条件概率独立事件习题
条件概率的独立性1
条件概率的独⽴性1第三章条件概率的独⽴性习题3 ⼀．填空题1.设A.B 为两个互相独⽴事件，若P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，则(P B A ?)=2.在⼀次实验中A 发⽣的概率为p ，现在进⾏n 次独⽴重复试验，那么事件A ⾄少发⽣1次的概率为3.设A.B.C 构成⼀完备事件组，且P(A)=0.4，P(B )=0.7，则P （C ）= ,p(AB)=4.若P(A)=21,P(B)=31，P(A B )=32,则P(B A )= 5.某⼈向同⼀⽬标重复独⽴射击，每次命中⽬标的概率为P(02次命中⽬标的概率为⼆．选择题1. 同⼀⽬标进⾏5次射击，每次命中的概率为0.8，则恰好命中两次的概率为（） (A) 0.00512 (B) 0.64 (C) 0.256 (D) 0.05122. 5⼈以摸彩的⽅式决定谁从五张彩票中摸的⼀张电影票，设Ai 表⽰“第i 次个⼈摸到电影票”(i=1,2,3,4,5),则下列结果不正确的是（） (A) P(1A 2A )=41 (B) P(2A )= 54 (C) P(2A )=51 (D) 53)(21=A A P 3 袋中有5个球（3个新球，2个旧球），现每次取⼀个，⽆放回的抽取两次，则第⼆次取到新球的概率为（ )53)(A 43)(B 42)(c 103)(D 4,对于任意两个事件A 与B ，下⾯结论正确的是（） (A)若P(A)=0，则A 是不可能事件(B)若P(A)=0，P(B)≥0，则事件B 包含事件A(C)若P(A)=0，则P(B)=1，则事件A 与事件B 对⽴ (D)若P(A)=0，则事件A 与B 独⽴三，计算题1.设A 与B 是两个随机事件，且P(A)=41,31)(=A B P ,21)(=B A P ,试求P(B A ?). 2.设A 与B 是两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.6，，4.0)(=A B P 试求P(B A ?).3.如果每次试验成功的概率都是P ，并且已知在三次独⽴重复试验中⾄少成功⼀次的概率为2719，试求P 的值. 4.设随机事件A 与B 互相独⽴，P(A)=P(B)=a-1，P()B A ?=97,求a 的值. 四．应⽤题1.三⼈独⽴的同时解答⼀道题，他们每⼈能够解出的概率为21，4131，，求此题能破解出的概率.2.设在全部产品中有2％是废品，⽽合格产品中有85％是⼀级品，求随机抽出⼀个产品是⼀级品的概率.3.汽车保险公司得到投保⼈资料如表3-1所⽰：5.设10个考签中4个难签，今有3⼈按甲先，⼄次，丙最后的次序参加抽签(不放回），求：（1）甲没有抽到难签⽽⼄抽到难签的概率；（2）甲，⼄，丙都抽到难签的概率.6.设有4个独⽴⼯作的原件1,2,3,4 他们的可靠性都是p,将他们按图3.2的⽅式联接，求整个系统的可靠性.7.甲，⼄两⼈独⽴的对同⼀⽬标射击⼀次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知⽬标被击中，求他是甲击中的概率。
条件概率、超几何分布、独立事件概率总结卷
北师大版2---3系列概率计算问题总结卷超几何分布】1、10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ D）超几何分布问题转化： 10件产品3件次品，抽出3件恰有1件次品的概率1、某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ A ）5件产品2件次品，抽出3件至少有1件次品的概率条件概率】1、两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格，令A事件为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，B事件为“从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P(A|B)＝__________.解析：由题意知P(B)＝，P(A∩B)＝，故P(A|B)＝＝＝. 答案：市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285解析：选A.记A为事件“甲厂产品”，B为事件“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95.∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.独立事件概率】．(2009年高考上海卷)若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)的值等于( )A．0 B. C. D.解析：选B.EF表示E与F同时发生∴P(EF)＝P(E)·P(F)＝.故选B.2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A. B. C. D.解析：选A.由独立事件发生的概率得3．(2010年厦门市高中调研)如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )A. B. C. D.解析：选A.理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，间彼此独立，且P(A)＝P()＝P(C)＝.所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝.5.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为 ( )解析：选B.由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为()3×.7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．解析：记事件A为“甲闹钟准时响”，事件B为“乙闹钟准时响”．P＝1－P()＝1－(1－0.8)×(1－0.9)＝0.98.答案：0.98某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用的分布列．分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以的取值只有1，2，3，4，5．时，即；时，要求第一次没射中，第二次射中，故；时，要求前两次没有射中，第三次射中，；；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以，所以耗用子弹数的分布列为：01230.90.090.0090.0001说明：搞清的含义，防止这步出错．时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，．当然，还有一种算法：即．好题6．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．解：记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai、Bi(i＝1,2,3)相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件12A3，且三次试跳相互独立，∴P(12A3)＝P()P()P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.∴甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.法一：∵C＝A1∪B1∪A1B1，且A1、B1、A1B1彼此互斥，∴P(C)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.法二：P(C)＝1－P()P()＝1－0.3×0.4＝0.88.∴甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.次独立重复实验】1．(2008年高考福建卷)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A. B. C. D.解析：选C.由题意，3粒种子恰有2粒发芽，相当于3次独立试验有2次发生， 故P(X＝2)＝C32·()2·(1－)＝.2．(原创题)设X～B(2，p)，Y～B(4，p)，已知P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.解析：由1－C20p0(1－p)2＝得p＝，由1－C40()0()4＝. 答案：1．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ C ）1、甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（A）1、一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 【答案】0.784（设每次命中的环数都是自然数）1、一名篮球运动员投篮命中率为，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 【答案】 0.0461、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为 【答案】6．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}∶an＝，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )2、某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率（1）（2）9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率⑴； ⑵；⑶； ⑷6．（2010·北京高考理科·Ｔ１7）某同学参加3门课程的考试。
条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案
4 B.B.223 C.C.335 D.123．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为() A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576 4．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.125．(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n ＝îïíïì1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.14D.126．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12B.13C.14D.257．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于条件概率与独立事件、二项分布1．(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员，已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 2．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.A.33________．9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率概率为________．10．(2012·厦门质检)从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，继续做下一次摸球继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．(1)求一次摸球后结束试验的概率P 1和两次摸球后结束试验的概率P 2； (2)记结束试验时的摸球次数为X ，求X 的分布列．的分布列．11．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，以提高下岗人员的再就业能力，以提高下岗人员的再就业能力，每名下每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．的分布列．12．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；个白球的概率；②获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列．的分布列．2；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 3．选B 可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864. 4．选B P (A )＝C 23＋C 2C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 2C 25＝1)＝110410＝14. 5．选C 依题意得知，“S 4＝2”表示在连续四次抛掷中恰有三次出现正面，因此“S 4＝2”的概率为C 34èæøö123·12＝14. 6．选C 设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，由于P (B |A )＝P (AB )P (A )，而P (A )＝2A 44A 55＝25，AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故P (AB )＝2A 33A 5＝110，于是P (B |A )＝11025＝14. 7．解析：设该队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，p 2＝925.又0＜p ＜1.所以p ＝35. 答案：358．解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128. 答案：0.128 9．解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B .出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 故P (AB )＝0.9×0.8＝0.72. 答案：0.72 10．解：(1)一次摸球结束试验的概率P 1＝36＝12；两次摸球结束试验的概率 P 2＝36×46＝13. 1．选B P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.819 2. 2．选A 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率概率P 1＝110. 由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A1，＝1，＝3×2×5＝5，＝3×2×1×6＝1X 1 2 3 4 P1213536136X 0 1 2 3 P0.0010.0270.2430.729 ＝C 3C 2·C 2C 2＝15. ＝C 3C 2·C 2C 2＋C 3C 2C 2·C 2C 2＝12，且＝12＋15＝710. øö，710øö－7102＝9100；C 12710×øö－710＝2150；èæøö710＝49100. X 0 1 2 P9100215049100(A B )(A )·(B )。
条件概率与事件独立性(教师版)
条件概率与事件的相互独立性一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( C )A.56B.910C.215D.1152．假日期间，甲去黄山的概率是14，乙去黄山的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是( C )A.320B.15C.25D.9203．甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为( A )A.12B.13C.14D.154．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( B )A.18B.14C.25D.125．已知每门大炮射击一次击中目标的概率是0.3，现用n 门这样的大炮同时对某一目标射击一次，若要使目标被击中的概率超过95%，则n 的最小整数值为( B )A ．8B ．9C ．10D ．11把每门大炮射击一次看成做了一次试验，击中目标看成试验成功，则试验成功的概率为0.3，用X 表示这n 门大炮击中目标的次数．事件“目标被击中”即{X >0}，则“目标被击中”的概率为P (X >0)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－0.3)n .为使目标被击中的概率超过95%，则有1－(1－0.3)n >95%，解得n >8.4.根据实际意义，至少要用9门这样的大炮才能使目标被击中的概率超过95%，即n 的最小整数值为9.二、填空题6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于___0.128_____．[解析] 由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由概率乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；(2)第1、2个错误，第3、4个正确， 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是____②④____(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．[解析] P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝5×510×11＋2×410×11＋3×410×11＝922，故①⑤错误；②P (B |A 1)＝5×510×1112＝511，正确；③事件B 与A 1的发生有关系，故错误； ④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是互斥事件． 三、解答题8．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？9．李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互相独立)：(1)(2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； (3)记x －为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)[解析] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝A B －∪A －B ，A ，B 独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25，P (C )＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝35×35＋25×25 ＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.10．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙在一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．[解析] 记A 1表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B 1表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36， P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48， P (B 2)＝0.42＝0.16， P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.307 2.。
(完整版)条件概率独立事件习题
条件概率与独立事件习题课1.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（）A ．B ．C ．D ．2．从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A ．B ．C ．D ．3．10件产品中有5件次品，从中不放回的抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率（）A ．B ．C ．D ．4．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（）A ．B ．C ．D ．5．若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是．二．解答题6．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．（删）7．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列8．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布．9．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．10．甲、乙两人独立破译一个密码，他们能独立译出密码的概率分别为和．（I）求甲、乙两人均不能译出密码的概率；（II）假设有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，求这4人中至少有3人同时译出密码的概率．条件概率与独立事件答案1.解：设x为掷白骰子得的点数，y为掷黑骰子得的点数，则所有可能的事件与（x，y）建立一一对应的关系，由题意作图，如图．其中事件A为“黑色骰子的点数为3或6”包括12件，P（A）==事件AB包括5件，P（AB）=，由条件概率公式P（B|A）==，2.解：P（A）==，P（AB）==．由条件概率公式得P（B|A）==．3. 解：根据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，5件正品；则第二次抽到正品的概率为P=4.解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P（A）=，P （）=1﹣=，P（B）=P，P （）=1﹣P ，依题意得：×（1﹣p）+×p=，解可得，p=，故选C．5.解：设出甲，乙，丙，射击一次击中分别为事件A，B，C，∵甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中∴甲，乙，丙，射击一次击中的概率分别为：，，∵“三人各射击一次，则三人中只有一人命中”的事件为：，，∴三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率为：=6.解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，，Y的分布列为Y012P（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，重量不超过505克的概为1﹣=；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为•．7.解：（Ⅰ）根据频率=得各组的频率分别是：0.1；0.2；0.3；0.2；0.1；0.1．由组距为10，可得小矩形的高分别为0.01；0.02；0.03；0.02；0.01；0.01．由此得频率分布直方图如图：（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为：0，1，2，3．P（ξ=0）=•=；P（ξ=1）=•+•=；P（ξ=2）=•+•=；P（ξ=3）=•=．∴ξ的分布列是：ξ0123Pξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×==．8.解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X234P故X数学期望E（X）=9. 解：（Ⅰ）用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立．…（1分）===．…（4分）（Ⅱ）X的取值分别为2，3，4，5，…（5分）P（x=2）=，P（x=3）=，P（x=4）=，P（x=5）=，…（9分）所以X的分布列为X2345P…（11分）EX==．…（13分）10.解：（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，设“甲、乙两人均不能译出密码”为事件A，则P（A）=（1﹣）（1﹣）=即甲、乙两人均不能译出密码的概率是（II）有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，相当于发生四次独立重复试验，成功的概率是∴这4人中至少有3人同时译出密码的概率为=即这4人中至少有3人同时译出密码的概率为。
考点测试 事件的独立性、条件概率与全概率公式
取到白球的概率为( )
1
2
A.3
B.3
C.25
D.35
解析 设第一次取到白球记为事件 A，第二次取到白球记为事件 B，
43 则 P(B|A)＝PP（（AAB））＝6×45＝35.故选 D.
6
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答案 解析
3．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为 0.4，0.6，汽车和
B．采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为 β(1 －β)2
C．采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为 β(1－β)2＋(1 －β)3
D．当 0<α<0.5 时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大
于采用单次传输方案译码为 0 的概率
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案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输
是指每个信号重复发送 3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次
传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的
即为译码(例如，若依次收到 1，0，1，则译码为 1)( )
A．采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的 概率为(1－α)(1－β)2
A．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大
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高中数学同步练习 条件概率与独立事件
[A 组 基础巩固]1．某人一周晚上值班2次,在已知他星期日一定值班的前提下,其余晚上值班所占的概率为( ) A.13 B.14 C.15D.16解析：本题为条件概率,在星期日一定值班的前提下,只需再从其余6天中选一天值班即可,概率为16.答案：D2．甲、乙两人独立解答某道题,解不出来的概率分别是a 和b,那么甲、乙两人都解出这道题的概率是( ) A ．1－abB ．(1－a)(1－b)C ．1－(1－a)(1－b)D ．a(1－b)＋b(1－a)解析：设甲解出该题为事件A,乙解出该题为事件B,则P(A )＝a,P(B )＝b, ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－a)(1－b)． 答案：B3．打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射一个目标,则他们都中靶的概率是( ) A.1425B.1225C.34D.35解析：P ＝810×710＝56100＝1425.答案：A4．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为13、12、23,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13D.718解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A 、B 、C,则P(A)＝13,P(B)＝12,P(C)＝23.停车一次即为事件A BC ＋A B C ＋AB C ,故概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案：D5.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,x,y 构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy ＝4的概率为( ) A.116 B.18 C.316D.14解析：满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1,y ＝4；x ＝2,y ＝2；x ＝4,y ＝1. 所以,所求事件的概率P ＝P(x ＝1,y ＝4)＋P(x ＝2,y ＝2)＋P(x ＝4,y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 答案：C6．在一次三人象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下：第一局,甲对乙；第二局,第一局胜者对丙；第三局,第二局胜者对第一局败者；第四局,第三局胜者对第二局败者,则乙连胜四局的概率为________．解析：乙连胜四局,即乙先胜甲,然后胜丙,接着再胜甲,最后再胜丙,∴概率P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09. 答案：0.097．由长期统计资料可知,某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为415,刮风(用B 表示)的概率为715,既刮风又下雨的概率为110,则P(A|B)＝________,P(B|A)＝________.解析：P(A|B)＝P (AB )P (B )＝110715＝314,P(B|A)＝P (AB )P (A )＝110415＝38.答案：314 388．若A,B 为相互独立事件,则下列式子成立的是__________．(把你认为正确的序号都填上) ①P(AB)＝P(A)P(B)；②P(A B)＝P(A )P(B)；③P(A B )＝P(A)－P(A)P(B)；④P(A B )＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)． 解析：①②正确．③P(A B )＝P(A)P(B )＝P(A)[1－P(B))] ＝P(A)－P(A)P(B)．④P(A B )＝P(A )P(B )＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)． 答案：①②③④9．甲、乙同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5. (1)求甲、乙都未击中敌机的概率； (2)求敌机被击中的概率．解析：设“甲击中敌机”为事件A,“乙击中敌机”为事件B,“甲、乙都未击中敌机”为事件C,“敌机被击中”为事件D.由题意可知A,B 相互独立,则A 与B 也相互独立． (1)P(C)＝P(A B )＝P(A )·P(B ) ＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.(2)P(D)＝1－P(A B )＝1－0.2＝0.8.10．甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%.问： (1)乙地为雨天时,甲地为雨天的概率为多少？ (2)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率为多少？ 解析：设A ＝“甲地为雨天”,B ＝“乙地为雨天”, 则根据题意有P(A)＝0.20,P(B)＝0.18,P(AB)＝0.12, 所以(1)P(A|B)＝P (AB )P (B )＝0.120.18≈0.67,(2)P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60.[B 组 能力提升]1．据统计,大熊猫的平均寿命是12～20岁,一只大熊猫从出生起,活到10岁的概率为0.8,活到20岁的概率是0.4,北京动物园的大熊猫“妞妞”今年已经10岁了,它能活到20岁的概率为( ) A ．0.32 B ．0.5 C ．0.4D ．0.8解析：设A ＝“能活到10岁”,B ＝“能活到20岁”．即P(A)＝0.8,P(B)＝0.4,所求概率为P(B|A),由于B ⊆A,故AB ＝B,∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5.答案：B2.在如图所示的电路图中,开关a,b,c 闭合与断开的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ) A.18 B.38 C.14D.78解析：设开关a,b,c 闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E ＝ABC ∪AB C ∪A B C,且A,B,C 相互独立,ABC,AB C ,A B C 互斥, 所以P(E)＝P(ABC)∪P(AB C )∪P(A B C) ＝P(ABC)＋P(AB C )＋P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C )＋P(A)P(B )P(C) ＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.答案：B3．甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是25,12,35,现3人各投篮1次,则3人中恰有2人投进的概率为________．解析：甲、乙、丙投进分别记作事件A 、B 、C,它们相互独立,则3人中恰有2人投进的概率为 P ＝P(AB C ＋A B C ＋A BC)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝P(A)P(B)P(C )＋P(A)P(B )P(C)＋P(A )P(B)P(C) ＝25×12×(1－35)＋25×(1－12)×35＋(1－25)×12×35＝1950. 答案：19504．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X 的均值是________． 解析：解法一 先求出成功次数X 的分布列,再求均值．由题意可知每次试验不成功的概率为14,成功的概率为34,在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2,则P(X ＝0)＝116,P(X ＝1)＝C 12×14×34＝38,P(X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.所以在2次试验中成功次数X 的分布列为X 0 1 2 P11638916则在2次试验中成功次数X 的均值为 E(X)＝0×116＋1×38＋2×916＝32.解法二 此试验满足二项分布,其中p ＝34,所以在2次试验中成功次数X 的均值为E(X)＝np ＝2×34＝32.答案：325．某种元件用满6 000小时未坏的概率是34,用满10 000小时未坏的概率是12,现有一个此种元件,已经用满6 000小时未坏,求它能用满10 000小时的概率． 解析：设A ＝“用满10 000小时未坏”, B ＝“用满6 000小时未坏”, 则P(A)＝12,P(B)＝34,由于A ⊆B, 故P(AB)＝P(A)．∴P(A|B)＝P (AB )P (B )＝P (A )P (B )＝1234＝23.∴这个元件能用满10 000小时的概率为23.6.如图所示,用A 、B 、C 三类不同元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 都正常工作时,系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B,C 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90,分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2. 解析：由题图可知P1＝P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝0.80×0.90×0.90＝0.648P2＝P(A∩(B∪C))＝P(A)·[1－P(B C)] ＝0.8×[1－P(B)·P(C)]＝0.8×[1－(1－0.9)(1－0.9)]＝0.8×(1－0.01)＝0.8×0.99＝0.792.。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A)＞0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第二个红球的概率。
解：设 A 表示“第一次取出红球”，B 表示“第二次取出红球”。
则P(A) ＝ 5/8 。
P(AB) 表示“第一次和第二次都取出红球”，其概率为 5/8 × 4/7 ＝ 5/14 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5/14) ／（5/8) ＝4/7 。
例 2：某班级学生的数学成绩及格率为 80%，英语成绩及格率为70%，已知某学生数学成绩及格，求他英语成绩也及格的概率。
解：设 A 表示“数学成绩及格”，B 表示“英语成绩及格”。
P(A) ＝08 ，P(AB) 表示“数学和英语成绩都及格”，假设两者相互独立，则P(AB) ＝ 08 × 07 ＝ 056 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝ 056 ／ 08 ＝07 。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，等价于 P(AB) ＝ P(A)P(B) 。
例 3：抛掷两枚均匀的硬币，设事件 A 为“第一枚硬币正面朝上”，事件 B 为“第二枚硬币正面朝上”，判断 A、B 是否独立。
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1.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（）
A．B．C．D．
2．从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）
A．B．C．D．
3．10件产品中有5件次品，从中不放回的抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率（）
A．B．C．D．
4．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（）A．B．C．D．
5．若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是．
二．解答题
6．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．（删）7．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）[15，
25）
[25，
35）
[35，
45）
[45，
55）
[55，
65）
[65，
75]
频数510151055
赞成人数469634
（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列
8．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x
1
，x
2
，x
3
，
随机变量X表示x
1
，x
2
，x
3
中的最大数，求X的概率分布．
9．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．
10．甲、乙两人独立破译一个密码，他们能独立译出密码的概率分别为和．
（I）求甲、乙两人均不能译出密码的概率；
（II）假设有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，求这4人中至少有3人同时译出密码的概率．
条件概率与独立事件答案
1.解：设x为掷白骰子得的点数，y为掷黑骰子得的点数，
则所有可能的事件与（x，y）建立一一对应的关系，由题意作图，如图．
其中事件A为“黑色骰子的点数为3或6”包括12件，P（A）==
事件AB包括5件，P（AB）=，由条件概率公式P（B|A）==，
2.解：P（A）==，P（AB）==．由条件概率公式得P（B|A）==．
3. 解：根据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，5件正品；
则第二次抽到正品的概率为P=
4.
解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，
则P（A）=，P（）=1﹣=，P（B）=P，P（）=1﹣P，依题意得：×（1﹣p）+×p=，解可得，p=，故选C．
5.解：设出甲，乙，丙，射击一次击中分别为事件A，B，C，
∵甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中
∴甲，乙，丙，射击一次击中的概率分别为：，，
∵“三人各射击一次，则三人中只有一人命中”的事件为：，，
∴三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率为：=
6.解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（×5+×5）=12件；
（2）Y的所有可能取值为0，1，2；
，，，
Y的分布列为
Y012
P
（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，
重量不超过505克的概为1﹣=；
恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为•．
7.解：（Ⅰ）根据频率=得各组的频率分别是：；；；；；．
由组距为10，可得小矩形的高分别为；；；；；．
由此得频率分布直方图如图：（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为：0，1，2，3．
P（ξ=0）=•=；
P（ξ=1）=•+•=；
P（ξ=2）=•+•=；
P（ξ=3）=•=．
∴ξ的分布列是：
ξ
0123
P
ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×==．
8.解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．
（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=
于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，
X的概率分布列为
X 2 3 4
P
故X数学期望E（X）=
9. 解：（Ⅰ）用事件A
i
表示第i局比赛甲获胜，
则A
i
两两相互独立．…（1分）
===．…（4分）
（Ⅱ）X的取值分别为2，3，4，5，…（5分）
P（x=2）=，
P（x=3）=，
P（x=4）=，
P（x=5）=，…（9分）
所以X的分布列为
X2345
P
…（11分）
EX==．…（13分）
10.解：（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，设“甲、乙两人均不能译出密码”为事件A，
则P（A）=（1﹣）（1﹣）=
即甲、乙两人均不能译出密码的概率是
（II）有4个与甲同样能力的人一起独立破译该密码，
相当于发生四次独立重复试验，成功的概率是
∴这4人中至少有3人同时译出密码的概率为
=
即这4人中至少有3人同时译出密码的概率为。