（π﹣2B）=sin2B，代入即可求值．【解答】解：解法一：（I）由 sinA=2sinB? a=2b．又∵ a﹣ b=2，∴ a=4，b=2．cosB===．sinB===．∴ S△ABC = acsinB==．（ II） cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2 ×．cos2A=cos2 A ﹣sin2A=﹣．∴sin（2A ﹣B） =sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由 sinA=2sinB? a=2b．又∵ a﹣ b=2，∴a=4，b=2．又 c=4，可知△ ABC 为等腰三角形．作 BD⊥AC于 D，则BD===．∴S△ABC==．（ II） cosB===．sinB===．由（ I）知 A=C ? 2A ﹣B=π﹣ 2B．∴sin（2A ﹣B） =sin（π﹣2B）=sin2B =2sinBcosB=2××=．18．如图，在长方体 ABCD ﹣A 1B1C1D1中，AB=8 ，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体获取一个矩形EFGH，且 A1E=D1F=2，AH=DG=5 ．（1）求截面 EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线 AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】 MI ：直与平面所成的角；LF：棱柱、棱、棱台的体．【分析】（1）由意，平面α把方体分成两个高 5 的直四棱柱，化求解体推出果即可．（2）解法一：作 AM ⊥EH，垂足 M ，明 HG⊥AM ，推出 AM ⊥平面 EFGH．通算求出 AM=4 ．AF ，直 AF 与平面α所成角θ，求解即可．解法二：以 DA 、DC、 DD1所在直分 x 、 y 、 z 建立空直角坐系，求出平面α一个法向量，利用直 AF 与平面α所成角θ，通空向量的数量求解即可．【解答】（本分，第 1 小分，第 2 小分 8 分）解：（ 1）由意，平面α把方体分成两个高 5 的直四棱柱，，⋯，⋯因此，．⋯（ 2）解法一：作 AM ⊥EH，垂足 M ，由意， HG⊥平面 ABB 1A 1，故 HG⊥AM ，因此AM ⊥平面EFGH．⋯因，，因此S△AEH =10，）因 EH=5，因此 AM=4 ．⋯又，⋯直 AF 与平面α所成角θ，因此，直 AF 与平面α所成角的正弦．．⋯⋯解法二：以DA 、DC、 DD1所在直分x 、 y、 z 建立空直角坐系，A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），⋯故，，⋯α，即平面一个法向量因此可取．⋯直 AF 与平面α所成角θ，．⋯因此，直 AF 与平面α所成角的正弦．⋯19．如，已知 C：（ a＞ b＞ 0）点，两个焦点 F1（1，0）和 F2（1，0）． O 的方程 x2 y22．+=a（1）求 C 的准方程；（2） F1且斜率 k（k＞0）的直 l 与 C 交于 A 、B 两点，与 O 交于 P、Q 两点（点 A 、P 在 x 上方），当 | AF2| ， | BF2| ，| AB | 成等差数列，求弦 PQ 的．【考点】 KH ：直与曲的合；K3：的准方程； KL ：直与的地址关系．【分析】（1）求出 c=1， C 的方程，将点代入，解得 a2=4，尔后求解 C 的方程．（2）由定， | AF1|+| AF2| =4，| BF1|+| BF2 | =4，通 | AF 2| ，| BF2| ，| AB |成等差数列，推出．B（x0，y0），通解得 B，尔后求解直方程，推出弦 PQ 的即可．【解答】（本分，第 1 小分，第 2 小分 8 分）解：（ 1）由意，c=1，⋯C 的方程，将点代入，解得 a2=4（舍去），⋯因此， C 的方程．⋯（2）由定，|AF1|+| AF2|=4，|BF1|+| BF2|=4，两式相加，得 | AB|+| AF2|+| BF2| =8，因 | AF2| ，| BF2| ，| AB| 成等差数列，因此 | AB|+| AF2| =2| BF2| ，于是 3| BF2| =8，即．⋯B（x0， y0），由解得，⋯（或，，解得，，因此）．因此，，直 l 的方程，即，⋯O 的方程 x2+y2，心O 到直l的距离，⋯=4此，弦 PQ 的．⋯20．若是函数 y=f（ x）的定域 R，且存在常数 a，使得于定域内任意x，都有 f （x+a）=f（ x）建立，称此函数 f（ x）拥有“P（ a）性”．（ 1）判断函数 y=cosx 可否拥有“P（a）性”，若拥有“P（a）性”，求出所有a 的的会集；若不拥有“P（a）性”，明原由；（2）已知函数 y=f （x）拥有“P（0）性”，且当 x≤0 ， f （x ）=（x +m）2，求函数 y=f（ x）在区 [ 0，1] 上的域；（3）已知函数 y=g（x ）既拥有“P（0）性”，又拥有“P（ 2）性”，且当 1≤x≤ 1 ，g（x ）=| x| ，若函数 y=g（x）的象与直 y=px 有 2017 个公共点，求数 p 的．【考点】 57：函数与方程的合运用．【分析】（1）依照意可知 cos（x+a） =cos（ x） =cosx，故而 a=2kπ， k∈ Z；（ 2）由新定可推出 f （x）偶函数，进而求出 f（ x）在 [ 0， 1] 上的分析式， m 与[ 0， 1] 的关系判断 f （x）的性得出 f（x）的最；（ 3）依照新定可知 g（x）周期 2 的偶函数，作出 g（ x）的函数象，依照函数象得出 p 的．【解答】解：（1）假 y=cosx 拥有“P（a）性”， cos（ x+a）=cos（ x）=cosx恒建立，∵cos（ x+2kπ）=cosx，∴函数 y=cosx 拥有“P（a）性”，且所有 a 的的会集 { a| a=2kπ，k∈Z} ．（ 2）由于函数 y=f （x）拥有“P（0）性质”，因此 f（ x） =f（﹣ x）恒建立，∴ y=f（ x）是偶函数．设 0≤x≤1，则﹣ x≤0，∴ f（x）=f （﹣ x）=（﹣ x+m）2=（ x﹣ m）2．①当m≤ 0 时，函数 y=f （x）在 [ 0，1] 上递加，值域为 [ m2，（ 1﹣ m）2] ．②当时，函数y=f（ x）在 [ 0， m] 上递减，在[ m，1] 上递加，y min=f（ m）=0，，值域为 [ 0，（1﹣m）2]．③当时， y min =f（m） =0，，值域为[ 0，m2 ] ．④ m＞1 时，函数 y=f（ x）在 [ 0， 1] 上递减，值域为 [ （1﹣m）2，m2] ．（3）∵ y=g（x ）既拥有“P（ 0）性质”，即 g（x ）=g（﹣ x），∴函数 y=g （ x）偶函数，又 y=g（x）既拥有“P（ 2）性质”，即 g（x+2）=g（﹣ x）=g（x），∴函数 y=g（x）是以 2 为周期的函数．作出函数 y=g（x）的图象以下列图：由图象可知，当 p=0 时，函数 y=g（x）与直线 y=px 交于点（ 2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．当 p＞0 时，在区间 [ 0，2016] 上，函数 y=g（x）有 1008 个周期，要使函数 y=g （ x）的图象与直线 y=px 有 2017 个交点，则直线在每个周期内都有 2 个交点，且第2017 个交点恰好为，因此．同理，当 p＜0 时，．综上，．21．定数列 { a n } ，若足 a1=a（a＞ 0 且 a≠1），于任意的n，m∈N*，都有a n+m=a n?a m，称数列 { a n} 指数数列．（ 1）已知数列 { a n} ，{ b n} 的通公式分，，判断{ a n}，{ b n} 可否是指数数列（需明原由）；（ 2）若数列 { a n} 足： a1=2， a2=4，a n+2=3a n+12a n，明： { a n} 是指数数列；（ 3）若数列 { a n} 是指数数列，（t∈N*），明：数列{ a n}中任意三都不能够构成等差数列．【考点】 8B：数列的用．【分析】（1）利用指数数列的定，判断即可；（ 2）求出 { a n } 的通公式，即可明：{ a n} 是指数数列；（ 3）利用反法行明即可．【解答】（ 1）解：于数列{ a n} ，因a3 =a1+2≠a1?a2，因此 { a n} 不是指数数列．⋯于数列 { b n} ，任意n，m∈ N*，因，因此 { b n} 是指数数列．⋯（ 2）明：由意， a n+2 a n+1（ n+1 a n），=2a因此数列 { a n+1 a n} 是首 a2 a1，公比2的等比数列．⋯=2所以．所以，=，即 { a n} 的通公式（n∈N*）．⋯因此，故 {a n是指数数列．⋯}（ 3）明：因数列{a n是指数数列，故于任意的n，m∈N*，有 a n+m n m，}=a ?a令 m=1，，因此 { a n} 是首，公比的等比数列，因此，．⋯假数列 { a n} 中存在三 a u，a v，a w构成等差数列，不如u＜v＜w，由2a v=a u+a w，得，因此 2（t+4）w﹣v（ t+3）v﹣u=（ t+4）w﹣u+（t +3）w﹣u，⋯当 t 偶数， 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u是偶数，而（ t+4）w﹣u是偶数，（t+3）w﹣u是奇数，故 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u不能够建立；⋯当 t 奇数， 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u是偶数，而（ t+4）w﹣u是奇数，（t+3）w﹣u是偶数，故 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t +3）w﹣u也不能够建立．⋯因此，任意 t∈N*，2（t+4）w﹣v（ t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u不能够建立，即数列 { a n } 的任意三都不行构成等差数列．⋯2017年 5月 22日。
2019-2020学年上海市嘉定区高三年级二模考试数学试卷
2019-2020学年上海市嘉定区高三年级二模考试数学试卷一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 已知集合{2,4,6,8}A =，{1,2,3}B =，则A B =I 【答案】{2}【解析】本题考察了集合的交集问题 2. 线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】125318-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】本题考察了增广矩阵的概念3. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于 【答案】4π【解析】圆柱的侧面积24S rl ππ==4. 在5(2)x -的二项式展开式中，3x 的系数为【答案】40【解析】含3x 的项为23235(2)40C x x -=5. 若实数,x y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为【答案】3【解析】由线性规划画图可得：(2,1)时z 取得最大值为3 6. 已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于 【答案】43π 【解析】由主视图的面积是π，可得1r =，则体积34433V r ππ== 7、设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，11a =,236a a +=,则6S = 【答案】63【解析】()()6261126026312q q q q S -+=>⇒=⇒==-8、 已知函数()()2log a f x x =+0a >（，且1)a ≠的反函数为()1y f x -=，若()13f -2=，则a = 【答案】2【解析】()()()()11323232log22af ff f a --=⇒=⇒=+⇒=9、设z C ∈,290z +=，则4z -= 【答案】5【解析】345z i z =±⇒-=10、从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是 【答案】47【解析】33438247C C =g 11、设p 是双曲线2218y x -=上的动点，直线{3cos sin x t y t θθ=+=t （为参数)与圆()2231x y -+=相交与A ,B 两点，则PA PB u u u r u u u r g 的最小值是【答案】3【解析】如图所示，运用极化恒等式有：PA PB u u u r u u u rg 222222=PC PC 1213CA -=-≥-=12、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若222sin a b c A ++=，则A =____ 【答案】3π【解析】31)3sin(2)3sin(2sin 32cos 2222222222πππ=⇒=+∴≥+=+∴=++-+=++A A bcc b A bc Abc c b A bc c b c b a ）（二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知x R ∈，则1x ‘＞’是21x -‘＜’的（ ） 【A 】充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件 【C 】 充要条件 【D 】 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】解不等式由子集与推出关系可得14.下列函数中，既是()0+∞，上的增函数，又是偶函数的是（ ） 【A 】1y x=【B 】2x y = 【C 】1y x =- 【D 】lg y x = 【答案】D【解析】 A 在()0+∞，内是增函数也是奇函数，B 非奇非偶，C 单调递减，D 符合题意 15、如图，若正方体1111D C B A ABCD -的侧面11B BCC 内动点P 到棱11B A 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为( )【A 】椭圆 【B 】双曲线 【C 】抛物线 【D 】圆 【答案】C【解析】由图易知，1PB 就是点P 到直线11B A 的距离，现在问题转化成在平面内到定点的距离与到定直线距离距离相等点的轨迹，选C16、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是2和n a 的等差中项，若对任意的*∈N n ,都有[]t s S S nn ,12∈-，则s t -的最小值是 （ ）【A 】32 【B 】49 【C 】21 【D 】61 【答案】B 【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎥⎦⎤ ⎝⎛∈→-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=---23,342,23)31(212364646411111n n n n n n n n S n S n S a S a S a S 为偶数，为奇数， 4921234134313)(=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯=-⨯=⇒-=s t t s S S S f n n n 单调递增三．解答题（本题共5题，满分76分）17. （本题满分14分，第一题满分6分，第二题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =，PD ABCD ⊥. （1）求四棱锥P ABCD -的体积.（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)【答案】（1）12 （2）5arctan3【解析】因为，所以DC PD ⊥． 又因为 5,3==PC DC ，所以422=-=DC PC PD ，……………………2分所以四棱锥ABCD P -的体积为124333131=⨯⨯⨯=⋅=PD S V ABCD ．……………………………………………………6分（2）解法1：由题意得 AD ∥BC ，所以直线BC 与所成的角就是异面直线与所成的角．………2分PD ABCD ⊥平面BP AD BP……………5分 在中，35tan ==∠BC PC PBC ，35arctan =∠PBC ．所以异面直线与所成角的大小为35arctan ．…………………………8分 解法2：以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为)0,0,0(D ，)0,0,3(A ，)0,3,3(B ，)0,3,0(C ，)4,0,0(P ． …………………2分所以)0,0,3(-=AD ，）（4,3,3--=BP ．……………4分 设异面直线AD 与BP 所成的角为θ，向量AD 与BP 所成的 角为ϕ，因为3434334340)3(0)3(3cos =⨯⨯+-⨯+-⨯-=⋅⋅=BPAC BP AC ϕ，……………6分又 34343cos cos ==ϕθ，所以 34343arccos =θ． 即所求异面直线AC 与D C 1所成角的大小为 34343arccos ．………………………8分18．（本大题满分14分，第（1）问6分，第（2）问8分） 设常数a R ∈，函数2()3sin 2cos f x x a x =+（1） 若(x)f 为奇函数，求a 的值；（2） 若()36f π=，求方程()2f x =在区间[]0,π上的解。
上海市嘉定(长宁)区近年届高三数学第二次质量调研(二模)试题(含解析)(最新整理)
故答案为:﹣2．
点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．
7。设函数 (其中 为常数)的反函数为 ,若函数 的图像经过点 ，则方程 的解为__________．
【答案】
【的坐标求得a，则方程f﹣1(x)＝2的解可求．
【答案】
【解析】
【分析】
f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f(0)＝0,得a＝1，先得到[﹣1，3］一个周期内f(x）的图象,求出该周期内使f（x)≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出 的范围，再分t的范围讨论即可．
【详解】解:由题意，f（x)为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内,故f（0)＝0，得a＝1,
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 年第二季度与 年第二季度相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 二季度与 年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )
A。 年第三季度环比有所提高B. 年第一季度同比有所提高
C. 年第三季度同比有所提高D。 年第一季度环比有所提高
基本事件总数n 10．
选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m 7，
则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p ．
故答案为: ．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9。已知直线 ( 为参数）与抛物线 相交于 两点，若线段 中点的坐标为 ,线段 的长为__________．
15。已知圆 的圆心为 ，过点 且与 轴不重合的直线 交圆 两点，点 在点 与点 之间.过点 作直线 的平行线交直线 于点 ,则点 的轨迹为（ ）
2019届长宁嘉定区高三二模数学Word版
上海市长宁嘉定区2019届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{|26}B x x =<<，则AB =________2. 已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则||z =________3. 已知线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，解为11x y =⎧⎨=⎩，则m n +=________ 4. 在7(1)x +的二项展开式中，5x 项的系数为________ 5. 已知圆锥的主视图为图所示，则该圆锥的侧面积是________6. 已知实数x 、y 满足011x y y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为________7.设函数()f x =a 为常数）的反函数为1()f x -，若函数1()f x -的图像经过点(0,1)，则方程1()2f x -=解为________8. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人到虹桥枢纽参加为期一天的春运志愿者服务 活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为________（结果用数值表示） 9. 已知直线1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为(,2)m ，则线段AB 的长为________10. 在△ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+，若△ABC3ACB π∠=，则||CP 的最小值为________11. 已知有穷数列{}n a 共有m 项，记数列{}n a 所有项的和为(1)S ，第二及以后所有项的和 为(2)S ，⋅⋅⋅ ，第n （1n m ≤≤）及以后所有项的和为(2)S ，若(2)S 是首项为1公差为2 的等差数列前n 项的和，则当1n m ≤<时，n a =________12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，2()log ()f x x a =+，若对于任意[0,1]x ∈，都有221()1log 32f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为________二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“11x>”是“1x <”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 产能利用率是指实际产出与生产能力的比率,工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折 线图在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.根据上述信息，下列结论中正确的是（ ）A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高 15. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，过点(2,0)M -且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间，过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 16. 对于△ABC ，若存在△111A B C ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称△ABC 为“V 类三角形”，“V 类三角形”一定满足（ ）A. 有一个内角为30°B. 有一个内角为45°C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1A B 与底面ABCD 所成角为4π. （1）求三棱锥1A BCD -的体积； （2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.18. 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 在[0,]2π上的递减区间.19. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用 为6万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x （毫米）满足关系：40()35H x x =+（010x ≤≤），设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）解释(0)H 的实际意义，并求()f x 的表达式；（2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用()f x 最小并计算与不建隔热层比较，业主节省多少钱20. 已知椭圆22:143x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F , 过2F 的直线l 与椭圆Γ交于 P 、Q 两点.（1）求△1F PQ 的周长；（2）设点A 为椭圆Γ的上顶点，点P 在第一象限，点M 在线段2AF 上，若1123F M F P =，求点P 的横坐标；（3）设直线l 不平行于坐标轴，点R 为点P 关于x 轴的对称点，直线QR 与x 轴交于点N . 求△2QF N 面积的最大值.21. 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=. （1）若23nn a n =-，写出1b 、2b 、3b 、4b 的值；（2）设2nn a n λ=-，若33b =-，求λ的值，及4n ≥时数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：“数列{}n a 是等差数列”的充要条件是“数列{}n b 是等差数列”.参考答案一. 填空题1. {3,4}2. 53. 34. 215. 3π6. 27. 1x =8.7109. 8 10. 4311. 21n -- 12. [0,3]二. 选择题13. A 14. C 15. C 16. B三. 解答题17．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分） 解：（1）因为1111ABCD A B C D -是正四棱柱，所以底面ABCD 为正方形，1A A ⊥平面ABCD ， ………………1分 所以1A BA ∠就是1A B 与底面ABCD 所成角，即14A BA π∠=. ………………3分进而得11A A =， ………………4分111136A BCD BCD V A A S -∆=⨯⨯= ………………8分（2）因为11//A D B C ，所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成角， ……………………2分由11A D DB A B ===13BA D π∠=所以异面直线1A B 与1B C 所成角为3π……………………………4分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为02πα<<，且sin 2α=，所以cos α==， ………………3分所以()1122222f α=+-= ………………6分 （2）()21sin cos cos 2f x x x x =+-11sin 2cos 222x x =+ ………………1分)24x π=+ ………………3分 所以()f x 的最小正周期为π ………………5分 当02x π≤≤时，52444x πππ≤+≤， 再由52244x πππ≤+≤得，82x ππ≤≤， 函数()f x 在[]0,π上的递减区间为[,]82ππ………………7分19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）()08H =表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元．……2分 设隔热层建造厚度为x 毫米，则()40800()20660103535f x x x x x x =⨯+=+≤≤++ ………………………7分 （2）()800(610)10107035f x x x =++-≥=+ …………………3分 当80061035x x =++，即5x =时取等号所以当隔热层厚度为5cm 时总费用最小70万元. …………………5分 如果不建隔热层，20年业主将付能源费208160⨯=万元，所以业主节省90万元. …………………7分 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）椭圆22:143x y Γ+=的长轴长为4， 由椭圆定义知，1F PQ ∆的周长为8； ………………4分 （2）由椭圆方程得(A ，()11,0F -，()20,1F ， ………………2分 设()11,P x y ，()22,M x y ， 由1123F M F P =，得()212113x x +=+，2123y y =， ① ………………3分 点M 线段2AF 上，所以22,x y满足方程为)221y x =- ………………4分将①式代入，得)112y x =-， ………………5分代入椭圆方程，得21156120x x -+=，因为10x >，所以165x =. ………………6分 （3）设()11,P x y ，()33,Q x y ，(),0N n ，直线l 的方程为()1y k x =-. 则点R 的坐标为()11,x y -，直线QR 的方程为()313331y y y x x y x x +=-+-，()()33113133113331311322y x x x x x x x y x y n x y y y y x x --++=-==+++- …………3分 将直线方程代入椭圆方程得：()22223484120k x k x k +-+-=，则2132834k x x k +=+，213241234k x x k-=+，所以2222222(412)8343448234k k k k n kk--++==-+ ， ………………5分 ()131412QF N S y ∆=⨯-⨯≤所以2QF N ∆面积的最大值为2. ………………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）因为23nn a n =-，所以11a =-，22a =-，31a =-，44a =.所以11b =-，232b =-，332b =-，41b =. ………………4分 （2）12a λ=-，242a λ=-，383a λ=-. 当2λ≤时，123a a a ≤<，13332a a b +==-，无解； 当23λ<≤时，213a a a <≤，23332a ab +==-，无解； 当34λ<≤时，231a a a ≤<，12332a ab +==-，解得4λ=； 当4λ>时，321a a a <<，13332a ab +==-，无解. ………………2分 此时24nn a n =-，12a =-，24a =-，34a =-，40a =，当4n ≥时，1240nn n a a +-=->，所以当4n ≥时{}n a 递增，132222n nn a a b n -+==--， ………………4分 12b =-，23b =-，33b -，42b =-，所以当4n ≥时，2232n n S n n =--+ ………………6分（3）必要性：数列{}n a 是等差数列，设其公差为d .当0d >时{}n a 是递增数列；当0d =时{}n a 是常数列；当0d >时，{}n a 是递减数列； 都有12n n a a b +=，1111222n n n n a a a a db b -+++-=-=，所以数列{}n b 是等差数列. ………………2分 充分性：数列{}n b 是等差数列，设其公差为*d . 则*11122n n n nn n M M m m b b d +++---=+=， 由题意知，1n n M M +≥，1n n m m +≤. .…………3分 当*0d >时，1n n M M +>对任意*n N ∈都成立， 即11n n n n M a M a ++=>≥，所以{}n a 是递增数列，n n M a =，1n m a =，*111222n n n n n nM M m m a a d +++---=+=所以{}n a 是公差为*2d 的等差数列 .………5分 当*0d <时，1n n m m +<，进而11n n n n m a m a ++=<≤， 所以{}n a 是递减数列，1n M a =，n n m a =，*111222n n n n n nM M m m a a d +++---=+=，所以{}n a 是公差为*2d 的等差数列 ……………6分 当*0d =时，11022n n n nM M m m ++--+=， 因为1n n M M +-与1n n m m +-中至少有一个为0，所以二者都为0. 进而得{}n a 为常数列.综上，充分性成立. ……………8分。
2019届上海市嘉定(长宁)区高三第二次质量调研(二模)数学试题(解析版)
2019届上海市嘉定（长宁）区高三第二次质量调研（二模）数学试题一、单选题1．已知,则“”是“”的．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的年至年第季度我国工业产能利用率的折线图（％）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如二季度与年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )A．年第三季度环比有所提高B．年第一季度同比有所提高C．年第三季度同比有所提高D．年第一季度环比有所提高【答案】C【解析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．3．已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆两点，点在点与点之间。
过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】C【解析】根据题意可得PM﹣PC＝BC＝3（定值），且3＜MC．即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．【详解】解：可得圆（x﹣2）2+y2＝9的圆心为C（2，0），半径为R＝3．如图，∵CB＝CA＝R＝3，∴∠CBA＝∠CAB，∵AC∥MP，∴，∴∠CBA＝∠CAB＝∠PMA，∴PM＝PB＝PC+BC⇒PM﹣PC＝BC＝3（定值），且3＜MC．∴点P的轨迹是双曲线的一部分，故选：C．【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了定义法求轨迹方程，考查了数形结合思想，属于中档题.4．对于，若存在，满足，则称为“类三角形”.“类三角形”一定满足（）A．有一个内角为B．有一个内角为C．有一个内角为D．有一个内角为【答案】B【解析】由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【详解】解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，A，所以：+＝π﹣（A+B）＝C，于是：cos C＝sin＝sin（+）＝sin C，即：tan C＝1，解得：C＝45°，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．二、填空题5．已知集合，则__________．【答案】【解析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．6．已知复数满足（是虚数单位），则__________．【答案】【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由i＝3+4i，得，∴|z|＝||．故答案为：5．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．7．若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．【答案】【解析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为，可直接写出线性方程组为即把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．8．在的二项展开式中，常数项的值为______________．【答案】【解析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.【答案】【解析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．10．已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．设函数(其中为常数)的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为__________．【答案】【解析】求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a＝1．∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．故答案为：x＝1．【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．12．学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为____________(结果用数值表示)【答案】【解析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．已知直线（为参数）与抛物线相交于两点，若线段中点的坐标为，线段的长为__________．【答案】【解析】化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，设A（，），B（，），线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，线段AB的长：•8．故答案为：8．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．14．在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为__________．【答案】【解析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA•CB＝8．∴∴．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．15．已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为第项及以后所有项和为，若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，__________．【答案】【解析】设数列{}的前n项和为T n，则S（n）＝T m﹣T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝n n2，则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，故填：﹣2n﹣1．【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．16．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于都有，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．设g（x），若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）∈[，]．故g（x）∈[，]．①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．三、解答题17．已知正四棱柱的底面边长为，与底面所成的角为(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小.【答案】（1）（2）【解析】（1）由AA1⊥平面ABCD，得∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角，从而∠A1BA，进而AA1＝AB＝1，由此能求出三棱锥A1﹣BCD的体积；（2）由A1D∥B1C，得∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角），由此能求出异面直线A1B与B1C所成的角的大小．【详解】解：（1）因为是正四棱柱，所以底面为正方形，平面，所以就是与底面所成角，即，进而得，，（2）因为,所以就是异面直线与所成角，由知，所以异面直线与所成角为.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．已知函数，(1)若，且，求的值；(2)求函数最小正周期及函数在上单调递减区间.【答案】（1）（2）周期为，【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值；（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．【详解】解：（1）因为，且,所以，所以（2），，所以的最小正周期为当时，，再由得，，函数在上的递减区间为【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．19．为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚万元，且每年的能源消耗费用(万元)与隔热层厚度(毫米)满足关系，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.(1)请解释的实际意义，并求的表达式;(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用最少?并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱?【答案】（1）（2）90【解析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．【详解】解：（1）表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元，设隔热层建造厚度为毫米，则，（2）当，即时取等号所以当隔热层厚度为时总费用最小万元，如果不建隔热层，年业主将付能源费万元，所以业主节省万元.【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于（1）求的周长（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上，若，求点的横坐标（3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴对称点，直线与轴交于点求面积的最大值.【答案】（1）8（2）（3）【解析】（1）由椭圆定义可得结果；（2）设，利用及点在椭圆上，即可解得点的横坐标；（3）设，直线的方程为，联立方程利用韦达定理可得结果.【详解】解:（1）椭圆的长轴长为由椭圆定义知，的周长为；（2）由椭圆方程得，设，由，得，①点线段上，所以满足方程为②将①式代入②，得，代入椭圆方程，得，因为，所以（3）设，直线的方程为，则点的坐标为，直线的方程为，，将直线方程代入椭圆方程得：，则，所以，，所以面积的最大值为【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了转化思想与计算能力，是中档题．21．记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令求(1)若，写出的值;(2)设，若，求的值及时数列的前项和；(3)求证:“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列 .【答案】（1），（2）见解析（3）见解析【解析】（1）分别计算出，，，结合题意即可得b1，b2，b3，b4的值；（2）由新定义，可得λ＞0，考虑三种情况求得λ，检验可得所求λ；进而得到b n，由数列的分组求和，可得所求和；（3）充分性易证，无论d为何值，始终有b n，即可证得结果，必要性须分类证明．【详解】解：（1）因为，所以，所以，（2），当时，，无解；当时，，无解；当时，,解得；当时，无解，此时，当时，，所以当时递增，，所以当时，（3）必要性：数列是等差数列，设其公差为.当时是递增数列；当时是常数列；当时，是递减数列；都有，所以数列是等差数列.充分性：数列是等差数列，设其公差为则，由题意知，，当时，对任意都成立，即，所以是递增数列，，所以是公差为的等差数列，当时，，进而所以是递减数列，，，所以是公差为的等差数列当时，，因为与中至少有一个为，所以二者都为，进而得为常数列，综上，充分性成立.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难题．。